Konstruer en vinkel lik det gitte konstruksjonsbeviset. Hovedoppgaver for bygg

I konstruksjonsproblemer vil vi vurdere konstruksjonen geometrisk figur som kan gjøres ved hjelp av linjal og kompass.

Ved å bruke en linjal kan du:

vilkårlig rett linje;

en vilkårlig rett linje som går gjennom et gitt punkt;

en rett linje som går gjennom to gitte punkter.

Ved hjelp av et kompass du kan beskrive fra av dette senteret sirkel med gitt radius.

Ved å bruke et kompass kan du plotte et segment på en gitt linje fra et gitt punkt.

La oss vurdere de viktigste byggeoppgavene.

Oppgave 1. Konstruer en trekant med gitte sider a, b, c (fig. 1).

Løsning. Bruk en linjal, tegn en vilkårlig rett linje og ta på den et vilkårlig punkt B. Ved hjelp av en kompassåpning lik a beskriver vi en sirkel med sentrum B og radius a. La C være skjæringspunktet med linjen. Med en kompassåpning lik c beskriver vi en sirkel fra sentrum B, og med en kompassåpning lik b beskriver vi en sirkel fra sentrum C. La A være skjæringspunktet for disse sirklene. Trekant ABC har sider lik a, b, c.

Kommentar. For at tre rette segmenter skal tjene som sider i en trekant, er det nødvendig at den største av dem er mindre enn summen av de to andre (og< b + с).

Oppgave 2.

Løsning. Denne vinkelen med toppunkt A og strålen OM er vist i figur 2.

La oss tegne en vilkårlig sirkel med sentrum i toppunktet A gitt vinkel. La B og C være skjæringspunktene for sirkelen med sidene av vinkelen (fig. 3, a). Med radius AB tegner vi en sirkel med sentrum i punktet O - startpunktet av denne strålen(Fig. 3, b). La oss betegne skjæringspunktet for denne sirkelen med denne strålen som C 1 . La oss beskrive en sirkel med sentrum C 1 og radius BC. Punkt B 1 i skjæringspunktet mellom to sirkler ligger på siden av ønsket vinkel. Dette følger av likheten Δ ABC = Δ OB 1 C 1 (det tredje tegnet på likhet i trekanter).

Oppgave 3. Konstruer halveringslinjen til denne vinkelen (fig. 4).

Løsning. Fra toppunktet A i en gitt vinkel, som fra sentrum, tegner vi en sirkel med vilkårlig radius. La B og C være punktene for skjæringspunktet med sidene av vinkelen. Fra punktene B og C beskriver vi sirkler med samme radius. La D være deres skjæringspunkt, forskjellig fra A. Stråle AD halverer vinkel A. Dette følger av likheten Δ ABD = Δ ACD (det tredje kriteriet for trekanters likhet).

Oppgave 4. Tegn en vinkelrett halveringslinje til dette segmentet (fig. 5).

Løsning. Ved hjelp av en vilkårlig, men identisk kompassåpning (større enn 1/2 AB), beskriver vi to buer med senter i punktene A og B, som vil skjære hverandre i noen punkter C og D. Den rette linjen CD vil være den ønskede perpendikulæren. Faktisk, som det kan sees fra konstruksjonen, er hvert av punktene C og D like langt fra A og B; derfor må disse punktene ligge på den vinkelrette halveringslinjen til segment AB.

Oppgave 5. Dele opp dette segmentet i halvparten. Det løses på samme måte som oppgave 4 (se fig. 5).

Oppgave 6. Gjennom et gitt punkt tegne en linje vinkelrett på den gitte linjen.

Løsning. Det er to mulige tilfeller:

1) gitt poeng O ligger på en gitt rett linje a (fig. 6).

Fra punkt O tegner vi en sirkel med vilkårlig radius som skjærer linje a ved punktene A og B. Fra punktene A og B tegner vi sirkler med samme radius. La O 1 være skjæringspunktet deres, forskjellig fra O. Vi får OO 1 ⊥ AB. Faktisk er punktene O og O 1 like langt fra endene av segmentet AB og ligger derfor på den vinkelrette halveringslinjen til dette segmentet.

dette - eldste geometriske problem.

Trinn-for-steg instruksjon

1. metode. - Bruke den "gyldne" eller "egyptiske" trekanten. Sidene i denne trekanten har sideforholdet 3:4:5, og vinkelen er strengt tatt 90 grader. Denne kvaliteten ble mye brukt av de gamle egypterne og andre eldgamle kulturer.

Ill.1. Konstruksjon av det gylne eller egyptiske triangelet

• Vi produserer tre målinger (eller taukompasser - et tau på to spiker eller knagger) med lengder 3; 4; 5 meter. De gamle brukte ofte metoden for å knytte knuter med like avstander mellom seg som måleenheter. Lengdeenhet - " knute».
• Vi driver en pinne ved punkt O og fester målet "R3 - 3 knop" til den.
• Vi strekker tauet langs den kjente grensen - mot det foreslåtte punktet A.
• I spenningsmomentet på grenselinjen - punkt A, kjører vi inn en knagg.
• Deretter - igjen fra punkt O, strekker du målet R4 - langs den andre grensen. Vi driver ikke inn tappen ennå.
• Etter dette strekker vi målet R5 - fra A til B.
• Vi kjører en pinne i skjæringspunktet mellom målene R2 og R3. – Dette er ønsket punkt B – tredje toppunktet i den gylne trekanten, med sidene 3;4;5 og med rett vinkel i punkt O.

2. metode. Ved hjelp av et kompass.

Kompasset kan være tau eller skritteller. Cm:

Vår kompass skritteller har et trinn på 1 meter.

Ill.2. Kompass skritteller

Konstruksjon - også ifølge ill. 1.

• Fra referansepunktet - punkt O - naboens hjørne tegner du et segment med vilkårlig lengde - men større enn radiusen til kompasset = 1m - i hver retning fra sentrum (segment AB).
• Vi plasserer benet på kompasset ved punkt O.
• Vi tegner en sirkel med radius (kompassstigning) = 1 m. Det er nok å tegne korte buer - 10-20 centimeter hver, i skjæringspunktet med det markerte segmentet (gjennom punktene A og B). Med denne handlingen fant vi ekvidistante punkter fra sentrum– A og B. Avstanden fra sentrum spiller ingen rolle her. Du kan ganske enkelt merke disse punktene med et målebånd.
• Deretter må du tegne buer med sentre ved punktene A og B, men med en litt (vilkårlig) større radius enn R=1m. Du kan rekonfigurere kompasset vårt til en større radius hvis det har en justerbar stigning. Men for en så liten nåværende oppgave vil jeg ikke "trekke" den. Eller når det ikke er noen justering. Kan gjøres på et halvt minutt tau kompass.
• Vi plasserer den første spikeren (eller benet på et kompass med en radius større enn 1 m) vekselvis ved punktene A og B. Og tegner to buer med den andre spikeren - i stram tilstand av tauet - slik at de krysser hverandre med hver av spikeren. annen. Det er mulig på to punkter: C og D, men en er nok - C. Og igjen, korte seriffer i skjæringspunktet i punkt C vil være tilstrekkelig.
• Tegn en rett linje (segment) gjennom punktene C og D.
• Alle! Det resulterende segmentet, eller rett linje, er nøyaktig retning på nord:). Beklager, - i rett vinkel.
• Figuren viser to tilfeller av grenseavvik på tvers av en nabos eiendom. Ill. 3a viser et tilfelle hvor en nabos gjerde beveger seg bort fra ønsket retning til skade. På 3b - klatret han inn på nettstedet ditt. I situasjon 3a er det mulig å konstruere to «guide»-punkter: både C og D. I situasjon 3b er det bare C.
• Plasser en pinne ved hjørne O, og en midlertidig pinne ved punkt C, og strekk en snor fra C til den bakre grensen av stedet. - Slik at ledningen så vidt berører tappen O. Ved å måle fra punkt O - i retning D, lengden på siden i henhold til hovedplanen, vil du få et pålitelig bakre høyre hjørne av tomten.

Ill.3. Konstruksjon rett vinkel– fra naboens hjørne ved hjelp av skritteller og taukompass

Hvis du har en skritteller kompass, da du klarer deg helt uten tau. I forrige eksempel brukte vi tauet til å tegne buer med større radius enn skrittelleren. Mer fordi disse buene må krysse hverandre et sted. For at buene skal tegnes med en skritteller med samme radius - 1m med garanti for deres skjæringspunkt, er det nødvendig at punktene A og B er inne i sirkelen med R = 1m.

• Mål deretter disse ekvidistante punktene rulett- i forskjellige retninger fra sentrum, men alltid langs linje AB (naboens gjerdelinje). Jo nærmere punktene A og B er til sentrum, jo ​​lenger er ledepunktene C og D fra det, og desto mer nøyaktige er målingene. På figuren er denne avstanden antatt å være omtrent en fjerdedel av skrittellerradiusen = 260 mm.

Ill.4. Konstruere en rett vinkel ved hjelp av skritteller og målebånd

• Dette handlingsskjemaet er ikke mindre relevant når du konstruerer et hvilket som helst rektangel, spesielt konturen til et rektangulært fundament. Du vil motta den perfekt. Dens diagonaler må selvfølgelig kontrolleres, men er ikke innsatsen redusert? – Sammenlignet med når diagonalene, hjørnene og sidene av fundamentkonturen flyttes frem og tilbake til hjørnene møtes.

Faktisk løste vi et geometrisk problem på jorden. For å gjøre handlingene dine mer trygge på nettstedet, øv på papir - med et vanlig kompass. Som i utgangspunktet ikke er annerledes.

For å konstruere en tegning eller utføre plane markeringer av et arbeidsstykke før det behandles, er det nødvendig å utføre en rekke grafiske operasjoner - geometriske konstruksjoner.

I fig. Figur 2.1 viser en flat del - en plate. For å tegne tegningen eller markere en kontur på en stålstrimmel for påfølgende produksjon, må du gjøre det på konstruksjonsplanet, de viktigste er nummerert med tall skrevet på pekerpilene. I tall 1 indikerer konstruksjonen av innbyrdes vinkelrette linjer, som må utføres flere steder, med tallet 2 – tegning av parallelle linjer, i tall 3 – pare disse parallelle linjene med en bue med en viss radius, et tall 4 – konjugering av en bue og en rett bue med en gitt radius, som i dette tilfellet er 10 mm, nummer 5 – konjugering av to buer med en bue med en viss radius.

Som et resultat av å utføre disse og andre geometriske konstruksjoner, vil konturen til delen tegnes.

Geometrisk konstruksjon er en metode for å løse et problem der svaret er hentet grafisk uten noen beregninger. Konstruksjoner utføres med tegne- (eller merke)verktøy så nøye som mulig, fordi nøyaktigheten til løsningen avhenger av dette.

Linjene spesifisert av forholdene for problemet, så vel som konstruksjonene, er laget solide tynne, og resultatene av konstruksjonen er solide hoved.

Når du begynner å lage en tegning eller markering, må du først bestemme hvilken av de geometriske konstruksjonene som skal brukes i dette tilfellet, dvs. analysere den grafiske komposisjonen til bildet.

Ris. 2.1.

Analyse av den grafiske komposisjonen til bildet kalt prosessen med å dele opp utførelsen av en tegning i separate grafiske operasjoner.

Å identifisere operasjonene som kreves for å konstruere en tegning gjør det lettere å velge hvordan den skal utføres. Hvis du trenger å tegne, for eksempel, platen vist i fig. 2.1, så fører analyse av konturen til bildet oss til den konklusjon at vi må bruke følgende geometriske konstruksjoner: i fem tilfeller, tegn innbyrdes perpendikulære senterlinjer (figur 1 i en sirkel), i fire tilfeller tegne parallelle linjer(Antall 2 ), tegn to konsentriske sirkler (0 50 og 70 mm), i seks tilfeller konstruer kamerater av to parallelle rette linjer med buer med en gitt radius (figur 3 ), og i fire - sammenkoblingen av en bue og en rett bue med radius 10 mm (figur 4 ), i fire tilfeller, konstruer en sammenkobling av to buer med en bue med radius 5 mm (nummer 5 i en sirkel).

For å utføre disse konstruksjonene, må du huske eller gjenta reglene for å tegne dem fra læreboken.

I dette tilfellet er det tilrådelig å velge en rasjonell måte å fullføre tegningen på. Å velge en rasjonell måte å løse et problem på reduserer tiden brukt på arbeid. For eksempel, når du konstruerer en likesidet trekant innskrevet i en sirkel, er en mer rasjonell metode å konstruere den ved å bruke en tverrstang og en firkant med en vinkel på 60° uten først å bestemme hjørnene til trekanten (se fig. 2.2, a, b). En mindre rasjonell måte å løse det samme problemet på er å bruke et kompass og en tverrstang med foreløpig bestemmelse av trekantens toppunkter (se fig. 2.2, V).

Dele segmenter og konstruere vinkler

Konstruere rette vinkler

Det er rasjonelt å konstruere en 90° vinkel ved hjelp av en tverrstang og en firkant (fig. 2.2). For å gjøre dette er det nok å tegne en rett linje og gjenopprette en vinkelrett på den ved å bruke en firkant (fig. 2.2, EN). Det er rasjonelt å bygge en vinkelrett på det skrånende segmentet ved å bevege seg (fig. 2.2, b) eller snu (fig. 2.2, V) torget.

Ris. 2.2.

Konstruksjon av stumpe og spisse vinkler

Rasjonelle metoder for å konstruere vinkler på 120, 30 og 150, 60 og 120, 15 og 165, 75 og 105,45 og 135° er vist i fig. 2.3, som viser posisjonene til kvadratene for å konstruere disse vinklene.

Ris. 2.3.

Dele en vinkel i to like deler

Fra toppen av hjørnet, beskriv en bue av en sirkel med vilkårlig radius (fig. 2.4).

Ris. 2.4.

Fra poeng ΜηΝ skjæring av en bue med sidene av en vinkel med en kompassløsning større enn halve buen ΜΝ, lag to som krysser hverandre på et punkt EN seriffer.

Gjennom det mottatte punktet EN og toppunktet til vinkelen tegne en rett linje (halveringslinjen til vinkelen).

Dele en rett vinkel i tre like deler

Fra toppen av en rett vinkel, beskriv en bue av en sirkel med vilkårlig radius (fig. 2.5). Uten å endre vinkelen på kompasset, lag hakk fra skjæringspunktene til buen med sidene av vinkelen. Gjennom de mottatte poengene M Og Ν og toppunktet til vinkelen er tegnet av rette linjer.

Ris. 2.5.

På denne måten kan bare rette vinkler deles i tre like deler.

Konstruere en vinkel lik en gitt. Fra toppen OM gitt vinkel tegne en bue med vilkårlig radius R, krysser sidene av vinkelen på punkter M Og N(Fig. 2.6, EN). Tegn deretter et rett segment, som vil tjene som en av sidene til den nye vinkelen. Fra poenget OM 1 på denne rette linjen med samme radius R tegne en bue, få et poeng Ν 1 (fig. 2.6, b). Fra dette punktet beskriv en bue med radius R 1, lik akkorden MN. Skjæringspunktet mellom buer gir et punkt Μ 1, som er forbundet med en rett linje til toppunktet til den nye vinkelen (fig. 2.6, b).

Ris. 2.6.

Dele et linjestykke i to like deler. Buer tegnes fra endene av et gitt segment med en kompassåpning som er større enn halvparten av lengden (fig. 2.7). Rett linje som forbinder de oppnådde punktene M Og Ν, deler et segment i to like deler og er vinkelrett på det.

Ris. 2.7.

Konstruere en perpendikulær på slutten av et rett linjestykke. Fra et vilkårlig punkt O tatt over segmentet AB, beskriv en sirkel som går gjennom et punkt EN(enden av et linjestykke) og skjærer linjen ved punktet M(Fig. 2.8).

Ris. 2.8.

Gjennom det mottatte punktet M og sentrum OM sirkler trekker en rett linje til de møtes motsatt side sirkel på et punkt N. Full stopp N koble en rett linje til et punkt EN.

Dele et linjestykke i et hvilket som helst antall like deler. Fra en hvilken som helst ende av et segment, for eksempel fra et punkt EN, tegne en rett linje i en spiss vinkel til den. På den, ved hjelp av et målekompass, legges det nødvendige antallet like segmenter av vilkårlig størrelse ut (fig. 2.9). Siste punkt koble til den andre enden av et gitt segment (til et punkt I). Fra alle delingspunktene, bruk en linjal og en firkant, tegn rette linjer parallelt med den rette linjen 9V, som vil dele segmentet AB i et gitt antall like deler.

Ris. 2.9.

I fig. Figur 2.10 viser hvordan du bruker denne konstruksjonen for å markere midten av hullene jevnt fordelt på en rett linje.

Ofte er det nødvendig å tegne ("konstruere") en vinkel som vil være lik en gitt vinkel, og konstruksjonen må gjøres uten hjelp av en gradskive, men kun ved hjelp av et kompass og en linjal. Når vi vet hvordan vi konstruerer en trekant på tre sider, kan vi løse dette problemet. La det være på en rett linje MN(Fig. 60 og 61) er det påkrevd å bygge på punktet K vinkel lik vinkel B. Dette betyr at det er nødvendig fra punktet K tegne en rett linje med en komponent MN vinkel lik B.

For å gjøre dette, merk for eksempel et punkt på hver side av en gitt vinkel EN Og MED, og koble til EN Og MED rett linje. Vi får en trekant ABC. La oss nå konstruere på en rett linje MN denne trekanten slik at toppunktet I var på punktet TIL: da vil en vinkel på dette punktet bli konstruert lik vinkelen I. Konstruer en trekant med tre sider VS, VA Og AC vi vet hvordan: vi utsetter (fig. 62) fra punktet TIL linjestykke KL, lik Sol; vi får et poeng L; rundt K, som nær sentrum, beskriver vi en sirkel med en radius VA, og rundt L – radius SA. Full stopp R vi forbinder skjæringspunktene til sirklene med TIL og Z, får vi en trekant KPL, lik en trekant ABC; det er en vinkel i det TIL= ug. I.

Denne konstruksjonen utføres raskere og mer praktisk hvis fra toppen I legg ned like segmenter (med en oppløsning av kompasset) og beskriv en sirkel rundt punktet med samme radius uten å bevege bena. TIL, som nær sentrum.

Hvordan dele et hjørne i to

Anta at vi må dele en vinkel EN(Fig. 63) i to like deler ved hjelp av kompass og linjal, uten å bruke vinkelmåler. Vi viser deg hvordan du gjør det.

Fra toppen EN legg like segmenter på sidene av vinkelen AB Og AC(Diagram 64; dette gjøres ved ganske enkelt å løse opp kompasset). Deretter plasserer vi spissen av kompasset i punktene I Og MED og beskrive buer med like radier som skjærer hverandre i punktet D. Rett tilkobling EN og D deler vinkelen EN i halvparten.

La oss forklare hvorfor dette er. Hvis poenget D koble til I og C (fig. 65), så får du to trekanter ADC Og ADB, y som har en felles side AD; side AB lik side AC, A ВD lik CD. Trekantene er like på tre sider, noe som betyr at vinklene er like. DÅRLIG Og DAC, liggende mot like sider ВD Og CD. Derfor rett AD deler vinkelen DU i halvparten.

applikasjoner

12. Konstruer en vinkel på 45° uten vinkelmåler. Ved 22°30'. Ved 67°30'.

Løsning: Ved å dele den rette vinkelen i to får vi en vinkel på 45°. Ved å dele 45°-vinkelen i to får vi en vinkel på 22°30’. Ved å konstruere summen av vinklene 45° + 22°30’ får vi en vinkel på 67°30’.

Hvordan konstruere en trekant ved hjelp av to sider og vinkelen mellom dem

Anta at du må finne ut på bakken avstanden mellom to milepæler EN Og I(Devil 66), atskilt av en ufremkommelig sump.

Hvordan gjøre det?

Vi kan gjøre dette: Velg et punkt vekk fra sumpen MED, hvorfra begge milepælene er synlige og avstander kan måles AC Og Sol. Hjørne MED vi måler ved hjelp av en spesiell goniometrisk enhet (kalt str o l b i e). I henhold til disse dataene, dvs. i henhold til de målte sidene A.C. Og Sol og hjørne MED mellom dem, la oss bygge en trekant ABC et sted i praktisk terreng som følger. Etter å ha målt en kjent side i en rett linje (fig. 67), for eksempel AC, bygg med det på punktet MED hjørne MED; på den andre siden av denne vinkelen måles den kjente siden Sol. slutter kjente parter, dvs. poeng EN Og I forbundet med en rett linje. Resultatet er en trekant der to sider og vinkelen mellom dem har dimensjonene spesifisert på forhånd.

Fra konstruksjonsmetoden er det klart at bare en trekant kan konstrueres ved å bruke to sider og vinkelen mellom dem. Derfor, hvis to sider av en trekant er lik to sider av en annen og vinklene mellom disse sidene er like, kan slike trekanter legges over hverandre av alle punkter, dvs. deres tredje sider og andre vinkler må også være like. Dette betyr at likheten mellom to sider av trekanter og vinkelen mellom dem kan tjene som et tegn på den fullstendige likheten til disse trekantene. Kort oppsummert:

Trekanter er like på begge sider og i vinkelen mellom dem.

Når du bygger eller utvikler boligdesignprosjekter, er det ofte nødvendig å bygge en vinkel lik en eksisterende. Maler kommer til unnsetning skolekunnskap geometri.

Bruksanvisning

• En vinkel er dannet av to rette linjer som kommer fra ett punkt. Dette punktet vil bli kalt toppunktet til vinkelen, og linjene vil være sidene av vinkelen.
• Bruk tre bokstaver for å representere hjørner: en på toppen, to på sidene. Vinkelen er navngitt som starter med bokstaven som står på den ene siden, deretter kalles bokstaven som står på toppen, og deretter bokstaven på den andre siden. Bruk andre måter å angi vinkler på hvis du foretrekker noe annet. Noen ganger er bare én bokstav navngitt, som er øverst. Kan du markere vinklene? greske bokstaver for eksempel α, β, γ.
• Det er situasjoner når det er nødvendig å tegne en vinkel slik at den er lik en allerede gitt vinkel. Hvis det ikke er mulig å bruke vinkelmåler når du konstruerer en tegning, kan du bare klare deg med linjal og kompass. La oss si at på en rett linje merket på tegningen med bokstavene MN, må du konstruere en vinkel ved punkt K, slik at den er lik vinkel B. Det vil si at fra punkt K er det nødvendig å tegne en rett linje som danner en vinkel med linjen MN, som vil være lik vinkel B.
• Merk først et punkt på hver side av en gitt vinkel, for eksempel punktene A og C, og koble deretter punktene C og A med en rett linje. Få trekant ABC.
• Konstruer nå den samme trekanten på linjen MN slik at toppunktet B er på linjen i punktet K. Bruk regelen for å konstruere en trekant på tre sider. Legg av segmentet KL fra punkt K. Det må være lik segmentet BC. Få L-punktet.
• Fra punkt K tegner du en sirkel med radius lik segment BA. Fra L tegner du en sirkel med radius CA. Koble det resulterende skjæringspunktet (P) av to sirkler med K. Skaff trekant KPL, som vil være lik trekant ABC. På denne måten vil du få vinkel K. Den vil være lik vinkel B. For å gjøre denne konstruksjonen mer praktisk og raskere, sett av like segmenter fra toppunktet B, ved å bruke en kompassåpning, uten å flytte bena, beskriv en sirkel med samme radius fra punkt K.