Merk følgende!
Det er flere
materialer i spesialseksjon 555.
For de som er veldig "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")
Først av alt, la meg minne deg på en enkel, men veldig nyttig konklusjon fra leksjonen "Hva er sinus og cosinus? Hva er tangent og cotangens?"
Dette er utgangen:
Sinus, cosinus, tangent og cotangens er tett forbundet med vinklene. Vi vet en ting, noe som betyr at vi vet en annen.
Med andre ord har hver vinkel sin egen konstante sinus og cosinus. Og nesten alle har sin egen tangent og cotangens. Hvorfor nesten? Mer om dette nedenfor.
Denne kunnskapen hjelper mye i studiene dine! Det er mange oppgaver hvor du må flytte fra sinus til vinkler og omvendt. For dette er det sinustabell. Tilsvarende, for oppgaver med cosinus - kosinusbord. Og som du kanskje har gjettet, det er det tangenttabell Og tabell over kotangenter.)
Tabeller er forskjellige. Lange, der du kan se hva for eksempel sin37°6' er lik. Vi åpner Bradis-tabellene, ser etter en vinkel på trettisju grader seks minutter og ser verdien på 0,6032. Det er klart at det absolutt ikke er nødvendig å huske dette tallet (og tusenvis av andre tabellverdier).
I vår tid er det faktisk ikke nødvendig med lange tabeller med cosinus, sinus, tangenter, cotangenter. En god kalkulator erstatter dem fullstendig. Men det skader ikke å vite om eksistensen av slike tabeller. For generell lærdom.)
Og hvorfor da denne leksjonen?! - du spør.
Men hvorfor. Blant det uendelige antallet vinkler som finnes spesiell, som du bør vite om Alle. All skolegeometri og trigonometri er bygget på disse vinklene. Dette er en slags "multiplikasjonstabell" av trigonometri. Hvis du ikke vet hva sin50° er lik, for eksempel, vil ingen dømme deg.) Men hvis du ikke vet hva sin30° er lik, vær forberedt på å få en velfortjent to...
Slik spesiell Vinklene er også ganske gode. Skolebøker tilbyr vanligvis vennligst memorering sinustabell og cosinustabell for sytten vinkler. Og selvfølgelig, tangenttabell og kotangenstabell for de samme sytten vinklene... Dvs. Det foreslås å huske 68 verdier. Som forresten er veldig like hverandre, gjentar seg selv nå og da og skifter fortegn. For en person uten perfekt visuelt minne er dette litt av en oppgave...)
Vi tar en annen vei. La oss erstatte utenat utenat med logikk og oppfinnsomhet. Da må vi huske 3 (tre!) verdier for sinustabellen og cosinustabellen. Og 3 (tre!) verdier for tabellen over tangenter og tabellen over kotangenter. Det er alt. Seks verdier er lettere å huske enn 68, ser det ut for meg...)
Vi vil hente alle andre nødvendige verdier fra disse seks ved å bruke et kraftig juridisk jukseark - trigonometrisk sirkel. Hvis du ikke har studert dette emnet, følg lenken, ikke vær lat. Denne sirkelen er ikke bare nødvendig for denne leksjonen. Han er uerstattelig for all trigonometri på en gang. Å ikke bruke et slikt verktøy er rett og slett synd! Vil du ikke? Det er din sak. Husk sinustabell. Tabell over kosinus. Tabell over tangenter. Tabell over cotangenser. Alle 68 verdier for en rekke vinkler.)
Så la oss begynne. Først, la oss dele alle disse spesielle vinklene i tre grupper.
Første gruppe vinkler.
La oss vurdere den første gruppen sytten vinkler spesiell. Dette er 5 vinkler: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.
Slik ser tabellen over sinus, cosinus, tangenter og cotangenter ut for disse vinklene:
Vinkel x
|
0 |
90 |
180 |
270 |
360 |
Vinkel x
|
0 |
||||
synd x |
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
fordi x |
1 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
tg x |
0 |
substantiv |
0 |
substantiv |
0 |
ctg x |
substantiv |
0 |
substantiv |
0 |
substantiv |
De som vil huske, husk. Men jeg vil si med en gang at alle disse enerne og nullene blir veldig forvirret i hodet. Mye sterkere enn du ønsker.) Derfor slår vi på logikk og den trigonometriske sirkelen.
Vi tegner en sirkel og markerer de samme vinklene på den: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°. Jeg merket disse hjørnene med røde prikker:
Det er umiddelbart tydelig hva som er spesielt med disse vinklene. Ja! Dette er vinklene som faller nøyaktig på koordinataksen! Det er faktisk derfor folk blir forvirret... Men vi vil ikke bli forvirret. La oss finne ut hvordan du finner trigonometriske funksjoner til disse vinklene uten mye memorering.
Vinkelposisjonen er forresten 0 grader helt sammenfallende med en 360 graders vinkelposisjon. Dette betyr at sinus, cosinus og tangens til disse vinklene er nøyaktig de samme. Jeg markerte en 360 graders vinkel for å fullføre sirkelen.
Anta, i det vanskelige stressende miljøet under Unified State Examination, tvilte du på en eller annen måte... Hva er sinusen til 0 grader? Det virker som null... Hva om det er en?! Mekanisk memorering er noe slikt. Under tøffe forhold begynner tvilen å gnage...)
Rolig, bare rolig!) Jeg vil fortelle deg en praktisk teknikk som vil gi deg et 100% riktig svar og fullstendig fjerne all tvil.
Som et eksempel, la oss finne ut hvordan du tydelig og pålitelig kan bestemme for eksempel sinusen til 0 grader. Og samtidig cosinus 0. Det er i disse verdiene, merkelig nok, at folk ofte blir forvirret.
For å gjøre dette, tegn på en sirkel vilkårlig hjørne X. I første kvartal var det nær 0 grader. La oss markere sinus og cosinus til denne vinkelen på aksene X, alt er bra. Som dette:
Og nå - oppmerksomhet! La oss redusere vinkelen X, bring den bevegelige siden nærmere aksen ÅH. Hold markøren over bildet (eller trykk på bildet på nettbrettet) og du vil se alt.
La oss nå slå på elementær logikk! La oss se og tenke: Hvordan oppfører sinx seg når vinkelen x minker? Når vinkelen nærmer seg null? Det krymper! Og cosx øker! Det gjenstår å finne ut hva som vil skje med sinusen når vinkelen kollapser helt? Når legger den bevegelige siden av vinkelen (punkt A) seg på OX-aksen og vinkelen blir lik null? Åpenbart vil sinusen til vinkelen gå til null. Og cosinus vil øke til... til... Hva er lengden på den bevegelige siden av vinkelen (radiusen til den trigonometriske sirkelen)? En!
Her er svaret. Sinusen til 0 grader er lik 0. Cosinusen til 0 grader er lik 1. Absolutt jernbelagt og uten tvil!) Rett og slett fordi ellers det kan ikke være.
På nøyaktig samme måte kan du for eksempel finne ut (eller tydeliggjøre) sinusen til 270 grader. Eller cosinus 180. Tegn en sirkel, vilkårlig en vinkel i et kvarter ved siden av koordinataksen som er av interesse for oss, beveg siden av vinkelen mentalt og grip hva sinus og cosinus vil bli når siden av vinkelen faller på aksen. Det er alt.
Som du kan se, er det ikke nødvendig å huske noe for denne gruppen av vinkler. Ikke nødvendig her sinustabell... Ja og kosinusbord- også.) Forresten, etter flere bruk av den trigonometriske sirkelen, vil alle disse verdiene bli husket av seg selv. Og hvis de glemmer, tegnet jeg en sirkel på 5 sekunder og klargjorde den. Mye enklere enn å ringe en venn fra toalettet og risikere sertifikatet ditt, ikke sant?)
Når det gjelder tangent og cotangens, er alt det samme. Vi tegner en tangent (cotangens) linje på sirkelen - og alt er umiddelbart synlig. Hvor de er lik null, og hvor de ikke eksisterer. Hva, du vet ikke om tangent- og cotangenslinjer? Dette er trist, men kan fikses.) Vi besøkte seksjon 555 Tangent og cotangens på den trigonometriske sirkelen - og det er ingen problemer!
Hvis du har funnet ut hvordan du tydelig kan definere sinus, cosinus, tangens og cotangens for disse fem vinklene, gratulerer! Bare i tilfelle informerer jeg deg om at du nå kan definere funksjoner eventuelle vinkler som faller på aksene. Og dette er 450°, og 540°, og 1800°, og et uendelig antall andre...) Jeg telte (riktig!) vinkelen på sirkelen - og det er ingen problemer med funksjonene.
Men det er nettopp med måling av vinkler at problemer og feil oppstår... Hvordan unngå dem står skrevet i leksjonen: Hvordan tegne (telle) enhver vinkel på en trigonometrisk sirkel i grader. Elementært, men veldig nyttig i kampen mot feil.)
Her er en leksjon: Hvordan tegne (måle) en hvilken som helst vinkel på en trigonometrisk sirkel i radianer - det blir kjøligere. Når det gjelder muligheter. La oss si, bestemme hvilken av de fire halvaksene vinkelen faller på
du kan gjøre det på et par sekunder. Jeg tuller ikke! Bare om et par sekunder. Vel, selvfølgelig, ikke bare 345 pi...) Og 121, og 16, og -1345. Enhver heltallskoeffisient er egnet for et øyeblikkelig svar.
Og hvis hjørnet
Bare tenk! Riktig svar oppnås på 10 sekunder For enhver brøkverdi av radianer med to i nevneren.
Det er faktisk dette som er bra med den trigonometriske sirkelen. Fordi evnen til å jobbe med noen hjørner den utvides automatisk til uendelig sett hjørner
Så vi har sortert ut fem hjørner av sytten.
Andre gruppe vinkler.
Den neste gruppen av vinkler er vinklene 30°, 45° og 60°. Hvorfor akkurat disse, og ikke for eksempel 20, 50 og 80? Ja, på en eller annen måte ble det slik... Historisk sett.) Videre skal det ses hvorfor disse vinklene er gode.
Tabellen over sinus cosinus tangenser cotangenter for disse vinklene ser slik ut:
Vinkel x
|
0 |
30 |
45 |
60 |
90 |
Vinkel x
|
0 |
||||
synd x |
0 |
1 |
|||
fordi x |
1 |
0 |
|||
tg x |
0 |
1 |
substantiv |
||
ctg x |
substantiv |
1 |
0 |
Jeg forlot verdiene for 0° og 90° fra forrige tabell for å fullføre bildet.) Slik at du kan se at disse vinklene ligger i første kvartal og øker. Fra 0 til 90. Dette vil være nyttig for oss senere.
Tabellverdiene for vinkler på 30°, 45° og 60° må huskes. Husk det hvis du vil. Men også her er det en mulighet til å gjøre livet ditt enklere.) Vær oppmerksom på sinustabellverdier disse vinklene. Og sammenligne med cosinustabellverdier...
Ja! De samme! Bare ordnet i omvendt rekkefølge. Vinkler øker (0, 30, 45, 60, 90) - og sinusverdier øke fra 0 til 1. Du kan sjekke med en kalkulator. Og cosinusverdiene er er avtagende fra 1 til null. Dessuten verdiene seg selv samme. For vinkler på 20, 50, 80 ville ikke dette fungere...
Dette er en nyttig konklusjon. Nok å lære tre verdier for vinkler på 30, 45, 60 grader. Og husk at for sinusen øker de, og for cosinus reduseres de. Mot sinusen.) De møtes halvveis (45°), det vil si at sinusen på 45 grader er lik cosinus på 45 grader. Og så divergerer de igjen... Tre betydninger kan læres, ikke sant?
Med tangenter - cotangenter er bildet nøyaktig det samme. En til en. Bare betydningene er forskjellige. Disse verdiene (tre til!) må også læres.
Vel, nesten all memoreringen er over. Du har (forhåpentligvis) forstått hvordan du bestemmer verdiene for de fem vinklene som faller på aksen og lærte verdiene for vinklene på 30, 45, 60 grader. Totalt 8.
Det gjenstår å håndtere den siste gruppen på 9 hjørner.
Dette er vinklene:
120°; 135°; 150°; 210°; 225°; 240°; 300°; 315°; 330°. For disse vinklene må du kjenne sinustabellen, cosinustabellen osv.
Mareritt, ikke sant?)
Og hvis du legger til vinkler her, for eksempel: 405°, 600° eller 3000° og mange, mange like vakre?)
Eller vinkler i radianer? For eksempel om vinkler:
og mange andre du bør vite Alle.
Det morsomste er å vite dette Alle - umulig i prinsippet. Hvis du bruker mekanisk minne.
Og det er veldig enkelt, faktisk elementært - hvis du bruker en trigonometrisk sirkel. Når du først har fått taket på å jobbe med den trigonometriske sirkelen, kan alle de fryktede vinklene i grader enkelt og elegant reduseres til de gode, gammeldagse:
Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)
Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)
Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.
Begrepene sinus (), cosinus (), tangens (), cotangens () er uløselig knyttet til begrepet vinkel. For å ha en god forståelse av disse, ved første øyekast, komplekse konsepter (som forårsaker en tilstand av redsel hos mange skolebarn), og for å sikre at "djevelen ikke er så forferdelig som han er malt," la oss starte fra helt i begynnelsen og forstå konseptet med en vinkel.
Vinkelkonsept: radian, grad
La oss se på bildet. Vektoren har "snudd" i forhold til punktet med en viss mengde. Så målet for denne rotasjonen i forhold til utgangsposisjonen vil være hjørne.
Hva annet trenger du å vite om begrepet vinkel? Vel, selvfølgelig, vinkelenheter!
Vinkel, både i geometri og trigonometri, kan måles i grader og radianer.
Vinkel (én grad) er den sentrale vinkelen i en sirkel dekket av en sirkelbue lik en del av sirkelen. Dermed består hele sirkelen av "biter" av sirkelbuer, eller vinkelen beskrevet av sirkelen er lik.
Det vil si at figuren over viser en vinkel lik, det vil si at denne vinkelen hviler på en sirkelbue på størrelse med omkretsen.
En vinkel i radianer er den sentrale vinkelen i en sirkel dekket av en sirkelbue hvis lengde er lik radiusen til sirkelen. Vel, fant du ut av det? Hvis ikke, la oss finne det ut fra tegningen.
Så, figuren viser en vinkel lik en radian, det vil si at denne vinkelen hviler på en sirkelbue, hvis lengde er lik radiusen til sirkelen (lengden er lik lengden eller radiusen er lik lengden på buen). Dermed beregnes buelengden med formelen:
Hvor er den sentrale vinkelen i radianer.
Vel, når du vet dette, kan du svare på hvor mange radianer som finnes i vinkelen beskrevet av sirkelen? Ja, for dette må du huske formelen for omkrets. Her er hun:
Vel, la oss nå korrelere disse to formlene og finne at vinkelen beskrevet av sirkelen er lik. Det vil si at ved å korrelere verdien i grader og radianer får vi det. Henholdsvis. Som du kan se, i motsetning til "grader", er ordet "radian" utelatt, siden måleenheten vanligvis er tydelig fra konteksten.
Hvor mange radianer er det? Det er riktig!
Har det? Så fortsett og fiks det:
Har du vanskeligheter? Så se svar:
Rettvinklet trekant: sinus, cosinus, tangens, cotangens av vinkelen
Så vi fant ut konseptet med en vinkel. Men hva er sinus, cosinus, tangens og cotangens av en vinkel? La oss finne ut av det. For å gjøre dette, vil en rettvinklet trekant hjelpe oss.
Hva kalles sidene i en rettvinklet trekant? Det er riktig, hypotenusa og ben: hypotenusen er siden som ligger motsatt den rette vinkelen (i vårt eksempel er dette siden); bena er de to gjenværende sidene og (de ved siden av den rette vinkelen), og hvis vi ser på bena i forhold til vinkelen, så er benet det tilstøtende benet, og benet er det motsatte. Så la oss nå svare på spørsmålet: hva er sinus, cosinus, tangens og cotangens av en vinkel?
Sinus av vinkel- dette er forholdet mellom det motsatte (fjerne) benet til hypotenusen.
I vår trekant.
Cosinus av vinkel- dette er forholdet mellom det tilstøtende (nære) benet og hypotenusen.
I vår trekant.
Tangent av vinkelen- dette er forholdet mellom den motsatte (fjerne) siden til den tilstøtende (nære).
I vår trekant.
Kotangens av vinkel- dette er forholdet mellom det tilstøtende (nære) benet og det motsatte (langt).
I vår trekant.
Disse definisjonene er nødvendige huske! For å gjøre det lettere å huske hvilket ben du skal dele inn i hva, må du tydelig forstå det i tangent Og cotangens bare bena sitter, og hypotenusen vises bare i sinus Og kosinus. Og så kan du komme opp med en kjede av assosiasjoner. For eksempel denne:
Cosinus→berøring→berøring→tilstøtende;
Kotangens→berøring→berøring→tilstøtende.
Først av alt må du huske at sinus, cosinus, tangens og cotangens, da forholdet mellom sidene i en trekant ikke avhenger av lengdene på disse sidene (i samme vinkel). Tror ikke? Pass deretter på ved å se på bildet:
Tenk for eksempel på cosinus til en vinkel. Per definisjon, fra en trekant: , men vi kan beregne cosinus til en vinkel fra en trekant: . Du ser, lengdene på sidene er forskjellige, men verdien av cosinus til en vinkel er den samme. Dermed avhenger verdiene av sinus, cosinus, tangens og cotangens utelukkende av størrelsen på vinkelen.
Hvis du forstår definisjonene, så fortsett og konsolider dem!
For trekanten vist i figuren nedenfor finner vi.
Vel, fikk du det? Så prøv det selv: beregn det samme for vinkelen.
Enhetssirkel (trigonometrisk).
For å forstå begrepene grader og radianer, betraktet vi en sirkel med en radius lik. En slik sirkel kalles enkelt. Det vil være veldig nyttig når du studerer trigonometri. La oss derfor se litt mer detaljert på det.
Som du kan se, er denne sirkelen konstruert i det kartesiske koordinatsystemet. Sirkelens radius er lik én, mens sentrum av sirkelen ligger ved opprinnelsen til koordinatene, er startposisjonen til radiusvektoren fast langs den positive retningen til aksen (i vårt eksempel er dette radiusen).
Hvert punkt på sirkelen tilsvarer to tall: aksekoordinaten og aksekoordinaten. Hva er disse koordinattallene? Og generelt, hva har de med emnet å gjøre? For å gjøre dette må vi huske på den betraktede rettvinklet. I figuren over kan du se to hele rette trekanter. Tenk på en trekant. Den er rektangulær fordi den er vinkelrett på aksen.
Hva er trekanten lik? Det er riktig. I tillegg vet vi at det er radiusen til enhetssirkelen, som betyr . La oss erstatte denne verdien i formelen vår for cosinus. Her er hva som skjer:
Hva er trekanten lik? Selvfølgelig, ! Bytt ut radiusverdien i denne formelen og få:
Så, kan du si hvilke koordinater et punkt som tilhører en sirkel har? Vel, ingen måte? Hva om du innser det og bare er tall? Hvilken koordinat tilsvarer det? Vel, selvfølgelig, koordinatene! Og hvilken koordinat tilsvarer det? Det stemmer, koordinater! Altså punktum.
Hva er og lik da? Det stemmer, la oss bruke de tilsvarende definisjonene av tangent og cotangens og få det, a.
Hva om vinkelen er større? For eksempel, som på dette bildet:
Hva har endret seg i dette eksemplet? La oss finne ut av det. For å gjøre dette, la oss snu igjen til en rettvinklet trekant. Tenk på en rettvinklet trekant: vinkel (som ved siden av en vinkel). Hva er verdiene av sinus, cosinus, tangens og cotangens for en vinkel? Det er riktig, vi holder oss til de tilsvarende definisjonene av trigonometriske funksjoner:
Vel, som du kan se, tilsvarer verdien av sinusen til vinkelen fortsatt koordinaten; verdien av vinkelens cosinus - koordinaten; og verdiene av tangent og cotangens til de tilsvarende forholdene. Dermed gjelder disse relasjonene for enhver rotasjon av radiusvektoren.
Det er allerede nevnt at startposisjonen til radiusvektoren er langs den positive retningen til aksen. Så langt har vi rotert denne vektoren mot klokken, men hva skjer hvis vi roterer den med klokken? Ikke noe ekstraordinært, du vil også få en vinkel med en viss verdi, men bare den vil være negativ. Når vi roterer radiusvektoren mot klokken, får vi altså positive vinkler, og når du roterer med klokken - negativ.
Så vi vet at en hel omdreining av radiusvektoren rundt en sirkel er eller. Er det mulig å rotere radiusvektoren til eller til? Vel, selvfølgelig kan du det! I det første tilfellet vil derfor radiusvektoren gjøre en hel omdreining og stoppe ved posisjon eller.
I det andre tilfellet, det vil si at radiusvektoren vil gjøre tre hele omdreininger og stoppe ved posisjon eller.
Fra eksemplene ovenfor kan vi konkludere med at vinkler som er forskjellige med eller (hvor er et heltall) tilsvarer den samme posisjonen til radiusvektoren.
Figuren under viser en vinkel. Det samme bildet tilsvarer hjørnet osv. Denne listen kan fortsettes på ubestemt tid. Alle disse vinklene kan skrives med den generelle formelen eller (hvor er et heltall)
Nå, når du kjenner definisjonene av de grunnleggende trigonometriske funksjonene og bruker enhetssirkelen, prøv å svare på hva verdiene er:
Her er en enhetssirkel for å hjelpe deg:
Har du vanskeligheter? Så la oss finne ut av det. Så vi vet at:
Herfra bestemmer vi koordinatene til punktene som tilsvarer visse vinkelmål. Vel, la oss starte i rekkefølge: vinkelen ved tilsvarer et punkt med koordinater, derfor:
Eksisterer ikke;
Videre, ved å følge den samme logikken, finner vi ut at hjørnene i samsvarer med henholdsvis punkter med koordinater. Når du vet dette, er det lett å bestemme verdiene til trigonometriske funksjoner på de tilsvarende punktene. Prøv selv først, og sjekk deretter svarene.
Svar:
Eksisterer ikke
Eksisterer ikke
Eksisterer ikke
Eksisterer ikke
Dermed kan vi lage følgende tabell:
Det er ikke nødvendig å huske alle disse verdiene. Det er nok å huske korrespondansen mellom koordinatene til punktene på enhetssirkelen og verdiene til trigonometriske funksjoner:
Men verdiene til de trigonometriske funksjonene til vinkler i og gitt i tabellen nedenfor, må huskes:
Ikke vær redd, nå skal vi vise deg ett eksempel ganske enkelt å huske de tilsvarende verdiene:
For å bruke denne metoden er det viktig å huske verdiene til sinusen for alle tre vinkelmålene (), samt verdien av tangensen til vinkelen. Når du kjenner disse verdiene, er det ganske enkelt å gjenopprette hele tabellen - cosinusverdiene overføres i samsvar med pilene, det vil si:
Når du vet dette, kan du gjenopprette verdiene for. Telleren " " vil matche og nevneren " " vil matche. Kotangensverdier overføres i samsvar med pilene angitt i figuren. Hvis du forstår dette og husker diagrammet med pilene, vil det være nok å huske alle verdiene fra tabellen.
Koordinater til et punkt på en sirkel
Er det mulig å finne et punkt (dets koordinater) på en sirkel, kjenne koordinatene til sirkelens sentrum, radius og rotasjonsvinkel?
Vel, selvfølgelig kan du det! La oss få det ut generell formel for å finne koordinatene til et punkt.
For eksempel, her er en sirkel foran oss:
Vi er gitt at punktet er sentrum av sirkelen. Sirkelens radius er lik. Det er nødvendig å finne koordinatene til et punkt oppnådd ved å rotere punktet i grader.
Som det fremgår av figuren, tilsvarer koordinaten til punktet lengden på segmentet. Lengden på segmentet tilsvarer koordinaten til sentrum av sirkelen, det vil si at den er lik. Lengden på et segment kan uttrykkes ved å bruke definisjonen av cosinus:
Så har vi det for punktkoordinaten.
Ved å bruke samme logikk finner vi y-koordinatverdien for punktet. Dermed,
Så generelt er koordinatene til punktene bestemt av formlene:
Koordinater for sentrum av sirkelen,
Sirkelradius,
Rotasjonsvinkelen til vektorradiusen.
Som du kan se, for enhetssirkelen vi vurderer, er disse formlene betydelig redusert, siden koordinatene til sentrum er lik null og radius er lik en:
Vel, la oss prøve disse formlene ved å øve på å finne punkter på en sirkel?
1. Finn koordinatene til et punkt på enhetssirkelen oppnådd ved å rotere punktet videre.
2. Finn koordinatene til et punkt på enhetssirkelen oppnådd ved å rotere punktet videre.
3. Finn koordinatene til et punkt på enhetssirkelen oppnådd ved å rotere punktet videre.
4. Punktet er sentrum av sirkelen. Sirkelens radius er lik. Det er nødvendig å finne koordinatene til punktet oppnådd ved å rotere den opprinnelige radiusvektoren med.
5. Punktet er sentrum av sirkelen. Sirkelens radius er lik. Det er nødvendig å finne koordinatene til punktet oppnådd ved å rotere den opprinnelige radiusvektoren med.
Har du problemer med å finne koordinatene til et punkt på en sirkel?
Løs disse fem eksemplene (eller bli flink til å løse dem) så lærer du å finne dem!
1.
Det kan du merke. Men vi vet hva som tilsvarer en full revolusjon av utgangspunktet. Dermed vil ønsket punkt være i samme posisjon som når du svinger til. Når vi vet dette, finner vi de nødvendige koordinatene til punktet:
2. Enhetssirkelen er sentrert i et punkt, noe som betyr at vi kan bruke forenklede formler:
Det kan du merke. Vi vet hva som tilsvarer to hele omdreininger av utgangspunktet. Dermed vil ønsket punkt være i samme posisjon som når du svinger til. Når vi vet dette, finner vi de nødvendige koordinatene til punktet:
Sinus og cosinus er tabellverdier. Vi husker betydningen deres og får:
Dermed har ønsket punkt koordinater.
3. Enhetssirkelen er sentrert i et punkt, noe som betyr at vi kan bruke forenklede formler:
Det kan du merke. La oss skildre det aktuelle eksemplet i figuren:
Radius gjør vinkler lik og med aksen. Når vi vet at tabellverdiene til cosinus og sinus er like, og har bestemt at cosinus her tar en negativ verdi og sinus har en positiv verdi, har vi:
Slike eksempler diskuteres mer detaljert når man studerer formlene for å redusere trigonometriske funksjoner i emnet.
Dermed har ønsket punkt koordinater.
4.
Rotasjonsvinkel for vektorens radius (etter tilstand)
For å bestemme de tilsvarende tegnene for sinus og cosinus, konstruerer vi en enhetssirkel og vinkel:
Som du kan se, er verdien, det vil si, positiv, og verdien, det vil si, er negativ. Når vi kjenner tabellverdiene til de tilsvarende trigonometriske funksjonene, får vi at:
La oss erstatte de oppnådde verdiene i formelen vår og finne koordinatene:
Dermed har ønsket punkt koordinater.
5. For å løse dette problemet bruker vi formler i generell form, hvor
Koordinater til sentrum av sirkelen (i vårt eksempel,
Sirkelradius (etter tilstand)
Rotasjonsvinkel for vektorens radius (etter tilstand).
La oss erstatte alle verdiene i formelen og få:
og - tabellverdier. La oss huske og erstatte dem med formelen:
Dermed har ønsket punkt koordinater.
SAMMENDRAG OG GRUNNLEGGENDE FORMLER
Sinusen til en vinkel er forholdet mellom det motsatte (fjerne) benet og hypotenusen.
Cosinus av en vinkel er forholdet mellom det tilstøtende (nære) benet og hypotenusen.
Tangensen til en vinkel er forholdet mellom motsatt (fjern) side og tilstøtende (nær) side.
Kotangensen til en vinkel er forholdet mellom den tilstøtende (nære) siden til den motsatte (fjerne) siden.
Tabell over grunnleggende trigonometriske funksjoner for vinkler på 0, 30, 45, 60, 90, ... grader
Fra de trigonometriske definisjonene av funksjonene $\sin$, $\cos$, $\tan$ og $\cot$, kan du finne ut verdiene deres for vinkler $0$ og $90$ grader:
$\sin0°=0$, $\cos0°=1$, $\tan 0°=0$, $\cot 0°$ ikke definert;
$\sin90°=1$, $\cos90°=0$, $\cot90°=0$, $\tan 90°$ er ikke bestemt.
I et skolegeometrikurs, når man studerer rette trekanter, finner man de trigonometriske funksjonene til vinklene $0°$, $30°$, $45°$, $60°$ og $90°$.
Fant verdier av trigonometriske funksjoner for de indikerte vinklene i henholdsvis grader og radianer ($0$, $\frac(\pi)(6)$, $\frac(\pi)(4)$, $\frac(\ pi)(3) $, $\frac(\pi)(2)$) for enkel memorering og bruk legges inn i en tabell kalt trigonometrisk tabell, Tabell over grunnleggende verdier for trigonometriske funksjoner og så videre.
Når du bruker reduksjonsformler, kan den trigonometriske tabellen utvides til en vinkel på $360°$ og følgelig $2\pi$ radianer:
Ved å bruke periodisitetsegenskapene til trigonometriske funksjoner, kan hver vinkel, som vil avvike fra den allerede kjente med $360°$, beregnes og registreres i en tabell. For eksempel vil den trigonometriske funksjonen for vinkel $0°$ ha samme verdi for vinkel $0°+360°$, og for vinkel $0°+2 \cdot 360°$, og for vinkel $0°+3 \cdot 360°$ og så videre.
Ved å bruke en trigonometrisk tabell kan du bestemme verdiene til alle vinkler i en enhetssirkel.
I et skolegeometrikurs er det meningen at du skal huske de grunnleggende verdiene til trigonometriske funksjoner samlet i en trigonometrisk tabell for å gjøre det lettere å løse trigonometriske problemer.
Ved hjelp av et bord
I tabellen er det nok å finne den nødvendige trigonometriske funksjonen og verdien av vinkelen eller radianene som denne funksjonen må beregnes for. I skjæringspunktet mellom raden med funksjonen og kolonnen med verdien, får vi den ønskede verdien av den trigonometriske funksjonen til det gitte argumentet.
På figuren kan du se hvordan du finner verdien av $\cos60°$, som er lik $\frac(1)(2)$.
Den utvidede trigonometriske tabellen brukes på samme måte. Fordelen med å bruke den er, som allerede nevnt, beregningen av den trigonometriske funksjonen til nesten hvilken som helst vinkel. For eksempel kan du enkelt finne verdien $\tan 1 380°=\tan (1 380°-360°)=\tan(1 020°-360°)=\tan(660°-360°)=\tan300 °$:
Bradis-tabeller over grunnleggende trigonometriske funksjoner
Evnen til å beregne den trigonometriske funksjonen til absolutt hvilken som helst vinkelverdi for en heltallsverdi på grader og en heltallsverdi på minutter er gitt ved bruk av Bradis-tabeller. Finn for eksempel verdien av $\cos34°7"$. Tabellene er delt inn i 2 deler: en tabell med verdier av $\sin$ og $\cos$ og en tabell med verdier på $ \tan$ og $\cot$.
Bradis-tabeller gjør det mulig å oppnå omtrentlige verdier av trigonometriske funksjoner med en nøyaktighet på opptil 4 desimaler.
Bruke Bradis-tabeller
Ved å bruke Bradis-tabellene for sinus finner vi $\sin17°42"$. For å gjøre dette finner vi verdien av grader - $17°$ i venstre kolonne i tabellen over sinus og cosinus, og i den øverste linjen vi finner verdien av minutter - $42"$. I skjæringspunktet deres får vi ønsket verdi:
$\sin17°42"=0,304$.
For å finne verdien $\sin17°44"$ må du bruke korreksjonen på høyre side av tabellen. I dette tilfellet, til verdien $42"$, som er i tabellen, må du legge til en korreksjon for $2 "$, som er lik $0,0006$. Vi får:
$\sin17°44"=0,304+0,0006=0,3046$.
For å finne verdien $\sin17°47"$ bruker vi også korreksjonen på høyre side av tabellen, bare i dette tilfellet tar vi verdien $\sin17°48"$ som grunnlag og trekker fra korreksjonen for $1"$ :
$\sin17°47"=0,3057-0,0003=0,3054$.
Når vi beregner cosinus, utfører vi lignende handlinger, men vi ser på gradene i høyre kolonne, og minuttene i den nederste kolonnen i tabellen. For eksempel $\cos20°=0,9397$.
Det er ingen korrigeringer for tangentverdier opp til $90°$ og liten vinkelkontangens. La oss for eksempel finne $\tan 78°37"$, som ifølge tabellen er lik $4.967$.
Tabell over verdier for trigonometriske funksjoner
Merk. Denne tabellen med trigonometriske funksjonsverdier bruker √-tegnet for å representere kvadratroten. For å indikere en brøk, bruk symbolet "/".
se også nyttige materialer:
Til bestemme verdien av en trigonometrisk funksjon, finn den i skjæringspunktet mellom linjen som indikerer den trigonometriske funksjonen. For eksempel, sinus 30 grader - vi ser etter kolonnen med overskriften sin (sinus) og finner skjæringspunktet mellom denne tabellkolonnen med raden "30 grader", i skjæringspunktet deres leser vi resultatet - halvparten. Tilsvarende finner vi kosinus 60 grader, sinus 60 grader (nok en gang, i skjæringspunktet mellom sin-kolonnen og 60-graderslinjen finner vi verdien sin 60 = √3/2), etc. Verdiene til sinus, cosinus og tangenter til andre "populære" vinkler finnes på samme måte.
Sinus pi, cosinus pi, tangent pi og andre vinkler i radianer
Tabellen nedenfor over cosinus, sinus og tangenter er også egnet for å finne verdien av trigonometriske funksjoner hvis argument er gitt i radianer. For å gjøre dette, bruk den andre kolonnen med vinkelverdier. Takket være dette kan du konvertere verdien av populære vinkler fra grader til radianer. La oss for eksempel finne vinkelen på 60 grader i den første linjen og lese verdien i radianer under den. 60 grader er lik π/3 radianer.
Tallet pi uttrykker entydig omkretsens avhengighet av vinkelens gradmål. Dermed er pi-radianer lik 180 grader.
Ethvert tall uttrykt i form av pi (radianer) kan enkelt konverteres til grader ved å erstatte pi (π) med 180.
Eksempler:
1. Sine pi.
sin π = sin 180 = 0
dermed er sinusen til pi den samme som sinusen til 180 grader og den er lik null.
2. Cosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
dermed er cosinus til pi den samme som cosinus på 180 grader, og den er lik minus én.
3. Tangent pi
tg π = tg 180 = 0
dermed er tangent pi det samme som tangent 180 grader, og det er lik null.
Tabell over sinus, cosinus, tangentverdier for vinkler 0 - 360 grader (vanlige verdier)
|
vinkel α verdi (grader) |
vinkel α verdi (via pi) |
synd (sinus) |
cos (kosinus) |
tg (tangens) |
ctg (cotangens) |
sek (sekant) |
cosec (cosecant) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
| 15 | π/12 | 2 - √3 | 2 + √3 | ||||
| 30 | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | 2/√3 | 2 |
| 45 | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √2 |
| 60 | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | 2 | 2/√3 |
| 75 | 5π/12 | 2 + √3 | 2 - √3 | ||||
| 90 | π/2 | 1 | 0 | - | 0 | - | 1 |
| 105 | 7π/12 |
- |
- 2 - √3 | √3 - 2 | |||
| 120 | 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 | -√3/3 | ||
| 135 | 3π/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 | -1 | -√2 | √2 |
| 150 | 5π/6 | 1/2 | -√3/2 | -√3/3 | -√3 | ||
| 180 | π | 0 | -1 | 0 | - | -1 | - |
| 210 | 7π/6 | -1/2 | -√3/2 | √3/3 | √3 | ||
| 240 | 4π/3 | -√3/2 | -1/2 | √3 | √3/3 | ||
| 270 | 3π/2 | -1 | 0 | - | 0 | - | -1 |
| 360 | 2π | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
Hvis det i tabellen over verdier for trigonometriske funksjoner er angitt en strek i stedet for funksjonsverdien (tangens (tg) 90 grader, cotangens (ctg) 180 grader), så for en gitt verdi av gradmålet for vinkelen funksjonen har ikke en bestemt verdi. Hvis det ikke er noen bindestrek, er cellen tom, noe som betyr at vi ennå ikke har lagt inn den nødvendige verdien. Vi er interessert i hvilke spørsmål brukere kommer til oss for og supplerer tabellen med nye verdier, til tross for at gjeldende data om verdiene til cosinus, sinus og tangenter til de vanligste vinkelverdiene er ganske tilstrekkelig til å løse de fleste problemer.
Tabell over verdier for trigonometriske funksjoner sin, cos, tg for de mest populære vinklene
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 grader
(numeriske verdier "i henhold til Bradis-tabeller")
| vinkel α verdi (grader) | vinkel α-verdi i radianer | synd (sinus) | cos (kosinus) | tg (tangens) | ctg (cotangens) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | ||||
| 15 |
0,2588 |
0,9659
|
0,2679 |
||
| 30 |
0,5000 |
0,5774 |
|||
| 45 |
0,7071 |
||||
|
0,7660 |
|||||
| 60 |
0,8660 |
0,5000
|
1,7321 |
||
|
7π/18 |
Laster inn...
