Forholdet mellom de grunnleggende trigonometriske funksjonene - sinus, cosinus, tangens og cotangens - er gitt trigonometriske formler. Og siden det er ganske mange sammenhenger mellom trigonometriske funksjoner, forklarer dette overfloden av trigonometriske formler. Noen formler forbinder trigonometriske funksjoner med samme vinkel, andre - funksjoner av flere vinkler, andre - lar deg redusere graden, fjerde - uttrykke alle funksjoner gjennom tangenten til en halv vinkel, etc.
I denne artikkelen vil vi liste opp alle de viktigste i rekkefølge trigonometriske formler, som er tilstrekkelig til å løse de aller fleste trigonometriproblemer. For å gjøre det enklere å huske og bruke, vil vi gruppere dem etter formål og legge dem inn i tabeller.
Sidenavigering.
Grunnleggende trigonometriske identiteter
Grunnleggende trigonometriske identiteter definere forholdet mellom sinus, cosinus, tangens og cotangens for en vinkel. De følger av definisjonen av sinus, cosinus, tangens og cotangens, samt begrepet enhetssirkelen. De lar deg uttrykke en trigonometrisk funksjon i form av en hvilken som helst annen.
For en detaljert beskrivelse av disse trigonometriformlene, deres utledning og eksempler på anvendelse, se artikkelen.
Reduksjonsformler
Reduksjonsformler følger av egenskapene til sinus, cosinus, tangens og cotangens, det vil si at de gjenspeiler egenskapen periodisitet trigonometriske funksjoner, egenskapen til symmetri, samt egenskapen til å skifte med en gitt vinkel. Disse trigonometriske formlene lar deg gå fra å jobbe med vilkårlige vinkler til å jobbe med vinkler fra null til 90 grader.
Begrunnelsen for disse formlene, en mnemonisk regel for å huske dem og eksempler på deres anvendelse kan studeres i artikkelen.
Addisjonsformler
Trigonometriske addisjonsformler vis hvordan trigonometriske funksjoner av summen eller forskjellen av to vinkler uttrykkes i form av trigonometriske funksjoner til disse vinklene. Disse formlene tjener som grunnlag for å utlede følgende trigonometriske formler.
Formler for dobbel, trippel osv. vinkel
Formler for dobbel, trippel osv. vinkel (de kalles også flere vinkelformler) viser hvordan trigonometriske funksjoner av dobbel, trippel, etc. vinkler () uttrykkes i form av trigonometriske funksjoner til en enkelt vinkel. Deres utledning er basert på addisjonsformler.
Mer detaljert informasjon er samlet i artikkelformlene for dobbel, trippel osv. vinkel
Halvvinkelformler
Halvvinkelformler vis hvordan trigonometriske funksjoner til en halv vinkel uttrykkes i form av cosinus til en hel vinkel. Disse trigonometriske formlene følger av formlene dobbel vinkel.
Deres konklusjon og eksempler på anvendelse finner du i artikkelen.
Formler for gradreduksjon
Trigonometriske formler for å redusere grader er ment å lette overgangen fra naturlige grader trigonometriske funksjoner til sinus og cosinus til første grad, men flere vinkler. Med andre ord lar de deg redusere kreftene til trigonometriske funksjoner til den første.
Formler for summen og differansen av trigonometriske funksjoner
Hovedgrunnen formler for summen og differansen av trigonometriske funksjoner er å gå til produktet av funksjoner, som er veldig nyttig når man forenkler trigonometriske uttrykk. Disse formlene er også mye brukt i løsningen trigonometriske ligninger, siden de lar deg faktorisere summen og forskjellen av sinus og cosinus.
Formler for produktet av sinus, cosinus og sinus for cosinus
Overgangen fra produktet av trigonometriske funksjoner til en sum eller forskjell utføres ved å bruke formlene for produktet av sinus, cosinus og sinus for cosinus.
Opphavsrett av smartstudenter
Alle rettigheter forbeholdt.
Beskyttet av lov om opphavsrett. Ingen del av www.nettstedet, inkludert internt materiale og utvendig design, kan ikke reproduseres i noen form eller brukes uten skriftlig forhåndstillatelse fra opphavsrettsinnehaveren.
Jeg vil ikke prøve å overbevise deg om ikke å skrive jukseark. Skrive! Inkludert jukseark om trigonometri. Senere planlegger jeg å forklare hvorfor jukseark er nødvendig og hvorfor jukseark er nyttige. Og her er informasjon om hvordan du ikke skal lære, men å huske noen trigonometriske formler. Altså - trigonometri uten jukseark!Vi bruker assosiasjoner for memorering.
1. Addisjonsformler:
Cosinus "kommer alltid i par": cosinus-cosinus, sinus-sinus.
Og en ting til: kosinus er "utilstrekkelig". "Alt er ikke riktig" for dem, så de endrer tegnene: "-" til "+", og omvendt.
Bihuler - "blanding": sinus-cosinus, cosinus-sinus.
2. Sum- og differanseformler:
kosinus "kommer alltid i par". Ved å legge til to cosinus - "koloboks", får vi et par cosinus - "koloboks". Og ved å trekke fra, vil vi definitivt ikke få noen koloboks. Vi får et par sines. Også med minus foran.
Bihuler - "blanding" :
3. Formler for å konvertere et produkt til en sum og differanse.
Når får vi et cosinuspar? Når vi legger til kosinus. Derfor
Når får vi et par sinus? Når du trekker fra cosinus. Herfra:
"Mixing" oppnås både når du adderer og subtraherer sinus. Hva er morsommere: legge til eller trekke fra? Det stemmer, fold. Og for formelen tar de tillegg:
I den første og tredje formelen står summen i parentes. Omorganisering av vilkårene endrer ikke summen. Rekkefølgen er bare viktig for den andre formelen. Men for å ikke bli forvirret, for å lette å huske, tar vi forskjellen i alle tre formlene i de første parentesene
og for det andre - beløpet
Jukseark i lommen gir deg trygghet: hvis du glemmer formelen, kan du kopiere den. Og de gir deg selvtillit: Hvis du ikke klarer å bruke jukselisten, kan du enkelt huske formlene.
Oftest stilte spørsmål
Er det mulig å lage et stempel på et dokument i henhold til prøven som er gitt? Svar Ja, det er mulig. Send til vår epostadresse skannet kopi eller bilde god kvalitet, og vi vil lage det nødvendige duplikatet.
Hvilke typer betaling aksepterer du?
Svar Du kan betale for dokumentet ved mottak av kureren, etter å ha kontrollert riktigheten av fullføringen og kvaliteten på utførelse av vitnemålet. Dette kan også gjøres på kontoret til postselskaper som tilbyr postoppkravstjenester.
Alle leverings- og betalingsbetingelser for dokumenter er beskrevet i delen "Betaling og levering". Vi er også klare til å lytte til dine forslag angående leveringsbetingelser og betaling for dokumentet.
Kan jeg være sikker på at du ikke forsvinner med pengene mine etter å ha lagt inn en bestilling? Svar Vi har ganske lang erfaring innen diplomproduksjon. Vi har flere nettsider som oppdateres kontinuerlig. Våre spesialister jobber i forskjellige hjørner land, og produserer over 10 dokumenter om dagen. Gjennom årene har våre dokumenter hjulpet mange mennesker med å løse ansettelsesproblemer eller gå over til høyere betalte jobber. Vi har opparbeidet oss tillit og anerkjennelse blant kunder, så det er absolutt ingen grunn for oss å gjøre dette. Dessuten er dette rett og slett umulig å gjøre fysisk: du betaler for bestillingen din når du mottar den i hendene, det er ingen forhåndsbetaling.
Kan jeg bestille et vitnemål fra et hvilket som helst universitet? Svar Generelt sett, ja. Vi har jobbet med dette feltet i nesten 12 år. I løpet av denne tiden ble det dannet en nesten komplett database med dokumenter utstedt av nesten alle universiteter i landet og utover. forskjellige år utstedelse. Alt du trenger er å velge et universitet, spesialitet, dokumentere og fylle ut bestillingsskjemaet.
Hva gjør du hvis du finner skrivefeil og feil i et dokument?
Svar Når du mottar et dokument fra vårt bud eller postselskap, anbefaler vi at du nøye sjekker alle detaljene. Hvis det blir funnet en skrivefeil, feil eller unøyaktighet, har du rett til ikke å hente vitnemålet, og du må oppgi de oppdagede manglene personlig til kureren eller til skriftlig ved å sende brev til e-post.
I så snart som mulig Vi vil korrigere dokumentet og sende det på nytt til den angitte adressen. Selvfølgelig vil frakten betales av vårt firma.
For å unngå slike misforståelser, før vi fyller ut det originale skjemaet, sender vi en e-post til kunden en mock-up av det fremtidige dokumentet for kontroll og godkjenning av den endelige versjonen. Før vi sender dokumentet med bud eller post, tar vi også flere bilder og videoer (inkludert i ultrafiolett lys) slik at du har en klar ide om hva du vil motta til slutt.
Hva skal jeg gjøre for å bestille et diplom fra din bedrift?
Svar For å bestille et dokument (sertifikat, vitnemål, akademisk sertifikat etc.), må du fylle ut online bestillingsskjemaet på nettsiden vår eller oppgi e-posten din slik at vi kan sende deg et søknadsskjema, som du må fylle ut og sende tilbake til oss.
Hvis du ikke vet hva du skal angi i noen felt i bestillingsskjemaet/spørreskjemaet, la dem stå tomme. Derfor vil vi avklare all manglende informasjon over telefon.
Siste anmeldelser
Alexei:
Jeg trengte å ta diplom for å få jobb som leder. Og det viktigste er at jeg har både erfaring og ferdigheter, men jeg kan ikke få jobb uten et dokument. Da jeg kom over siden din, bestemte jeg meg til slutt for å kjøpe et diplom. Diplomet ble gjennomført på 2 dager!! Nå har jeg en jobb jeg aldri har drømt om før!! Takk skal du ha!
Trigonometriske identiteter- dette er likheter som etablerer et forhold mellom sinus, cosinus, tangens og cotangens for en vinkel, som lar deg finne hvilken som helst av disse funksjonene, forutsatt at en hvilken som helst annen er kjent.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Denne identiteten sier at summen av kvadratet av sinusen til én vinkel og kvadratet av cosinus til én vinkel er lik én, noe som i praksis gjør det mulig å beregne sinusen til én vinkel når dens cosinus er kjent og vice versa .
Når du konverterer trigonometriske uttrykk, brukes denne identiteten veldig ofte, som lar deg erstatte summen av kvadratene til cosinus og sinus i en vinkel med en og også utføre erstatningsoperasjonen i motsatt rekkefølge.
Finne tangent og cotangens ved hjelp av sinus og cosinus
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Disse identitetene er dannet fra definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens. Tross alt, hvis du ser på det, så er ordinaten y per definisjon en sinus, og abscissen x er en cosinus. Da vil tangenten være lik forholdet \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), og forholdet \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- vil være en cotangens.
La oss legge til at bare for slike vinkler \alfa der de trigonometriske funksjonene som er inkludert i dem gir mening, vil identitetene holde, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
For eksempel: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) er gyldig for vinkler \alfa som er forskjellige fra \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- for en annen vinkel \alfa enn \pi z, er z et heltall.
Forholdet mellom tangent og cotangens
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Denne identiteten er kun gyldig for vinkler \alfa som er forskjellige fra \frac(\pi)(2) z. Ellers vil verken cotangens eller tangens bli bestemt.
Basert på punktene ovenfor får vi det tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg \alpha=\frac(x)(y). Det følger at tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Dermed er tangenten og cotangensen til samme vinkel som de gir mening ved, gjensidig inverse tall.
Forholdet mellom tangent og cosinus, cotangens og sinus
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- summen av kvadratet av tangenten til vinkelen \alfa og 1 er lik det inverse kvadratet av cosinus til denne vinkelen. Denne identiteten er gyldig for alle \alfa annet enn \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- summen av 1 og kvadratet av cotangensen til vinkelen \alfa er lik det inverse kvadratet til sinusen gitt vinkel. Denne identiteten er gyldig for alle \alfa forskjellig fra \pi z.
Eksempler med løsninger på problemer ved bruk av trigonometriske identiteter
Eksempel 1
Finn \sin \alpha og tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 Og \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Vis løsning
Løsning
Funksjonene \sin \alpha og \cos \alpha er relatert med formelen \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Bytter inn i denne formelen \cos \alpha = -\frac12, vi får:
\sin^(2)\alpha + \venstre (-\frac12 \right)^2 = 1
Denne ligningen har 2 løsninger:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
Etter tilstand \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . I andre kvartal er sinusen positiv, så \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
For å finne tan \alpha bruker vi formelen tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
Eksempel 2
Finn \cos \alpha og ctg \alpha hvis og \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Vis løsning
Løsning
Bytter inn i formelen \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 gitt nummer \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), vi får \venstre (\frac(\sqrt3)(2)\høyre)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Denne ligningen har to løsninger \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Etter tilstand \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . I andre kvartal er cosinus negativ, så \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
For å finne ctg \alpha bruker vi formelen ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Vi kjenner de tilsvarende verdiene.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
Laster inn...
