Konstruere en vinkel lik en gitt ved hjelp av et kompass. Anvendelse av geometriske konstruksjoner

Leksjonens mål:

• Dannelse av evnen til å analysere det studerte materialet og ferdighetene til å bruke det til å løse problemer;
• Vis betydningen av begrepene som studeres;
• Utvikling kognitiv aktivitet og uavhengighet i å tilegne seg kunnskap;
• Å dyrke interesse for faget og en følelse av skjønnhet.

Leksjonens mål:

• Utvikle ferdigheter i å konstruere en vinkel lik en gitt ved å bruke en målestokk, kompass, gradskive og tegnetrekant.
• Test elevenes problemløsningsevner.

Timeplan:

1. Gjentakelse.
2. Konstruere en vinkel lik en gitt.
3. Analyse.
4. Konstruksjonseksempel først.
5. Konstruksjonseksempel to.

Gjentakelse.

Hjørne.

Flat vinkel- en ubegrenset geometrisk figur dannet av to stråler (sidene av en vinkel) som kommer ut fra ett punkt (vinkelens toppunkt).

En vinkel kalles også en figur dannet av alle punkter i planet som er innelukket mellom disse strålene (Generelt sett tilsvarer to slike stråler to vinkler, siden de deler planet i to deler. En av disse vinklene kalles konvensjonelt indre, og annet - eksternt.
Noen ganger, for korthets skyld, kalles vinkelen vinkelmålet.

Det er et generelt akseptert symbol for å betegne en vinkel: , foreslått i 1634 av den franske matematikeren Pierre Erigon.

Hjørne er en geometrisk figur (fig. 1), dannet av to stråler OA og OB (sidene av vinkelen), som kommer fra ett punkt O (vinkelens toppunkt).

En vinkel er betegnet med et symbol og tre bokstaver som indikerer endene av strålene og toppunktet til vinkelen: AOB (og bokstaven til toppunktet er den midterste). Vinkler måles ved mengden rotasjon av strålen OA rundt toppunktet O til strålen OA beveger seg til posisjon OB. Det er to mye brukte enheter for å måle vinkler: radianer og grader. For radianmåling av vinkler, se nedenfor i avsnittet "Arc Length", samt i kapitlet "Trigonometri".

Gradsystem for måling av vinkler.

Her er måleenheten en grad (betegnelsen er °) - dette er en rotasjon av strålen med 1/360 av en full omdreining. Dermed, full sving stråle er lik 360 o. En grad er delt inn i 60 minutter (symbol '); ett minutt – henholdsvis i 60 sekunder (betegnelse “). En vinkel på 90° (fig. 2) kalles høyre; en vinkel mindre enn 90° (fig. 3) kalles spiss; en vinkel større enn 90° (fig. 4) kalles stump.

Rette linjer som danner en rett vinkel kalles gjensidig vinkelrett. Hvis linjene AB og MK er vinkelrette, er dette betegnet: AB MK.

Konstruere en vinkel lik en gitt.

Før du starter konstruksjon eller løser et problem, uansett emne, må du utføre analyse. Forstå hva oppgaven sier, les den nøye og sakte. Hvis du etter den første gangen er i tvil eller noe var uklart eller klart, men ikke helt, anbefales det å lese det på nytt. Hvis du gjør en oppgave i klassen, kan du spørre læreren. Ellers kan det hende at oppgaven din, som du har misforstått, ikke blir løst riktig, eller du kan finne noe som ikke er det som ble krevd av deg, og det vil bli ansett som feil og du må gjøre det på nytt. Når det gjelder meg - Det er bedre å bruke litt mer tid på å studere oppgaven enn å gjøre om oppgaven på nytt.

Analyse.

La a være den gitte strålen med toppunkt A, og vinkelen (ab) være den ønskede. La oss velge punktene B og C på henholdsvis strålene a og b. Ved å koble sammen punktene B og C får vi trekant ABC. I kongruente trekanter er de tilsvarende vinklene like, og det er her konstruksjonsmetoden følger. Hvis vi på sidene av en gitt vinkel velger punktene C og B på en praktisk måte, fra av denne strålen I et gitt halvplan konstruerer du en trekant AB 1 C 1 lik ABC (og dette kan gjøres hvis du kjenner alle sidene i trekanten), så vil problemet være løst.

Ved gjennomføring av evt konstruksjoner Vær ekstremt forsiktig og prøv å utføre alle konstruksjoner nøye. Siden eventuelle inkonsekvenser kan resultere i noen form for feil, avvik, som kan føre til feil svar. Og hvis en oppgave av denne typen utføres for første gang, vil feilen være svært vanskelig å finne og fikse.

Konstruksjonseksempel først.

La oss tegne en sirkel med sentrum i toppunktet til denne vinkelen. La B og C være skjæringspunktene for sirkelen med sidene av vinkelen. Med radius AB tegner vi en sirkel med sentrum i punktet A 1 – startpunktet til denne strålen. La oss betegne skjæringspunktet for denne sirkelen med denne strålen som B 1 . La oss beskrive en sirkel med sentrum ved B 1 og radius BC. Skjæringspunktet C 1 av de konstruerte sirklene i det angitte halvplanet ligger på siden av ønsket vinkel.

Trekanter ABC og A 1 B 1 C 1 er like på tre sider. Vinklene A og A 1 er de tilsvarende vinklene til disse trekantene. Derfor er ∠CAB = ∠C 1 A 1 B 1

For større klarhet kan du vurdere de samme konstruksjonene mer detaljert.

Konstruksjonseksempel to.

Oppgaven gjenstår også å sette av en vinkel fra en gitt halvlinje inn i et gitt halvplan lik denne vinkelen.

Konstruksjon.

Trinn 1. La oss tegne en sirkel med en vilkårlig radius og sentre ved toppunktet A i en gitt vinkel. La B og C være skjæringspunktene for sirkelen med sidene av vinkelen. Og la oss tegne segment BC.

Steg 2. La oss tegne en sirkel med radius AB med sentrum i punktet O - startpunktet for denne halvlinjen. La oss betegne skjæringspunktet for sirkelen med strålen som B 1 .

Trinn 3. Nå beskriver vi en sirkel med sentrum B 1 og radius BC. La punktet C 1 være skjæringspunktet mellom de konstruerte sirklene i det angitte halvplanet.

Trinn 4. La oss tegne en stråle fra punkt O til punkt C 1. Vinkel C 1 OB 1 vil være ønsket.

Bevis.

Trekanter ABC og OB 1 C 1 er kongruente trekanter med tilsvarende sider. Og derfor er vinklene CAB og C 1 OB 1 like.

Interessant fakta:

I tall.

I gjenstander fra omverdenen legger du først og fremst merke til deres individuelle egenskaper som skiller ett objekt fra et annet.

Overfloden av spesielle, individuelle egenskaper skjuler de generelle egenskapene som ligger i absolutt alle objekter, og derfor er det alltid vanskeligere å oppdage slike egenskaper.

En av de viktigste generelle egenskapene til objekter er at alle objekter kan telles og måles. Vi reflekterer dette generell eiendom objekter i tallbegrepet.

Folk mestret prosessen med å telle, det vil si tallbegrepet, veldig sakte, over århundrer, i en vedvarende kamp for deres eksistens.

For å telle må man ikke bare ha objekter som kan telles, men også allerede ha evnen til å abstrahere når man vurderer disse objektene fra alle deres andre egenskaper unntatt antall, og denne evnen er et resultat av en lang historisk utvikling basert på erfaring .

Hver person lærer nå å telle ved hjelp av tall umerkelig i barndommen, nesten samtidig med den tiden han begynner å snakke, men denne tellingen, som er kjent for oss, har gått gjennom en lang utviklingsvei og har tatt forskjellige former.

Det var en tid da bare to tall ble brukt til å telle objekter: en og to. I prosessen med ytterligere utvidelse av tallsystemet ble deler involvert Menneskekroppen og først av alt fingrene, og hvis denne typen "tall" ikke var nok, så også pinner, steiner og andre ting.

N. N. Miklouho-Maclay i sin bok "turer" snakker om en morsom tellemetode brukt av de innfødte på New Guinea:

Spørsmål:

1. Definere vinkel?
2. Hvilke typer vinkler finnes?
3. Hva er forskjellen mellom diameter og radius?

Liste over kilder som er brukt:

1. Mazur K. I. "Løse de viktigste konkurranseproblemene i matematikk i samlingen redigert av M. I. Skanavi"
2. Matematisk kunnskapsrik. B.A. Kordemsky. Moskva.
3. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "Geometri, 7 - 9: lærebok for utdanningsinstitusjoner"

Jobbet med leksjonen:

Levchenko V.S.

Poturnak S.A.

Still et spørsmål om moderne utdanning, uttrykke en idé eller løse et presserende problem, kan du Pedagogisk forum, hvor på internasjonalt nivå et pedagogisk råd med nye tanker og handlinger samles. Etter å ha skapt blogg, Du vil ikke bare forbedre din status som kompetent lærer, men også gi et betydelig bidrag til utviklingen av fremtidens skole. Gilde av pedagogiske ledereåpner dører for topprangerte spesialister og inviterer dem til å samarbeide om å skape de beste skolene i verden.

Fag > Matematikk > Matematikk 7. klasse

Evnen til å dele en hvilken som helst vinkel med en halveringslinje er ikke bare nødvendig for å få en "A" i matematikk. Denne kunnskapen vil være svært nyttig for byggherrer, designere, landmålere og dressmakere. I livet må du kunne dele mange ting i to. Alle på skolen...

Konjugering er en jevn overgang fra en linje til en annen. For å finne en kompis, må du bestemme punktene og midten, og deretter tegne det tilsvarende skjæringspunktet. For å løse et slikt problem, må du bevæpne deg med en linjal ...

Konjugering er en jevn overgang fra en linje til en annen. Konjugater brukes veldig ofte i en rekke tegninger når du kobler sammen vinkler, sirkler og buer og rette linjer. Bygging av en seksjon - ganske ikke en lett oppgave, som du...

Når du konstruerer forskjellige geometriske former, er det noen ganger nødvendig å bestemme deres egenskaper: lengde, bredde, høyde og så videre. Hvis vi snakker om om en sirkel eller sirkel, må du ofte bestemme diameteren. Diameteren er...

En trekant kalles en rettvinklet trekant hvis vinkelen ved en av toppene er 90°. Siden motsatt denne vinkelen kalles hypotenusen, og sidene motsatt de to spisse vinklene i trekanten kalles bena. Hvis lengden på hypotenusen er kjent...

Oppgaver for å konstruere vanlige geometriske former trener romoppfatning og logikk. Finnes et stort nummer av veldig enkle oppgaver av denne typen. Løsningen deres kommer ned til å modifisere eller kombinere allerede...

Halveringslinjen til en vinkel er en stråle som begynner ved vinkelens toppunkt og deler den i to like deler. De. For å tegne en halveringslinje, må du finne midtpunktet til vinkelen. Den enkleste måten å gjøre dette på er med et kompass. I dette tilfellet trenger du ikke...

Når du bygger eller utvikler boligdesignprosjekter, er det ofte nødvendig å bygge en vinkel lik en eksisterende. Maler kommer til unnsetning skolekunnskap geometri. Instruksjoner 1En vinkel dannes av to rette linjer som kommer fra ett punkt. Dette punktet...

Medianen til en trekant er et segment som forbinder noen av hjørnene i trekanten med midten motsatt side. Derfor er problemet med å konstruere en median ved hjelp av et kompass og linjal redusert til problemet med å finne midtpunktet til et segment. Du vil trenge-…

En median er et segment tegnet fra et bestemt hjørne av en polygon til en av sidene på en slik måte at skjæringspunktet mellom medianen og siden er midtpunktet på denne siden. Du trenger - et kompass - en linjal - en blyant Instruksjoner 1 La den gitte...

Denne artikkelen vil fortelle deg hvordan du bruker et kompass til å tegne en vinkelrett på et gitt segment gjennom et bestemt punkt som ligger på dette segmentet. Trinn 1Se på segmentet (rett linje) gitt til deg og punktet (angitt som A) som ligger på det.2 Installer nålen...

Denne artikkelen vil fortelle deg hvordan du tegner en linje parallelt med en gitt linje og passerer gjennom et gitt punkt. Trinn Metode 1 av 3: Langs vinkelrette linjer 1 Merk den gitte linjen som "m" og det gitte punktet som A. 2 Gjennom punkt A tegne...

Denne artikkelen vil fortelle deg hvordan du konstruerer en halveringslinje med en gitt vinkel (en halveringslinje er en stråle som deler vinkelen i to). Trinn 1Se på vinkelen som er gitt deg.2Finn toppunktet til vinkelen.3Plasser kompassnålen ved toppunktet av vinkelen og tegn en bue som skjærer sidene av vinkelen...

Når du bygger eller utvikler boligdesignprosjekter, er det ofte nødvendig å bygge en vinkel lik en eksisterende. Maler og skolekunnskaper om geometri kommer til unnsetning.

Bruksanvisning

• En vinkel er dannet av to rette linjer som kommer fra ett punkt. Dette punktet vil bli kalt toppunktet til vinkelen, og linjene vil være sidene av vinkelen.
• Bruk tre bokstaver for å representere hjørner: en på toppen, to på sidene. Vinkelen er navngitt som starter med bokstaven som står på den ene siden, deretter kalles bokstaven som står på toppen, og deretter bokstaven på den andre siden. Bruk andre måter å angi vinkler på hvis du foretrekker noe annet. Noen ganger er bare én bokstav navngitt, som er øverst. Kan du markere vinklene? greske bokstaver for eksempel α, β, γ.
• Det er situasjoner når det er nødvendig å tegne en vinkel slik at den er lik en allerede gitt vinkel. Hvis det ikke er mulig å bruke vinkelmåler når du konstruerer en tegning, kan du bare klare deg med linjal og kompass. La oss si at på en rett linje merket på tegningen med bokstavene MN, må du konstruere en vinkel ved punkt K, slik at den er lik vinkel B. Det vil si at fra punkt K er det nødvendig å tegne en rett linje som danner en vinkel med linjen MN, som vil være lik vinkel B.
• Merk først et punkt på hver side av en gitt vinkel, for eksempel punktene A og C, og koble deretter punktene C og A med en rett linje. Få trekant ABC.
• Konstruer nå den samme trekanten på linjen MN slik at toppunktet B er på linjen i punktet K. Bruk regelen for å konstruere en trekant på tre sider. Legg av segmentet KL fra punkt K. Det må være lik segmentet BC. Få L-punktet.
• Fra punkt K tegner du en sirkel med radius lik segment BA. Fra L tegner du en sirkel med radius CA. Koble det resulterende skjæringspunktet (P) av to sirkler med K. Skaff en trekant KPL, som vil være lik en trekant ABC. På denne måten vil du få vinkel K. Den vil være lik vinkel B. For å gjøre denne konstruksjonen mer praktisk og raskere, sett av like segmenter fra toppunktet B, ved å bruke en kompassåpning, uten å flytte bena, beskriv en sirkel med samme radius fra punkt K.

I konstruksjonsproblemer vil vi vurdere konstruksjonen geometrisk figur som kan gjøres ved hjelp av linjal og kompass.

Ved å bruke en linjal kan du:

vilkårlig rett linje;

en vilkårlig rett linje som går gjennom et gitt punkt;

en rett linje som går gjennom to gitte punkter.

Ved hjelp av et kompass du kan beskrive fra av dette senteret sirkel med gitt radius.

Ved å bruke et kompass kan du plotte et segment på en gitt linje fra et gitt punkt.

La oss vurdere de viktigste byggeoppgavene.

Oppgave 1. Konstruer en trekant med gitte sider a, b, c (fig. 1).

Løsning. Bruk en linjal, tegn en vilkårlig rett linje og ta på den et vilkårlig punkt B. Ved hjelp av en kompassåpning lik a beskriver vi en sirkel med sentrum B og radius a. La C være skjæringspunktet med linjen. Med en kompassåpning lik c beskriver vi en sirkel fra sentrum B, og med en kompassåpning lik b beskriver vi en sirkel fra sentrum C. La A være skjæringspunktet for disse sirklene. Trekant ABC har sider lik a, b, c.

Kommentar. For at tre rette segmenter skal tjene som sider i en trekant, er det nødvendig at den største av dem er mindre enn summen av de to andre (og< b + с).

Oppgave 2.

Løsning. Denne vinkelen med toppunkt A og strålen OM er vist i figur 2.

La oss tegne en vilkårlig sirkel med sentrum i toppunktet A av den gitte vinkelen. La B og C være skjæringspunktene for sirkelen med sidene av vinkelen (fig. 3, a). Med radius AB tegner vi en sirkel med sentrum i punktet O - startpunktet til denne strålen (fig. 3, b). La oss betegne skjæringspunktet for denne sirkelen med denne strålen som C 1 . La oss beskrive en sirkel med sentrum C 1 og radius BC. Punkt B 1 i skjæringspunktet mellom to sirkler ligger på siden av ønsket vinkel. Dette følger av likheten Δ ABC = Δ OB 1 C 1 (det tredje tegnet på likhet i trekanter).

Oppgave 3. Konstruer halveringslinjen til denne vinkelen (fig. 4).

Løsning. Fra toppunktet A i en gitt vinkel, som fra sentrum, tegner vi en sirkel med vilkårlig radius. La B og C være punktene for skjæringspunktet med sidene av vinkelen. Fra punktene B og C beskriver vi sirkler med samme radius. La D være deres skjæringspunkt, forskjellig fra A. Stråle AD halverer vinkel A. Dette følger av likheten Δ ABD = Δ ACD (det tredje kriteriet for trekanters likhet).

Oppgave 4. Tegn en vinkelrett halveringslinje til dette segmentet (fig. 5).

Løsning. Ved hjelp av en vilkårlig, men identisk kompassåpning (større enn 1/2 AB), beskriver vi to buer med senter i punktene A og B, som vil skjære hverandre i noen punkter C og D. Den rette linjen CD vil være den ønskede perpendikulæren. Faktisk, som det kan sees fra konstruksjonen, er hvert av punktene C og D like langt fra A og B; derfor må disse punktene ligge på den vinkelrette halveringslinjen til segment AB.

Oppgave 5. Dele opp dette segmentet i halvparten. Det løses på samme måte som oppgave 4 (se fig. 5).

Oppgave 6. Gjennom et gitt punkt tegne en linje vinkelrett på den gitte linjen.

Løsning. Det er to mulige tilfeller:

1) gitt poeng O ligger på en gitt rett linje a (fig. 6).

Fra punkt O tegner vi en sirkel med vilkårlig radius som skjærer linje a ved punktene A og B. Fra punktene A og B tegner vi sirkler med samme radius. La O 1 være skjæringspunktet deres, forskjellig fra O. Vi får OO 1 ⊥ AB. Faktisk er punktene O og O 1 like langt fra endene av segmentet AB og ligger derfor på den vinkelrette halveringslinjen til dette segmentet.