Et av matematikkområdene elevene sliter mest med er trigonometri. Det er ikke overraskende: for å fritt kunne mestre dette kunnskapsområdet trenger du romlig tenkning, evnen til å finne sinus, cosinus, tangenter, cotangens ved hjelp av formler, forenkle uttrykk og kunne bruke tallet pi i beregninger. I tillegg må du kunne bruke trigonometri når du skal bevise teoremer, og dette krever enten et utviklet matematisk minne eller evnen til å utlede komplekse logiske kjeder.
Opprinnelsen til trigonometri
Å bli kjent med denne vitenskapen bør begynne med definisjonen av sinus, cosinus og tangens av en vinkel, men først må du forstå hva trigonometri gjør generelt.
Historisk sett var hovedobjektet for studiet i denne grenen av matematisk vitenskap rette trekanter. Tilstedeværelsen av en vinkel på 90 grader gjør det mulig å utføre forskjellige operasjoner som lar en bestemme verdiene til alle parametere til den aktuelle figuren ved å bruke to sider og en vinkel eller to vinkler og en side. Tidligere la folk merke til dette mønsteret og begynte å bruke det aktivt i bygging av bygninger, navigasjon, astronomi og til og med i kunst.
Første etappe
Opprinnelig snakket folk om forholdet mellom vinkler og sider utelukkende ved å bruke eksemplet med rette trekanter. Da ble det oppdaget spesielle formler som gjorde det mulig å utvide bruksgrensene i hverdagen til denne grenen av matematikk.
Studiet av trigonometri i skolen i dag begynner med rette trekanter, hvoretter elevene bruker den tilegnete kunnskapen i fysikk og løse abstrakte trigonometriske ligninger, som begynner på videregående.
Sfærisk trigonometri
Senere, da vitenskapen nådde neste utviklingsnivå, begynte formler med sinus, cosinus, tangens og cotangens å bli brukt i sfærisk geometri, der forskjellige regler gjelder, og summen av vinklene i en trekant alltid er mer enn 180 grader. Denne delen blir ikke studert på skolen, men det er nødvendig å vite om dens eksistens, i det minste fordi jordoverflaten, og overflaten til enhver annen planet, er konveks, noe som betyr at enhver overflatemarkering vil være "bueformet" i tredimensjonalt rom.
Ta kloden og tråden. Fest tråden til to punkter på jordkloden slik at den er stram. Vær oppmerksom på at den har fått form av en bue. Sfærisk geometri omhandler slike former, som brukes innen geodesi, astronomi og andre teoretiske og anvendte felt.
Høyre trekant
Etter å ha lært litt om måtene å bruke trigonometri på, la oss gå tilbake til grunnleggende trigonometri for å forstå ytterligere hva sinus, cosinus, tangent er, hvilke beregninger som kan utføres med deres hjelp og hvilke formler som skal brukes.
Det første trinnet er å forstå begrepene knyttet til en rettvinklet trekant. For det første er hypotenusen siden motsatt 90 graders vinkel. Det er den lengste. Vi husker at ifølge Pythagoras teorem er dens numeriske verdi lik roten av summen av kvadratene til de to andre sidene.
For eksempel, hvis de to sidene er henholdsvis 3 og 4 centimeter, vil lengden på hypotenusen være 5 centimeter. Forresten, de gamle egypterne visste om dette for rundt fire og et halvt tusen år siden.
De to gjenværende sidene, som danner en rett vinkel, kalles ben. I tillegg må vi huske at summen av vinklene i en trekant i et rektangulært koordinatsystem er lik 180 grader.
Definisjon
Til slutt, med en solid forståelse av det geometriske grunnlaget, kan man vende seg til definisjonen av sinus, cosinus og tangens til en vinkel.
Sinusen til en vinkel er forholdet mellom det motsatte benet (dvs. siden motsatt ønsket vinkel) og hypotenusen. Cosinus til en vinkel er forholdet mellom den tilstøtende siden og hypotenusen.
Husk at verken sinus eller cosinus kan være større enn én! Hvorfor? Fordi hypotenusen som standard er den lengste. Uansett hvor lang benet er, vil den være kortere enn hypotenusen, noe som betyr at forholdet alltid vil være mindre enn én. Derfor, hvis du i svaret på et problem får en sinus eller cosinus med en verdi større enn 1, se etter en feil i beregningene eller resonnementet. Dette svaret er åpenbart feil.
Til slutt er tangenten til en vinkel forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side. Å dele sinus på cosinus vil gi samme resultat. Se: i henhold til formelen deler vi lengden på siden med hypotenusen, deler deretter med lengden på den andre siden og multipliserer med hypotenusen. Dermed får vi samme sammenheng som i definisjonen av tangent.
Cotangens er følgelig forholdet mellom siden ved siden av hjørnet og motsatt side. Vi får samme resultat ved å dele en på tangenten.
Så vi har sett på definisjonene av hva sinus, cosinus, tangens og cotangens er, og vi kan gå videre til formler.
De enkleste formlene
I trigonometri kan du ikke klare deg uten formler - hvordan finne sinus, cosinus, tangens, cotangens uten dem? Men det er nettopp dette som kreves når man skal løse problemer.
Den første formelen du trenger å vite når du begynner å studere trigonometri sier at summen av kvadratene til sinus og cosinus i en vinkel er lik én. Denne formelen er en direkte konsekvens av Pythagoras teorem, men den sparer tid hvis du trenger å vite størrelsen på vinkelen i stedet for siden.
Mange elever kan ikke huske den andre formelen, som også er veldig populær når de løser skoleoppgaver: summen av en og kvadratet av tangens til en vinkel er lik en delt på kvadratet av vinkelens cosinus. Ta en nærmere titt: dette er det samme utsagnet som i den første formelen, bare begge sider av identiteten ble delt med kvadratet av cosinus. Det viser seg at en enkel matematisk operasjon gjør den trigonometriske formelen helt ugjenkjennelig. Husk: Når du vet hva sinus, cosinus, tangens og cotangens er, transformasjonsregler og flere grunnleggende formler, kan du når som helst utlede de nødvendige mer komplekse formlene på et ark.
Formler for doble vinkler og addisjon av argumenter
Ytterligere to formler du trenger å lære er relatert til verdiene av sinus og cosinus for summen og differansen av vinkler. De er presentert i figuren nedenfor. Vær oppmerksom på at i det første tilfellet multipliseres sinus og cosinus begge ganger, og i det andre blir det parvise produktet av sinus og cosinus lagt til.
Det er også formler knyttet til dobbeltvinkelargumenter. De er fullstendig avledet fra de forrige - som en praksis, prøv å få dem selv ved å ta alfavinkelen lik betavinkelen.
Til slutt, merk at formler med dobbel vinkel kan omorganiseres for å redusere kraften til sinus, cosinus, tangent alfa.
Teoremer
De to hovedsetningene i grunnleggende trigonometri er sinussetningen og cosinussetningen. Ved hjelp av disse teoremene kan du enkelt forstå hvordan du finner sinus, cosinus og tangent, og derfor arealet av figuren, og størrelsen på hver side, etc.
Sinussetningen sier at å dele lengden på hver side av en trekant med den motsatte vinkelen resulterer i samme tall. Dessuten vil dette tallet være lik to radier av den omskrevne sirkelen, det vil si sirkelen som inneholder alle punktene i en gitt trekant.
Cosinussetningen generaliserer Pythagoras setning, og projiserer den på alle trekanter. Det viser seg at fra summen av kvadratene til de to sidene, trekker du produktet deres multiplisert med den doble cosinus til den tilstøtende vinkelen - den resulterende verdien vil være lik kvadratet på den tredje siden. Dermed viser Pythagorean-setningen seg å være et spesialtilfelle av cosinus-teoremet.
Uforsiktige feil
Selv når man vet hva sinus, cosinus og tangens er, er det lett å gjøre en feil på grunn av fravær eller feil i de enkleste beregningene. For å unngå slike feil, la oss ta en titt på de mest populære.
For det første bør du ikke konvertere brøker til desimaler før du får det endelige resultatet – du kan la svaret stå som brøk med mindre annet er angitt i betingelsene. En slik transformasjon kan ikke kalles en feil, men det bør huskes at på hvert stadium av problemet kan nye røtter dukke opp, som ifølge forfatterens idé bør reduseres. I dette tilfellet vil du kaste bort tiden din på unødvendige matematiske operasjoner. Dette gjelder spesielt for verdier som roten av tre eller roten av to, fordi de finnes i problemer på hvert trinn. Det samme gjelder avrunding av «stygge» tall.
Merk videre at cosinus-setningen gjelder for alle trekanter, men ikke Pythagoras setning! Hvis du feilaktig glemmer å trekke fra to ganger produktet av sidene multiplisert med cosinus til vinkelen mellom dem, vil du ikke bare få et helt feil resultat, men du vil også demonstrere en fullstendig mangel på forståelse av emnet. Dette er verre enn en uforsiktig feil.
For det tredje, ikke forveksle verdiene for vinkler på 30 og 60 grader for sinus, cosinus, tangenter, cotangenter. Husk disse verdiene, fordi sinus på 30 grader er lik cosinus på 60, og omvendt. Det er lett å forvirre dem, som et resultat av at du uunngåelig vil få et feilaktig resultat.
applikasjon
Mange studenter har ikke hastverk med å begynne å studere trigonometri fordi de ikke forstår dens praktiske betydning. Hva er sinus, cosinus, tangens for en ingeniør eller astronom? Dette er konsepter som du kan bruke til å beregne avstanden til fjerne stjerner, forutsi fallet til en meteoritt eller sende en forskningssonde til en annen planet. Uten dem er det umulig å bygge en bygning, designe en bil, beregne belastningen på en overflate eller banen til et objekt. Og dette er bare de mest åpenbare eksemplene! Tross alt brukes trigonometri i en eller annen form overalt, fra musikk til medisin.
Endelig
Så du er sinus, cosinus, tangens. Du kan bruke dem i beregninger og løse skoleproblemer.
Hele poenget med trigonometri kommer ned til det faktum at ved å bruke de kjente parameterne til en trekant må du beregne de ukjente. Det er seks parametere totalt: lengden på tre sider og størrelsen på tre vinkler. Den eneste forskjellen i oppgavene ligger i at det gis ulike inputdata.
Du vet nå hvordan du finner sinus, cosinus, tangens basert på de kjente lengdene på bena eller hypotenusen. Siden disse begrepene ikke betyr noe mer enn et forhold, og et forhold er en brøk, er hovedmålet med et trigonometriproblem å finne røttene til en vanlig ligning eller et likningssystem. Og her vil vanlig skolematematikk hjelpe deg.
Vi vil begynne studiet av trigonometri med den rette trekanten. La oss definere hva sinus og cosinus er, samt tangent og cotangens for en spiss vinkel. Dette er det grunnleggende om trigonometri.
La oss minne deg på det rett vinkel er en vinkel lik 90 grader. Med andre ord en halv dreiet vinkel.
Skarpt hjørne- mindre enn 90 grader.
Stump vinkel- større enn 90 grader. I forhold til en slik vinkling er ikke "stump" en fornærmelse, men et matematisk begrep :-)
La oss tegne en rettvinklet trekant. En rett vinkel er vanligvis betegnet med . Vær oppmerksom på at siden motsatt hjørnet er angitt med samme bokstav, bare liten. Dermed er siden motsatt vinkel A betegnet .
Vinkelen er angitt med den tilsvarende greske bokstaven.
Hypotenus av en rettvinklet trekant er siden motsatt den rette vinkelen.
Ben- sider som ligger motsatte spisse vinkler.
Benet som ligger motsatt vinkelen kalles motsatte(i forhold til vinkel). Det andre benet, som ligger på en av sidene av vinkelen, kalles ved siden av.
Sinus Den spisse vinkelen i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og hypotenusen:
Cosinus spiss vinkel i en rettvinklet trekant - forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen:
Tangent spiss vinkel i en rettvinklet trekant - forholdet mellom den motsatte siden og den tilstøtende:
En annen (tilsvarende) definisjon: tangenten til en spiss vinkel er forholdet mellom vinkelens sinus og cosinus:
Cotangens spiss vinkel i en rettvinklet trekant - forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte (eller, som er det samme, forholdet mellom cosinus og sinus):
Legg merke til de grunnleggende forholdene for sinus, cosinus, tangens og cotangens nedenfor. De vil være nyttige for oss når vi løser problemer.
La oss bevise noen av dem.
Ok, vi har gitt definisjoner og skrevet ned formler. Men hvorfor trenger vi fortsatt sinus, cosinus, tangens og cotangens?
Vi vet det summen av vinklene til en hvilken som helst trekant er lik.
Vi kjenner forholdet mellom fester høyre trekant. Dette er Pythagoras teorem: .
Det viser seg at når du kjenner to vinkler i en trekant, kan du finne den tredje. Når du kjenner de to sidene av en rettvinklet trekant, kan du finne den tredje. Dette betyr at vinklene har sitt eget forhold, og sidene har sitt eget. Men hva skal du gjøre hvis du i en rettvinklet trekant kjenner én vinkel (unntatt den rette vinkelen) og én side, men du må finne de andre sidene?
Dette er hva folk tidligere møtte når de lagde kart over området og stjernehimmelen. Det er tross alt ikke alltid mulig å måle alle sidene av en trekant direkte.
Sinus, cosinus og tangens – de kalles også trigonometriske vinkelfunksjoner- gi relasjoner mellom fester Og hjørner triangel. Når du kjenner vinkelen, kan du finne alle trigonometriske funksjoner ved hjelp av spesielle tabeller. Og når du kjenner sinus, cosinus og tangens til vinklene til en trekant og en av sidene, kan du finne resten.
Vi vil også tegne en tabell over verdiene for sinus, cosinus, tangens og cotangens for "gode" vinkler fra til.
Vær oppmerksom på de to røde strekene i tabellen. Ved passende vinkelverdier eksisterer ikke tangent og cotangens.
La oss se på flere trigonometriproblemer fra FIPI Task Bank.
1. I en trekant er vinkelen , . Finn .
Problemet er løst på fire sekunder.
Fordi det , .
2. I en trekant er vinkelen , , . Finn .
La oss finne det ved å bruke Pythagoras teorem.
Problemet er løst.
Ofte i oppgaver er det trekanter med vinkler og eller med vinkler og. Husk de grunnleggende forholdstallene for dem utenat!
For en trekant med vinkler og benet motsatt vinkelen på er lik halvparten av hypotenusen.
En trekant med vinkler og er likebenet. I den er hypotenusen ganger større enn benet.
Vi så på problemer med å løse rette trekanter – det vil si å finne ukjente sider eller vinkler. Men det er ikke alt! Det er mange problemer i Unified State Examination i matematikk som involverer sinus, cosinus, tangens eller cotangens av en ytre vinkel i en trekant. Mer om dette i neste artikkel.
Hva som er sinus, cosinus, tangens, cotangens av en vinkel vil hjelpe deg å forstå en rettvinklet trekant.
Hva kalles sidene i en rettvinklet trekant? Det er riktig, hypotenusa og ben: hypotenusen er siden som ligger motsatt den rette vinkelen (i vårt eksempel er dette siden \(AC\)); bena er de to gjenværende sidene \(AB\) og \(BC\) (de som grenser til den rette vinkelen), og hvis vi ser på bena i forhold til vinkelen \(BC\), så er bena \(AB\) det tilstøtende benet, og benet \(BC\) er motsatt. Så la oss nå svare på spørsmålet: hva er sinus, cosinus, tangens og cotangens av en vinkel?
Sinus av vinkel– dette er forholdet mellom det motsatte (fjerne) benet og hypotenusen.
I vår trekant:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Cosinus av vinkel– dette er forholdet mellom det tilstøtende (nære) benet og hypotenusen.
I vår trekant:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Tangent av vinkelen– dette er forholdet mellom den motsatte (fjerne) siden til den tilstøtende (nære).
I vår trekant:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Kotangens av vinkel– dette er forholdet mellom det tilstøtende (nære) benet og det motsatte (langt).
I vår trekant:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Disse definisjonene er nødvendige huske! For å gjøre det lettere å huske hvilket ben du skal dele inn i hva, må du tydelig forstå det i tangent Og cotangens bare bena sitter, og hypotenusen vises bare i sinus Og kosinus. Og så kan du komme opp med en kjede av assosiasjoner. For eksempel denne:
Cosinus→berøring→berøring→tilstøtende;
Kotangens→berøring→berøring→tilstøtende.
Først av alt må du huske at sinus, cosinus, tangens og cotangens, da forholdet mellom sidene i en trekant ikke avhenger av lengdene på disse sidene (i samme vinkel). Tror ikke? Pass deretter på ved å se på bildet:
Tenk for eksempel på cosinus til vinkelen \(\beta \) . Per definisjon, fra en trekant \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), men vi kan beregne cosinus til vinkelen \(\beta \) fra trekanten \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Du ser, lengdene på sidene er forskjellige, men verdien av cosinus til en vinkel er den samme. Dermed avhenger verdiene av sinus, cosinus, tangens og cotangens utelukkende av størrelsen på vinkelen.
Hvis du forstår definisjonene, så fortsett og konsolider dem!
For trekanten \(ABC \) vist i figuren under finner vi \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(array) \)
Vel, fikk du det? Så prøv selv: beregn det samme for vinkelen \(\beta \) .
Svar: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Enhetssirkel (trigonometrisk).
For å forstå begrepene grader og radianer, betraktet vi en sirkel med en radius lik \(1\) . En slik sirkel kalles enkelt. Det vil være veldig nyttig når du studerer trigonometri. La oss derfor se litt mer detaljert på det.
Som du kan se, er denne sirkelen konstruert i det kartesiske koordinatsystemet. Sirkelens radius er lik én, mens sentrum av sirkelen ligger ved opprinnelsen til koordinatene, er startposisjonen til radiusvektoren fast langs den positive retningen til \(x\)-aksen (i vårt eksempel er dette er radiusen \(AB\)).
Hvert punkt på sirkelen tilsvarer to tall: koordinaten langs \(x\)-aksen og koordinaten langs \(y\)-aksen. Hva er disse koordinattallene? Og generelt, hva har de med emnet å gjøre? For å gjøre dette må vi huske på den betraktede rettvinklet. I figuren over kan du se to hele rette trekanter. Tenk på trekanten \(ACG\) . Den er rektangulær fordi \(CG\) er vinkelrett på \(x\)-aksen.
Hva er \(\cos \ \alpha \) fra trekanten \(ACG \)? Det er riktig \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). I tillegg vet vi at \(AC\) er radiusen til enhetssirkelen, som betyr \(AC=1\) . La oss erstatte denne verdien i formelen vår for cosinus. Her er hva som skjer:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
Hva er \(\sin \ \alpha \) fra trekanten \(ACG \) lik? Selvfølgelig, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Bytt inn verdien av radiusen \(AC\) i denne formelen og få:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Så, kan du si hvilke koordinater punktet \(C\) som tilhører sirkelen har? Vel, ingen måte? Hva om du innser at \(\cos \ \alpha \) og \(\sin \alpha \) bare er tall? Hvilken koordinat tilsvarer \(\cos \alpha \)? Vel, selvfølgelig, koordinaten \(x\)! Og hvilken koordinat tilsvarer \(\sin \alpha \)? Det stemmer, koordinere \(y\)! Så poenget \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
Hva er da \(tg \alpha \) og \(ctg \alpha \) lik? Det stemmer, la oss bruke de tilsvarende definisjonene av tangent og cotangens og få det \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
Hva om vinkelen er større? For eksempel, som på dette bildet:
Hva har endret seg i dette eksemplet? La oss finne ut av det. For å gjøre dette, la oss snu igjen til en rettvinklet trekant. Tenk på en rettvinklet trekant \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : vinkel (som ved siden av vinkel \(\beta \) ). Hva er verdien av sinus, cosinus, tangens og cotangens for en vinkel \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Det er riktig, vi holder oss til de tilsvarende definisjonene av trigonometriske funksjoner:
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\vinkel ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\vinkel ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)
Vel, som du kan se, tilsvarer verdien av sinusen til vinkelen fortsatt koordinaten \(y\) ; verdien av cosinus til vinkelen - koordinat \(x\) ; og verdiene av tangent og cotangens til de tilsvarende forholdene. Dermed gjelder disse relasjonene for enhver rotasjon av radiusvektoren.
Det er allerede nevnt at startposisjonen til radiusvektoren er langs den positive retningen til \(x\)-aksen. Så langt har vi rotert denne vektoren mot klokken, men hva skjer hvis vi roterer den med klokken? Ikke noe ekstraordinært, du vil også få en vinkel med en viss verdi, men bare den vil være negativ. Når vi roterer radiusvektoren mot klokken, får vi altså positive vinkler, og når du roterer med klokken – negativ.
Så vi vet at hele omdreiningen til radiusvektoren rundt sirkelen er \(360()^\sirkel \) eller \(2\pi \) . Er det mulig å rotere radiusvektoren med \(390()^\sirkel \) eller med \(-1140()^\sirkel \)? Vel, selvfølgelig kan du det! I det første tilfellet, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), dermed vil radiusvektoren gjøre en hel omdreining og stoppe ved posisjonen \(30()^\circ \) eller \(\dfrac(\pi )(6) \) .
I det andre tilfellet, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), det vil si at radiusvektoren vil gjøre tre hele omdreininger og stoppe ved posisjonen \(-60()^\circ \) eller \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Fra eksemplene ovenfor kan vi konkludere med at vinkler som avviker med \(360()^\circ \cdot m \) eller \(2\pi \cdot m \) (hvor \(m \) er et hvilket som helst heltall ), tilsvarer den samme posisjonen til radiusvektoren.
Figuren under viser vinkelen \(\beta =-60()^\circ \) . Det samme bildet tilsvarer hjørnet \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) etc. Denne listen kan fortsettes på ubestemt tid. Alle disse vinklene kan skrives med den generelle formelen \(\beta +360()^\circ \cdot m\) eller \(\beta +2\pi \cdot m \) (hvor \(m \) er et hvilket som helst heltall)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)
Nå, når du kjenner definisjonene av de grunnleggende trigonometriske funksjonene og bruker enhetssirkelen, prøv å svare på hva verdiene er:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\tekst(tg)\ 180()^\circ =\tekst(tg)\ \pi =?\\\tekst(ctg)\ 180()^\circ =\tekst(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\tekst (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\tekst (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)
Her er en enhetssirkel for å hjelpe deg:
Har du vanskeligheter? Så la oss finne ut av det. Så vi vet at:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(array)\)
Herfra bestemmer vi koordinatene til punktene som tilsvarer visse vinkelmål. Vel, la oss starte i rekkefølge: hjørnet inn \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) tilsvarer et punkt med koordinater \(\left(0;1 \right) \) , derfor:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\tekst(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Høyrepil \tekst(tg)\ 90()^\circ \)- eksisterer ikke;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Videre, ved å følge den samme logikken, finner vi ut at hjørnene i \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) samsvarer med punkter med koordinater \(\venstre(-1;0 \høyre),\tekst( )\venstre(0;-1 \høyre),\tekst( )\venstre(1;0 \høyre),\tekst( )\venstre(0 ;1 \right) \), henholdsvis. Når du vet dette, er det lett å bestemme verdiene til trigonometriske funksjoner på de tilsvarende punktene. Prøv selv først, og sjekk deretter svarene.
Svar:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)
\(\tekst(tg)\ 180()^\circ =\tekst(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\tekst(ctg)\ 180()^\circ =\tekst(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Høyrepil \tekst(ctg)\ \pi \)- eksisterer ikke
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\tekst(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Høyrepil \tekst(tg)\ 270()^\circ \)- eksisterer ikke
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \360()^\circ =0\)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\tekst(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Høyrepil \tekst(ctg)\ 2\pi \)- eksisterer ikke
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\tekst(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Høyrepil \tekst(tg)\ 450()^\circ \)- eksisterer ikke
\(\tekst(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Dermed kan vi lage følgende tabell:
Det er ikke nødvendig å huske alle disse verdiene. Det er nok å huske korrespondansen mellom koordinatene til punktene på enhetssirkelen og verdiene til trigonometriske funksjoner:
\(\venstre. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Du må huske eller kunne vise det!! \) !}
Men verdiene til de trigonometriske funksjonene til vinkler i og \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) gitt i tabellen nedenfor, må du huske:
Ikke vær redd, nå skal vi vise deg ett eksempel på en ganske enkel memorering av de tilsvarende verdiene:
For å bruke denne metoden er det viktig å huske sinusverdiene for alle tre vinkelmålene ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), samt verdien av tangenten til vinkelen i \(30()^\circ \) . Når du kjenner disse \(4\) verdiene, er det ganske enkelt å gjenopprette hele tabellen - cosinusverdiene overføres i samsvar med pilene, det vil si:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(array) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \) Når du vet dette, kan du gjenopprette verdiene for \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Telleren "\(1 \)" vil tilsvare \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) og nevneren "\(\sqrt(\text(3)) \)" vil tilsvare \(\tekst (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotangensverdier overføres i samsvar med pilene angitt i figuren. Hvis du forstår dette og husker diagrammet med pilene, vil det være nok å huske bare \(4\) verdier fra tabellen.
Koordinater til et punkt på en sirkel
Er det mulig å finne et punkt (dets koordinater) på en sirkel, og kjenne koordinatene til sirkelens sentrum, radius og rotasjonsvinkel? Vel, selvfølgelig kan du det! La oss utlede en generell formel for å finne koordinatene til et punkt. For eksempel, her er en sirkel foran oss:
Vi får det poenget \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- sentrum av sirkelen. Sirkelens radius er \(1,5\) . Det er nødvendig å finne koordinatene til punktet \(P\) oppnådd ved å rotere punktet \(O\) med \(\delta \) grader.
Som det fremgår av figuren, tilsvarer koordinaten \(x\) til punktet \(P\) lengden på segmentet \(TP=UQ=UK+KQ\) . Lengden på segmentet \(UK\) tilsvarer koordinaten \(x\) til sentrum av sirkelen, det vil si at den er lik \(3\) . Lengden på segmentet \(KQ\) kan uttrykkes ved å bruke definisjonen av cosinus:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Høyrepil KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Så har vi det for punktet \(P\) koordinaten \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).
Ved å bruke samme logikk finner vi verdien av y-koordinaten for punktet \(P\) . Dermed,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).
Så generelt er koordinatene til punktene bestemt av formlene:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), Hvor
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - koordinater til sentrum av sirkelen,
\(r\) - radius av sirkelen,
\(\delta \) - rotasjonsvinkelen til vektorradiusen.
Som du kan se, for enhetssirkelen vi vurderer, er disse formlene betydelig redusert, siden koordinatene til sentrum er lik null og radius er lik en:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)
JavaScript er deaktivert i nettleseren din.For å utføre beregninger må du aktivere ActiveX-kontroller!
Trigonometri er en gren av matematisk vitenskap som studerer trigonometriske funksjoner og deres bruk i geometri. Utviklingen av trigonometri begynte i antikkens Hellas. I løpet av middelalderen ga forskere fra Midtøsten og India viktige bidrag til utviklingen av denne vitenskapen.
Denne artikkelen er viet til de grunnleggende konseptene og definisjonene av trigonometri. Den diskuterer definisjonene av de grunnleggende trigonometriske funksjonene: sinus, cosinus, tangens og cotangens. Betydningen deres er forklart og illustrert i sammenheng med geometri.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Opprinnelig ble definisjonene av trigonometriske funksjoner hvis argument er en vinkel uttrykt i form av forholdet mellom sidene i en rettvinklet trekant.
Definisjoner av trigonometriske funksjoner
Sinusen til en vinkel (sin α) er forholdet mellom benet motsatt denne vinkelen og hypotenusen.
Cosinus av vinkelen (cos α) - forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen.
Vinkeltangens (t g α) - forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side.
Vinkel cotangens (c t g α) - forholdet mellom den tilstøtende siden til den motsatte siden.
Disse definisjonene er gitt for den spisse vinkelen til en rettvinklet trekant!
La oss gi en illustrasjon.
I trekant ABC med rett vinkel C er sinus til vinkel A lik forholdet mellom ben BC og hypotenus AB.
Definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens lar deg beregne verdiene til disse funksjonene fra de kjente lengdene på sidene i trekanten.
Viktig å huske!
Verdiområdet for sinus og cosinus er fra -1 til 1. Med andre ord tar sinus og cosinus verdier fra -1 til 1. Verdiområdet for tangent og cotangens er hele talllinjen, det vil si at disse funksjonene kan ta på seg alle verdier.
Definisjonene gitt ovenfor gjelder spisse vinkler. I trigonometri introduseres konseptet med en rotasjonsvinkel, hvis verdi, i motsetning til en spiss vinkel, ikke er begrenset til 0 til 90 grader. Rotasjonsvinkelen i grader eller radianer uttrykkes med et hvilket som helst reelt tall fra - ∞ til + ∞ .
I denne sammenhengen kan vi definere sinus, cosinus, tangens og cotangens av en vinkel av vilkårlig størrelse. La oss forestille oss en enhetssirkel med sentrum ved opprinnelsen til det kartesiske koordinatsystemet.
Startpunktet A med koordinatene (1, 0) roterer rundt sentrum av enhetssirkelen gjennom en viss vinkel α og går til punktet A 1. Definisjonen er gitt i form av koordinatene til punkt A 1 (x, y).
Sinus (sin) av rotasjonsvinkelen
Sinusen til rotasjonsvinkelen α er ordinaten til punktet A 1 (x, y). sin α = y
Cosinus (cos) til rotasjonsvinkelen
Cosinus til rotasjonsvinkelen α er abscissen til punktet A 1 (x, y). cos α = x
Tangent (tg) av rotasjonsvinkelen
Tangensen til rotasjonsvinkelen α er forholdet mellom ordinaten til punktet A 1 (x, y) og abscissen. t g α = y x
Kotangens (ctg) av rotasjonsvinkelen
Kotangensen til rotasjonsvinkelen α er forholdet mellom abscissen til punktet A 1 (x, y) og ordinaten. c t g α = x y
Sinus og cosinus er definert for enhver rotasjonsvinkel. Dette er logisk, fordi abscissen og ordinaten til et punkt etter rotasjon kan bestemmes i enhver vinkel. Situasjonen er annerledes med tangent og cotangens. Tangenten er udefinert når et punkt etter rotasjon går til et punkt med null abscisse (0, 1) og (0, - 1). I slike tilfeller gir uttrykket for tangent t g α = y x rett og slett ikke mening, siden det inneholder divisjon med null. Situasjonen er lik med cotangens. Forskjellen er at cotangensen ikke er definert i tilfeller hvor ordinaten til et punkt går til null.
Viktig å huske!
Sinus og cosinus er definert for alle vinkler α.
Tangent er definert for alle vinkler unntatt α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)
Cotangens er definert for alle vinkler unntatt α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Når du løser praktiske eksempler, ikke si "sinus til rotasjonsvinkelen α". Ordene "rotasjonsvinkel" er ganske enkelt utelatt, noe som betyr at det allerede er klart fra konteksten hva som diskuteres.
Tall
Hva med definisjonen av sinus, cosinus, tangens og cotangens til et tall, og ikke rotasjonsvinkelen?
Sinus, cosinus, tangens, cotangens av et tall
Sinus, cosinus, tangens og cotangens av et tall t er et tall som er henholdsvis lik sinus, cosinus, tangens og cotangens i t radian.
For eksempel er sinusen til tallet 10 π lik sinusen til rotasjonsvinkelen på 10 π rad.
Det er en annen tilnærming til å bestemme sinus, cosinus, tangens og cotangens til et tall. La oss se nærmere på det.
Ethvert reelt tall t et punkt på enhetssirkelen er assosiert med sentrum ved opprinnelsen til det rektangulære kartesiske koordinatsystemet. Sinus, cosinus, tangens og cotangens bestemmes gjennom koordinatene til dette punktet.
Utgangspunktet på sirkelen er punkt A med koordinater (1, 0).
Positivt tall t
Negativt tall t tilsvarer punktet som startpunktet vil gå til hvis det beveger seg rundt sirkelen mot klokken og passerer banen t.
Nå som forbindelsen mellom et tall og et punkt på en sirkel er etablert, går vi videre til definisjonen av sinus, cosinus, tangent og cotangens.
Sinus (synd) av t
Sinus av et tall t- ordinaten til et punkt på enhetssirkelen som tilsvarer tallet t. sin t = y
Cosinus (cos) av t
Cosinus av et tall t- abscisse av punktet i enhetssirkelen som tilsvarer tallet t. cos t = x
Tangent (tg) av t
Tangent av et tall t- forholdet mellom ordinaten og abscissen til et punkt på enhetssirkelen som tilsvarer tallet t. t g t = y x = sin t cos t
De siste definisjonene er i samsvar med og motsier ikke definisjonen gitt i begynnelsen av dette avsnittet. Pek på sirkelen som tilsvarer tallet t, faller sammen med punktet som startpunktet går til etter å ha svingt med en vinkel t radian.
Trigonometriske funksjoner av vinkel- og numerisk argument
Hver verdi av vinkelen α tilsvarer en viss verdi av sinus og cosinus til denne vinkelen. Akkurat som alle vinkler α bortsett fra α = 90 ° + 180 ° k, tilsvarer k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) en viss tangentverdi. Cotangens, som nevnt ovenfor, er definert for alle α unntatt α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).
Vi kan si at sin α, cos α, t g α, c t g α er funksjoner av vinkelen alfa, eller funksjoner av vinkelargumentet.
På samme måte kan vi snakke om sinus, cosinus, tangens og cotangens som funksjoner av et numerisk argument. Hvert reelt tall t tilsvarer en viss verdi av sinus eller cosinus til et tall t. Alle andre tall enn π 2 + π · k, k ∈ Z, tilsvarer en tangentverdi. Cotangens er på samme måte definert for alle tall unntatt π · k, k ∈ Z.
Grunnleggende funksjoner for trigonometri
Sinus, cosinus, tangens og cotangens er de grunnleggende trigonometriske funksjonene.
Det er vanligvis klart fra konteksten hvilket argument for den trigonometriske funksjonen (vinkelargument eller numerisk argument) vi har å gjøre med.
La oss gå tilbake til definisjonene gitt helt i begynnelsen og alfavinkelen, som ligger i området fra 0 til 90 grader. De trigonometriske definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens er helt i samsvar med de geometriske definisjonene gitt av sideforholdet til en rettvinklet trekant. La oss vise det.
La oss ta en enhetssirkel med et senter i et rektangulært kartesisk koordinatsystem. La oss rotere startpunktet A (1, 0) med en vinkel på opptil 90 grader og tegne en vinkelrett på abscisseaksen fra det resulterende punktet A 1 (x, y). I den resulterende rettvinklet er vinkelen A 1 O H lik rotasjonsvinkelen α, lengden på benet O H er lik abscissen til punktet A 1 (x, y). Lengden på benet motsatt vinkelen er lik ordinaten til punktet A 1 (x, y), og lengden på hypotenusen er lik én, siden det er radiusen til enhetssirkelen.
I samsvar med definisjonen fra geometri er sinusen til vinkelen α lik forholdet mellom motsatt side og hypotenusen.
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
Dette betyr at å bestemme sinusen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant gjennom sideforholdet er ekvivalent med å bestemme sinusen til rotasjonsvinkelen α, med alfa liggende i området fra 0 til 90 grader.
Tilsvarende kan samsvaret mellom definisjoner vises for cosinus, tangens og cotangens.
Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter
Laster inn...
