Dette undervisningsmaterialet er kun for referanse og gjelder et bredt spekter av emner. Artikkelen gir en oversikt over grafer over grunnleggende elementære funksjoner og tar for seg det viktigste problemet - hvordan bygge en graf riktig og RASK. I løpet av å studere høyere matematikk uten kunnskap om grafene til grunnleggende elementære funksjoner, vil det være vanskelig, så det er veldig viktig å huske hvordan grafene til en parabel, hyperbel, sinus, cosinus osv. ser ut, og huske noen av betydningen av funksjonene. Vi vil også snakke om noen egenskaper til hovedfunksjonene.

Jeg påstår ikke at materialene er fullstendige og vitenskapelige; vekten vil først og fremst bli lagt på praksis - de tingene som man møter bokstavelig talt på hvert trinn, i ethvert emne av høyere matematikk. Diagrammer for dummies? Man kan si det.

På grunn av mange forespørsler fra lesere klikkbar innholdsfortegnelse:

I tillegg er det en ultrakort synopsis om temaet
– mestre 16 typer diagrammer ved å studere SEX sider!

Seriøst, seks, selv jeg ble overrasket. Dette sammendraget inneholder forbedret grafikk og er tilgjengelig for en nominell avgift; en demoversjon kan sees. Det er praktisk å skrive ut filen slik at grafene alltid er for hånden. Takk for at du støtter prosjektet!

Og la oss starte med en gang:

Hvordan konstruere koordinatakser riktig?

I praksis gjennomføres prøver nesten alltid av elever i separate notatbøker, lined i en firkant. Hvorfor trenger du rutete markeringer? Tross alt kan arbeidet i prinsippet gjøres på A4-ark. Og buret er nødvendig bare for høy kvalitet og nøyaktig design av tegninger.

Enhver tegning av en funksjonsgraf begynner med koordinatakser.

Tegninger kan være todimensjonale eller tredimensjonale.

La oss først vurdere det todimensjonale tilfellet Kartesisk rektangulært koordinatsystem:

1) Tegn koordinatakser. Aksen kalles x-aksen , og aksen er y-aksen . Vi prøver alltid å tegne dem ryddig og ikke skjevt. Pilene skal heller ikke ligne Papa Carlos skjegg.

2) Vi signerer aksene med store bokstaver "X" og "Y". Ikke glem å merke aksene.

3) Sett skalaen langs aksene: tegne en null og to enere. Når du lager en tegning, er den mest praktiske og mest brukte skalaen: 1 enhet = 2 celler (tegning til venstre) - hvis mulig, hold deg til den. Men fra tid til annen hender det at tegningen ikke passer på notatbokarket - da reduserer vi skalaen: 1 enhet = 1 celle (tegning til høyre). Det er sjeldent, men det hender at målestokken på tegningen må reduseres (eller økes) enda mer

Det er IKKE NØDVENDIG å "maskingevær" …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. For koordinatplanet er ikke et monument over Descartes, og studenten er ikke en due. Vi putter null Og to enheter langs aksene. Noen ganger i stedet for enheter, er det praktisk å "merke" andre verdier, for eksempel "to" på abscisseaksen og "tre" på ordinataksen - og dette systemet (0, 2 og 3) vil også unikt definere koordinatrutenettet.

Det er bedre å estimere de estimerte dimensjonene til tegningen FØR du konstruerer tegningen. Så, for eksempel, hvis oppgaven krever å tegne en trekant med toppunkter , , , så er det helt klart at den populære skalaen på 1 enhet = 2 celler ikke vil fungere. Hvorfor? La oss se på poenget - her må du måle femten centimeter ned, og tegningen vil åpenbart ikke passe (eller knapt passe) på et notatbokark. Derfor velger vi umiddelbart en mindre skala: 1 enhet = 1 celle.

Forresten, ca centimeter og notatbokceller. Er det sant at 30 bærbare celler inneholder 15 centimeter? For moro skyld måler du 15 centimeter i notatboken med en linjal. I USSR kan dette ha vært sant... Det er interessant å merke seg at hvis du måler de samme centimeterne horisontalt og vertikalt, vil resultatene (i cellene) være annerledes! Moderne notatbøker er strengt tatt ikke rutete, men rektangulære. Dette kan virke tull, men å tegne for eksempel en sirkel med et kompass i slike situasjoner er veldig upraktisk. For å være ærlig, i slike øyeblikk begynner du å tenke på riktigheten til kamerat Stalin, som ble sendt til leire for hackarbeid i produksjonen, for ikke å nevne den innenlandske bilindustrien, fallende fly eller eksploderende kraftverk.

Apropos kvalitet, eller en kort anbefaling om skrivesaker. I dag er de fleste notatbøkene som selges mildt sagt fullstendig dritt. Av den grunn at de blir våte, og ikke bare fra gelpenner, men også fra kulepenner! De sparer penger på papiret. For å fullføre tester anbefaler jeg å bruke notatbøker fra Arkhangelsk Pulp and Paper Mill (18 ark, firkantet) eller "Pyaterochka", selv om det er dyrere. Det er tilrådelig å velge en gelpenn; selv den billigste kinesiske gelpåfyllingen er mye bedre enn en kulepenn, som enten flekker eller river papiret. Den eneste "konkurransedyktige" kulepennen jeg kan huske er Erich Krause. Hun skriver tydelig, vakkert og konsekvent – ​​enten med en full kjerne eller med en nesten tom en.

I tillegg: Synet av et rektangulært koordinatsystem gjennom øynene til analytisk geometri er dekket i artikkelen Lineær (ikke) avhengighet av vektorer. Grunnlag for vektorer, detaljert informasjon om koordinatkvartaler finnes i andre ledd i leksjonen Lineære ulikheter.

3D etui

Det er nesten det samme her.

1) Tegn koordinatakser. Standard: akseapplikasjon – rettet oppover, akse – rettet mot høyre, akse – rettet nedover til venstre strengt tatt i en vinkel på 45 grader.

2) Merk aksene.

3) Sett skalaen langs aksene. Skalaen langs aksen er to ganger mindre enn skalaen langs de andre aksene. Merk også at i den høyre tegningen brukte jeg et ikke-standard "hakk" langs aksen (denne muligheten er allerede nevnt ovenfor). Fra mitt synspunkt er dette mer nøyaktig, raskere og mer estetisk tiltalende - det er ikke nødvendig å se etter midten av cellen under et mikroskop og "skulpturere" en enhet nær opprinnelsen til koordinatene.

Når du lager en 3D-tegning, igjen, prioriter skala
1 enhet = 2 celler (tegning til venstre).

Hva er alle disse reglene for? Regler er til for å brytes. Det er det jeg skal gjøre nå. Faktum er at påfølgende tegninger av artikkelen vil bli laget av meg i Excel, og koordinataksene vil se feil ut fra synspunktet om riktig design. Jeg kunne tegne alle grafene for hånd, men det er faktisk skummelt å tegne dem ettersom Excel er motvillige til å tegne dem mye mer nøyaktig.

Grafer og grunnleggende egenskaper ved elementære funksjoner

En lineær funksjon er gitt av ligningen. Grafen for lineære funksjoner er direkte. For å konstruere en rett linje er det nok å kjenne to punkter.

Eksempel 1

Lag en graf av funksjonen. La oss finne to punkter. Det er fordelaktig å velge null som ett av punktene.

Hvis da

La oss ta et annet punkt, for eksempel 1.

Hvis da

Når du fullfører oppgaver, er koordinatene til punktene vanligvis oppsummert i en tabell:

Og verdiene i seg selv beregnes muntlig eller på et utkast, en kalkulator.

To punkter er funnet, la oss lage tegningen:

Når vi utarbeider en tegning signerer vi alltid grafikken.

Det ville være nyttig å huske spesielle tilfeller av en lineær funksjon:

Legg merke til hvordan jeg plasserte signaturene, signaturer bør ikke tillate avvik når man studerer tegningen. I dette tilfellet var det ekstremt uønsket å sette en signatur ved siden av skjæringspunktet mellom linjene, eller nederst til høyre mellom grafene.

1) En lineær funksjon av formen () kalles direkte proporsjonalitet. For eksempel, . En direkte proporsjonalitetsgraf går alltid gjennom origo. Dermed er det forenklet å konstruere en rett linje - det er nok å finne bare ett punkt.

2) En ligning av formen spesifiserer en rett linje parallelt med aksen, spesielt er selve aksen gitt av ligningen. Grafen til funksjonen plottes umiddelbart, uten å finne noen punkter. Det vil si at oppføringen skal forstås som følger: "y er alltid lik -4, for enhver verdi av x."

3) En ligning av formen spesifiserer en rett linje parallelt med aksen, spesielt er selve aksen gitt av ligningen. Grafen til funksjonen plottes også umiddelbart. Oppføringen skal forstås som følger: "x er alltid, for enhver verdi av y, lik 1."

Noen vil spørre, hvorfor huske 6. klasse?! Det er slik det er, kanskje det er slik, men i løpet av årene med praksis har jeg møtt et godt dusin studenter som ble forvirret over oppgaven med å konstruere en graf som eller.

Å konstruere en rett linje er den vanligste handlingen når du lager tegninger.

Den rette linjen diskuteres i detalj i løpet av analytisk geometri, og interesserte kan henvise til artikkelen Ligning av en rett linje på et plan.

Graf av en kvadratisk, kubisk funksjon, graf for et polynom

Parabel. Graf over en kvadratisk funksjon () representerer en parabel. Tenk på den berømte saken:

La oss huske noen egenskaper ved funksjonen.

Så, løsningen på ligningen vår: – det er på dette punktet at toppunktet til parablen befinner seg. Hvorfor det er slik kan man lære av den teoretiske artikkelen om den deriverte og leksjonen om funksjonens ekstremer. I mellomtiden, la oss beregne den tilsvarende "Y"-verdien:

Dermed er toppunktet ved punktet

Nå finner vi andre punkter, mens vi frekt bruker parabelens symmetri. Det skal bemerkes at funksjonen – er ikke engang, men likevel, ingen opphevet symmetrien til parablen.

I hvilken rekkefølge for å finne de resterende poengene, tror jeg det vil være klart fra finalebordet:

Denne konstruksjonsalgoritmen kan i overført betydning kalles en "shuttle" eller "frem og tilbake"-prinsippet med Anfisa Chekhova.

La oss lage tegningen:

Fra de undersøkte grafene dukker det opp en annen nyttig funksjon:

For en kvadratisk funksjon () følgende er sant:

Hvis , så er grenene til parabelen rettet oppover.

Hvis , så er grenene til parablen rettet nedover.

Inngående kunnskap om kurven kan fås i leksjonen Hyperbel og parabel.

En kubisk parabel er gitt av funksjonen. Her er en tegning kjent fra skolen:

La oss liste hovedegenskapene til funksjonen

Graf av en funksjon

Den representerer en av grenene til en parabel. La oss lage tegningen:

Hovedegenskapene til funksjonen:

I dette tilfellet er aksen vertikal asymptote for grafen til en hyperbel ved .

Det ville være en GROV feil hvis du, når du tegner en tegning, uforsiktig lar grafen krysse en asymptote.

Også ensidige grenser forteller oss at hyperbelen ikke begrenset ovenfra Og ikke begrenset nedenfra.

La oss undersøke funksjonen ved uendelig: , det vil si hvis vi begynner å bevege oss langs aksen til venstre (eller høyre) til uendelig, så vil "spillene" være i et ryddig trinn uendelig nær nærmer seg null, og følgelig grenene til hyperbelen uendelig nær nærme seg aksen.

Så aksen er horisontal asymptote for grafen til en funksjon, hvis "x" har en tendens til pluss eller minus uendelig.

Funksjonen er merkelig, og derfor er hyperbelen symmetrisk om opprinnelsen. Dette faktum er åpenbart fra tegningen, i tillegg kan det enkelt verifiseres analytisk: .

Grafen til en funksjon av formen () representerer to grener av en hyperbel.

Hvis , er hyperbelen lokalisert i første og tredje koordinatkvartal(se bildet over).

Hvis , så er hyperbelen lokalisert i andre og fjerde koordinatkvartal.

Det indikerte mønsteret av hyperbelbolig er lett å analysere fra synspunktet om geometriske transformasjoner av grafer.

Eksempel 3

Konstruer høyre gren av hyperbelen

Vi bruker den punktvise konstruksjonsmetoden, og det er en fordel å velge verdiene slik at de er delbare med en helhet:

La oss lage tegningen:

Det vil ikke være vanskelig å konstruere den venstre grenen av hyperbelen; rariteten til funksjonen vil hjelpe her. Grovt sett, i tabellen med punktvis konstruksjon, legger vi mentalt til et minus til hvert tall, setter de tilsvarende punktene og tegner den andre grenen.

Detaljert geometrisk informasjon om linjen som vurderes finnes i artikkelen Hyperbel og parabel.

Graf av en eksponentiell funksjon

I denne delen vil jeg umiddelbart vurdere eksponentialfunksjonen, siden i problemer med høyere matematikk i 95 % av tilfellene er det eksponentialen som dukker opp.

La meg minne deg på at dette er et irrasjonelt tall: , dette vil være nødvendig når du konstruerer en graf, som jeg faktisk vil bygge uten seremoni. Tre poeng er nok nok:

La oss la grafen til funksjonen være i fred for nå, mer om den senere.

Hovedegenskapene til funksjonen:

Funksjonsgrafer osv. ser fundamentalt like ut.

Jeg må si at det andre tilfellet forekommer sjeldnere i praksis, men det forekommer, så jeg anså det som nødvendig å inkludere det i denne artikkelen.

Graf over en logaritmisk funksjon

Tenk på en funksjon med en naturlig logaritme.
La oss lage en punkt-for-punkt-tegning:

Hvis du har glemt hva en logaritme er, vennligst se skolebøkene dine.

Hovedegenskapene til funksjonen:

Domene:

Verdiområde: .

Funksjonen er ikke begrenset ovenfra: , om enn sakte, men grenen til logaritmen går opp til uendelig.
La oss undersøke oppførselen til funksjonen nær null til høyre: . Så aksen er vertikal asymptote for grafen til en funksjon som "x" har en tendens til null fra høyre.

Det er viktig å kjenne og huske den typiske verdien av logaritmen: .

I prinsippet ser grafen for logaritmen til grunntall lik ut: , , (desimallogaritme til grunntallet 10), etc. Dessuten, jo større basen er, jo flatere vil grafen være.

Vi vil ikke vurdere saken, jeg husker ikke sist jeg bygde en graf med et slikt grunnlag. Og logaritmen ser ut til å være en svært sjelden gjest i problemer med høyere matematikk.

På slutten av dette avsnittet vil jeg si enda et faktum: Eksponentiell funksjon og logaritmisk funksjon– dette er to omvendte funksjoner. Hvis du ser nøye på grafen til logaritmen, kan du se at dette er den samme eksponenten, den er bare plassert litt annerledes.

Grafer over trigonometriske funksjoner

Hvor begynner trigonometrisk pine på skolen? Ikke sant. Fra sinus

La oss plotte funksjonen

Denne linjen kalles sinusformet.

La meg minne deg på at "pi" er et irrasjonelt tall: , og i trigonometri får det øynene til å blende.

Hovedegenskapene til funksjonen:

Denne funksjonen er periodisk med periode. Hva betyr det? La oss se på segmentet. Til venstre og høyre for den gjentas nøyaktig den samme delen av grafen i det uendelige.

Domene: , det vil si at for enhver verdi av "x" er det en sinusverdi.

Verdiområde: . Funksjonen er begrenset: , det vil si at alle "spillene" sitter strengt tatt i segmentet .
Dette skjer ikke: eller mer presist, det skjer, men disse ligningene har ingen løsning.

- — [] kvadratisk funksjon Funksjon av formen y= ax2 + bx + c (a ? 0). Graf K.f. - en parabel, hvis toppunkt har koordinater [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a], med a>0 grener av parabelen ... ...

KVADRATISK FUNKSJON, en matematisk FUNKSJON hvis verdi avhenger av kvadratet til den uavhengige variabelen, x, og er gitt henholdsvis av en kvadratisk POLYNOMI, for eksempel: f(x) = 4x2 + 17 eller f(x) = x2 + 3x + 2. se også KVADRER LIGNINGEN … Vitenskapelig og teknisk encyklopedisk ordbok

Kvadratisk funksjon- Kvadratisk funksjon - en funksjon av formen y= ax2 + bx + c (a ≠ 0). Graf K.f. - en parabel, hvis toppunkt har koordinater [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a], for a> 0 er grenene til parablen rettet oppover, for en< 0 –вниз… …

- (kvadratisk) En funksjon som har følgende form: y=ax2+bx+c, der a≠0 og den høyeste graden av x er et kvadrat. Andregradsligningen y=ax2 +bx+c=0 kan også løses ved hjelp av følgende formel: x= –b+ √ (b2–4ac) /2a. Disse røttene er ekte... Økonomisk ordbok

En affin kvadratisk funksjon på et affint rom S er en hvilken som helst funksjon Q: S→K som har formen Q(x)=q(x)+l(x)+c i vektorisert form, der q er en kvadratisk funksjon, l er en lineær funksjon, c er en konstant. Innhold 1 Skifte referansepunktet 2 ... ... Wikipedia

En affin kvadratisk funksjon på et affint rom er enhver funksjon som har formen i vektorisert form, hvor er en symmetrisk matrise, en lineær funksjon, en konstant. Innhold... Wikipedia

En funksjon på et vektorrom definert av et homogent polynom av andre grad i vektorens koordinater. Innhold 1 Definisjon 2 Beslektede definisjoner... Wikipedia

- er en funksjon som i teorien om statistiske beslutninger karakteriserer tap på grunn av feil beslutningstaking basert på observerte data. Hvis problemet med å estimere en signalparameter mot en bakgrunn av støy blir løst, er tapsfunksjonen et mål på avviket... ... Wikipedia

objektiv funksjon- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Engelsk-russisk ordbok for elektroteknikk og kraftteknikk, Moskva, 1999] objektiv funksjon I ekstreme problemer, en funksjon hvis minimum eller maksimum må finnes. Dette … … Teknisk oversetterveiledning

Objektiv funksjon- ved ekstreme problemer, en funksjon hvis minimum eller maksimum må finnes. Dette er et nøkkelbegrep i optimal programmering. Etter å ha funnet ytterpunktet til C.f. og derfor, etter å ha bestemt verdiene til de kontrollerte variablene som går til den ... ... Økonomisk og matematisk ordbok

Bøker

• Sett med bord. Matematikk. Grafer over funksjoner (10 tabeller), . Pedagogisk album på 10 ark. Lineær funksjon. Grafisk og analytisk tildeling av funksjoner. Kvadratisk funksjon. Transformere grafen til en kvadratisk funksjon. Funksjon y=sinx. Funksjon y=cosx.…
• Skolematematikkens viktigste funksjon er kvadratisk - i problemer og løsninger, Petrov N.N.. Andregradsfunksjonen er hovedfunksjonen til skolematematikkkurset. Ikke rart. På den ene siden, enkelheten til denne funksjonen, og på den andre den dype meningen. Mange skoleoppgaver...