Åpningsparentes: regler og eksempler (karakter 7)

La oss nå vurdere kvadreringen av et binomial, og ved å bruke et aritmetisk synspunkt, vil vi snakke om kvadratet av summen, dvs. (a + b)², og kvadratet av forskjellen til to tall, dvs. (a – b)².

Siden (a + b)² = (a + b) ∙ (a + b),

da finner vi: (a + b) ∙ (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b², dvs.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Det er nyttig å huske dette resultatet både i form av den ovenfor beskrevne likheten og i ord: kvadratet av summen av to tall er lik kvadratet av det første tallet pluss produktet av to med det første tallet og det andre tall, pluss kvadratet av det andre tallet.

Når vi kjenner dette resultatet, kan vi umiddelbart skrive, for eksempel:

(x + y)² = x² + 2xy + y²
(3ab + 1)² = 9a² b² + 6ab + 1

(x n + 4x)² = x 2n + 8x n+1 + 16x 2

La oss se på det andre av disse eksemplene. Vi må kvadrere summen av to tall: det første tallet er 3ab, det andre 1. Resultatet skal være: 1) kvadratet til det første tallet, dvs. (3ab)², som er lik 9a²b²; 2) produktet av to ved det første tallet og det andre, dvs. 2 ∙ 3ab ∙ 1 = 6ab; 3) kvadratet av det andre tallet, dvs. 1² = 1 - alle disse tre leddene må legges sammen.

Vi får også en formel for å kvadrere forskjellen mellom to tall, dvs. for (a – b)²:

(a – b)² = (a – b) (a – b) = a² – ab – ab + b² = a² – 2ab + b².

(a – b)² = a² – 2ab + b²,

dvs. kvadratet av forskjellen mellom to tall er lik kvadratet til det første tallet, minus produktet av to med det første tallet og det andre, pluss kvadratet av det andre tallet.

Når vi kjenner dette resultatet, kan vi umiddelbart utføre kvadreringen av binomialer, som fra et aritmetisk synspunkt representerer forskjellen mellom to tall.

(m – n)² = m² – 2mn + n²
(5ab 3 – 3a 2 b) 2 = 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2

(a n-1 – a) 2 = a 2n-2 – 2a n + a 2, osv.

La oss forklare det andre eksemplet. Her har vi i parentes forskjellen på to tall: det første tallet er 5ab 3 og det andre tallet er 3a 2 b. Resultatet skal være: 1) kvadratet av det første tallet, dvs. (5ab 3) 2 = 25a 2 b 6, 2) produktet av to med 1. og 2. tall, dvs. 2 ∙ 5ab 3 ∙ 3a 2 b = 30a 3 b 4 og 3) kvadratet av det andre tallet, dvs. (3a 2 b) 2 = 9a 4 b 2 ; Første og tredje ledd må tas med pluss, og det andre med minus får vi 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2. For å forklare det 4. eksemplet, legger vi bare merke til at 1) (a n-1)2 = a 2n-2 ... eksponenten må multipliseres med 2 og 2) produktet av to med 1. tallet og med 2. = 2 ∙ a n-1 ∙ a = 2a n .

Hvis vi tar synspunktet til algebra, så uttrykker begge likhetene: 1) (a + b)² = a² + 2ab + b² og 2) (a – b)² = a² – 2ab + b² det samme, nemlig: kvadratet av binomialet er lik kvadratet til det første leddet, pluss produktet av tallet (+2) med det første leddet og det andre pluss kvadratet til det andre leddet. Dette er tydelig fordi likestillingene våre kan omskrives som:

1) (a + b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (+b) + (+b)²
2) (a – b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (–b) + (–b)²

I noen tilfeller er det praktisk å tolke de resulterende likhetene på denne måten:

(–4a – 3b)² = (–4a)² + (+2) (–4a) (–3b) + (–3b)²

Her kvadrerer vi et binomial hvis første ledd = –4a og andre = –3b. Deretter får vi (–4a)² = 16a², (+2) (–4a) (–3b) = +24ab, (–3b)² = 9b² og til slutt:

(–4a – 3b)² = 6a² + 24ab + 9b²

Det ville også være mulig å oppnå og huske formelen for å kvadrere et trinomium, et kvadrinomium eller et hvilket som helst polynom generelt. Vi vil imidlertid ikke gjøre dette, fordi vi sjelden trenger å bruke disse formlene, og hvis vi trenger å kvadrere et hvilket som helst polynom (unntatt et binomial), vil vi redusere saken til multiplikasjon. For eksempel:

31. La oss bruke de oppnådde 3 likhetene, nemlig:

(a + b) (a – b) = a² – b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²

til aritmetikk.

La det være 41 ∙ 39. Da kan vi representere dette i formen (40 + 1) (40 – 1) og redusere saken til den første likheten - vi får 40² – 1 eller 1600 – 1 = 1599. Takket være dette, det er lett å utføre multiplikasjoner som 21 ∙ 19; 22 ∙ 18; 31 ∙ 29; 32 ∙ 28; 71 ∙ 69, osv.

La det være 41 ∙ 41; det er det samme som 41² eller (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681. Også 35 ∙ 35 = 35² = (30 + 5)² = 900 + 300 + 25 = 1225. Hvis du trenger 37 ∙ 37 da er dette lik (40 – 3)² = 1600 – 240 + 9 = 1369. Slike multiplikasjoner (eller kvadratiske tosifrede tall) er enkle å utføre, med en viss dyktighet, i hodet ditt.

I denne artikkelen vil vi ta en detaljert titt på de grunnleggende reglene for et så viktig emne i et matematikkkurs som åpningsparenteser. Du må kjenne reglene for åpning av parenteser for å kunne løse likninger der de brukes riktig.

Hvordan åpne parenteser riktig når du legger til

Utvid parentesene foran med "+"-tegnet

Dette er det enkleste tilfellet, for hvis det er et tilleggsskilt foran brakettene, endres ikke skiltene inni dem når brakettene åpnes. Eksempel:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

Hvordan utvide parenteser med et "-"-tegn foran

I dette tilfellet må du skrive om alle begreper uten parentes, men samtidig endre alle tegnene i dem til de motsatte. Tegnene endres bare for termer fra de parentesene som ble innledet med tegnet "-". Eksempel:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

Hvordan åpne parenteser når du multipliserer

Før parentes er det et multiplikatortall

I dette tilfellet må du multiplisere hvert ledd med en faktor og åpne parentesene uten å endre tegnene. Hvis multiplikatoren har et "-"-tegn, blir fortegnene til leddene reversert under multiplikasjon. Eksempel:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

Hvordan åpne to parenteser med et multiplikasjonstegn mellom dem

I dette tilfellet må du multiplisere hvert ledd fra de første parentesene med hvert ledd fra de andre parentesene og deretter legge til resultatene. Eksempel:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

Hvordan åpne parenteser i en firkant

Hvis summen eller differansen av to ledd er kvadratisk, skal parentesene åpnes i henhold til følgende formel:

(x + y)^2 = x^2 + 2 * x * y + y^2.

Ved minus innenfor parentes endres ikke formelen. Eksempel:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

Hvordan utvide parenteser til en annen grad

Hvis summen eller differansen av ledd heves, for eksempel til 3. eller 4. potens, trenger du bare å dele opp kraften til parentesen i "firkanter". Kraftene til identiske faktorer legges til, og ved deling trekkes kraften til divisor fra kraften til utbyttet. Eksempel:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

Hvordan åpne 3 parenteser

Det er ligninger der 3 parenteser multipliseres samtidig. I dette tilfellet må du først multiplisere vilkårene i de to første parentesene sammen, og deretter multiplisere summen av denne multiplikasjonen med vilkårene i den tredje parentesen. Eksempel:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

Disse reglene for å åpne parenteser gjelder likt for å løse både lineære og trigonometriske ligninger.

I forrige leksjon tok vi for oss faktorisering. Vi mestret to metoder: å sette fellesfaktoren utenfor parentes og gruppere. I denne leksjonen - følgende kraftige metode: forkortede multiplikasjonsformler. Kort sagt - FSU.

Forkortede multiplikasjonsformler (sum og differansekvadrat, sum og differanseterning, kvadratforskjell, sum og differanse av terninger) er ekstremt nødvendige i alle grener av matematikken. De brukes til å forenkle uttrykk, løse ligninger, multiplisere polynomer, redusere brøker, løse integraler, etc. og så videre. Kort sagt, det er all grunn til å forholde seg til dem. Forstå hvor de kommer fra, hvorfor de trengs, hvordan du husker dem og hvordan du bruker dem.

Forstår vi?)

Hvor kommer forkortede multiplikasjonsformler fra?

Likhet 6 og 7 er ikke skrevet på en veldig kjent måte. Det er litt motsatt. Dette er med vilje.) Enhver likestilling fungerer både fra venstre til høyre og fra høyre til venstre. Denne oppføringen gjør det tydeligere hvor FSU-ene kommer fra.

De er hentet fra multiplikasjon.) For eksempel:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

Det er det, ingen vitenskapelige triks. Vi multipliserer ganske enkelt parentesene og gir lignende. Slik blir det alle forkortede multiplikasjonsformler. Forkortet multiplikasjon er fordi det i selve formlene ikke er multiplikasjon av parenteser og reduksjon av lignende. Forkortet.) Resultatet gis umiddelbart.

FSU må være kjent utenat. Uten de tre første kan du ikke drømme om en C; uten resten kan du ikke drømme om en B eller A.)

Hvorfor trenger vi forkortede multiplikasjonsformler?

Det er to grunner til å lære, til og med huske, disse formlene. Den første er at et ferdig svar automatisk reduserer antall feil. Men dette er ikke hovedårsaken. Men den andre...

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)

Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.

Hovedfunksjonen til parenteser er å endre rekkefølgen på handlinger ved beregning av verdier. For eksempel, i det numeriske uttrykket \(5·3+7\) vil multiplikasjonen først beregnes, og deretter addisjonen: \(5·3+7 =15+7=22\). Men i uttrykket \(5·(3+7)\) vil tillegget i parentes beregnes først, og først deretter multiplikasjonen: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Eksempel. Utvid parentesen: \(-(4m+3)\).
Løsning : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Eksempel. Åpne parentesen og gi lignende termer \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Løsning : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Eksempel. Utvid parentesene \(5(3-x)\).
Løsning : I parentesen har vi \(3\) og \(-x\), og før parentesen er det en femmer. Dette betyr at hvert medlem av parentesen multipliseres med \(5\) - jeg minner deg om det Multiplikasjonstegnet mellom et tall og en parentes er ikke skrevet i matematikk for å redusere størrelsen på oppføringer.

Eksempel. Utvid parentesene \(-2(-3x+5)\).
Løsning : Som i forrige eksempel multipliseres \(-3x\) og \(5\) i parentes med \(-2\).

Eksempel. Forenkle uttrykket: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Løsning : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Det gjenstår å vurdere den siste situasjonen.

Når du multipliserer en parentes med en parentes, multipliseres hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Eksempel. Utvid parentesene \((2-x)(3x-1)\).
Løsning : Vi har et produkt av parentes og det kan utvides umiddelbart ved hjelp av formelen ovenfor. Men for ikke å bli forvirret, la oss gjøre alt trinn for trinn.
Trinn 1. Fjern den første parentesen - multipliser hver av termene med den andre parentesen:

Trinn 2. Utvid produktene til brakettene og faktoren som beskrevet ovenfor:
- Først ting først...

Så den andre.

Trinn 3. Nå multipliserer vi og presenterer lignende termer:

Det er ikke nødvendig å beskrive alle transformasjonene så detaljert; du kan multiplisere dem med en gang. Men hvis du bare lærer hvordan du åpner parenteser, skriv i detalj, det vil være mindre sjanse for å gjøre feil.

Merknad til hele avsnittet. Faktisk trenger du ikke å huske alle fire reglene, du trenger bare å huske én, denne: \(c(a-b)=ca-cb\) . Hvorfor? Fordi hvis du erstatter en i stedet for c, får du regelen \((a-b)=a-b\) . Og hvis vi erstatter minus én, får vi regelen \(-(a-b)=-a+b\) . Vel, hvis du erstatter en annen parentes i stedet for c, kan du få den siste regelen.

Parentese innenfor en parentes

Noen ganger er det i praksis problemer med braketter nestet inne i andre braketter. Her er et eksempel på en slik oppgave: forenkle uttrykket \(7x+2(5-(3x+y))\).

For å lykkes med å løse slike oppgaver, trenger du:
- forstå nøye hekkingen av parentes - hvilken er i hvilken;
- åpne brakettene sekvensielt, start for eksempel med den innerste.

Det er viktig når du åpner en av brakettene ikke rør resten av uttrykket, bare omskriver det som det er.
La oss se på oppgaven skrevet ovenfor som et eksempel.

Eksempel. Åpne parentesene og gi lignende termer \(7x+2(5-(3x+y))\).
Løsning:

Eksempel. Åpne parentesene og gi lignende termer \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Løsning :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Det er trippel hekking av parenteser her. La oss starte med den innerste (uthevet med grønt). Det er et pluss foran braketten, så den går rett og slett av.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Nå må du åpne den andre braketten, den mellomliggende. Men før det vil vi forenkle uttrykket av de spøkelseslignende begrepene i denne andre parentesen.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Nå åpner vi den andre braketten (uthevet i blått). Før parentes er en faktor - så hvert ledd i parentes multipliseres med det.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		Og åpne den siste braketten. Det er et minustegn foran braketten, så alle skilt er omvendt.

Å utvide parenteser er en grunnleggende ferdighet i matematikk. Uten denne ferdigheten er det umulig å ha karakter over C i 8. og 9. klasse. Derfor anbefaler jeg at du forstår dette emnet godt.

Forkortede uttrykksformler brukes veldig ofte i praksis, så det er lurt å lære dem alle utenat. Inntil dette øyeblikket vil den tjene oss trofast, som vi anbefaler å skrive ut og ha for øynene dine til enhver tid:

De fire første formlene fra den kompilerte tabellen med forkortede multiplikasjonsformler lar deg kvadrere og kube summen eller differansen av to uttrykk. Den femte er ment for kort å multiplisere differansen og summen av to uttrykk. Og den sjette og syvende formelen brukes til å multiplisere summen av to uttrykk a og b med deres ufullstendige kvadrat av forskjellen (dette er hva et uttrykk for formen a 2 −a b+b 2 kalles) og forskjellen av to uttrykk a og b ved det ufullstendige kvadratet av summen deres (a 2 + a·b+b 2 ).

Det er verdt å merke seg separat at hver likhet i tabellen er en identitet. Dette forklarer hvorfor formler for forkortet multiplikasjon også kalles forkortede multiplikasjonsidentiteter.

Når du løser eksempler, spesielt der polynomet er faktorisert, brukes FSU ofte i form med venstre og høyre side byttet:

De tre siste identitetene i tabellen har sine egne navn. Formelen a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b) kalles formel for forskjell på kvadrater, a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2) - summen av terninger formel, A a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2) - forskjell på kuberformel. Vær oppmerksom på at vi ikke navnga de tilsvarende formlene med omorganiserte deler fra forrige tabell.

Ytterligere formler

Det ville ikke skade å legge til noen flere identiteter til tabellen med forkortede multiplikasjonsformler.

Bruksområder for forkortede multiplikasjonsformler (FSU) og eksempler

Hovedformålet med forkortede multiplikasjonsformler (fsu) er forklart med navnet deres, det vil si at det består i å kort multiplisere uttrykk. Imidlertid er anvendelsesområdet for FSU mye bredere, og er ikke begrenset til kort multiplikasjon. La oss liste opp hovedretningene.

Utvilsomt ble den sentrale anvendelsen av den forkortede multiplikasjonsformelen funnet ved å utføre identiske transformasjoner av uttrykk. Oftest brukes disse formlene i prosessen forenkle uttrykk.

Eksempel.

Forenkle uttrykket 9·y−(1+3·y) 2 .

Løsning.

I dette uttrykket kan kvadrering utføres forkortet, har vi 9 y−(1+3 y) 2 =9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2). Alt som gjenstår er å åpne parentesene og ta med lignende termer: 9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2.