Komplekse derivater. Logaritmisk derivert.
Derivert av en potens-eksponentiell funksjon

Vi fortsetter å forbedre vår differensieringsteknikk. I denne leksjonen vil vi konsolidere materialet vi har dekket, se på mer komplekse derivater, og også bli kjent med nye teknikker og triks for å finne en derivat, spesielt med den logaritmiske derivater.

De leserne som har et lavt nivå av forberedelse bør henvise til artikkelen Hvordan finne den deriverte? Eksempler på løsninger, som lar deg heve ferdighetene dine nesten fra bunnen av. Deretter må du studere siden nøye Derivat av en kompleks funksjon, forstå og løse Alle eksemplene jeg ga. Denne leksjonen er logisk den tredje i rekken, og etter å ha mestret den vil du trygt skille ganske komplekse funksjoner. Det er uønsket å innta posisjonen «Hvor ellers? Det er nok!”, siden alle eksempler og løsninger er hentet fra reelle tester og ofte møter i praksis.

La oss starte med repetisjon. På timen Derivat av en kompleks funksjon Vi så på en rekke eksempler med detaljerte kommentarer. I løpet av å studere differensialregning og andre grener av matematisk analyse, må du differensiere veldig ofte, og det er ikke alltid praktisk (og ikke alltid nødvendig) å beskrive eksempler i detalj. Derfor vil vi øve på å finne derivater muntlig. De mest passende "kandidatene" for dette er derivater av de enkleste av komplekse funksjoner, for eksempel:

I henhold til regelen om differensiering av komplekse funksjoner :

Når du studerer andre matan-emner i fremtiden, er en slik detaljert oversikt oftest ikke nødvendig; det antas at studenten vet hvordan man finner slike derivater på autopilot. La oss forestille oss at klokken 3 om morgenen ringte telefonen og en hyggelig stemme spurte: "Hva er den deriverte av tangenten til to X-er?" Dette bør etterfølges av et nesten øyeblikkelig og høflig svar: .

Det første eksemplet vil umiddelbart være ment for uavhengig løsning.

Eksempel 1

Finn følgende derivater muntlig, i én handling, for eksempel: . For å fullføre oppgaven trenger du bare å bruke tabell over derivater av elementære funksjoner(hvis du ikke har husket det ennå). Hvis du har noen problemer, anbefaler jeg å lese leksjonen på nytt Derivat av en kompleks funksjon.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Svar på slutten av leksjonen

Komplekse derivater

Etter foreløpig artilleriforberedelse vil eksempler med 3-4-5 hekker av funksjoner være mindre skumle. De følgende to eksemplene kan virke kompliserte for noen, men hvis du forstår dem (noen vil lide), vil nesten alt annet i differensialregning virke som en barnespøk.

Eksempel 2

Finn den deriverte av en funksjon

Som allerede nevnt, når du finner derivatet av en kompleks funksjon, er det først og fremst nødvendig Ikke sant FORSTÅ investeringene dine. I tilfeller der det er tvil, minner jeg deg om en nyttig teknikk: vi tar for eksempel den eksperimentelle verdien av "x", og prøver (mentalt eller i et utkast) å erstatte denne verdien med det "forferdelige uttrykket".

1) Først må vi beregne uttrykket, som betyr at summen er den dypeste innebyggingen.

2) Deretter må du beregne logaritmen:

4) Deretter kuber cosinus:

5) På det femte trinnet er forskjellen:

6) Og til slutt, den ytterste funksjonen er kvadratroten:

Formel for å differensiere en kompleks funksjon brukes i omvendt rekkefølge, fra den ytterste funksjonen til den innerste. Vi bestemmer:

Det ser ikke ut til å være noen feil...

(1) Ta den deriverte av kvadratroten.

(2) Vi tar den deriverte av differansen ved å bruke regelen

(3) Den deriverte av en trippel er null. I andre ledd tar vi den deriverte av graden (kuben).

(4) Ta derivatet av cosinus.

(5) Ta den deriverte av logaritmen.

(6) Og til slutt tar vi derivatet av den dypeste innebyggingen.

Det kan virke for vanskelig, men dette er ikke det mest brutale eksemplet. Ta for eksempel Kuznetsovs samling, og du vil sette pris på all skjønnheten og enkelheten til det analyserte derivatet. Jeg la merke til at de liker å gi en lignende ting i en eksamen for å sjekke om en student forstår hvordan man finner den deriverte av en kompleks funksjon eller ikke forstår.

Følgende eksempel er for deg å løse på egen hånd.

Eksempel 3

Finn den deriverte av en funksjon

Hint: Først bruker vi linearitetsreglene og produktdifferensieringsregelen

Full løsning og svar på slutten av timen.

Det er på tide å gå videre til noe mindre og finere.
Det er ikke uvanlig at et eksempel viser produktet av ikke to, men tre funksjoner. Hvordan finne den deriverte av produktet av tre faktorer?

Eksempel 4

Finn den deriverte av en funksjon

Først ser vi, er det mulig å gjøre produktet av tre funksjoner til produktet av to funksjoner? For eksempel, hvis vi hadde to polynomer i produktet, så kunne vi åpne parentesene. Men i eksemplet under vurdering er alle funksjonene forskjellige: grad, eksponent og logaritme.

I slike tilfeller er det nødvendig sekvensielt bruke produktdifferensieringsregelen to ganger

Trikset er at vi med «y» betegner produktet av to funksjoner: , og med «ve» betegner vi logaritmen: . Hvorfor kan dette gjøres? Er det virkelig – dette er ikke et produkt av to faktorer og regelen fungerer ikke?! Det er ikke noe komplisert:

Nå gjenstår det å bruke regelen en gang til til brakett:

Du kan også bli vridd og sette noe ut av parentes, men i dette tilfellet er det bedre å la svaret nøyaktig i dette skjemaet - det vil være lettere å sjekke.

Det betraktede eksemplet kan løses på den andre måten:

Begge løsningene er helt like.

Eksempel 5

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel på en uavhengig løsning; i prøven løses den ved hjelp av den første metoden.

La oss se på lignende eksempler med brøker.

Eksempel 6

Finn den deriverte av en funksjon

Det er flere måter du kan gå her:

Eller slik:

Men løsningen vil skrives mer kompakt hvis vi først bruker regelen om differensiering av kvotienten , tar for hele telleren:

I prinsippet er eksemplet løst, og hvis det blir stående som det er, vil det ikke være en feil. Men hvis du har tid, er det alltid lurt å sjekke et utkast for å se om svaret kan forenkles? La oss redusere uttrykket av telleren til en fellesnevner og la oss bli kvitt den tre-etasjers brøken:

Ulempen med ytterligere forenklinger er at det er en risiko for å gjøre feil ikke når man finner den deriverte, men under banale skoletransformasjoner. På den annen side avviser lærere ofte oppgaven og ber om å "minne det på det" avledet.

Et enklere eksempel å løse på egen hånd:

Eksempel 7

Finn den deriverte av en funksjon

Vi fortsetter å mestre metodene for å finne den deriverte, og nå vil vi vurdere et typisk tilfelle når den "forferdelige" logaritmen foreslås for differensiering

Eksempel 8

Finn den deriverte av en funksjon

Her kan du gå den lange veien ved å bruke regelen for å differensiere en kompleks funksjon:

Men det aller første skrittet kaster deg umiddelbart ut i motløshet - du må ta det ubehagelige avledet fra en brøkkraft, og da også fra en brøk.

Derfor før hvordan ta den deriverte av en "sofistikert" logaritme, den forenkles først ved å bruke velkjente skoleegenskaper:

! Hvis du har en øvelsesnotatbok for hånden, kopier disse formlene direkte dit. Hvis du ikke har en notatbok, kopier dem over på et stykke papir, siden de resterende eksemplene i leksjonen vil dreie seg om disse formlene.

Selve løsningen kan skrives slik:

La oss transformere funksjonen:

Finne den deriverte:

Forhåndskonvertering av selve funksjonen forenklet løsningen betraktelig. Når en lignende logaritme foreslås for differensiering, er det derfor alltid tilrådelig å "bryte den ned".

Og nå et par enkle eksempler som du kan løse på egen hånd:

Eksempel 9

Finn den deriverte av en funksjon

Eksempel 10

Finn den deriverte av en funksjon

Alle transformasjoner og svar er på slutten av leksjonen.

Logaritmisk derivert

Hvis den deriverte av logaritmer er så søt musikk, oppstår spørsmålet: er det i noen tilfeller mulig å organisere logaritmen kunstig? Kan! Og til og med nødvendig.

Eksempel 11

Finn den deriverte av en funksjon

Vi har nylig sett på lignende eksempler. Hva å gjøre? Du kan sekvensielt bruke regelen for differensiering av kvotienten, og deretter regelen for differensiering av produktet. Ulempen med denne metoden er at du ender opp med en enorm tre-etasjers brøkdel, som du ikke ønsker å håndtere i det hele tatt.

Men i teori og praksis er det en så fantastisk ting som den logaritmiske deriverte. Logaritmer kan organiseres kunstig ved å "henge" dem på begge sider:

Merk : fordi en funksjon kan ta negative verdier, så generelt sett må du bruke moduler: , som vil forsvinne som følge av differensiering. Nåværende design er imidlertid også akseptabelt, hvor det som standard er tatt hensyn til kompleks betydninger. Men hvis i all strenghet, så i begge tilfeller bør det tas forbehold om det.

Nå må du "oppløse" logaritmen til høyre side så mye som mulig (formler foran øynene dine?). Jeg vil beskrive denne prosessen i detalj:

La oss starte med differensiering.
Vi konkluderer begge deler under primtall:

Avledningen av høyresiden er ganske enkel; jeg vil ikke kommentere den, for hvis du leser denne teksten, bør du kunne håndtere den med trygghet.

Hva med venstre side?

På venstre side har vi kompleks funksjon. Jeg forutser spørsmålet: "Hvorfor, er det én bokstav "Y" under logaritmen?"

Faktum er at dette "en bokstav spillet" - ER SELV EN FUNKSJON(hvis det ikke er veldig tydelig, se artikkelen Derivert av en funksjon spesifisert implisitt). Derfor er logaritmen en ekstern funksjon, og "y" er en intern funksjon. Og vi bruker regelen for å differensiere en kompleks funksjon :

På venstre side, som ved magi, har vi en derivativ. I henhold til proporsjonsregelen overfører vi deretter "y" fra nevneren på venstre side til toppen av høyre side:

Og la oss nå huske hva slags "spiller"-funksjon vi snakket om under differensiering? La oss se på tilstanden:

Endelig svar:

Eksempel 12

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Et eksempeldesign av et eksempel av denne typen er på slutten av leksjonen.

Ved å bruke den logaritmiske deriverte var det mulig å løse et hvilket som helst av eksemplene nr. 4-7, en annen ting er at funksjonene der er enklere, og kanskje er bruken av den logaritmiske deriverte lite berettiget.

Derivert av en potens-eksponentiell funksjon

Vi har ikke vurdert denne funksjonen ennå. En potens-eksponentiell funksjon er en funksjon som både graden og grunntallet avhenger av "x". Et klassisk eksempel som vil bli gitt til deg i en hvilken som helst lærebok eller forelesning:

Hvordan finne den deriverte av en potens-eksponentiell funksjon?

Det er nødvendig å bruke teknikken som nettopp er diskutert - den logaritmiske deriverte. Vi henger logaritmer på begge sider:

Som regel tas graden på høyre side ut fra logaritmen:

Som et resultat, på høyre side har vi produktet av to funksjoner, som vil bli differensiert i henhold til standardformelen .

Vi finner den deriverte; for å gjøre dette, omslutter vi begge deler under streker:

Ytterligere handlinger er enkle:

Endelig:

Hvis en konvertering ikke er helt klar, vennligst les forklaringene til eksempel nr. 11 nøye på nytt.

I praktiske oppgaver vil potens-eksponentialfunksjonen alltid være mer komplisert enn forelesningseksemplet vurdert.

Eksempel 13

Finn den deriverte av en funksjon

Vi bruker den logaritmiske deriverte.

På høyre side har vi en konstant og produktet av to faktorer - "x" og "logaritmen av logaritmen x" (en annen logaritme er nestet under logaritmen). Når du differensierer, som vi husker, er det bedre å umiddelbart flytte konstanten ut av det deriverte tegnet slik at det ikke kommer i veien; og vi bruker selvfølgelig den kjente regelen :

Veldig lett å huske.

Vel, la oss ikke gå langt, la oss umiddelbart vurdere den inverse funksjonen. Hvilken funksjon er inversen til eksponentialfunksjonen? Logaritme:

I vårt tilfelle er basen tallet:

En slik logaritme (det vil si en logaritme med en base) kalles "naturlig", og vi bruker en spesiell notasjon for den: vi skriver i stedet.

Hva er det lik? Selvfølgelig, .

Den deriverte av den naturlige logaritmen er også veldig enkel:

Eksempler:

1. Finn den deriverte av funksjonen.
2. Hva er den deriverte av funksjonen?

Svar: Den eksponentielle og naturlige logaritmen er unikt enkle funksjoner fra et derivert perspektiv. Eksponentielle og logaritmiske funksjoner med en hvilken som helst annen base vil ha en annen derivert, som vi vil analysere senere, etter at vi har gått gjennom reglene for differensiering.

Regler for differensiering

Regler for hva? Igjen en ny periode, igjen?!...

Differensiering er prosessen med å finne den deriverte.

Det er alt. Hva annet kan du kalle denne prosessen med ett ord? Ikke derivert... Matematikere kaller differensialet det samme inkrementet til en funksjon ved. Dette begrepet kommer fra det latinske differentia - forskjell. Her.

Når vi utleder alle disse reglene, vil vi bruke to funksjoner, for eksempel og. Vi trenger også formler for trinnene deres:

Det er 5 regler totalt.

Konstanten tas ut av det deriverte tegnet.

Hvis - et konstant tall (konstant), da.

Selvfølgelig fungerer denne regelen også for forskjellen: .

La oss bevise det. La det være, eller enklere.

Eksempler.

Finn de deriverte av funksjonene:

1. på et punkt;
2. på et punkt;
3. på et punkt;
4. på punktet.

Løsninger:

1. (den deriverte er den samme på alle punkter, siden det er en lineær funksjon, husker du?);

Derivat av produktet

Alt er likt her: la oss introdusere en ny funksjon og finne dens økning:

Derivat:

Eksempler:

1. Finn de deriverte av funksjonene og;
2. Finn den deriverte av funksjonen i et punkt.

Løsninger:

Derivert av en eksponentiell funksjon

Nå er kunnskapen din nok til å lære hvordan du finner den deriverte av en hvilken som helst eksponentiell funksjon, og ikke bare eksponenter (har du glemt hva det er ennå?).

Så, hvor er et tall.

Vi kjenner allerede den deriverte av funksjonen, så la oss prøve å redusere funksjonen vår til en ny base:

For å gjøre dette bruker vi en enkel regel: . Deretter:

Vel, det fungerte. Prøv nå å finne den deriverte, og ikke glem at denne funksjonen er kompleks.

Skjedd?

Her, sjekk deg selv:

Formelen viste seg å være veldig lik den deriverte av en eksponent: som den var, forblir den den samme, bare en faktor dukket opp, som bare er et tall, men ikke en variabel.

Eksempler:
Finn de deriverte av funksjonene:

Svar:

Dette er bare et tall som ikke kan beregnes uten kalkulator, det vil si at det ikke kan skrives ned på en enklere form. Derfor lar vi det stå i denne formen i svaret.

Merk at her er kvotienten til to funksjoner, så vi bruker den tilsvarende differensieringsregelen:

I dette eksemplet er produktet av to funksjoner:

Derivert av en logaritmisk funksjon

Det er likt her: du kjenner allerede den deriverte av den naturlige logaritmen:

Derfor, for å finne en vilkårlig logaritme med en annen base, for eksempel:

Vi må redusere denne logaritmen til basen. Hvordan endrer du basen til en logaritme? Jeg håper du husker denne formelen:

Først nå vil vi skrive i stedet:

Nevneren er ganske enkelt en konstant (et konstant tall, uten en variabel). Deriverten oppnås veldig enkelt:

Derivater av eksponentielle og logaritmiske funksjoner finnes nesten aldri i Unified State Examination, men det vil ikke være overflødig å kjenne dem.

Derivat av en kompleks funksjon.

Hva er en "kompleks funksjon"? Nei, dette er ikke en logaritme, og ikke en arctangent. Disse funksjonene kan være vanskelige å forstå (selv om du synes logaritmen er vanskelig, les emnet "Logarithms" så går det bra), men fra et matematisk synspunkt betyr ikke ordet "kompleks" "vanskelig".

Se for deg et lite transportbånd: to personer sitter og gjør noen handlinger med noen gjenstander. For eksempel pakker den første en sjokoladeplate inn i en innpakning, og den andre binder den med et bånd. Resultatet er en sammensatt gjenstand: en sjokoladeplate pakket inn og bundet med et bånd. For å spise en sjokoladeplate, må du gjøre de omvendte trinnene i motsatt rekkefølge.

La oss lage en lignende matematisk rørledning: først vil vi finne cosinus til et tall, og deretter kvadrere det resulterende tallet. Så vi får et tall (sjokolade), jeg finner dens cosinus (omslag), og deretter firer du det jeg har (bind det med et bånd). Hva skjedde? Funksjon. Dette er et eksempel på en kompleks funksjon: når vi, for å finne verdien, utfører den første handlingen direkte med variabelen, og deretter en andre handling med det som ble resultatet av den første.

Med andre ord, en kompleks funksjon er en funksjon hvis argument er en annen funksjon: .

For vårt eksempel, .

Vi kan enkelt gjøre de samme trinnene i omvendt rekkefølge: først kvadrerer du det, og så ser jeg etter cosinus til det resulterende tallet: . Det er lett å gjette at resultatet nesten alltid vil være annerledes. Et viktig trekk ved komplekse funksjoner: når rekkefølgen av handlinger endres, endres funksjonen.

Andre eksempel: (samme). .

Handlingen vi gjør sist vil bli kalt "ekstern" funksjon, og handlingen utført først - tilsvarende "intern" funksjon(dette er uformelle navn, jeg bruker dem kun for å forklare stoffet på et enkelt språk).

Prøv selv å finne ut hvilken funksjon som er ekstern og hvilken intern:

Svar:Å skille indre og ytre funksjoner er veldig likt å endre variabler: for eksempel i en funksjon

1. Hvilken handling vil vi utføre først? La oss først beregne sinusen, og først deretter kube den. Dette betyr at det er en intern funksjon, men en ekstern.
   Og den opprinnelige funksjonen er deres sammensetning: .
2. Internt: ; ekstern: .
   Eksamen:.
3. Internt: ; ekstern: .
   Eksamen:.
4. Internt: ; ekstern: .
   Eksamen:.
5. Internt: ; ekstern: .
   Eksamen:.

Vi endrer variabler og får en funksjon.

Vel, nå skal vi trekke ut sjokoladeplaten vår og se etter derivatet. Prosedyren er alltid omvendt: først ser vi etter den deriverte av den ytre funksjonen, deretter multipliserer vi resultatet med den deriverte av den indre funksjonen. I forhold til det originale eksemplet ser det slik ut:

Et annet eksempel:

Så la oss til slutt formulere den offisielle regelen:

Algoritme for å finne den deriverte av en kompleks funksjon:

Det virker enkelt, ikke sant?

La oss sjekke med eksempler:

Løsninger:

1) Internt: ;

Ekstern: ;

2) Internt: ;

(Bare ikke prøv å kutte det nå! Ingenting kommer ut under kosinus, husker du?)

3) Internt: ;

Ekstern: ;

Det er umiddelbart klart at dette er en kompleks funksjon på tre nivåer: tross alt er dette allerede en kompleks funksjon i seg selv, og vi trekker også ut roten fra den, det vil si at vi utfører den tredje handlingen (legg sjokoladen i en innpakning). og med et bånd i kofferten). Men det er ingen grunn til å være redd: vi vil fortsatt "pakke ut" denne funksjonen i samme rekkefølge som vanlig: fra slutten.

Det vil si at vi først differensierer roten, deretter cosinus, og først deretter uttrykket i parentes. Og så multipliserer vi det hele.

I slike tilfeller er det praktisk å nummerere handlingene. Det vil si, la oss forestille oss hva vi vet. I hvilken rekkefølge vil vi utføre handlinger for å beregne verdien av dette uttrykket? La oss se på et eksempel:

Jo senere handlingen utføres, jo mer "ekstern" vil den tilsvarende funksjonen være. Rekkefølgen av handlinger er den samme som før:

Her er hekkingen generelt 4-nivå. La oss bestemme handlingsforløpet.

1. Radikalt uttrykk. .

2. Rot. .

3. Sinus. .

4. Firkantet. .

5. Sette det hele sammen:

DERIVAT. KORT OM DE VIKTIGSTE TINGENE

Derivert av en funksjon- forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet for en uendelig inkrement av argumentet:

Grunnleggende derivater:

Regler for differensiering:

Konstanten tas ut av det deriverte tegnet:

Avledet av summen:

Avledet av produktet:

Derivat av kvotienten:

Derivert av en kompleks funksjon:

Algoritme for å finne den deriverte av en kompleks funksjon:

1. Vi definerer den "interne" funksjonen og finner dens deriverte.
2. Vi definerer den "eksterne" funksjonen og finner dens deriverte.
3. Vi multipliserer resultatene av det første og andre punktet.

Føler du at det fortsatt er mye tid før eksamen? Er dette en måned? To? År? Praksis viser at en student mestrer en eksamen hvis han begynner å forberede seg til den på forhånd. Det er mange vanskelige oppgaver i Unified State Exam som står i veien for skoleelever og fremtidige søkere til de høyeste poengsummene. Du må lære å overvinne disse hindringene, og dessuten er det ikke vanskelig å gjøre. Du må forstå prinsippet om å jobbe med ulike oppgaver fra billetter. Da blir det ingen problemer med de nye.

Logaritmer virker ved første øyekast utrolig komplekse, men med en detaljert analyse blir situasjonen mye enklere. Hvis du ønsker å bestå Unified State-eksamenen med høyest poengsum, bør du forstå konseptet det gjelder, og det er det vi foreslår å gjøre i denne artikkelen.

Først, la oss skille disse definisjonene. Hva er en logaritme (log)? Dette er en indikator på kraften som basen må heves til for å oppnå det angitte tallet. Hvis det ikke er klart, la oss se på et elementært eksempel.

I dette tilfellet må basen i bunnen heves til andre potens for å få tallet 4.

La oss nå se på det andre konseptet. Den deriverte av en funksjon i enhver form er et konsept som karakteriserer endringen av en funksjon på et gitt punkt. Dette er imidlertid en skolepensum, og hvis du har problemer med disse begrepene hver for seg, er det verdt å gjenta temaet.

Derivert av logaritme

I Unified State Exam-oppgavene om dette emnet kan du gi flere oppgaver som eksempel. Til å begynne med den enkleste logaritmiske deriverte. Det er nødvendig å finne den deriverte av følgende funksjon.

Vi må finne den neste deriverte

Det er en spesiell formel.

I dette tilfellet x=u, log3x=v. Vi erstatter verdiene fra funksjonen vår i formelen.

Den deriverte av x vil være lik én. Logaritmen er litt vanskeligere. Men du vil forstå prinsippet hvis du bare erstatter verdiene. Husk at den deriverte av lg x er den deriverte av desimallogaritmen, og den deriverte av ln x er den deriverte av den naturlige logaritmen (basert på e).

Nå er det bare å koble de resulterende verdiene inn i formelen. Prøv selv, så sjekker vi svaret.

Hva kan være problemet her for noen? Vi introduserte begrepet naturlig logaritme. La oss snakke om det, og samtidig finne ut hvordan vi løser problemer med det. Du vil ikke se noe komplisert, spesielt når du forstår prinsippet om driften. Du bør venne deg til det, siden det ofte brukes i matematikk (enda mer i høyere utdanningsinstitusjoner).

Derivert av den naturlige logaritmen

I kjernen er det den deriverte av logaritmen til grunntallet e (som er et irrasjonelt tall som er omtrent 2,7). Faktisk er ln veldig enkelt, så det brukes ofte i matematikk generelt. Egentlig vil det heller ikke være noe problem å løse problemet med det. Det er verdt å huske at den deriverte av den naturlige logaritmen til basen e vil være lik en delt på x. Løsningen på følgende eksempel vil være den mest avslørende.

La oss forestille oss det som en kompleks funksjon som består av to enkle.

Det er nok å konvertere

Vi ser etter den deriverte av u med hensyn til x

La oss fortsette med den andre

Vi bruker metoden for å løse den deriverte av en kompleks funksjon ved å erstatte u=nx.

Hva skjedde på slutten?

La oss nå huske hva n betydde i dette eksemplet? Dette er et hvilket som helst tall som kan vises foran x i den naturlige logaritmen. Det er viktig for deg å forstå at svaret ikke avhenger av henne. Erstatt hva du vil, svaret vil fortsatt være 1/x.

Som du kan se, er det ikke noe komplisert her; du trenger bare å forstå prinsippet for raskt og effektivt å løse problemer om dette emnet. Nå kjenner du teorien, alt du trenger å gjøre er å sette den i praksis. Øv på å løse problemer for å huske prinsippet om løsningen deres i lang tid. Du trenger kanskje ikke denne kunnskapen etter endt skolegang, men på eksamen vil den være mer relevant enn noen gang. Lykke til!

Bevis og utledning av formler for den deriverte av den naturlige logaritmen og logaritmen til base a. Eksempler på beregning av derivater av ln 2x, ln 3x og ln nx. Bevis på formelen for den deriverte av n. ordens logaritme ved bruk av metoden for matematisk induksjon.

Innhold

Se også: Logaritme - egenskaper, formler, graf
Naturlig logaritme - egenskaper, formler, graf

Utledning av formler for deriverte av den naturlige logaritmen og logaritmen for å basere en

Den deriverte av den naturlige logaritmen til x er lik en delt på x:
(1) (ln x)′ =.

Den deriverte av logaritmen til base a er lik en delt på variabelen x multiplisert med den naturlige logaritmen til a:
(2) (log a x)′ =.

Bevis

La det være et positivt tall som ikke er lik én. Tenk på en funksjon avhengig av en variabel x, som er en logaritme til basen:
.
Denne funksjonen er definert på. La oss finne dens deriverte med hensyn til variabelen x. Per definisjon er derivatet følgende grense:
(3) .

La oss transformere dette uttrykket for å redusere det til kjente matematiske egenskaper og regler. For å gjøre dette må vi vite følgende fakta:
EN) Egenskaper til logaritmen. Vi trenger følgende formler:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Kontinuitet til logaritmen og egenskapen til grenser for en kontinuerlig funksjon:
(7) .
Her er en funksjon som har en grense og denne grensen er positiv.
I) Betydningen av den andre bemerkelsesverdige grensen:
(8) .

La oss bruke disse fakta til vår grense. Først transformerer vi det algebraiske uttrykket
.
For å gjøre dette bruker vi egenskapene (4) og (5).

.

La oss bruke egenskap (7) og den andre bemerkelsesverdige grensen (8):
.

Og til slutt bruker vi eiendom (6):
.
Logaritme til base e kalt naturlig logaritme. Den er utpekt som følger:
.
Deretter ;
.

Dermed fikk vi formel (2) for den deriverte av logaritmen.

Derivert av den naturlige logaritmen

Nok en gang skriver vi ut formelen for den deriverte av logaritmen for å basere a:
.
Denne formelen har den enkleste formen for den naturlige logaritmen, som , . Deretter
(1) .

På grunn av denne enkelheten er den naturlige logaritmen veldig mye brukt i matematisk analyse og i andre grener av matematikken relatert til differensialregning. Logaritmiske funksjoner med andre baser kan uttrykkes i form av den naturlige logaritmen ved å bruke egenskap (6):
.

Den deriverte av logaritmen med hensyn til basen kan finnes fra formel (1), hvis du tar konstanten ut av differensieringstegnet:
.

Andre måter å bevise den deriverte av en logaritme

Her antar vi at vi kjenner formelen for den deriverte av eksponentialen:
(9) .
Da kan vi utlede formelen for den deriverte av den naturlige logaritmen, gitt at logaritmen er den inverse funksjonen til eksponentialen.

La oss bevise formelen for den deriverte av den naturlige logaritmen, å bruke formelen for den deriverte av den inverse funksjonen:
.
I vårt tilfelle. Den inverse funksjonen til den naturlige logaritmen er eksponentialen:
.
Dens derivat er bestemt av formel (9). Variabler kan angis med hvilken som helst bokstav. I formel (9), erstatt variabelen x med y:
.
Siden da
.
Deretter
.
Formelen er bevist.

Nå beviser vi formelen for den deriverte av den naturlige logaritmen ved å bruke regler for å differensiere komplekse funksjoner. Siden funksjonene og er inverse til hverandre, da
.
La oss differensiere denne ligningen med hensyn til variabelen x:
(10) .
Den deriverte av x er lik en:
.
Vi søker regel for å differensiere en kompleks funksjon :
.
Her . La oss erstatte i (10):
.
Herfra
.

Eksempel

Finn derivater av ln 2x, ln 3x Og lnnx.

De opprinnelige funksjonene har en lignende form. Derfor vil vi finne den deriverte av funksjonen y = log nx. Da erstatter vi n = 2 og n = 3. Og dermed får vi formler for derivatene av ln 2x Og ln 3x .

Så vi ser etter den deriverte av funksjonen
y = log nx .
La oss forestille oss denne funksjonen som en kompleks funksjon som består av to funksjoner:
1) Funksjoner avhengig av en variabel: ;
2) Funksjoner avhengig av en variabel: .
Deretter er den opprinnelige funksjonen sammensatt av funksjonene og:
.

La oss finne den deriverte av funksjonen med hensyn til variabelen x:
.
La oss finne den deriverte av funksjonen med hensyn til variabelen:
.
Vi søker formel for den deriverte av en kompleks funksjon.
.
Her setter vi det opp.

Så vi fant:
(11) .
Vi ser at den deriverte ikke er avhengig av n. Dette resultatet er ganske naturlig hvis vi transformerer den opprinnelige funksjonen ved å bruke formelen for logaritmen til produktet:
.
- Dette er en konstant. Dens deriverte er null. Så, i henhold til regelen for differensiering av summen, har vi:
.

; ; .

Derivert av logaritmen til modul x

La oss finne den deriverte av en annen veldig viktig funksjon - den naturlige logaritmen til modul x:
(12) .

La oss vurdere saken. Da ser funksjonen slik ut:
.
Dens derivat er bestemt av formel (1):
.

La oss nå vurdere saken. Da ser funksjonen slik ut:
,
Hvor .
Men vi fant også den deriverte av denne funksjonen i eksemplet ovenfor. Den er ikke avhengig av n og er lik
.
Deretter
.

Vi kombinerer disse to tilfellene til én formel:
.

Følgelig, for at logaritmen skal basere a, har vi:
.

Derivater av høyere ordener av den naturlige logaritmen

Vurder funksjonen
.
Vi fant dens førsteordens derivat:
(13) .

La oss finne andreordens deriverte:
.
La oss finne tredjeordens deriverte:
.
La oss finne den fjerde ordens deriverte:
.

Du kan legge merke til at den n-te ordens deriverte har formen:
(14) .
La oss bevise dette med matematisk induksjon.

Bevis

La oss erstatte verdien n = 1 i formel (14):
.
Siden , da når n = 1 , formel (14) er gyldig.

La oss anta at formel (14) er oppfylt for n = k. La oss bevise at dette innebærer at formelen er gyldig for n = k + 1 .

For n = k har vi faktisk:
.
Differensier med hensyn til variabelen x:

.
Så vi fikk:
.
Denne formelen sammenfaller med formel (14) for n = k + 1 . Derfor, fra antagelsen om at formel (14) er gyldig for n = k, følger det at formel (14) er gyldig for n = k + 1 .

Derfor er formel (14), for den n-te ordens deriverte, gyldig for enhver n.

Derivater av høyere ordener av logaritme for å basere a

For å finne den n-te ordens deriverte av en logaritme til å basere a, må du uttrykke den i form av den naturlige logaritmen:
.
Ved å bruke formel (14), finner vi den n-te deriverte:
.

Se også: