i kjemi er manifestert i den geometriske konfigurasjonen av molekyler, som påvirker spesifikasjonene til fysisk og kjemiske egenskaper molekyler i en isolert tilstand, i et ytre felt og i samspill med andre atomer og molekyler.

De fleste enkle molekyler har elementer av romlig symmetri av likevektskonfigurasjonen: symmetriakser, symmetriplan osv. (se Symmetri i matematikk). Således har ammoniakkmolekylet NH 3 symmetrien til en vanlig trekantet pyramide, metanmolekylet CH 4 har symmetrien til et tetraeder. I komplekse molekyler er symmetrien til likevektskonfigurasjonen som helhet som regel fraværende, men symmetrien til dens individuelle fragmenter er omtrent bevart (lokal symmetri). Mest Full beskrivelse symmetri av både likevekts- og ikke-likevektskonfigurasjoner av molekyler oppnås på grunnlag av ideer om den såkalte. dynamiske symmetrigrupper - grupper som inkluderer ikke bare operasjoner av romlig symmetri av kjernefysisk konfigurasjon, men også operasjoner for omorganisering av identiske kjerner i forskjellige konfigurasjoner. For eksempel, dynamisk gruppe symmetri for NH 3-molekylet inkluderer også operasjonen av inversjon av dette molekylet: overgangen til N-atomet fra den ene siden av planet dannet av H-atomer til den andre siden.

Symmetrien til likevektskonfigurasjonen til kjerner i et molekyl innebærer en viss symmetri av bølgefunksjonene (Se Bølgefunksjon) til de ulike tilstandene til dette molekylet, noe som gjør det mulig å klassifisere tilstander etter typer symmetri. En overgang mellom to tilstander assosiert med absorpsjon eller emisjon av lys, avhengig av tilstandenes symmetrityper, kan enten vises i molekylspekteret (Se Molecular Spectra) eller være forbudt, slik at linjen eller båndet som tilsvarer denne overgangen vil være fraværende i spekteret. Typene symmetri av tilstander mellom hvilke overganger er mulige påvirker intensiteten til linjer og bånd, så vel som deres polarisering. For eksempel, i homonukleære diatomiske molekyler overganger mellom elektroniske tilstander med samme paritet, hvis elektroniske bølgefunksjoner oppfører seg på samme måte under inversjonsoperasjonen, er forbudt og vises ikke i spektrene; i benzenmolekyler og lignende forbindelser er overganger mellom ikke-degenererte elektroniske tilstander av samme type symmetri forbudt osv. Symmetrivalgreglene er supplert for overganger mellom ulike forhold utvelgelsesregler knyttet til spinn av disse statene.

For molekyler med paramagnetiske sentre fører symmetrien til miljøet til disse sentrene til en viss type anisotropi g-faktor (Lande multiplikator), som påvirker strukturen til elektrondampspektrene magnetisk resonans(Se Elektron paramagnetisk resonans), mens i molekyler hvis atomkjerner har spinn som ikke er null, fører symmetrien til individuelle lokale fragmenter til en viss type energisplitting av tilstander med forskjellige projeksjoner av kjernefysisk spinn, noe som påvirker strukturen til kjernemagnetisk resonansspektra (Se Kjernemagnetisk resonans).

I omtrentlige tilnærminger til kvantekjemi, ved å bruke ideen om molekylære orbitaler, er klassifisering etter symmetri mulig ikke bare for bølgefunksjonen til molekylet som helhet, men også for individuelle orbitaler. Hvis likevektskonfigurasjonen til et molekyl har et symmetriplan der kjernene ligger, er alle orbitalene til dette molekylet delt inn i to klasser: symmetrisk (σ) og antisymmetrisk (π) med hensyn til operasjonen av refleksjon i dette planet. Molekyler der de høyest (i energi) okkuperte orbitalene er π-orbitaler, danner spesifikke klasser av umettede og konjugerte forbindelser med egenskaper som er karakteristiske for dem. Kunnskap om den lokale symmetrien til individuelle fragmenter av molekyler og de molekylære orbitalene lokalisert på disse fragmentene gjør det mulig å bedømme hvilke fragmenter som lettere eksiteres og endres sterkere under kjemiske transformasjoner, for eksempel under fotokjemiske reaksjoner.

Symmetribegreper er viktige i den teoretiske analysen av strukturen til komplekse forbindelser, deres egenskaper og oppførsel i ulike reaksjoner. Krystallfeltteori og ligandfeltteori etablerer gjensidig ordning okkuperte og ledige orbitaler kompleks forbindelse basert på data om dens symmetri, arten og graden av splitting av energinivåer når symmetrien til ligandfeltet endres. Kunnskap om symmetrien til et kompleks alene gjør det ofte mulig å kvalitativt bedømme dets egenskaper.

I 1965 fremmet P. Woodward og R. Hoffman prinsippet om bevaring av orbitalsymmetri i kjemiske reaksjoner, som senere ble bekreftet av omfattende eksperimentelt materiale og hadde en innvirkning stor innflytelse om utvikling av preparativ organisk kjemi. Dette prinsippet (Woodward-Hoffman-regelen) sier at individuelle elementære handlinger av kjemiske reaksjoner finner sted mens symmetrien til molekylære orbitaler, eller orbitalsymmetri, opprettholdes. Jo mer symmetrien til orbitaler blir krenket under en elementær handling, desto vanskeligere er reaksjonen.

Å ta hensyn til symmetrien til molekyler er viktig når man søker og velger stoffer som brukes til å lage kjemiske lasere og molekylære likerettere, når man konstruerer modeller av organiske superledere, når man analyserer kreftfremkallende og farmakologiske stoffer. aktive stoffer etc.

Lit.: Hochstrasser R., Molecular aspects of symmetry, trans. fra engelsk, M., 1968; Bolotin A. B., Stepanov N. f.. Gruppeteori og dens anvendelser i kvantemekanikk av molekyler, M., 1973; Woodward R., Hoffman R., Conservation of Orbital Symmetry, trans. fra engelsk, M., 1971.

N.F. Stepanov.

i biologi (biosymmetri). Fenomenet S. i levende natur ble lagt merke til tilbake i Antikkens Hellas Pythagoras (5. århundre f.Kr.) i forbindelse med deres utvikling av harmonilæren. På 1800-tallet Noen få arbeider dukket opp om syntese av planter (franske forskere O. P. Decandolle og O. Bravo), dyr (tysk - E. Haeckel) og biogene molekyler (franske forskere - A. Vechan, L. Pasteur og andre). På 1900-tallet biologiske objekter ble studert fra synspunktet generell teori S. (sovjetiske forskere Yu. V. Wulf, V. N. Beklemishev, B. K. Weinstein, nederlandsk fysisk kjemiker F. M. Eger, engelske krystallografer ledet av J. Bernal) og læren om høyreisme og venstreisme (sovjetiske vitenskapsmenn V. I. Vernadsky, V. V. Alpatov, V. V. Alpatov) G. F. Gause og andre; tysk vitenskapsmann W. Ludwig). Disse arbeidene førte til identifiseringen i 1961 av en spesiell retning i studiet av S. - biosymmetri.

Den strukturelle S. av biologiske objekter har blitt studert mest intensivt. Studiet av S. biostrukturer - molekylære og supramolekylære - fra det strukturelle S.s ståsted lar oss identifisere på forhånd mulige typer S. for dem, og dermed antall og type mulige modifikasjoner, beskrive strengt den ytre formen og indre strukturen til alle romlige biologiske objekter. Dette førte til utbredt bruk av begrepene strukturell S. i zoologi, botanikk og molekylærbiologi. Strukturell S. manifesterer seg først og fremst i form av en eller annen regelmessig repetisjon. I klassisk teori strukturell struktur, utviklet av den tyske forskeren I. F. Hessel, E. S. Fedorov (Se Fedorov) og andre, kan utseendet til strukturen til et objekt beskrives av et sett med elementer i dets struktur, det vil si slike geometriske elementer (punkter, linjer) , plan) i forhold til hvilke identiske deler av et objekt er ordnet (se Symmetri i matematikk). For eksempel arten S. phlox blomst ( ris. 1 , c) - en femte ordens akse som går gjennom midten av blomsten; produsert gjennom driften - 5 rotasjoner (72, 144, 216, 288 og 360 °), med hver av dem blomsten sammenfaller med seg selv. Utsikt over S. sommerfuglfigur ( ris. 2 , b) - ett plan som deler det i 2 halvdeler - venstre og høyre; operasjonen som utføres gjennom flyet er en speilrefleksjon, "gjør" venstre halvdel til høyre, høyre halvdel til venstre og figuren til sommerfuglen som kombinerer med seg selv. Arten S. radiolaria Lithocubus geometricus ( ris. 3 , b), i tillegg til rotasjonsaksene og refleksjonsplanene, inneholder den også senter C. Enhver rett linje trukket gjennom et slikt enkelt punkt inne i radiolarien møter identiske (tilsvarende) punkter på figuren på begge sider av den og kl. like avstander. Operasjonene som utføres gjennom S.-senteret er refleksjoner ved et punkt, hvoretter også figuren til radiolaria kombineres med seg selv.

I levende natur (som i livløs natur), på grunn av ulike begrensninger, finnes vanligvis et betydelig mindre antall S.-arter enn det som er teoretisk mulig. For eksempel, på de nedre stadiene av utviklingen av levende natur, finnes representanter for alle klasser av punkterte S. - opp til organismer preget av S. vanlige polyedre og en ball (se ris. 3 ). Men på høyere stadier av evolusjonen finnes planter og dyr hovedsakelig såkalte. aksial (type n) og aktinomorf (type n(m)MED. (i begge tilfeller n kan ta verdier fra 1 til ∞). Biologiske objekter med aksial S. (se. ris. 1 ) karakteriseres kun av C-ordensaksen n. Bioobjekter av sactinomorphic S. (se. ris. 2 ) er preget av en rekkefølgeakse n og plan som krysser denne aksen m. De vanligste artene i dyrelivet er S. spp. n = 1 og 1․ m = m, kalles henholdsvis asymmetri (Se Asymmetri) og bilateral, eller bilateral, S. Asymmetri er karakteristisk for bladene til de fleste plantearter, bilateral S. - til en viss grad for den ytre formen på kroppen til mennesker, virveldyr, og mange virvelløse dyr. Hos mobile organismer er slik bevegelse tilsynelatende forbundet med forskjeller i deres bevegelse opp og ned og frem og tilbake, mens deres bevegelser til høyre og venstre er de samme. Et brudd på deres bilaterale S. vil uunngåelig føre til hemming av bevegelsen til en av sidene og transformasjonen bevegelse fremover i et rundskriv På 50-70-tallet. Det 20. århundre Den såkalte dissymmetriske biologiske objekter ( ris. 4 ). Sistnevnte kan eksistere i minst to modifikasjoner - i form av originalen og dens speilbilde (antipode). Dessuten kalles en av disse formene (uansett hvilken) høyre eller D (fra latin dextro), den andre kalles venstre eller L (fra latin laevo). Når man studerte formen og strukturen til D- og L-bioobjekter, ble teorien om dissymmetriserende faktorer utviklet, noe som beviste muligheten for ethvert D- eller L-objekt av to eller flere (opptil et uendelig antall) modifikasjoner (se også ris. 5 ); samtidig inneholdt den formler for å bestemme antall og type av sistnevnte. Denne teorien førte til oppdagelsen av den såkalte. biologisk isomeri (se isomerisme) (forskjellige biologiske gjenstander av samme sammensetning; på ris. 5 16 isomerer av lindeblad er vist).

Når man studerte forekomsten av biologiske objekter, ble det funnet at i noen tilfeller dominerer D-former, i andre L-former, i andre er de representert like ofte. Bechamp og Pasteur (40-tallet av 1800-tallet), og på 30-tallet. Det 20. århundre Den sovjetiske vitenskapsmannen G.F Gause og andre viste at cellene til organismer er bygget bare eller hovedsakelig av L-aminosyrer, L-proteiner, D-deoksyribonukleinsyrer, D-sukker, L-alkaloider, D- og L-terpener, etc. d. Så grunnleggende og karakteristisk levende celler, kalt av Pasteur dissymmetrien til protoplasma, gir cellen, som ble etablert på 1900-tallet, en mer aktiv metabolisme og opprettholdes gjennom komplekse biologiske og fysiokjemiske mekanismer som oppsto i evolusjonsprosessen. Sov. vitenskapsmann V.V. Alpatov i 1952, ved hjelp av 204 arter av karplanter, fastslo at 93,2% av plantearter tilhører typen med L-, 1,5% - med D-forløp av spiralformede fortykkelser av blodkarveggene, 5,3% av artene - til racemisk type (antall D-kar er omtrent lik antall L-kar).

Ved studering av D- og L-bioobjekter ble det funnet at likhet mellom D- og L-former i noen tilfeller blir det krenket på grunn av forskjeller i deres fysiologiske, biokjemiske og andre egenskaper. Denne egenskapen ved levende natur ble kalt livets dissymmetri. Dermed er den spennende effekten av L-aminosyrer på bevegelsen av plasma inn planteceller titalls og hundrevis av ganger overlegen den samme effekten av deres D-former. Mange antibiotika (penicillin, gramicidin, etc.) som inneholder D-aminosyrer er mer bakteriedrepende enn deres former med L-aminosyrer. De mer vanlige spiralformede L-kop sukkerbetefruktene er 8-44% (avhengig av sort) tyngre og inneholder 0,5-1% mer sukker enn D-kopnon-frukter.

I dag skal vi snakke om et fenomen som hver av oss stadig møter i livet: symmetri. Hva er symmetri?

Vi forstår alle omtrent betydningen av dette begrepet. Ordboken sier: symmetri er proporsjonalitet og fullstendig samsvar med arrangementet av deler av noe i forhold til en rett linje eller et punkt. Det er to typer symmetri: aksial og radial. La oss se på den aksiale først. Dette er, la oss si, "speil" symmetri, når den ene halvdelen av et objekt er helt identisk med den andre, men gjentar det som en refleksjon. Se på halvdelene av arket. De er speilsymmetriske. Halvdelene av menneskekroppen er også symmetriske (forfra) - identiske armer og ben, identiske øyne. Men la oss ikke ta feil; faktisk, i den organiske (levende) verden kan absolutt symmetri ikke bli funnet! Halvdelene av arket kopierer hverandre langt fra perfekt, det samme gjelder menneskekroppen (se nærmere selv); Det samme gjelder for andre organismer! Forresten, det er verdt å legge til at enhver symmetrisk kropp er symmetrisk i forhold til betrakteren bare i en posisjon. Det er verdt, for eksempel, å snu et papirark, eller løfte den ene hånden, og hva skjer? – du ser selv.

Folk oppnår ekte symmetri i arbeidene deres (tingene) - klær, biler ... I naturen er det karakteristisk for uorganiske formasjoner, for eksempel krystaller.

Men la oss gå videre til praksis. Du bør ikke begynne med komplekse gjenstander som mennesker og dyr; la oss prøve å tegne ferdig speilhalvdelen av arket som den første øvelsen i et nytt felt.

Tegne et symmetrisk objekt - leksjon 1

Vi sørger for at det blir så likt som mulig. For å gjøre dette, vil vi bokstavelig talt bygge vår sjelefrende. Ikke tro at det er så lett, spesielt første gang, å tegne en speiltilsvarende linje med ett slag!

La oss markere flere referansepunkter for den fremtidige symmetriske linjen. Vi fortsetter slik: med en blyant, uten å trykke, tegner vi flere perpendikulærer til symmetriaksen - midtribben av bladet. Fire eller fem er nok foreløpig. Og på disse perpendikulærene måler vi til høyre samme avstand som på venstre halvdel til linjen på kanten av bladet. Jeg anbefaler deg å bruke en linjal, ikke stol for mye på øyet ditt. Som regel har vi en tendens til å redusere tegningen - dette er observert av erfaring. Vi anbefaler ikke å måle avstander med fingrene: feilen er for stor.

La oss koble de resulterende punktene med en blyantlinje:

La oss nå se nøye på om halvdelene virkelig er like. Hvis alt er riktig, vil vi sirkle det med en tusj og tydeliggjøre linjen vår:

Poppelbladet er ferdig, nå kan du ta en svingom på eikebladet.

La oss tegne en symmetrisk figur - leksjon 2

I dette tilfellet ligger vanskeligheten i det faktum at venene er merket og de ikke er vinkelrette på symmetriaksen, og ikke bare dimensjonene, men også helningsvinkelen må observeres strengt. Vel, la oss trene øyet vårt:

Så et symmetrisk eikeblad er tegnet, eller rettere sagt, vi bygde det i henhold til alle reglene:

Hvordan tegne et symmetrisk objekt - leksjon 3

Og la oss konsolidere temaet - vi avslutter med å tegne et symmetrisk syrinblad.

Det har han også interessant form- hjerteformet og med ører i bunnen, må du puste:

Dette er hva de tegnet:

Ta en titt på det resulterende arbeidet på avstand og vurder hvor nøyaktig vi var i stand til å formidle den nødvendige likheten. Her er et tips: se på bildet ditt i speilet, og det vil fortelle deg om det er noen feil. En annen måte: bøy bildet nøyaktig langs aksen (vi har allerede lært hvordan du bøyer det riktig) og kutt ut bladet langs den opprinnelige linjen. Se på selve figuren og på det kuttede papiret.

Menneskers liv er fylt med symmetri. Det er praktisk, vakkert, og det er ingen grunn til å finne opp nye standarder. Men hva er det egentlig og er det så vakkert i naturen som man ofte tror?

Symmetri

Siden antikken har folk forsøkt å organisere verden rundt seg. Derfor anses noen ting som vakre, og noen er ikke så mye. Fra et estetisk synspunkt anses de gyldne og sølvforholdene som attraktive, så vel som, selvfølgelig, symmetri. Dette begrepet har gresk opprinnelse og betyr bokstavelig talt "proporsjonalitet". Selvfølgelig snakker vi ikke bare om tilfeldigheter på dette grunnlaget, men også om noen andre. I en generell forstand er symmetri en egenskap til et objekt når resultatet, som et resultat av visse formasjoner, er lik de opprinnelige dataene. Dette skjer både i bo og inne livløs natur, så vel som i gjenstander laget av mennesker.

Først og fremst brukes begrepet "symmetri" i geometri, men finner anvendelse i mange vitenskapelige felt, og betydningen forblir generelt uendret. Dette fenomenet forekommer ganske ofte og anses som interessant, siden flere av dens typer, så vel som elementer, er forskjellige. Bruken av symmetri er også interessant, fordi den ikke bare finnes i naturen, men også i mønstre på stoff, grenser til bygninger og mange andre menneskeskapte gjenstander. Det er verdt å vurdere dette fenomenet mer detaljert, fordi det er ekstremt fascinerende.

Bruk av begrepet i andre vitenskapelige felt

I det følgende vil symmetri bli vurdert fra et geometrisk synspunkt, men det er verdt å nevne at gitt ord brukes ikke bare her. Biologi, virologi, kjemi, fysikk, krystallografi - alt dette er en ufullstendig liste over områder der dette fenomenet studert fra ulike vinkler og ulike forhold. For eksempel avhenger klassifiseringen av hvilken vitenskap dette begrepet refererer til. Dermed varierer inndelingen i typer veldig, selv om noen grunnleggende kanskje forblir uendret hele veien.

Klassifisering

Det finnes flere hovedtyper av symmetri, hvorav tre er de vanligste:

I tillegg skilles følgende typer også ut i geometri, de er mye mindre vanlige, men ikke mindre interessante:

• skyve;
• roterende;
• punkt;
• progressive;
• skru;
• fraktal;
• etc.

I biologi kalles alle arter litt annerledes, selv om de i hovedsak kan være like. Inndeling i visse grupper skjer på grunnlag av tilstedeværelse eller fravær, så vel som mengden av visse elementer, som sentre, plan og symmetriakser. De bør vurderes separat og mer detaljert.

Grunnleggende elementer

Fenomenet har visse trekk, hvorav en nødvendigvis er tilstede. De såkalte grunnelementene inkluderer plan, sentre og symmetriakser. Det er i samsvar med deres tilstedeværelse, fravær og mengde at typen bestemmes.

Symmetrisenteret er punktet inne i en figur eller krystall der linjene som parvis forbinder alle sider parallelt med hverandre, konvergerer. Det finnes selvsagt ikke alltid. Hvis det er sider som det ikke er noe parallelt par til, kan et slikt punkt ikke bli funnet, siden det ikke eksisterer. I følge definisjonen er det åpenbart at symmetriens sentrum er det som en figur kan reflekteres gjennom seg selv. Et eksempel vil for eksempel være en sirkel og et punkt i midten. Dette elementet er vanligvis betegnet som C.

Symmetriplanet er selvfølgelig imaginært, men det er nettopp det som deler figuren i to deler som er like hverandre. Den kan passere gjennom en eller flere sider, være parallell med den eller dele dem. For samme figur kan flere fly eksistere samtidig. Disse elementene er vanligvis betegnet som P.

Men kanskje det vanligste er det som kalles "symmetriakse". Dette er et vanlig fenomen som kan sees både i geometri og i naturen. Og det er verdt å vurdere separat.

Aksler

Ofte er elementet som en figur kan kalles symmetrisk i forhold til

Eksempler inkluderer likebente og I det første tilfellet vil det være en vertikal symmetriakse, på begge sider som det er like flater av, og i det andre vil linjene krysse hver vinkel og falle sammen med alle halveringslinjer, medianer og høyder. Vanlige trekanter har ikke dette.

Forresten, helheten av alle de ovennevnte elementene i krystallografi og stereometri kalles graden av symmetri. Denne indikatoren avhenger av antall akser, fly og sentre.

Eksempler innen geometri

Konvensjonelt kan vi dele hele settet med studieobjekter av matematikere i figurer som har en symmetriakse og de som ikke har det. Alle sirkler, ovaler, samt noen spesielle tilfeller faller automatisk inn i den første kategorien, mens resten faller inn i den andre gruppen.

Som i tilfellet da vi snakket om symmetriaksen til en trekant, eksisterer ikke dette elementet alltid for en firkant. For en firkant, rektangel, rombe eller parallellogram er det det, men for en uregelmessig figur er det følgelig ikke det. For en sirkel er symmetriaksen settet med rette linjer som går gjennom midten.

I tillegg er det interessant å vurdere tredimensjonale figurer fra dette synspunktet. I tillegg til alle vanlige polygoner og ballen, vil noen kjegler, samt pyramider, parallellogrammer og noen andre, ha minst én symmetriakse. Hver sak må vurderes separat.

Eksempler i naturen

I livet kalles det bilateralt, det forekommer mest
ofte. Enhver person og mange dyr er eksempler på dette. Aksial kalles radial og er mye mindre vanlig, vanligvis i flora. Og likevel eksisterer de. For eksempel er det verdt å tenke på hvor mange symmetriakser en stjerne har, og har den noen i det hele tatt? Selvfølgelig snakker vi om sjødyr, og ikke om emnet for studier av astronomer. Og det riktige svaret vil være: det avhenger av antall stråler fra stjernen, for eksempel fem, om den er femspiss.

I tillegg observeres radiell symmetri i mange blomster: tusenfryd, kornblomster, solsikker osv. Eksempler stor mengde, de er bokstavelig talt overalt rundt.

Arytmi

Dette begrepet minner først og fremst mest om medisin og kardiologi, men det har i utgangspunktet en litt annen betydning. I dette tilfellet vil synonymet være "asymmetri", det vil si fravær eller brudd på regelmessighet i en eller annen form. Det kan bli funnet som en ulykke, og noen ganger kan det bli en fantastisk teknikk, for eksempel i klær eller arkitektur. Tross alt er det mange symmetriske bygninger, men den berømte er litt skråstilt, og selv om den ikke er den eneste, er den det mest kjente eksemplet. Det er kjent at dette skjedde ved et uhell, men dette har sin egen sjarm.

I tillegg er det åpenbart at ansikter og kropper til mennesker og dyr heller ikke er helt symmetriske. Det har til og med vært studier som viser at "korrekte" ansikter anses å være livløse eller rett og slett uattraktive. Likevel er oppfatningen av symmetri og dette fenomenet i seg selv fantastisk og har ennå ikke blitt fullstendig studert, og er derfor ekstremt interessant.

Hensikten med leksjonen:

• dannelse av konseptet "symmetriske punkter";
• lære barn å konstruere punkter symmetriske til data;
• lære å konstruere segmenter symmetriske til data;
• konsolidering av det som er lært (dannelse av beregningsevner, deling av et flersifret tall med et ensifret tall).

På stativet "for leksjonen" er det kort:

1. Organisatorisk øyeblikk

Hilsener.

Læreren gjør oppmerksom på standen:

Barn, la oss starte leksjonen med å planlegge arbeidet vårt.

I dag i matematikktimen skal vi ta en reise inn i 3 riker: riket for aritmetikk, algebra og geometri. La oss starte leksjonen med det viktigste for oss i dag, med geometri. Jeg skal fortelle deg et eventyr, men "Et eventyr er en løgn, men det er et hint i det - en leksjon for gode karer."

": En filosof ved navn Buridan hadde et esel. En gang, mens han dro i lang tid, la filosofen to like armfuller høy foran eselet. Han plasserte en benk, og til venstre for benken og til høyre for den , på samme avstand plasserte han helt identiske armer med høy.

Figur 1 på tavlen:

Eselet gikk fra en armfull høy til en annen, men bestemte seg likevel ikke for hvilken armfull han skulle begynne med. Og til slutt døde han av sult."

Hvorfor bestemte ikke eselet seg for hvilken armfull høy han skulle begynne med?

Hva kan du si om disse armene med høy?

(Armene med høy er nøyaktig like, de var i samme avstand fra benken, noe som betyr at de er symmetriske).

2. La oss gjøre litt research.

Ta et ark papir (hvert barn har et ark med farget papir på skrivebordet), brett det i to. Stikk hull i den med benet på et kompass. Utvide.

Hva fikk du? (2 symmetriske punkter).

Hvordan kan du være sikker på at de er virkelig symmetriske? (la oss brette arket, poengene samsvarer)

3. På pulten:

Tror du disse punktene er symmetriske? (Nei). Hvorfor? Hvordan kan vi være sikre på dette?

Figur 3:

Er disse punktene A og B symmetriske?

Hvordan kan vi bevise dette?

(Mål avstanden fra den rette linjen til punktene)

La oss gå tilbake til våre biter av farget papir.

Mål avstanden fra brettelinjen (symmetriaksen) først til det ene og deretter til det andre punktet (men først koble dem til et segment).

Hva kan du si om disse avstandene?

(Det samme)

Finn midten av segmentet ditt.

Hvor er det?

(Er skjæringspunktet mellom segment AB med symmetriaksen)

4. Vær oppmerksom på hjørnene, dannet som et resultat av skjæringen av segment AB med symmetriaksen. (Vi finner ut ved hjelp av en firkant, hvert barn jobber på sin egen arbeidsplass, ett studerer på tavla).

Barnas konklusjon: segment AB er vinkelrett på symmetriaksen.

Uten å vite det har vi nå oppdaget en matematisk regel:

Hvis punktene A og B er symmetriske om en rett linje eller symmetriakse, er segmentet som forbinder disse punktene i en rett vinkel eller vinkelrett på denne rette linjen. (Ordet "vinkelrett" er skrevet separat på stativet). Vi sier ordet "vinkelrett" høyt i kor.

5. La oss ta hensyn til hvordan denne regelen er skrevet i læreboken vår.

Arbeid etter læreboka.

Finn symmetriske punkter i forhold til den rette linjen. Vil punktene A og B være symmetriske rundt denne linjen?

6. Arbeider med nytt materiale.

La oss lære hvordan du konstruerer punkter symmetriske til data i forhold til en rett linje.

Læreren underviser i resonnement.

For å konstruere et punkt symmetrisk til punkt A, må du flytte dette punktet fra den rette linjen til samme avstand til høyre.

7. Vi vil lære å konstruere segmenter symmetriske til data i forhold til en rett linje. Arbeid etter læreboka.

Elevene resonnerer ved styret.

8. Muntlig telling.

Det er her vi avslutter oppholdet i "Geometry" Kingdom og vil gjøre en liten matematisk oppvarming ved å besøke "Aritmetic" Kingdom.

Mens alle jobber muntlig, jobber to elever i individuelle styrer.

A) Utfør divisjon med verifisering:

B) Etter å ha satt inn de nødvendige tallene, løs eksemplet og kontroller:

Verbal telling.

1. Levetiden til en bjørk er 250 år, og en eik er 4 ganger lengre. Hvor lenge lever et eiketre?
2. En papegøye lever i gjennomsnitt 150 år, og en elefant er 3 ganger mindre. Hvor mange år lever en elefant?
3. Bjørnen inviterte gjester til ham: et pinnsvin, en rev og et ekorn. Og som gave ga de ham en sennepsgryte, en gaffel og en skje. Hva ga pinnsvinet bjørnen?

Vi kan svare på dette spørsmålet hvis vi kjører disse programmene.

• Sennep - 7
• Gaffel - 8
• skje - 6

(Pinnsvinet ga en skje)

4) Beregn. Finn et annet eksempel.

• 810: 90
• 360: 60
• 420: 7
• 560: 80

5) Finn et mønster og hjelp til å skrive ned det nødvendige antallet:

3	9	81
2		16

5	10	20
6		24

9. La oss nå hvile litt.

La oss høre på Beethovens Moonlight Sonata. Et minutt med klassisk musikk. Elevene legger hodet på pulten, lukker øynene og hører på musikk.

10. Reis inn i algebraens rike.

Gjett røttene til ligningen og sjekk:

Elevene løser oppgaver på tavlen og i notatbøker. De forklarer hvordan de gjettet det.

11. "Blitz-turnering" .

a) Asya kjøpte 5 bagels for a rubler og 2 brød for b rubler. Hvor mye koster hele kjøpet?

La oss sjekke. La oss dele våre meninger.

12. Oppsummering.

Så vi har fullført vår reise inn i matematikkens rike.

Hva var det viktigste for deg i timen?

Hvem likte leksjonen vår?

Det var en glede å jobbe med deg

Takk for leksjonen.

Du vil trenge

• - egenskaper til symmetriske punkter;
• - egenskapene til symmetriske figurer;
• - Hersker;
• - torget;
• - kompass;
• - blyant;
• - papir;
• - en datamaskin med et grafikkredigeringsprogram.

Bruksanvisning

Tegn en rett linje a, som vil være symmetriaksen. Hvis koordinatene ikke er spesifisert, tegner du den vilkårlig. Plasser et vilkårlig punkt A på den ene siden av denne linjen. Du må finne et symmetrisk punkt.

Nyttige råd

Symmetriegenskaper brukes konstant i AutoCAD. For å gjøre dette, bruk Mirror-alternativet. For å konstruere en likebenet trekant eller likebenet trapes det er nok å tegne den nedre basen og vinkelen mellom den og siden. Reflekter dem ved å bruke den angitte kommandoen og forleng sidene til ønsket størrelse. Når det gjelder en trekant, vil dette være skjæringspunktet deres, og for en trapes vil dette være en gitt verdi.

Du støter stadig på symmetri i grafiske redaktører når du bruker alternativet "flip vertikalt/horisontalt". I dette tilfellet tas symmetriaksen til å være en rett linje som tilsvarer en av de vertikale eller horisontale sidene av bilderammen.

Kilder:

• hvordan tegne sentral symmetri

Å konstruere et tverrsnitt av en kjegle er ikke slik vanskelig oppgave. Det viktigste er å følge en streng sekvens av handlinger. Deretter denne oppgaven vil være lett å gjøre og vil ikke kreve mye arbeid fra deg.

Du vil trenge

• - papir;
• - penn;
• - sirkel;
• - Hersker.

Bruksanvisning

Når du svarer på dette spørsmålet, må du først bestemme hvilke parametere som definerer seksjonen.
La dette være den rette skjæringslinjen til planet l med planet og punktet O, som er skjæringspunktet med dets snitt.

Konstruksjonen er illustrert i fig. 1. Det første trinnet i å konstruere en seksjon er gjennom midten av seksjonen av dens diameter, utvidet til l vinkelrett på denne linjen. Resultatet er punkt L. Tegn deretter en rett linje LW gjennom punkt O, og konstruer to styrekjegler som ligger i hovedseksjonen O2M og O2C. I skjæringspunktet mellom disse føringene ligger punktet Q, samt det allerede viste punktet W. Dette er de to første punktene i ønsket snitt.

Tegn nå en vinkelrett MS ved bunnen av kjeglen BB1 og konstruer generatriser av den vinkelrette seksjonen O2B og O2B1. I denne delen, gjennom punkt O, tegner du en rett linje RG parallelt med BB1. Т.R og Т.G er ytterligere to punkter i ønsket seksjon. Hvis tverrsnittet av ballen var kjent, kunne den bygges allerede på dette stadiet. Dette er imidlertid ikke en ellipse i det hele tatt, men noe elliptisk som har symmetri med hensyn til segmentet QW. Derfor bør du bygge så mange seksjonspunkter som mulig for å koble dem senere med en jevn kurve for å få den mest pålitelige skissen.

Konstruer et vilkårlig seksjonspunkt. For å gjøre dette, tegn en vilkårlig diameter AN ved bunnen av kjeglen og konstruer de tilsvarende føringene O2A og O2N. Gjennom t.O, tegn en rett linje som går gjennom PQ og WG til den skjærer de nykonstruerte føringene ved punktene P og E. Dette er ytterligere to punkter av ønsket seksjon. Fortsetter du på samme måte, kan du finne så mange poeng du vil.

Riktignok kan prosedyren for å få dem forenkles litt ved å bruke symmetri med hensyn til QW. For å gjøre dette kan du tegne rette linjer SS’ i planet til ønsket seksjon, parallelt med RG til de krysser overflaten av kjeglen. Konstruksjonen fullføres ved å avrunde den konstruerte polylinjen fra akkorder. Det er nok å konstruere halvparten av ønsket seksjon på grunn av den allerede nevnte symmetrien med hensyn til QW.

Video om emnet

Tips 3: Hvordan lage en graf trigonometrisk funksjon

Du må tegne rute trigonometrisk funksjoner? Mestre algoritmen for handlinger ved å bruke eksemplet med å konstruere en sinusoid. For å løse problemet, bruk forskningsmetoden.

Du vil trenge

• - Hersker;
• - blyant;
• - kunnskap om det grunnleggende innen trigonometri.

Bruksanvisning

Video om emnet

Merk

Hvis de to halvaksene til en enkelt-strips hyperboloid er like, kan figuren oppnås ved å rotere en hyperbel med halvakser, hvorav den ene er den ovenfor, og den andre, forskjellig fra de to like, rundt imaginær akse.

Nyttige råd

Når man undersøker denne figuren i forhold til Oxz- og Oyz-aksene, er det klart at hoveddelene er hyperbler. Og når denne romlige rotasjonsfiguren kuttes av Oxy-planet, er seksjonen en ellipse. Halsellipsen til en enkelt-strips hyperboloid passerer gjennom origo for koordinater, fordi z=0.

Halsellipsen er beskrevet av ligningen x²/a² +y²/b²=1, og de andre ellipsene er sammensatt av ligningen x²/a² +y²/b²=1+h²/c².

Kilder:

• Ellipsoider, paraboloider, hyperboloider. Rettlinjede generatorer

Formen til en femspiss stjerne har vært mye brukt av mennesker siden antikken. Vi anser dens form som vakker fordi vi ubevisst gjenkjenner forholdene til det gylne snitt i den, dvs. skjønnheten til den femtakkede stjernen rettferdiggjøres matematisk. Euklid var den første som beskrev konstruksjonen av en femspiss stjerne i sine elementer. La oss bli med på hans erfaring.

Du vil trenge

• Hersker;
• blyant;
• kompass;
• gradskive.

Bruksanvisning

Konstruksjonen av en stjerne kommer ned til konstruksjonen og den påfølgende koblingen av toppene til hverandre sekvensielt gjennom en. For å bygge den riktige, må du dele sirkelen i fem.
Konstruer en vilkårlig sirkel ved hjelp av et kompass. Marker midten med punktet O.

Merk punkt A og bruk en linjal til å tegne linjestykke OA. Nå må du dele segmentet OA i to for å gjøre dette, fra punkt A, tegne en bue med radius OA til den skjærer sirkelen i to punkter M og N. Konstruer segmentet MN. Punktet E der MN skjærer OA vil halvere segment OA.

Gjenopprett den perpendikulære OD til radius OA og koble punktene D og E. Lag et hakk B på OA fra punkt E med radius ED.

Nå, bruk linjestykket DB, merk sirkelen i fem like deler. Merk toppunktene til den regulære femkanten sekvensielt med tall fra 1 til 5. Koble prikkene i følgende rekkefølge: 1 med 3, 2 med 4, 3 med 5, 4 med 1, 5 med 2. Her er den vanlige femspiss stjerne, inn i en vanlig femkant. Det er akkurat slik jeg bygde det