I denne artikkelen vil vi vise hvordan du gir definisjoner av sinus, cosinus, tangens og cotangens av en vinkel og et tall i trigonometri. Her skal vi snakke om notasjoner, gi eksempler på oppføringer og gi grafiske illustrasjoner. Avslutningsvis, la oss trekke en parallell mellom definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens i trigonometri og geometri.

Sidenavigering.

Definisjon av sinus, cosinus, tangens og cotangens

La oss se hvordan ideen om sinus, cosinus, tangent og cotangens dannes i skolekurs matematikk. I geometritimer er definisjonen av sinus, cosinus, tangens og cotangens for en spiss vinkel i høyre trekant. Og senere studeres trigonometri, som snakker om sinus, cosinus, tangens og cotangens av rotasjonsvinkelen og tallet. La oss presentere alle disse definisjonene, gi eksempler og gi de nødvendige kommentarene.

Spiss vinkel i en rettvinklet trekant

Fra geometrikurset kjenner vi definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant. De er gitt som forholdet mellom sidene i en rettvinklet trekant. La oss gi deres formuleringer.

Definisjon.

Sinus av en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og hypotenusen.

Definisjon.

Cosinus av en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen.

Definisjon.

Tangent av en spiss vinkel i en rettvinklet trekant– dette er forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side.

Definisjon.

Kotangens av en spiss vinkel i en rettvinklet trekant- dette er forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte siden.

Betegnelsene for sinus, cosinus, tangens og cotangens er også introdusert der - henholdsvis sin, cos, tg og ctg.

For eksempel, hvis ABC er en rettvinklet trekant med rett vinkel C, så er sinusen til den spisse vinkelen A lik forholdet mellom motsatt side BC og hypotenusen AB, det vil si sin∠A=BC/AB.

Disse definisjonene lar deg beregne verdiene av sinus, cosinus, tangens og cotangens for en spiss vinkel fra kjente lengder sider av en rettvinklet trekant, så vel som langs kjente verdier finn lengdene på de andre sidene ved å bruke sinus, cosinus, tangens, cotangens og lengden på en av sidene. For eksempel, hvis vi visste at i en rettvinklet trekant er benet AC lik 3 og hypotenusen AB er lik 7, så kunne vi beregne verdien av cosinus til den spisse vinkelen A per definisjon: cos∠A=AC/ AB=3/7.

Rotasjonsvinkel

I trigonometri begynner de å se bredere på vinkelen – de introduserer begrepet rotasjonsvinkel. Størrelsen på rotasjonsvinkelen, i motsetning til en spiss vinkel, er ikke begrenset til 0 til 90 grader; rotasjonsvinkelen i grader (og i radianer) kan uttrykkes med et hvilket som helst reelt tall fra −∞ til +∞.

I dette lyset er definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens ikke gitt av en spiss vinkel, men av en vinkel av vilkårlig størrelse - rotasjonsvinkelen. De er gitt gjennom x- og y-koordinatene til punktet A 1, som det såkalte startpunktet A(1, 0) går etter sin rotasjon med en vinkel α rundt punktet O - begynnelsen av det rektangulære kartesiske koordinatsystemet og midten av enhetssirkelen.

Definisjon.

Sinus av rotasjonsvinkelα er ordinaten til punkt A 1, det vil si sinα=y.

Definisjon.

Cosinus til rotasjonsvinkelenα kalles abscissen til punkt A 1, det vil si cosα=x.

Definisjon.

Tangent av rotasjonsvinkelα er forholdet mellom ordinaten til punktet A 1 og abscissen, det vil si tanα=y/x.

Definisjon.

Kotangens av rotasjonsvinkelenα er forholdet mellom abscissen til punkt A 1 og ordinaten, det vil si ctgα=x/y.

Sinus og cosinus er definert for enhver vinkel α, siden vi alltid kan bestemme abscissen og ordinaten til punktet, som oppnås ved å rotere startpunktet etter vinkelen α. Men tangent og cotangens er ikke definert for noen vinkel. Tangenten er ikke definert for vinklene α hvor startpunktet går til et punkt med null abscisse (0, 1) eller (0, −1), og dette skjer ved vinklene 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). Faktisk, ved slike rotasjonsvinkler gir uttrykket tgα=y/x ikke mening, siden det inneholder divisjon med null. Når det gjelder cotangens, er den ikke definert for vinklene α hvor startpunktet går til punktet med nullordinaten (1, 0) eller (−1, 0), og dette skjer for vinklene 180° k, k ∈Z (π·k rad).

Så, sinus og cosinus er definert for alle rotasjonsvinkler, tangent er definert for alle vinkler unntatt 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), og cotangens er definert for alle vinkler unntatt 180° ·k , k∈Z (π·k rad).

Definisjonene inkluderer betegnelsene som allerede er kjent for oss sin, cos, tg og ctg, de brukes også til å betegne sinus, cosinus, tangens og cotangens for rotasjonsvinkelen (noen ganger kan du finne betegnelsene tan og cot som svarer til tangent og cotangens) . Så sinusen til en rotasjonsvinkel på 30 grader kan skrives som sin30°, oppføringene tg(−24°17′) og ctgα tilsvarer tangenten til rotasjonsvinkelen −24 grader 17 minutter og cotangensen til rotasjonsvinkelen α . Husk at når du skriver radianmålet for en vinkel, blir betegnelsen "rad" ofte utelatt. For eksempel er cosinus til en rotasjonsvinkel på tre pi rad vanligvis betegnet cos3·π.

Som konklusjon av dette punktet er det verdt å merke seg at når man snakker om sinus, cosinus, tangens og cotangens for rotasjonsvinkelen, er uttrykket "rotasjonsvinkel" eller ordet "rotasjon" ofte utelatt. Det vil si at i stedet for uttrykket "sinus til rotasjonsvinkelen alfa", brukes vanligvis uttrykket "sinus til alfavinkelen" eller enda kortere, "sinus alfa". Det samme gjelder cosinus, tangens og cotangens.

Vi vil også si at definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens for en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er i samsvar med definisjonene som nettopp er gitt for sinus, cosinus, tangens og cotangens for en rotasjonsvinkel som varierer fra 0 til 90 grader. Vi vil begrunne dette.

Tall

Definisjon.

Sinus, cosinus, tangens og cotangens av et tall t er et tall lik sinus, cosinus, tangens og cotangens til henholdsvis rotasjonsvinkelen i t radianer.

For eksempel er cosinus til tallet 8·π per definisjon et tall som er lik cosinus til vinkelen til 8·π rad. Og cosinus til en vinkel på 8·π rad er lik én, derfor er cosinus til tallet 8·π lik 1.

Det er en annen tilnærming til å bestemme sinus, cosinus, tangens og cotangens til et tall. Den består i at alle ekte nummer t er matchet med prikken enhetssirkel sentrert ved opprinnelsen til det rektangulære koordinatsystemet, og sinus, cosinus, tangens og cotangens bestemmes gjennom koordinatene til dette punktet. La oss se på dette mer detaljert.

La oss vise hvordan en korrespondanse etableres mellom reelle tall og punkter på en sirkel:

• tallet 0 er tildelt startpunktet A(1, 0);
• positivt tall t er assosiert med punktet til enhetssirkelen, som vi kommer til hvis vi beveger oss langs sirkelen fra startpunktet i retning mot klokken og går en bane med lengden t;
• negativt tall t er assosiert med punktet til enhetssirkelen, som vi kommer til hvis vi beveger oss langs sirkelen fra startpunktet i retning med klokken og går en bane med lengde |t| .

Nå går vi videre til definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens av tallet t. La oss anta at tallet t tilsvarer et punkt på sirkelen A 1 (x, y) (for eksempel tilsvarer tallet &pi/2; punktet A 1 (0, 1) ).

Definisjon.

Sinus av tallet t er ordinaten til punktet på enhetssirkelen som tilsvarer tallet t, det vil si sint=y.

Definisjon.

Cosinus av tallet t kalles abscissen til punktet i enhetssirkelen som tilsvarer tallet t, det vil si kostnad=x.

Definisjon.

Tangent av nummeret t er forholdet mellom ordinaten og abscissen til et punkt på enhetssirkelen som tilsvarer tallet t, det vil si tgt=y/x. I en annen ekvivalent formulering er tangensen til et tall t forholdet mellom sinusen til dette tallet og cosinus, det vil si tgt=sint/kostnad.

Definisjon.

Kotangens av nummeret t er forholdet mellom abscissen og ordinaten til et punkt på enhetssirkelen som tilsvarer tallet t, det vil si ctgt=x/y. En annen formulering er denne: tangenten til tallet t er forholdet mellom cosinus til tallet t og sinus til tallet t: ctgt=kostnad/sint.

Her merker vi at definisjonene som nettopp er gitt, stemmer overens med definisjonen gitt i begynnelsen av dette avsnittet. Faktisk faller punktet på enhetssirkelen som tilsvarer tallet t sammen med punktet oppnådd ved å rotere startpunktet med en vinkel på t radianer.

Det er likevel verdt å avklare dette punktet. La oss si at vi har oppføringen sin3. Hvordan kan vi forstå om vi snakker om sinus til tallet 3 eller sinus til rotasjonsvinkelen til 3 radianer? Dette er vanligvis tydelig fra konteksten, ellers er det sannsynligvis ikke av grunnleggende betydning.

Trigonometriske funksjoner av vinkel- og numerisk argument

I henhold til definisjonene gitt i forrige avsnitt, tilsvarer hver rotasjonsvinkel α en veldig spesifikk verdi sinα, så vel som verdien cosα. I tillegg tilsvarer alle andre rotasjonsvinkler enn 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) tgα-verdier, og andre verdier enn 180°k, k∈Z (πk rad ) – verdier av ctgα. Derfor er sinα, cosα, tanα og ctgα funksjoner av vinkelen α. Med andre ord, dette er funksjoner til vinkelargumentet.

Vi kan snakke på samme måte om funksjonene sinus, cosinus, tangens og cotangens til et numerisk argument. Faktisk tilsvarer hvert reelle tall t en veldig spesifikk verdi sint, så vel som kostnad. I tillegg tilsvarer alle andre tall enn π/2+π·k, k∈Z verdiene tgt, og tallene π·k, k∈Z - verdier ctgt.

Funksjonene sinus, cosinus, tangens og cotangens kalles grunnleggende trigonometriske funksjoner.

Det er vanligvis klart av konteksten om vi har å gjøre med trigonometriske funksjoner til et vinkelargument eller et numerisk argument. Ellers kan vi tenke på den uavhengige variabelen som både et mål på vinkelen (vinkelargument) og et numerisk argument.

På skolen studerer vi imidlertid hovedsakelig numeriske funksjoner, det vil si funksjoner hvis argumenter, så vel som deres tilsvarende funksjonsverdier, er tall. Derfor, hvis vi snakker om spesielt om funksjoner, er det tilrådelig å vurdere trigonometriske funksjoner som funksjoner av numeriske argumenter.

Sammenheng mellom definisjoner fra geometri og trigonometri

Hvis vi betrakter rotasjonsvinkelen α som strekker seg fra 0 til 90 grader, så er definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens av rotasjonsvinkelen i sammenheng med trigonometri fullt konsistente med definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens av en spiss vinkel i en rettvinklet trekant, som er gitt i geometrikurset. La oss begrunne dette.

La oss skildre enhetssirkelen i det rektangulære kartesiske koordinatsystemet Oxy. La oss markere startpunktet A(1, 0) . La oss rotere den med en vinkel α som strekker seg fra 0 til 90 grader, vi får punktet A 1 (x, y). La oss slippe perpendikulæren A 1 H fra punkt A 1 til Ox-aksen.

Det er lett å se at i en rettvinklet trekant vinkel A 1 OH lik vinkel rotasjon α, lengden på benet OH ved siden av denne vinkelen er lik abscissen til punktet A 1, det vil si |OH|=x, lengden på benet A 1 H motsatt hjørnet er lik ordinaten til punkt A 1, det vil si |A 1 H|=y, og lengden på hypotenusen OA 1 er lik én, siden den er radiusen til enhetssirkelen. Da, per definisjon fra geometri, er sinusen til en spiss vinkel α i en rettvinklet trekant A 1 OH lik forholdet mellom det motsatte benet og hypotenusen, det vil si sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Og per definisjon fra trigonometri er sinusen til rotasjonsvinkelen α lik ordinaten til punktet A 1, det vil si sinα=y. Dette viser at å bestemme sinusen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er ekvivalent med å bestemme sinusen til rotasjonsvinkelen α når α er fra 0 til 90 grader.

Tilsvarende kan det vises at definisjonene av cosinus, tangens og cotangens av en spiss vinkel α stemmer overens med definisjonene av cosinus, tangens og cotangens av rotasjonsvinkelen α.

Bibliografi.

1. Geometri. 7-9 klassetrinn: lærebok for allmennutdanning institusjoner / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, etc.]. - 20. utg. M.: Utdanning, 2010. - 384 s.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometri: Lærebok. for 7-9 klassetrinn. allmennutdanning institusjoner / A. V. Pogorelov. - 2. utg. - M.: Utdanning, 2001. - 224 s.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebra og elementære funksjoner: Opplæringen for elever i 9. klasse videregående skole/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Redigert av Doctor of Physical and Mathematical Sciences O. N. Golovin - 4. utg. M.: Utdanning, 1969.
4. Algebra: Lærebok for 9. klasse. gj.sn. skole/Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M.: Education, 1990. - 272 s.: ill. - ISBN 5-09-002727-7
5. Algebra og begynnelsen av analysen: Proc. for 10-11 klassetrinn. allmennutdanning institusjoner / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn og andre; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14. utg. - M.: Education, 2004. - 384 s.: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovich A.G. Algebra og begynnelsen av analysen. Karakter 10. Kl 2. Del 1: opplæring for utdanningsinstitusjoner(profilnivå)/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4. utgave, legg til. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 s.: ill. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebra og startet matematisk analyse. 10. klasse: lærebok. for allmennutdanning institusjoner: grunnleggende og profil. nivåer /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; redigert av A. B. Zhizhchenko. - 3. utg. - I.: Education, 2010.- 368 s.: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M. I. Algebra og begynnelsen av analyse: Lærebok. for 10-11 klassetrinn. gj.sn. skole - 3. utg. - M.: Utdanning, 1993. - 351 s.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en manual for de som går inn på tekniske skoler): Proc. godtgjørelse.- M.; Høyere skole, 1984.-351 s., ill.

Forholdet mellom motsatt side og hypotenusen kalles sinus med spiss vinkel høyre trekant.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Cosinus av en spiss vinkel i en rettvinklet trekant

Forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen kalles cosinus av en spiss vinkel høyre trekant.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Tangent av en spiss vinkel i en rettvinklet trekant

Forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side kalles tangens til en spiss vinkel høyre trekant.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Kotangens av en spiss vinkel i en rettvinklet trekant

Forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte siden kalles cotangens av en spiss vinkel høyre trekant.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Sinus av en vilkårlig vinkel

Ordinaten til et punkt på enhetssirkelen som vinkelen \alfa tilsvarer kalles sinus av en vilkårlig vinkel rotasjon \alfa .

\sin \alpha=y

Cosinus av en vilkårlig vinkel

Abscissen til et punkt på enhetssirkelen som vinkelen \alfa tilsvarer kalles cosinus av en vilkårlig vinkel rotasjon \alfa .

\cos \alpha=x

Tangent av en vilkårlig vinkel

Forholdet mellom sinusen til en vilkårlig rotasjonsvinkel \alfa og dens cosinus kalles tangens til en vilkårlig vinkel rotasjon \alfa .

tan \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Kotangens av en vilkårlig vinkel

Forholdet mellom cosinus til en vilkårlig rotasjonsvinkel \alfa og sinus kalles cotangens av en vilkårlig vinkel rotasjon \alfa .

ctg\alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Et eksempel på å finne en vilkårlig vinkel

Hvis \alpha er en vinkel AOM, der M er et punkt i enhetssirkelen, da

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

For eksempel hvis \angle AOM = -\frac(\pi)(4), da: ordinaten til punktet M er lik -\frac(\sqrt(2))(2), abscisse er lik \frac(\sqrt(2))(2) og det er derfor

\sin \venstre (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \venstre (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \venstre (-\frac(\pi)(4) \høyre)=-1.

Tabell over verdier for sinus av cosinus av tangenter av cotangenter

Verdiene for de viktigste hyppig forekommende vinklene er gitt i tabellen:

	0^(\circ) (0)	30^(\sirkel)\venstre(\frac(\pi)(6)\høyre)	45^(\circ)\venstre(\frac(\pi)(4)\høyre)	60^(\cirkel)\venstre(\frac(\pi)(3)\høyre)	90^(\cirkel)\venstre(\frac(\pi)(2)\høyre)	180^(\sirkel)\venstre(\pi\høyre)	270^(\circ)\venstre(\frac(3\pi)(2)\høyre)	360^(\cirkel)\venstre(2\pi\høyre)
\sin\alfa	0	\frac12	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac(\sqrt 3)(2)	1	0	−1	0
\cos\alpha	1	\frac(\sqrt 3)(2)	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac12	0	−1	0	1
tg\alfa	0	\frac(\sqrt 3)(3)	1	\sqrt3	—	0	—	0
ctg\alfa	—	\sqrt3	1	\frac(\sqrt 3)(3)	0	—	0	—

Hva som er sinus, cosinus, tangens, cotangens av en vinkel vil hjelpe deg å forstå en rettvinklet trekant.

Hva kalles sidene i en rettvinklet trekant? Det stemmer, hypotenusen og bena: hypotenusen er siden som ligger motsatt rett vinkel(i vårt eksempel er dette siden \(AC\) ); bena er de to gjenværende sidene \(AB\) og \(BC\) (de som grenser til den rette vinkelen), og hvis vi ser på bena i forhold til vinkelen \(BC\), så er bena \(AB\) det tilstøtende benet, og benet \(BC\) er motsatt. Så la oss nå svare på spørsmålet: hva er sinus, cosinus, tangens og cotangens av en vinkel?

Sinus av vinkel– dette er forholdet mellom det motsatte (fjerne) benet og hypotenusen.

I vår trekant:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Cosinus av vinkel– dette er forholdet mellom det tilstøtende (nære) benet og hypotenusen.

I vår trekant:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Tangent av vinkelen– dette er forholdet mellom den motsatte (fjerne) siden til den tilstøtende (nære).

I vår trekant:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Kotangens av vinkel– dette er forholdet mellom det tilstøtende (nære) benet og det motsatte (langt).

I vår trekant:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Disse definisjonene er nødvendige huske! For å gjøre det lettere å huske hvilket ben du skal dele inn i hva, må du tydelig forstå det i tangent Og cotangens bare bena sitter, og hypotenusen vises bare i sinus Og kosinus. Og så kan du komme opp med en kjede av assosiasjoner. For eksempel denne:

Cosinus→berøring→berøring→tilstøtende;

Kotangens→berøring→berøring→tilstøtende.

Først av alt må du huske at sinus, cosinus, tangens og cotangens, da forholdet mellom sidene i en trekant ikke avhenger av lengdene på disse sidene (i samme vinkel). Tror ikke? Pass deretter på ved å se på bildet:

Tenk for eksempel på cosinus til vinkelen \(\beta \) . Per definisjon, fra en trekant \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), men vi kan beregne cosinus til vinkelen \(\beta \) fra trekanten \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Du ser, lengdene på sidene er forskjellige, men verdien av cosinus til en vinkel er den samme. Dermed avhenger verdiene av sinus, cosinus, tangens og cotangens utelukkende av størrelsen på vinkelen.

Hvis du forstår definisjonene, så fortsett og konsolider dem!

For trekanten \(ABC \) vist i figuren under finner vi \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(array) \)

Vel, fikk du det? Så prøv selv: beregn det samme for vinkelen \(\beta \) .

Svar: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Enhetssirkel (trigonometrisk).

For å forstå begrepene grader og radianer, betraktet vi en sirkel med en radius lik \(1\) . En slik sirkel kalles enkelt. Det vil være veldig nyttig når du studerer trigonometri. La oss derfor se litt mer detaljert på det.

Som du kan se, gitt sirkel konstruert i et kartesisk koordinatsystem. Sirkelens radius er lik én, mens sentrum av sirkelen ligger ved opprinnelsen til koordinatene, er startposisjonen til radiusvektoren fast langs den positive retningen til \(x\)-aksen (i vårt eksempel er dette er radiusen \(AB\)).

Hvert punkt på sirkelen tilsvarer to tall: koordinaten langs \(x\)-aksen og koordinaten langs \(y\)-aksen. Hva er disse koordinattallene? Og generelt, hva har de med emnet å gjøre? For å gjøre dette må vi huske på den betraktede rettvinklet. I figuren over kan du se to hele rette trekanter. Tenk på trekanten \(ACG\) . Den er rektangulær fordi \(CG\) er vinkelrett på \(x\)-aksen.

Hva er \(\cos \ \alpha \) fra trekanten \(ACG \)? Det er riktig \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). I tillegg vet vi at \(AC\) er radiusen til enhetssirkelen, som betyr \(AC=1\) . La oss erstatte denne verdien i formelen vår for cosinus. Her er hva som skjer:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Hva er \(\sin \ \alpha \) fra trekanten \(ACG \) lik? Selvfølgelig, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Bytt inn verdien av radiusen \(AC\) i denne formelen og få:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Så, kan du si hvilke koordinater punktet \(C\) som tilhører sirkelen har? Vel, ingen måte? Hva om du innser at \(\cos \ \alpha \) og \(\sin \alpha \) bare er tall? Hvilken koordinat tilsvarer \(\cos \alpha \)? Vel, selvfølgelig, koordinaten \(x\)! Og hvilken koordinat tilsvarer \(\sin \alpha \)? Det stemmer, koordinere \(y\)! Så poenget \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Hva er da \(tg \alpha \) og \(ctg \alpha \) lik? Det stemmer, la oss bruke de tilsvarende definisjonene av tangent og cotangens og få det \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Hva om vinkelen er større? For eksempel, som på dette bildet:

Hva har endret seg i i dette eksemplet? La oss finne ut av det. For å gjøre dette, la oss snu igjen til en rettvinklet trekant. Tenk på en rettvinklet trekant \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : vinkel (som ved siden av vinkel \(\beta \) ). Hva er verdien av sinus, cosinus, tangens og cotangens for en vinkel \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Det er riktig, vi holder oss til de tilsvarende definisjonene av trigonometriske funksjoner:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\vinkel ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\vinkel ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

Vel, som du kan se, tilsvarer verdien av sinusen til vinkelen fortsatt koordinaten \(y\) ; verdien av cosinus til vinkelen - koordinat \(x\) ; og verdiene av tangent og cotangens til de tilsvarende forholdene. Dermed gjelder disse relasjonene for enhver rotasjon av radiusvektoren.

Det er allerede nevnt at startposisjonen til radiusvektoren er langs den positive retningen til \(x\)-aksen. Så langt har vi rotert denne vektoren mot klokken, men hva skjer hvis vi roterer den med klokken? Ikke noe ekstraordinært, det vil vise seg å være samme vinkel av en viss størrelse, men bare det vil være negativt. Når vi roterer radiusvektoren mot klokken, får vi altså positive vinkler, og når du roterer med klokken – negativ.

Så vi vet at hele omdreiningen til radiusvektoren rundt sirkelen er \(360()^\sirkel \) eller \(2\pi \) . Er det mulig å rotere radiusvektoren med \(390()^\sirkel \) eller med \(-1140()^\sirkel \)? Vel, selvfølgelig kan du det! I det første tilfellet, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), dermed vil radiusvektoren gjøre en hel omdreining og stoppe ved posisjonen \(30()^\circ \) eller \(\dfrac(\pi )(6) \) .

I det andre tilfellet, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), det vil si at radiusvektoren vil utgjøre tre fulle revolusjoner og vil stoppe ved posisjon \(-60()^\circ \) eller \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Fra eksemplene ovenfor kan vi konkludere med at vinkler som avviker med \(360()^\circ \cdot m \) eller \(2\pi \cdot m \) (hvor \(m \) er et hvilket som helst heltall ), tilsvarer den samme posisjonen til radiusvektoren.

Figuren under viser vinkelen \(\beta =-60()^\circ \) . Det samme bildet tilsvarer hjørnet \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) etc. Denne listen kan fortsettes på ubestemt tid. Alle disse vinklene kan skrives med den generelle formelen \(\beta +360()^\circ \cdot m\) eller \(\beta +2\pi \cdot m \) (hvor \(m \) er et hvilket som helst heltall)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Nå, når du kjenner definisjonene av de grunnleggende trigonometriske funksjonene og bruker enhetssirkelen, prøv å svare på hva verdiene er:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\tekst(tg)\ 180()^\circ =\tekst(tg)\ \pi =?\\\tekst(ctg)\ 180()^\circ =\tekst(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\tekst (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\tekst (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Her er en enhetssirkel for å hjelpe deg:

Har du vanskeligheter? Så la oss finne ut av det. Så vi vet at:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(array)\)

Herfra bestemmer vi koordinatene til punktene som tilsvarer visse vinkelmål. Vel, la oss starte i rekkefølge: hjørnet inn \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) tilsvarer et punkt med koordinater \(\left(0;1 \right) \) , derfor:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\tekst(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Høyrepil \tekst(tg)\ 90()^\circ \)- eksisterer ikke;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Videre, ved å følge den samme logikken, finner vi ut at hjørnene i \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) samsvarer med punkter med koordinater \(\venstre(-1;0 \høyre),\tekst( )\venstre(0;-1 \høyre),\tekst( )\venstre(1;0 \høyre),\tekst( )\venstre(0 ;1 \right) \), henholdsvis. Når du vet dette, er det lett å bestemme verdiene til trigonometriske funksjoner på de tilsvarende punktene. Prøv selv først, og sjekk deretter svarene.

Svar:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\tekst(tg)\ 180()^\circ =\tekst(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\tekst(ctg)\ 180()^\circ =\tekst(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Høyrepil \tekst(ctg)\ \pi \)- eksisterer ikke

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\tekst(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Høyrepil \tekst(tg)\ 270()^\circ \)- eksisterer ikke

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\tekst(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Høyrepil \tekst(ctg)\ 2\pi \)- eksisterer ikke

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\tekst(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Høyrepil \tekst(tg)\ 450()^\circ \)- eksisterer ikke

\(\tekst(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Dermed kan vi lage følgende tabell:

Det er ikke nødvendig å huske alle disse verdiene. Det er nok å huske korrespondansen mellom koordinatene til punktene på enhetssirkelen og verdiene til trigonometriske funksjoner:

\(\venstre. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Du må huske eller kunne vise det!! \) !}

Men verdiene til de trigonometriske funksjonene til vinkler i og \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) gitt i tabellen nedenfor, må du huske:

Ikke vær redd, nå skal vi vise deg ett eksempel på en ganske enkel memorering av de tilsvarende verdiene:

For å bruke denne metoden er det viktig å huske sinusverdiene for alle tre tiltak vinkel ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), samt verdien av tangenten til vinkelen i \(30()^\circ \) . Når du kjenner disse \(4\) verdiene, er det ganske enkelt å gjenopprette hele tabellen - cosinusverdiene overføres i samsvar med pilene, det vil si:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(array) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \) Når du vet dette, kan du gjenopprette verdiene for \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Telleren "\(1 \)" vil tilsvare \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) og nevneren "\(\sqrt(\text(3)) \)" vil tilsvare \(\tekst (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotangensverdier overføres i samsvar med pilene angitt i figuren. Hvis du forstår dette og husker diagrammet med pilene, vil det være nok å huske bare \(4\) verdier fra tabellen.

Koordinater til et punkt på en sirkel

Er det mulig å finne et punkt (dets koordinater) på en sirkel, og kjenne koordinatene til sirkelens sentrum, radius og rotasjonsvinkel? Vel, selvfølgelig kan du det! La oss få det ut generell formel for å finne koordinatene til et punkt. For eksempel, her er en sirkel foran oss:

Vi får det poenget \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- sentrum av sirkelen. Sirkelens radius er \(1,5\) . Det er nødvendig å finne koordinatene til punktet \(P\) oppnådd ved å rotere punktet \(O\) med \(\delta \) grader.

Som det fremgår av figuren, tilsvarer koordinaten \(x\) til punktet \(P\) lengden på segmentet \(TP=UQ=UK+KQ\) . Lengden på segmentet \(UK\) tilsvarer koordinaten \(x\) til sentrum av sirkelen, det vil si at den er lik \(3\) . Lengden på segmentet \(KQ\) kan uttrykkes ved å bruke definisjonen av cosinus:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Høyrepil KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Så har vi det for punktet \(P\) koordinaten \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Ved å bruke samme logikk finner vi verdien av y-koordinaten for punktet \(P\) . Dermed,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Så inn generelt syn koordinater av punkter bestemmes av formlene:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), Hvor

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - koordinater til sentrum av sirkelen,

\(r\) - radius av sirkelen,

\(\delta \) - rotasjonsvinkelen til vektorradiusen.

Som du kan se, for enhetssirkelen vi vurderer, er disse formlene betydelig redusert, siden koordinatene til sentrum er lik null og radius er lik en:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

JavaScript er deaktivert i nettleseren din.
For å utføre beregninger må du aktivere ActiveX-kontroller!

Gjennomsnittlig nivå

Høyre trekant. Den komplette illustrerte veiledningen (2019)

HØYRE TREKANT. FØRSTE NIVÅ.

I problemer er rett vinkel ikke nødvendig i det hele tatt - nede til venstre, så du må lære å gjenkjenne en rettvinklet trekant i denne formen,

og i dette

og i dette

Hva er bra med en rettvinklet trekant? Vel... for det første er det spesielle vakre navn for hans sider.

Oppmerksomhet på tegningen!

Husk og ikke forveksle: det er to ben, og det er bare én hypotenuse(en eneste, unik og lengst)!

Vel, vi har diskutert navnene, nå det viktigste: Pythagoras teorem.

Pythagoras teorem.

Denne teoremet er nøkkelen til å løse mange problemer som involverer en rettvinklet trekant. Pythagoras beviste det fullstendig uminnelige tider, og siden den gang har hun brakt mye nytte for de som kjenner henne. Og det beste med det er at det er enkelt.

Så, Pythagoras teorem:

Husker du vitsen: «Pythagorean-bukser er like på alle kanter!»?

La oss tegne de samme pytagoreiske buksene og se på dem.

Ser det ikke ut som en slags shorts? Vel, på hvilke sider og hvor er de like? Hvorfor og hvor kom vitsen fra? Og denne vitsen henger nettopp sammen med Pythagoras teorem, eller mer presist med måten Pythagoras selv formulerte teoremet sitt på. Og han formulerte det slik:

"Sum arealer av firkanter, bygget på bena, er lik kvadratisk areal, bygget på hypotenusen."

Høres det virkelig litt annerledes ut? Og så, da Pythagoras tegnet utsagnet til teoremet sitt, var dette akkurat bildet som kom ut.

På dette bildet er summen av arealene til de små firkantene lik arealet til den store firkanten. Og slik at barn bedre kan huske at summen av kvadratene på bena er lik kvadratet på hypotenusen, kom noen vittig på denne vitsen om pytagoreiske bukser.

Hvorfor formulerer vi Pythagoras teorem nå?

Led Pythagoras og snakket om firkanter?

Du skjønner, i oldtiden var det ingen... algebra! Det var ingen tegn og så videre. Det var ingen inskripsjoner. Kan du forestille deg hvor forferdelig det var for de stakkars eldgamle studentene å huske alt med ord??! Og vi kan glede oss over at vi har en enkel formulering av Pythagoras teorem. La oss gjenta det igjen for å huske det bedre:

Det skal være enkelt nå:

Kvadrat av hypotenusen lik summen firkanter av ben.

Vel, det viktigste teoremet om rette trekanter har blitt diskutert. Hvis du er interessert i hvordan det er bevist, les følgende teorinivåer, og la oss nå gå videre ... inn i den mørke skogen ... av trigonometri! Til de forferdelige ordene sinus, cosinus, tangent og cotangens.

Sinus, cosinus, tangens, cotangens i en rettvinklet trekant.

Faktisk er ikke alt så skummelt i det hele tatt. Selvfølgelig bør den "virkelige" definisjonen av sinus, cosinus, tangens og cotangens ses på i artikkelen. Men jeg vil virkelig ikke, gjør jeg? Vi kan glede oss: for å løse problemer om en rettvinklet trekant, kan du bare fylle ut følgende enkle ting:

Hvorfor er alt rett rundt hjørnet? Hvor er hjørnet? For å forstå dette må du vite hvordan påstandene 1 - 4 er skrevet med ord. Se, forstå og husk!

1.
Egentlig høres det slik ut:

Hva med vinkelen? Er det et ben som er motsatt hjørnet, det vil si et motsatt (for en vinkel) ben? Selvfølgelig har! Dette er et bein!

Hva med vinkelen? Se nøye. Hvilket ben er ved siden av hjørnet? Selvfølgelig beinet. Dette betyr at for vinkelen er benet tilstøtende, og

Vær oppmerksom! Se hva vi har:

Se hvor kult det er:

La oss nå gå videre til tangent og cotangens.

Hvordan kan jeg skrive dette ned i ord nå? Hva er beinet i forhold til vinkelen? Motsatt, selvfølgelig - det "ligger" overfor hjørnet. Hva med beinet? I tilknytning til hjørnet. Så hva har vi?

Ser du hvordan telleren og nevneren har byttet plass?

Og nå hjørnene igjen og gjorde en utveksling:

Sammendrag

La oss kort skrive ned alt vi har lært.

Pythagoras teorem:

Hovedsetningen om rette trekanter er Pythagoras teorem.

Pythagoras teorem

Husker du forresten godt hva ben og hypotenusa er? Hvis ikke veldig bra, så se på bildet - oppdater kunnskapen din

Det er godt mulig at du allerede har brukt Pythagoras teorem mange ganger, men har du noen gang lurt på hvorfor en slik teorem er sann? Hvordan kan jeg bevise det? La oss gjøre som de gamle grekerne. La oss tegne en firkant med en side.

Se hvor smart vi delte sidene inn i lengder og!

La oss nå koble sammen de merkede prikkene

Her noterte vi imidlertid noe annet, men du ser selv på tegningen og tenker hvorfor det er slik.

Hva er arealet av den større firkanten? Ikke sant, . Hva med et mindre område? Gjerne,. Det totale arealet av de fire hjørnene gjenstår. Tenk deg at vi tok dem to om gangen og lente dem mot hverandre med hypotenusene deres. Hva skjedde? To rektangler. Dette betyr at arealet av "kuttene" er likt.

La oss sette alt sammen nå.

La oss transformere:

Så vi besøkte Pythagoras - vi beviste teoremet hans på en eldgammel måte.

Rettvinklet trekant og trigonometri

For en rettvinklet trekant gjelder følgende relasjoner:

Sinusen til en spiss vinkel er lik forholdet mellom motsatt side og hypotenusen

Cosinus til en spiss vinkel er lik forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen.

Tangensen til en spiss vinkel er lik forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side.

Kotangensen til en spiss vinkel er lik forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte siden.

Og nok en gang alt dette i form av et nettbrett:

Det er veldig behagelig!

Tegn på likhet av rette trekanter

I. På to sider

II. Ved ben og hypotenus

III. Ved hypotenus og spiss vinkel

IV. Langs benet og spiss vinkel

en)

b)

Merk følgende! Det er veldig viktig her at bena er "passende". For eksempel, hvis det går slik:

DA ER IKKE TREKANTENE LIKE, til tross for at de har en identisk spiss vinkel.

Trenger å i begge trekantene var benet tilstøtende, eller i begge var det motsatt.

Har du lagt merke til hvordan likhetstegnene til rette trekanter skiller seg fra de vanlige likhetstegnene til trekanter? Ta en titt på emnet "og vær oppmerksom på det faktum at for likestilling av "vanlige" trekanter, må tre av elementene deres være like: to sider og vinkelen mellom dem, to vinkler og siden mellom dem, eller tre sider. Men for likestilling av rette trekanter er bare to tilsvarende elementer nok. Flott, ikke sant?

Situasjonen er omtrent den samme med tegn på likhet til rettvinklede trekanter.

Tegn på likhet med rette trekanter

I. Langs en spiss vinkel

II. På to sider

III. Ved ben og hypotenus

Median i en rettvinklet trekant

Hvorfor er det slik?

I stedet for en rettvinklet trekant, tenk på et helt rektangel.

La oss tegne en diagonal og vurdere et punkt - skjæringspunktet mellom diagonalene. Hva vet du om diagonalene til et rektangel?

Og hva følger av dette?

Så det viste seg at

1. - median:

Husk dette faktum! Hjelper mye!

Det som er enda mer overraskende er at det motsatte også er sant.

Hva godt kan man få ut av det faktum at medianen trukket til hypotenusen er lik halve hypotenusen? La oss se på bildet

Se nøye. Vi har: , det vil si at avstandene fra punktet til alle tre hjørnene i trekanten viste seg å være like. Men det er bare ett punkt i trekanten, hvor avstandene fra alle tre hjørnene i trekanten er like, og dette er SIRKELENS senter. Så hva skjedde?

Så la oss starte med dette "foruten ...".

La oss se på og.

Men like trekanter har alle like vinkler!

Det samme kan sies om og

La oss nå tegne det sammen:

Hvilken fordel kan man få ut av denne "trippel" likheten?

Vel, for eksempel - to formler for høyden til en rettvinklet trekant.

La oss skrive ned forholdet til de tilsvarende partene:

For å finne høyden løser vi proporsjonen og får den første formelen "Høyde i en rettvinklet trekant":

Så la oss bruke likheten: .

Hva vil skje nå?

Igjen løser vi proporsjonen og får den andre formelen:

Du må huske begge disse formlene veldig godt og bruke den som er mer praktisk. La oss skrive dem ned igjen

Pythagoras teorem:

I en rettvinklet trekant er kvadratet på hypotenusen lik summen av kvadratene til bena:.

Tegn på likhet i rette trekanter:

• på to sider:
• ved ben og hypotenuse: eller
• langs benet og tilstøtende spiss vinkel: eller
• langs benet og motsatt spiss vinkel: eller
• ved hypotenuse og spiss vinkel: eller.

Tegn på likhet med rette trekanter:

• ett akutt hjørne: eller
• fra proporsjonaliteten til to ben:
• fra proporsjonaliteten til benet og hypotenusen: eller.

Sinus, cosinus, tangens, cotangens i en rettvinklet trekant

• Sinusen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og hypotenusen:
• Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen:
• Tangensen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side:
• Kotangensen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte siden: .

Høyde på en rettvinklet trekant: eller.

I en rettvinklet trekant er medianen trukket fra toppunktet til den rette vinkelen lik halve hypotenusen: .

Arealet av en rettvinklet trekant:

• via bena:

Sinus den spisse vinkelen α i en rettvinklet trekant er forholdet motsatte ben til hypotenusa.
Det er betegnet som følger: sin α.

Cosinus Den spisse vinkelen α i en rettvinklet trekant er forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen.
Den er betegnet som følger: cos α.

Tangent spiss vinkel α er forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side.
Den er betegnet som følger: tg α.

Cotangens spiss vinkel α er forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte siden.
Den er betegnet som følger: ctg α.

Sinus, cosinus, tangens og cotangens av en vinkel avhenger bare av størrelsen på vinkelen.

Regler:

Grunnleggende trigonometriske identiteter i en rettvinklet trekant:

(α – spiss vinkel motsatt av benet b og ved siden av benet en . Side Med – hypotenusa. β – andre spisse vinkel).

b sin α = - c	sin 2 α + cos 2 α = 1
en cos α = - c	1 1 + tan 2 α = -- cos 2 α
b tan α = - en	1 1 + ctg 2 α = -- sin 2 α
en ctg α = - b	1 1 1 + -- = -- tan 2 α sin 2 α
synd α tg α = -- fordi α

Når den spisse vinkelen økersin α ogtan α økning, ogcos α avtar.

For enhver spiss vinkel α:

sin (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sin α

Eksempel-forklaring:

Slipp inn en rettvinklet trekant ABC
AB = 6,
BC = 3,
vinkel A = 30º.

La oss finne ut sinusen til vinkel A og cosinus til vinkel B.

Løsning .

1) Først finner vi verdien av vinkel B. Alt er enkelt her: siden i en rettvinklet trekant er summen av de spisse vinklene 90º, så er vinkel B = 60º:

B = 90º – 30º = 60º.

2) La oss regne ut sin A. Vi vet at sinus er lik forholdet mellom motsatt side og hypotenusen. For vinkel A er motsatt side side BC. Så:

BC 3 1
sin A = -- = - = -
AB 6 2

3) La oss nå beregne cos B. Vi vet at cosinus er lik forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen. For vinkel B er det tilstøtende benet den samme siden BC. Dette betyr at vi igjen må dele BC med AB - det vil si utføre de samme handlingene som når vi beregner sinus til vinkel A:

BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Resultatet er:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Det følger av dette at i en rettvinklet trekant er sinusen til den ene spisse vinkelen lik cosinus til den andre spisse vinkelen - og omvendt. Dette er nøyaktig hva våre to formler betyr:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α

La oss sørge for dette igjen:

1) La α = 60º. Ved å erstatte verdien av α i sinusformelen får vi:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) La α = 30º. Ved å erstatte verdien av α i cosinusformelen får vi:
cos (90° – 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.

(For mer informasjon om trigonometri, se Algebra-delen)