Множење на идентични корени. Корени формули. Својства на корените. Како да се размножуваат корените? Примери

Поздрав, мачки! Последен пат детално разговаравме што се корените (ако не се сеќавате, препорачувам да го прочитате). Главното нешто од таа лекција: постои само една универзална дефиниција за корените, што е она што треба да го знаете. Останатото е глупост и губење време.

Денес одиме понатаму. Ќе научиме да множиме корени, ќе проучуваме некои проблеми поврзани со множењето (ако овие проблеми не се решат, тие можат да станат фатални на испитот) и ќе вежбаме правилно. Затоа, набавете пуканки, смирете се и ајде да започнеме. :)

И ти уште не си го пушел, нели?

Лекцијата се покажа доста долга, па ја поделив на два дела:

1. Прво ќе ги разгледаме правилата за множење. Се чини дека капа навестува: ова е кога има два корени, меѓу нив има знак „множи“ - и сакаме да направиме нешто со него.
2. Тогаш да ја погледнеме спротивната ситуација: има еден голем корен, но ние бевме желни да го претставиме како производ на два поедноставни корени. Зошто е тоа потребно, е посебно прашање. Ќе го анализираме само алгоритмот.

За оние кои едвај чекаат веднаш да преминат на вториот дел, добредојдени сте. Да почнеме со останатите по ред.

Основно правило на множење

Да почнеме со наједноставната работа - класичните квадратни корени. Истите кои се означени со $\sqrt(a)$ и $\sqrt(b)$. Сè им е очигледно:

Правило за множење. Да се ​​помножи еден Квадратен коренод друга, само треба да ги помножите нивните радикални изрази и да го напишете резултатот под заедничкиот радикал:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Не се наметнуваат дополнителни ограничувања на броевите од десната или левата страна: ако постојат коренските фактори, тогаш постои и производот.

Примери. Ајде да погледнеме четири примери со броеви одеднаш:

\[\begin(порамни) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \крај (порамни)\]

Како што можете да видите, главното значење на ова правило е да ги поедностави ирационалните изрази. И ако во првиот пример ние самите би ги извлекле корените на 25 и 4 без никакви нови правила, тогаш работите стануваат тешки: $\sqrt(32)$ и $\sqrt(2)$ не се сметаат сами по себе, туку нивниот производ се покажува како совршен квадрат, така што неговиот корен е еднаков на рационален број.

Особено би сакал да ја истакнам последната линија. Таму и двата радикални изрази се дропки. Благодарение на производот, многу фактори се откажани, а целиот израз се претвора во соодветен број.

Се разбира, работите нема секогаш да бидат толку убави. Понекогаш ќе има целосна глупост под корените - не е јасно што да се прави со тоа и како да се трансформира по множењето. Малку подоцна, кога ќе почнете да учите ирационални равенкии нееднаквости, генерално ќе има секакви променливи и функции. И многу често, пишувачите на проблеми сметаат на фактот дека ќе откриете некои поништувачки термини или фактори, по што проблемот ќе биде многукратно поедноставен.

Покрај тоа, воопшто не е неопходно да се множат точно два корени. Можете да помножите три, четири, па дури и десет одеднаш! Ова нема да го промени правилото. Погледни:

\[\begin(порамни) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \крај (порамни)\]

И повторно мала забелешка за вториот пример. Како што можете да видите, во третиот фактор под коренот има децимална фракција - во процесот на пресметки ја заменуваме со редовна, по што сè лесно се намалува. Значи: Силно препорачувам да се ослободите од децималиво какви било ирационални изрази (т.е. содржат барем еден радикален симбол). Ова ќе ви заштеди многу време и нерви во иднина.

Но, ова беше лирска дигресија. Сега да погледнеме повеќе општ случај- кога коренскиот експонент содржи произволен број $n$, а не само „класичните“ два.

Случај на произволен индикатор

Значи, ги подредивме квадратните корени. Што да се прави со кубните? Или дури и со корени од произволен степен $n$? Да, се е исто. Правилото останува исто:

За да се помножат два корени од степен $n$, доволно е да се помножат нивните радикални изрази, а потоа резултатот да се запише под еден радикал.

Во принцип, ништо комплицирано. Освен што износот на пресметките може да биде поголем. Ајде да погледнеме неколку примери:

Примери. Пресметајте ги производите:

\[\begin(порамни) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))((25)^(3)) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \десно))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \крај (порамни)\]

И повторно, внимание на вториот израз. Ги множиме корените на коцките, се ослободуваме од децималната дропка и завршуваме со производот на броевите 625 и 25 во именителот. Ова е сосема голем број- Лично, не можам веднаш да пресметам што е тоа еднакво.

Затоа, ние едноставно ја изолиравме точната коцка во броителот и именителот, а потоа употребивме едно од клучните својства (или, ако сакате, дефиниција) на $n$th корен:

\[\begin(порамни) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\лево| a\право|. \\ \крај (порамни)\]

Ваквите „махинации“ можат да ви заштедат многу време на испитот или тест работа, затоа запомнете:

Не брзајте да множите броеви користејќи радикални изрази. Прво, проверете: што ако точниот степен на кој било израз е „шифриран“ таму?

И покрај очигледноста на оваа забелешка, морам да признаам дека повеќето неподготвени студенти не ги гледаат точните степени во опсегот на точка-празно. Наместо тоа, тие множат сè целосно, а потоа се прашуваат: зошто добија толку брутални бројки? :)

Сепак, сето ова е муабет за бебиња во споредба со она што сега ќе го проучуваме.

Множење корени со различни експоненти

Добро, сега можеме да множиме корени со истите показатели. Што ако индикаторите се различни? Да речеме, како да се помножи обичен $\sqrt(2)$ со некои глупости како $\sqrt(23)$? Дали е воопшто можно да се направи ова?

Да секако дека можеш. Сè е направено според оваа формула:

Правило за множење корени. За да се помножи $\sqrt[n](a)$ со $\sqrt[p](b)$, доволно е да се изврши следнава трансформација:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Сепак, оваа формула работи само ако радикалните изрази не се негативни. Ова е многу важна забелешка на која ќе се вратиме малку подоцна.

За сега, да погледнеме неколку примери:

\[\begin(порамни) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \крај (порамни)\]

Како што можете да видите, ништо комплицирано. Сега да откриеме од каде доаѓа условот за ненегативност и што ќе се случи ако го прекршиме. :)

Умножувањето на корените е лесно

Зошто радикалните изрази мора да бидат ненегативни?

Се разбира, можете да бидете како училишни наставници и изгледа паметнода го цитирам учебникот:

Барањето за ненегативност е поврзано со различни дефиниции за корените од парни и непарни степени (соодветно, нивните домени на дефиниција се исто така различни).

Па, дали стана појасно? Лично, кога ја прочитав оваа глупост во 8-мо одделение, разбрав нешто како следново: „Барањето за ненегативност се поврзува со *#&^@(*#@^#)~%“ - накратко, не Не разбирам проклето нешто во тоа време. :)

Па сега ќе објаснам сè на нормален начин.

Прво, да дознаеме од каде доаѓа формулата за множење погоре. За да го направите ова, дозволете ми да ве потсетам на едно важно својство на коренот:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Со други зборови, лесно можеме да го подигнеме радикалниот израз на било кој природен степен$k$ - во овој случај, коренскиот експонент ќе треба да се помножи со иста моќност. Затоа, лесно можеме да ги намалиме сите корени на заеднички експонент, а потоа да ги умножиме. Оттука доаѓа формулата за множење:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Но, постои еден проблем што остро ја ограничува употребата на сите овие формули. Размислете за овој број:

Според формулата штотуку дадена, можеме да додадеме кој било степен. Ајде да се обидеме да додадеме $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\лево(-5 \десно))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Го отстранивме минусот токму затоа што квадратот го согорува минусот (како и секој друг парен степен). Сега да ја извршиме обратната трансформација: „намалете ги“ двата во експонентот и моќноста. На крајот на краиштата, секоја еднаквост може да се чита и од лево кон десно и од десно кон лево:

\[\почеток(порамни) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Десна стрелка \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](а); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\десна стрелка \sqrt(((5)^(2))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt (5). \\ \крај (порамни)\]

Но, тогаш испаѓа дека е некаква глупост:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Ова не може да се случи, бидејќи $\sqrt(-5) \lt 0$ и $\sqrt(5) \gt 0$. Тоа значи дека за дури овластувања и негативни броевинашата формула повеќе не работи. После тоа имаме две опции:

1. Да се ​​удри во ѕид и да се каже дека математиката е глупава наука, каде што „има некои правила, но тие се непрецизни“;
2. Воведете дополнителни ограничувања според кои формулата ќе стане 100% функционална.

Во првата опција, ќе мораме постојано да фаќаме „неработни“ случаи - тоа е тешко, одзема време и генерално е уф. Затоа, математичарите ја претпочитаа втората опција. :)

Но, не грижете се! Во пракса, ова ограничување на кој било начин не влијае на пресметките, бидејќи сите опишани проблеми се однесуваат само на корените од непарен степен, а од нив може да се земат минусите.

Затоа, да формулираме уште едно правило, кое генерално важи за сите дејства со корени:

Пред да множите корени, проверете дали радикалните изрази се не-негативни.

Пример. Во бројот $\sqrt(-5)$ можете да го отстраните минусот под знакот за корен - тогаш сè ќе биде нормално:

\[\begin(порамни) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Десна стрелка \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \крај (порамни)\]

Дали ја чувствувате разликата? Ако оставите минус под коренот, тогаш кога радикалниот израз е на квадрат, тој ќе исчезне и ќе започне глупост. И ако прво го извадите минусот, тогаш можете да го квадратите/отстранете додека не станете сини во лицето - бројот ќе остане негативен. :)

Така, најправилно и најмногу сигурен начинмножењето на корените е како што следува:

1. Отстранете ги сите негативни од радикалите. Минусите постојат само во корените со непарна мноштво - тие можат да се постават пред коренот и, доколку е потребно, да се намалат (на пример, ако има два од овие минуси).
2. Изведете множење според правилата дискутирани погоре во денешната лекција. Ако индикаторите на корените се исти, едноставно ги множиме радикалните изрази. И ако тие се различни, ја користиме злобната формула \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3.Уживајте во резултатот и добрите оценки.:)

Па? Да вежбаме?

Пример 1: Поедноставете го изразот:

\[\begin(порамни) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 ) )) \десно)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \крај (порамни)\]

Ова е наједноставната опција: корените се исти и чудни, единствениот проблем е што вториот фактор е негативен. Овој минус го вадиме од сликата, по што сè лесно се пресметува.

Пример 2: Поедноставете го изразот:

\[\begin(порамни) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2))= \sqrt(((\лево(((2)^(5)) \десно))^(3))\cdot ((\лево(((2)^(2)) \десно))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( порамни)\]

Овде, многумина би биле збунети од фактот дека излезот се покажа како ирационален број. Да, тоа се случува: не можевме целосно да се ослободиме од коренот, но барем значително го поедноставивме изразот.

Пример 3: Поедноставете го изразот:

\[\begin(порамни) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \десно))^(6))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24))) = \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(порамни)\]

Би сакал да го привлечам вашето внимание на оваа задача. Тука има две точки:

1. Коренот не е одреден број или моќност, туку променливата $a$. На прв поглед, ова е малку необично, но во реалноста, кога се решава математички проблемиНајчесто ќе треба да се справите со променливи.
2. На крајот успеавме да го „намалиме“ радикалниот индикатор и степенот на радикално изразување. Ова се случува доста често. И ова значи дека беше можно значително да се поедностават пресметките ако не ја користевте основната формула.

На пример, можете да го направите ова:

\[\begin(порамни) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \десно))^(2))=\sqrt(a)\cdot \sqrt((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\крај (порамни)\]

Всушност, сите трансформации беа извршени само со вториот радикал. И ако не ги опишете детално сите средни чекори, тогаш на крајот износот на пресметките значително ќе се намали.

Всушност, веќе наидовме на слична задача погоре кога го решивме примерот $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Сега може да се напише многу поедноставно:

\[\begin(порамни) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\лево(((5)^(2))\cточка 3 \десно))^(2))= \\ & =\sqrt(((\лево(75 \десно))^(2))) =\sqrt (75). \крај (порамни)\]

Па, го средивме множењето на корените. Сега да ја разгледаме обратната операција: што да правиме кога има производ под коренот?

Присуството на квадратни корени во изразот го отежнува процесот на делење, но постојат правила кои многу ја олеснуваат работата со дропки.

Единственото нешто што треба постојано да го имате на ум- радикалните изрази се делат на радикални изрази, а факторите на фактори. Во процесот на делење на квадратни корени, ја поедноставуваме фракцијата. Исто така, потсетете се дека коренот може да биде во именителот.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Метод 1. Поделба на радикални изрази

Алгоритам на дејства:

Напиши дропка

Ако изразот не е претставен како дропка, потребно е да се напише како таков, бидејќи е полесно да се следи принципот на делење квадратни корени.

Пример 1

144 ÷ 36, овој израз треба да се препише на следниов начин: 144 36

Користете еден знак за корен

Ако и броителот и именителот содржат квадратни корени, потребно е нивните радикални изрази да се напишат под истиот корен знак за да се олесни процесот на решавање.

Ве потсетуваме дека радикален израз (или број) е израз под знакот на коренот.

Пример 2

144 36. Овој израз треба да се напише на следниов начин: 144 36

Одделни радикални изрази

Само поделете еден израз со друг и запишете го резултатот под знакот за корен.

Пример 3

144 36 = 4, да го напишеме овој израз вака: 144 36 = 4

Поедноставете го радикалниот израз (ако е потребно)

Ако радикалниот израз или еден од факторите е совршен квадрат, поедноставете го овој израз.

Потсетиме дека совршен квадрат е број што е квадрат на некој цел број.

Пример 4

4 е совршен квадрат бидејќи 2 × 2 = 4. Затоа:

4 = 2 × 2 = 2. Затоа 144 36 = 4 = 2.

Метод 2. Факторирање на радикалниот израз

Алгоритам на дејства:

Напиши дропка

Препишете го изразот како дропка (ако е така претставен). Ова го олеснува делењето на изразите со квадратни корени, особено при факторинг.

Пример 5

8 ÷ 36, препишете го вака 8 36

Факторирајте го секој од радикалните изрази

Факторирајте го бројот под коренот како и секој друг цел број, само запишете ги факторите под знакот на коренот.

Пример 6

8 36 = 2 × 2 × 2 6 × 6

Поедностави ги броителот и именителот на дропка

За да го направите ова, извадете ги факторите што претставуваат совршени квадрати од под знакот на коренот. Така, факторот на радикалниот израз ќе стане фактор пред знакот на коренот.

Пример 7

2 2 6 6 × 6 2 × 2 × 2, следува: 8 36 = 2 2 6

Рационализирајте го именителот (ослободете се од коренот)

Во математиката постојат правила според кои оставањето на коренот во именителот е знак за лоша форма, т.е. тоа е забрането. Ако има квадратен корен во именителот, тогаш ослободете се од него.

Помножете ги броителот и именителот со квадратниот корен што сакате да го отстраните.

Пример 8

Во изразот 6 2 3, треба да ги помножите броителот и именителот со 3 за да се ослободите од него во именителот:

6 2 3 × 3 3 = 6 2 × 3 3 × 3 = 6 6 9 = 6 6 3

Поедноставете го добиениот израз (ако е потребно)

Ако броителот и именителот содржат броеви кои можат и треба да се намалат. Поедноставете ги таквите изрази како секоја дропка.

Пример 9

2 6 се поедноставува на 1 3 ; на тој начин 2 2 6 се поедноставува на 1 2 3 = 2 3

Метод 3: Делење квадратни корени со фактори

Алгоритам на дејства:

Поедноставување на фактори

Потсетете се дека фактори се броевите што му претходат на коренскиот знак. За да ги поедноставите факторите, ќе треба да ги поделите или намалите. Не допирајте радикални изрази!

Пример 10

4 32 6 16 . Прво, намалуваме 4 6: делиме и броителот и именителот со 2: 4 6 = 2 3.

Поедноставете ги квадратните корени

Ако броителот е рамномерно делив со именителот, тогаш подели. Ако не, тогаш поедноставете ги радикалните изрази како и сите други.

Пример 11

32 се дели со 16, значи: 32 16 = 2

Умножете ги поедноставените фактори со поедноставени корени

Запомнете го правилото: не оставајте корени во именителот. Затоа, ние едноставно ги множиме броителот и именителот со овој корен.

Пример 12

2 3 × 2 = 2 2 3

Рационализирајте го именителот (ослободете се од коренот во именителот)

Пример 13

4 3 2 7 . Треба да ги помножите броителот и именителот со 7 за да се ослободите од коренот во именителот.

4 3 7 × 7 7 = 4 3 × 7 7 × 7 = 4 21 49 = 4 21 7

Метод 4: Делење со бином со квадратен корен

Алгоритам на дејства:

Определи дали бином е во именителот

Потсетиме дека бином е израз кој вклучува 2 мономи. Овој метод работи само во случаи кога именителот има бином со квадратен корен.

Пример 14

1 5 + 2 - има бином во именителот, бидејќи има два мономи.

Најдете го конјугираниот израз на биномот

Потсетиме дека конјугираниот бином е бином со исти мономи, но со спротивни знаци. За да го поедноставите изразот и да се ослободите од коренот во именителот, треба да ги помножите конјугираните биноми.

Пример 15

5 + 2 и 5 - 2 се конјугирани биноми.

Помножете ги броителот и именителот со биномот што е конјугат на биномот во именителот

Оваа опција ќе помогне да се ослободиме од коренот во именителот, бидејќи производот на конјугирани биноми е еднаков на разликата на квадратите на секој член од биномите: (a - b) (a + b) = a 2 - b 2

Пример 16

1 5 + 2 = 1 (5 - 2) (5 - 2) (5 + 2) = 5 - 2 (5 2 - (2) 2 = 5 - 2 25 - 2 = 5 - 2 23 .

Од ова следува: 1 5 + 2 = 5 - 2 23.

Совет:

1. Ако работите со квадратни корени мешани броеви, претворете ги во неправилни дропки.
2. Разликата помеѓу собирањето и одземањето од делењето е во тоа што радикалните изрази во случај на делење не се препорачуваат да се поедноставуваат (за сметка на целосни квадрати).
3. Никогаш (!) не оставајте корен во именителот.
4. Без децимали или измешани пред коренот - треба да ги конвертирате во заедничка дропка, а потоа поедноставете.
5. Дали именителот е збир или разлика на два мономи? Помножете го таков бином со неговиот конјугиран бином и ослободете се од коренот во именителот.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Корени формули. Својства на квадратни корени.

Внимание!
Има дополнителни
материјали во Посебен дел 555.
За оние кои се многу „не многу...“
И за оние кои „многу...“)

Во претходната лекција сфативме што е квадратен корен. Време е да откриеме кои од нив постојат формули за кореништо се својства на корените, и што може да се направи со сето ова.

Формули на корени, својства на корените и правила за работа со корени- ова е во суштина иста работа. Има изненадувачки малку формули за квадратни корени. Што секако ме прави среќен! Или подобро кажано, можете да напишете многу различни формули, но за практична и сигурна работа со корени, доволни се само три. Сè друго тече од овие три. Иако многу луѓе се мешаат во трите коренски формули, да...

Да почнеме со наједноставниот. Еве ја таа:

Доколку ви се допаѓа оваа страница...

Патем, имам уште неколку интересни страници за вас.)

Можете да вежбате да решавате примери и да го дознаете вашето ниво. Тестирање со инстант верификација. Ајде да научиме - со интерес!)

Можете да се запознаете со функции и деривати.

Формули за степенсе користи во процесот на намалување и поедноставување сложени изрази, при решавање равенки и неравенки.

Број ве n-та моќ на број аКога:

Операции со степени.

1. Множење на моќи на в истата основанивните индикатори се собираат:

м·a n = a m + n .

2. При делење на степени со иста основа, нивните експоненти се одземаат:

3. Моќност на производот од 2 или повеќефакторите се еднакви на производот на моќноста на овие фактори:

(abc…) n = a n · b n · c n…

4. Степенот на дропка е еднаков на односот на степените на дивидендата и делителот:

(a/b) n = a n /b n .

5. Подигнувајќи ја моќноста на моќност, експонентите се множат:

(a m) n = a m n .

Секоја формула погоре е точна во насоките од лево кон десно и обратно.

На пример. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Операции со корени.

1. Коренот на производот од неколку фактори е еднаков на производот од корените на овие фактори:

2. Коренот на соодносот е еднаков на односот на дивидендата и делителот на корените:

3. Кога се подига коренот до моќ, доволно е да се подигне радикалниот број на оваа моќност:

4. Ако го зголемите степенот на коренот во nеднаш и во исто време се изгради во nта моќ е радикален број, тогаш вредноста на коренот нема да се промени:

5. Ако го намалите степенот на коренот во nизвлечете го коренот во исто време n-та моќ на радикален број, тогаш вредноста на коренот нема да се промени:

Степен со негативен експонент.Моќта на одреден број со непозитивен (целоброј) експонент се дефинира како поделен со моќноста на истиот број со експонент еднаков на апсолутната вредност на непозитивниот експонент:

Формула м:a n =a m - nможе да се користи не само за м> n, но и со м< n.

На пример. а4:а 7 = а 4 - 7 = а -3.

До формула м:a n =a m - nстана фер кога m=n, потребно е присуство на нула степен.

Степен со нула индекс.Моќта на кој било број што не е еднаков на нула со нула експонент е еднаква на еден.

На пример. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Степен со дробен експонент.Да се ​​подигне реален број Адо степен m/n, треба да го извлечете коренот nти степен на м-та моќ на овој број А.

Познато е дека знакот на коренот е квадратен корен на одреден број. Сепак, коренскиот знак не само што значи алгебарско дејство, туку се користи и во индустријата за обработка на дрво - при пресметување на релативни големини.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ако сакате да научите како да множите корени со или без фактори, тогаш оваа статија е за вас. Во него ќе ги разгледаме методите за множење на корените:

• без множители;
• со множители;
• со различни индикатори.

Метод за множење корени без фактори

Алгоритам на дејства:

Погрижете се коренот да ги има истите показатели (степени). Потсетете се дека степенот е напишан лево над знакот за корен. Ако нема ознака за степен, тоа значи дека коренот е квадрат, т.е. со моќност 2, а може да се множи со други корени со моќност 2.

Пример

Пример 1: 18 × 2 = ?

Пример 2: 10 × 5 = ?

Пример

Пример 1: 18 × 2 = 36

Пример 2: 10 × 5 = 50

Пример 3: 3 3 × 9 3 = 27 3

Поедноставете ги радикалните изрази.Кога ги множиме корените еден со друг, можеме да го поедноставиме добиениот радикален израз до производот на бројот (или изразот) со целосен квадрат или коцка:

Пример

Пример 1: 36 = 6. 36 е квадратен корен од шест (6 × 6 = 36).

Пример 2: 50 = (25 × 2) = (5 × 5) × 2 = 5 2. Бројот 50 го разложуваме во производ од 25 и 2. Коренот на 25 е 5, па вадиме 5 од под знакот на коренот и го поедноставуваме изразот.

Пример 3: 27 3 = 3. Коренот на коцката од 27 е 3: 3 × 3 × 3 = 27.

Начин на множење на индикаторите со фактори

Алгоритам на дејства:

Умножете ги факторите.Мултипликаторот е бројот што доаѓа пред знакот за корен. Ако нема множител, тој стандардно се смета за еден. Следно, треба да ги помножите факторите:

Пример

Пример 1: 3 2 × 10 = 3 ? 3 × 1 = 3

Пример 2: 4 3 × 3 6 = 12 ? 4 × 3 = 12

Множете ги броевите под знакот за корен.Откако ќе ги помножите факторите, слободно помножете ги броевите под знакот за корен:

Пример

Пример 1: 3 2 × 10 = 3 (2 × 10) = 3 20

Пример 2: 4 3 × 3 6 = 12 (3 × 6) = 12 18

Поедноставете го радикалниот израз.Следно, треба да ги поедноставите вредностите што се под знакот за корен - треба да ги преместите соодветните броеви надвор од знакот за корен. По ова, треба да ги помножите броевите и факторите што се појавуваат пред знакот за корен:

Пример

Пример 1: 3 20 = 3 (4 × 5) = 3 (2 × 2) × 5 = (3 × 2) 5 = 6 5

Пример 2: 12 18 = 12 (9 × 2) = 12 (3 × 3) × 2 = (12 × 3) 2 = 36 2

Начин на множење корени со различни експоненти

Алгоритам на дејства:

Најдете го најмалиот заеднички множител (LCM) на индикаторите.Најмалиот заеднички множител е најмалиот број делив со двата експонента.

Пример

Неопходно е да се најде LCM на индикатори за следниот израз:

Индикаторите се 3 и 2. За овие два броја, најмалиот заеднички множител е бројот 6 (тој е делив и со 3 и со 2 без остаток). За множење на корените, потребен е експонент 6.

Напиши го секој израз со нов експонент:

Најдете ги броевите со кои треба да ги помножите индикаторите за да го добиете LOC.

Во изразот 5 3 треба да помножите 3 со 2 за да добиете 6. И во изразот 2 2 - напротив, потребно е да се помножи со 3 за да се добие 6.

Подигнете го бројот под знакот за корен до моќ еднаква на бројот што беше пронајден во претходниот чекор. За првиот израз, 5 мора да се подигне на моќност од 2, а за вториот, 2 мора да се подигне на моќност од 3:

2 → 5 6 = 5 2 6 3 → 2 6 = 2 3 6

Подигнете го изразот до моќ и запишете го резултатот под знакот за корен:

5 2 6 = (5 × 5) 6 = 25 6 2 3 6 = (2 × 2 × 2) 6 = 8 6

Множете ги броевите под коренот:

(8 × 25) 6

Запишете го резултатот:

(8 × 25) 6 = 200 6

Потребно е да се поедностави изразот ако е можно, но во овој случај тоа не е поедноставено.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter