Помошен квалификатор. Матричен приказ на систем од линеарни равенки. Матрична детерминанта

1.1. Системи од два линеарни равенкии детерминанти од втор ред

Размислете за систем од две линеарни равенки со две непознати:

Шансите со непознати И имаат два индекса: првиот го означува бројот на равенката, вториот - бројот на променливата.

Правило на Крамер: Решението на системот се наоѓа со делење на помошните одредници со главната детерминанта на системот

,

Забелешка 1.Користењето на Крамеровото правило е можно ако детерминантата на системот не е еднаква на нула.

Забелешка 2.Формулите на Крамер се генерализирани на системи од повисок ред.

Пример 1.Решете го системот:
.

Решение.

;
;

;

Испитување:

Заклучок:Системот е решен правилно:
.

1.2. Системи од три линеарни равенки и детерминанти од трет ред

Размислете за систем од три линеарни равенки со три непознати:

Се нарекува детерминанта составена од коефициенти за непознати системска детерминанта или главна детерминанта:

.

Ако
тогаш системот има единствено решение, кое се одредува со формулите на Крамер:

каде се детерминантите
– се нарекуваат помошни и се добиваат од детерминантата со замена на нејзината прва, втора или трета колона со колона од слободни членови на системот.

Пример 2.Решете го системот
.

Да ги формираме главните и помошните детерминанти:

Останува да се разгледаат правилата за пресметување на детерминантите од трет ред. Има три од нив: правило за додавање колони, правило Сарус, правило за распаѓање.

а) Правилото за додавање на првите две колони на главната детерминанта:

Пресметката се врши на следниов начин: производите на елементите на главната дијагонала и паралелите со него одат со нивниот знак; со спротивниот знак се земаат производите на елементите на секундарната дијагонала и паралелите со него.

б) Правило на Сарус:

Со својот знак ги земаат производите на елементите на главната дијагонала и по паралели со неа, а третиот елемент што недостасува се зема од спротивниот агол. Со спротивен знак, земете ги производите на елементите на секундарната дијагонала и по паралелите со неа, третиот елемент се зема од спротивниот агол.

в) Правило на распаѓање по елементи на ред или колона:

Ако
, Потоа.

Алгебарски комплементе детерминанта од понизок ред што се добива со вкрстување на соодветниот ред и колона и земање предвид на знакот
, Каде - број на линија, – број на колона.

На пример,

,
,
итн.

Користејќи го ова правило, ги пресметуваме помошните детерминанти И , проширувајќи ги според елементите од првиот ред.

Откако ги пресметавме сите детерминанти, ги наоѓаме променливите користејќи го правилото на Крамер:

Испитување:

Заклучок:системот е правилно решен: .

Основни својства на детерминантите

Мора да се запомни дека детерминантата е број, пронајден според некои правила. Неговата пресметка може да се поедностави ако користиме основни својства кои важат за детерминанти од кој било ред.

Имотот 1. Вредноста на детерминантата нема да се промени ако сите нејзини редови се заменат со колони што одговараат по број и обратно.

Операцијата на замена на редови со колони се нарекува транспозиција. Од ова својство произлегува дека секоја изјава што е точна за редовите на детерминантата ќе биде вистинита и за нејзините колони.

Имотот 2. Ако се заменат два реда (колони) во детерминантата, знакот на детерминантата ќе се смени на спротивен.

Имотот 3. Ако сите елементи од која било редица на детерминанта се еднакви на 0, тогаш детерминантата е еднаква на 0.

Имотот 4. Ако елементите на низата од детерминантите се помножат (поделат) со некој број , тогаш вредноста на детерминантата ќе се зголеми (намали) во еднаш.

Ако елементите на редот имаат заеднички фактор, тогаш тој може да се извади од знакот за детерминанта.

Имотот 5. Ако детерминантата има две идентични или пропорционални редови, тогаш таквата детерминанта е еднаква на 0.

Имотот 6. Ако елементите на која било редица на детерминанта се збир на два члена, тогаш детерминантата е еднаква на збирот на двете детерминанти.

Имотот 7. Вредноста на детерминантата нема да се промени ако елементите од редот се додадат на елементите од друга редица, помножени со истиот број.

Во оваа одредница, прво третата редица беше додадена на вториот ред, помножена со 2, потоа втората беше одземена од третата колона, по што вториот ред беше додаден на првата и третата, како резултат добивме многу нули и ја поедностави пресметката.

Основнотрансформации детерминантата се нарекува нејзино поедноставување преку употреба на наведените својства.

Пример 1.Пресметај детерминанта

Директната пресметка според едно од правилата дискутирани погоре води до гломазни пресметки. Затоа, препорачливо е да се користат својствата:

а) од линијата 1, одземете ја втората, помножена со 2;

б) од линијата II одземе трета, помножена со 3.

Како резултат добиваме:

Дозволете ни да ја прошириме оваа детерминанта во елементите од првата колона, која содржи само еден елемент кој не е нула.

.

Системи и детерминанти од повисоки редови

систем линеарни равенки со непознатите може да се напишат на следниов начин:

За овој случај, исто така е можно да се состават главните и помошните детерминанти и да се одредат непознатите користејќи го Крамеровото правило. Проблемот е што детерминантите од повисок ред можат да се пресметаат само со намалување на редоследот и нивно сведување на детерминанти од трет ред. Ова може да се направи со директно распаѓање на елементи од редови или колони, како и со користење на прелиминарни елементарни трансформации и понатамошно распаѓање.

Пример 4.Пресметај ја детерминантата од четврти ред

Решениеможеме да го најдеме на два начина:

а) со директно проширување во елементите од првиот ред:

б) преку прелиминарни трансформации и понатамошно разложување

	а) од правата I одземе III
	б) додадете алинеја II до IV

Пример 5.Пресметајте ја детерминантата од петти ред, добивајќи нули во третиот ред користејќи ја четвртата колона

од првата линија ја одземаме втората, од третата ја одземаме втората, од четвртата ја одземаме втората помножена со 2.

одземете ја третата од втората колона:

одземете го третиот од вториот ред:

Пример 6.Решете го системот:

Решение.Ајде да составиме детерминанта на системот и, користејќи ги својствата на детерминантите, да ја пресметаме:

(од првиот ред ја одземаме третата, а потоа во добиената детерминанта од трет ред од третата колона ја одземаме првата, помножена со 2). Детерминанта
, затоа, формулите на Крамер се применливи.

Да ги пресметаме преостанатите детерминанти:

Четвртата колона се множи со 2 и се одзема од останатите

Четвртата колона беше одземена од првата, а потоа, помножена со 2, одземена од втората и третата колона.

.

Овде ги извршивме истите трансформации како и за
.

.

Кога ќе најдете првата колона се множи со 2 и се одзема од останатите.

Според правилото на Крамер имаме:

Откако ги заменивме пронајдените вредности во равенките, убедени сме дека решението на системот е точно.

2. МАТРИЦИ И НИВНА УПОТРЕБА

ВО РЕШАВАЊЕ НА СИСТЕМИ НА ЛИНЕАРНИ РАВЕНКИ

Предавање 1.1.Нумерички матрици и операции на нив.

Резиме:Местото на линеарната алгебра и аналитичката геометрија во природните науки. Улогата на домашните научници во развојот на овие науки. Концептот на матрица. Операции на матрици и нивните својства.

Табелата со броеви на формата се нарекува правоаголна матрица димензии. Матриците се означуваат со големи латински букви А, Б, Ц, ...Се повикуваат броевите што ја сочинуваат табелата елементи матрици. Секој елемент има два индекси и , што го означува, соодветно, бројот на редот () и бројот на колоната () во кој се наоѓа елементот. Се користи следнава матрична нотација.

Двете матрици се нарекуваат еднакви , ако имаат иста димензија (т.е. ист број на редови и колони) и ако броевите на соодветните места на овие матрици се еднакви.

Ако бројот на редови на матрицата е еднаков на бројот на нејзините колони, матрицата се нарекува квадрат . Во квадратна матрица, бројот на редови (или колони) се нарекува редослед на матрицата. Конкретно, квадратна матрица од прв ред е едноставно реален број. Според тоа велат дека векторска линија е матрица на димензија , и вектор на колона има димензија.

Елементите што лежат на главната дијагонала на квадратна матрица (од горниот лев кон долниот десен агол) се нарекуваат дијагонала .

Се нарекува квадратна матрица чии елементи не на главната дијагонала се сите 0 дијагонала .

Дијагонална матрица чии дијагонални елементи се сите 1 и сите вондијагонални елементи се 0 се вика сингл и се означува со или , каде што n е неговиот ред.

Основните операции на матриците се собирање матрици и множење матрица со број.

Работатаматрици А број е матрица со иста димензија како и матрицата А, чиј секој елемент се множи со овој број.

На пример: ; .

Својства на операцијата за множење матрица со број:

1.l (м А )=(лм) А (асоцијативност)

2.l( А +ВО )= л А +l ВО (дистрибутивноста во однос на собирањето на матрицата)

3. (л+м) А =)=л А + m А (дистрибутивност во однос на собирање на броеви)

Линеарна комбинација на матрици А И ВО со иста големина се нарекува израз на формата: а А +б ВО , каде што a,b се произволни броеви

Матрица за сумаИ ВО (оваа акција е применлива само за матрици со иста димензија) се нарекува матрица СО со иста димензија, чии елементи се еднакви на збировите на соодветните матрични елементи А И ВО .

Својства на собирање на матрицата:

1)А +ВО =ВО +А (комутативност)

2)(А +ВО )+СО =А +(ВО +СО )=А +ВО +СО (асоцијативност)

Матрица на разликаИ ВО (ова дејство е применливо само за матрици со иста димензија) се нарекува матрица C со иста димензија, чии елементи се еднакви на разликата на соодветните матрични елементи А И ВО .

Транспонирајте. Ако елементите на секој ред од матрицата со димензии се запишани по ист редослед во колоните на новата матрица, а бројот на колоната е еднаков на бројот на редот, тогаш новата матрица се нарекува транспонирана во однос на и е означува . Димензијата е Преминот од до се нарекува транспозиција. Исто така е јасно дека. ,

Множење на матрицата. Операцијата за множење на матрицата е можна само ако бројот на колони од првиот фактор е еднаков на бројот на редови од вториот. Како резултат на множење, добиваме матрица чиј број на редови се совпаѓа со бројот на редови од првиот фактор, а бројот на колони со бројот на колони од вториот:

Правило за множење на матрицата: за да се добие елемент во редот и во колоната од производот од две матрици, треба да ги помножите елементите од редот на првата матрица со елементите од колоната од втората матрица и да ги додадете добиените производи. Во математички жаргон понекогаш велат: треба да го помножите тиот ред од матрицата со та колона од матрицата. Јасно е дека редот од првата и колоната од втората матрица мора да содржат ист број на елементи.

За разлика од овие операции, операцијата на множење матрица-матрица е потешка да се дефинира. Нека се дадени две матрици А И ВО , а бројот на колони од првата од нив е еднаков на бројот на редови од втората: на пример, матрицата А има димензија и матрица ВО – димензија. Ако

, , потоа матрицата на димензии

, каде што (i=1,…,m;j=1,…,k)

наречен производ на матрицата А до матрицата ВО и е назначен АБ .

Својства на операцијата за множење на матрицата:

1. (AB)C=A(BC)=ABC (асоцијативност)

2. (A+B)C=AC+BC (дистрибутивноста)

3. A(B+C)=AB+A (дистрибутивноста)

4. Множењето на матрицата е некомутативно: АБ не еднакви VA ., ако се еднакви, тогаш овие матрици се нарекуваат комутативни.

Елементарни трансформациипреку матрици:

1. Заменете два реда (колони)

2. Множење на ред (колона) со број различен од нула

3. Додавање на елементите на еден ред (колона) на елементите на друг ред (колона), помножено со кој било број

Предавање 1.2.Детерминанти со реални коефициенти. Наоѓање на инверзна матрица.

Резиме:Детерминанти и нивните својства. Методи за пресметување детерминанти со реални коефициенти. Наоѓање на инверзна матрица за матрици од трет ред.

Концептот на детерминанта е воведен само за квадратна матрица. Детерминанта - Ова број, кој се наоѓа според добро дефинирани правила и се означува со или дет А .

Детерминантаматрици втор ред е вака: или

Детерминанта од трет редбројот се вика:

.

За да се потсетиме на оваа незгодна формула, постои „правило на триаголници“:

Можете исто така да пресметате користејќи друг метод - методот на распаѓање по ред или колона. Ајде да воведеме неколку дефиниции:

Малолетниквадратна матрица А се нарекува детерминанта на матрицата А , што се добива со вкрстување на редот и колоната: на пример, за мали - .

Алгебарски комплементелемент на детерминантата се нарекува негов минор, земен со свој знак ако збирот на броевите на редот и колоната во кои се наоѓа елементот е парен, а со спротивен знак ако збирот на броевите е непарен: .

Потоа: Детерминанта од трет ред еднаков на збиротпроизводи на елементи од која било колона (редица) по нивните алгебарски комплементи.

ПР: Да ја пресметаме детерминантата: со тоа што ќе ја прошириме во елементите од првиот ред.

Својства на детерминантите:

1. Детерминантата е еднаква на 0 ако содржи две идентични редови (колони) или нулта редица (колона).

2. Детерминантата го менува својот знак кога се преуредуваат два реда (колони).

3.Вкупен мултипликаторво ред (во колона) може да се извади како детерминантен знак.

4. Детерминантата не се менува ако на ред (колона) се додаде друга редица (друга колона) помножена со произволен број.

5. Детерминантата не се менува кога матрицата се транспонира.

6. Детерминантата на матрицата на идентитетот е 1:

7. Детерминантата на производот на матриците е еднаква на производот на детерминантите

инверзна матрица.

Квадратната матрица се нарекува недегенериран, ако нејзината детерминанта е различна од нула.

Ако, при множење квадратни матрици А И ВО по кој било редослед се добива матрицата за идентитет ( АБ=БА=Е ), потоа матрицата ВО се нарекува инверзна матрица на матрицата А и се означува со , т.е. .

Теорема.Секоја неединечна матрица има инверзна.

Алгоритам за пронаоѓање на инверзна матрица:

Инверзна матрица.За квадратна матрица се вели дека е неединечна ако нејзината детерминанта е не-нула. Во спротивно тоа се нарекува дегенерирано .

Инверзната на матрицата се означува со. Ако инверзната матрица постои, тогаш таа е единствена и

Каде е додатокот (соединение), составен од алгебарски дополнувања j:

Тогаш детерминантата на инверзната матрица е поврзана со детерминантата на оваа матрица со следнава релација: . Навистина, , од каде што следи оваа еднаквост.

Својства на инверзна матрица:

1. , каде што се неединечни квадратни матрици од ист ред.

3. .

4.

Предавање 1.3.Решавање системи на линеарни равенки со помош на Крамеровиот метод, Гаусовите методи и матричната пресметка.

Резиме:Крамеровиот метод и Гаусовиот метод за решавање системи на линеарни алгебарски равенки. Матричен метод за решавање системи на равенки. Ранг на матрица. Теорема Кронекер-Капели. Основен систем на решенија. Хомогени и хетерогени системи.

Систем на равенки следниот тип:

(*) , каде што се нарекува , ‑ коефициенти, ‑ променливи систем на линеарни равенки.Да се ​​реши систем од линеарни равенки значи да се означат сите решенија на системот, т.е. такви множества на вредности на променливи кои ги претвораат равенките на системот во идентитети. Системот на линеарни равенки се нарекува.

КОСТРОМА ОДВОЈ НА ВОЕНИОТ УНИВЕРЗИТЕТ ЗА ЗАШТИТА НА РЦБ

Оддел за автоматизација на контрола на трупите

Само за наставници

"Одобрувам"

Раководител на одделение бр.9

Полковник ЈАКОВЛЕВ А.Б.

„____“______________ 2004 г

Вонреден професор А.И.СМИРНОВА

„КВАЛИФИКАЦИИ.

РЕШЕНИЕ НА СИСТЕМИ НА ЛИНЕАРНИ РАВЕНКИ“

ПРЕДАВАЊЕ бр.2 / 1

Дискутирано на состанокот на одделот бр.9

„____“___________ 2004 г

Протокол бр.___________

Кострома, 2004 година.

Вовед

1. Детерминанти од втор и трет ред.

2. Својства на детерминантите. Теорема на распаѓање.

3. Теорема на Крамер.

Заклучок

Литература

1. В.Е. Шнајдер и сор. Краток курсВиша математика, том I, гл. 2, став 1.

2. В.С. Шчипачев, Виша математика, глава 10, став 2.

ВОВЕД

Предавањето дискутира за детерминанти на вториот и третиот ред и нивните својства. И, исто така, теоремата на Крамер, која ви овозможува да решавате системи на линеарни равенки користејќи детерминанти. Детерминантите се користат и подоцна во темата „Векторска алгебра“ при пресметување на векторскиот производ на вектори.

Прво студиско прашање ДЕТЕРМИНАНТИ НА ВТОРАТА И ТРЕТАТА

СО ЦЕЛ

Размислете за табела со четири броеви на формата

Броевите во табелата се означени со буква со два индекси. Првиот индекс го означува бројот на редот, вториот бројот на колоната.

ДЕФИНИЦИЈА 1. Детерминанта од втор ред повикани изразување љубезен :

(1)

Броеви А 11, …, А 22 се нарекуваат елементи на детерминантата.

Дијагонала формирана од елементи А 11 ; А 22 се нарекува главен, а дијагоналата формирана од елементите А 12 ; А 21 - рамо до рамо.

Така, детерминантата од втор ред еднаква на разликатапроизводи на елементите на главната и секундарната дијагонала.

Забележете дека одговорот е бројка.

ПРИМЕРИ.Пресметајте:

Сега разгледајте ја табела од девет броеви, напишана во три реда и три колони:

ДЕФИНИЦИЈА 2. Детерминанта од трет ред наречен израз на формата :

Елементи А 11; А 22 ; А 33 – формирајте ја главната дијагонала.

Броеви А 13; А 22 ; А 31 – формирајте странична дијагонала.

Дозволете ни да прикажеме шематски како се формираат термините плус и минус:

" + " " – "

Плус вклучува: производ на елементите на главната дијагонала, преостанатите два члена се производ на елементите лоцирани на темињата на триаголниците со основи паралелни на главната дијагонала.

Термините на минус се формираат според истата шема во однос на секундарната дијагонала.

Ова правило за пресметување на детерминантата од трет ред се нарекува

Правило Т реуголников.

ПРИМЕРИ.Пресметајте користејќи го правилото за триаголник:

КОМЕНТАР. Детерминантите се нарекуваат и детерминанти.

Второ студиско прашање СВОЈСТВА НА ДЕТЕМИНАНТИ.

ТЕОРЕМА НА ПРОШИРУВАЊЕ

Имотот 1. Вредноста на детерминантата нема да се промени ако нејзините редови се заменат со соодветните колони.

.

Откривајќи ги двете детерминанти, се уверуваме во валидноста на еднаквоста.

Својството 1 ја утврдува еднаквоста на редовите и колоните на детерминантата. Затоа, ќе ги формулираме сите понатамошни својства на детерминантата и за редови и за колони.

Имотот 2. При преуредување два реда (или колони), детерминантата го менува својот знак во спротивниот, задржувајќи ја својата апсолутна вредност .

.

Имотот 3. Заеднички фактор на елементите на редот (или колона)може да се извади како детерминантен знак.

.

Имотот 4. Ако детерминантата има две идентични редови (или колони), тогаш таа е еднаква на нула.

Ова својство може да се докаже со директна проверка, или можете да го користите имотот 2.

Да ја означиме детерминантата со D. Кога ќе се преуредат две идентични први и втори редови, таа нема да се промени, но според второто својство мора да го смени знакот, т.е.

D = - DÞ 2 D = 0 ÞD = 0.

Имотот 5. Ако сите елементи на стрингот (или колона)се еднакви на нула, тогаш детерминантата е еднаква на нула.

Овој имот може да се смета како посебен случајсвојства 3 на

Имотот 6. Ако елементите од две линии (или колони)детерминантите се пропорционални, тогаш детерминантата е еднаква на нула.

.

Може да се докаже со директна верификација или со користење на својствата 3 и 4.

Имотот 7. Вредноста на детерминантата нема да се промени ако соодветните елементи од друга редица (или колона) се додадат на елементите на ред (или колона), помножени со ист број.

.

Докажано со директна верификација.

Употребата на овие својства може во некои случаи да го олесни процесот на пресметување на детерминантите, особено од трет ред.

За она што следи ќе ни требаат концептите на минор и алгебарски комплемент. Ајде да ги разгледаме овие концепти за да го дефинираме третиот ред.

ДЕФИНИЦИЈА 3. Малолетни на даден елемент од детерминанта од трет ред се нарекува детерминанта од втор ред добиена од даден елемент со вкрстување на редот и колоната на чиј пресек стои дадениот елемент.

Мала елемент А јас јозначено со М јас ј. Значи за елементот А 11 малолетни

Се добива со вкрстување на првиот ред и првата колона во одредницата од трет ред.

ДЕФИНИЦИЈА 4. Алгебарски комплемент на елементот на детерминантата го викаат минор помножено со (-1)к , Каде к - збирот на броевите на редовите и колоните на чиј пресек стои овој елемент.

Алгебарски комплемент на елемент А јас јозначено со А јас ј .

Така, А јас ј =

.

Да ги запишеме алгебарските дополнувања за елементите А 11 и А 12.

. .

Корисно е да се запамети правилото: алгебарскиот комплемент на елементот на детерминантата е еднаков на неговиот потпишан минор Плус, ако збирот на броевите на редовите и колоните во кои се појавува елементот е дури,и со знак минус, ако оваа сума чудно .

При решавање на задачи по виша математика многу често се јавува потреба пресметај ја детерминантата на матрицата. Детерминантата на матрицата се појавува во линеарна алгебра, аналитичка геометрија, математичка анализаи други гранки од вишата математика. Така, едноставно е невозможно да се направи без вештината за решавање на детерминанти. Исто така, за само-тестирање, можете бесплатно да преземете калкулатор за детерминанти; тој нема да ве научи како да решавате детерминанти сам по себе, но е многу погодно, бидејќи секогаш е корисно однапред да го знаете точниот одговор!

Нема да дадам строга математичка дефиниција за детерминантата и, генерално, ќе се обидам да ја минимизирам математичката терминологија; тоа нема да им олесни на повеќето читатели. Целта на оваа статија е да ве научи како да решавате детерминанти од втор, трет и четврти ред. Целиот материјал е претставен во едноставна и достапна форма, па дури и полн (празен) чајник по вишата математика, по внимателно проучување на материјалот, ќе може правилно да ги реши детерминантите.

Во пракса, најчесто можете да најдете детерминанта од втор ред, на пример: и детерминанта од трет ред, на пример: .

Детерминанта од четврти ред Исто така, не е антиквитет, и ќе дојдеме до него на крајот од лекцијата.

Се надевам дека сите го разбираат следново:Броевите внатре во детерминантата живеат сами, и не станува збор за никакво одземање! Броевите не можат да се заменат!

(Конкретно, можно е да се извршат парни пермутации на редови или колони на детерминантата со промена на нејзиниот знак, но често тоа не е неопходно - видете ја следната лекција Својства на детерминантата и намалување на нејзиниот ред)

Така, ако е дадена некоја детерминанта, тогаш Ние не допираме ништо во него!

Ознаки: Ако е дадена матрица , тогаш се означува нејзината детерминанта . Исто така многу често се означува детерминантата Латинска букваили грчки.

1)Што значи да се реши (најде, открие) детерминанта?Да се ​​пресмета детерминантата значи да се НАЈДЕ БРОЈОТ. Прашалниците во горните примери се сосема обични бројки.

2) Сега останува да дознаеме КАКО да го најдете овој број?За да го направите ова, треба да примените одредени правила, формули и алгоритми, за кои ќе се дискутира сега.

Да почнеме со детерминантата „два“ по „два“:

ОВА ТРЕБА ДА СЕ ЗАПОМНИ, барем додека студирате виша математика на универзитет.

Ајде да погледнеме пример веднаш:

Подготвени. Најважно е ДА НЕ СЕ ПОМЕСТУВАТЕ ВО ЗНАЦИТЕ.

Детерминанта на матрица три-на-триможе да се отвори на 8 начини, 2 од нив се едноставни, а 6 се нормални.

Да почнеме со два едноставни начини

Слично на детерминантата два-на-два, детерминантата три-на-три може да се прошири со помош на формулата:

Формулата е долга и лесно е да се направи грешка поради невнимание. Како да избегнете досадни грешки? За таа цел е измислен втор метод за пресметување на детерминантата, кој всушност се совпаѓа со првиот. Се нарекува метод на Сарус или метод на „паралелни ленти“.
Во крајна линија е дека десно од детерминантата, доделете ја првата и втората колона и внимателно нацртајте линии со молив:

Мултипликаторите лоцирани на „црвените“ дијагонали се вклучени во формулата со знак „плус“.
Мултипликаторите лоцирани на „сините“ дијагонали се вклучени во формулата со знак минус:

Пример:

Споредете ги двете решенија. Лесно е да се види дека ова е истото, само во вториот случај факторите на формулата се малку преуредени, и што е најважно, веројатноста за правење грешка е многу помала.

Сега да ги погледнеме шесте нормални начини за пресметување на детерминантата

Зошто нормално? Бидејќи во огромното мнозинство на случаи, квалификациите треба да се обелоденат на овој начин.

Како што забележавте, детерминантата три по три има три колони и три реда.
Може да ја решите детерминантата со отворање по кој било ред или по која било колона.
Така, постојат 6 методи, во сите случаи се користат ист типалгоритам.

Детерминантата на матрицата е еднаква на збирот на производите на елементите на редот (колоната) со соодветните алгебарски комплементи. Страшно? Сè е многу поедноставно, ние ќе користиме ненаучен, но разбирлив пристап, достапен дури и за човек далеку од математиката.

Во следниот пример ќе ја прошириме детерминантата на првата линија.
За ова ни треба матрица од знаци: . Лесно е да се забележи дека знаците се распоредени во шаховска табла.

Внимание! Матрицата со знаци е мој сопствен изум. Овој концептне е научен, не треба да се користи во финалниот дизајн на задачите, само ви помага да го разберете алгоритмот за пресметување на детерминантата.

Прво ќе го дадам целосното решение. Повторно ја земаме нашата експериментална детерминанта и ги извршуваме пресметките:

И главното прашање: КАКО да се добие ова од детерминантата „три по три“:
?

Значи, детерминантата „три по три“ се сведува на решавање на три мали детерминанти, или како што уште се нарекуваат, МИНОРОВ. Препорачувам да го запомните терминот, особено затоа што е незаборавен: малолетно – мало.

Откако ќе се избере методот на разложување на детерминантата на првата линија, очигледно е дека се се врти околу неа:

Елементите обично се гледаат од лево кон десно (или од горе до долу ако е избрана колона)

Ајде да одиме, прво се занимаваме со првиот елемент од линијата, односно со еден:

1) Од матрицата на знаци го запишуваме соодветниот знак:

2) Потоа го пишуваме самиот елемент:

3) МЕНТАЛНО пречкртајте ги редот и колоната во кои се појавува првиот елемент:

Останатите четири броеви ја формираат детерминантата „два по два“, која се нарекува МАЛЕТНИна даден елемент (единица).

Ајде да преминеме на вториот елемент од линијата.

4) Од матрицата на знаци го запишуваме соодветниот знак:

5) Потоа напишете го вториот елемент:

6) МЕНТАЛНО прецртај ги редот и колоната во кои се појавува вториот елемент:

Па, третиот елемент од првата линија. Без оригиналност:

7) Од матрицата на знаци го запишуваме соодветниот знак:

8) Запишете го третиот елемент:

9) МЕНТАЛНО прецртај ги редот и колоната што го содржат третиот елемент:

Преостанатите четири броеви ги запишуваме во мала детерминанта.

Останатите дејства не претставуваат никакви тешкотии, бидејќи веќе знаеме како да ги броиме одредниците два по два. НЕ СЕ ЗБУНЕТЕ ВО ЗНАЦИТЕ!

Слично на тоа, детерминантата може да се прошири преку кој било ред или во која било колона.Нормално, во сите шест случаи одговорот е ист.

Детерминантата четири по четири може да се пресмета со користење на истиот алгоритам.
Во овој случај, нашата матрица на знаци ќе се зголеми:

Во следниот пример ја проширив детерминантата според четвртата колона:

Како се случи тоа, обидете се сами да го сфатите. дополнителни информацииЌе биде подоцна. Ако некој сака да ја реши детерминантата до крај, точниот одговор е: 18. За вежбање, подобро е да се реши детерминантата со некоја друга колона или друга редица.

Вежбањето, откривањето, правењето пресметки е многу добро и корисно. Но, колку време ќе потрошите на големите квалификации? Зарем нема побрз и посигурен начин? Ви препорачувам да се запознаете со ефективни методипресметување детерминанти во вториот час - Својства на детерминантата. Намалување на редоследот на детерминантата.

ВНИМАВАЈ!