Растојание од точка до права линија паскал. Наједноставните проблеми со права линија на авион. Релативната положба на линиите. Агол помеѓу прави линии

155*. Одредете ја природната големина на отсечка AB од права линија во општа положба (сл. 153, а).

Решение. Како што е познато, проекцијата на права линија на која било рамнина е еднаква на самиот сегмент (земајќи ја предвид скалата на цртежот), ако е паралелна со оваа рамнина

(Сл. 153, б). Од ова произлегува дека со трансформирање на цртежот потребно е да се постигне паралелизам на овој сегмент pl. V или квадрат H или дополнете го системот V, H со друга рамнина нормална на квадратот. V или да pl. H и во исто време паралелно со овој сегмент.

На сл. 153, c покажува воведување на дополнителна рамнина S, нормална на квадратот. H и паралелно со дадена отсечка AB.

Проекцијата a s b s е еднаква на природната вредност на отсечката AB.

На сл. 153, d покажува друга техника: сегментот AB се ротира околу права линија што минува низ точката B и е нормална на квадрат. H, до позиција паралелна

pl. V. Во овој случај, точката Б останува на место, а точката А зазема нова позиција А 1. Хоризонтот е во нова позиција. проекција a 1 b || x оска Проекцијата a" 1 b" е еднаква на природната големина на отсечката AB.

156. Со оглед на пирамидата SABCD (сл. 154). Определете ја вистинската големина на рабовите на пирамидата AS и CS, користејќи го методот на промена на проекционите рамнини, и рабовите BS и DS, користејќи го методот на ротација и земете ја оската на ротација нормална на квадратот. Х.

157*. Определете го растојанието од точката А до права линија BC (Слика 155, а).

Решение. Растојанието од точка до права се мери со нормална отсечка нацртана од точката до правата.

Ако правата линија е нормална на која било рамнина (сл. 155.6), тогаш растојанието од точката до правата линија се мери со растојанието помеѓу проекцијата на точката и точката-проекцијата на правата линија на оваа рамнина. Ако права линија зафаќа V, H во системот општа позиција, тогаш за да се одреди растојанието од точка до права со промена на проекционите рамнини, потребно е да се воведат две дополнителни рамнини во системот V, H.

Прво (слика 155, в) влегуваме во квадрат. С, паралелно со сегментот BC (новата S/H оска е паралелна со проекцијата bс), а ние ги градиме проекциите b s c s и a s. Потоа (слика 155, г) воведуваме уште еден квадрат. T, нормална на права линија BC (новата оска T/S е нормална на b s со s). Конструираме проекции на права линија и точка - со t (b t) и a t. Растојанието помеѓу точките a t и c t (b t) е еднакво на растојанието l од точката A до права линија BC.

На сл. 155, г, истата задача се постигнува со користење на методот на ротација во неговата форма, кој се нарекува метод на паралелно движење. Прво, правата линија BC и точката А, задржувајќи ја нивната релативна положба непроменета, се ротираат околу некоја (не наведена на цртежот) права линија нормална на квадратот. H, така што правата линија BC е паралелна со квадратот. V. Ова е еквивалентно на поместување на точките A, B, C во рамнини паралелни на квадратот. H. Во исто време, хоризонтот. проекцијата на даден систем (BC + A) не се менува ниту во големина ниту во конфигурација, се менува само неговата позиција во однос на оската x. Го поставуваме хоризонтот. проекција на правата линија BC паралелна со оската x (позиција b 1 c 1) и определи ја проекцијата a 1, оставајќи настрана c 1 1 1 = c-1 и a 1 1 1 = a-1, и a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1. Цртајќи прави линии b"b" 1 , a"a" 1 , c"c" 1 паралелно со оската x, го наоѓаме предниот дел на нив. проекции b" 1, a" 1, c" 1. Следно, ги поместуваме точките B 1, C 1 и A 1 во рамнини паралелни со областа V (исто така без промена на нивните релативни позиции), така што ќе се добие B 2 C 2 ⊥ област H. Во овој случај, предната проекција на правата линија ќе биде нормална на x,b оски 2 c" 2 = b" 1 c" 1, а за да се конструира проекцијата a" 2 треба да земете b" 2 2" 2 = b" 1 2" 1, нацртајте 2"a" 2 ⊥ b" 2 c" 2 и тргнете настрана a" 2 2" 2 = a" 1 2" 1 . Сега, откако поминав со 1 со 2 и 1 на 2 || x 1 добиваме проекции b 2 од 2 и a 2 и саканото растојание l од точката A до права линија BC. Растојанието од A до BC може да се определи со ротирање на рамнината дефинирана со точката A и права линија BC околу хоризонталата на оваа рамнина до положбата T || pl. H (Слика 155, ѓ).

Во рамнината дефинирана со точката A и правата линија BC, нацртајте хоризонтална линија A-1 (сл. 155, g) и завртете ја точката B околу неа. Точката B се поместува на квадрат. R (наведено во цртежот до R h), нормално на A-1; во точката O се наоѓа центарот на ротација на точката B. Сега ја одредуваме природната вредност на радиусот на ротација VO (Слика 155, в). Во бараната положба, односно кога пл. Т, определен со точката А и права линија BC, ќе стане || pl. H, точката B ќе биде на Rh на растојание Ob 1 од точката O (може да има друга позиција на истата трага Rh, но од другата страна на O). Точката b 1 е хоризонтот. проекција на точката B откако ќе се премести во позиција B 1 во просторот, кога рамнината дефинирана со точката A и права линија BC ја зазеде позицијата T.

Цртеж (слика 155, з) права линија b 1 1, го добиваме хоризонтот. проекција на права линија BC, веќе лоцирана || pl. H е во иста рамнина како A. Во оваа позиција, растојанието од a до b 1 1 е еднакво на саканото растојание l. Рамнината P, во која лежат дадените елементи, може да се комбинира со квадратот. H (слика 155, j), вртење квадрат. R околу неа е хоризонтот. трага. Поместувајќи се од одредување на рамнината по точка A и права линија BC до одредување на прави линии BC и A-1 (сл. 155, l), наоѓаме траги од овие прави линии и цртаме траги P ϑ и P h низ нив. Градиме (сл. 155, м) во комбинација со плоштадот. H позиција напред. трага - P ϑ0 .

Преку точката а го исцртуваме хоризонтот. фронтална проекција; комбинираниот фронтал поминува низ точката 2 на трагата P h паралелна со P ϑ0. Точка А 0 - во комбинација со квадрат. H е позицијата на точката A. Слично, ја наоѓаме точката B 0. Директно сонце во комбинација со квадрат. Положбата H минува низ точката B 0 и точката m (хоризонтална трага на права линија).

Растојанието од точката A 0 до права линија B 0 C 0 е еднакво на потребното растојание l.

Посочената конструкција можете да ја извршите со наоѓање само една трага од P h (слика 155, n и o). Целата конструкција е слична на ротација околу хоризонтала (види слика 155, g, c, i): трагата P h е една од хоризонталните pl. Р.

Од методите дадени за решавање на овој проблем, префериран метод за трансформација на цртежот е методот на ротација околу хоризонталната или фронталната.

158. Дадена е пирамидата SABC (сл. 156). Одредете ги растојанија:

а) од врвот B на основата до неговата страна AC со методот на паралелно движење;

б) од врвот S на пирамидата до страните BC и AB на основата со ротирање околу хоризонталата;

в) од врвот S до страната AC на основата со менување на проекционите рамнини.

159. Дадена е призма (сл. 157). Одредете ги растојанија:

а) помеѓу ребрата AD и CF со промена на проекционите рамнини;

б) помеѓу ребрата BE и CF со ротација околу фронталот;

в) помеѓу рабовите AD и BE со паралелно движење.

160. Определи ја вистинската големина на четириаголникот ABCD (сл. 158) со порамнување со квадратот. N. Користете ја само хоризонталната трага на рамнината.

161*. Определете го растојанието помеѓу вкрстувачките прави линии AB и CD (сл. 159, а) и конструирајте проекции на заедничка нормална на нив.

Решение. Растојанието помеѓу линиите на вкрстување се мери со отсечка (MN) нормална на двете линии (сл. 159, б). Очигледно, ако една од правите линии е поставена нормално на кој било квадрат. Т, тогаш

отсечката MN нормална на двете прави ќе биде паралелна на квадратот. Неговата проекција на оваа рамнина ќе го прикаже потребното растојание. Проекција прав аголМенад МН н АБ на пл. T, исто така, излегува дека е прав агол помеѓу m t n t и a t b t, бидејќи една од страните на правиот агол е AMN, имено MN. паралелно со плоштадот Т.

На сл. 159, c и d, потребното растојание l се одредува со методот на промена на проекционите рамнини. Прво воведуваме дополнителен квадрат. проекции S, нормално на квадратот. H и паралелно со права линија ЦД (сл. 159, в). Потоа воведуваме уште еден дополнителен квадрат. Т, нормално на квадрат. S и нормално на истата права линија ЦД (Слика 159, г). Сега можете да конструирате проекција на општата нормална со цртање m t n t од точката c t (d t) нормална на проекцијата a t b t. Точките m t и n t се проекции на точките на пресек на оваа нормална со прави AB и CD. Користејќи ја точката m t (слика 159, e) наоѓаме m s на a s b s: проекцијата на m s n s треба да биде паралелна со оската T/S. Следно, од m s и n s наоѓаме m и n на ab и cd, а од нив m" и n" на a"b" и c"d".

На сл. 159, c го прикажува решението на овој проблем користејќи го методот на паралелни движења. Прво ја поставуваме правата ЦД паралелно со квадратот. V: проекција c 1 d 1 || X. Следно, ги поместуваме правите ЦД и AB од позициите C 1 D 1 и A 1 B 1 до позициите C 2 B 2 и A 2 B 2 така што C 2 D 2 е нормална на H: проекција c" 2 d" 2 ⊥ x. Отсечката на потребната нормална се наоѓа || pl. H, и затоа m 2 n 2 го изразува саканото растојание l помеѓу AB и CD. Ја наоѓаме позицијата на проекциите m" 2 и n" 2 на a" 2 b" 2 и c" 2 d" 2, потоа проекциите m 1 и m" 1, n 1 и n" 1, на крајот, проекции m" и n ", m и n.

162. Дадена е пирамидата SABC (сл. 160). Определете го растојанието помеѓу работ SB и страната AC на основата на пирамидата и конструирајте проекции на заедничка нормална на SB и AC, користејќи го методот на промена на проекционите рамнини.

163. Дадена е пирамидата SABC (сл. 161). Определете го растојанието помеѓу работ SH и страната BC на основата на пирамидата и конструирајте проекции на заедничката нормална на SX и BC користејќи го методот на паралелно поместување.

164*. Определи го растојанието од точката А до рамнината во случаи кога рамнината е специфицирана со: а) триаголник BCD (сл. 162, а); б) траги (слика 162, б).

Решение. Како што знаете, растојанието од точка до рамнина се мери со вредноста на нормалната извлечена од точката до рамнината. Ова растојание е проектирано на која било област. проекции во целосна големина, ако оваа рамнина е нормална на квадратот. проекции (сл. 162, в). Оваа ситуација може да се постигне со трансформирање на цртежот, на пример, со промена на областа. проекции. Да воведеме pl. S (слика 16в, г), нормално на квадратот. триаголник BCD. За да го направите ова, ние трошиме на плоштадот. триаголник хоризонтален B-1 и поставете ја проекционата оска S нормално на проекцијата b-1 хоризонтално. Конструираме проекции на точка и рамнина - а и отсечка c s d s. Растојанието од a s до c s d s е еднакво на саканото растојание l од точката до рамнината.

до Рио. 162, г се користи методот на паралелно движење. Го поместуваме целиот систем додека хоризонталната рамнина B-1 не стане нормална на рамнината V: проекцијата b 1 1 1 треба да биде нормална на оската x. Во оваа позиција, рамнината на триаголникот ќе стане фронтално испакната, а растојанието l од точката А до него ќе биде pl. V без изобличување.

На сл. 162, b рамнината е дефинирана со траги. Воведуваме (слика 162, д) дополнителен квадрат. S, нормално на квадрат. P: S/H оската е нормална на P h. Останатото е јасно од цртежот. На сл. 162, g проблемот е решен со едно движење: pl. P оди во позиција P 1, т.е. станува напред-проекција. Песна. P 1h е нормално на оската x. Ние го градиме предниот дел во оваа позиција на авионот. хоризонталната трага е точката n" 1,n 1. Трагата P 1ϑ ќе помине низ P 1x и n 1. Растојанието од a" 1 до P 1ϑ е еднакво на потребното растојание l.

165. Дадена е пирамидата SABC (види Сл. 160). Одреди го растојанието од точката А до работ на пирамидата SBC користејќи го методот на паралелно движење.

166. Дадена е пирамидата SABC (види Сл. 161). Одредете ја висината на пирамидата користејќи го методот на паралелно поместување.

167*. Одредете го растојанието помеѓу линиите на вкрстување AB и CD (види слика 159,а) како растојание помеѓу паралелните рамнини повлечени низ овие линии.

Решение. На сл. 163, а рамнините P и Q се паралелни една со друга, од кои pl. Q е повлечен преку CD паралелно со AB, и pl. P - преку AB паралелно со квадрат. П. Растојанието помеѓу таквите рамнини се смета за растојание помеѓу вкрстувањето на права линии AB и CD. Сепак, можете да се ограничите на конструирање само на една рамнина, на пример Q, паралелна со AB, а потоа да го одредите растојанието барем од точката А до оваа рамнина.

На сл. 163, c ја прикажува рамнината Q нацртана низ CD паралелна со AB; во проекции извршени со „е“ || a"b" и ce || ab. Користејќи го методот на промена на pl. проекции (слика 163, в), воведуваме дополнителен квадрат. S, нормално на квадрат. V и во исто време

нормално на квадратот П. За да ја нацртате S/V оската, земете го фронталниот D-1 во оваа рамнина. Сега цртаме S/V нормално на d"1" (Слика 163, в). Pl. П ќе биде прикажан на плоштадот. S како права линија со s d s. Останатото е јасно од цртежот.

168. Дадена е пирамидата SABC (види Сл. 160). Одреди го растојанието помеѓу ребрата SC и AB Примени: 1) метод за промена на површината. проекции, 2) метод на паралелно движење.

169*. Определете го растојанието помеѓу паралелните рамнини, од кои едната е дефинирана со прави линии AB и AC, а другата со прави линии DE и DF (Слика 164, а). Изведете и конструкција за случајот кога рамнините се специфицирани со траги (сл. 164, б).

Решение. Растојанието (слика 164, в) помеѓу паралелните рамнини може да се одреди со цртање на нормална од која било точка на една рамнина до друга рамнина. На сл. 164, g беше воведен дополнителен квадрат. S нормално на квадрат. H и на двете дадени рамнини. Оската S.H е нормална на хоризонталата. хоризонтална проекција нацртана во една од рамнините. Конструираме проекција на оваа рамнина и точка во друга рамнина на плоштадот. 5. Растојанието на точката d s до права линија l s a s е еднакво на потребното растојание помеѓу паралелните рамнини.

На сл. 164, г е дадена друга конструкција (според методот на паралелно движење). Со цел рамнината изразена со линиите што се пресекуваат AB и AC да биде нормална на квадратот. V, хоризонт. Ја поставуваме хоризонталната проекција на оваа рамнина нормална на оската x: 1 1 2 1 ⊥ x. Растојание помеѓу предниот дел проекција d" 1 од точка D и права линија a" 1 2" 1 (предна проекција на рамнината) е еднаква на потребното растојание помеѓу рамнините.

На сл. 164, e покажува воведување на дополнителен квадрат. S, нормално на областа H и на дадените рамнини P и Q (оската S/H е нормална на трагите P h и Q h). Градиме траги од P s и Q s. Растојанието меѓу нив (види слика 164, в) е еднакво на саканото растојание l помеѓу рамнините P и Q.

На сл. 164, g го покажува движењето на рамнините P 1 n Q 1, до положбата P 1 и Q 1, кога хоризонтот. трагите се нормални на х-оската. Растојание меѓу новите фронтови. трагите P 1ϑ и Q 1ϑ се еднакви на потребното растојание l.

170. Со оглед на паралелепипедот ABCDEFGH (сл. 165). Определи ги растојанијата: а) помеѓу основите на паралелепипедот - l 1; б) помеѓу лицата ABFE и DCGH - l 2; в) помеѓу лицата на ADHE и BCGF-l 3.

Растојанието од точка до права е должината на нормалната нацртана од точката до правата. Во описната геометрија, таа се одредува графички користејќи го алгоритмот даден подолу.

Алгоритам

1. Правата линија се поместува во положба во која ќе биде паралелна со која било проекција рамнина. За таа цел се користат методи на трансформација на ортогонални проекции.
2. Од точка нормална е нацртана на права. Во сржта на оваа градбалежи теоремата за проекцијата на прав агол.
3. Должината на нормалната се одредува со трансформирање на неговите проекции или со користење на методот на правоаголен триаголник.

На следната слика е прикажан сложен цртеж на точката M и правата b, дефинирани со сегментот CD. Треба да ја пронајдете растојанието меѓу нив.

Според нашиот алгоритам, првото нешто што треба да направите е да ја преместите правата линија до позицијата паралелно со авионотпроекции. Важно е да се разбере дека откако ќе се извршат трансформациите, вистинското растојание помеѓу точката и линијата не треба да се менува. Затоа е погодно овде да се користи методот за замена на авион, кој не вклучува подвижни фигури во просторот.

Резултатите од првата фаза од изградбата се прикажани подолу. Сликата покажува како дополнителна фронтална рамнина P 4 се воведува паралелно со b. ВО нов систем(P 1, P 4) точките C"" 1, D"" 1, M"" 1 се на исто растојание од оската X 1 како C"", D"", M"" од X оската.

Изведувајќи го вториот дел од алгоритмот, од M"" 1 ја спуштаме нормалната M"" 1 N"" 1 на правата линија b"" 1, бидејќи правиот агол MND помеѓу b и MN е проектиран на рамнината P 4 во целосна големина. Користејќи ја комуникациската линија, ја одредуваме позицијата на точката N" и ја извршуваме проекцијата M"N" на сегментот MN.

Во последната фаза, треба да ја одредите големината на сегментот MN од неговите проекции M"N" и M"" 1 N"" 1. За ова градиме правоаголен триаголник M"" 1 N"" 1 N 0, која има страна N"" 1 N 0 еднаква на разликата(Y M 1 – Y N 1) отстранување на точките M" и N" од оската X 1. Должината на хипотенузата M"" 1 N 0 на триаголникот M"" 1 N"" 1 N 0 одговара на саканото растојание од M до b.

Второ решение

• Паралелно со ЦД, воведуваме нова фронтална рамнина P 4. Ја сече P 1 долж оската X 1 и X 1 ∥C"D". Во согласност со методот на замена на рамнините, ги одредуваме проекциите на точките C"" 1, D"" 1 и M"" 1, како што е прикажано на сликата.
• Нормално на C"" 1 D"" 1 градиме дополнителна хоризонтална рамнина P 5, на која права линија b е проектирана до точката C" 2 = b" 2.
• Растојанието помеѓу точката M и правата b се определува со должината на сегментот M" 2 C" 2, означен со црвено.

Слични задачи:

Формула за пресметување на растојанието од точка до права на рамнина

Ако е дадена равенката на правата Ax + By + C = 0, тогаш растојанието од точката M(M x, M y) до правата може да се најде со помош на следнава формула

Примери на проблеми за пресметување на растојанието од точка до права на рамнина

Пример 1.

Најдете го растојанието помеѓу правата 3x + 4y - 6 = 0 и точката M(-1, 3).

Решение.Ајде да ги замениме коефициентите на правата и координатите на точката во формулата

Одговор:растојанието од точката до правата е 0,6.

равенка на рамнина што минува низ точки нормални на векторОпшта равенка на рамнина

Се вика ненула вектор нормален на дадена рамнина нормален вектор (или накратко, нормално ) за овој авион.

Оставете координатен простор (во правоаголен системкоординати) се дадени:

точка ;

б) вектор без нула (сл. 4.8, а).

Треба да креирате равенка за рамнина што минува низ точка нормално на векторот Крај на доказот.

Ајде сега да размислиме Различни видовиравенки на права линија на рамнина.

1) Општа равенка на рамнинатаП .

Од изведувањето на равенката произлегува дека во исто време А, БИ Вне се еднакви на 0 (објаснете зошто).

Точката му припаѓа на авионот Псамо ако неговите координати ја задоволуваат равенката на рамнината. Во зависност од шансите А, Б, ВИ Драмнина Пзазема една или друга позиција:

- рамнината минува низ потеклото на координатниот систем, - рамнината не поминува низ потеклото на координатниот систем,

- рамнина паралелна на оската X,

X,

- рамнина паралелна на оската Y,

- рамнината не е паралелна со оската Y,

- рамнина паралелна на оската З,

- рамнината не е паралелна со оската З.

Докажете ги самите овие изјави.

Равенката (6) лесно се изведува од равенката (5). Навистина, нека точката лежи на авионот П. Тогаш неговите координати ја задоволуваат равенката.Одземајќи ја равенката (7) од равенката (5) и групирајќи ги членовите, ја добиваме равенката (6). Сега да разгледаме два вектори со координати соодветно. Од формулата (6) произлегува дека нивниот скаларен производ е еднаков на нула. Според тоа, векторот е нормален на векторот.Почетокот и крајот на последниот вектор се наоѓаат, соодветно, во точките кои припаѓаат на рамнината П. Според тоа, векторот е нормален на рамнината П. Растојание од точка до авион П, чија општа равенка определена со формулата Доказот за оваа формула е целосно сличен со доказот на формулата за растојанието помеѓу точка и права (види Сл. 2).
Ориз. 2. Да се ​​изведе формулата за растојанието помеѓу рамнина и права линија.

Навистина, растојанието гпомеѓу права линија и рамнина е еднаква

каде лежи точка во авионот. Од тука, како и на предавањето бр.11, се добива горната формула. Две рамнини се паралелни ако нивните нормални вектори се паралелни. Од тука го добиваме условот за паралелизам на две рамнини - коефициенти на општи равенки на рамнини. Две рамнини се нормални ако нивните нормални вектори се нормални, па оттука го добиваме условот за нормалност на две рамнини ако се познати нивните општи равенки

Катче ѓпомеѓу два авиони еднаков на аголотпомеѓу нивните нормални вектори (види Сл. 3) и затоа може да се пресметаат со помош на формулата
Одредување на аголот помеѓу рамнините.

(11)

Растојание од точка до рамнина и методи за негово пронаоѓање

Растојание од точка до рамнина– должината на нормалната паднала од точка на оваа рамнина. Постојат најмалку два начини да се најде растојанието од точка до рамнина: геометрискиИ алгебарски.

Со геометриски методПрво мора да разберете како се наоѓа нормалното од точка до рамнина: можеби лежи во некоја погодна рамнина, е висина во некој удобен (или не толку удобен) триаголник или можеби оваа нормална е генерално висина во некоја пирамида.

По оваа прва и најсложена фаза, проблемот се распаѓа на неколку специфични планиметриски проблеми (можеби во различни рамнини).

Со алгебарскиот методза да го пронајдете растојанието од точка до рамнина, треба да внесете координатен систем, да ги најдете координатите на точката и равенката на рамнината, а потоа да ја примените формулата за растојание од точка до рамнината.

Оваа статија зборува за темата « растојание од точка до права », Дискутира за дефиницијата на растојанието од точка до права со илустрирани примери со помош на методот на координати. Секој теориски блок на крајот покажа примери за решавање слични проблеми.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Растојанието од точка до права се наоѓа со одредување на растојанието од точка до точка. Ајде да погледнеме подетално.

Нека има права a и точка M 1 што не припаѓа на дадената права. Преку него цртаме права линија b, која се наоѓа нормално на правата а. Да ја земеме точката на пресек на правите како H 1. Добиваме дека M 1 H 1 е нормална која е спуштена од точката M 1 на права линија a.

Дефиниција 1

Растојание од точката М 1 до права линија aсе нарекува растојание помеѓу точките M 1 и H 1.

Постојат дефиниции кои ја вклучуваат должината на нормалната.

Дефиниција 2

Растојание од точка до линијае должината на нормалната извлечена од дадена точка до дадена права.

Дефинициите се еквивалентни. Размислете за сликата подолу.

Познато е дека растојанието од точка до права е најмалото од сите можни. Да го погледнеме ова со пример.

Ако земеме точка Q што лежи на права линија a, која не се совпаѓа со точката M 1, тогаш ќе добиеме дека отсечката M 1 Q се нарекува наклонета отсечка, спуштена од M 1 на права линија a. Неопходно е да се означи дека нормалната од точката М 1 е помала од која било друга наклонета линија нацртана од точката до правата линија.

За да го докажете ова, земете го триаголникот M 1 Q 1 H 1, каде што M 1 Q 1 е хипотенузата. Познато е дека неговата должина е секогаш подолгокоја било од нозете. Ова значи дека имаме дека M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Почетните податоци за наоѓање од точка до права ви овозможуваат да користите неколку методи на решение: преку Питагоровата теорема, одредување на синус, косинус, тангента на агол и други. Повеќето задачи од овој тип се решаваат на училиште за време на часовите по геометрија.

Кога при наоѓање на растојанието од точка до права е можно да се воведе правоаголен координатен систем, тогаш се користи координатен метод. Во овој став, ќе ги разгледаме главните два методи за наоѓање на потребното растојание од дадена точка.

Првиот метод вклучува пребарување на растојанието како нормална извлечена од M 1 до права линија a. Вториот метод ја користи нормалната равенка на права линија a за да го најде потребното растојание.

Ако има точка на рамнината со координати M 1 (x 1 , y 1), сместена во правоаголен координатен систем, права линија a, и треба да го пронајдете растојанието M 1 H 1, можете да ја направите пресметката во два начини. Ајде да ги погледнеме.

Првиот начин

Ако има координати на точката H 1 еднакви на x 2, y 2, тогаш растојанието од точката до правата се пресметува со помош на координатите од формулата M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Сега да продолжиме со наоѓање на координатите на точката H 1.

Познато е дека права линија во O x y одговара на равенката на права линија на рамнината. Да го земеме методот за дефинирање права линија a со пишување општа равенка на права линија или равенка со аголен коефициент. Ја составуваме равенката на права линија која минува низ точката М 1 нормална на дадена права а. Правата линија да ја означиме со буквата b. H 1 е точката на пресек на правите a и b, што значи да ги одредите координатите што ви се потребни за да ја користите статијата во која ние зборуваме заза координатите на точките на пресек на две прави.

Може да се види дека алгоритмот за наоѓање на растојанието од дадена точка M 1 (x 1, y 1) до права линија a се изведува според точките:

Дефиниција 3

• наоѓање на општата равенка на права линија a, со форма A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, или равенка со аголен коефициент, со форма y = k 1 x + b 1;
• добивање на општа равенка на правата b, со форма A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 или равенка со аголен коефициент y = k 2 x + b 2, ако правата b ја пресекува точката M 1 и е нормална на дадена линија a;
• определување на координатите x 2, y 2 на точката H 1, која е пресечна точка на a и b, за таа цел системот е решен линеарни равенки A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 или y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2;
• пресметување на потребното растојание од точка до права користејќи ја формулата M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Втор начин

Теоремата може да помогне да се одговори на прашањето за наоѓање на растојанието од дадена точка до дадена права линија на рамнина.

Теорема

Правоаголниот координатен систем има O x y има точка M 1 (x 1, y 1), од која е повлечена права линија до рамнината, дадена со нормалната равенка на рамнината, со форма cos α x + cos β y - p = 0, еднакво на Апсолутната вредност добиена на левата страна од нормалната равенка на правата, пресметана на x = x 1, y = y 1, значи дека M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - стр.

Доказ

Правата a одговара на нормалната равенка на рамнината, која има форма cos α x + cos β y - p = 0, тогаш n → = (cos α, cos β) се смета за нормален вектор на правата a на растојание од потекло да прави a со p единици . Неопходно е да се прикажат сите податоци на сликата, да се додаде точка со координати M 1 (x 1, y 1), каде што векторот на радиусот на точката M 1 - O M 1 → = (x 1, y 1). Потребно е да се повлече права линија од точка до права линија, која ја означуваме како M 1 H 1 . Потребно е да се прикажат проекциите M 2 и H 2 на точките M 1 и H 2 на права линија што минува низ точката O со вектор на насока од формата n → = (cos α, cos β) и да се означи нумеричка проекција на векторот како O M 1 → = (x 1, y 1) во насока n → = (cos α , cos β) како n p n → O M 1 → .

Варијациите зависат од локацијата на самата точка М1. Ајде да ја погледнеме сликата подолу.

Резултатите ги поправаме користејќи ја формулата M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - стр. Потоа ја доведуваме еднаквоста во оваа форма M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p за да се добие n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Скаларен производвектори како резултат дава трансформирана формула од формата n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , што е производ во координатна форма на форма n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Тоа значи дека добиваме дека n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Следи дека M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - стр. Теоремата е докажана.

Откривме дека за да го пронајдете растојанието од точката M 1 (x 1 , y 1) до права линија a на рамнината, треба да извршите неколку дејства:

Дефиниција 4

• добивање на нормалната равенка на правата a cos α · x + cos β · y - p = 0, под услов да ја нема во задачата;
• пресметка на изразот cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, каде што добиената вредност ја зема M 1 H 1.

Ајде да ги примениме овие методи за да ги решиме проблемите со наоѓање на растојанието од точка до рамнина.

Пример 1

Најдете го растојанието од точката со координати M 1 (- 1, 2) до права линија 4 x - 3 y + 35 = 0.

Решение

Ајде да го користиме првиот метод за решавање.

За да го направите ова, неопходно е да се најде општата равенка на правата b, која минува низ дадена точка M 1 (- 1, 2), нормално на правата 4 x - 3 y + 35 = 0. Од условот е јасно дека правата b е нормална на правата a, тогаш нејзиниот вектор на насока има координати еднакви на (4, - 3). Така, имаме можност да ја запишеме канонската равенка на правата b на рамнината, бидејќи има координати на точката M 1, која припаѓа на линијата b. Да ги одредиме координатите на насочувачкиот век на правата b. Добиваме дека x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3. Добиената канонска равенка мора да се претвори во општа. Тогаш го добиваме тоа

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Дозволете ни да ги најдеме координатите на точките на пресек на правите, кои ќе ги земеме како ознака H 1. Трансформациите изгледаат вака:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Од она што беше напишано погоре, имаме дека координатите на точката H 1 се еднакви на (- 5; 5).

Неопходно е да се пресмета растојанието од точката М 1 до права линија a. Имаме дека координатите на точките M 1 (- 1, 2) и H 1 (- 5, 5), потоа ги заменуваме во формулата за да го најдеме растојанието и да го добиеме тоа

M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5

Второ решение.

За да се реши на друг начин, потребно е да се добие нормалната равенка на правата. Ја пресметуваме вредноста на нормализирачкиот фактор и ги множиме двете страни на равенката 4 x - 3 y + 35 = 0. Од тука добиваме дека факторот за нормализирање е еднаков на - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5, а нормалната равенка ќе биде од формата - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

Според пресметковниот алгоритам, неопходно е да се добие нормалната равенка на линијата и да се пресмета со вредностите x = - 1, y = 2. Тогаш го добиваме тоа

4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5

Од ова добиваме дека растојанието од точката M 1 (- 1, 2) до дадената права линија 4 x - 3 y + 35 = 0 има вредност - 5 = 5.

Одговор: 5 .

Јасно е дека во овој методВажно е да се користи нормалната равенка на права, бидејќи овој метод е најкраток. Но, првиот метод е погоден затоа што е конзистентен и логичен, иако има повеќе поенипресметки.

Пример 2

На рамнината има правоаголен координатен систем O x y со точка M 1 (8, 0) и права линија y = 1 2 x + 1. Најдете го растојанието од дадена точка до права линија.

Решение

Решавањето на првиот начин вклучува намалување на дадена равенка со наклон на равенката општ поглед. За да се поедностави, можете да го направите поинаку.

Ако производот од аголните коефициенти на нормалните прави има вредност - 1, тогаш аголниот коефициент на права нормална на дадена y = 1 2 x + 1 има вредност 2. Сега ја добиваме равенката на права што минува низ точка со координати M 1 (8, 0). Имаме дека y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Продолжуваме со наоѓање на координатите на точката H 1, односно пресечните точки y = - 2 x + 16 и y = 1 2 x + 1. Составуваме систем од равенки и добиваме:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Следи дека растојанието од точката со координати M 1 (8, 0) до правата линија y = 1 2 x + 1 е еднакво на растојанието од почетната и крајната точка со координатите M 1 (8, 0) и H 1 (6, 4) . Да пресметаме и да најдеме дека M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5.

Решението на вториот начин е да се премине од равенка со коефициент во неговата нормална форма. Тоа е, добиваме y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0, тогаш вредноста на нормализирачкиот фактор ќе биде - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5. Следи дека нормалната равенка на правата има форма - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Ајде да ја извршиме пресметката од точката M 1 8, 0 до линијата на формата - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Добиваме:

M 1 H 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

Одговор: 2 5 .

Пример 3

Неопходно е да се пресмета растојанието од точката со координати M 1 (- 2, 4) до линиите 2 x - 3 = 0 и y + 1 = 0.

Решение

Ја добиваме равенката на нормалната форма на права линија 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Потоа продолжуваме со пресметување на растојанието од точката M 1 - 2, 4 до правата линија x - 3 2 = 0. Добиваме:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Равенката на правата y + 1 = 0 има нормализирачки фактор со вредност еднаква на -1. Ова значи дека равенката ќе има форма - y - 1 = 0. Продолжуваме со пресметување на растојанието од точката M 1 (- 2, 4) до права линија - y - 1 = 0. Откриваме дека е еднакво на - 4 - 1 = 5.

Одговор: 3 1 2 и 5.

Да го разгледаме подетално наоѓањето на растојанието од дадена точка на рамнината до координатните оски O x и O y.

Во правоаголен координатен систем, оската O y има равенка на права линија, која е нецелосна и има форма x = 0 и O x - y = 0. Равенките се нормални за координатните оски, тогаш потребно е да се најде растојанието од точката со координати M 1 x 1, y 1 до правите. Ова е направено врз основа на формулите M 1 H 1 = x 1 и M 1 H 1 = y 1. Ајде да ја погледнеме сликата подолу.

Пример 4

Најдете го растојанието од точката M 1 (6, - 7) до координатните линии лоцирани во рамнината O x y.

Решение

Бидејќи равенката y = 0 се однесува на правата линија O x, можете да го најдете растојанието од M 1 со дадени координати до оваа права линија користејќи ја формулата. Добиваме дека 6 = 6.

Бидејќи равенката x = 0 се однесува на права линија O y, можете да го најдете растојанието од M 1 до оваа права линија користејќи ја формулата. Потоа го добиваме тоа - 7 = 7.

Одговор:растојанието од M 1 до O x има вредност 6, а од M 1 до O y има вредност 7.

Кога во тродимензионален просторимаме точка со координати M 1 (x 1, y 1, z 1), потребно е да се најде растојанието од точката A до права линија a.

Ајде да разгледаме два методи кои ви дозволуваат да го пресметате растојанието од точка до права линија a лоцирана во просторот. Првиот случај го разгледува растојанието од точката M 1 до правата, каде што точката на правата се нарекува H 1 и е основата на нормалната извлечена од точката M 1 до правата a. Вториот случај сугерира дека точките на оваа рамнина мора да се бараат како висина на паралелограмот.

Првиот начин

Од дефиницијата имаме дека растојанието од точката M 1 лоцирана на права линија a е должината на нормалната M 1 H 1, тогаш добиваме дека со пронајдените координати на точката H 1, тогаш го наоѓаме растојанието помеѓу M 1 ( x 1, y 1, z 1 ) и H 1 (x 1 , y 1 , z 1), врз основа на формулата M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Откриваме дека целото решение оди кон наоѓање на координатите на основата на нормалната нацртана од M 1 на правата а. Ова се прави на следниов начин: H 1 е точката каде што правата а се вкрстува со рамнината што минува низ дадената точка.

Ова значи дека алгоритмот за одредување на растојанието од точката M 1 (x 1, y 1, z 1) до линијата a во просторот подразбира неколку точки:

Дефиниција 5

• составување на равенката на рамнината χ како равенка на рамнината што минува низ дадена точка која се наоѓа нормално на правата;
• определување на координатите (x 2, y 2, z 2) кои припаѓаат на точката H 1, која е пресечна точка на права линија a и рамнината χ;
• пресметување на растојанието од точка до права користејќи ја формулата M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Втор начин

Од условот имаме права a, тогаш можеме да го одредиме векторот на насока a → = a x, a y, a z со координати x 3, y 3, z 3 и одредена точка M 3 што припаѓа на права a. Ако ги имате координатите на точките M 1 (x 1, y 1) и M 3 x 3, y 3, z 3, можете да пресметате M 3 M 1 →:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Треба да ги оставиме настрана векторите a → = a x, a y, a z и M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 од точката M 3, да ги поврземе и да добиеме паралелограмска фигура. . M 1 H 1 е висината на паралелограмот.

Ајде да ја погледнеме сликата подолу.

Имаме дека висината M 1 H 1 е потребното растојание, тогаш потребно е да се најде со помош на формулата. Тоа е, ние бараме M 1 H 1.

Да ја означиме областа на паралелограмот со буквата S, пронајдена со формулата користејќи го векторот a → = (a x, a y, a z) и M 3 M 1 → = x 1 - x 3. y 1 - y 3, z 1 - z 3. Формулата за плоштина е S = a → × M 3 M 1 → . Исто така, плоштината на фигурата е еднаква на производот на должините на нејзините страни и висината, добиваме дека S = a → · M 1 H 1 со a → = a x 2 + a y 2 + a z 2, што е должината на векторот a → = (a x, a y, a z), суштество еднаква странапаралелограм. Ова значи дека M 1 H 1 е растојанието од точката до правата. Се наоѓа со помош на формулата M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

За да го пронајдете растојанието од точка со координати M 1 (x 1, y 1, z 1) до права линија a во просторот, треба да извршите неколку чекори од алгоритмот:

Дефиниција 6

• определување на векторот на насоката на правата a - a → = (a x, a y, a z);
• пресметување на должината на векторот на насока a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• добивање на координати x 3 , y 3 , z 3 кои припаѓаат на точката M 3 лоцирана на права линија a;
• пресметување на координатите на векторот M 3 M 1 → ;
• наоѓање на векторскиот производ на векторите a → (a x , a y , a z) и M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 како a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 за да се добие должината користејќи ја формулата a → × M 3 M 1 → ;
• пресметување на растојанието од точка до права M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Решавање задачи за наоѓање растојание од дадена точка до дадена права во просторот

Пример 5

Најдете го растојанието од точката со координати M 1 2, - 4, - 1 до правата x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5.

Решение

Првиот метод започнува со запишување на равенката на рамнината χ која минува низ M 1 и е нормална на дадена точка. Добиваме израз како:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Потребно е да се пронајдат координатите на точката H 1, која е точка на пресек со χ рамнината до линијата одредена со условот. Треба да се преселите од канонскиот поглед кон пресечниот. Потоа добиваме систем на равенки од формата:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Неопходно е да се пресмета системот x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 со методот на Крамер, тогаш добиваме дека:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

Оттука го имаме тоа H 1 (1, - 1, 0).

M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11

Вториот метод мора да започне со пребарување на координати во канонската равенка. За да го направите ова, треба да обрнете внимание на именителот на дропот. Тогаш a → = 2, - 1, 5 е векторот на насоката на правата x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5. Неопходно е да се пресмета должината користејќи ја формулата a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Јасно е дека правата x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ја сече точката M 3 (- 1 , 0 , - 5), па оттука имаме дека векторот со почеток M 3 (- 1 , 0 , - 5) и неговиот крај во точката M 1 2, - 4, - 1 е M 3 M 1 → = 3, - 4, 4. Најдете го векторскиот производ a → = (2, - 1, 5) и M 3 M 1 → = (3, - 4, 4).

Добиваме израз од формата a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 · j → = 16 · i → + 7 · j → - 5 · k →

откриваме дека должината на векторскиот производ е еднаква на → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330.

Ги имаме сите податоци за да ја користиме формулата за пресметување на растојанието од точка за права линија, па ајде да ја примениме и да добиеме:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Одговор: 11 .

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter