Квадратни равенки. Дискриминаторски. Решение, примери.

Внимание!
Има дополнителни
материјали во Посебен дел 555.
За оние кои се многу „не многу...“
И за оние кои „многу...“)

Видови квадратни равенки

Што е квадратна равенка? Како изгледа? Во терминот квадратна равенкаклучниот збор е „плоштад“.Тоа значи дека во равенката Задолжителномора да има х квадрат. Покрај него, равенката може (или не може!) да содржи само X (до првата сила) и само број (бесплатен член).И не треба да има X на моќност поголема од два.

Во математичка смисла, квадратната равенка е равенка од формата:

Еве а, б и в- некои бројки. б и в- апсолутно секој, но А– било што друго освен нула. На пример:

Еве А =1; б = 3; в = -4

Еве А =2; б = -0,5; в = 2,2

Еве А =-3; б = 6; в = -18

Па разбираш...

Во овие квадратни равенки лево има целосен сетчленови. X квадрат со коефициент А, x до првата моќност со коефициент бИ слободен член с.

Ваквите квадратни равенки се нарекуваат полн.

И ако б= 0, што добиваме? Ние имаме X ќе се изгуби на првата моќност.Ова се случува кога се множи со нула.) Излегува, на пример:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

И така натаму. И ако двата коефициенти бИ все еднакви на нула, тогаш е уште поедноставно:

2x 2 =0,

-0,3x 2 =0

Ваквите равенки каде што нешто недостасува се нарекуваат нецелосни квадратни равенки.Што е сосема логично.) Ве молиме имајте предвид дека x квадрат е присутен во сите равенки.

Патем, зошто Ане може да биде еднаква на нула? И наместо тоа, заменуваш Анула.) Нашиот X квадрат ќе исчезне! Равенката ќе стане линеарна. А решението е сосема друго...

Тоа се сите главни типови на квадратни равенки. Целосно и нецелосно.

Решавање на квадратни равенки.

Решавање на целосни квадратни равенки.

Квадратните равенки се лесни за решавање. Според формули и јасни, едноставни правила. Во првата фаза, потребно е дадената равенка да се доведе во стандардна форма, т.е. до формата:

Ако равенката веќе ви е дадена во оваа форма, не треба да ја правите првата фаза.) Главната работа е правилно да ги одредите сите коефициенти, А, бИ в.

Формулата за наоѓање корени на квадратна равенка изгледа вака:

Изразот под знакот на коренот се нарекува дискриминаторски. Но, повеќе за него подолу. Како што можете да видите, за да го пронајдеме X, користиме само а, б и в. Оние. коефициенти од квадратна равенка. Само внимателно заменете ги вредностите а, б и вНие пресметуваме во оваа формула. Ајде да замениме со свои знаци! На пример, во равенката:

А =1; б = 3; в= -4. Еве го запишуваме:

Примерот е речиси решен:

Ова е одговорот.

Сè е многу едноставно. И што, мислите дека е невозможно да се направи грешка? Па, да, како ...

Најчести грешки се конфузијата со вредностите на знакот а, б и в. Или подобро кажано, не со нивните знаци (каде да се мешате?), туку со замена на негативните вредности во формулата за пресметување на корените. Она што помага овде е детално снимање на формулата со конкретни бројки. Ако има проблеми со пресметките, да го направи тоа!

Да претпоставиме дека треба да го решиме следниов пример:

Еве а = -6; б = -5; в = -1

Да речеме дека знаете дека ретко добивате одговори од прв пат.

Па, не биди мрзлив. Ќе бидат потребни околу 30 секунди за да се напише дополнителна линија и бројот на грешки нагло ќе се намали. Така, пишуваме детално, со сите загради и знаци:

Се чини неверојатно тешко да се напише толку внимателно. Но, тоа само изгледа така. Пробајте го. Па, или изберете. Што е подобро, брзо или правилно? Освен тоа, ќе те направам среќен. По некое време, нема да има потреба да пишувате сè толку внимателно. Тоа ќе успее само по себе. Особено ако користите практични техники кои се опишани подолу. Овој злобен пример со еден куп минуси може да се реши лесно и без грешки!

Но, често, квадратните равенки изгледаат малку поинаку. На пример, вака:

Дали го препознавте?) Да! Ова нецелосни квадратни равенки.

Решавање на нецелосни квадратни равенки.

Може да се решат и со општа формула. Само треба правилно да разберете на што се еднакви овде. а, б и в.

Дали го сфативте? Во првиот пример a = 1; b = -4;А в? Воопшто го нема! Па да, така е. Во математиката тоа значи c = 0 ! Тоа е се. Наместо тоа, заменете ја нулата во формулата в,и ќе успееме. Исто и со вториот пример. Само што овде немаме нула Со, А б !

Но, нецелосните квадратни равенки може да се решат многу поедноставно. Без никакви формули. Да ја разгледаме првата нецелосна равенка. Што можете да направите на левата страна? Можете да го извадите X од загради! Ајде да го извадиме.

И што од ова? И фактот дека производот е еднаков на нула ако и само ако некој од факторите е еднаков на нула! Не ми верувате? Добро, тогаш смисли два броја кои не се нула кои, кога ќе се помножат, ќе дадат нула!
Не работи? Тоа е тоа...
Затоа, можеме со сигурност да напишеме: x 1 = 0, x 2 = 4.

Сите. Ова ќе бидат корените на нашата равенка. И двете се погодни. При замена на било кој од нив во оригиналната равенка, го добиваме точниот идентитет 0 = 0. Како што можете да видите, решението е многу поедноставно отколку да се користи општата формула. Да забележам, патем, кој Х ќе биде прв, а кој втор - апсолутно рамнодушен. Удобно е да се пишува по ред, x 1- што е помало и x 2- тоа што е поголемо.

Втората равенка исто така може да се реши едноставно. Поместете 9 на десната страна. Добиваме:

Останува само да се извлече коренот од 9, и тоа е тоа. Ќе испадне:

Исто така, два корени . x 1 = -3, x 2 = 3.

Така се решаваат сите нецелосни квадратни равенки. Или со ставање X надвор од заградите, или со едноставно поместување на бројот надесно и потоа извлекување на коренот.
Исклучително е тешко да се помешаат овие техники. Едноставно затоа што во првиот случај ќе треба да го извадите коренот на Х, што е некако неразбирливо, а во вториот случај нема што да се извади од загради...

Дискриминаторски. Дискриминаторска формула.

Магичен збор дискриминаторски ! Ретко кој средношколец не го слушнал овој збор! Фразата „решаваме преку дискриминатор“ инспирира доверба и сигурност. Затоа што нема потреба да се очекуваат трикови од дискриминаторот! Едноставен е и непроблематички за користење.) Ве потсетувам на најопштата формула за решавање било којквадратни равенки:

Изразот под знакот на коренот се нарекува дискриминатор. Типично, дискриминаторот се означува со буквата Д. Дискриминаторска формула:

D = b 2 - 4ac

И што е толку впечатливо во овој израз? Зошто заслужуваше посебно име? Што значењето на дискриминаторот?После се -б,или 2аво оваа формула тие конкретно не го нарекуваат ништо... Букви и букви.

Еве ја работата. При решавање на квадратна равенка со помош на оваа формула, тоа е можно само три случаи.

1. Дискриминаторот е позитивен.Ова значи дека коренот може да се извлече од него. Дали коренот е добро или лошо извлечен е друго прашање. Она што е важно е што во принцип се извлекува. Тогаш вашата квадратна равенка има два корени. Две различни решенија.

2. Дискриминаторот е нула.Тогаш ќе имате едно решение. Бидејќи собирањето или одземањето на нула во броителот не менува ништо. Строго кажано, ова не е еден корен, туку две идентични. Но, во поедноставена верзија, вообичаено е да се зборува едно решение.

3. Дискриминаторот е негативен.Квадратниот корен на негативен број не може да се земе. Па, во ред. Ова значи дека нема решенија.

Да бидам искрен, кога едноставно се решаваат квадратни равенки, концептот на дискриминатор навистина не е потребен. Ги заменуваме вредностите на коефициентите во формулата и броиме. Таму сè се случува само по себе, два корени, еден и ниту еден. Меѓутоа, при решавање на посложени задачи, без знаење значење и формула на дискриминаторотнедоволно. Особено во равенките со параметри. Ваквите равенки се акробатика за Државниот испит и за обединетиот државен испит!)

Значи, како да се решат квадратни равенкипреку дискриминаторот на кој се сетивте. Или сте научиле, што исто така не е лошо.) Знаете правилно да одредите а, б и в. Дали знаете како? внимателнозаменете ги во коренската формула и внимателноброи го резултатот. Разбирате дека тука е клучниот збор внимателно?

Сега забележете ги практичните техники кои драматично го намалуваат бројот на грешки. Истите кои се поради невнимание... За што подоцна станува болно и навредливо...

Прв состанок . Немојте да бидете мрзливи пред да решите квадратна равенка и доведете ја во стандардна форма. Што значи тоа?
Да речеме дека по сите трансформации ја добивате следнава равенка:

Не брзајте да ја напишете коренската формула! Речиси сигурно ќе ги измешате шансите а, б и в.Правилно конструирај го примерот. Прво, X квадрат, потоа без квадрат, па слободниот член. Како ова:

И повторно, не брзајте! Минус пред X квадрат може навистина да ве вознемири. Лесно се заборава... Ослободете се од минусот. Како? Да, како што беше научено во претходната тема! Треба да ја помножиме целата равенка со -1. Добиваме:

Но, сега можете безбедно да ја запишете формулата за корените, да го пресметате дискриминантот и да завршите со решавање на примерот. Одлучете сами. Сега треба да имате корени 2 и -1.

Прием второ. Проверете ги корените! Според теоремата на Виета. Не плашете се, ќе ви објаснам сè! Проверка последно нешторавенката. Оние. онаа што ја користевме за да ја запишеме коренската формула. Ако (како во овој пример) коефициентот a = 1, проверката на корените е лесно. Доволно е да ги умножите. Резултатот треба да биде слободен член, т.е. во нашиот случај -2. Ве молиме имајте предвид, не 2, туку -2! Бесплатен член со вашиот знак . Ако не успее, тоа значи дека тие веќе се зафркнале некаде. Побарајте ја грешката.

Ако работи, треба да ги додадете корените. Последна и последна проверка. Коефициентот треба да биде бСо спротивно познат. Во нашиот случај -1+2 = +1. Коефициент б, кој е пред X, е еднаков на -1. Значи, сè е точно!
Штета што ова е толку едноставно само за примери каде x квадрат е чист, со коефициент a = 1.Но, барем проверете во такви равенки! Ќе има се помалку и помалку грешки.

Трет прием . Ако вашата равенка има фракциони коефициенти, ослободете се од дропките! Помножете ја равенката со заеднички именител како што е опишано во лекцијата „Како да решаваме равенки? Трансформации на идентитети“. Кога работите со дропки, грешките постојано се појавуваат поради некоја причина...

Патем, ветив дека ќе го поедноставам злобниот пример со еден куп минуси. Ве молам! Еве го.

За да не се збуниме со минусите, равенката ја множиме со -1. Добиваме:

Тоа е се! Решавањето е задоволство!

Значи, да ја сумираме темата.

Практични совети:

1. Пред да го решиме, ја доведуваме квадратната равенка во стандардна форма и ја градиме Во право.

2. Ако има негативен коефициент пред квадратот X, го елиминираме со множење на целата равенка со -1.

3. Ако коефициентите се фракционо, дропките ги елиминираме со множење на целата равенка со соодветниот фактор.

4. Ако х квадрат е чист, неговиот коефициент е еднаков на еден, решението може лесно да се потврди со помош на теоремата на Виета. Направи го!

Сега можеме да одлучиме.)

Решавање на равенки:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)

Одговори (во неред):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - кој било број

x 1 = -3
x 2 = 3

нема решенија

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Дали сè одговара? Одлично! Квадратните равенки не се ваша главоболка. Првите три работеа, но останатите не? Тогаш проблемот не е со квадратните равенки. Проблемот е во идентични трансформации на равенки. Погледнете го линкот, корисен е.

Дали сосема не функционира? Или воопшто не успева? Тогаш ќе ви помогне Дел 555. Сите овие примери се расчленети таму. Прикажани главенгрешки во решението. Се разбира, зборуваме и за употреба на идентични трансформации при решавање на различни равенки. Помага многу!

Доколку ви се допаѓа оваа страница...

Патем, имам уште неколку интересни страници за вас.)

Можете да вежбате да решавате примери и да го дознаете вашето ниво. Тестирање со инстант верификација. Ајде да научиме - со интерес!)

Можете да се запознаете со функции и деривати.

Квадратна равенкае равенка на формата секира 2 +bx +c = 0, каде x- променлива, а,бИ в– некои бројки и а ≠ 0.

Пример за квадратна равенка:

3x 2 + 2x – 5 = 0.

Еве А = 3, б = 2, в = –5.

Броеви а,бИ в– шанситеквадратна равенка.

Број аповикани првиот коефициент, број б – втор коефициент, и бројот в – слободен член.

Намалена квадратна равенка.

Се нарекува квадратна равенка во која првиот коефициент е 1 дадена квадратна равенка.

Примери за дадена квадратна равенка:

x 2 + 10x – 11 = 0

x 2 – x – 12 = 0

x 2 – 6X + 5 = 0

тука е коефициентот во x 2 е еднакво на 1 (едноставно 1 е испуштено во сите три равенки).

Нецелосна квадратна равенка.

Ако во квадратна равенка секира 2 +bx +c = 0 барем еден од коефициентите били ве еднаква на нула, тогаш се нарекува таква равенка нецелосна квадратна равенка.

Примери на нецелосни квадратни равенки:

2x 2 + 18 = 0

тука има коефициент А, што е еднакво на -2, е коефициентот в, еднакво на 18, и коефициентот бне – тоа е еднакво на нула.

x 2 – 5x = 0

Еве А = 1, б = -5, в= 0 (така што коефициентот внедостасува во равенката).

Како да се решат квадратните равенки.

За да решите квадратна равенка, треба да извршите само два чекори:

1) Најдете го дискриминантот D користејќи ја формулата:

D=б 2 – 4 ак.

Ако дискриминаторот е негативен број, тогаш квадратната равенка нема решение и пресметките престануваат. Ако D ≥ 0, тогаш

2) Најдете ги корените на квадратната равенка користејќи ја формулата:

– б ± √ Д
X 1,2 = -----.
2А

Пример: Решете ја квадратната равенка 3 X 2 – 5X – 2 = 0.

Решение:

Прво, да ги одредиме коефициентите на нашата равенка:

А = 3, б = –5, в = –2.

Ја пресметуваме дискриминаторот:

D= б 2 – 4ак= (–5) 2 – 4 3 (–2) = 25 + 24 = 49.

D > 0, што значи дека равенката има смисла, што значи дека можеме да продолжиме.

Наоѓање на корените на квадратната равенка:

–б+ √D 5 + 7 12
X 1 = ----- = ---- = -- = 2
2А 6 6

–б– √D 5 – 7 2 1
X 2 = ----- = ---- = – -- = – --.
2А 6 6 3

1
Одговор: X 1 = 2, X 2 = – --.

Цели:

• Воведување на концептот на намалена квадратна равенка;
• „откријте“ ја врската помеѓу корените и коефициентите на дадената квадратна равенка;
• развијте интерес за математиката, покажувајќи преку примерот на животот на Виет дека математиката може да биде хоби.

За време на часовите

1. Проверка на домашната задача

Бр. 309 (g) x 1 =7, x 2 =

Бр. 311 (g) x 1 =2, x 2 =-1

Бр. 312 (г) без корени

2. Повторување на научениот материјал

Секој има маса на својата маса. Најдете ја кореспонденцијата помеѓу левата и десната колона од табелата.

Вербална формулација	Буквален израз
1. Квадратен трином	A. ах 2 =0
2. Дискриминаторски	B. ax 2 +c=0, s< 0
3. Нецелосна квадратна равенка со еден корен еднаков на 0.	ВО. D > 0
4. Нецелосна квадратна равенка од која едниот корен е 0, а другиот не е еднаков на 0.	Г. Д< 0
5. Не е целосна квадратна равенка, чии корени се еднакви по големина, но спротивни по знак.	Д. akh 2 +in+c=0
6. Не е целосна квадратна равенка која нема вистински корени.	Е. D=v 2 +4ac
7. Општ приказ на квадратна равенка.	И. x 2 +px+q=0
8. Услов под кој квадратната равенка има два корени	З. ах 2 +во+с
9. Услов под кој квадратната равенка нема корени	И. секира 2 + c=0, c > 0
10. Услов под кој квадратната равенка има два еднакви корени	ДО. akh 2 +in=0
11. Намалена квадратна равенка.	Л. D = 0

Внесете ги точните одговори во табелата.

1-Z; 2-E; 3-А; 4-К; 5 Б; 6-Јас; 7-D; 8-B; 9-G; 10-L; 11-F.

3. Консолидација на изучениот материјал

Решете ги равенките:

а) -5x 2 + 8x -3=0;

Решение:

D=64 – 4(-5)(-3) = 4,

x 1 = x 2 = = a + b + c = -5+8-3=0

б) 2 x 2 +6x – 8 = 0;

Решение:

D=36 – 4 2 (-8)= 100,

x 1 = = x 2 = a + b + c = 2+6-8=0

в) 2009 x 2 +x – 2010 =0

Решение:

a + b + c = 2009+1 + (-2010) =0, потоа x 1 =1 x 2 =

4. Проширување на училишниот курс

ax 2 +in+c=0, ако a+b+c=0, тогаш x 1 =1 x 2 =

Ајде да размислиме за решавање на равенките

а) 2x 2 + 5x +3 = 0

Решение:

D = 25 -24 = 1 x 1 = x 2 = a – b + c = 2-5 + 3 = 0

б) -4x 2 -5x -1 =0

Решение:

D = 25 – 16 = 9 x 1 = – 1 x 2 = a – b + c = -4-(-5) – 1 = 0

в)1150x2 +1135x -15 = 0

Решение:

a – b+c = 1150-1135 +(-15) = 0 x 1 = – 1 x 2 =

ax 2 +in+c=0, ако a-b+c=0, тогаш x 1 = – 1 x 2 =

5. Нова тема

Ајде да провериме дали сте ја завршиле првата задача. Со какви нови концепти наидовте? 11 – ѓ, т.е.

Дадената квадратна равенка е x 2 + px + q = 0.

Темата на нашата лекција.
Ајде да ја пополниме следната табела.
Левата колона е во тетратките, а еден ученик е на таблата.
Решавање на равенката akh 2 +in+c=0
Десна колона, поподготвен ученик на табла
Решавање на равенката x 2 + px + q = 0, со a = 1, b = p, c = q

Наставникот (ако е потребно) помага, останатите се во тетратки.

6. Практичен дел

X 2 – 6 X + 8 = 0,	D = 9 - 8 = 1,	x 1 = 3 – 1 = 2	x 2 = 3 + 1 = 4
X 2 + 6 X + 8 = 0,	D = 9 - 8 = 0,	x 1 = -3 – 1 = -4	x 2 = -3 + 1 = -2
X 2 + 20 X + 51 = 0,	D = 100 - 51 = 49	x 1 = 10 - 7 = 3	x 2 = 10 + 7 = 17
X 2 – 20 X – 69 = 0,	D = 100 - 69 = 31

Врз основа на резултатите од нашите пресметки, ќе ја пополниме табелата.

Равенка бр.	Р	x 1+ x 2	q	x 1 x 2
1	-6	6	8	8

Да ги споредиме добиените резултати со коефициентите на квадратните равенки.
Каков заклучок може да се извлече?

7. Историска позадина

Односот помеѓу корените и коефициентите на квадратната равенка за првпат бил воспоставен од познатиот француски научник Франсоа Виете (1540–1603).

Франсоа Виете по професија бил адвокат и долги години работел како советник на кралот. И иако математиката беше негово хоби, или како што велат, хоби, благодарение на напорната работа постигна одлични резултати во неа. Viet во 1591 година воведе нотација на букви за непознати и коефициенти на равенки. Ова овозможи да се напишат корените и другите својства на равенката користејќи општи формули.

Недостатокот на алгебрата на Виета беше тоа што препознава само позитивни броеви. За да избегне негативни решенија, тој ги заменил равенките или барал вештачки решенија, за што одземало многу време, го комплицирале решението и честопати доведувале до грешки.

Виете направил многу различни откритија, но тој самиот најмногу го ценел воспоставувањето на врската помеѓу корените и коефициентите на квадратната равенка, односно односот наречен „теорема на Виете“.

Ќе ја разгледаме оваа теорема во следната лекција.

8. Генерализација на знаењето

Прашања:

1. Која равенка се нарекува намалена квадратна равенка?
2. Која формула може да се користи за да се најдат корените на дадената квадратна равенка?
3. Што го одредува бројот на корените на дадената квадратна равенка?
4. Која е дискриминантата на намалена квадратна равенка?
5. Како се поврзани корените на горната квадратна равенка и нејзините коефициенти?
6. Кој ја направи оваа врска?

9. Домашна задача

клаузула 4.5, бр. 321 (б, ѓ) бр. 322 (а, г, е, ж)

Пополнете ја табелата.

Равенката	Корени	Збир на корени	Производ од корени
X 2 – 8x + 7 = 0	1 и 7	8	7

Литература

ЦМ. Николскии други, учебник „Алгебра 8“ од серијата „МСУ-Училиште“ - М.: Просвешчение, 2007 година.

Се надевам дека по проучувањето на оваа статија ќе научите како да ги пронајдете корените на целосна квадратна равенка.

Со помош на дискриминантата се решаваат само целосни квадратни равенки, за решавање на нецелосни квадратни равенки се користат други методи кои ќе ги најдете во статијата „Решавање на нецелосни квадратни равенки“.

Кои квадратни равенки се нарекуваат целосни? Ова равенки од формата ax 2 + b x + c = 0, каде што коефициентите a, b и c не се еднакви на нула. Значи, за да решиме целосна квадратна равенка, треба да ја пресметаме дискриминантната D.

D = b 2 – 4ac.

Во зависност од вредноста на дискриминаторот, ќе го запишеме одговорот.

Ако дискриминаторот е негативен број (Д< 0),то корней нет.

Ако дискриминаторот е нула, тогаш x = (-b)/2a. Кога дискриминаторот е позитивен број (D > 0),

тогаш x 1 = (-b - √D)/2a, и x 2 = (-b + √D)/2a.

На пример. Решете ја равенката x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Одговор: 2.

Решете ја равенката 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Одговор: нема корени.

Решете ја равенката 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= - 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Одговор: – 3,5; 1.

Значи, да го замислиме решението на целосните квадратни равенки користејќи го дијаграмот на Слика 1.

Користејќи ги овие формули, можете да решите која било целосна квадратна равенка. Само треба да внимавате на равенката е напишана како полином на стандардната форма

А x 2 + bx + c,во спротивно може да згрешите. На пример, при пишување на равенката x + 3 + 2x 2 = 0, може погрешно да одлучите дека

a = 1, b = 3 и c = 2. Тогаш

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 и тогаш равенката има два корени. И ова не е вистина. (Види решение на пример 2 погоре).

Според тоа, ако равенката не е напишана како полином на стандардната форма, прво мора да се запише целосната квадратна равенка како полином на стандардната форма (на прво место треба да дојде мономот со најголем експонент, т.е. А x 2 , потоа со помалку – bxа потоа и слободен член Со.

При решавање на намалената квадратна равенка и квадратна равенка со парен коефициент во вториот член, можете да користите други формули. Ајде да се запознаеме со овие формули. Ако во целосна квадратна равенка вториот член има парен коефициент (b = 2k), тогаш равенката може да ја решите користејќи ги формулите прикажани на дијаграмот на Слика 2.

Целосна квадратна равенка се нарекува намалена ако коефициентот на x 2 е еднаква на една и равенката ја зема формата x 2 + px + q = 0. Таква равенка може да се даде за решение, или може да се добие со делење на сите коефициенти на равенката со коефициентот А, стои во x 2 .

На слика 3 е прикажан дијаграм за решавање на намалениот квадрат
равенки. Ајде да погледнеме пример за примена на формулите дискутирани во овој напис.

Пример. Решете ја равенката

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Ајде да ја решиме оваа равенка користејќи ги формулите прикажани на дијаграмот на Слика 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = -1 + √3

Одговор: –1 – √3; –1 + √3

Може да забележите дека коефициентот x во оваа равенка е парен број, односно b = 6 или b = 2k, од каде k = 3. Потоа да се обидеме да ја решиме равенката користејќи ги формулите прикажани на дијаграмот на сликата D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = - 1 + √3

Одговор: –1 – √3; –1 + √3. Забележувајќи дека сите коефициенти во оваа квадратна равенка се деливи со 3 и извршувајќи го делењето, ја добиваме намалената квадратна равенка x 2 + 2x – 2 = 0 Решете ја оваа равенка користејќи ги формулите за намалениот квадрат
равенки слика 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = - 1 + √3

Одговор: –1 – √3; –1 + √3.

Како што можете да видите, кога ја решававме оваа равенка користејќи различни формули, го добивме истиот одговор. Затоа, откако темелно ги совладавте формулите прикажани на дијаграмот на Слика 1, секогаш ќе можете да решите која било целосна квадратна равенка.

веб-страница, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до изворот.

Во оваа статија ќе разгледаме решавање на нецелосни квадратни равенки.

Но, прво, да повториме кои равенки се нарекуваат квадратни. Равенка од формата ax 2 + bx + c = 0, каде што x е променлива, а коефициентите a, b и c се некои броеви, а a ≠ 0 се вика квадрат. Како што гледаме, коефициентот за x 2 не е еднаков на нула, и затоа коефициентите за x или слободниот член можат да бидат еднакви на нула, во тој случај добиваме нецелосна квадратна равенка.

Постојат три типа на нецелосни квадратни равенки:

1) Ако b = 0, c ≠ 0, тогаш ax 2 + c = 0;

2) Ако b ≠ 0, c = 0, тогаш ax 2 + bx = 0;

3) Ако b = 0, c = 0, тогаш секира 2 = 0.

• Ајде да дознаеме како да решиме равенки од формата ax 2 + c = 0.

За да ја решиме равенката, го поместуваме слободниот член c на десната страна од равенката, добиваме

секира 2 = ‒с. Бидејќи a ≠ 0, ги делиме двете страни на равенката со a, потоа x 2 = ‒c/a.

Ако ‒с/а > 0, тогаш равенката има два корени

x = ±√(–c/a) .

Ако ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Ајде да се обидеме да разбереме со примери како да решаваме такви равенки.

Пример 1. Решете ја равенката 2x 2 ‒ 32 = 0.

Одговор: x 1 = - 4, x 2 = 4.

Пример 2. Решете ја равенката 2x 2 + 8 = 0.

Одговор: равенката нема решенија.

• Ајде да дознаеме како да го решиме равенки од формата ax 2 + bx = 0.

За да ја решиме равенката ax 2 + bx = 0, да ја факторизираме, односно да го извадиме x од загради, ќе добиеме x(ax + b) = 0. Производот е еднаков на нула ако барем еден од факторите е еднаков на нула. Тогаш или x = 0, или ax + b = 0. Решавајќи ја равенката ax + b = 0, добиваме ax = - b, од каде x = - b/a. Равенката од формата ax 2 + bx = 0 секогаш има два корени x 1 = 0 и x 2 = ‒ b/a. Погледнете како изгледа решението на равенките од овој тип на дијаграмот.

Ајде да го консолидираме нашето знаење со конкретен пример.

Пример 3. Решете ја равенката 3x 2 ‒ 12x = 0.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 или 3x – 12 = 0

Одговор: x 1 = 0, x 2 = 4.

• Равенки од трет тип секира 2 = 0се решаваат многу едноставно.

Ако секира 2 = 0, тогаш x 2 = 0. Равенката има два еднакви корени x 1 = 0, x 2 = 0.

За јасност, да го погледнеме дијаграмот.

Дозволете ни да се погрижиме кога го решаваме Пример 4 дека равенките од овој тип можат да се решат многу едноставно.

Пример 4.Решете ја равенката 7x 2 = 0.

Одговор: x 1, 2 = 0.

Не е секогаш веднаш јасно каков тип на нецелосна квадратна равенка треба да решиме. Размислете за следниот пример.

Пример 5.Решете ја равенката

Ајде да ги помножиме двете страни на равенката со заеднички именител, односно со 30

Ајде да го намалиме

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) = 90.

Ајде да ги отвориме заградите

25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.

Ајде да дадеме слично

Да го преместиме 99 од левата страна на равенката надесно, менувајќи го знакот во спротивното

Одговор: нема корени.

Разгледавме како се решаваат нецелосните квадратни равенки. Се надевам дека сега нема да имате потешкотии со ваквите задачи. Внимавајте кога го одредувате типот на нецелосната квадратна равенка, тогаш ќе успеете.

Ако имате прашања на оваа тема, пријавете се за моите лекции, заедно ќе ги решиме проблемите што се појавуваат.

веб-страница, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до изворот.