Што значи вектор? Вектори за кукли. Дејства со вектори. Векторски координати. Наједноставните проблеми со вектори. Точка производ на вектори

Стандардна дефиниција: „Вектор е насочен сегмент“. Ова е обично степенот на знаењето на дипломираните лица за векторите. Кому му требаат некакви „насочни сегменти“?

Но, навистина, што се векторите и за што се тие?
Временска прогноза. „Ветер северозападен, брзина 18 метри во секунда“. Се согласувам, и насоката на ветрот (од каде што дува) и големината (односно апсолутната вредност) на неговата брзина се важни.

Количините кои немаат насока се нарекуваат скаларни. Масата, работата, електричното полнење не се насочени никаде. Тие се карактеризираат само со нумеричка вредност - „колку килограми“ или „колку џули“.

Физичките величини кои имаат не само апсолутна вредност, туку и насока, се нарекуваат векторски величини.

Брзина, сила, забрзување - вектори. За нив е важно „колку“ и важно е „каде“. На пример, забрзувањето на гравитацијата е насочено кон површината на Земјата, а неговата вредност е 9,8 m/s 2. Импулсот, јачината на електричното поле, индукцијата на магнетното поле се исто така векторски величини.

Се сеќавате дека физичките количини се означуваат со букви, латински или грчки. Стрелката над буквата покажува дека количината е векторска:

Еве уште еден пример.
Автомобил се движи од А до Б. Крајниот резултат е неговото движење од точката А до точката Б, односно движење по вектор .

Сега е јасно зошто векторот е насочен сегмент. Ве молиме имајте предвид дека крајот на векторот е местото каде што е стрелката. Векторска должинасе нарекува должина на овој сегмент. Назначено со: или

Досега работевме со скаларни величини, според правилата на аритметиката и елементарната алгебра. Векторите се нов концепт. Ова е уште една класа на математички објекти. Тие имаат свои правила.

Некогаш не знаевме ништо за бројките. Моето запознавање со нив започна уште во основно училиште. Се покажа дека броевите можат да се споредуваат едни со други, да се собираат, одземаат, множат и делат. Дознавме дека има број еден и број нула.
Сега се запознавме со вектори.

Концептите „повеќе“ и „помалку“ за вектори не постојат - на крајот на краиштата, нивните насоки можат да бидат различни. Може да се споредат само векторските должини.

Но, постои концепт на еднаквост за вектори.
Еднаквисе нарекуваат вектори кои имаат иста должина и иста насока. Ова значи дека векторот може да се пренесе паралелно со себе до која било точка во рамнината.
Слободнае вектор чија должина е 1. Нула е вектор чија должина е нула, односно неговиот почеток се совпаѓа со крајот.

Најзгодно е да се работи со вектори во правоаголен координатен систем - истиот во кој цртаме графикони на функции. Секоја точка во координатниот систем одговара на два броја - неговите x и y координати, апсциса и ордината.
Векторот е исто така одреден со две координати:

Овде координатите на векторот се запишани во загради - во x и y.
Тие се наоѓаат едноставно: координатата на крајот на векторот минус координатата на неговиот почеток.

Ако се дадени векторските координати, неговата должина се наоѓа со формулата

Векторско додавање

Постојат два начина за додавање вектори.

1 . Правило за паралелограм. За да ги собереме векторите и , ги ставаме потеклото на двете во иста точка. Градиме до паралелограм и од истата точка цртаме дијагонала на паралелограмот. Ова ќе биде збирот на векторите и .

Се сеќавате на басната за лебед, рак и штука? Се трудеа многу, но никогаш не ја поместија количката. На крајот на краиштата, векторскиот збир на силите што ги примениле на количката беше еднаков на нула.

2. Вториот начин за додавање вектори е правилото за триаголник. Да ги земеме истите вектори и . Ќе го додадеме почетокот на вториот до крајот на првиот вектор. Сега да го поврземе почетокот на првиот и крајот на вториот. Ова е збир на вектори и .

Користејќи го истото правило, можете да додадете неколку вектори. Ги редиме едно по друго, а потоа го поврзуваме почетокот на првиот со крајот на последниот.

Замислете дека одите од точката А до точката B, од B до C, од C до D, потоа до E и до F. Крајниот резултат од овие дејства е движење од А до Ф.

Кога додаваме вектори и добиваме:

Векторско одземање

Векторот е насочен спротивно на векторот. Должините на векторите и се еднакви.

Сега е јасно што е векторско одземање. Векторската разлика и е збир на векторот и векторот .

Множење на вектор со број

Кога векторот се множи со бројот k, се добива вектор чија должина е k пати различна од должината. Тој е конасочен со векторот ако k е поголем од нула, а спротивен ако k е помал од нула.

Точка производ на вектори

Векторите може да се множат не само со бројки, туку и едни со други.

Скаларниот производ на вектори е производ на должините на векторите и косинусот на аголот меѓу нив.

Забележете дека помноживме два вектори, а резултатот беше скаларен, односно број. На пример, во физиката, механичката работа е еднаква на скаларниот производ на два вектори - сила и поместување:

Ако векторите се нормални, нивниот скаларен производ е нула.
И вака се изразува скаларниот производ преку координатите на векторите и:

Од формулата за скаларниот производ можете да го најдете аголот помеѓу векторите:

Оваа формула е особено погодна во стереометријата. На пример, во задачата 14 од Профилот на обединет државен испит по математика, треба да го пронајдете аголот помеѓу правата што се вкрстуваат или помеѓу права и рамнина. Проблемот 14 често се решава неколку пати побрзо со помош на векторскиот метод отколку со класичниот метод.

Во училишната програма по математика се изучува само скаларниот производ на вектори.
Излегува дека, покрај скаларниот производ, постои и векторски производ, кога резултатот од множење два вектори е вектор. Секој што го полага обединетиот државен испит по физика знае што е силата на Лоренц и силата на Ампер. Формулите за наоѓање на овие сили вклучуваат векторски производи.

Векторите се многу корисна математичка алатка. Ова ќе го видите во првата година.

ВЕКТОР
Во физиката и математиката, вектор е величина што се карактеризира со нејзината нумеричка вредност и насока. Во физиката, постојат многу важни количини кои се вектори, на пример, сила, позиција, брзина, забрзување, вртежен момент, моментум, јачина на електричното и магнетното поле. Може да се споредат со други величини како маса, волумен, притисок, температура и густина, кои можат да се опишат со обичен број и се нарекуваат „скалари“. Векторската нотација се користи кога се работи со количини кои не можат целосно да се специфицираат со користење на обични броеви. На пример, сакаме да ја опишеме положбата на објектот во однос на одредена точка. Можеме да кажеме колку километри е објектот од точка, но не можеме целосно да ја одредиме неговата локација додека не ја знаеме насоката во која се наоѓа. Така, локацијата на објектот се карактеризира со нумеричка вредност (растојание во километри) и насока. Графички, векторите се прикажани како насочени прави сегменти со одредена должина, како на сл. 1. На пример, за графички да се прикаже сила од пет килограми, треба да нацртате права линија долга пет единици во насока на силата. Стрелката покажува дека силата дејствува од А до Б; ако силата дејствуваше од B до A, тогаш ќе напишеме или За погодност, векторите обично се означуваат со задебелени големи букви (A, B, C и така натаму); векторите A и -A имаат еднакви нумерички вредности, но спротивни во насока. Нумеричката вредност на векторот А се нарекува модул или должина и се означува A или |A|. Оваа количина е, се разбира, скаларна. Векторот чиј почеток и крај се совпаѓаат се нарекува нула и се означува со О.

Два вектори се нарекуваат еднакви (или слободни) ако нивните големини и насоки се совпаѓаат. Меѓутоа, во механиката и физиката, оваа дефиниција мора да се користи со претпазливост, бидејќи две еднакви сили применети на различни точки на телото генерално ќе доведат до различни резултати. Во овој поглед, векторите се поделени на „поврзани“ или „лизгачки“, и тоа: Поврзаните вектори имаат фиксни точки на примена. На пример, вектор на радиус ја означува позицијата на точка во однос на одредено фиксно потекло. Поврзаните вектори се сметаат за еднакви ако не само што имаат исти модули и насоки, туку имаат и заедничка точка на примена. Лизгачки вектори се вектори кои се еднакви еден на друг и се наоѓаат на иста права линија.
Векторско додавање.Идејата за векторско собирање доаѓа од идејата дека можеме да најдеме еден вектор кој има ист ефект како два други вектори комбинирани. Ако, за да стигнеме до одредена точка, прво треба да одиме A километри во една насока, а потоа B километри во друга насока, тогаш би можеле да стигнеме до нашата крајна точка со одење C километри во третата насока (сл. 2). . Во оваа смисла може да се каже дека

A + B = C.
Векторот C се нарекува „резултант вектор“ на A и B, и е даден со конструкцијата прикажана на сликата; на векторите A и B како страни е изграден паралелограм, а C е дијагонала што ги поврзува почетокот на A и крајот на B. Од сл. 2 јасно е дека собирањето вектори е „комутативно“, т.е. A + B = B + A. На сличен начин, можете да додадете неколку вектори, последователно поврзувајќи ги во „континуиран синџир“, како што е прикажано на сл. 3 за три вектори D, E и F. Од Сл. 3 исто така е јасно дека

(D + E) + F = D + (E + F), т.е. собирањето вектори е асоцијативно. Може да се сумира кој било број вектори, а векторите не мора нужно да лежат во иста рамнина. Одземањето на вектори е претставено како собирање со негативен вектор. На пример, A - B = A + (-B), каде што, како што е дефинирано претходно, -B е вектор еднаков на B по големина, но спротивен во насока. Ова правило за собирање сега може да се користи како вистински критериум за проверка дали некоја количина е вектор или не. Движењата обично се предмет на условите на ова правило; истото може да се каже и за брзините; силите се собираат на ист начин како што може да се види од „триаголникот на силите“. Сепак, некои количини кои имаат и нумерички вредности и насоки не го почитуваат ова правило и затоа не можат да се сметаат за вектори. Пример се конечните ротации.
Множење вектор со скалар.Производот mA или Am, каде што m (m # 0) е скаларен, а A е ненула вектор, се дефинира како друг вектор кој е m пати подолг од A и има иста насока како A ако m е позитивен, а спротивното насока ако m негативна, како што е прикажано на сл. 4, каде што m е 2 и -1/2, соодветно. Покрај тоа, 1A = A, т.е. Кога ќе се помножи со 1, векторот не се менува. Количината -1А е вектор еднаков на A по должина, но спротивен во насока, обично запишан како -A. Ако A е нула вектор и/или m = 0, тогаш mA е нула вектор. Множењето е дистрибутивно, т.е.

Можеме да додадеме било кој број вектори, а редоследот на поимите не влијае на резултатот. И обратното е точно: секој вектор може да се разложи на две или повеќе „компоненти“, т.е. во два или повеќе вектори, кои, кога се додаваат, го даваат оригиналниот вектор како резултат. На пример, на сл. 2, A и B се компоненти на C. Многу математички операции со вектори се поедноставени ако векторот се распадне на три компоненти по три меѓусебно нормални насоки. Дозволете ни да избереме деснак Декартов координатен систем со оски Ox, Oy и Oz како што е прикажано на сл. 5. Под десен координатен систем мислиме дека оските x, y и z се позиционирани како што може да се позиционираат палецот, показалецот и средниот прст на десната рака соодветно. Од еден десен координатен систем секогаш е можно да се добие друг десен координатен систем со соодветна ротација. На сл. 5, прикажано е распаѓањето на векторот А на три компоненти и тие се собираат до векторот А, бидејќи

Оттука,

Може да се додаде и да се добие, а потоа да се додаде.Проекциите на векторот A на трите координатни оски означени Ax, Ay и Az се нарекуваат „скаларни компоненти“ на векторот A:

каде a, b и g се аглите помеѓу A и трите координатни оски. Сега воведуваме три вектори со единечна должина i, j и k (единствени вектори) кои имаат иста насока како и соодветните оски x, y и z. Потоа, ако Ax се помножи со i, тогаш добиениот производ е вектор еднаков на и

Два вектори се еднакви ако и само ако нивните соодветни скаларни компоненти се еднакви. Така, A = B ако и само ако Ax = Bx, Ay = By, Az = Bz. Може да се додадат два вектори со додавање на нивните компоненти:

Покрај тоа, според Питагоровата теорема:

Линеарни функции. Изразот aA + bB, каде што a и b се скалари, се нарекува линеарна функција на векторите A и B. Тој е вектор во иста рамнина како A и B; ако A и B не се паралелни, тогаш кога a и b се менуваат, векторот aA + bB ќе се движи по целата рамнина (сл. 6). Ако A, B и C не лежат сите во иста рамнина, тогаш векторот aA + bB + cC (a, b и c се менуваат) се движи низ просторот. Да претпоставиме дека A, B и C се единечните вектори на i, j и k. Векторот ai лежи на оската x; векторот ai + bj може да се движи низ xy рамнината; векторот ai + bj + ck може да се движи низ просторот.

Може да се изберат четири меѓусебно нормални вектори i, j, k и l и да се дефинира четиридимензионалниот вектор како количина A = Axi + Ayj + Azk + Awl
со должина

и може да се продолжи до пет, шест или било кој број димензии. Иако е невозможно визуелно да се претстави таков вектор, тука не се јавуваат математички тешкотии. Таков запис е често корисен; на пример, состојбата на подвижна честичка е опишана со шестдимензионален вектор P (x, y, z, px, py, pz), чии компоненти се неговата позиција во просторот (x, y, z) и моментумот (px, py, pz). Таквиот простор се нарекува „фазен простор“; ако земеме предвид две честички, тогаш фазниот простор е 12-димензионален, ако има три, тогаш 18-димензионален итн. Бројот на димензии може да се зголемува неограничено; Покрај тоа, количините со кои ќе се занимаваме се однесуваат на ист начин како и оние што ќе ги разгледаме во остатокот од овој напис, имено, тродимензионалните вектори.
Множење на два вектори.Правилото за собирање вектори е изведено со проучување на однесувањето на величините претставени со вектори. Не постои очигледна причина зошто два вектори не би можеле да се помножат на некој начин, но ова множење ќе има смисла само ако може да се покаже дека е математички валидно; покрај тоа, пожелно е делото да има одредено физичко значење. Постојат два начина за множење на вектори кои ги исполнуваат овие услови. Резултатот од еден од нив е скалар, таков производ се нарекува „производ со точки“ или „внатрешен производ“ на два вектори и е напишан AÇB или (A, B). Резултатот од друго множење е вектор наречен „вкрстен производ“ или „надворешен производ“ и е напишан A*B или []. Производите со точки имаат физичко значење за една, две или три димензии, додека вкрстените производи се дефинирани само за три димензии.
Производи со точки.Ако под влијание на некоја сила F, точката на која се применува се движи за растојание r, тогаш извршената работа е еднаква на производот на r и компонентата на F во насока на r. Оваа компонента е еднаква на F cos bF, rc, каде што bF, rc е аголот помеѓу F и r, т.е. Завршена работа = Fr cos bF, rs. Ова е пример за физичка оправданост на скаларниот производ дефиниран за кои било два вектори A, B со помош на формулата
A*B = AB cos bA, Bс.
Бидејќи сите величини од десната страна на равенката се скалари, тогаш A*B = B*A; затоа, скаларното множење е комутативно. Скаларното множење има и дистрибутивно својство: A*(B + C) = A*B + A*C. Ако векторите A и B се нормални, тогаш cos bA, Bc е нула, и затоа A*B = 0, дури и ако ниту A ниту B се нула. Ова е причината зошто не можеме да делиме со вектор. Да претпоставиме дека ги поделивме двете страни на равенката A*B = A*C со A. Ова ќе даде B = C, и ако може да се направи поделба, тогаш оваа еднаквост ќе биде единствениот можен резултат. Меѓутоа, ако ја преработиме равенката A*B = A*C како A*(B - C) = 0 и запомниме дека (B - C) е вектор, тогаш јасно е дека (B - C) не мора да биде нула и затоа B не смее да биде еднаков на C. Овие спротивставени резултати покажуваат дека векторската поделба не е можна. Скаларниот производ дава друг начин за запишување на нумеричката вредност (модул) на векторот: A*A = AA*cos 0° = A2;
Затоа

Скаларниот производ може да се напише на друг начин. За да го направите ова, запомнете дека: A = Ax i + Ayj + Azk. забележи, тоа

Потоа,

Бидејќи последната равенка содржи x, y и z како подредници, се чини дека равенката зависи од одредениот избран координатен систем. Сепак, тоа не е така, како што може да се види од дефиницијата, која не зависи од избраните координатни оски.
Векторски работи.Вектор или надворешен производ на вектори е вектор чиј модул е ​​еднаков на производот на нивните модули за синусот на аголот нормален на првобитните вектори и заедно со нив сочинуваат десна тројка. Овој производ најлесно се воведува со разгледување на односот помеѓу брзината и аголната брзина. Првиот е вектор; сега ќе покажеме дека второто може да се толкува и како вектор. Аголната брзина на ротирачкото тело се одредува на следниов начин: изберете која било точка на телото и нацртајте нормална од оваа точка до оската на ротација. Тогаш аголната брзина на телото е бројот на радијани со кои оваа линија ротира по единица време. Ако аголната брзина е вектор, таа мора да има нумеричка вредност и насока. Нумеричката вредност се изразува во радијани во секунда, насоката може да се избере по оската на ротација, може да се одреди со насочување на векторот во насока во која би се движел десниот пропелер при ротирање со телото. Размислете за ротација на тело околу фиксна оска. Ако ја инсталираме оваа оска во прстен, кој пак е прикачен на оска вметната во друг прстен, можеме да го ротираме телото во првиот прстен со аголна брзина w1 и потоа да предизвикаме внатрешниот прстен (и телото) да ротира со аголна брзина. w2. Слика 7 ја објаснува поентата; кружните стрелки ја покажуваат насоката на ротација. Ова тело е цврста сфера со центар O и радиус r.

Ориз. 7. СФЕРА СО ЦЕНТАР О ротира со аголна брзина w1 внатре во прстенот BC, кој пак, се ротира внатре во прстенот DE со аголна брзина w2. Сферата ротира со аголна брзина еднаква на збирот на аголните брзини и сите точки на права линија POP" се во состојба на моментален одмор.

Да му дадеме на ова тело движење кое е збир на две различни аголни брзини. Ова движење е доста тешко да се визуелизира, но сосема е очигледно дека телото повеќе не ротира околу фиксна оска. Сепак, сепак можеме да кажеме дека ротира. За да го покажеме ова, да избереме одредена точка P на површината на телото, која во моментот кога размислуваме се наоѓа на голем круг што ги поврзува точките на кои две оски ја сечат површината на сферата. Дозволете ни да ги спуштиме перпендикуларите од P на оската. Овие перпендикулари ќе станат радиуси PJ и PK на круговите PQRS и PTUW соодветно. Ајде да нацртаме права линија POPў што минува низ центарот на сферата. Сега точката P, во моментот во времето што се разгледува, истовремено се движи по круговите што се допираат до точката P. На краток временски интервал Dt, P се движи растојание

Ова растојание е нула ако

Во овој случај, точката P е во состојба на моментален одмор, а слично сите точки на правата линија POP. Остатокот од сферата ќе биде во движење (круговите по кои се движат другите точки не се допираат, туку се сечат). Според тоа, POPў е моментална оска на ротација на сферата, исто како што тркалото што се тркала по патот во секој момент од времето ротира околу својата најниска точка. Која е аголната брзина на сферата? За едноставност, да ја избереме точката А во која оската w1 ја сече површината. Во моментот на времето што го разгледуваме, таа се движи во времето Dt за растојание

Во круг со радиус r sin w1. По дефиниција, аголна брзина

Од оваа формула и релација (1) добиваме

Со други зборови, ако запишете нумеричка вредност и ја изберете насоката на аголната брзина како што е опишано погоре, тогаш овие количини се собираат како вектори и може да се сметаат како такви. Сега можете да го внесете вкрстениот производ; Размислете за тело кое ротира со аголна брзина w. Дозволете ни да избереме која било точка P на телото и кое било потекло O, кое се наоѓа на оската на ротација. Нека r е вектор насочен од O кон P. Точката P се движи во круг со брзина V = w r sin (w, r). Векторот на брзина V е тангентен на кругот и покажува во насоката прикажана на сл. 8.

Оваа равенка ја дава зависноста на брзината V на точка од комбинацијата на два вектори w и r. Ја користиме оваа врска за да одредиме нов тип производ и пишуваме: V = w * r. Бидејќи резултатот од таквото множење е вектор, овој производ се нарекува векторски производ. За кои било два вектори A и B, ако A * B = C, тогаш C = AB sin bA, Bc, а насоката на векторот C е таква што е нормална на рамнината што минува низ A и B и покажува во насока што се совпаѓа со насоката на движење на десната завртка ако е паралелна со C и ротира од А кон Б. Со други зборови, можеме да кажеме дека A, B и C, распоредени по овој редослед, формираат десна група од координатни оски. Вкрстениот производ е антикомутативен; векторот B * A има ист модул како A * B, но е насочен во спротивна насока: A * B = -B * A. Овој производ е дистрибутивен, но не и асоцијативен; може да се докаже дека

Ајде да видиме како векторскиот производ е напишан во однос на компоненти и единечни вектори. Како прво, за кој било вектор A, A * A = AA sin 0 = 0.
Затоа, во случај на единечни вектори, i * i = j * j = k * k = 0 и i * j = k, j * k = i, k * i = j. Потоа,

Оваа еднаквост може да се напише и како детерминанта:

Ако A * B = 0, тогаш или A или B се еднакви на 0, или A и B се колинеарни. Така, како и кај производот со точки, поделбата со вектор не е можна. Вредноста A * B е еднаква на плоштината на паралелограм со страните A и B. Ова е лесно да се види, бидејќи B sin bA, Bс е неговата висина и A е неговата основа. Постојат многу други физички количини кои се вкрстени производи. Еден од најважните вкрстени производи се појавува во теоријата на електромагнетизмот и се нарекува Посочен вектор P. Овој вектор е даден на следниов начин: P = E * H, каде што E и H се вектори на електричното и магнетното поле, соодветно. Векторот P може да се замисли како даден проток на енергија во вати по квадратен метар во која било точка. Да дадеме уште неколку примери: моментот на сила F (вртежен момент) во однос на потеклото на координатите што дејствуваат на точка чиј вектор на радиус r е дефиниран како r * F; честичка лоцирана во точката r, со маса m и брзина V, има аголен импулс mr * V во однос на потеклото; силата што делува на честичка што носи електричен полнеж q низ магнетно поле B со брзина V е qV * B.
Тројни работи.Од три вектори можеме да ги формираме следните тројни производи: вектор (A*B) * C; вектор (A * B) * C; скаларен (A * B) *C. Првиот тип е производ на вектор C и скаларен A*B; Веќе разговаравме за такви дела. Вториот тип се нарекува двоен вкрстен производ; векторот A * B е нормален на рамнината каде што лежат A и B, и затоа (A * B) * C е вектор што лежи во рамнината на A и B и е нормално на C. Затоа, генерално, (A * B ) * C не е еднакво на A * (B * C). Со запишување A, B и C во однос на нивните координати (компоненти) по должината на оските x, y и z и со множење, можеме да покажеме дека A * (B * C) = B * (A*C) - C * (A *Б). Третиот тип на производ, кој се појавува во пресметките на решетката во физиката на цврста состојба, е нумерички еднаков на волуменот на паралелепипед со рабови A, B, C. Бидејќи (A * B) * C = A * (B * C), знаците на скаларно и векторско множење може да бидат заменети места, а парчето често се пишува како (A B C). Овој производ е еднаков на детерминантата

Забележете дека (A B C) = 0 ако сите три вектори лежат во иста рамнина или ако A = 0 или (и) B = 0 или (и) C = 0.
ВЕКТОРСКА ДИФЕРЕНЦИЈА
Да претпоставиме дека векторот U е функција од една скаларна променлива t. На пример, U може да биде векторот на радиусот извлечен од потеклото до подвижната точка, а t може да биде времето. Нека t се промени за мала количина Dt, што ќе доведе до промена на U за износот DU. Ова е прикажано на сл. 9. Односот DU/Dt е вектор насочен во иста насока како DU. Можеме да го дефинираме изводот на U во однос на t како

под услов да постои таква граница. Од друга страна, можеме да го претставиме U како збир на компоненти по три оски и да запишеме

Ако U е вектор на радиус r, тогаш dr/dt е брзината на точката изразена како функција од времето. Повторно се разликуваме во однос на времето, добиваме забрзување. Да претпоставиме дека точката се движи по кривата прикажана на сл. 10. Нека s е растојанието поминато од точка по крива. За време на мал временски интервал Dt, точката ќе помине растојание Ds долж кривата; позицијата на векторот на радиусот ќе се промени во Dr. Затоа Dr/Ds е вектор насочен како Dr. Понатаму

Вектор Dr - промена на векторот на радиусот.

е единица вектор тангента на кривата. Ова може да се види од фактот дека кога точката Q се приближува до точката P, PQ се приближува до тангентата и Dr се приближува до Ds. Формулите за диференцирање производ се слични на формулите за диференцијација на производот на скаларните функции; сепак, бидејќи вкрстениот производ е антикомутативен, редот на множење мора да се зачува. Затоа,

Така, гледаме дека ако векторот е функција од една скаларна променлива, тогаш можеме да го претставиме изводот на ист начин како и во случајот со скаларна функција.
Векторски и скаларни полиња. Градиент.Во физиката, честопати треба да се справите со векторски или скаларни величини кои варираат од точка до точка во даден регион. Таквите области се нарекуваат "полиња". На пример, скаларот може да биде температура или притисок; векторот може да биде брзината на течноста што се движи или електростатското поле на системот од полнежи. Ако сме избрале одреден координатен систем, тогаш секоја точка P (x, y, z) во дадена област одговара на одреден вектор на радиус r (= xi + yj + zk) и на вредноста на векторската величина U (r ) или скаларен f (r) поврзан со него. Да претпоставиме дека U и f се уникатно дефинирани во доменот; тие. Секоја точка одговара на една и само една вредност U или f, иако различни точки, се разбира, можат да имаат различни вредности. Да речеме дека сакаме да ја опишеме брзината со која U и f се менуваат додека се движиме низ оваа област. Едноставните парцијални деривати, како што се dU/dx и df/dy, не ни одговараат, бидејќи зависат од конкретно избраните координатни оски. Сепак, можно е да се воведе векторски диференцијален оператор независен од изборот на координатни оски; овој оператор се нарекува „градиент“. Да се ​​справиме со скаларното поле f. Прво, како пример, разгледајте ја контурната карта на регионот на земјата. Во овој случај, f е висината над морското ниво; контурните линии поврзуваат точки со иста вредност на f. Кога се движите по која било од овие линии, f не се менува; ако се движите нормално на овие линии, тогаш брзината на промена на f ќе биде максимална. На секоја точка можеме да поврземе вектор што ја означува големината и насоката на максималната промена на брзината f; таква карта и некои од овие вектори се прикажани на сл. 11. Ако го направиме ова за секоја точка во полето, добиваме векторско поле поврзано со скаларно поле f. Ова е полето на векторот наречен „градиент“ f, кој се пишува како grad f или Cf (симболот C се нарекува и „набла“).

Во случај на три димензии, контурните линии стануваат површини. Мало поместување Dr (= iDx + jDy + kDz) доведува до промена на f, што е напишано како

каде точките ги означуваат термините на повисоките редови. Овој израз може да се напише како скаларен производ

Да ја поделиме десната и левата страна на оваа еднаквост со Ds и нека Ds имаат тенденција на нула; Потоа

каде dr/ds е единичен вектор во избраната насока. Изразот во загради е вектор во зависност од избраната точка. Така, df/ds има максимална вредност кога dr/ds покажува во иста насока, изразот во загради е градиентот. Така,

- вектор еднаков по големина и кој се совпаѓа во насока со максималната брзина на промена f во однос на координатите. Градиентот f често се пишува како

Ова значи дека операторот C постои сам по себе. Во многу случаи тој се однесува како вектор и всушност е „векторски диференцијален оператор“ - еден од најважните диференцијални оператори во физиката. И покрај фактот дека C содржи единечни вектори i, j и k, неговото физичко значење не зависи од избраниот координатен систем. Каква е врската помеѓу Cf и f? Пред сè, да претпоставиме дека f го одредува потенцијалот во која било точка. За секое мало поместување Dr, вредноста на f ќе се промени за

Ако q е величина (на пример, маса, полнеж) поместена од Dr, тогаш работата направена кога се движи q за Dr е

Бидејќи Dr е поместување, тогаш qСf е сила; -Cf е затегнатоста (сила по единица количина) поврзана со f. На пример, нека U е електростатскиот потенцијал; тогаш E е јачината на електричното поле, дадена со формулата E = -CU. Да претпоставиме дека U е создаден од точкаст електричен полнеж од q кулон поставени на почетокот. Вредноста на U во точката P (x, y, z) со вектор на радиус r е дадена со

Каде што e0 е диелектричната константа на слободниот простор. Затоа

од каде произлегува дека E делува во насока r и неговата величина е еднаква на q/(4pe0r3). Знаејќи го скаларното поле, можеме да го одредиме векторското поле поврзано со него. Можно е и спротивното. Од гледна точка на математичката обработка, скаларните полиња се полесни за работа од векторските, бидејќи тие се специфицирани со една координатна функција, додека векторското поле бара три функции што одговараат на векторските компоненти во три насоки. Така, се поставува прашањето: со оглед на векторското поле, дали можеме да го запишеме поврзаното скаларно поле?
Дивергенција и ротор.Го видовме резултатот од C што дејствува на скаларна функција. Што се случува кога C се применува на вектор? Постојат две можности: нека U(x, y, z) е вектор; тогаш можеме да го формираме вкрстениот производ и скаларниот производ на следниов начин:

Првиот од овие изрази е скалар наречен дивергенција на U (означува divU); вториот е вектор наречен ротор U (означен rotU). Овие диференцијални функции, дивергенција и свиткување, се широко користени во математичката физика. Замислете дека U е некој вектор и дека тој и неговите први деривати се континуирани во некој регион. Нека P е точка во оваа област опкружена со мала затворена површина S што го граничи волуменот DV. Нека n е единечен вектор нормален на оваа површина во секоја точка (n ја менува насоката додека се движи околу површината, но секогаш има единечна должина); нека н покажува кон надвор. Да го покажеме тоа

Овде S означува дека овие интеграли се преземени на целата површина, da е елемент на површината S. За едноставност, ќе ја избереме пригодната форма на S во форма на мал паралелепипед (како што е прикажано на слика 12) со страни Dx, Dy и Dz; точката P е центар на паралелепипедот. Дозволете ни да го пресметаме интегралот од равенката (4) најпрво над едната страна на паралелепипедот. За предното лице n = i (единствениот вектор е паралелен со оската x); Да = DyDz. Придонесот кон интегралот од предната страна е еднаков на

На спротивната страна n = -i; ова лице придонесува за интегрално

Користејќи ја теоремата на Тејлор, го добиваме вкупниот придонес од двете лица

Забележете дека DxDyDz = DV. На сличен начин, можете да го пресметате придонесот од другите два пара лица. Вкупниот интеграл е еднаков на

и ако поставиме DV(r) 0, тогаш термините од повисок ред исчезнуваат. Според формулата (2), изразот во заградите е divU, што ја докажува еднаквоста (4). Еднаквоста (5) може да се докаже на ист начин. Повторно да ја користиме Сл. 12; тогаш придонесот од предната страна кон интегралот ќе биде еднаков на

И, користејќи ја теоремата на Тејлор, откриваме дека вкупниот придонес во интегралот од двете лица има форма

тие. ова се два члена од изразот за rotU во равенката (3). Останатите четири мандати се добиваат откако ќе се земат предвид придонесите од останатите четири лица. Што всушност значат овие стапки? Да ја разгледаме еднаквоста (4). Да претпоставиме дека U е брзината (на пример на течност). Тогаш nНU da = Un da, каде што Un е нормалната компонента на векторот U на површината. Според тоа, Un da ​​е волумен на течност што тече низ da по единица време, и е волумен на течност што тече низ S по единица време. Оттука,

Стапката на проширување на единица волумен околу точката P. Оттука дивергенцијата го добива своето име; ја покажува брзината со која течноста се шири надвор од (т.е. се разминува од) P. За да го објасните физичкото значење на роторот U, разгледајте друга површина интегрална над мал цилиндричен волумен со висина h што ја опкружува точката P; рамни-паралелните површини може да се ориентираат во која било насока што ќе ја избереме. Нека k е единечниот вектор нормален на секоја површина, и нека плоштината на секоја површина е DA; тогаш вкупниот волумен DV = hDA (сл. 13). Сега да го разгледаме интегралот

Интеграндот е претходно споменатиот троен скаларен производ. Овој производ ќе биде нула на рамни површини каде k и n се паралелни. На закривена површина

Каде што ds е елементот на кривата како што е прикажано на сл. 13. Споредувајќи ги овие еднаквости со релацијата (5), добиваме дека

Сè уште претпоставуваме дека U е брзината. Во овој случај, колкава ќе биде просечната аголна брзина на течноста околу k? Очигледно е дека

ако DA не е 0. Овој израз е максимален кога k и rotU се насочени во иста насока; тоа значи дека rotU е вектор еднаков на двапати поголема од аголната брзина на течноста во точката P. Ако течноста ротира во однос на P, тогаш rotU #0, а векторите U ќе ротираат околу P. Тука доаѓа името ротор од. Теоремата за дивергенција (теорема Остроградски-Гаус) е генерализација на формулата (4) за конечни волумени. Тој наведува дека за одреден волумен V ограничен со затворена површина S,

И важи за сите непрекинати векторски функции U кои имаат континуирани први изводи насекаде во V и на S. Овде нема да дадеме доказ за оваа теорема, но нејзината валидност може да се разбере интуитивно со замислување на волуменот V поделен на ќелии. Флуксот U низ површина заедничка за две ќелии исчезнува, а само клетките лоцирани на границата S ќе придонесат за површинскиот интеграл. Стоуксова теорема е генерализација на равенката (6) за конечни површини. Таа го тврди тоа

Содржината на статијата

ВЕКТОР.Во физиката и математиката, вектор е величина што се карактеризира со нејзината нумеричка вредност и насока. Во физиката, постојат многу важни количини кои се вектори, на пример, сила, позиција, брзина, забрзување, вртежен момент, моментум, јачина на електричното и магнетното поле. Тие можат да се споредат со други количини како што се маса, волумен, притисок, температура и густина, кои можат да се опишат со обичен број и се нарекуваат „скалари“.

Векторската нотација се користи кога се работи со количини кои не можат целосно да се специфицираат со користење на обични броеви. На пример, сакаме да ја опишеме положбата на објектот во однос на одредена точка. Можеме да кажеме колку километри е објектот од точка, но не можеме целосно да ја одредиме неговата локација додека не ја знаеме насоката во која се наоѓа. Така, локацијата на објектот се карактеризира со нумеричка вредност (растојание во километри) и насока.

Графички, векторите се прикажани како насочени прави сегменти со одредена должина, како на сл. 1. На пример, за графички да се прикаже сила од пет килограми, треба да нацртате права линија долга пет единици во насока на силата. Стрелката покажува дека силата дејствува од АДо Б; ако силата дејствувала од БДо А, тогаш би пишувале или . За погодност, векторите обично се означуваат со задебелени големи букви ( А, Б, Ви така натаму); вектори АИ - Аимаат еднакви нумерички вредности, но спротивни во насока. Нумеричка вредност на векторот Аповикани модулили должинаи е назначен Аили | А|. Оваа количина е, се разбира, скаларна. Вектор чиј почеток и крај се совпаѓаат се нарекува нула и се означува О.

Двата вектори се нарекуваат еднакви(или бесплатно), доколку нивните модули и насоки се совпаѓаат. Меѓутоа, во механиката и физиката, оваа дефиниција мора да се користи со претпазливост, бидејќи две еднакви сили применети на различни точки на телото генерално ќе доведат до различни резултати. Во овој поглед, векторите се поделени на „поврзани“ или „лизгачки“, како што следува:

Поврзани векториимаат фиксни точки за примена. На пример, вектор на радиус ја означува позицијата на точка во однос на одредено фиксно потекло. Поврзаните вектори се сметаат за еднакви ако не само што имаат исти модули и насоки, туку имаат и заедничка точка на примена.

Лизгачки векториСе нарекуваат вектори кои се еднакви еден на друг и се наоѓаат на иста права линија.

Векторско додавање.

Идејата за векторско собирање доаѓа од идејата дека можеме да најдеме еден вектор кој има ист ефект како два други вектори комбинирани. Ако за да дојдеме до одредена точка, прво треба да одиме Акилометри во еден правец и потоа Бкилометри во другата насока, тогаш со пешачење можевме да стигнеме до нашата крајна точка Вкилометри во третата насока (сл. 2). Во оваа смисла може да се каже дека

А + Б = В.

Вектор Все нарекува „резултант вектор“ АИ Б, тоа е дадено со конструкцијата прикажана на сликата; на вектори АИ Бкако е изграден паралелограм на страните и В– дијагонално поврзување на почетокот Аи крајот ВО. Од Сл. 2 јасно е дека собирањето вектори е „комутативно“, т.е.

А + Б = Б + А.

На сличен начин, можете да додадете неколку вектори, последователно поврзувајќи ги во „континуиран синџир“, како што е прикажано на сл. 3 за три вектори Д, ЕИ Ф. Од Сл. 3 исто така е јасно дека

(Д + Е) + Ф = Д+ (Е+ Ф),

тие. собирањето вектори е асоцијативно. Може да се сумира кој било број вектори, а векторите не мора нужно да лежат во иста рамнина. Одземањето на вектори е претставено како собирање со негативен вектор. На пример,

А – Б = А + (–Б),

каде што, како што е дефинирано претходно, - Б– вектор еднаков на ВОмодул, но спротивен во насока.

Ова правило за собирање сега може да се користи како вистински критериум за проверка дали некоја количина е вектор или не. Движењата обично се предмет на условите на ова правило; истото може да се каже и за брзините; силите се собираат на ист начин како што може да се види од „триаголникот на силите“. Сепак, некои количини кои имаат и нумерички вредности и насоки не го почитуваат ова правило и затоа не можат да се сметаат за вектори. Пример се конечните ротации.

Множење вектор со скалар.

Работа мАили Ам, Каде м (мбр. 0) е скалар, и А– вектор без нула, дефиниран како друг вектор што е во мпати подолго Аи има иста насока како А, ако број мпозитивно, а спротивното ако мнегативен, како што е прикажано на сл. 4, каде меднакво на 2 и –1/2 соодветно. Покрај тоа, 1 А = А, т.е. Кога ќе се помножи со 1, векторот не се менува. Вредност –1 А– вектор еднаков на Аво должина, но спротивна во насока, обично напишана како - А. Ако А– нула вектор и/или м= 0, тогаш мА– нула вектор. Множењето е дистрибутивно, т.е.

Можеме да додадеме било кој број вектори, а редоследот на поимите не влијае на резултатот. И обратното е точно: секој вектор може да се разложи на две или повеќе „компоненти“, т.е. во два или повеќе вектори, кои, кога се додаваат, го даваат оригиналниот вектор како резултат. На пример, на сл. 2, АИ Б- Компоненти В.

Многу математички операции со вектори се поедноставени ако векторот се распадне на три компоненти по три меѓусебно нормални насоки. Дозволете ни да избереме деснак Декартов координатен систем со оски Вол, ОјИ Озкако што е прикажано на сл. 5. Под десен координатен систем подразбираме дека оските x, yИ zпозиционирани на ист начин како палецот, показалецот и средниот прст на десната рака може да се постават соодветно. Од еден десен координатен систем секогаш е можно да се добие друг десен координатен систем со соодветна ротација. На сл. 5, прикажано е векторско распаѓање Аво три компоненти и . Тие се собираат до вектор А, бидејќи

Можете исто така прво да додадете и да добиете, а потоа да додадете во.

Векторски проекции Ана три координатни оски определени А x, A yИ А зсе нарекуваат „скаларните компоненти“ на векторот А:

Каде а, бИ е– агли помеѓу Аи три координатни оски. Сега воведуваме три вектори со единечна должина јас, јИ к(орти) кои имаат иста насока како и соодветните оски x, yИ z. Тогаш ако А xмножете се со јас, тогаш добиениот производ е вектор еднаков на , и

Два вектори се еднакви ако и само ако нивните соодветни скаларни компоненти се еднакви. Така, А= Бтогаш и само кога A x = B x, A y = B y, A z = B z.

Може да се додадат два вектори со додавање на нивните компоненти:

Покрај тоа, според Питагоровата теорема:

Линеарни функции.

Изразување аА + бБ, Каде аИ б- скалари, повикани линеарна функцијавектори АИ Б. Ова е вектор лоциран во истата рамнина како АИ Б; Ако АИ Бне се паралелни, тогаш кога се менуваат аИ бвектор аА + бБќе се движи низ рамнината (сл. 6). Ако А, БИ Вне лежат сите во иста рамнина, тогаш векторот аА + бБ + вВ (а, бИ впромена) се движи низ просторот. Ајде да се преправаме дека А, БИ В– единечни вектори јас, јИ к. Вектор ајаслежи на оската x; вектор ајас + бјможе да се движи низ целата рамнина xy; вектор ајас + бј+ вкможе да се движи низ просторот.

Може да се изберат четири меѓусебно нормални вектори јас, ј, кИ ли дефинирај четиридимензионален вектор како количина

А =А xјас+ A yј+ Азк +Ахл

и може да се продолжи до пет, шест или било кој број димензии. Иако е невозможно визуелно да се претстави таков вектор, тука не се јавуваат математички тешкотии. Таков запис е често корисен; на пример, состојбата на подвижна честичка е опишана со шестдимензионален вектор П(x, y, z, стр x, стр y, стр з), чии компоненти се неговата позиција во просторот ( x, y, z) и импулс ( стр x, стр y, стр з). Таквиот простор се нарекува „фазен простор“; ако земеме предвид две честички, тогаш фазниот простор е 12-димензионален, ако има три, тогаш 18-димензионален итн. Бројот на димензии може да се зголемува неограничено; Покрај тоа, количините со кои ќе се занимаваме се однесуваат на ист начин како и оние што ќе ги разгледаме во остатокот од овој напис, имено, тродимензионалните вектори.

Множење на два вектори.

Правилото за собирање вектори е изведено со проучување на однесувањето на величините претставени со вектори. Не постои очигледна причина зошто два вектори не би можеле да се помножат на некој начин, но ова множење ќе има смисла само ако може да се покаже дека е математички валидно; покрај тоа, пожелно е делото да има одредено физичко значење.

Постојат два начина за множење на вектори кои ги исполнуваат овие услови. Резултатот од еден од нив е скалар, таков производ се нарекува „производ со точки“ или „внатрешен производ“ на два вектори и е напишан АХ Били ( А, Б). Резултатот од друго множење е вектор наречен „вкрстен производ“ или „надворешен производ“ и е запишан Аґ Били [ А, Б]. Производите со точки имаат физичко значење за една, две или три димензии, додека вкрстените производи се дефинирани само за три димензии.

Производи со точки.

Ако под влијание на некоја сила Фточката до која се нанесува се движи на растојание р, тогаш извршената работа е еднаква на производот ри компоненти Фво насока р. Оваа компонента е еднаква на Ф cos b Ф, р s, каде што б Ф, рв – агол помеѓу ФИ р, т.е.

Завршена работа = о cos b Ф, рСо .

Ова е пример за физичката оправданост на скаларниот производ дефиниран за кои било два вектори А, Бпреку формулата

AC Б =АБ cos b А, БСо .

Бидејќи сите величини од десната страна на равенката се скалари, тогаш

АХ Б = БХ А;

затоа, скаларното множење е комутативно.

Скаларното множење има и дистрибутивно својство:

А H ( Б + СО) = АХ Б + АХ СО.

Доколку векторите АИ Бсе нормални, тогаш cos b А, Б c е еднакво на нула, и затоа, АХ Б= 0, дури и ако ниту еден А, ниту Бне се еднакви на нула. Ова е причината зошто не можеме да делиме со вектор. Да речеме дека ги делиме двете страни на равенката АХ Б= АХ Вна А. Ова би дало Б= В, и кога би можело да се изврши поделба, тогаш оваа еднаквост би била единствениот можен резултат. Меѓутоа, ако ја преработиме равенката АХ Б= АХ Вкако А H ( Б – В) = 0 и запомнете дека ( Б – В) е вектор, тогаш јасно е дека ( Б – В) не мора да е нула и затоа Бне треба да бидат еднакви В. Овие спротивставени резултати покажуваат дека векторската поделба не е можна.

Скаларниот производ дава друг начин да се запише нумеричката вредност (модулот) на векторот:

АХ А =А.А.Х cos 0° = А 2 ;

Скаларниот производ може да се напише на друг начин. За да го направите ова, запомнете дека:

А =А xјас+ A yј+ Азк.

Бидејќи последната равенка содржи x, yИ zкако подредници, се чини дека равенката зависи од одредениот избран координатен систем. Сепак, тоа не е така, како што може да се види од дефиниција која е независна од избраните координатни оски.

Векторски работи.

Вектор или надворешен производ на вектори е вектор чиј модул е ​​еднаков на производот на нивните модули за синусот на аголот нормален на првобитните вектори и заедно со нив сочинуваат десна тројка. Овој производ најлесно се воведува со разгледување на односот помеѓу брзината и аголната брзина. Првиот е вектор; сега ќе покажеме дека второто може да се толкува и како вектор.

Аголната брзина на ротирачкото тело се одредува на следниов начин: изберете која било точка на телото и нацртајте нормална од оваа точка до оската на ротација. Тогаш аголната брзина на телото е бројот на радијани со кои оваа линија ротира по единица време.

Ако аголната брзина е вектор, таа мора да има нумеричка вредност и насока. Нумеричката вредност се изразува во радијани во секунда, насоката може да се избере по оската на ротација, може да се одреди со насочување на векторот во насока во која би се движел десниот пропелер при ротирање со телото.

Размислете за ротација на тело околу фиксна оска. Ако ја инсталираме оваа оска во прстен, кој пак е фиксиран на оската вметната во друг прстен, можеме да го ротираме телото во првиот прстен со аголна брзина. w 1 и потоа предизвика внатрешниот прстен (и телото) да ротираат со аголна брзина w 2. Слика 7 ја објаснува суштината на материјата; кружните стрелки ја покажуваат насоката на ротација. Ова тело е цврста сфера со центар ЗАи радиус р.

Да му дадеме на ова тело движење кое е збир на две различни аголни брзини. Ова движење е доста тешко да се визуелизира, но сосема е очигледно дека телото повеќе не ротира околу фиксна оска. Сепак, сепак можеме да кажеме дека ротира. За да го покажеме ова, да избереме некоја точка Пна површината на телото, што во моментот кога го разгледуваме е на голем круг што ги поврзува точките на кои две оски ја сечат површината на сферата. Да ги отфрлиме перпендикуларите од Пна оската. Овие перпендикулари ќе станат радиуси П.Ј.И ПКкругови PQRSИ PTUWсоодветно. Ајде да направиме директен ПОП• поминувајќи низ центарот на сферата. Сега поентата П, во моментот во разгледуваниот момент истовремено се движи по кругови што се допираат до точката П. За краток временски интервал Д т, Ппоместува растојание

Ова растојание е нула ако

Во овој случај, поентата Пе во состојба на моментален одмор, и на ист начин сите точки на права линија ПОП•. Остатокот од сферата ќе биде во движење (круговите по кои се движат другите точки не се допираат, туку се сечат). ПОПў е, значи, моменталната оска на ротација на сферата, исто како што тркалото што се тркала по патот во секој момент од времето се ротира во однос на најниската точка.

Која е аголната брзина на сферата? За едноставност, да избереме точка А, во која оската w 1 ја пресекува површината. Во моментот на времето што го разгледуваме, се движи во времето Д тна далечина

во круг со радиус ргрев w 1. По дефиниција, аголна брзина

Од оваа формула и релација (1) добиваме

Со други зборови, ако запишете нумеричка вредност и ја изберете насоката на аголната брзина како што е опишано погоре, тогаш овие количини се собираат како вектори и може да се сметаат како такви.

Сега можете да го внесете вкрстениот производ; Размислете за тело кое ротира со аголна брзина w. Ајде да избереме која било точка Пна телото и секое потекло ЗА, кој се наоѓа на оската на ротација. Нека р– вектор насочен од ЗАДо П. Точка Псе движи во круг со брзина

В = w ргрев ( w, р).

Вектор на брзина Ве тангента на кругот и покажува во насока прикажана на сл. 8.

Оваа равенка ја дава зависноста од брзината Вточки од комбинација на два вектори wИ р. Ја користиме оваа врска за да одредиме нов тип на производ и пишуваме:

В= wґ р.

Бидејќи резултатот од таквото множење е вектор, овој производ се нарекува векторски производ. За кои било два вектори АИ Б, Ако

Аґ Б= В,

В = АБгрев б А, Бсо,

и векторска насока Втаква што е нормална на рамнината што минува низ АИ Би покажува во насока што се совпаѓа со насоката на движење на ротирачкиот пропелер во насока на стрелките на часовникот, ако е паралелен Ви ротира од АДо Б. Со други зборови, можеме да го кажеме тоа А, БИ В, подредени по овој редослед, формирајте го десниот сет на координатни оски. Вкрстениот производ е антикомутативен; вектор Б ґ Аго има истиот модул како А ґ Б, но насочени во спротивна насока:

А ґ Б = –Б ґ А.

Ова дело е дистрибутивно, но не и асоцијативно; може да се докаже дека

Ајде да видиме како векторскиот производ е напишан во однос на компоненти и единечни вектори. Пред сè, за кој било вектор А,

А ґ А = А.А.грев 0 = 0.

Затоа, во случај на единечни вектори,

јасґ јас=јґ ј=кґ к=0

јас ґ ј=к, јґ к =јас, кґ јас=ј.

Оваа еднаквост може да се напише и како детерминанта:

Ако А ґ Б = 0 , тогаш или Аили Беднакви 0 , или АИ Бколинеарна. Така, како и кај производот со точки, поделбата со вектор не е можна. Магнитуда А ґ Беднаква на плоштината на паралелограм со страни АИ Б. Лесно е да се види бидејќи Бгрев б А, Бв – неговата висина и А– основа.

Постојат многу други физички количини кои се вкрстени производи. Еден од најважните векторски производи се појавува во теоријата на електромагнетизмот и се нарекува Покажувачки вектор П. Овој вектор е даден на следниов начин:

П = Е ґ Х,

Каде ЕИ Хсе векторите на електричното и магнетното поле, соодветно. Вектор Пможе да се смета како даден проток на енергија во вати по квадратен метар во која било точка. Да дадеме уште неколку примери: момент на сила Ф(вртежен момент) во однос на потеклото што делува на точка чиј вектор на радиус р, се дефинира како р ґ Ф; честичка лоцирана во точка р, маса ми брзина В, има аголен моментум мр ґ Вво однос на потеклото; сила што делува на честичка што носи електричен полнеж qпреку магнетно поле Бсо брзина В, Ете го qВ ґ Б.

Тројни работи.

Од три вектори можеме да ги формираме следните тројни производи: вектор ( АХ Б) ґ В; вектор ( Аґ Б)ґ В; скаларен ( Аґ Б) Н В.

Првиот тип е производ на вектор Ви скаларен АХ Б; Веќе разговаравме за такви дела. Вториот тип се нарекува двоен вкрстен производ; вектор Аґ Бнормално на рамнината каде што лежат АИ Б, а со тоа и ( Аґ Б)ґ В– вектор што лежи во авионот АИ Би нормално В. Затоа, во општиот случај, ( Аґ Б)ґ В № Аґ (Бґ В). Имајќи запишано А, БИ Впреку нивните координати (компоненти) по оските x, yИ zи множејќи се, можеме да го покажеме тоа Аґ (Бґ В) = Бґ (АХ В) – Сґ ( АХ Б). Третиот тип на производ, кој произлегува во пресметките на решетката во физиката на цврста состојба, е нумерички еднаков на волуменот на паралелепипед со рабови А, Б, В. Бидејќи ( Аґ Б) Н В = А H ( Бґ В), скаларните и векторските знаци за множење може да се заменат, а производот често се пишува како ( А Б В). Овој производ е еднаков на детерминантата

Забележете дека ( А Б В) = 0 ако сите три вектори лежат во иста рамнина или ако А = 0 или/и ВО = 0 или/и СО = 0 .

ВЕКТОРСКА ДИФЕРЕНЦИЈА

Да претпоставиме дека векторот Уе функција од една скаларна променлива т. На пример, Уможе да биде вектор на радиус извлечен од потеклото до подвижната точка, и т- време. Нека тќе се промени за мала количина Д т, што ќе доведе до промена Упо вредност Д У. Ова е прикажано на сл. 9. Сооднос Д У/Д т– вектор насочен во иста насока како Д У. Можеме да го дефинираме изводот УОд страна на т, Како

под услов да постои таква граница. Од друга страна, може да се замисли Укако збир од компонентите по три оски и запишете

Ако У– вектор на радиус р, Тоа гр/dt– точка брзина изразена како функција на времето. Повторно се разликуваме во однос на времето, добиваме забрзување. Да претпоставиме дека точката се движи по кривата прикажана на сл. 10. Нека с– растојанието поминато од точка по крива. За краток временски период Д тточката ќе помине растојание D сдолж кривата; позицијата на векторот на радиусот ќе се промени во D р. Затоа Д р/Д с– вектор насочен како Д р. Понатаму

е единица вектор тангента на кривата. Тоа се гледа од фактот дека како што се приближува поентата Пдо точка П, PQсе приближува до тангента и Д рсе приближува до Д с.

Формулите за диференцирање производ се слични на формулите за диференцијација на производот на скаларните функции; сепак, бидејќи вкрстениот производ е антикомутативен, редот на множење мора да се зачува. Затоа,

Така, гледаме дека ако векторот е функција од една скаларна променлива, тогаш можеме да го претставиме изводот на ист начин како и во случајот со скаларна функција.

Векторски и скаларни полиња.

Градиент.

Во физиката, честопати треба да се справите со векторски или скаларни величини кои варираат од точка до точка во даден регион. Таквите области се нарекуваат "полиња". На пример, скаларот може да биде температура или притисок; векторот може да биде брзината на течноста што се движи или електростатското поле на системот од полнежи. Ако сме избрале одреден координатен систем, тогаш во која било точка П (x, y, z) во дадена област одговара на одреден вектор на радиус р (= xјас + yј + zк) а исто така и вредноста на векторската количина У(р) или скаларен ѓ(р) поврзани со него. Ајде да се преправаме дека УИ ѓсе уникатно дефинирани во областа; тие. секоја точка одговара на една и само една вредност Уили ѓ, иако различни точки секако можат да имаат различно значење. Да речеме дека сакаме да ја опишеме брзината со која УИ ѓпромените додека се движите низ оваа област.

Едноставни парцијални деривати како на пр ¶ У/¶ xИ ¶ ѓ/¶ y,не сме задоволни со нив бидејќи зависат од конкретно избраните координатни оски. Сепак, можно е да се воведе векторски диференцијален оператор независен од изборот на координатни оски; овој оператор се нарекува „градиент“.

Дозволете ни да се справиме со скаларното поле ѓ. Прво, како пример, разгледајте ја контурната карта на регионот на земјата. Во овој случај ѓ- висина над морското ниво; контурните линии поврзуваат точки со иста вредност ѓ. Кога се движите по некоја од овие линии ѓне се менува; ако се движите нормално на овие линии, тогаш стапката на промена ѓќе биде максимум. Можеме да поврземе вектор со секоја точка што ја означува големината и насоката на максималната промена на брзината ѓ; таква карта и некои од овие вектори се прикажани на сл. 11. Ако го направиме ова за секоја точка во полето, добиваме векторско поле поврзано со скаларно поле ѓ. Ова е векторско поле наречено „градиент“ ѓ, кој се пишува како град ѓили со ѓ (симболот C се нарекува и „набла“).

Во случај на три димензии, контурните линии стануваат површини. Мал офсет Д р (= јасД x + јД y + кД z) доведува до промена ѓ, што се пишува како

каде точките ги означуваат термините на повисоките редови. Овој израз може да се напише како скаларен производ

Да ја поделиме десната и левата страна на оваа еднаквост со Д с, и нека Д ссе стреми кон нула; Потоа

Каде гр/ds -единечен вектор во избраната насока. Изразот во загради е вектор во зависност од избраната точка. Така, дф/dsима максимална вредност кога гр/dsпокажува во иста насока, изразот во загради е градиент. Така,

– вектор еднаков по големина и којнцидира во насока со максималната брзина на промена ѓво однос на координатите. Градиент ѓчесто се пишува како

Ова значи дека операторот C постои сам по себе. Во многу случаи се однесува како вектор, а всушност е „векторски диференцијален оператор“ - еден од најважните диференцијални оператори во физиката. И покрај тоа што C содржи единечни вектори јас,јИ к, неговото физичко значење не зависи од избраниот координатен систем.

Каква е врската помеѓу Ц ѓИ ѓ? Како прво, да претпоставиме дека ѓго одредува потенцијалот во која било точка. За секое мало поместување Д рмагнитуда ѓќе се промени во

Ако q– количина (на пример маса, полнеж) преместена во D р, потоа извршената работа додека се движите q

од каде произлегува дека Еделува во насока ра неговата вредност е еднаква q/(4пе 0р 3).

Знаејќи го скаларното поле, можеме да го одредиме векторското поле поврзано со него. Можно е и спротивното. Од гледна точка на математичката обработка, скаларните полиња се полесни за работа од векторските, бидејќи тие се специфицирани со една координатна функција, додека векторското поле бара три функции што одговараат на векторските компоненти во три насоки. Така, се поставува прашањето: со оглед на векторското поле, дали можеме да го запишеме поврзаното скаларно поле?

Дивергенција и ротор.

Го видовме резултатот од C што дејствува на скаларна функција. Што се случува кога C се применува на вектор? Постојат две можности: нека U n a da D

ако Д А® 0. Овој израз е максимум кога ки гниење Уточка во иста насока; тоа значи гниење У– вектор еднаков на двојно поголема аголна брзина на течноста во точка П. Ако течноста ротира во однос на P, тогаш гние Убр. 0, и вектори Уќе се врти околу П. Оттука потекнува името ротор.

Теорема на дивергенција (теорема Остроградски-Гаус)

Теоремата за дивергенција (теорема Остроградски–Гаус) е генерализација на формулата (4) за конечни волумени. Таа тврди дека за одреден волумен В, ограничен со затворена површина С,

и важи за сите континуирани векторски функции У, имајќи континуирани први деривати насекаде внатре Ви на С. Овде нема да дадеме доказ за оваа теорема, но нејзината валидност може да се разбере интуитивно со замислување на волуменот Вподелени на клетки. Проток Униз површина заедничка за две ќелии исчезнува, а само клетките лоцирани на границата Сќе придонесе за површинскиот интеграл.

Стоуксова теорема

е генерализација на равенката (6) за конечни површини. Таа го тврди тоа

Каде В– затворена крива и С– секоја површина ограничена со оваа крива. Уа неговите први деривати мора да бидат континуирани насекаде СИ В.

Што е Вектор? Значењето на зборот „Вектор“ во популарните речници и енциклопедии, примери за употреба на терминот во секојдневниот живот.

Вектор на конструктивна тензија - Филозофски речник

Неопходен елемент на конструктивна тензија што ја одредува ориентацијата, насоката на репродукција, личната култура, личноста, нејзините активности, заедниците во сите фази на општествената целина; бригади, претпријатија, одделенија итн. репродукција на субкултури кои одговараат на заедниците. В.К.С. е неопходен елемент на секоја двојна опозиција како индикатор за вредносна ориентација, вграден во секоја репродуктивна активност на субјектот. Така, не само што постои поделба на реалноста на добро и зло, туку и потреба субјектот да се стреми кон добро и да го избегнува злото. Двојното спротивставување во себе носи позитивно и негативно, директно и обратно В.К. Со совладување на соодветните (пот)култури, поединецот на тој начин стекнува одредена ориентација во борбата против неорганизираноста. Секоја од клетките на општеството се карактеризира со одредена специфична ориентација која е спротивна на ентропијата и неорганизираноста. Во овој поглед, најважниот проблем во секое општество е степенот на совпаѓање на вектори на различни нивоа на општеството, степенот на совпаѓање на В.К.Н. поединци и организации, тимови и претпријатија, итн. Секоја заедница може да работи нормално ако нејзиниот својствен В.К. се совпаѓа со, не се разликува значително од В.К.Н. нејзините членови го пресоздаваат својот народ. Во спротивно, се јавува социокултурна контрадикција, што доведува до неорганизираност, што го загрозува и растот на иновациите над нивото на новина прифатливо во дадена субкултура, и намалувањето на социјалната енергија под долниот праг.

Вектор М. - Објаснувачки речник од Ефремова

1. Прав сегмент, кој се карактеризира со нумеричка вредност и одредена насока.

Вектор за очекувано враќање - Економски речник

вектор од броеви што одговараат на очекуваните приноси за даден сет на хартии од вредност.

Вектор на чинови - Социолошки речник

– векторска статистика конструирана од случаен вектор на набљудувања X = (X1, ... ,Xn) (види Вектор), чии компоненти се добиени на следниот начин. Ако сите Xt се различни, тогаш компонентите на V.r. се природни броеви од 1 до n: на местото на секој Xi има број што го изразува бројот на такви компоненти на векторот Xi, чија вредност е помала од вредноста на Xi. Со други зборови, на местото на најголемиот Xi има бројот n, на местото на следниот најголем (по опаѓачки редослед) - (n-1) итн. На местото на најмалиот има 1. Ако одредено X. се еднакви еден на друг , тогаш В.р. се конструира на следниов начин: на најголемиот X му се доделува ранг n, на следниот најголем му се доделува ранг (n-1), итн. додека, по доделувањето на ранг (n-k), не се сретнат еднакви Xi. Овие нека бидат Xkl,...,Xkl. На секој од нив му доделуваме ранг.Следниот најголем Xkl 1 доделуваме ранг n-(до l 1), ако не е еднаков на која било друга компонента на X и рангот на Ју.Н.Толстов

Државен вектор -

исто како и брановата функција.

Векторкардиографија - Психолошки речник

(векторкардиографија) - видете Електрокардиографија.

Векторкардиографија - Психолошка енциклопедија

Векторкардиографија - Медицински речник

види Електрокардиографија.

векторметар - Голем енциклопедиски речник

(од вектор и...метар) - уред за мерење струи, напони и фази на наизменична струја.

Векторметар М. – Објаснувачки речник од Ефремова

1. Електричен инструмент за мерење на напон или јачина и фаза на наизменична струја.

Векторски дијаграм - Голем енциклопедиски речник

графички приказ на вредностите на физичките величини кои се менуваат според хармоничен закон и односите меѓу нив во форма на вектори. Се користи за пресметки во електротехниката, акустика, оптика итн.

Векторска психологија - Социолошки речник

Види ТЕОРИЈА НА ПОЛЕ.

Векторска психологија - Психолошки речник

Видете ја дискусијата за теоријата на Левин во статијата вектор(1).

Векторска психологија - Психолошка енциклопедија

Векторски калкулус - Голем енциклопедиски речник

гранка на математиката во која се изучуваат операции со супервектори. вклучува векторска алгебра и векторска анализа. Правилата на векторската алгебра ги рефлектираат својствата на дејствата по супервекторски величини. На пример, збирот на векторите a и b е вектор што оди од почетокот на векторот a до крајот на векторот b, под услов почетокот на векторот b да се примени на крајот на векторот a; ова правило е поврзано со правилото за собирање сили или брзини (види Паралелограм на сили). Во векторското сметање, се воспоставуваат два типа на векторско множење (види производ со точки, векторски производ). Ако i, j, k се три меѓусебно нормални единечни вектори во просторот, тогаш секој вектор a може да биде единствено претставен во форма a=a1i+a2j+a3k. Броевите a1, a2, a3 се нарекуваат компоненти (координати) на векторот a. Векторската анализа се заснова на операциите на диференцијација и интеграција на векторските функции.

Векторско поле - Голем енциклопедиски речник

област во секоја точка P од која е наведен вектор a(P). Многу физички феномени и процеси водат до концептот на векторско поле (на пример, векторите на брзината на честичките на течноста што се движи во секој момент од времето формираат векторско поле).

Векторски производ - Голем енциклопедиски речник

вектор a до вектор b - вектор p = ВЕКТОРСКИ ПРОСТОР - математички концепт кој го генерализира концептот на множеството од сите вектори на 3-димензионален простор во случај на произволен број димензии.

Векторски пристап кон психотерапија - Психолошки речник

(векторски пристап кон психотерапијата) V. p. p. постулира дека целата разновидност на терапии е суштински распределена по 6 главни линии. вектори или модалитети, кои укажуваат на насоката на раст. Избор на еден од многуте терапевтски методи, главно На овие вектори, еклектички ориентираниот терапевт може да постигне високо ефективна избалансирана терапевтска интеграција, како и да стекне слобода да ги изрази своите лични преференци и таленти. Подолу е класификацијата. тераписки методи базирани на овие вектори. 1. Рационален вектор, кој се карактеризира со увид, проширување на свеста и учење: а) психоана; б) рационално-емотивна терапија; в) трансакциска анализа; г) бихејвиорална терапија. 2. Невромускулен вектор, се карактеризира со мускулна напнатост, мускулна релаксација и движење, придружени со промени во дишењето и ослободување на емоции: а) Рајхиева терапија; б) биоенергија; в) тркалање; г) методот на Александар; д) Фелденкраис метод; д) танцова терапија. 3. Интерперсонален вектор, кој се карактеризира со односи меѓу луѓето: а) групи на состаноци; б) психодрама; в) заедничка семејна терапија; г) Гешталт терапија. 4. Вектор на фантазија, карактеризиран со интраперсонално искуство кога е исклучена надворешната стимулација: а) хипнотерапија; б) психосинтеза; в) водени мечтаења. 5. Трансперсонален вектор, кој се карактеризира со трансценденција на затворената состојба на свеста на поединецот: а) духовно исцелување; б) парапсихолошки појави; в) Јунгова психологија; г) медитација. 6. Биохемиски вектор, се карактеризира со хемиски промени во телото кои имаат внатрешно или надворешно потекло: а) ортомолекуларна терапија; б) јаглерод; в) диететски процедури и вежби; г) терапија со психоделични и психолитички лекови; д) седативи, стимуланси и средства за смирување. Видете исто така Иновативни психотерапии, Методи на психотерапија од П. Биндрим

Конечно, се фатив за оваа огромна и долгоочекувана тема. аналитичка геометрија. Прво, малку за овој дел од вишата математика... Сигурно сега се сеќавате на училишен курс по геометрија со бројни теореми, нивни докази, цртежи итн. Што да се скрие, несакана и често нејасна тема за значителен дел од студентите. Аналитичката геометрија, доволно чудно, може да изгледа поинтересна и попристапна. Што значи придавката „аналитички“? Веднаш на ум ми доаѓаат две клишени математички фрази: „метод на графичко решение“ и „метод на аналитичко решение“. Графички метод, се разбира, е поврзан со изградбата на графикони и цртежи. Аналитичкиисто методвклучува решавање на проблеми главнопреку алгебарски операции. Во овој поглед, алгоритмот за решавање на скоро сите проблеми на аналитичката геометрија е едноставен и транспарентен; честопати е доволно внимателно да се применат потребните формули - и одговорот е подготвен! Не, се разбира, воопшто нема да можеме да го направиме ова без цртежи, а освен тоа, за подобро разбирање на материјалот, ќе се обидам да ги наведам надвор од потреба.

Новоотворениот курс на лекции по геометрија не се преправа дека е теоретски завршен, тој е фокусиран на решавање практични проблеми. Во моите предавања ќе го вклучам само она што, од моја гледна точка, е важно во практична смисла. Ако ви треба поцелосна помош за која било потсекција, ја препорачувам следната доста достапна литература:

1) Работа што, без шега, ја знаат неколку генерации: Училишен учебник по геометрија, автори - Л.С. Атанасјан и компанија. Оваа училишна закачалка во соблекувалната веќе помина низ 20 (!) препечатувања, што, се разбира, не е граница.

2) Геометрија во 2 тома. Автори Л.С. Атанасјан, Базилев В.Т.. Ова е литература за средно, ќе ти треба првиот том. Задачите кои ретко се среќаваат може да ми паднат од вид, а упатството ќе биде од непроценлива помош.

Двете книги може да се преземат бесплатно на интернет. Покрај тоа, можете да ја користите мојата архива со готови решенија, кои можете да ги најдете на страницата Преземете примери по виша математика.

Меѓу алатките, повторно го предлагам мојот сопствен развој - софтверски пакетво аналитичка геометрија, што во голема мера ќе го поедностави животот и ќе заштеди многу време.

Се претпоставува дека читателот е запознаен со основните геометриски поими и фигури: точка, права, рамнина, триаголник, паралелограм, паралелепипед, коцка итн. Препорачливо е да запомните некои теореми, барем Питагоровата теорема, здраво до повторувачите)

И сега ќе разгледаме последователно: концептот на вектор, дејства со вектори, векторски координати. Препорачувам да прочитате понатаму најважната статија Точка производ на вектори, и исто така Вектор и мешан производ на вектори. Локална задача - Поделба на сегмент во овој поглед - исто така нема да биде излишна. Врз основа на горенаведените информации, можете да го совладате равенка на права во рамнинаСо наједноставни примери на решенија, што ќе овозможи научи да решава геометриски задачи. Следниве статии се исто така корисни: Равенка на рамнина во вселената, Равенки на права во просторот, Основни задачи на права линија и рамнина, други делови од аналитичката геометрија. Природно, стандардните задачи ќе се разгледуваат на патот.

Векторски концепт. Бесплатен вектор

Прво, да ја повториме училишната дефиниција за вектор. Векторповикани режијасегмент за кој се означени неговиот почеток и крај:

Во овој случај, почетокот на сегментот е точката, крајот на сегментот е точката. Самиот вектор се означува со . Насокае од суштинско значење, ако ја преместите стрелката на другиот крај од сегментот, добивате вектор, и ова е веќе сосема различен вектор. Удобно е да се идентификува концептот на вектор со движењето на физичкото тело: мора да се согласите, влегувањето во вратите на институтот или напуштањето на вратите на институтот се сосема различни работи.

Удобно е да се земат предвид поединечни точки на рамнина или простор како т.н нула вектор. За таков вектор, крајот и почетокот се совпаѓаат.

!!! Забелешка: Овде и понатаму, можете да претпоставите дека векторите лежат во иста рамнина или можете да претпоставите дека се наоѓаат во просторот - суштината на презентираниот материјал важи и за рамнината и за просторот.

Ознаки:Многумина веднаш го забележаа стапот без стрелка во ознаката и рекоа, има и стрелка на врвот! Точно, можете да го напишете со стрелка: , но исто така е можно записот што ќе го користам во иднина. Зошто? Очигледно, оваа навика се разви од практични причини; моите стрелци на училиште и на универзитет се покажаа дека беа премногу различни големини и бушави. Во едукативната литература, понекогаш тие воопшто не се замараат со клинесто писмо, туку ги истакнуваат буквите со задебелени букви: , со што се подразбира дека ова е вектор.

Тоа беше стилистика, а сега за начините за пишување вектори:

1) Векторите можат да се напишат со две големи латински букви:
и така натаму. Во овој случај, првата буква Задолжителноја означува почетната точка на векторот, а втората буква ја означува крајната точка на векторот.

2) Векторите се напишани и со мали латински букви:
Особено, нашиот вектор може да се редизајнира за краткост со мала латиница.

Должинаили модулненулта вектор се нарекува должина на отсечката. Должината на векторот нула е нула. Логично.

Должината на векторот е означена со знакот на модул:

Ќе научиме како да ја најдеме должината на векторот (или ќе ја повториме, во зависност од тоа кој) малку подоцна.

Ова беа основни информации за вектори, познати на сите ученици. Во аналитичката геометрија, т.н слободен вектор.

Едноставно кажано - векторот може да се нацрта од која било точка:

Ние сме навикнати таквите вектори да ги нарекуваме еднакви (дефиницијата за еднакви вектори ќе биде дадена подолу), но од чисто математичка гледна точка, тие се ИСТИОТ ВЕКТОР или слободен вектор. Зошто бесплатно? Бидејќи во текот на решавањето на проблемите, можете да го „закачите“ овој или оној вектор на БИЛО КОЈА точка од рамнината или просторот што ви треба. Ова е многу кул карактеристика! Замислете вектор со произволна должина и насока - може да се „клонира“ бесконечен број пати и во која било точка во просторот, всушност, постои СЕКАДЕ. Има една таква студентска изрека: Секој предавач му дава гајле за векторот. На крајот на краиштата, тоа не е само духовита рима, сè е математички точно - векторот може да се прикачи и таму. Но, не брзајте да се радувате, самите студенти се тие кои честопати страдаат =)

Значи, слободен вектор- Ова еден куп идентични насочени сегменти. Училишната дефиниција за вектор, дадена на почетокот на параграфот: „Упатена отсечка се нарекува вектор...“ имплицира специфиченнасочен сегмент земен од дадено множество, кој е врзан за одредена точка во рамнината или просторот.

Треба да се напомене дека од гледна точка на физиката, концептот на слободен вектор е генерално неточен, а точката на примена на векторот е важна. Навистина, директен удар со иста сила по носот или челото, доволен за да го развијам мојот глупав пример, повлекува различни последици. Сепак, неслободнивектори се наоѓаат и во текот на vyshmat (не оди таму :)).

Дејства со вектори. Колинеарност на вектори

Курсот по училишна геометрија опфаќа голем број дејства и правила со вектори: собирање според правилото за триаголник, собирање според правилото на паралелограм, правило за векторска разлика, множење на вектор со број, скаларен производ на вектори итн.Како почетна точка, да повториме две правила кои се особено релевантни за решавање на проблеми од аналитичката геометрија.

Правило за собирање вектори со користење на правилото триаголник

Размислете за два произволни вектори не-нула и:

Треба да го пронајдете збирот на овие вектори. Поради фактот што сите вектори се сметаат за слободни, ние ќе го издвоиме векторот од крајвектор:

Збирот на вектори е векторот. За подобро разбирање на правилото, препорачливо е да се стави физичко значење во него: нека некое тело патува по векторот, а потоа по векторот. Тогаш збирот на вектори е векторот на добиената патека со почеток во точката на поаѓање и крај на точката на пристигнување. Слично правило е формулирано за збир на кој било број вектори. Како што велат тие, телото може да оди по својот пат многу посно по цик-цак, или можеби на автопилот - по добиениот вектор на збирот.

Патем, ако векторот се одложи од почнавектор, тогаш добиваме еквивалент паралелограм правилододавање вектори.

Прво, за колинеарноста на векторите. Двата вектори се нарекуваат колинеарна, ако лежат на иста права или на паралелни прави. Грубо кажано, зборуваме за паралелни вектори. Но, во однос на нив, придавката „колинеарно“ секогаш се користи.

Замислете два колинеарни вектори. Ако стрелките на овие вектори се насочени во иста насока, тогаш се нарекуваат такви вектори ко-режија. Ако стрелките се насочени во различни насоки, тогаш векторите ќе бидат спротивни насоки.

Ознаки:колинеарноста на векторите се запишува со вообичаениот симбол на паралелизам: , додека деталното е можно: (векторите се ко-насочени) или (векторите се обратно насочени).

Работатавектор кој не е нула на број е вектор чија должина е еднаква на , а векторите и се исто насочени кон и спротивно насочени кон .

Правилото за множење вектор со број е полесно да се разбере со помош на слика:

Ајде да го разгледаме подетално:

1) Насока. Ако множителот е негативен, тогаш векторот го менува правецотна спротивното.

2) Должина. Ако множителот е содржан во или , тогаш должината на векторот се намалува. Значи, должината на векторот е половина од должината на векторот. Ако модулот на множителот е поголем од еден, тогаш должината на векторот се зголемуваво времето.

3) Ве молиме имајте предвид дека сите вектори се колинеарни, додека еден вектор се изразува преку друг, на пример, . Обратно е исто така точно: ако еден вектор може да се изрази преку друг, тогаш таквите вектори се нужно колинеарни. Така: ако помножиме вектор со број, добиваме колинеарен(во однос на оригиналот) вектор.

4) Векторите се ко-насочени. Вектори и исто така се ко-режија. Секој вектор од првата група е обратно насочен во однос на кој било вектор од втората група.

Кои вектори се еднакви?

Два вектори се еднакви ако се во иста насока и имаат иста должина. Забележете дека конасочноста подразбира колинеарност на вектори. Дефиницијата би била неточна (непотребна) ако речеме: „Два вектори се еднакви ако се колинеарни, конасочни и имаат иста должина“.

Од гледна точка на концептот на слободен вектор, еднакви вектори се истиот вектор, како што беше дискутирано во претходниот пасус.

Векторски координати на рамнината и во вселената

Првата точка е да се разгледаат вектори на рамнината. Дозволете ни да прикажеме Декартов правоаголен координатен систем и да го нацртаме од потеклото на координатите синглвектори и:

Вектори и ортогонални. Ортогонално = Нормално. Ви препорачувам полека да се навикнете на поимите: наместо паралелизам и перпендикуларност, ги користиме зборовите соодветно колинеарностИ ортогоналност.

Ознака:Ортогоналноста на векторите се пишува со вообичаениот симбол на перпендикуларност, на пример: .

Се нарекуваат векторите што се разгледуваат координатни векториили орти. Овие вектори се формираат основана површината. Што е основа, мислам, на многумина им е интуитивно јасно; подетални информации може да се најдат во статијата Линеарна (не) зависност на вектори. Основа на векториСо едноставни зборови, основата и потеклото на координатите го дефинираат целиот систем - ова е еден вид основа на која врие целосен и богат геометриски живот.

Понекогаш конструираната основа се нарекува ортонормалниоснова на рамнината: „орто“ - бидејќи координатните вектори се ортогонални, придавката „нормализирана“ значи единица, т.е. должините на основните вектори се еднакви на еден.

Ознака:основата најчесто се пишува во загради, внатре во која во строг редоследсе наведуваат базичните вектори, на пример: . Координатни вектори тоа е забранетопреуреди.

Било којавион вектор единствениот начинизразено како:
, Каде - броевикои се нарекуваат векторски координативо оваа основа. И самиот израз повикани векторско распаѓањепо основа .

Послужена вечера:

Да почнеме со првата буква од азбуката: . Цртежот јасно покажува дека при разложување на вектор во основа, се користат оние што штотуку беа дискутирани:
1) правило за множење вектор со број: и ;
2) собирање вектори според правилото триаголник: .

Сега ментално нацртајте го векторот од која било друга точка на рамнината. Сосема е очигледно дека неговото распаѓање „немилосрдно ќе го следи“. Еве ја, слободата на векторот - векторот „носи сè со себе“. Ова својство, се разбира, важи за секој вектор. Смешно е што самите основни (бесплатни) вектори не мора да се нацртаат од потеклото; едниот може да се нацрта, на пример, долу лево, а другиот горе десно, и ништо нема да се промени! Точно, не треба да го правите ова, бидејќи наставникот исто така ќе покаже оригиналност и ќе ви извлече „кредит“ на неочекувано место.

Векторите го илустрираат точно правилото за множење на векторот со број, векторот е конасочен со основниот вектор, векторот е насочен спротивно на основниот вектор. За овие вектори, една од координатите е еднаква на нула; можете прецизно да ја напишете вака:


А основните вектори, патем, се вака: (всушност, тие се изразуваат преку самите себе).

И, конечно: , . Патем, што е векторско одземање и зошто не зборував за правилото за одземање? Некаде во линеарна алгебра, не се сеќавам каде, забележав дека одземањето е посебен случај на собирање. Така, проширувањата на векторите „de“ и „e“ лесно се пишуваат како збир: , . Преуредите ги поимите и видете на цртежот колку добро функционира старото добро собирање вектори според правилото триаголник во овие ситуации.

Разгледуваното разложување на формата понекогаш се нарекува векторско распаѓање во ort системот(т.е. во систем на единечни вектори). Но, ова не е единствениот начин да се напише вектор; следнава опција е вообичаена:

Или со знак за еднаквост:

Самите основни вектори се запишуваат на следниов начин: и

Односно, координатите на векторот се означени во загради. Во практични проблеми, се користат сите три опции за нотација.

Се сомневав дали да зборувам, но сепак ќе кажам: векторските координати не можат да се преуредат. Строго на прво местоја запишуваме координатата што одговара на единечниот вектор, строго на второ местоја запишуваме координатата што одговара на единечниот вектор. Навистина, и се два различни вектори.

Ги сфативме координатите на авионот. Сега да ги погледнеме векторите во тродимензионалниот простор, овде скоро сè е исто! Само ќе додаде уште една координата. Тешко е да се направат тродимензионални цртежи, затоа ќе се ограничам на еден вектор, кој заради едноставност ќе го издвојам од потеклото:

Било кој 3D просторен вектор единствениот начинсе прошири на ортонормална основа:
, каде се координатите на векторот (бројот) во оваа основа.

Пример од сликата: . Ајде да видиме како функционираат векторските правила овде. Прво, множење на векторот со број: (црвена стрелка), (зелена стрелка) и (стрелка од малина). Второ, еве пример за додавање на неколку, во овој случај три, вектори: . Векторот збир започнува на почетната точка на поаѓање (почеток на векторот) и завршува на крајната точка на пристигнување (крајот на векторот).

Сите вектори на тродимензионалниот простор, природно, се исто така слободни; обидете се ментално да го одвоите векторот од која било друга точка и ќе разберете дека неговото распаѓање „ќе остане со него“.

Слично на рамниот случај, покрај пишувањето широко се користат верзии со загради: или .

Ако во експанзијата недостасуваат еден (или два) координатни вектори, тогаш на нивно место се ставаат нули. Примери:
вектор (прецизно ) – ајде да пишуваме;
вектор (прецизно ) – ајде да пишуваме;
вектор (прецизно ) – ајде да напишеме.

Основните вектори се напишани на следниов начин:

Ова, можеби, е сето минимално теоретско знаење неопходно за решавање на проблемите на аналитичката геометрија. Можеби има многу поими и дефиниции, па затоа препорачувам чајниците повторно да ги прочитаат и разберат овие информации. И ќе биде корисно за секој читател одвреме-навреме да се повикува на основната лекција за подобро да го асимилира материјалот. Колинеарност, ортогоналност, ортонормална основа, векторско распаѓање - овие и други концепти често ќе се користат во иднина. Забележувам дека материјалите на страницата не се доволни за да го положат теоретскиот тест или колоквиум за геометрија, бидејќи внимателно ги криптирам сите теореми (и без докази) - на штета на научниот стил на презентација, но плус за вашето разбирање на предметот. За да добиете детални теоретски информации, ве молиме поклонете му се на професорот Атанасјан.

И продолжуваме на практичниот дел:

Наједноставните проблеми на аналитичката геометрија.
Дејства со вектори во координати

Многу е препорачливо да научите како да ги решавате задачите што ќе се разгледуваат целосно автоматски и формулите запаметат, не мора ни намерно да го памтиш, тие самите ќе го запаметат =) Ова е многу важно, бидејќи другите проблеми на аналитичката геометрија се засноваат на наједноставните елементарни примери и ќе биде досадно да се троши дополнително време за јадење пиони. . Нема потреба да ги прицврстувате горните копчиња на вашата кошула, многу работи ви се познати уште од училиште.

Презентацијата на материјалот ќе следи паралелен тек - и за авион и за вселената. Од причина што сите формули... ќе се уверите сами.

Како да се најде вектор од две точки?

Ако се дадени две точки од рамнината, тогаш векторот ги има следните координати:

Ако се дадени две точки во просторот, тогаш векторот ги има следните координати:

Тоа е, од координатите на крајот на вектороттреба да ги одземете соодветните координати почеток на векторот.

Вежба:За истите точки запишете ги формулите за наоѓање на координатите на векторот. Формули на крајот од лекцијата.

Пример 1

Дадени се две точки на рамнината и . Најдете векторски координати

Решение:според соодветната формула:

Алтернативно, може да се користи следниов запис:

Естетите ќе одлучат за ова:

Лично, навикнат сум на првата верзија на снимката.

Одговор:

Според условот, не беше неопходно да се конструира цртеж (што е типично за проблемите на аналитичката геометрија), но за да се разјаснат некои точки за кукли, нема да бидам мрзлив:

Дефинитивно треба да разберете разлика помеѓу координати на точки и векторски координати:

Точка координати– тоа се обични координати во правоаголен координатен систем. Мислам дека сите знаат да исцртаат точки на координатна рамнина од 5-6 одделение. Секоја точка има строго место во авионот и тие не можат да се преместат никаде.

Координатите на векторот– ова е нејзино проширување според основата, во овој случај. Секој вектор е слободен, па ако е потребно, лесно можеме да го оддалечиме од некоја друга точка во рамнината. Интересно е што за векторите воопшто не треба да се градат оски или правоаголен координатен систем, туку потребна е само основа, во овој случај ортонормална основа на рамнината.

Записите на координати на точки и координати на вектори се чини дека се слични: , и значење на координатитеапсолутно различни, и треба добро да ја знаете оваа разлика. Оваа разлика, се разбира, важи и за вселената.

Дами и господа, да ги наполниме рацете:

Пример 2

а) Поени и се дадени. Најдете вектори и .
б) Дадени се бодови И . Најдете вектори и .
в) Поени и се дадени. Најдете вектори и .
г) Дадени се бодови. Најдете вектори .

Можеби тоа е доволно. Ова се примери за да одлучите сами, обидете се да не ги запоставите, ќе ви се исплати ;-). Нема потреба да се прават цртежи. Решенија и одговори на крајот од часот.

Што е важно при решавање на аналитички геометриски задачи?Важно е да бидете ИСКЛУЧНО ВНИМАТЕЛНИ за да избегнете да ја направите маестралната грешка „два плус два е еднакво на нула“. Веднаш се извинувам ако згрешив некаде =)

Како да се најде должината на сегментот?

Должината, како што веќе беше забележано, е означена со знакот за модул.

Ако се дадени две точки од рамнината и , тогаш должината на отсечката може да се пресмета со формулата

Ако се дадени две точки во просторот, тогаш должината на отсечката може да се пресмета со формулата

Забелешка: Формулите ќе останат точни ако се заменат соодветните координати: и , но првата опција е постандардна

Пример 3

Решение:според соодветната формула:

Одговор:

За јасност, ќе направам цртеж

Линиски сегмент - ова не е вектор, и, се разбира, не можете да го преместите никаде. Дополнително, ако цртате на скала: 1 единица. = 1 cm (две ќелии од тетратка), тогаш добиениот одговор може да се провери со обичен линијар со директно мерење на должината на сегментот.

Да, решението е кратко, но има уште неколку важни точки во него што би сакал да ги објаснам:

Прво, во одговорот ја ставаме димензијата: „единици“. Состојбата не кажува ШТО е тоа, милиметри, сантиметри, метри или километри. Затоа, математички точно решение би било општата формулација: „единици“ - скратено како „единици“.

Второ, да го повториме училишниот материјал, кој е корисен не само за разгледуваната задача:

Обрни внимание на важна техника – отстранување на мултипликаторот од под коренот. Како резултат на пресметките, имаме резултат и добриот математички стил вклучува отстранување на факторот од под коренот (ако е можно). Подетално, процесот изгледа вака: . Се разбира, не би било грешка да се остави одговорот каков што е - но секако би бил недостаток и тежок аргумент за преговарање од страна на наставникот.

Еве други вообичаени случаи:

Често коренот произведува прилично голем број, на пример. Што да се прави во такви случаи? Со помош на калкулаторот проверуваме дали бројот е делив со 4: . Да, тоа беше целосно поделено, така што: . Или можеби бројот може повторно да се подели со 4? . Така: . Последната цифра од бројот е непарна, па делењето со 4 по трет пат очигледно нема да работи. Ајде да се обидеме да поделиме со девет: . Како резултат:
Подготвени.

Заклучок:ако под коренот добиеме број што не може да се извлече како целина, тогаш се обидуваме да го отстраниме факторот од под коренот - со помош на калкулатор проверуваме дали бројот е делив со: 4, 9, 16, 25, 36, 49, итн.

Кога решавате разни проблеми, често се среќаваат корени; секогаш обидувајте се да извлечете фактори од коренот за да избегнете пониска оценка и непотребни проблеми со финализирање на вашите решенија врз основа на коментарите на наставникот.

Ајде, исто така, да го повториме квадратирањето на корените и другите моќи:

Правилата за работа со овластувањата во општа форма може да се најдат во учебник за училишна алгебра, но мислам дека од дадените примери сè или речиси сè е веќе јасно.

Задача за независно решение со отсечка во просторот:

Пример 4

Поени и се дадени. Најдете ја должината на сегментот.

Решението и одговорот се на крајот од лекцијата.

Како да се најде должината на векторот?

Ако е даден рамен вектор, тогаш неговата должина се пресметува со формулата.

Ако е даден просторен вектор, тогаш неговата должина се пресметува со формулата .