Кои се страните на рамностран триаголник? Правилен триаголник. Површина на правилен триаголник

Дефиниција 7. Секој триаголник чии две страни се еднакви се нарекува рамнокрак.
Две еднакви страни се нарекуваат странични, третата се нарекува основа.
Дефиниција 8. Ако сите три страни на триаголникот се еднакви, тогаш триаголникот се нарекува рамностран.
Тој е приватен вид рамнокрак триаголник.
Теорема 18. Висината на рамнокрак триаголник, спуштена до основата, во исто време е симетрала на аголот помеѓу еднакви страни, средната и оската на симетрија на основата.
Доказ. Да ја спуштиме висината до основата на рамнокрак триаголник. Таа ќе го подели на два еднакви дела (по должината на ногата и хипотенузата) правоаголен триаголник. Аглите A и C се еднакви, а висината исто така ја дели основата на половина и ќе биде оската на симетрија на целата слика што се разгледува.
Оваа теорема може да се формулира и на следниов начин:
Теорема 18.1. Средината на рамнокрак триаголник, спуштена до основата, е исто така симетрала на аголот помеѓу еднакви страни, висината и оската на симетрија на основата.
Теорема 18.2. Симетралата на рамнокрак триаголник, спуштена до основата, е истовремено висината, средината и оската на симетријата на основата.
Теорема 18.3. Оската на симетрија на рамнокрак триаголник е истовремено симетралата на аголот помеѓу еднакви страни, средната и надморската височина.
Доказот за овие последици произлегува и од еднаквоста на триаголниците на кои е поделен рамнокрак триаголник.

Теорема 19. Аглите на основата на рамнокрак триаголник се еднакви.
Доказ. Да ја спуштиме висината до основата на рамнокрак триаголник. Ќе го подели на два еднакви (крака и хипотенуза) правоаголни триаголници, што значи дека соодветните агли се еднакви, т.е. ∠ A=∠ C
Критериумите за рамнокрак триаголник потекнуваат од теорема 1 и нејзините последици и теорема 2.
Теорема 20. Ако две од наведените четири прави (висина, средна, симетрала, оска на симетрија) се совпаѓаат, тогаш триаголникот ќе биде рамнокрак (што значи дека сите четири прави ќе се совпаѓаат).
Теорема 21. Ако кои било два агли на триаголникот се еднакви, тогаш тој е рамнокрак.

Доказ:Слично на доказот на директната теорема, но со помош на вториот критериум за еднаквост на триаголниците. Центарот на гравитација, центрите на кружниот круг и кружницата и точката на пресек на височините на рамнокрак триаголник лежат на неговата оска на симетрија, т.е. на високо.
Рамностран триаголник е рамнокрак за секој пар од неговите страни. Поради еднаквоста на сите негови страни, сите три агли на таков триаголник се еднакви. Имајќи предвид дека збирот на аглите на кој било триаголник е еднаков на два прави агли, гледаме дека секој од аглите на рамностран триаголник е еднаков на 60°. Спротивно на тоа, за да се осигураме дека сите страни на триаголникот се еднакви, доволно е да се провери дали два од неговите три агли се еднакви на 60°.
Теорема 22 . Во рамностран триаголник, сите извонредни точки се совпаѓаат: тежиштето, центрите на впишаните и ограничените кругови, точката на пресек на височините (наречена ортоцентар на триаголникот).
Теорема 23 . Ако две од наведените четири точки се совпаѓаат, тогаш триаголникот ќе биде рамностран и, како последица на тоа, сите четири именувани точки ќе се совпаднат.
Навистина, таков триаголник ќе испадне, според претходниот, рамнокрак во однос на кој било пар страни, т.е. рамностран. Рамностран триаголник се нарекува и правилен триаголник. Површината на рамнокрак триаголник е еднаква на половина од производот на квадратот на страничната страна и синусот на аголот помеѓу страните
Размислете за оваа формула за рамностран триаголник, тогаш алфа аголот ќе биде еднаков на 60 степени. Тогаш формулата ќе се промени на ова:

Теорема d1 . Во рамнокрак триаголник, медијаните нацртани на страните се еднакви.

Доказ:Нека ABC е рамнокрак триаголник (AC = BC), AK и BL неговата средина. Тогаш триаголниците АКБ и АЛБ се еднакви според вториот критериум за еднаквост на триаголниците. Тие имаат заедничка страна AB, страните AL и BK се еднакви како половини од страничните страни на рамнокрак триаголник, а аглите LAB и KBA се еднакви како основните агли на рамнокрак триаголник. Бидејќи триаголниците се складни, нивните страни AK и LB се еднакви. Но, АК и ЛБ се средина на рамнокрак триаголник нацртан на неговите странични страни.
Теорема d2 . Во рамнокрак триаголник, симетралите нацртани на страничните страни се еднакви.

Доказ:Нека ABC е рамнокрак триаголник (AC = BC), AK и BL неговите симетрали. Триаголниците АКБ и АЛБ се еднакви според вториот критериум за еднаквост на триаголниците. Тие имаат заедничка страна AB, аглите LAB и KBA се еднакви како основните агли на рамнокрак триаголник, а аглите LBA и KAB се еднакви на половина од основните агли на рамнокрак триаголник. Бидејќи триаголниците се складни, нивните страни AK и LB - симетралите на триаголникот ABC - се складни. Теоремата е докажана.
Теорема d3 . Во рамнокрак триаголник, висините спуштени на страните се еднакви.

Доказ:Нека ABC е рамнокрак триаголник (AC = BC), AK и BL неговите височини. Тогаш аглите ABL и KAB се еднакви, бидејќи аглите ALB и AKB се прави агли, а аглите LAB и ABK се еднакви како основните агли на рамнокрак триаголник. Следствено, триаголниците ALB и AKB се еднакви според вториот критериум за еднаквост на триаголниците: тие имаат заедничка страна AB, аглите KAB и LBA се еднакви според горенаведеното, а аглите LAB и KBA се еднакви како основните агли на рамнокрак триаголник. Ако триаголниците се складни, нивните страни AK и BL се исто така складни. Q.E.D.

Одржувањето на вашата приватност е важно за нас. Поради оваа причина, развивме Политика за приватност која опишува како ги користиме и складираме вашите информации. Ве молиме прегледајте ги нашите практики за приватност и кажете ни ако имате какви било прашања.

Собирање и користење на лични информации

Личните информации се однесуваат на податоци што може да се користат за идентификација одредена личностили врска со него.

Може да биде побарано од вас да ги дадете вашите лични податоци во секое време кога ќе не контактирате.

Подолу се дадени неколку примери за типовите на лични информации што можеме да ги собираме и како можеме да ги користиме тие информации.

Кои лични податоци ги собираме:

• Кога поднесувате апликација на страницата, може да собереме различни информации, вклучувајќи го вашето име, телефонски број, адреса Е-поштаитн.

Како ги користиме вашите лични податоци:

• Собрани од нас лични податоцини овозможува да ве контактираме и да ве информираме за уникатни понуди, промоции и други настани и претстојни настани.
• Од време на време, може да ги користиме вашите лични податоци за да испраќаме важни известувања и комуникации.
• Може да користиме и лични информации за внатрешни цели како што се ревизија, анализа на податоци и различни студиисо цел да ги подобриме услугите што ги нудиме и да ви дадеме препораки во врска со нашите услуги.
• Ако учествувате во наградно извлекување, натпревар или слична промоција, ние може да ги користиме информациите што ги давате за администрирање на такви програми.

Откривање на информации на трети страни

Ние не ги откриваме информациите добиени од вас на трети страни.

Исклучоци:

• Доколку е потребно - во согласност со закон, судска постапка, правни постапки и/или врз основа на јавни барања или барања од владини агенциина територијата на Руската Федерација - обелоденете ги вашите лични податоци. Ние, исто така, може да откриеме информации за вас ако утврдиме дека таквото откривање е неопходно или соодветно за безбедност, спроведување на законот или други цели од јавна важност.
• Во случај на реорганизација, спојување или продажба, можеме да ги пренесеме личните информации што ги собираме на соодветната трета страна наследник.

Заштита на лични информации

Преземаме мерки на претпазливост - вклучувајќи административни, технички и физички - за да ги заштитиме вашите лични информации од губење, кражба и злоупотреба, како и од неовластен пристап, откривање, менување и уништување.

Почитување на вашата приватност на ниво на компанија

За да се осигураме дека вашите лични информации се безбедни, ние ги пренесуваме стандардите за приватност и безбедност на нашите вработени и строго ги спроведуваме практиките за приватност.

ВО училишен курсгеометрија голема количинавреме е посветено на проучување на триаголници. Учениците пресметуваат агли, конструираат симетрали и надморски височини, дознаваат како формите се разликуваат едни од други и како најлесниот начин да ја најдат нивната површина и периметар. Се чини дека тоа нема да биде корисно во животот, но понекогаш е сепак корисно да се научи, на пример, како да се утврди дали триаголникот е рамностран или тап. Како да го направите ова?

Видови триаголници

Три точки кои не лежат на иста линија, и отсечките што ги поврзуваат. Се чини дека оваа бројка е наједноставна. Какви триаголници може да бидат ако имаат само три страни? Всушност, постојат неколку опции. голем број на, а на некои од нив им се посветува посебно внимание на курсот по училишна геометрија. Правилниот триаголник е рамностран, односно сите негови агли и страни се еднакви. Има голем број извонредни својства, за кои ќе се дискутира понатаму.

Рамнокрак има само две еднакви страни, а исто така е доста интересен. Во правоаголна, како што може да претпоставите, еден од аглите е правилен или тап, соодветно. Покрај тоа, тие можат да бидат и рамнокраки.

Постои и специјален наречен египетски. Неговите страни се 3, 4 и 5 единици. Покрај тоа, таа е правоаголна. Се верува дека активно го користеле египетските геодети и архитекти за изградба на прави агли. Се верува дека со негова помош биле изградени познатите пирамиди.

А сепак сите темиња на триаголник можат да лежат на иста права линија. Во овој случај, тој ќе се нарекува дегенериран, додека сите други ќе се нарекуваат недегенерички. Тие се еден од предметите за изучување на геометријата.

Рамностран триаголник

Се разбира, точните бројки секогаш предизвикуваат најголем интерес. Изгледаат посовршени, пограциозни. Формулите за пресметување на нивните карактеристики често се поедноставни и пократки отколку за обичните бројки. Ова исто така важи и за триаголници. Не е изненадувачки што при изучувањето на геометријата им се посветува доста внимание: учениците се учат да ги разликуваат точните фигури од останатите, а исто така им се кажува и за некои од нивните интересни карактеристики.

Знаци и својства

Како што може да претпоставите од името, секоја страна на рамностран триаголник е еднаква на другите две. Покрај тоа, тој има голем број карактеристики кои ви помагаат да одредите дали фигурата е точна или не.

Ако се забележи барем еден од горенаведените знаци, тогаш триаголникот е рамностран. За точната бројка, сите горенаведени изјави се вистинити.

Сите триаголници имаат голем број на извонредни својства. Прво, средна линија, односно сегмент што дели две страни на половина и паралелно со третата, е еднаков на половина од основата. Второ, збирот на сите агли на оваа бројка е секогаш еднаков на 180 степени. Покрај тоа, постои уште една интересна врска во триаголниците. Значи, спроти поголемата страна лежи поголемиот агол и обратно. Но, ова, се разбира, нема никаква врска со рамностран триаголник, бидејќи сите негови агли се еднакви.

Впишани и ограничени кругови

Често на курсот по геометрија, студентите исто така учат како формите можат да комуницираат едни со други. Особено се проучуваат кругови впишани во многуаголници или опишани околу нив. За што се работи?

Впишан круг е круг за кој сите страни на многуаголникот се тангентни. Опишан - оној што има допирни точки со сите агли. За секој триаголник, секогаш можете да ги конструирате и првиот и вториот круг, но само еден од секој тип. Доказ за овие двајца

теореми се дадени во предметот училишна геометрија.

Покрај пресметувањето на параметрите на самите триаголници, некои проблеми вклучуваат и пресметување на радиусите на овие кругови. И формули за
рамностран триаголник изгледа вака:

каде што r е радиусот на впишаната кружница, R е радиусот на опишаната кружница, a е должината на страната на триаголникот.

Пресметка на висина, периметар и површина

Основните параметри што ги пресметуваат учениците додека студираат геометрија остануваат непроменети за речиси секоја фигура. Тоа се периметар, површина и висина. За да се поедностават пресметките, постојат различни формули.

Значи, периметарот, односно должината на сите страни, се пресметува на следниве начини:

P = 3a = 3√ ̅3R = 6√ ̅3r, каде што a е страна на рамностран триаголник, R е радиусот на опишаната кружница, r е впишаната кружница.

h = (√ ̅3/2)*a, каде што a е должината на страната.

Конечно, формулата е изведена од стандардната, односно производ од половина основа и нејзината висина.

S = (√ ̅3/4)*a 2, каде што a е должината на страната.

Оваа вредност може да се пресмета и преку параметрите на ограничен или впишан круг. Исто така, постојат специјални формули за ова:

S = 3√ ̅3r 2 = (3√ ̅3/4)*R 2, каде што r и R се радиусите на впишаните и опишаните кругови, соодветно.

Градба

Друг интересен тип на проблем, вклучувајќи триаголници, вклучува потреба да се нацрта одредена фигура користејќи минимален сет

алатки: компас и линијар без поделби.

За да изградите редовен триаголник користејќи само овие уреди, треба да следите неколку чекори.

1. Треба да нацртате круг со кој било радиус и со центар во произволна точка А. Мора да биде обележана.
2. Следно, треба да нацртате права линија низ оваа точка.
3. Пресеците на круг и права линија мора да бидат означени како B и C. Сите конструкции мора да се изведат со најголема можна точност.
4. Следно, треба да изградите друг круг со ист радиус и центар во точката C или лак со соодветни параметри. Пресечните точки ќе бидат означени како D и F.
5. Точките B, F, D мора да бидат поврзани со сегменти. Конструиран е рамностран триаголник.

Решавањето на ваквите проблеми обично е проблем за учениците од училиштата, но оваа вештина може да биде корисна во секојдневниот живот.

Видео курсот „Земи А“ ги вклучува сите теми што ви се потребни успешно завршувањеУнифициран државен испит по математика за 60-65 поени. Целосно сите задачи 1-13 од Профил унифициран државен испит по математика. Погоден е и за полагање на Основен унифициран државен испит по математика. Ако сакате да го положите обединетиот државен испит со 90-100 поени, првиот дел треба да го решите за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за Единствен државен испит за 10-11 одделение, како и за наставници. Сè што ви треба за да го решите Дел 1 од Единствениот државен испит по математика (првите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрија). И ова се повеќе од 70 поени на обединет државен испит и без нив не може ниту студент од 100, ниту студент на хуманитарни науки.

Целата потребна теорија. Брзи начинирешенија, замки и тајни на Единствениот државен испит. Анализирани се сите тековни задачи од дел 1 од FIPI Task Bank. Курсот целосно е во согласност со барањата на Единствениот државен испит 2018 година.

Курсот содржи 5 големи теми, по 2,5 часа. Секоја тема е дадена од нула, едноставно и јасно.

Стотици задачи за обединет државен испит. Проблеми со зборови и теорија на веројатност. Едноставни и лесни за паметење алгоритми за решавање проблеми. Геометрија. Теорија, референтен материјал, анализа на сите видови задачи за унифициран државен испит. Стереометрија. Слабо решенија, корисни мамечки листови, развој на просторна имагинација. Тригонометрија од почеток до проблем 13. Разбирање наместо набивање. Јасни објаснувања на сложените концепти. Алгебра. Корени, моќи и логаритми, функција и извод. Основа за решение сложени задачи 2 дела од Единствениот државен испит.