Калкулаторот ги пресметува изводите на сите елементарни функции, давајќи детално решение. Променливата за диференцијација се одредува автоматски.

Извод на функција- еден од најважните концепти во математичката анализа. Појавата на изводот беше доведена до такви проблеми како, на пример, пресметување на моменталната брзина на точка во момент во времето, ако е позната патеката во зависност од времето, проблемот со наоѓање на тангента на функција во точка.

Најчесто, изводот на функцијата се дефинира како граница на односот на зголемувањето на функцијата со зголемувањето на аргументот, доколку постои.

Дефиниција.Нека функцијата е дефинирана во некое соседство на точката. Тогаш изводот на функцијата во точка се нарекува граница, доколку постои

Како да се пресмета изводот на функцијата?

За да научите да разликувате функции, треба да научите и разберете правила за диференцијацијаи научи да користиш табела на деривати.

Правила за диференцијација

Нека се произволни диференцијабилни функции на реална променлива и нека биде некоја реална константа. Потоа

— правило за диференцирање на производ на функции

— правило за диференцијација на колични функции

0" height="33" width="370" style="vertical-align: -12px;"> — диференцијација на функција со променлив експонент

— правило за диференцирање сложена функција

— правило за диференцирање на функција на моќност

Извод на функција онлајн

Нашиот калкулатор брзо и прецизно ќе го пресмета дериватот на која било функција онлајн. Програмата нема да прави грешки при пресметувањето на дериватот и ќе ви помогне да избегнете долги и мачни пресметки. Онлајн калкулатор ќе биде корисен и во случаи кога има потреба да проверите дали вашето решение е точно, а ако е неточно, брзо пронајдете грешка.

Одредувањето на изводот на функцијата е инверзна операција на интегрирање на функција. За елементарни функции, пресметувањето на изводот не е тешко, само користете ја табелата со деривати. Ако ни треба најдете го изводотод сложена функција, тогаш диференцијацијата ќе биде многу потешка и ќе бара повеќе грижа и време. Во исто време, многу е лесно да се направи печатна грешка или помала грешка што ќе доведе до конечен неточен одговор. Затоа, секогаш е важно да можете да ја проверите вашата одлука. Можете да го направите ова користејќи го овој онлајн калкулатор, кој ви овозможува бесплатно да најдете деривати на која било функција на интернет со детално решение, без да се регистрирате на страницата. Наоѓање на изводот на функцијата (диференцијација) е односот на зголемувањето на функцијата со зголемувањето на аргументот (нумерички, изводот е еднаков на тангентата на тангентата на графикот на функцијата). Ако треба да го пресметате изводот на функцијата во одредена точка, тогаш ви треба во добиениот одговор наместо аргумент xзаменете ја неговата нумеричка вредност и пресметајте го изразот. На онлајн деривативно решениетреба да ја внесете функцијата во соодветното поле: аргументот мора да биде променлива x, бидејќи диференцијацијата се јавува токму по него. За да го пресметате вториот извод, треба да го разликувате добиениот одговор.

Датум: 20.11.2014

Што е дериват?

Табела на деривати.

Изводот е еден од главните концепти на вишата математика. Во оваа лекција ќе го воведеме овој концепт. Да се ​​запознаеме, без строги математички формулации и докази.

Ова запознавање ќе ви овозможи:

Разберете ја суштината на едноставните задачи со деривати;

Успешно решете ги овие наједноставни задачи;

Подгответе се за посериозни лекции за деривати.

Прво - пријатно изненадување.)

Строгата дефиниција на дериватот се заснова на теоријата на граници и работата е доста комплицирана. Ова е вознемирувачко. Но, практичната примена на дериватите, по правило, не бара толку обемно и длабоко знаење!

За успешно извршување на повеќето задачи на училиште и на универзитет, доволно е да се знае само неколку термини- да ја разбере задачата, и само неколку правила- да го решиме. Тоа е се. Ова ме прави среќен.

Да почнеме да се запознаваме?)

Услови и ознаки.

Постојат многу различни математички операции во елементарната математика. Собирање, одземање, множење, степенување, логаритам итн. Ако додадете уште една операција на овие операции, елементарната математика станува повисока. Оваа нова операција се нарекува диференцијација.Дефиницијата и значењето на оваа операција ќе бидат разгледани во посебни лекции.

Овде е важно да се разбере дека диференцијацијата е едноставно математичка операција на функција. Преземаме која било функција и, според одредени правила, ја трансформираме. Резултатот ќе биде нова функција. Оваа нова функција се нарекува: дериват.

Диференцијација- дејство на функција.

Дериват- резултатот од оваа акција.

Исто како, на пример, сума- резултат од додавање. Или приватен- резултат на поделба.

Знаејќи ги термините, можете барем да ги разберете задачите.) Формулациите се следни: најдете извод на функција; земете го дериватот; диференцирајте ја функцијата; пресметај изводи така натаму. Ова е се исто.Секако, има и посложени задачи, каде што наоѓањето на дериватот (диференцијацијата) ќе биде само еден од чекорите во решавањето на проблемот.

Дериватот е означен со цртичка во горниот десен агол на функцијата. Како ова: y"или f"(x)или S"(t)и така натаму.

Читање igrek stroke, ef stroke from x, es stroke from te,Па, разбираш...)

Простиот број може да го означи и изводот на одредена функција, на пример: (2x+3)", (х 3 )" , (синкс)"итн. Честопати дериватите се означуваат со употреба на диференцијали, но ние нема да ја разгледаме таквата нотација во оваа лекција.

Да претпоставиме дека научивме да ги разбираме задачите. Останува само да научиме како да ги решиме.) Дозволете ми уште еднаш да ве потсетам: наоѓањето на изводот е трансформација на функција според одредени правила.Изненадувачки, има многу малку од овие правила.

За да го пронајдете изводот на функцијата, треба да знаете само три работи. Три столба на кои стои сета диференцијација. Еве ги овие три столба:

1. Табела на деривати (формули за диференцијација).

3. Извод на сложена функција.

Да почнеме по ред. Во оваа лекција ќе ја разгледаме табелата со деривати.

Табела на деривати.

Во светот има бесконечен број на функции. Меѓу овој сет има функции кои се најважни за практична употреба. Овие функции се наоѓаат во сите закони на природата. Од овие функции, како од тули, можете да ги конструирате сите други. Оваа класа на функции се нарекува елементарни функции.Токму овие функции се изучуваат на училиште - линеарни, квадратни, хиперболи итн.

Диференцијација на функциите „од нула“, т.е. Врз основа на дефиницијата за дериват и теоријата на граници, ова е прилично трудоинтензивна работа. И математичарите се луѓе, да, да!) Па тие го поедноставија нивниот (и нас) животот. Тие ги пресметаа изводите на елементарните функции пред нас. Резултатот е табела на деривати, каде што сè е подготвено.)

Еве ја, оваа плоча за најпопуларните функции. Лево е елементарна функција, десно е нејзиниот дериват.

	Функција y	Извод на функцијата y y"
1	C (константна вредност)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - кој било број)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	грев х	(грев х)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - грев x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	арктан x
	arcctg x
4	а x
	д x
5	дневник а x
	n x ( a = e)

Препорачувам да се обрне внимание на третата група на функции во оваа табела на деривати. Изводот на функцијата моќност е една од најчестите формули, ако не и најчестата! Дали го разбирате советот?) Да, препорачливо е да ја знаете табелата со деривати на памет. Патем, ова не е толку тешко како што може да изгледа. Обидете се да решите повеќе примери, самата табела ќе биде запаметена!)

Наоѓањето на вредноста на табелата на изводот, како што разбирате, не е најтешката задача. Затоа, многу често во такви задачи има дополнителни чипови. Или во формулацијата на задачата, или во оригиналната функција, која се чини дека не е во табелата...

Ајде да погледнеме неколку примери:

1. Најдете го изводот на функцијата y = x 3

Нема таква функција во табелата. Но, постои дериват на функцијата моќ во општа форма (трета група). Во нашиот случај n=3. Значи, заменуваме три наместо n и внимателно го запишуваме резултатот:

(х 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Тоа е тоа.

Одговор: y" = 3x 2

2. Најдете ја вредноста на изводот на функцијата y = sinx во точката x = 0.

Оваа задача значи дека прво мора да го пронајдете изводот на синусот, а потоа да ја замените вредноста x = 0во токму овој дериват. Токму по тој редослед!Во спротивно, се случува веднаш да ја заменат нулата во оригиналната функција... Од нас се бара да ја најдеме не вредноста на оригиналната функција, туку вредноста негов дериват.Изводот, да потсетам, е нова функција.

Со помош на таблетот го наоѓаме синусот и соодветниот дериват:

y" = (грев х)" = cosx

Нулата ја заменуваме во изводот:

y"(0) = cos 0 = 1

Ова ќе биде одговорот.

3. Диференцирајте ја функцијата:

Што, дали тоа инспирира?) Нема таква функција во табелата со деривати.

Дозволете ми да ве потсетам дека да се разликува функција е едноставно да се најде изводот на оваа функција. Ако заборавите на елементарната тригонометрија, барањето на дериватот на нашата функција е доста проблематично. Табелата не помага...

Но, ако видиме дека нашата функција е косинус со двоен агол, тогаш сè станува подобро веднаш!

Да Да! Запомнете дека трансформирање на оригиналната функција пред диференцијацијасосема прифатливо! И се случува да го олесни животот многу. Користејќи ја косинусната формула со двоен агол:

Оние. нашата незгодна функција не е ништо повеќе од y = cosx. И ова е функција на табелата. Веднаш добиваме:

Одговор: y" = - грев x.

Пример за напредни дипломци и студенти:

4. Најдете го изводот на функцијата:

Во табелата со деривати, се разбира, нема таква функција. Но, ако се сеќавате на елементарна математика, операции со моќи... Тогаш е сосема можно да се поедностави оваа функција. Како ова:

А x на јачина од една десетина е веќе табеларна функција! Трета група, n=1/10. Ние пишуваме директно според формулата:

Тоа е се. Ова ќе биде одговорот.

Се надевам дека сè е јасно со првиот столб на диференцијација - табелата на деривати. Останува да се справиме со двата преостанати кита. Во следната лекција ќе ги научиме правилата на диференцијација.

Операцијата за наоѓање на изводот се нарекува диференцијација.

Како резултат на решавање на проблеми за пронаоѓање на изводи на наједноставните (и не многу едноставни) функции со дефинирање на изводот како граница на односот на зголемувањето на зголемувањето на аргументот, се појави табела на деривати и прецизно дефинирани правила на диференцијација. . Први кои работеле на полето на пронаоѓање деривати биле Исак Њутн (1643-1727) и Готфрид Вилхелм Лајбниц (1646-1716).

Затоа, во нашево време, за да го пронајдете изводот на која било функција, не треба да ја пресметате горенаведената граница на односот на зголемувањето на функцијата кон зголемувањето на аргументот, туку треба да ја користите само табелата на деривати и правила на диференцијација. Следниот алгоритам е погоден за наоѓање на дериватот.

Да се ​​најде изводот, потребен ви е израз под знакот прв разложи едноставни функции на компонентии одреди кои дејствија (производ, збир, количник)овие функции се поврзани. Следно, изводите на елементарните функции ги наоѓаме во табелата со деривати, а формулите за дериватите на производот, збирот и количникот - во правилата за диференцијација. Табелата за деривати и правилата за диференцијација се дадени по првите два примери.

Пример 1.Најдете го изводот на функцијата

Решение. Од правилата на диференцијација дознаваме дека изводот на збир на функции е збир на изводи на функции, т.е.

Од табелата со деривати дознаваме дека изводот на „x“ е еднаков на еден, а изводот на синус е еднаков на косинус. Ги заменуваме овие вредности во збир на деривати и го наоѓаме изводот што го бара состојбата на проблемот:

Пример 2.Најдете го изводот на функцијата

Решение. Диференцираме како извод на збир во кој вториот член има постојан фактор, може да се извади од знакот на изводот:

Ако сè уште се појавуваат прашања за тоа од каде доаѓа нешто, тие обично се расчистуваат откако ќе се запознаете со табелата на деривати и наједноставните правила на диференцијација. Во моментов продолжуваме кон нив.

Табела на деривати на едноставни функции

1. Извод на константа (број). Било кој број (1, 2, 5, 200...) што е во функционалниот израз. Секогаш еднаква на нула. Ова е многу важно да се запамети, бидејќи се бара многу често
2. Извод на независната променлива. Најчесто „Х“. Секогаш еднаков на еден. Ова е исто така важно да се запамети долго време
3. Извод на степен. Кога решавате проблеми, треба да ги претворите неквадратните корени во моќи.
4. Извод на променлива со моќност -1
5. Извод на квадратен корен
6. Дериват на синус
7. Извод на косинус
8. Извод на тангента
9. Дериват на котангенс
10. Дериват на арсин
11. Дериват на аркозин
12. Дериват на арктангенс
13. Дериват на лак котангенс
14. Извод на природниот логаритам
15. Извод на логаритамска функција
16. Извод на експонентот
17. Извод на експоненцијална функција

Правила за диференцијација

1. Извод на збир или разлика
2. Дериват на производот
2а. Извод на израз помножен со константен фактор
3. Извод на количник
4. Извод на сложена функција

Правило 1.Доколку функциите

се диференцијабилни во одреден момент, тогаш функциите се диференцијабилни во истата точка

и

тие. изводот на алгебарскиот збир на функции е еднаков на алгебарскиот збир на изводите на овие функции.

Последица. Ако две диференцијабилни функции се разликуваат за константен член, тогаш нивните изводи се еднакви, т.е.

Правило 2.Доколку функциите

се разликуваат во одреден момент, тогаш нивниот производ е диференцијабилен во истата точка

и

тие. Изводот на производот на две функции е еднаков на збирот на производите на секоја од овие функции и изводот на другата.

Заклучок 1. Константниот фактор може да се извади од знакот на дериватот:

Заклучок 2. Изводот на производот на неколку диференцијабилни функции е еднаков на збирот на производите на изводот на секој фактор и на сите други.

На пример, за три множители:

Правило 3.Доколку функциите

може да се разликува во одреден момент И , тогаш во овој момент нивниот количник е исто така диференцијабиленu/v и

тие. изводот на количникот на две функции е еднаков на дропка, чиј броител е разликата помеѓу производите на именителот и изводот на броителот и броителот и изводот на именителот, а именителот е квадратот на поранешниот броител.

Каде да барате работи на други страници

При наоѓање на дериват на производ и количник во реални проблеми, секогаш е неопходно да се применат неколку правила за диференцијација одеднаш, така што има повеќе примери за овие деривати во статијата„Дериват на производот и количник на функции“.

Коментар.Не треба да мешате константа (односно бројка) како член во збир и како константен фактор! Во случај на член, неговиот извод е еднаков на нула, а во случај на постојан фактор, тој се вади од знакот на изводите. Ова е типична грешка што се јавува во почетната фаза од изучувањето на дериватите, но додека просечниот студент решава неколку примери од еден и два дела, тој повеќе не ја прави оваа грешка.

И ако, кога разликувате производ или количник, имате термин u"v, во која u- број, на пример, 2 или 5, односно константа, тогаш изводот на овој број ќе биде еднаков на нула и, според тоа, целиот член ќе биде еднаков на нула (овој случај се дискутира во примерот 10).

Друга честа грешка е механичкото решавање на изводот на сложена функција како извод на едноставна функција. Затоа извод на сложена функцијае посветена посебна статија. Но, прво ќе научиме да наоѓаме деривати на едноставни функции.

На патот, не можете без да ги трансформирате изразите. За да го направите ова, можеби ќе треба да го отворите прирачникот во нови прозорци. Дејства со моќ и корениИ Операции со дропки .

Ако барате решенија за деривати на дропки со сили и корени, односно кога функцијата изгледа како , потоа следете ја лекцијата „Дериват на збирови на дропки со сили и корени“.

Ако имате задача како , потоа ќе ја земете лекцијата „Деривати на едноставни тригонометриски функции“.

Примери чекор-по-чекор - како да се најде изводот

Пример 3.Најдете го изводот на функцијата

Решение. Ги дефинираме деловите на функционалниот израз: целиот израз претставува производ, а неговите фактори се збирови, од кои во вториот еден од поимите содржи константен фактор. Го применуваме правилото за диференцијација на производот: изводот на производот од две функции е еднаков на збирот на производите на секоја од овие функции со изводот на другата:

Следно, го применуваме правилото за диференцијација на збирот: изводот на алгебарскиот збир на функции е еднаков на алгебарскиот збир на изводите на овие функции. Во нашиот случај, во секоја сума вториот член има знак минус. Во секој збир гледаме и независна променлива, чиј извод е еднаков на еден, и константа (број), чиј извод е еднаков на нула. Значи, „Х“ се претвора во едно, а минус 5 се претвора во нула. Во вториот израз, „x“ се множи со 2, па множиме два со иста единица како изводот на „x“. Ги добиваме следните изводни вредности:

Пронајдените деривати ги заменуваме во збир на производи и го добиваме изводот на целата функција што ја бара состојбата на проблемот:

И можете да го проверите решението на проблемот со дериватот на.

Пример 4.Најдете го изводот на функцијата

Решение. Од нас се бара да го најдеме изводот на количникот. Ја применуваме формулата за диференцијација на количникот: изводот на количникот на две функции е еднаков на дропка, чиј броител е разликата помеѓу производите на именителот и изводот на броителот и броителот и изводот на именителот, а именителот е квадратот на поранешниот броител. Добиваме:

Веќе го најдовме изводот на множителите во броителот во примерот 2. Да не заборавиме и дека производот, кој е втор фактор во броителот во тековниот пример, се зема со знак минус:

Ако барате решенија за проблеми во кои треба да го пронајдете изводот на функцијата, каде што има континуиран куп корени и моќи, како на пример, , тогаш добредојдовте на час „Дериват на збирови на дропки со сили и корени“ .

Ако треба да дознаете повеќе за дериватите на синусите, косинусите, тангентите и другите тригонометриски функции, односно кога функцијата изгледа како , тогаш лекција за вас „Деривати на едноставни тригонометриски функции“ .

Пример 5.Најдете го изводот на функцијата

Решение. Во оваа функција гледаме производ, чиј еден од факторите е квадратниот корен на независната променлива, чиј извод се запознавме во табелата со деривати. Користејќи го правилото за разликување на производот и табеларната вредност на дериватот на квадратниот корен, добиваме:

Можете да го проверите решението на проблемот со изводот на онлајн калкулатор за деривати .

Пример 6.Најдете го изводот на функцијата

Решение. Во оваа функција гледаме количник чија дивиденда е квадратен корен на независната променлива. Користејќи го правилото за диференцијација на количниците, кое го повторивме и применивме во примерот 4, и табеларната вредност на изводот на квадратниот корен, добиваме:

За да се ослободите од дропка во броителот, помножете ги броителот и именителот со .

Многу лесно се памети.

Па, да не одиме далеку, веднаш да ја разгледаме инверзната функција. Која функција е инверзна на експоненцијалната функција? Логаритам:

Во нашиот случај, основата е бројот:

Таквиот логаритам (т.е. логаритам со основа) се нарекува „природен“ и користиме посебна нотација за него: наместо тоа пишуваме.

На што е еднакво? Секако, .

Дериватот на природниот логаритам е исто така многу едноставен:

Примери:

1. Најдете го изводот на функцијата.
2. Кој е изводот на функцијата?

Одговори: Експоненцијалниот и природниот логаритам се уникатно едноставни функции од перспектива на извод. Експоненцијалните и логаритамските функции со која било друга основа ќе имаат различен извод, кој ќе го анализираме подоцна, откако ќе ги поминеме правилата за диференцијација.

Правила за диференцијација

Правила за што? Пак нов мандат, пак?!...

Диференцијацијае процес на пронаоѓање на дериватот.

Тоа е се. Како друго можете да го наречете овој процес со еден збор? Не извод... Математичарите диференцијалот го нарекуваат исто зголемување на функцијата во. Овој термин доаѓа од латинската диференција - разлика. Еве.

Кога ги изведуваме сите овие правила, ќе користиме две функции, на пример, и. Ќе ни требаат и формули за нивните зголемувања:

Има вкупно 5 правила.

Константата се вади од дериватниот знак.

Ако - некој константен број (константа), тогаш.

Очигледно ова правило работи и за разликата: .

Да го докажеме тоа. Нека биде, или поедноставно.

Примери.

Најдете ги изводите на функциите:

1. во точка;
2. во точка;
3. во точка;
4. во точката.

Решенија:

1. (изводот е ист во сите точки, бидејќи е линеарна функција, се сеќавате?);

Дериват на производот

Сè е слично овде: да воведеме нова функција и да го најдеме нејзиниот прираст:

Дериват:

Примери:

1. Најди ги изводите на функциите и;
2. Најдете го изводот на функцијата во точка.

Решенија:

Извод на експоненцијална функција

Сега вашето знаење е доволно за да научите како да го пронајдете изводот на која било експоненцијална функција, а не само на експоненти (зарем сте заборавиле што е тоа уште?).

Значи, каде е некој број.

Веќе го знаеме изводот на функцијата, па ајде да се обидеме да ја намалиме нашата функција на нова база:

За да го направите ова, ќе користиме едноставно правило: . Потоа:

Па, успеа. Сега обидете се да го пронајдете изводот и не заборавајте дека оваа функција е сложена.

Се случи?

Еве, проверете се:

Се покажа дека формулата е многу слична на дериватот на експонент: како што беше, таа останува иста, се појави само фактор, кој е само број, но не и променлива.

Примери:
Најдете ги изводите на функциите:

Одговори:

Ова е само бројка што не може да се пресмета без калкулатор, односно не може да се запише во поедноставна форма. Затоа, го оставаме во оваа форма во одговорот.

Забележете дека тука е количникот на две функции, така што го применуваме соодветното правило за диференцијација:

Во овој пример, производ на две функции:

Извод на логаритамска функција

Слично е овде: веќе го знаете дериватот на природниот логаритам:

Затоа, да се најде произволен логаритам со различна основа, на пример:

Треба да го намалиме овој логаритам на основата. Како се менува основата на логаритам? Се надевам дека се сеќавате на оваа формула:

Само сега наместо тоа ќе напишеме:

Именителот е едноставно константа (константен број, без променлива). Дериватот се добива многу едноставно:

Деривати на експоненцијални и логаритамски функции речиси никогаш не се наоѓаат во обединетиот државен испит, но нема да биде излишно да се знаат.

Извод на сложена функција.

Што е „комплексна функција“? Не, ова не е логаритам, ниту арктангенс. Овие функции може да бидат тешки за разбирање (иако ако ви е тежок логаритмот, прочитајте ја темата „Логаритми“ и ќе бидете во ред), но од математичка гледна точка, зборот „комплекс“ не значи „тешко“.

Замислете мала подвижна лента: две лица седат и прават некои активности со некои предмети. На пример, првиот завиткува чоколадна лента во обвивка, а втората ја врзува со лента. Резултатот е композитен предмет: чоколадна лента завиткана и врзана со лента. За да јадете чоколадна лента, треба да ги направите обратните чекори во обратен редослед.

Ајде да создадеме сличен математички цевковод: прво ќе го најдеме косинусот на некој број, а потоа ќе го квадратиме добиениот број. Значи, ни се дава број (чоколадо), јас го наоѓам неговиот косинус (обвивка), а потоа го квадрирате она што го добив (врзете го со лента). Што се случи? Функција. Ова е пример за сложена функција: кога, за да ја најдеме нејзината вредност, го извршуваме првото дејство директно со променливата, а потоа второто дејство со она што произлегло од првото.

Со други зборови, комплексна функција е функција чиј аргумент е друга функција: .

За нашиот пример,.

Можеме лесно да ги правиме истите чекори во обратен редослед: прво го квадратите, а потоа го барам косинусот на добиениот број: . Лесно е да се погоди дека резултатот скоро секогаш ќе биде различен. Важна карактеристика на сложените функции: кога се менува редоследот на дејствата, функцијата се менува.

Втор пример: (истото). .

Дејството што го правиме последно ќе се вика „надворешна“ функција, и дејството извршено прво - соодветно „внатрешна“ функција(ова се неформални имиња, ги користам само за да го објаснам материјалот на едноставен јазик).

Обидете се сами да одредите која функција е надворешна, а која внатрешна:

Одговори:Одвојувањето на внатрешните и надворешните функции е многу слично на менувањето на променливите: на пример, во функција

1. Која акција прво ќе ја извршиме? Прво, да го пресметаме синусот, па дури потоа да го коцкаме. Тоа значи дека тоа е внатрешна функција, но надворешна.
   А оригиналната функција е нивниот состав: .
2. Внатрешна: ; надворешен: .
   Испитување: .
3. Внатрешна: ; надворешен: .
   Испитување: .
4. Внатрешна: ; надворешен: .
   Испитување: .
5. Внатрешна: ; надворешен: .
   Испитување: .

Ги менуваме променливите и добиваме функција.

Па, сега ќе ја извадиме нашата чоколадна лента и ќе го бараме дериватот. Постапката е секогаш обратна: прво го бараме изводот на надворешната функција, а потоа резултатот го множиме со изводот на внатрешната функција. Во однос на оригиналниот пример, изгледа вака:

Друг пример:

Значи, конечно да го формулираме официјалното правило:

Алгоритам за наоѓање извод на сложена функција:

Се чини едноставно, нели?

Ајде да провериме со примери:

Решенија:

1) Внатрешна: ;

Надворешен: ;

2) Внатрешна: ;

(Само не обидувајте се да го пресечете досега! Ништо не излегува од косинусот, се сеќавате?)

3) Внатрешна: ;

Надворешен: ;

Веднаш е јасно дека ова е сложена функција на три нивоа: на крајот на краиштата, ова е веќе сложена функција сама по себе, а ние исто така го извлекуваме коренот од него, односно го извршуваме третото дејство (ставете ја чоколадата во обвивка и со лента во актовката). Но, нема причина да се плашиме: ние сепак ќе ја „отпакуваме“ оваа функција по истиот редослед како и обично: од крајот.

Односно, прво го разликуваме коренот, па косинусот, па дури потоа изразот во загради. И тогаш сето тоа го множиме.

Во такви случаи, погодно е да се нумерираат дејствата. Односно, да замислиме што знаеме. По кој редослед ќе извршиме дејствија за да ја пресметаме вредноста на овој израз? Ајде да погледнеме на пример:

Колку подоцна се изврши дејството, толку „понадворешна“ ќе биде соодветната функција. Редоследот на дејствата е ист како и претходно:

Овде гнездото е генерално на 4 нивоа. Ајде да го одредиме текот на дејствувањето.

1. Радикално изразување. .

2. Корен. .

3. Синус. .

4. Плоштад. .

5. Спојување на сето тоа заедно:

ДЕРИВАТИВ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНИТЕ РАБОТИ

Извод на функција- односот на зголемувањето на функцијата со зголемувањето на аргументот за бесконечно мало зголемување на аргументот:

Основни деривати:

Правила за диференцијација:

Константата се вади од дериватниот знак:

Извод на збирот:

Дериват на производот:

Извод на количникот:

Извод на сложена функција:

Алгоритам за пронаоѓање на извод на сложена функција:

1. Ја дефинираме „внатрешната“ функција и го наоѓаме нејзиниот дериват.
2. Ја дефинираме функцијата „надворешна“ и го наоѓаме нејзиниот дериват.
3. Ги множиме резултатите од првата и втората точка.