Во кои случаи знакот се менува во равенката? Нееднаквости. Видови неравенки

Теорија:

При решавање на нееднаквости, се користат следниве правила:

1. Секој член на неравенката може да се пренесе од еден дел
нееднаквост во друг со спротивен знак, но знакот на нееднаквоста не се менува.

2. Двете страни на неравенката може да се помножат или поделат со едно
и исто така позитивен бројбез промена на знакот на нееднаквост.

3. Двете страни на неравенката може да се помножат или поделат со едно
и исто така негативен број, менувајќи го знакот за нееднаквост во
спротивно.

Решете ја нееднаквоста − 8 x + 11< − 3 x − 4
Решение.

1. Да го поместиме пенисот − 3 xВ лева странанееднаквости и поимот 11 - на десната страна на нееднаквоста, притоа менувајќи ги знаците на спротивните − 3 xи во 11 .
Потоа добиваме

− 8 x + 3 x< − 4 − 11

− 5 x< − 15

2. Да ги поделиме двете страни на неравенката − 5 x< − 15 до негативен број − 5 , и знакот за нееднаквост < , ќе се промени во > , т.е. преминуваме кон нееднаквост со спротивно значење.
Добиваме:

− 5 x< − 15 | : (− 5 )

x > − 15 : (− 5 )

x > 3

x > 3— решение на дадена неравенка.

Внимавај!

Постојат две опции за пишување решение: x > 3или како бројен интервал.

Да го означиме множеството решенија на неравенството на бројната права и да го напишеме одговорот во форма на нумерички интервал.

x ∈ (3 ; + ∞ )

Одговор: x > 3или x ∈ (3 ; + ∞ )

Алгебарски неравенки.

Квадратни нееднаквости. Рационални нееднаквости од повисоки степени.

Методите за решавање на неравенки главно зависат од тоа на која класа припаѓаат функциите што ја сочинуваат неравенката.

1. Јас. Квадратни нееднаквости, односно неравенки на формата

секира 2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.

За да ја решите нееднаквоста можете:

1. Квадратен триномфакторизирај, односно напиши ја неравенството во форма

a (x - x 1) (x - x 2) > 0 (< 0).

1. Нацртај ги корените на полиномот на бројната права. Корените го делат множеството реални броеви во интервали, од кои секој има соодветен квадратна функцијаќе биде со постојан знак.
2. Одреди го знакот a (x - x 1) (x - x 2) во секој интервал и запиши го одговорот.

Ако квадратниот трином нема корени, тогаш за Д<0 и a>0 квадратен трином е позитивен за кој било x.

• Решете ја нееднаквоста. x 2 + x - 6 > 0.

Факторирајте го квадратниот трином (x + 3) (x - 2) > 0

Одговор: x (-∞; -3) (2; +∞).

2) (x - 6) 2 > 0

Оваа неравенка е точно за кој било x освен x = 6.

Одговор: (-∞; 6) (6; +∞).

3) x² + 4x + 15< 0.

Еве Д< 0, a = 1 >0. Квадратниот трином е позитивен за сите x.

Одговор: x Î Ø.

Решавање на неравенки:

1. 1 + x - 2x²< 0. Ответ:
2. 3x² - 12x + 12 ≤ 0. Одговор:
3. 3x² - 7x + 5 ≤ 0. Одговор:
4. 2x² - 12x + 18 > 0. Одговор:
5. За кои вредности на a е нееднаквоста

x² - секира > важи за кој било x? Одговор:

1. II. Рационални нееднаквости од повисоки степени,односно неравенки на формата

a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 > 0 (<0), n>2.

Полином највисок степентреба да се факторизира, односно да се запише неравенството во форма

a n (x - x 1) (x - x 2) ·…· (x - x n) > 0 (<0).

Обележете ги точките на бројната права каде што полиномот исчезнува.

Определи ги знаците на полиномот на секој интервал.

1) Решете ја неравенката x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x< 0.

x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x = x (x 3 - 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2 - 5x 2 + 5x +6x - 6) =x (x - 1) (x 2 -5x + 6) =

x (x - 1) (x - 2) (x - 3). Значи x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0

Одговор: (0; 1) (2; 3).

2) Решете ја неравенката (x -1) 5 (x + 2) (x - ½) 7 (2x + 1) 4<0.

Да ги означиме точките на бројната оска на која исчезнува полиномот. Тоа се x = 1, x = -2, x = ½, x = - ½.

Во точката x = - ½ нема промена на знакот бидејќи биномот (2x + 1) е подигнат на парна моќност, односно изразот (2x + 1) 4 не го менува знакот кога минува низ точката x = - ½.

Одговор: (-∞; -2) (½; 1).

3) Решете ја неравенката: x 2 (x + 2) (x - 3) ≥ 0.

Оваа неравенка е еквивалентна на следното множество

Решението на (1) е x (-∞; -2) (3; +∞). Решението на (2) е x = 0, x = -2, x = 3. Со комбинирање на добиените решенија се добива x О (-∞; -2] (0) (0)

Пример 1.Дали се вистинити неравенките 5 0, 0 0?

Неравенството 5 0 е сложено тврдење кое се состои од две едноставни искази поврзани со логичкото сврзно „или“ (дисјункција). Или 5 > 0 или 5 = 0. Првата изјава 5 > 0 е точно, втората изјава 5 = 0 е неточна. Според дефиницијата за дисјункција, таква сложена изјава е вистинита.

Записот 00 се дискутира на сличен начин.

Неравенки на формата a > b, a< b ќе ги наречеме строги, а нееднаквости на формата ab, ab- не строго.

Нееднаквости a > bИ c > d(или А< b И Со< d ) ќе се нарекуваат неравенки со исто значење, и неравенки a > bИ в< d - нееднаквости со спротивно значење. Забележете дека овие два поима (неравенки со исто и спротивно значење) се однесуваат само на формата на пишување на неравенките, а не на самите факти изразени со овие неравенки. Значи, во однос на нееднаквоста А< b нееднаквост Со< d е неравенство со исто значење, а во ознаката d>c(значи истото) - нееднаквост со спротивно значење.

Заедно со неравенки на формата а>б, abсе користат таканаречените двојни неравенки, т.е. неравенки на формата А< с < b , ак< b , а< cb ,
аcb. По дефиниција, рекорд

А< с < b (1)
значи дека и двете неравенки важат:

А< с И Со< b.

Неравенките имаат слично значење acb, ac< b, а < сb.

Двојната неравенка (1) може да се запише на следниов начин:

(а< c < b) [(a < c) & (c < b)]

и двојна нееднаквост a ≤ c ≤ bможе да се напише во следнава форма:

(а в б) [(а< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)]

Сега да продолжиме со презентацијата на основните својства и правилата за дејствување на нееднаквостите, откако се согласивме дека во оваа статија буквите а, б, возначуваат реални броеви, А nзначи природен број.

1) Ако a > b и b > c, тогаш a > c (транзитивност).

Доказ.

Бидејќи по услов a > bИ b > c, потоа бројките а - бИ б - все позитивни, а со тоа и бројот a - c = (a - b) + (b - c), како збир на позитивни броеви, исто така е позитивен. Ова по дефиниција значи дека а > в.

2) Ако a > b, тогаш за кое било c важи неравенката a + c > b + c.

Доказ.

Бидејќи a > b, потоа бројот а - бпозитивно. Затоа, бројот (a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - bе исто така позитивен, т.е.
a + c > b + c.

3) Ако a + b > c, тогаш a > b - c,односно секој член може да се префрли од еден дел на неравенката во друг со промена на знакот на овој член во спротивен.

Доказот произлегува од својството 2) доволно е за двете страни на неравенката a + b > cдодадете број - б.

4) Ако a > b и c > d, тогаш a + c > b + d,односно при собирање на две неравенки со исто значење се добива неравенство со исто значење.

Доказ.

Врз основа на дефиницијата за нееднаквост, доволно е да се покаже дека разликата
(а + в) - (б + в)позитивен. Оваа разлика може да се напише на следниов начин:
(а + в) - (б + г) = (а - б) + (в - г).
Бидејќи според условот на бројот а - бИ в - гтогаш се позитивни (а + в) - (б + г)има и позитивен број.

Последица. Од правилата 2) и 4) следува следното правилоодземање на неравенки: ако a > b, c > d, Тоа a - d > b - c(за доказ доволно е да се применат двете страни на нееднаквоста a + c > b + dдодадете број - в - г).

5) Ако a > b, тогаш за c > 0 имаме ac > bc, а за c< 0 имеем ас < bc.

Со други зборови, кога се множат двете страни на неравенка со кој било позитивен број, знакот за неравенство се зачувува (т.е. се добива неравенство со исто значење), но кога се множи со негативен број, знакот за неравенство се менува во спротивен (т.е. се добива нееднаквост со спротивно значење.

Доказ.

Ако a > b, Тоа а - бе позитивен број. Затоа, знакот на разликата ак-п.н.е = такси)се совпаѓа со знакот на бројот Со: Ако Сое позитивен број, тогаш разликата ак - п.н.ее позитивен и затоа ac > п.н.е, и ако Со< 0 , тогаш оваа разлика е негативна и затоа п.н.е. - акпозитивно, т.е. bc > ac.

6) Ако a > b > 0 и c > d > 0, тогаш ac > bd,односно, ако сите поими на две неравенки со исто значење се позитивни, тогаш при множење на овие неравенки по член по член се добива неравенство со исто значење.

Доказ.

Ние имаме ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d). Бидејќи c > 0, b > 0, a - b > 0, c - d > 0, потоа ac - bd > 0, т.е. ac > bd.

Коментар.Од доказот јасно се гледа дека состојбата d > 0во формулацијата на имотот 6) е неважно: за ова својство да важи, доволно е да се исполнат условите a > b > 0, c > d, c > 0. Ако (ако неравенките се исполнети a > b, c > d) броеви а, б, внема сите да бидат позитивни, тогаш нееднаквоста ac > bdможе да не се исполни. На пример, кога А = 2, б =1, в= -2, г= -3 имаме a > b, c > г, но нееднаквост ac > bd(т.е. -4 > -3) не успеа. Така, барањето броевите a, b, c да бидат позитивни во формулацијата на својството 6) е суштинско.

7) Ако a ≥ b > 0 и c > d > 0, тогаш (поделба на неравенки).

Доказ.

Ние имаме Броителот на дропката од десната страна е позитивен (види својства 5), 6)), именителот е исто така позитивен. Оттука,. Ова докажува својство 7).

Коментар.Да забележиме една важна посебен случајправило 7), се добива кога a = b = 1: ако c > d > 0, тогаш. Така, ако поимите на неравенството се позитивни, тогаш кога преминуваме на реципроците добиваме неравенство со спротивно значење. Ги покануваме читателите да проверат дали ова правило важи и за 7) Ако ab > 0 и c > d > 0, тогаш (поделба на неравенки).

Доказ. Тоа.

Погоре докажавме неколку својства на неравенки напишани со знакот > (повеќе). Сепак, сите овие својства може да се формулираат со користење на знакот < (помалку), бидејќи нееднаквоста б< а значи, по дефиниција, исто што и нееднаквоста a > b. Покрај тоа, како што е лесно да се потврди, својствата докажани погоре се зачувани и за нестроги нееднаквости. На пример, својството 1) за нестроги неравенки ќе има следен поглед: Ако аб и п.н.е, Тоа ак.

Се разбира, горенаведеното не ги ограничува општите својства на нееднаквостите. Исто така постои цела линијанееднаквости општ погледповрзани со разгледување на моќност, експоненцијална, логаритамска и тригонометриски функции. Општиот пристап за пишување на овој вид неравенки е како што следува. Ако некоја функција y = f(x)монотоно се зголемува на сегментот [а, б], тогаш за x 1 > x 2 (каде што x 1 и x 2 припаѓаат на оваа отсечка) имаме f (x 1) > f(x 2). Исто така, ако функцијата y = f(x)монотоно се намалува на интервалот [а, б], тогаш кога x 1 > x 2 (каде x 1И X 2 припаѓаат на овој сегмент) имаме f(x 1)< f(x 2 ). Се разбира, она што е кажано не се разликува од дефиницијата за монотоност, но оваа техника е многу погодна за меморирање и пишување нееднаквости.

Така, на пример, за кој било природен број n функцијата y = xnмонотоно се зголемува долж зракот }