+ – 0;2 P; 4 P. - 2 P; -4 P. P -11 P 6 P -7 P 4 P -5 P 3 2 P -4 P 3 3 P -4 P P -7 P P -5 P P -3 P -2 P P 2 P 2 9 P 2 5 P 2 P 2 11 P 2 7 P 2 3 P 2 11 P 2 7 P 2 3 P 2 5 P; 3 P; P. -5 P;-3 P;- P. 360° 30° 60° 45° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° X y 0
0 y X 5 P,14 -P-P ± P 2P 2 ± P P k, k Z (-1) k P 4P 4 + P g, g Z P 3P 3 ± + 2 P n, n Z P 6P 6 + P 3P 3 m , m Z Најдете ги точките што одговараат на следните броеви
0 y X - P +2 P k, k Z P 3P P n, n Z P m, m Z P (+ m), m Z 2P 32P P n, n Z P 2P 2 P P n, n Z 1 3 P (+2 l ), l Z Најдете ги точките што одговараат на следните броеви
1. На која четвртина од кругот на броеви припаѓа точката А?Прво. Б. Второ. V. Трето. G. Четврто. 2. На која четвртина од кругот на броеви припаѓа точката А?Прво. Б. Второ. V. Трето. G. Четврто. 3. Определи ги знаците на броевите a и b ако: A. a>0, b>0. B. a 0. B. a>0, b0, b 0"> 0, b>0. B. a 0. B. a>0, b0, b"> 0" title="1. Која четвртина од кругот на броеви ја покажува точката A. Прво. Б. Второ. В. Трето. Г. Четврто. 2. На која четвртина од кругот на броеви припаѓа точката А. Прво. Б. Второ. В. Трето. Г. Четврта? 3. Определи ги знаците на броевите a и b ако : A. a>0"> title="1. На која четвртина од кругот на броеви припаѓа точката А?Прво. Б. Второ. V. Трето. G. Четврто. 2. На која четвртина од кругот на броеви припаѓа точката А?Прво. Б. Второ. V. Трето. G. Четврто. 3. Определи ги знаците на броевите a и b ако: A. a>0"> !}
Очигледно, првата привлечност на човештвото кон она што подоцна ќе се нарече сферична геометрија беше планетарната теорија на грчкиот математичар Евдокс (околу 408–355), еден од учесниците на Академијата на Платон. Тоа беше обид да се објасни движењето на планетите околу Земјата со помош на четири ротирачки концентрични сфери, од кои секоја имаше посебна оска на ротација со краевите фиксирани на сферата што ја заградува, на која, пак, ѕвездите беа „прикован“. На овој начин беа објаснети сложените траектории на планетите (преведено од грчки, „планета“ значи талкање). Благодарение на овој модел, античките грчки научници можеа сосема точно да ги опишат и предвидат движењата на планетите. Ова беше неопходно, на пример, во навигацијата, како и во многу други „земни“ задачи, каде што беше неопходно да се земе предвид дека Земјата не е рамна палачинка што се потпира на три столба. Значаен придонес за сферичната геометрија дал Менелај Александриски (околу 100 г. н.е.). Негова работа Сферистанал врв на грчките достигнувања во оваа област. ВО Сферикесе разгледуваат сферични триаголници - тема што ја нема кај Евклид. Менелај ја пренел Евклидовата теорија за рамни триаголници на сферата и, меѓу другото, добил состојба под која три точки на страните на сферичен триаголник или нивните продолжетоци лежат на иста права линија. Соодветната теорема за рамнината беше веќе надалеку позната во тоа време, но таа влезе во историјата на геометријата токму како теоремата на Менелај и, за разлика од Птоломеј (околу 150 г.), кој имаше многу пресметки во неговите дела, трактатот на Менелај е геометриски строго во духот на Евклидовата традиција .
Основни принципи на сферична геометрија.
Секоја рамнина што пресекува сфера создава круг во пресек. Ако рамнината минува низ центарот на сферата, тогаш пресекот резултира во таканаречен голем круг. Низ кои било две точки на сфера, освен оние што се дијаметрално спротивни, може да се повлече еден голем круг. (На земјината топка, пример за голем круг е екваторот и сите меридијани.) Бесконечен број на големи кругови минуваат низ дијаметрално спротивни точки. Помал лак AmB(сл. 1) од големиот круг е најкратката од сите линии на сферата што ги поврзува дадените точки. Оваа линија се нарекува геодетски. Геодетските линии ја играат истата улога на сферата како прави линиите во планиметријата. Многу одредби за геометријата на рамнината важат и за сферата, но, за разлика од рамнината, две сферични линии се сечат на две дијаметрално спротивни точки. Така, концептот на паралелизам едноставно не постои во сферичната геометрија. Друга разлика е што сферичната линија е затворена, т.е. движејќи се по него во иста насока, ќе се вратиме на почетната точка; точката не ја дели линијата на два дела. И уште еден изненадувачки факт од гледна точка на планиметријата е дека триаголникот на сфера може да ги има сите три прави агли.
Прави, отсечки, растојанија и агли на сфера.
Големите кругови на сферата се сметаат за прави линии. Ако две точки припаѓаат на голем круг, тогаш должината на помалиот од лаците што ги поврзуваат овие точки се дефинира како сферично растојаниепомеѓу овие точки, а самиот лак е како сферичен сегмент. Дијаметрално спротивни точки се поврзани со бесконечен број на сферични сегменти - големи полукругови. Должината на сферичниот сегмент се одредува преку радијанската мерка на централниот агол a и радиусот на сферата Р(сл. 2), според формулата за должина на лакот е еднаква на Ра. Секоја точка СОсферичен сегмент АБја дели на два дела, а збирот на нивните сферични должини, како во планиметријата, е еднаков на должината на целиот сегмент, т.е. Р AOC+ Р УТВ= П AOB. За која било точка Днадвор од сегментот АБпостои „нееднаквост на сферичен триаголник“: збирот на сферичните растојанија од Дпред Аи од Дпред ВОповеќе АБ, т.е. Р AOD+ Р ДОБ> Р AOB, – целосна кореспонденција помеѓу сферични и рамни геометрии. Неравенката на триаголникот е една од основните во сферичната геометрија; од неа произлегува дека, како и во планиметријата, сферичниот сегмент е пократок од која било сферична скршена линија, а со тоа и секоја крива на сферата што ги поврзува нејзините краеви.
На ист начин, многу други концепти на планиметријата можат да се пренесат на сферата, особено оние што можат да се изразат преку растојанија. На пример, сферичен круг– збир на точки на сферата еднакво оддалечени од дадена точка Р. Лесно е да се покаже дека кругот лежи во рамнина нормална на дијаметарот на сферата RR` (сл. 3), т.е. ова е обичен рамен круг со центар на дијаметарот RR`. Но, има два сферични центри: РИ Р`. Овие центри обично се нарекуваат столбови. Ако се свртиме кон земјината топка, можеме да видиме дека станува збор за кругови како што се паралелите, а сферичните центри на сите паралели се Северниот и Јужниот Пол. Ако дијаметарот r на сферичен круг е еднаков на p/2, тогаш сферичниот круг се претвора во сферична права линија. (На земјината топка постои екваторот). Во овој случај, таков круг се нарекува поларнасекоја од точките РИ П`.
Еден од најважните концепти во геометријата е еднаквоста на фигурите. Фигурите се сметаат за еднакви ако едната може да се прикаже над друга на таков начин (со ротација и превод) да се зачуваат растојанијата. Ова важи и за сферичната геометрија.
Аглите на сферата се дефинирани на следниов начин. Кога се сечат две сферични линии аИ бНа сферата се формираат четири сферични бигони, исто како што две пресечни линии на рамнината ја делат на четири рамни агли (сл. 4). Секоја од дијагоните одговара на диедрален агол формиран од дијаметралните рамнини што содржат аИ б. А аголот помеѓу сферични прави линии е еднаков на помалиот од аглите на дијагоните што ги формираат.
Забележуваме и дека аголот P ABC, формирана на сфера од два лака на голем круг, се мери со аголот P А`п.н.е.` помеѓу тангентите на соодветните лаци во точка ВО(сл. 5) или диедрален агол формиран од дијаметрални рамнини што содржат сферични сегменти АБИ Сонцето.
На ист начин како и во стереометријата, секоја точка на сферата е поврзана со зрак извлечен од центарот на сферата до оваа точка, а секоја фигура на сферата е поврзана со спојување на сите зраци што ја сечат. Така, сферична права линија одговара на дијаметралната рамнина што ја содржи, сферичен сегмент одговара на рамнински агол, дигон одговара на диедрален агол, а сферичниот круг одговара на конусна површина чија оска минува низ половите на кругот.
Полиедарен агол со теме во центарот на сферата ја пресекува сферата долж сферичен многуаголник (сл. 6). Ова е област на сфера ограничена со скршена линија на сферични сегменти. Врските на скршената линија се страни на сферичен многуаголник. Нивните должини се еднакви на вредностите на соодветните рамни агли на полиедарниот агол и вредноста на аголот на кое било теме Аеднаков на диедралниот агол на работ ОП.
Сферичен триаголник.
Меѓу сите сферични многуаголници, сферичниот триаголник е од најголем интерес. Три големи кругови, кои се сечат во парови на две точки, формираат осум сферични триаголници на сферата. Знаејќи ги елементите (страните и аглите) на едната од нив, можно е да се одредат елементите на сите други, па затоа ги разгледуваме односите помеѓу елементите на еден од нив, оној чии сите страни се помали од половина од големиот круг. Страните на триаголникот се мерат со рамните агли на триедарниот агол OABC, аглите на триаголникот се диедрални агли од истиот триедарски агол (сл. 7).
Многу својства на сферичен триаголник (и тие се и својства на триедарски агли) речиси целосно ги повторуваат својствата на обичниот триаголник. Меѓу нив е и неравенката на триаголникот, која, на јазикот на триедралните агли, вели дека секој рамнински агол на триедарниот агол е помал од збирот на другите два. Или, на пример, три знаци на еднаквост на триаголници. Сите планиметриски последици од споменатите теореми, заедно со нивните докази, остануваат валидни на сферата. Така, множеството точки еднакво оддалечени од краевите на отсечката исто така ќе биде на сферата нормална на неа, права линија што минува низ нејзината средина, од која произлегува дека симетралите се нормални на страните на сферичниот триаголник ABCимаат заедничка точка, или подобро кажано, две дијаметрално спротивни заеднички точки РИ Р`, кои се половите на неговиот единствен ограничен круг (сл. 8). Во стереометријата, тоа значи дека конусот може да се опише околу кој било триедарски агол. Лесно е да се пренесе на сферата теоремата дека симетралите на триаголникот се сечат во центарот на неговата кружница.
Теоремите за пресекот на висини и медијани исто така остануваат вистинити, но нивните вообичаени докази во планиметријата директно или индиректно користат паралелизам, кој не постои на сферата, и затоа е полесно да се докажуваат повторно, на јазикот на стереометријата. Ориз. Слика 9 го илустрира доказот за теоремата на сферичната медијана: рамнини што ги содржат медијаните на сферичен триаголник ABC, се сечат рамнински триаголник со исти темиња долж неговите вообичаени медијани, затоа, сите тие го содржат радиусот на сферата што минува низ пресечната точка на рамнините медијани. Крајот на радиусот ќе биде заедничка точка на трите „сферични“ медијани.
Својствата на сферичните триаголници на многу начини се разликуваат од својствата на триаголниците на рамнината. Така, на познатите три случаи на еднаквост на праволиниски триаголници, се додава четвртина: два триаголници ABCИ А`В`С` се еднакви ако три агли P се еднакви, соодветно А= П А`, Р ВО= П ВО`, Р СО= П СО`. Така, нема слични триаголници на сферата; згора на тоа, во сферичната геометрија нема многу концепт на сличност, бидејќи Не постојат трансформации кои ги менуваат сите растојанија за ист (не еднаков на 1) број пати. Овие карактеристики се поврзани со кршење на Евклидовата аксиома на паралелни линии и се исто така својствени за геометријата на Лобачевски. Триаголниците кои имаат еднакви елементи и различни ориентации се нарекуваат симетрични, како што се триаголниците AC`СОИ VSS` (Слика 10).
Збирот на аглите на кој било сферичен триаголник е секогаш поголем од 180°. Разлика П А+Стр ВО+Стр СО -стр = d (мерено во радијани) е позитивна големина и се нарекува топчест вишок на даден топчест триаголник. Површина на сферичен триаголник: S = R 2 г каде Ре радиусот на сферата, а d е топчестиот вишок. Оваа формула првпат ја објавил Холанѓанецот А. Жирар во 1629 година и го добил неговото име.
Ако земеме дијагонала со агол a, тогаш на 226 = 2p/ n (n -цел број) сферата може точно да се пресече Пкопии од таква дијагона, а површината на сферата е 4 nR 2 = 4p во Р= 1, значи плоштината на дијагоналата е 4p/ n= 2а. Оваа формула важи и за а = 2 стр t/nи затоа важи за сите а. Ако продолжиме со страните на топчестиот триаголник ABCи изразете ја областа на сферата преку областите на добиените бигони со агли А,ВО,СОи неговата сопствена област, тогаш можеме да дојдеме до горната формула на Жирар.
Координати на сферата.
Секоја точка на сферата е целосно одредена со наведување на два броја; овие бројки ( координати) се одредуваат на следниов начин (сл. 11). Некој голем круг е фиксиран Операција` (екватор), една од двете точки на пресек на дијаметарот на сферата ПП`, нормално на екваторијалната рамнина, со површина на сфера, на пример Р (столб), и еден од големите полукругови ПАПИзлегувајќи од столбот ( првиот меридијан). Од кои излегуваат големи полукругови П, наречени меридијани, мали кругови паралелни со екваторот, како на пр LL`, – паралели. Како една од координатите на точките Мна сферата се зема аголот q = ПОМ (висина на точка), како втор – агол j = AONпомеѓу првиот меридијан и меридијанот што минува низ точката М (географска должинаточки, броени спротивно од стрелките на часовникот).
Во географијата (на земјината топка), вообичаено е да се користи меридијанот Гринич како прв меридијан, минувајќи низ главната сала на опсерваторијата Гринич (Гринвич е околија во Лондон), тој ја дели Земјата на источна и западна хемисфера, соодветно. , а географската должина е источна или западна и измерена од 0 до 180° во двете насоки од Гринич. И наместо висината на точката во географијата, вообичаено е да се користи географска ширина на, т.е. агол НОМ = 90° – q, мерено од екваторот. Бидејќи Бидејќи екваторот ја дели Земјата на северна и јужна хемисфера, географската ширина е или северна или јужна и варира од 0 до 90 °.
Марина Федосова
Еднаш бев сведок на разговор помеѓу двајца апликанти:
– Кога треба да додадете 2πn, а кога треба да додадете πn? Само не можам да се сетам!
– И јас го имам истиот проблем.
Само сакав да им кажам: „Не треба да меморирате, но разберете!
Оваа статија е наменета првенствено до средношколците и, се надевам, ќе им помогне да ги решат наједноставните тригонометриски равенки со „разбирање“:
Круг со броеви
Заедно со концептот на бројна права, постои и концепт на круг со број. Како што знаеме, во правоаголен координатен систем, кругот со центар во точката (0;0) и радиус 1 се нарекува единична кружница.Да ја замислиме бројната права како тенка нишка и да ја навиваме околу овој круг: ќе го прикачиме потеклото (точка 0) на „десната“ точка на единечната кружница, ќе ја завиткаме позитивната полуоска спротивно од стрелките на часовникот, а негативната полу -оска во правец (сл. 1). Таков единечен круг се нарекува нумерички круг.
Својства на кругот со броеви
- Секој реален број лежи на една точка на кругот со броеви.
- Има бесконечно многу реални броеви во секоја точка на кругот со броеви. Бидејќи должината на единечниот круг е 2π, разликата помеѓу кои било два броја во една точка на кругот е еднаква на еден од броевите ±2π; ±4π; ±6π; ...
Да заклучиме: знаејќи еден од броевите од точката А, можеме да ги најдеме сите броеви од точката А.
Ајде да го нацртаме дијаметарот на AC (слика 2). Бидејќи x_0 е еден од броевите на точката А, тогаш броевите x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; ... и само тие ќе бидат броевите на точката C. Ајде да избереме еден од овие броеви, да речеме, x_0+π, и да го искористиме за да ги запишеме сите броеви од точката C: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ З. Забележете дека броевите во точките A и C може да се комбинираат во една формула: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (за k = 0; ±2; ±4; ... ги добиваме броевите на точка A, а за k = ±1; ±3; ±5; … - броеви на точката C).
Да заклучиме: знаејќи еден од броевите во една од точките A или C со дијаметар AC, можеме да ги најдеме сите броеви во овие точки.
- Два спротивни броја се наоѓаат на точките на кругот кои се симетрични во однос на оската на апсцисата.
Ајде да нацртаме вертикална акорд AB (сл. 2). Бидејќи точките A и B се симетрични во однос на оската Ox, бројот -x_0 се наоѓа во точката B и, според тоа, сите броеви на точката B се дадени со формулата: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Броевите во точките A и B ги запишуваме со една формула: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Да заклучиме: знаејќи еден од броевите во една од точките A или B на вертикалната акорд AB, можеме да ги најдеме сите броеви на овие точки. Да ја разгледаме хоризонталната акорд AD и да ги најдеме броевите на точката D (сл. 2). Бидејќи BD е дијаметар и бројот -x_0 припаѓа на точката B, тогаш -x_0 + π е еден од броевите на точката D и, според тоа, сите броеви на оваа точка се дадени со формулата x_D=-x_0+π+ 2πk ,k∈Z. Броевите во точките A и D може да се напишат со една формула: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (за k= 0; ±2; ±4; … ги добиваме броевите на точката A, а за k = ±1; ±3; ±5; … – броевите на точката D).
Да заклучиме: знаејќи еден од броевите во една од точките A или D на хоризонталната акорд AD, можеме да ги најдеме сите броеви во овие точки.
Шеснаесет главни точки на кругот со броеви
Во пракса, решавањето на повеќето од наједноставните тригонометриски равенки вклучува шеснаесет точки на круг (сл. 3). Кои се овие точки? Црвените, сините и зелените точки го делат кругот на 12 еднакви делови. Бидејќи должината на полукругот е π, тогаш должината на лакот A1A2 е π/2, должината на лакот A1B1 е π/6, а должината на лакот A1C1 е π/3.
Сега можеме да наведеме еден број во исто време: 
π/3 на C1 и
Темињата на портокаловиот квадрат се средните точки на лаците на секоја четвртина, затоа, должината на лакот A1D1 е еднаква на π/4 и, според тоа, π/4 е еден од броевите на точката D1. Користејќи ги својствата на кругот со броеви, можеме да користиме формули за да ги запишеме сите броеви на сите означени точки од нашиот круг. Координатите на овие точки се означени и на сликата (ќе го изоставиме описот на нивното стекнување).
Откако го научивме горенаведеното, сега имаме доволно подготовка за решавање на посебни случаи (за девет вредности на бројот а)наједноставните равенки.
Решавајте равенки
1)sinx=1⁄(2).
– Што се бара од нас?
– Најдете ги сите оние броеви x чиј синус е 1/2.
Да се потсетиме на дефиницијата за синус: sinx – ордината на точката на бројната кружница на која се наоѓа бројот x. Имаме две точки на кружницата чија ордината е еднаква на 1/2. Ова се краевите на хоризонталната акорд B1B2. Ова значи дека барањето „реши ја равенката sinx=1⁄2“ е еквивалентно на барањето „најди ги сите броеви во точката B1 и сите броеви во точката B2“.
2)sinx=-√3⁄2 .
Треба да ги најдеме сите броеви во точките C4 и C3.
3) sinx=1. На кругот имаме само една точка со ордината 1 - точка А2 и затоа треба да ги најдеме само сите броеви од оваа точка.
Одговор: x=π/2+2πk, k∈Z.
4)sinx=-1 .
Само точката A_4 има ордината -1. Сите броеви на оваа точка ќе бидат коњите на равенката.
Одговор: x=-π/2+2πk, k∈Z.
5) sinx=0 .
На кругот имаме две точки со ордината 0 - точки А1 и А3. Броевите можете да ги наведете во секоја од точките посебно, но со оглед на тоа што овие точки се дијаметрално спротивни, подобро е да ги комбинирате во една формула: x=πk,k∈Z.
Одговор: x=πk ,k∈Z .
6)cosx=√2⁄2 .
Да се потсетиме на дефиницијата за косинус: cosx е апсциса на точката на бројната кружница на која се наоѓа бројот x.На кругот имаме две точки со апсцисата √2⁄2 - краевите на хоризонталната акорд D1D4. Треба да ги најдеме сите броеви на овие точки. Ајде да ги запишеме, комбинирајќи ги во една формула.
Одговор: x=±π/4+2πk, k∈Z.
7) cosx=-1⁄2 .
Треба да ги најдеме броевите во точките C_2 и C_3.
Одговор: x=±2π/3+2πk , k∈Z .
10) cosx=0 .
Само точките А2 и А4 имаат апсциса 0, што значи дека сите броеви во секоја од овие точки ќе бидат решенија на равенката. 
.
Решенијата на равенката на системот се броевите во точките B_3 и B_4.<0 удовлетворяют только числа b_3
Одговор: x=-5π/6+2πk, k∈Z.
Забележете дека за која било дозволена вредност на x, вториот фактор е позитивен и, според тоа, равенката е еквивалентна на системот
Решенијата на системската равенка се бројот на точките D_2 и D_3. Броевите од точката D_2 не ја задоволуваат неравенката sinx≤0,5, но броевите од точката D_3 ја задоволуваат.
веб-страница, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до изворот.
Прашање: На кружница се избираат дијаметрално спротивни точки A и B и различна точка C. Тангентата нацртана на кружницата во точката A и правата BC се сечат во точката D. Докажете дека тангентата нацртана на кругот во точката C се преполовува сегментот А.Д. Кругот на триаголникот ABC ги допира страните AB и BC во точките M и N соодветно. Права поминува низ средната точка на наизменична струја паралелна со правата. MN ги пресекува правите BA и BC во точките D и E, соодветно. Докажи дека AD=CE.
На кругот се избираат дијаметрално спротивни точки A и B и различна точка C. Тангентата нацртана на кругот во точката A и правата BC се сечат во точката D. Докажете дека тангентата нацртана на кругот во точката C ја преполовува сегмент АД. Кругот на триаголникот ABC ги допира страните AB и BC во точките M и N соодветно. Права поминува низ средната точка на наизменична струја паралелна со правата. MN ги пресекува правите BA и BC во точките D и E, соодветно. Докажи дека AD=CE.
Одговори:
Слични прашања
- направете ги речениците комплетни. летам (обично) до Лендон
- Морфолошка анализа на зборовите подигнати и лажени
- Запишете ги карактеристиките на империјализмот
- Заеднички делител на 14 и 24
- Претворете го изразот во полином!! -2(v+1)(v+4) - (v-5)(v+5)
- Најдете го производот на вистинските корени на равенката: y^(4) - 2y^(2) - 8 = 0
- Најдете ги аглите BEN и CEN, со оглед на тоа дека се соседни и еден од нив е еден и пол пати помал од другиот.
- Во три вазни има 6, 21 и 9 сливи.За да го изедначи бројот на сливите во секоја вазна, Мадина префрлила од една во друга вазна онолку сливи колку што имало во неа.Со два трансфери го изедначила бројот на сливи во три вазни.Како го направила тоа?
- Од учебник по хемија (проучен пасус), запишете 10 најчесто користени зборови (различни делови од говорот) и 10 специјални зборови (поими и терминолошки комбинации.) Составете и запишете фрази со термини избрани од текстот
Се вчитува...
