Како да се факторизира квадратен трином? Факторирање на квадратен трином користејќи ја теоремата на Виета

Најдете го збирот и производот на корените квадратна равенка. Користејќи ги формулите (59.8) за корените на горната равенка, добиваме

(првата еднаквост е очигледна, втората се добива по едноставна пресметка, која читателот ќе ја изврши самостојно; погодно е да се користи формулата за множење на збирот на два броја со нивната разлика).

Следното е докажано

Теорема на Виета. Збирот на корените на горната квадратна равенка е еднаков на вториот коефициент со спротивен знак, а нивниот производ е еднаков на слободниот член.

Во случај на ненамалена квадратна равенка, изразите на формулата (60.1) треба да се заменат со формули (60.1) и да ја добијат формата

Пример 1. Составете квадратна равенка користејќи ги нејзините корени:

Решение, а) Најдовме дека равенката има форма

Пример 2. Најдете го збирот на квадратите на корените на равенката без да ја решите самата равенка.

Решение. Збирот и производот на корените се познати. Дозволете ни да го претставиме збирот на квадратните корени во форма

и добиваме

Од формулите на Виета лесно се добива формулата

изразување на правилото за факторинг на квадратен трином.

Навистина, да ги напишеме формулите (60.2) во форма

Сега имаме

што ни требаше да го добиеме.

Горенаведеното изведување на формулите на Виета му е познато на читателот од курсот за алгебра средно школо. Може да се даде уште еден заклучок користејќи ја теоремата на Безут и факторизацијата на полиномот (ставови 51, 52).

Нека се тогаш корените на равенката општо правило(52.2) триномот од левата страна на равенката се факторизира:

Отворајќи ги заградите од десната страна на оваа идентична еднаквост, добиваме

и споредувајќи ги коефициентите на исти моќи ќе ни се даде формулата Виета (60.1).

Предноста на оваа изведба е што може да се примени и на равенките повисоки степениза да се добијат изрази за коефициентите на равенката преку нејзините корени (без да се најдат самите корени!). На пример, ако корените на дадената кубна равенка

суштината е дека според еднаквоста (52.2) наоѓаме

(во нашиот случај, отворање на заградите од десната страна на еднаквоста и собирање на коефициентите за различни степенидобиваме

Факторирањето на квадратните тројноми е една од училишните задачи со кои сите се соочуваат порано или подоцна. Како да се направи тоа? Која е формулата за факторинг на квадратен трином? Ајде да го сфатиме чекор по чекор со помош на примери.

Општа формула

Квадратни триноми се факторизираат со решавање на квадратна равенка. Ова е едноставен проблем кој може да се реши со неколку методи - со наоѓање на дискриминантот, користејќи ја теоремата на Виета, постои и графичко решение. Првите два методи се изучуваат во средно училиште.

Општата формула изгледа вака:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Алгоритам за завршување на задачата

За да ги факторирате квадратните триноми, треба да ја знаете теоремата на Вита, да имате при рака програма за решение, да можете графички да најдете решение или да барате корени на равенка од втор степен користејќи ја формулата за дискриминација. Ако е даден квадратен трином и треба да се факторизира, алгоритмот е следниов:

1) Изедначете го оригиналниот израз на нула за да добиете равенка.

2) Наведете слични термини (ако е потребно).

3) Најдете ги корените на кој било на познат начин. Графичкиот метод најдобро се користи ако однапред се знае дека корените се цели броеви и мали броеви. Мора да се запомни дека бројот на корените е еднаков на максималниот степен на равенката, односно квадратната равенка има два корени.

4) Заменете ја вредноста Xво изразот (1).

5) Запишете ја факторизацијата на квадратните триноми.

Примери

Практиката ви овозможува конечно да разберете како се изведува оваа задача. Примерите ја илустрираат факторизацијата на квадратен трином:

потребно е да се прошири изразот:

Ајде да прибегнеме кон нашиот алгоритам:

1) x 2 -17x+32=0

2) слични термини се намалуваат

3) користејќи ја формулата на Виета, тешко е да се најдат корени за овој пример, па затоа е подобро да се користи изразот за дискриминатор:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Да ги замениме корените што ги најдовме во основната формула за распаѓање:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Тогаш одговорот ќе биде вака:

x 2 -17x+32=(x-2,155)(x-14,845)

Ајде да провериме дали решенијата пронајдени од дискриминаторот одговараат на формулите на Виета:

14,845 . 2,155=32

За овие корени е применета теоремата на Виета, тие се пронајдени правилно, што значи дека и разложувањето што го добивме е точна.

Слично да прошириме 12x 2 + 7x-6.

x 1 =-7+(337) 1/2

x 2 =-7-(337)1/2

Во претходниот случај решенијата не беа цели броеви, туку реални броеви, кои лесно се наоѓаат доколку имате калкулатор пред вас. Сега да погледнеме покомплексен пример, во кој корените ќе бидат сложени: фактор x 2 + 4x + 9. Користејќи ја формулата на Виета, корените не можат да се најдат, а дискриминаторот е негативен. Корените ќе бидат на сложената рамнина.

D=-20

Врз основа на ова, ги добиваме корените што не интересираат -4+2i*5 1/2 и -4-2i * 5 1/2 бидејќи (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Го добиваме саканото распаѓање со замена на корените во општата формула.

Друг пример: треба да го факторизирате изразот 23x 2 -14x+7.

Ја имаме равенката 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

Ова значи дека корените се 14+21.166i и 14-21.166i. Одговорот ќе биде:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21.166i ).

Да дадеме пример што може да се реши без помош на дискриминатор.

Да речеме дека треба да ја прошириме квадратната равенка x 2 -32x+255. Очигледно, може да се реши и со помош на дискриминатор, но во овој случај побрзо се пронаоѓаат корените.

x 1 =15

x 2 =17

Средства x 2 -32x+255 =(x-15) (x-17).

Светот е потопен во голема сумаброеви. Сите пресметки се случуваат со нивна помош.

Луѓето учат бројки за да подоцнежниот животне паѓајте на измама. Потребно е огромно време за да се едуцирате и да го сфатите сопствениот буџет.

Математиката е егзактна наука која игра голема улога во животот. На училиште, децата учат бројки, а потоа дејствија врз нив.

Операциите на броеви се сосема различни: множење, проширување, собирање и други. Покрај едноставните формули, во изучувањето на математиката се користат и посложени дејства. Има огромен број формули кои можат да се користат за да се дознаат какви било вредности.

На училиште, штом се појави алгебра, во животот на ученикот се додаваат формули за поедноставување. Постојат равенки каде што има два непознати броја, но најдете на едноставен начиннема да работи. Трином е комбинација од три мономи кои користат едноставен метододземање и собирање. Триномот се решава со помош на теоремата на Виета и дискриминантата.

Формула за факторинг на квадратен трином

Има две точни и едноставни решенијапример:

• дискриминаторски;
• Теорема на Виета.

Квадратен трином има непознат квадрат, а исто така и број без квадрат. Првата опција за решавање на проблемот ја користи формулата на Виета. Ова едноставна формула , ако броевите што претходат на непознатата ќе бидат минималната вредност.

За други равенки каде што број претходи на непознатата, равенката мора да се реши преку дискриминаторот. Тоа е повеќе тешка одлука, но дискриминантот се користи многу почесто од теоремата на Виета.

Првично, да се најдат сите променливи за равенкипотребно е примерот да се подигне на 0. Решението на примерот може да се провери и да дознаете дали бројките се правилно приспособени.

Дискриминаторски

1. Неопходно е да се изедначи равенката со 0.

2. Секој број пред x ќе се нарекува броеви a, b, c. Бидејќи нема број пред првиот квадрат x, тој е еднаков на 1.

3. Сега решението на равенката започнува преку дискриминаторот:

4. Сега го најдовме дискриминаторот и наоѓаме два x. Разликата е во тоа што во едниот случај на b ќе му претходи плус, а во другиот минус:

5. Со решавање на два броја резултатите беа -2 и -1. Заменете во оригиналната равенка:

6. Во овој пример испаднаа две точни опции. Ако двете решенија одговараат, тогаш секое од нив е точно.

Преку дискриминаторот одлучуваат и повеќе сложена равенка. Но, ако самата вредност на дискриминација е помала од 0, тогаш примерот е неточен. При пребарувањето, дискриминаторот е секогаш во коренот, а негативна вредност не може да биде во коренот.

Теорема на Виета

Се користи за решавање на лесни задачи каде што на првиот x не му претходи број, односно a=1. Ако опцијата се совпаѓа, тогаш пресметката се врши со помош на теоремата на Виета.

Да се ​​реши кој било триномпотребно е да се подигне равенката на 0. Првите чекори на дискриминантната и теоремата на Виета не се разликуваат.

2. Сега почнуваат разликите помеѓу двата методи. Теоремата на Виета користи не само „суво“ пресметување, туку и логика и интуиција. Секој број има своја буква a, b, c. Теоремата користи збир и производ од два броја.

Запомнете! Бројот b секогаш има спротивен знак кога се собира, но бројот c останува непроменет!

Замена на вредностите на податоците во примерот , добиваме:

3. Користејќи го методот на логика, ги заменуваме најпогодните броеви. Ајде да ги разгледаме сите можни решенија:

1. Броевите се 1 и 2. Кога се собираат, добиваме 3, но ако се помножиме, не добиваме 4. Не одговара.
2. Вредност 2 и -2. Кога ќе се помножи ќе биде -4, но кога ќе се додаде излегува дека е 0. Не е соодветно.
3. Броеви 4 и -1. Бидејќи множењето вклучува негативна вредност, тоа значи дека еден од броевите ќе има минус. Погоден за собирање и множење. Правилна опција.

4. Останува само да се провери со поставување на броевите и да се види дали избраната опција е точна.

5. Благодарение на онлајн проверката, дознавме дека -1 не одговара на условите од примерот и затоа е неточно решение.

При додавање негативна вредноство примерот, треба да го ставите бројот во загради.

Секогаш ќе има во математиката едноставни задачии сложени. Самата наука вклучува различни проблеми, теореми и формули. Ако правилно го разбирате и применувате знаењето, тогаш сите тешкотии со пресметките ќе бидат тривијални.

Математиката не бара постојано меморирање. Треба да научите да го разбирате решението и да научите неколку формули. Постепено, според логични заклучоци, можно е да се решат слични проблеми и равенки. Ваквата наука може да изгледа многу тешка на прв поглед, но ако некој се втурне во светот на бројките и проблемите, тогаш погледот драматично ќе се промени во подобра страна.

Технички специјалитетисекогаш остануваат најбараните во светот. Сега, во светот модерни технологии, математиката стана незаменлив атрибут на секое поле. Секогаш мора да се сеќаваме корисни својстваматематика.

Проширување на трином со помош на заграда

Покрај решавањето на вообичаените методи, постои уште еден - распаѓање во загради. Се користи со формулата Vieta.

1. Изедначете ја равенката со 0.

секира 2 +bx+c= 0

2. Корените на равенката остануваат исти, но наместо нула тие сега користат формули за проширување во загради.

секира 2 + bx+ c = a (x – x 1) (x – x 2)

2 x 2 – 4 x – 6 = 2 (x + 1) (x – 3)

4. Решение x=-1, x=3

На оваа лекцијаЌе научиме како да ги множиме квадратните триноми во линеарни фактори. За да го направите ова, треба да ја запомниме теоремата на Виета и нејзиниот контраст. Оваа вештина ќе ни помогне брзо и удобно да ги прошириме квадратните триноми во линеарни фактори, а исто така ќе го поедностави намалувањето на дропките што се состојат од изрази.

Значи, да се вратиме на квадратната равенка, каде што .

Она што го имаме на левата страна се нарекува квадратен трином.

Теоремата е вистинита:Ако се корените на квадратен трином, тогаш идентитетот важи

Каде е водечкиот коефициент, се корените на равенката.

Значи, имаме квадратна равенка - квадратен трином, каде што корените на квадратната равенка се нарекуваат и корени на квадратниот трином. Според тоа, ако ги имаме корените на квадратен трином, тогаш овој трином може да се разложи на линеарни фактори.

Доказ:

Доказ овој фактсе изведува со помош на теоремата на Виета, за која разговаравме во претходните лекции.

Да се ​​потсетиме што ни кажува теоремата на Виета:

Ако се корените на квадратен трином за кој , тогаш .

Од оваа теорема произлегува следнава изјава:

Гледаме дека, според теоремата на Виета, т.е., со замена на овие вредности во формулата погоре, го добиваме следниот израз

Q.E.D.

Потсетиме дека ја докажавме теоремата дека ако се корените на квадратен трином, тогаш проширувањето е валидно.

Сега да се потсетиме на пример на квадратна равенка, на која избравме корени користејќи ја теоремата на Виета. Од овој факт можеме да ја добиеме следната еднаквост благодарение на докажаната теорема:

Сега да ја провериме точноста на овој факт со едноставно отворање на заградите:

Гледаме дека правилно сме факторизирале, а секој трином, ако има корени, според оваа теорема може да се размножи во линеарни фактори според формулата

Сепак, да провериме дали таквата факторизација е можна за која било равенка:

Земете ја, на пример, равенката . Прво, да го провериме знакот за дискриминација

И се сеќаваме дека за да ја исполниме теоремата што ја научивме, D мора да биде поголемо од 0, така што во овој случај, факторизацијата според теоремата што ја научивме е невозможна.

Затоа, формулираме нова теорема: ако квадратниот трином нема корени, тогаш не може да се разложи на линеарни фактори.

Значи, ја разгледавме теоремата на Виета, можноста за разложување на квадратен трином на линеарни фактори, и сега ќе решиме неколку проблеми.

Задача бр. 1

Во оваа група всушност ќе го решиме проблемот обратно од поставената. Имавме равенка, а нејзините корени ги најдовме со факторингирање. Овде ќе го направиме спротивното. Да речеме дека имаме корени на квадратна равенка

Инверзниот проблем е овој: напишете квадратна равенка користејќи ги нејзините корени.

Постојат 2 начини да се реши овој проблем.

Бидејќи се корените на равенката, тогаш е квадратна равенка чии корени се дадени броеви. Сега да ги отвориме заградите и да провериме:

Ова беше првиот начин на кој создадовме квадратна равенка со дадени корени, која нема други корени, бидејќи секоја квадратна равенка има најмногу два корени.

Овој метод вклучува употреба на инверзната теорема Виета.

Ако се корените на равенката, тогаш тие го задоволуваат условот дека .

За намалената квадратна равенка , , т.е. во овој случај и .

Така, создадовме квадратна равенка која ги има дадените корени.

Задача бр. 2

Неопходно е да се намали фракцијата.

Имаме тројном во броителот и трином во именителот, а триномите може да се факторизираат или не. Ако и броителот и именителот се факторинг, тогаш меѓу нив може да има еднакви фактори кои можат да се намалат.

Пред сè, треба да го факторирате броителот.

Прво, треба да проверите дали оваа равенка може да се факторизира, ајде да ја најдеме дискриминаторот. Бидејќи , знакот зависи од производот (мора да биде помал од 0), во во овој пример, т.е. дадена равенкаима корени.

За да решиме, ја користиме теоремата на Виета:

Во овој случај, бидејќи се занимаваме со корени, ќе биде доста тешко едноставно да ги изберете корените. Но, гледаме дека коефициентите се избалансирани, односно, ако претпоставиме дека , и ја замениме оваа вредност во равенката, го добиваме следниот систем: , т.е. 5-5=0. Така, избравме еден од корените на оваа квадратна равенка.

Ќе го бараме вториот корен со замена на веќе познатото во системот на равенки, на пример, , т.е. .

Така, ги најдовме двата корени на квадратната равенка и можеме да ги замениме нивните вредности во оригиналната равенка за да ја факторинг:

Да се ​​потсетиме на првичниот проблем, требаше да ја намалиме дропот.

Ајде да се обидеме да го решиме проблемот со замена.

Неопходно е да не се заборави дека во овој случај именителот не може да биде еднаков на 0, т.е.

Ако овие услови се исполнети, тогаш ја намаливме оригиналната дропка на формата .

Задача бр. 3 (задача со параметар)

Во кои вредности на параметарот е збирот на корените на квадратната равенка

Ако корените дадена равенкапостои, тогаш , прашање: кога.