Со ова математичка програмаТи можеш реши квадратна равенка.

Програмата не само што дава одговор на проблемот, туку и го прикажува процесот на решавање на два начина:
- користење на дискриминатор
- користејќи ја теоремата на Виета (ако е можно).

Покрај тоа, одговорот се прикажува како точен, а не приближен.
На пример, за равенката \(81x^2-16x-1=0\) одговорот е прикажан во следнава форма:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ и не вака: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Оваа програма може да биде корисна за средношколците средните училиштаво подготовка за тестовии испити, при проверка на знаењето пред обединет државен испит, за родителите да го контролираат решавањето на многу проблеми по математика и алгебра. Или можеби е премногу скапо за вас да ангажирате учител или да купите нови учебници? Или само сакате да го завршите тоа што е можно побрзо? домашна работапо математика или алгебра? Во овој случај, можете да ги користите и нашите програми со детални решенија.

На овој начин можете да спроведете сопствена обука и/или ваша обука. помлади браќаили сестри, додека нивото на образование во областа на проблемите што се решаваат се зголемува.

Доколку не сте запознаени со правилата за внесување на квадратен полином, ви препорачуваме да се запознаете со нив.

Правила за внесување квадратен полином

Секоја латинска буква може да дејствува како променлива.
На пример: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), итн.

Броевите може да се внесат како цели или фракциони броеви.
Згора на тоа, дробни броевиможе да се внесе не само како децимална, туку и како обична дропка.

Правила за внесување децимални дропки.
Во децималните дропки, дробниот дел може да се одвои од целиот дел или со точка или со запирка.
На пример, можете да внесете децималивака: 2,5x - 3,5x^2

Правила за внесување обични дропки.
Само цел број може да дејствува како броител, именител и цел број на дропка.

Именителот не може да биде негативен.

При внесување на нумеричка дропка, броителот се одвојува од именителот со знак за делење: /
Цел делодвоено од дропот со амперсанд: &
Влез: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Резултат: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

При внесување на израз можете да користите загради. Во овој случај, при решавање на квадратна равенка, прво се поедноставува воведениот израз.
На пример: 1/2 (y-1) (y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Одлучи

Откриено е дека некои скрипти неопходни за решавање на овој проблем не се вчитани и дека програмата може да не работи.
Можеби имате овозможено AdBlock.
Во овој случај, оневозможете го и освежете ја страницата.

JavaScript е оневозможен во вашиот прелистувач.
За да се појави решението, треба да овозможите JavaScript.
Еве инструкции за тоа како да овозможите JavaScript во вашиот прелистувач.

Бидејќи Има многу луѓе кои се подготвени да го решат проблемот, вашето барање е на ред.
За неколку секунди решението ќе се појави подолу.
Ве молам почекајте сек...

Ако ти забележал грешка во решението, тогаш можете да напишете за ова во Формуларот за повратни информации.
Не заборавај посочете која задачавие одлучувате што внесете во полињата.

Нашите игри, загатки, емулатори:

Малку теорија.

Квадратна равенка и нејзините корени. Нецелосни квадратни равенки

Секоја од равенките
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
изгледа како
\(ax^2+bx+c=0, \)
каде што x е променлива, a, b и c се броеви.
Во првата равенка a = -1, b = 6 и c = 1,4, во втората a = 8, b = -7 и c = 0, во третата a = 1, b = 0 и c = 4/9. Ваквите равенки се нарекуваат квадратни равенки.

Дефиниција.
Квадратна равенкасе нарекува равенка од формата ax 2 +bx+c=0, каде што x е променлива, a, b и c се некои броеви и \(a \neq 0 \).

Броевите a, b и c се коефициенти на квадратната равенка. Бројот a се нарекува прв коефициент, бројот b е вториот коефициент, а бројот c е слободен член.

Во секоја од равенките од формата ax 2 +bx+c=0, каде \(a\neq 0\), најголемата моќност на променливата x е квадрат. Оттука и името: квадратна равенка.

Забележете дека квадратната равенка се нарекува и равенка од втор степен, бидејќи нејзината лева страна е полином од втор степен.

Се нарекува квадратна равенка во која коефициентот x 2 е еднаков на 1 дадена квадратна равенка. На пример, дадените квадратни равенки се равенките
\(x^2-11x+30=0, \четири x^2-6x=0, \четири x^2-8=0 \)

Ако во квадратна равенка ax 2 +bx+c=0 барем еден од коефициентите b или c е еднаков на нула, тогаш таквата равенка се вика нецелосна квадратна равенка. Така, равенките -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 се нецелосни квадратни равенки. Во првиот од нив b=0, во вториот c=0, во третиот b=0 и c=0.

Постојат три типа на нецелосни квадратни равенки:
1) ax 2 +c=0, каде \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, каде \(b \neq 0 \);
3) секира 2 =0.

Ајде да размислиме за решавање на равенките на секој од овие типови.

За да решите нецелосна квадратна равенка од формата ax 2 +c=0 за \(c \neq 0 \), поместете го нејзиниот слободен член на десната страна и поделете ги двете страни на равенката со a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Десна стрелка x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Бидејќи \(c \neq 0 \), тогаш \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Ако \(-\frac(c)(a)>0\), тогаш равенката има два корени.

Ако \(-\frac(c)(a) За да решите нецелосна квадратна равенка од формата ax 2 +bx=0 со \(b \neq 0 \) прошири ја лева странапо фактори и добијте ја равенката
\(x(ax+b)=0 \Десна стрелка \лево\( \почеток (низа)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end (низа) \десно. \Десна стрелка \лево\( \почеток (низа)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end (низа) \десно. \)

Ова значи дека нецелосната квадратна равенка од формата ax 2 +bx=0 за \(b \neq 0 \) секогаш има два корени.

Нецелосната квадратна равенка од формата ax 2 =0 е еквивалентна на равенката x 2 =0 и затоа има еден корен 0.

Формула за корените на квадратна равенка

Сега да разгледаме како да ги решиме квадратните равенки во кои и коефициентите на непознатите и слободниот член се ненула.

Ајде да ја решиме квадратната равенка во општ погледи како резултат ја добиваме формулата за корените. Оваа формула потоа може да се користи за решавање на која било квадратна равенка.

Решете ја квадратната равенка ax 2 +bx+c=0

Поделувајќи ги двете страни со a, ја добиваме еквивалентната намалена квадратна равенка
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Ајде да ја трансформираме оваа равенка со избирање на квадратот на биномот:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\десно)^2- \left(\frac(b)(2a)\десно)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Десна стрелка \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\десно)^2 = \left(\frac(b)(2a)\десно)^ 2 - \frac(c)(a) \десна стрелка \) \(\лево(x+\frac(b)(2a)\десно)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( в)(а) \Десна стрелка \лево(x+\frac(b)(2a)\десно)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \десно стрелка \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Десна стрелка x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Десна стрелка \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Радикалниот израз се нарекува дискриминатор на квадратна равенка ax 2 +bx+c=0 („дискриминатор“ на латински - дискриминатор). Се означува со буквата Д, т.е.
\(D = b^2-4ac\)

Сега, користејќи ја дискриминаторната нотација, ја препишуваме формулата за корените на квадратната равенка:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), каде што \(D= b^2-4ac \)

Очигледно е дека:
1) Ако D>0, тогаш квадратната равенка има два корени.
2) Ако D=0, тогаш квадратната равенка има еден корен \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Ако D Така, во зависност од вредноста на дискриминаторот, квадратната равенка може да има два корени (за D > 0), еден корен (за D = 0) или да нема корени (за D Кога се решава квадратна равенка користејќи го ова формула, препорачливо е да се направи на следниов начин:
1) пресметај ја дискриминантата и спореди ја со нула;
2) ако дискриминаторот е позитивен или еднаков на нула, тогаш користете ја коренската формула; ако дискриминаторот е негативен, тогаш запишете дека нема корени.

Теорема на Виета

Зададената квадратна равенка ax 2 -7x+10=0 има корени 2 и 5. Збирот на корените е 7, а производот е 10. Гледаме дека збирот на корените е еднаков на вториот коефициент земен со спротивното знак, а производот на корените е еднаков на слободниот член. Секоја намалена квадратна равенка која има корени го има ова својство.

Збирот на корените на горната квадратна равенка е еднаков на вториот коефициент земен со спротивен знак, а производот на корените е еднаков на слободниот член.

Оние. Теоремата на Виета вели дека корените x 1 и x 2 од намалената квадратна равенка x 2 +px+q=0 имаат својство:
\(\лево\( \почеток(низа)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \крај (низа) \десно. \)

Продолжувајќи ја темата „Решавање равенки“, материјалот во оваа статија ќе ве запознае со квадратните равенки.

Да разгледаме сè подетално: суштината и ознаката на квадратна равенка, да ги дефинираме придружните поими, да ја анализираме шемата за решавање на нецелосни и целосни равенки, да се запознаеме со формулата на корените и дискриминантот, да воспоставиме врски помеѓу корените и коефициентите, и секако ќе дадеме визуелно решение на практични примери.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Квадратна равенка, нејзините типови

Дефиниција 1

Квадратна равенкае равенка напишана како a x 2 + b x + c = 0, Каде x– променлива, a , b и в– некои бројки, додека ане е нула.

Често, квадратните равенки се нарекуваат и равенки од втор степен, бидејќи во суштина квадратната равенка е алгебарска равенка од втор степен.

Да дадеме пример за да ја илустрираме дадената дефиниција: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, итн. Ова се квадратни равенки.

Дефиниција 2

Броеви a, b и все коефициентите на квадратната равенка a x 2 + b x + c = 0, додека коефициентот асе нарекува прв, или постар, или коефициент на x 2, b - вториот коефициент, или коефициент на x, А внаречен слободен член.

На пример, во квадратната равенка 6 x 2 − 2 x − 11 = 0водечкиот коефициент е 6, вториот коефициент е − 2 , а слободниот член е еднаков на − 11 . Да обрнеме внимание на фактот дека кога коефициентите би/или c се негативни, потоа користете Кратка формарекорди како 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, но не 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Да го разјасниме и овој аспект: ако коефициентите аи/или беднакви 1 или − 1 , тогаш може да не земат експлицитно учество во пишувањето на квадратната равенка, што се објаснува со особеностите на запишувањето на посочените нумерички коефициенти. На пример, во квадратната равенка y 2 − y + 7 = 0водечкиот коефициент е 1, а вториот коефициент е − 1 .

Намалени и ненамалени квадратни равенки

Врз основа на вредноста на првиот коефициент, квадратните равенки се делат на намалени и ненамалени.

Дефиниција 3

Намалена квадратна равенкае квадратна равенка каде водечкиот коефициент е 1. За другите вредности на водечкиот коефициент, квадратната равенка е ненамалена.

Да дадеме примери: се намалуваат квадратните равенки x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0, од ​​кои водечкиот коефициент е 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- ненамалена квадратна равенка, каде што првиот коефициент е различен од 1 .

Секоја ненамалена квадратна равенка може да се претвори во редуцирана равенка со делење на двете страни со првиот коефициент (еквивалентна трансформација). Трансформираната равенка ќе ги има истите корени како дадената ненамалена равенка или исто така нема да има корени.

Разгледување конкретен примерќе ни овозможи јасно да го демонстрираме преминот од нередуцирана квадратна равенка во намалена.

Пример 1

Дадена е равенката 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Потребно е да се претвори оригиналната равенка во намалена форма.

Решение

Според горната шема, ги делиме двете страни на првобитната равенка со водечкиот коефициент 6. Тогаш добиваме: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, и ова е исто како: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0и понатаму: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0.Од тука: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Така, се добива равенка еквивалентна на дадената.

Одговор: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Целосни и нецелосни квадратни равенки

Да се ​​свртиме кон дефиницијата за квадратна равенка. Во него го прецизиравме тоа a ≠ 0. Сличен услов е неопходен за равенката a x 2 + b x + c = 0беше точно квадрат, бидејќи во a = 0суштински се трансформира во линеарна равенка b x + c = 0.

Во случај кога коефициентите бИ все еднакви на нула (што е можно, и поединечно и заеднички), квадратната равенка се нарекува нецелосна.

Дефиниција 4

Нецелосна квадратна равенка- ваква квадратна равенка a x 2 + b x + c = 0,каде што барем еден од коефициентите бИ в(или и двете) е нула.

Целосна квадратна равенка– квадратна равенка во која сите нумерички коефициенти не се еднакви на нула.

Ајде да разговараме зошто на видовите квадратни равенки им се дадени токму овие имиња.

Кога b = 0, квадратната равенка добива форма a x 2 + 0 x + c = 0, што е исто како a x 2 + c = 0. На c = 0квадратната равенка се запишува како a x 2 + b x + 0 = 0, што е еквивалентно a x 2 + b x = 0. На b = 0И c = 0равенката ќе ја добие формата a x 2 = 0. Равенките што ги добивме се разликуваат од целосната квадратна равенка по тоа што нивните леви страни не содржат ниту член со променливата x, ниту слободен член, ниту и двете. Всушност, овој факт го даде името на овој тип равенки - нецелосни.

На пример, x 2 + 3 x + 4 = 0 и − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 се целосни квадратни равенки; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – нецелосни квадратни равенки.

Решавање на нецелосни квадратни равенки

Дефиницијата дадена погоре овозможува да се истакне следните типовинецелосни квадратни равенки:

• a x 2 = 0, оваа равенка одговара на коефициентите b = 0и c = 0 ;
• a · x 2 + c = 0 на b = 0;
• a · x 2 + b · x = 0 на c = 0.

Да го разгледаме последователно решението на секој тип на нецелосни квадратни равенки.

Решение на равенката a x 2 =0

Како што споменавме погоре, оваа равенка одговара на коефициентите бИ в, еднакво на нула. Равенката a x 2 = 0може да се претвори во еквивалентна равенка x 2 = 0, што го добиваме со делење на двете страни на првобитната равенка со бројот а, не е еднакво на нула. Очигледен факт е дека коренот на равенката x 2 = 0ова е нула затоа што 0 2 = 0 . Оваа равенка нема други корени, што може да се објасни со својствата на степенот: за кој било број стр,не е еднаква на нула, неравенството е точно стр 2 > 0, од што произлегува дека кога p ≠ 0еднаквост стр 2 = 0никогаш нема да се постигне.

Дефиниција 5

Така, за нецелосната квадратна равенка a x 2 = 0 постои единствен корен x = 0.

Пример 2

На пример, да решиме нецелосна квадратна равенка − 3 x 2 = 0. Тоа е еквивалентно на равенката x 2 = 0, единствениот корен му е x = 0, тогаш првобитната равенка има еден корен - нула.

Накратко, решението е напишано на следниов начин:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Решавање на равенката a x 2 + c = 0

Следно е решението на нецелосни квадратни равенки, каде што b = 0, c ≠ 0, односно равенки на формата a x 2 + c = 0. Ајде да ја трансформираме оваа равенка со поместување член од едната страна на равенката на другата, менувајќи го знакот на спротивната и делејќи ги двете страни на равенката со број кој не е еднаков на нула:

• трансфер вна десната страна, што ја дава равенката a x 2 = − c;
• поделете ги двете страни на равенката со а, завршуваме со x = - c a .

Нашите трансформации се еквивалентни; соодветно, добиената равенка е исто така еквивалентна на првобитната, и овој факт овозможува да се извлечат заклучоци за корените на равенката. Од она што се вредностите аИ ввредноста на изразот - c a зависи: може да има знак минус (на пример, ако a = 1И c = 2, тогаш - c a = - 2 1 = - 2) или знак плус (на пример, ако a = − 2И c = 6, тогаш - c a = - 6 - 2 = 3); не е нула затоа што c ≠ 0. Да се ​​задржиме подетално на ситуациите кога - в а< 0 и - c a > 0 .

Во случај кога - в а< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа стреднаквоста p 2 = - c a не може да биде точно.

Сè е различно кога - c a > 0: запомнете го квадратниот корен и ќе стане очигледно дека коренот на равенката x 2 = - c a ќе биде бројот - c a, бидејќи - c a 2 = - c a. Не е тешко да се разбере дека бројот - - c a е исто така корен на равенката x 2 = - c a: навистина, - - c a 2 = - c a.

Равенката нема да има други корени. Можеме да го покажеме ова користејќи го методот на контрадикторност. За почеток, да ги дефинираме ознаките за корените пронајдени погоре како x 1И − x 1. Да претпоставиме дека равенката x 2 = - c a има и корен x 2, што се разликува од корените x 1И − x 1. Тоа го знаеме со замена во равенката xнејзините корени, ја трансформираме равенката во правична нумеричка еднаквост.

За x 1И − x 1пишуваме: x 1 2 = - c a , и за x 2- x 2 2 = - c a. Врз основа на својствата на нумеричките еднаквости, одземаме еден точен член за еднаквост по член од друг, што ќе ни даде: x 1 2 − x 2 2 = 0. Ги користиме својствата на операциите со броеви за да ја преработиме последната еднаквост како (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Познато е дека производот на два броја е нула ако и само ако барем еден од броевите е нула. Од наведеното произлегува дека x 1 − x 2 = 0и/или x 1 + x 2 = 0, што е исто x 2 = x 1и/или x 2 = − x 1. Се појави очигледна противречност, бидејќи на почетокот беше договорено дека коренот на равенката x 2се разликува од x 1И − x 1. Значи, докажавме дека равенката нема други корени освен x = - c a и x = - - c a.

Да ги сумираме сите аргументи погоре.

Дефиниција 6

Нецелосна квадратна равенка a x 2 + c = 0е еквивалентно на равенката x 2 = - c a, која:

• нема да има корени на - в а< 0 ;
• ќе има два корени x = - c a и x = - - c a for - c a > 0.

Да дадеме примери за решавање на равенките a x 2 + c = 0.

Пример 3

Дадена е квадратна равенка 9 x 2 + 7 = 0.Неопходно е да се најде решение.

Решение

Ајде да го преместиме слободниот член на десната страна на равенката, тогаш равенката ќе добие форма 9 x 2 = − 7.
Дозволете ни да ги поделиме двете страни на добиената равенка со 9 , стигнуваме до x 2 = - 7 9 . На десната страна гледаме број со знак минус, што значи: y за дадена равенкабез корени. Потоа оригиналната нецелосна квадратна равенка 9 x 2 + 7 = 0нема да има корени.

Одговор:равенката 9 x 2 + 7 = 0нема корени.

Пример 4

Равенката треба да се реши − x 2 + 36 = 0.

Решение

Да го преместиме 36 на десната страна: − x 2 = − 36.
Ајде да ги поделиме двата дела по − 1 , добиваме x 2 = 36. На десната страна - позитивен број, од тука можеме да заклучиме дека x = 36 или x = - 36 .
Да го извлечеме коренот и да го запишеме конечниот резултат: нецелосна квадратна равенка − x 2 + 36 = 0има два корени x=6или x = − 6.

Одговор: x=6или x = − 6.

Решение на равенката a x 2 +b x=0

Да го анализираме третиот тип на нецелосни квадратни равенки, кога c = 0. Да се ​​најде решение за нецелосна квадратна равенка a x 2 + b x = 0, ќе го користиме методот на факторизација. Ајде да го факторизираме полиномот што се наоѓа на левата страна на равенката, вадејќи го од загради заеднички мултипликатор x. Овој чекор ќе овозможи да се трансформира оригиналната нецелосна квадратна равенка во нејзиниот еквивалент x (a x + b) = 0. И оваа равенка, пак, е еквивалентна на збир на равенки x = 0И a x + b = 0. Равенката a x + b = 0линеарен и неговиот корен: x = − b a.

Дефиниција 7

Така, нецелосната квадратна равенка a x 2 + b x = 0ќе има два корени x = 0И x = − b a.

Ајде да го засилиме материјалот со пример.

Пример 5

Потребно е да се најде решение за равенката 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Решение

Ќе го извадиме xнадвор од заградите ја добиваме равенката x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Оваа равенка е еквивалентна на равенките x = 0и 2 3 x - 2 2 7 = 0. Сега треба да ја решите добиената линеарна равенка: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Накратко напишете го решението на равенката на следниов начин:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 или 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 или x = 3 3 7

Одговор: x = 0, x = 3 3 7.

Дискриминантна, формула за корени на квадратна равенка

За да се најдат решенија за квадратни равенки, постои коренска формула:

Дефиниција 8

x = - b ± D 2 · a, каде D = b 2 − 4 a c– таканаречената дискриминаторна на квадратна равенка.

Пишувањето x = - b ± D 2 · a во суштина значи дека x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Би било корисно да се разбере како е изведена оваа формула и како да се примени.

Изведување на формулата за корените на квадратна равенка

Дозволете ни да се соочиме со задачата да решиме квадратна равенка a x 2 + b x + c = 0. Дозволете ни да извршиме голем број еквивалентни трансформации:

• поделете ги двете страни на равенката со број а, различно од нула, ја добиваме следната квадратна равенка: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• да истакнеме совршен квадратна левата страна од добиената равенка:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + в а
  По ова, равенката ќе добие форма: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Сега е можно да се префрлат последните два члена на десната страна, менувајќи го знакот во спротивното, по што добиваме: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Конечно, го трансформираме изразот напишан на десната страна на последната еднаквост:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Така, доаѓаме до равенката x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , што е еквивалентно на првобитната равенка a x 2 + b x + c = 0.

Решението на ваквите равенки го испитавме во претходните ставови (решавање на нецелосни квадратни равенки). Веќе стекнатото искуство овозможува да се донесе заклучок во врска со корените на равенката x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• со b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• кога b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 равенката е x + b 2 · a 2 = 0, тогаш x + b 2 · a = 0.

Оттука единствениот корен x = - b 2 · a е очигледен;

• за b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, ќе биде точно следново: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 или x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , што е исто како x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 или x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , т.е. равенката има два корени.

Можно е да се заклучи дека присуството или отсуството на корени на равенката x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (а со тоа и првобитната равенка) зависи од знакот на изразот b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 напишано на десната страна. А знакот на овој израз е даден со знакот на броителот, (имениител 4 а 2секогаш ќе биде позитивен), односно знакот на изразот b 2 − 4 a c. Овој израз b 2 − 4 a cсе дава името - дискриминантот на квадратната равенка и буквата D е дефинирана како нејзина ознака. Овде можете да ја запишете суштината на дискриминаторот - врз основа на неговата вредност и знак, тие можат да заклучат дали квадратната равенка ќе има вистински корени и, ако е така, колкав е бројот на корените - еден или два.

Да се ​​вратиме на равенката x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Ајде да го преработиме користејќи дискриминантна нотација: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Ајде повторно да ги формулираме нашите заклучоци:

Дефиниција 9

• на Д< 0 равенката нема вистински корени;
• на D=0равенката има еден корен x = - b 2 · a ;
• на D > 0равенката има два корени: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 или x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Врз основа на својствата на радикалите, овие корени можат да се напишат во форма: x = - b 2 · a + D 2 · a или - b 2 · a - D 2 · a. И, кога ќе ги отвориме модулите и ќе ги доведеме дропките до заеднички именител, добиваме: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Значи, резултатот од нашето размислување беше изведувањето на формулата за корените на квадратната равенка:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, дискриминаторски Дпресметано со формулата D = b 2 − 4 a c.

Овие формули овозможуваат да се одредат двата реални корени кога дискриминантот е поголем од нула. Кога дискриминаторот е нула, со примена на двете формули ќе се добие истиот корен како единствено решение за квадратната равенка. Во случај кога дискриминаторот е негативен, ако се обидеме да ја искористиме формулата за коренот на квадратна равенка, ќе се соочиме со потребата да се извлече Квадратен коренод негативен број, кој ќе не однесе подалеку од реалните бројки. Со негативна дискриминанта, квадратната равенка нема да има вистински корени, но можен е пар сложени конјугирани корени, определени со истите коренски формули што ги добивме.

Алгоритам за решавање на квадратни равенки со помош на коренски формули

Можно е да се реши квадратна равенка со веднаш користење на коренската формула, но во основа тоа се прави кога треба да пронајдете комплексни корени.

Во повеќето случаи, тоа обично значи барање не за сложени, туку за вистински корени на квадратна равенка. Тогаш оптимално е, пред да ги употребиме формулите за корените на квадратната равенка, прво да ја одредиме дискриминантата и да се увериме дека не е негативна (во спротивно ќе заклучиме дека равенката нема вистински корени), а потоа да продолжиме со пресметување на вредноста на корените.

Расудувањето погоре овозможува да се формулира алгоритам за решавање на квадратна равенка.

Дефиниција 10

Да се ​​реши квадратна равенка a x 2 + b x + c = 0, неопходно:

• според формулата D = b 2 − 4 a cнајдете ја дискриминаторната вредност;
• кај Д< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• за D = 0, пронајдете го единствениот корен од равенката користејќи ја формулата x = - b 2 · a ;
• за D > 0, определи два реални корени на квадратната равенка користејќи ја формулата x = - b ± D 2 · a.

Забележете дека кога дискриминаторот е нула, можете да ја користите формулата x = - b ± D 2 · a, таа ќе го даде истиот резултат како формулата x = - b 2 · a.

Ајде да погледнеме примери.

Примери за решавање на квадратни равенки

Да дадеме решенија за примери за различни вредности на дискриминаторот.

Пример 6

Треба да ги најдеме корените на равенката x 2 + 2 x − 6 = 0.

Решение

Да ги запишеме нумеричките коефициенти на квадратната равенка: a = 1, b = 2 и c = − 6. Следно продолжуваме според алгоритмот, т.е. Да почнеме да ја пресметуваме дискриминантата, за која ќе ги замениме коефициентите a, b И вво дискриминаторната формула: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Значи, добиваме D > 0, што значи дека првобитната равенка ќе има два реални корени.
За да ги најдеме, ја користиме коренската формула x = - b ± D 2 · a и, заменувајќи ги соодветните вредности, добиваме: x = - 2 ± 28 2 · 1. Дозволете ни да го поедноставиме добиениот израз со вадење на факторот од знакот на коренот и потоа намалување на дропот:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 или x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 или x = - 1 - 7

Одговор: x = - 1 + 7, x = - 1 - 7.

Пример 7

Треба да се реши квадратна равенка − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Решение

Да ја дефинираме дискриминаторот: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Со оваа вредност на дискриминаторот, првобитната равенка ќе има само еден корен, определен со формулата x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Одговор: x = 3,5.

Пример 8

Равенката треба да се реши 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Решение

Нумеричките коефициенти на оваа равенка ќе бидат: a = 5, b = 6 и c = 2. Ги користиме овие вредности за да ја најдеме дискриминаторот: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Пресметаната дискриминанта е негативна, така што првобитната квадратна равенка нема вистински корени.

Во случај кога задачата е да се наведат сложени корени, ја применуваме коренската формула, изведувајќи дејства со сложени броеви:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 или x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i или x = - 3 5 - 1 5 · i.

Одговор:нема вистински корени; комплексните корени се како што следува: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

ВО училишна наставна програмаНе постои стандарден услов да се бараат сложени корени, затоа, доколку при решавањето се утврди дека дискриминаторот е негативен, веднаш се запишува одговорот дека нема вистински корени.

Корен формула за дури втори коефициенти

Формулата на коренот x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) овозможува да се добие друга формула, покомпактна, што овозможува да се најдат решенија за квадратни равенки со парен коефициент за x ( или со коефициент од формата 2 · n, на пример, 2 3 или 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Дозволете ни да покажеме како се добива оваа формула.

Дозволете ни да се соочиме со задачата да најдеме решение за квадратната равенка a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Постапуваме според алгоритмот: ја одредуваме дискриминантната D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), а потоа ја користиме коренската формула:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a.

Нека изразот n 2 − a · c се означува како D 1 (понекогаш се означува D "). Тогаш формулата за корените на квадратната равенка што се разгледува со вториот коефициент 2 · n ќе ја добие формата:

x = - n ± D 1 a, каде што D 1 = n 2 − a · c.

Лесно е да се види дека D = 4 · D 1, или D 1 = D 4. Со други зборови, D 1 е четвртина од дискриминаторот. Очигледно, знакот D 1 е ист со знакот D, што значи дека знакот D 1 може да послужи и како показател за присуство или отсуство на корени на квадратна равенка.

Дефиниција 11

Така, за да се најде решение за квадратна равенка со втор коефициент од 2 n, потребно е:

• најдете D 1 = n 2 − a · c ;
• на Д 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• кога D 1 = 0, определи го единствениот корен на равенката користејќи ја формулата x = - n a;
• за D 1 > 0, определете два реални корени користејќи ја формулата x = - n ± D 1 a.

Пример 9

Потребно е да се реши квадратната равенка 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Решение

Вториот коефициент од дадената равенка можеме да го претставиме како 2 · (− 3) . Потоа дадената квадратна равенка ја препишуваме како 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, каде што a = 5, n = − 3 и c = − 32.

Да го пресметаме четвртиот дел од дискриминантата: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Добиената вредност е позитивна, што значи дека равенката има два реални корени. Дозволете ни да ги одредиме користејќи ја соодветната коренска формула:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 или x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 или x = - 2

Би било можно да се извршат пресметки користејќи ја вообичаената формула за корените на квадратна равенка, но во овој случај решението би било понезгодно.

Одговор: x = 3 1 5 или x = - 2 .

Поедноставување на формата на квадратни равенки

Понекогаш е можно да се оптимизира формата на оригиналната равенка, што ќе го поедностави процесот на пресметување на корените.

На пример, квадратната равенка 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 е јасно попогодна за решавање од 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Почесто, поедноставувањето на формата на квадратна равенка се врши со множење или делење на двете страни со одреден број. На пример, погоре покажавме поедноставен приказ на равенката 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, добиена со делење на двете страни со 100.

Таквата трансформација е можна кога коефициентите на квадратната равенка не се меѓусебно примарни броеви. Тогаш ние обично ги делиме двете страни на равенката со најголемиот заеднички делител на апсолутните вредности на неговите коефициенти.

Како пример, ја користиме квадратната равенка 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Дозволете ни да го одредиме GCD на апсолутните вредности на неговите коефициенти: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Да ги поделиме двете страни на првобитната квадратна равенка со 6 и да ја добиеме еквивалентната квадратна равенка 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Со множење на двете страни на квадратна равенка, обично се ослободувате од фракционите коефициенти. Во овој случај, тие се множат со најмалиот заеднички множител на именителот на неговите коефициенти. На пример, ако секој дел од квадратната равенка 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 се помножи со LCM (6, 3, 1) = 6, тогаш ќе стане запишан во повеќе во едноставна форма x 2 + 4 x − 18 = 0.

Конечно, забележуваме дека скоро секогаш се ослободуваме од минусот на првиот коефициент на квадратна равенка со менување на знаците на секој член од равенката, што се постигнува со множење (или делење) на двете страни со - 1. На пример, од квадратната равенка − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, можете да отидете на нејзината поедноставена верзија 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Врска помеѓу корените и коефициентите

Формулата за корените на квадратните равенки, веќе ни е позната, x = - b ± D 2 · a, ги изразува корените на равенката преку нејзините нумерички коефициенти. Врз основа на оваа формула, имаме можност да специфицираме други зависности помеѓу корените и коефициентите.

Најпознатите и најприменливите формули се теоремата на Виета:

x 1 + x 2 = - b a и x 2 = c a.

Конкретно, за дадената квадратна равенка, збирот на корените е вториот коефициент со спротивен знак, а производот на корените е еднаков на слободниот член. На пример, со гледање на формата на квадратната равенка 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, можно е веднаш да се утврди дека збирот на неговите корени е 7 3, а производот на корените е 22 3.

Можете исто така да најдете голем број други врски помеѓу корените и коефициентите на квадратната равенка. На пример, збирот на квадратите на корените на квадратна равенка може да се изрази во однос на коефициентите:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Селско средно училиште Копјевскаја

10 начини за решавање на квадратни равенки

Раководител: Патрикеева Галина Анатолиевна,

наставник по математика

село Копево, 2007 г

1. Историја на развојот на квадратните равенки

1.1 Квадратни равенкиво Антички Вавилон

1.2 Како Диофант составил и решавал квадратни равенки

1.3 Квадратни равенки во Индија

1.4 Квадратни равенки од Ал-Хорезми

1.5 Квадратни равенки во Европа XIII - XVII век

1.6 За теоремата на Виета

2. Методи за решавање на квадратни равенки

Заклучок

Литература

1. Историја на развојот на квадратните равенки

1.1 Квадратни равенки во антички Вавилон

Потребата за решавање равенки не само од прв, туку и од втор степен во античко време била предизвикана од потребата да се решат проблемите поврзани со наоѓање области земјишни парцелии со земјени работи од воен карактер, како и со самиот развој на астрономијата и математиката. Квадратни равенки можеле да се решат околу 2000 година п.н.е. д. Вавилонци.

Користејќи модерна алгебарска нотација, можеме да кажеме дека во нивните текстови со клинесто писмо, покрај нецелосните, има и такви, на пример, целосни квадратни равенки:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Правилото за решавање на овие равенки, утврдено во вавилонските текстови, во суштина се совпаѓа со модерното, но не е познато како Вавилонците дошле до ова правило. Речиси сите досега пронајдени текстови со клинесто писмо даваат само проблеми со решенија изложени во форма на рецепти, без индикации за тоа како се пронајдени.

И покрај високо ниворазвој на алгебрата во Вавилон, текстовите со клинесто писмо немаат концепт за негативен број и општи методирешавање на квадратни равенки.

1.2 Како Диофант составил и решавал квадратни равенки.

Аритметиката на Диофант не содржи систематско прикажување на алгебрата, но содржи систематска серија проблеми, придружени со објаснувања и решени со конструирање равенки од различни степени.

Кога составува равенки, Диофант вешто избира непознати за да го поедностави решението.

Еве, на пример, една од неговите задачи.

Задача 11.„Најдете два броја, знаејќи дека нивниот збир е 20, а нивниот производ е 96“

Диофант образложува вака: од условите на проблемот произлегува дека бараните броеви не се еднакви, бидејќи кога би биле еднакви, тогаш нивниот производ не би бил еднаков на 96, туку на 100. Така, еден од нив ќе биде повеќе од половина од нивниот збир, т.е. 10 + x, другото е помалку, т.е. 10-ти. Разликата меѓу нив 2x .

Оттука и равенката:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Од тука x = 2. Еден од потребните броеви е еднаков на 12 , друго 8 . Решение x = -2бидејќи Диофант не постои, бидејќи грчката математика знаела само позитивни броеви.

Ако го решиме овој проблем со избирање на еден од бараните броеви како непознат, тогаш ќе дојдеме до решение на равенката

y (20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Јасно е дека со избирање на полуразликата на потребните броеви како непозната, Диофант го поедноставува решението; тој успева да ја сведе задачата на решавање на нецелосна квадратна равенка (1).

1.3 Квадратни равенки во Индија

Проблемите со квадратните равенки се наоѓаат веќе во астрономскиот трактат „Аријабхатиам“, составен во 499 година од индискиот математичар и астроном Аријабхата. Друг индиски научник, Брамагупта (VII век), истакна општо правилорешенија на квадратни равенки сведени на една канонска форма:

ах 2 + б x = c, a > 0. (1)

Во равенката (1), коефициентите, освен А, исто така може да биде негативен. Правилото на Брамагупта во суштина е исто како и нашето.

ВО Античка ИндијаЈавните натпревари во решавање на тешки проблеми беа вообичаени. Една од старите индиски книги го вели следново за ваквите натпревари: „Како што сонцето ги затемнува ѕвездите со својот сјај, така учен човекзатемни ја славата на друг во народните собири со предлагање и решавање на алгебарски проблеми“. Проблемите честопати беа претставени во поетска форма.

Ова е еден од проблемите на познатиот индиски математичар од 12 век. Баскари.

Задача 13.

„Јато живописни мајмуни и дванаесет покрај виновата лоза...

Властите, јадејќи, се забавуваа. Почнаа да скокаат, да висат...

Ги има на плоштадот осми дел Колку мајмуни имаше?

Се забавував на чистината. Кажи ми, во овој пакет?

Решението на Бхаскара покажува дека тој знаел дека корените на квадратните равенки се со две вредности (сл. 3).

Равенката што одговара на задачата 13 е:

( x /8) 2 + 12 = x

Бхаскара пишува под маската:

x 2 - 64x = -768

и, за да се заврши левата страна од оваа равенка на квадрат, се додава на двете страни 32 2 , потоа добивате:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Квадратни равенки во ал - Хорезми

Во алгебарскиот трактат на Ал Хорезми е дадена класификација на линеарни и квадратни равенки. Авторот брои 6 типа равенки, изразувајќи ги на следниов начин:

1) „Квадратите се еднакви на корените“, т.е. секира 2 + в = б X.

2) „Квадратите се еднакви на броевите“, т.е. секира 2 = в.

3) „Корените се еднакви на бројот“, т.е. ах = с.

4) „Квадратите и броевите се еднакви на корените“, т.е. секира 2 + в = б X.

5) „Квадратите и корените се еднакви на броевите“, т.е. ах 2 + bx = s.

6) „Корените и броевите се еднакви на квадрати“, т.е. bx + c = секира 2 .

За Ал Хорезми, кој избегнуваше консумација негативни броеви, членовите на секоја од овие равенки се додаваат, не се одземаат. Во овој случај, равенките кои немаат позитивни решенија очигледно не се земаат предвид. Авторот поставува методи за решавање на овие равенки користејќи ги техниките на ал-џабр и ал-мукабала. Неговите одлуки, се разбира, не се совпаѓаат целосно со нашите. Да не зборуваме дека е чисто реторичко, треба да се истакне, на пример, дека при решавање на нецелосна квадратна равенка од прв тип

Ал Хорезми, како и сите математичари пред 17 век, не го зема предвид нултото решение, веројатно затоа што во конкретни практични проблеми тоа не е важно. Кога решава целосни квадратни равенки, Ал-Хорезми ги поставува правилата за нивно решавање користејќи одредени нумерички примери, а потоа и геометриски докази.

Задача 14.„Квадратот и бројот 21 се еднакви на 10 корени. Најдете го коренот" (имплицира коренот на равенката x 2 + 21 = 10x).

Решението на авторот оди отприлика вака: поделете го бројот на корените на половина, добивате 5, помножете 5 сам по себе, одземете 21 од производот, она што останува е 4. Земете го коренот од 4, добивате 2. Одземете 2 од 5 , добивате 3, ова ќе биде саканиот корен. Или додадете 2 до 5, што дава 7, ова е исто така корен.

Расправата на Ал-Хорезми е првата книга што дошла до нас, која систематски ја поставува класификацијата на квадратните равенки и дава формули за нивно решавање.

1.5 Квадратни равенки во Европа XIII - XVII бб

Формулите за решавање на квадратни равенки по линиите на Ал-Хаваризми во Европа за првпат биле изнесени во Книгата на Абакус, напишана во 1202 година од италијанскиот математичар Леонардо Фибоначи. Ова обемно дело, кое го одразува влијанието на математиката, како на исламските земји така и Античка Грција, се одликува и со комплетноста и по јасноста на презентацијата. Авторот самостојно развил некои нови алгебарски примерирешавајќи проблеми и прв во Европа воведе негативни бројки. Неговата книга придонесе за ширење на алгебарското знаење не само во Италија, туку и во Германија, Франција и други европски земји. Многу проблеми од Книгата на Абакус се користени во речиси сите европски учебници од 16 - 17 век. а делумно XVIII.

Општо правило за решавање на квадратни равенки сведено на една канонска форма:

x 2 + bx = в,

за сите можни комбинации на знаци на коефициент б , Собеше формулиран во Европа дури во 1544 година од М. Штифел.

Изведувањето на формулата за решавање на квадратна равенка во општа форма е достапно од Viète, но Viète препозна само позитивни корени. Италијанските математичари Тартаља, Кардано, Бомбели биле меѓу првите во 16 век. Тие ги земаат предвид, покрај позитивните, и негативни корени. Само во 17 век. Благодарение на работата на Жирар, Декарт, Њутн и други научници, методот на решавање квадратни равенки добива современа форма.

1.6 За теоремата на Виета

Теоремата што ја изразува врската помеѓу коефициентите на квадратната равенка и нејзините корени, именувана по Виета, беше формулирана од него за прв пат во 1591 година на следниов начин: „Ако Б + Д, помножено со А - А 2 , еднакви БД, Тоа Аеднакви ВОи еднакви Д ».

За да го разбереме Виета, треба да го запомниме тоа А, како и секоја самогласна буква, значеше непознато (наше X), самогласки ВО, Д- коефициенти за непознатото. На јазикот на модерната алгебра, горната формулација Виета значи: ако има

(а + б )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + б ) x + a б = 0,

x 1 = a, x 2 = б .

Изразување на односот помеѓу корените и коефициентите на равенките општи формулинапишано со помош на симболи, Виет воспоставил униформност во методите за решавање равенки. Сепак, симболиката на Виет е сè уште далеку од модерен изглед. Тој не препознаваше негативни броеви и затоа, кога решаваше равенки, ги разгледуваше само случаите кога сите корени беа позитивни.

2. Методи за решавање на квадратни равенки

Квадратните равенки се темелот на кој почива величественото здание на алгебрата. Пронајдени се квадратни равенки широка применапри решавање на тригонометриски, експоненцијални, логаритамски, ирационални и трансцендентални равенки и неравенки. Сите знаеме како да решаваме квадратни равенки од училиште (8-мо одделение) до матура.

Равенка на формата

Изразување Д= б 2 - 4 акповикани дискриминаторскиквадратна равенка. АкоД = 0, тогаш равенката има еден реален корен; ако Д> 0, тогаш равенката има два реални корени.
Во случај Д = 0 , понекогаш се вели дека квадратната равенка има два идентични корени.
Користење на ознаката Д= б 2 - 4 ак, можеме да ја преработиме формулата (2) во форма

Ако б= 2к, тогаш формулата (2) ја има формата:

Каде к= б / 2 .
Последната формула е особено погодна во случаи кога б / 2 - цел број, т.е. коефициент б- парен број.
Пример 1:Решете ја равенката 2 x 2 - 5 x + 2 = 0 . Еве a = 2, b = -5, c = 2. Ние имаме Д= б 2 - 4 наизменична струја = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . Бидејќи Д > 0 , тогаш равенката има два корени. Ајде да ги најдеме со формулата (2)

Значи x 1 =(5 + 3) / 4 = 2, x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
тоа е x 1 = 2 И x 2 = 1 / 2 - корени на дадена равенка.
Пример 2:Решете ја равенката 2 x 2 - 3 x + 5 = 0 . Еве a = 2, b = -3, c = 5. Наоѓање на дискриминаторот Д= б 2 - 4 наизменична струја = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . Бидејќи Д 0 , тогаш равенката нема вистински корени.

Нецелосни квадратни равенки. Ако во квадратна равенка секира 2 +bx+ в =0 втор коефициент били слободен член ве еднаква на нула, тогаш се повикува квадратната равенка нецелосни. Нецелосни равенкисе изолирани затоа што за да ги пронајдете нивните корени не мора да ја користите формулата за корените на квадратната равенка - полесно е да се реши равенката со факторингирање на нејзината лева страна.
Пример 1:реши ја равенката 2 x 2 - 5 x = 0 .
Ние имаме x(2 x - 5) = 0 . Така или x = 0 , или 2 x - 5 = 0 , тоа е x = 2.5 . Значи, равенката има два корени: 0 И 2.5
Пример 2:реши ја равенката 3 x 2 - 27 = 0 .
Ние имаме 3 x 2 = 27 . Според тоа, корените на оваа равенка се 3 И -3 .

Теорема на Виета. Ако намалената квадратна равенка x 2 + px+q =0 има вистински корени, тогаш нивниот збир е еднаков на - стр, а производот е еднаков q, тоа е

x 1 + x 2 = -p,
x 1 x 2 = q

(збирот на корените на горната квадратна равенка е еднаков на вториот коефициент земен со спротивен знак, а производот на корените е еднаков на слободниот член).

Откако добивте општа идеја за равенките и запознавте со еден од нивните типови - нумерички еднаквости, можете да започнете да зборувате за друг тип на еднаквости што е многу важен од практична гледна точка - равенки. Во оваа статија ќе разгледаме што е равенка, и она што се нарекува корен на равенката. Овде ќе ги дадеме соодветните дефиниции, како и ќе дадеме различни примери на равенки и нивните корени.

Навигација на страницата.

Што е равенка?

Целниот вовед во равенките обично започнува на часовите по математика во второ одделение. Во ова време е дадено следново дефиниција на равенката:

Дефиниција.

Равенкатае еднаквост што содржи непознат број што треба да се најде.

Непознатите броеви во равенките обично се означуваат со мали броеви. Латински букви, на пример, p, t, u, итн., но најчесто користени букви се x, y и z.

Така, равенката се одредува од гледна точка на формата на пишување. Со други зборови, еднаквоста е равенка кога ги почитува наведените правила за пишување - содржи буква чија вредност треба да се најде.

Да дадеме примери на првите и наједноставните равенки. Да почнеме со равенки од формата x=8, y=3 итн. Равенките кои содржат аритметички знаци заедно со бројки и букви изгледаат малку покомплицирани, на пример, x+2=3, z−2=5, 3 t=9, 8:x=2.

Разновидноста на равенките расте откако ќе се запознаеме со - почнуваат да се појавуваат равенки со загради, на пример, 2·(x−1)=18 и x+3·(x+2·(x−2))=3. Непозната буква во равенката може да се појави неколку пати, на пример, x+3+3·x−2−x=9, исто така буквите може да бидат на левата страна од равенката, на нејзината десна страна или на двете страни на равенката, на пример, x· (3+1)−4=8, 7−3=z+1 или 3·x−4=2·(x+12) .

Понатаму по студирањето природни броевисе јавува запознавање со цели, рационални, реални броеви, се изучуваат нови математички објекти: моќи, корени, логаритми итн., додека се појавуваат се повеќе нови видови равенки кои ги содржат овие работи. Примери од нив може да се видат во статијата основни видови равенкиучење на училиште.

Во 7-мо одделение, заедно со буквите, кои значат одредени бројки, тие почнуваат да размислуваат за букви кои можат да земат различни значења, тие се нарекуваат променливи (види статија). Во исто време, зборот „променлива“ се внесува во дефиницијата на равенката и станува вака:

Дефиниција.

Равенканаречена еднаквост која содржи променлива чија вредност треба да се најде.

На пример, равенката x+3=6·x+7 е равенка со променливата x, а 3·z−1+z=0 е равенка со променливата z.

За време на часовите по алгебра во истото VII одделение, наидуваме на равенки кои содржат не една, туку две различни непознати променливи. Тие се нарекуваат равенки во две променливи. Во иднина, дозволено е присуство на три или повеќе променливи во равенките.

Дефиниција.

Равенки со еден, два, три итн. променливи– тоа се равенки кои во своето пишување содржат една, две, три, ... непознати соодветно променливи.

На пример, равенката 3,2 x+0,5=1 е равенка со една променлива x, за возврат, равенка од формата x−y=3 е равенка со две променливи x и y. И уште еден пример: x 2 +(y−1) 2 +(z+0,5) 2 =27. Јасно е дека таквата равенка е равенка со три непознати променливи x, y и z.

Кој е коренот на равенката?

Дефиницијата на равенката е директно поврзана со дефиницијата на коренот на оваа равенка. Ајде да спроведеме некое расудување кое ќе ни помогне да разбереме што е коренот на равенката.

Да речеме дека имаме равенка со една буква (променлива). Ако наместо буква вклучена во записот на оваа равенка, се замени одреден број, тогаш равенката се претвора во нумеричка еднаквост. Покрај тоа, добиената еднаквост може да биде или вистинита или неточна. На пример, ако го замените бројот 2 наместо буквата a во равенката a+1=5, ќе го добиете неточното нумеричко равенство 2+1=5. Ако во оваа равенка го замениме бројот 4 наместо a, ќе го добиеме точното равенство 4+1=5.

Во пракса, во огромно мнозинство случаи, интересот е во оние вредности на променливата чија замена во равенката ја дава точната еднаквост; овие вредности се нарекуваат корени или решенија на оваа равенка.

Дефиниција.

Корен на равенката- ова е вредноста на буквата (променлива), по чија замена равенката се претвора во правилна нумеричка еднаквост.

Забележете дека коренот на равенката во една променлива се нарекува и решение на равенката. Со други зборови, решението на равенката и коренот на равенката се иста работа.

Да ја објасниме оваа дефиниција со пример. За да го направите ова, да се вратиме на равенката напишана над a+1=5. Според наведената дефиниција за коренот на равенката, бројот 4 е коренот на оваа равенка, бидејќи при замена на овој број наместо буквата a се добива точно еднаквост 4+1=5, а бројот 2 не е негов корен, бидејќи одговара на неточна еднаквост од формата 2+1= 5 .

Во овој момент, се појавуваат голем број природни прашања: „Дали некоја равенка има корен и колку корени има дадената равенка?“ Ние ќе им одговориме.

Има и равенки кои имаат корени и равенки кои немаат корени. На пример, равенката x+1=5 има корен 4, но равенката 0 x=5 нема корени, бидејќи без разлика кој број ќе го замениме во оваа равенка наместо променливата x, ќе ја добиеме неточната еднаквост 0=5. .

Што се однесува до бројот на корените на една равенка, постојат и равенки кои имаат одреден конечен број корени (еден, два, три итн.) и равенки кои имаат бесконечен број корени. На пример, равенката x−2=4 има еден корен 6, корените на равенката x 2 =9 се два броја −3 и 3, равенката x·(x−1)·(x−2)=0 има три корени 0, 1 и 2, а решението на равенката x=x е кој било број, односно има бесконечен број корени.

Треба да се кажат неколку зборови за прифатената нотација за корените на равенката. Ако равенката нема корени, тогаш тие обично пишуваат „равенката нема корени“ или го користат знакот за празно множество ∅. Ако равенката има корени, тогаш тие се пишуваат одделени со запирки или се пишуваат како елементи на комплетотво кадрави загради. На пример, ако корените на равенката се броевите −1, 2 и 4, тогаш напишете −1, 2, 4 или (−1, 2, 4). Исто така, дозволено е да се запишат корените на равенката во форма на едноставни еднаквости. На пример, ако равенката ја вклучува буквата x, а корените на оваа равенка се броевите 3 и 5, тогаш можете да напишете x=3, x=5, а често се додаваат подлози x 1 =3, x 2 =5 на променливата, како да ги означува броевите корени на равенката. Бесконечно множество од корени на равенката обично се пишува во форма; ако е можно, се користи и ознаката за множества природни броеви N, цели броеви Z и реални броеви R. На пример, ако коренот на равенката со променлива x е кој било цел број, тогаш запишете , а ако корените на равенката со променлива y се кој било реален број од 1 до 9 вклучително, тогаш запишете .

За равенки со два, три и голема сумапроменливи, по правило, не се користи терминот „корен на равенката“, во овие случаи велат „решение на равенката“. Што се нарекува решавање равенки со неколку променливи? Да ја дадеме соодветната дефиниција.

Дефиниција.

Решавање на равенка со два, три итн. променливинаречен пар, три итн. вредностите на променливите, претворајќи ја оваа равенка во правилна нумеричка еднаквост.

Дозволете ни да покажеме објаснувачки примери. Размислете за равенка со две променливи x+y=7. Ајде да го замениме бројот 1 наместо x, а бројот 2 наместо y, и ќе ја имаме еднаквоста 1+2=7. Очигледно, тоа е неточно, затоа, парот вредности x=1, y=2 не е решение за напишаната равенка. Ако земеме пар вредности x=4, y=3, тогаш по замена во равенката ќе дојдеме до точната еднаквост 4+3=7, според тоа, овој пар на вредности на променливи, по дефиниција, е решение на равенката x+y=7.

Равенките со неколку променливи, како равенките со една променлива, може да немаат корени, може да имаат конечен број корени или може да имаат бесконечен број корени.

Парови, тројки, четворки итн. Вредностите на променливите често се пишуваат накратко, наведувајќи ги нивните вредности одделени со запирки во загради. Во овој случај, броевите напишани во загради одговараат на променливите во азбучен ред. Да ја разјасниме оваа точка со враќање на претходната равенка x+y=7. Решението на оваа равенка x=4, y=3 може накратко да се запише како (4, 3).

Најголемо внимание во училишен курсматематиката, алгебрата и почетоците на анализата се посветени на наоѓање на корените на равенките во една променлива. Ние ќе разговараме за правилата на овој процес во многу детали во статијата. решавање равенки.

Библиографија.

• Математика. 2 паралелки Тетратка за општо образование институции со прид. по електрон носител. Во 14 часот Дел 1 / [М. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova, итн.] - 3. ed. - М.: Образование, 2012. - 96 стр.: ill. - (Училиште на Русија). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Алгебра:тетратка за 7 одделение. општо образование институции / [Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; Изменето од С.А. Телјаковски. - 17-ти изд. - М.: Образование, 2008. - 240 стр. : болен. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра: 9-то одделение: воспитно. за општо образование институции / [Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; Изменето од С.А. Телјаковски. - 16-ти изд. - М.: Образование, 2009. - 271 стр. : болен. - ISBN 978-5-09-021134-5.