Сегменти на тангенти на нацртан круг. Референтни материјали: акорд, секанта, тангента, теореми

Концептот на тангента на круг

Кругот има три можни меѓусебни договорирелативно директно:

Ако растојанието од центарот на кругот до правата линија е помало од радиусот, тогаш правата линија има две точки на пресек со кругот.

Ако растојанието од центарот на кругот до правата линија е еднакво на радиусот, тогаш правата линија има две точки на пресек со кругот.

Ако растојанието од центарот на кругот до правата линија е поголемо од радиусот, тогаш правата линија има две точки на пресек со кругот.

Сега да го претставиме концептот на тангента линија на круг.

Дефиниција 1

Тангента на круг е права која има една пресечна точка со неа.

Заедничката точка на кружницата и тангентата се нарекува точка на тангенција (слика 1).

Слика 1. Тангента на круг

Теореми поврзани со концептот на тангента на круг

Теорема 1

Теорема за својство на тангенти: тангента на кружница е нормална на радиусот нацртан до точката на тангенција.

Доказ.

Размислете за круг со центар $O$. Дозволете ни да нацртаме тангента $a$ во точката $A$. $OA=r$ (слика 2).

Дозволете ни да докажеме дека $a\bot r$

Теоремата ќе ја докажеме со контрадикторност. Да претпоставиме дека тангентата $a$ не е нормална на радиусот на кружницата.

Слика 2. Илустрација на теорема 1

Односно, $OA$ е наклонет кон тангентата. Бидејќи нормалната на права линија $a$ е секогаш помала од наклонетата на истата права линија, растојанието од центарот на кругот до правата линија е помало од радиусот. Како што знаеме, во овој случај правата линија има две точки на пресек со кругот. Што е во спротивност со дефиницијата за тангента.

Затоа, тангентата е нормална на радиусот на кругот.

Теоремата е докажана.

Теорема 2

Конверс на теоремата за својство на тангента: Ако правата што минува низ крајот на радиусот на кругот е нормална на радиусот, тогаш оваа права е тангента на оваа кружница.

Доказ.

Според условите на задачата, имаме дека радиусот е нормална извлечена од центарот на кругот до дадена права линија. Затоа, растојанието од центарот на кругот до права линија е еднакво на должината на радиусот. Како што знаеме, во овој случај кругот има само една точка на пресек со оваа права. Со дефиниција 1 наоѓаме дека оваа права е тангента на кругот.

Теоремата е докажана.

Теорема 3

Сегментите на тангентите на кругот нацртан од една точка се еднакви и прават еднакви агли со права линија што минува низ оваа точка и центарот на кругот.

Доказ.

Нека е даден круг со центар во точката $O$. Две различни тангенти се извлечени од точката $A$ (која лежи на целата кружница). Од точката на контакт $B$ и $C$, соодветно (сл. 3).

Да докажеме дека $\агол BAO=\агол CAO$ и дека $AB=AC$.

Слика 3. Илустрација на теорема 3

Според теорема 1, имаме:

Според тоа, триаголниците $ABO$ и $ACO$ се правоаголни триаголници. Бидејќи $OB=OC=r$, а хипотенузата $OA$ е вообичаена, тогаш овие триаголници се еднакви по хипотенуза и крак.

Оттука го добиваме тој $\агол BAO=\агол CAO$ и $AB=AC$.

Теоремата е докажана.

Пример за проблем за концептот на тангента на круг

Пример 1

Даден е круг со центар во точката $O$ и радиус $r=3\ cm$. Тангентата $AC$ има точка на тангенција $C$. $AO=4\ cm$. Најдете $AC$.

Решение.

Ајде прво да прикажеме сè на сликата (сл. 4).

Слика 4.

Бидејќи $AC$ е тангента и $OC$ е радиус, тогаш со теорема 1, го добиваме тој $\агол ACO=(90)^(()^\circ )$. Откривме дека триаголникот $ACO$ е правоаголен, што значи, според Питагоровата теорема, имаме:

\[(AC)^2=(AO)^2+r^2\] \[(AC)^2=16+9\] \[(AC)^2=25\] \

Директно ( МН), имајќи само една заедничка точка со кругот ( А), повикан тангента до кругот.

Заедничката точка се нарекува во овој случај точка на контакт.

Можност за постоење тангента, и, згора на тоа, извлечен низ која било точка круг, како точка на тангенција, се докажува на следниов начин теорема.

Нека се бара да се спроведе кругсо центар О тангентапреку точката А. За да го направите ова од точка А,како од центарот, опишуваме лакрадиус А.О., и од точка О, како центар, го пресекуваме овој лак на точките БИ СОраствор за компас еднаков на дијаметарот на дадениот круг.

По трошењето тогаш акорди О.Б.И ОС, поврзете ја точката Асо точки ДИ Е, на кој овие акорди се вкрстуваат со даден круг. Директно АДИ А.Е. - тангенти на круг О. Навистина, од конструкцијата е јасно дека триаголници AOBИ AOC рамнокрак(AO = AB = AC) со основи О.Б.И ОС, еднаков на дијаметарот на кругот О.

Бидејќи О.Д.И О.Е.- радиуси, тогаш Д - средината О.Б., А Е- средината ОС, Средства АДИ А.Е. - медијани, носени до базите рамнокрак триаголници, и затоа нормално на овие основи. Ако директно Д.А.И Е.А.нормално на радиусите О.Д.И О.Е., тогаш тие - тангенти.

Последица.

Две тангенти нацртани од една точка до круг се еднакви и формираат еднакви агли со права линија што ја поврзува оваа точка со центарот.

Значи АД=АЕи ∠ ОАД = ∠ОАЕбидејќи правоаголни триаголници AODИ АОЕ, имајќи заедничко хипотенуза А.О.и еднакви нозете О.Д.И О.Е.(како радиуси), се еднакви. Забележете дека овде зборот „тангента“ всушност значи „ тангентен сегмент“ од дадена точка до точка на контакт.

Сегментите на тангентите на кругот нацртан од една точка се еднакви и прават еднакви агли со права линија што минува низ оваа точка и центарот на кругот. ДОКАЗ. A. 3. B. 4. 1. 2. S. O. Според теоремата за својството тангента, аглите 1 и 2 се прави агли, затоа триаголниците ABO и ACO се правоаголни. Тие се еднакви, бидејќи имаат заедничка хипотенуза ОА и еднакви нозеОВ и ОС. Затоа, AB = AC и агол 3 = агол 4, што требаше да се докаже.

Слајд 4од презентацијата Геометрија „Круг“.. Големината на архивата со презентацијата е 316 KB.

Геометрија 8-мо одделение

резимедруги презентации

„Својства на четириаголници“ - Трапез. Дано ја исправи играта. Дијагоналите ги преполовуваат аглите. Дефиниции за четириаголници. Дијагонали. Диктат. Квадрат е правоаголник чии страни се сите еднакви. Сите агли се правилни. Спротивни агли. Елементи на паралелограм. Конструктор. Ромб. Својства на четириаголници. Забави. Четириаголници и нивните својства. Четириаголник. Помогнете му да не знам да ја исправам тагата. Дијагонала. Спротивни страни.

„Вектори 8-мо одделение“ - Цели на часот. Именувајте еднакви и спротивни вектори. Определи ги координатите на векторот. Еднакви вектори. Вектори на часови по физика. Продолжи ја реченицата. Најдете и именувајте еднакви вектори на оваа слика. Векторски координати. Практична работа. Апсолутната големина на векторот. Апсолутната големина на векторот. Самостојна работаво парови. Опишани се природни феномени физичките величини. Вектори. Векторски координати.

„Скаларен производ во координати“ - Математичко загревање. Решение на триаголник. Наполеонова теорема. Нов материјал. Разменете картички. Ајде да го решиме проблемот. Геометрија. Името на авторот на теоремата. Последица. Вектор. Својства на скаларниот производ на вектори. Скаларен производво координатите и неговите својства. Доказ за Питагоровата теорема. Тест по математика.

„Аксијална симетрија во геометријата“ - Фигурата се нарекува симетрична во однос на права линија a. Фигури со две оски на симетрија. Фигури кои имаат една оска на симетрија. Конструирај симетрични триаголници на податоците во однос на права C. Содржина. Конструирај ги точките А" и Б". Дефиниција. Симетријата во поезијата. Аксијална симетрија. Нацртајте две прави a и b и означете две точки A и B. Како да добиете фигура симетрична на оваа. Зборови кои имаат оска на симетрија.

Геометрија на „аксијална и централна симетрија“ - Опишете ја фигурата. Веил Херман. Симетрија во растителниот свет. Науката. Симетрија во светот на инсектите. Агли на триаголник. Ротациона симетрија. Пропорционалност. Алгоритам за изградба. Аксијален и централна симетрија. Симетрични точки околу центарот. Симетрија на точки во однос на права линија. Познати карактеристики. Што ве привлече на овие фотографии? Точка О. Централна и аксијална симетрија. Симетријата на фигурата е релативно исправена.

„Теорема на Талес“ 8-мо одделение“ - Сегмент. Вештини за решавање проблеми. Дијагонала. Анализа. Задачи на готови цртежи. Доказ. Студија. Паралелни линии. Талес е познат како геометар. Талес од Милет. Средни точки на страните. Теорема на Талес. Изреки на Талес. Задача. Најдете ги аглите на трапезот. Доказ.

Одржувањето на вашата приватност е важно за нас. Поради оваа причина, развивме Политика за приватност која опишува како ги користиме и складираме вашите информации. Ве молиме прегледајте ги нашите практики за приватност и кажете ни ако имате какви било прашања.

Собирање и користење на лични информации

Личните информации се однесуваат на податоци што може да се користат за идентификација одредена личностили врска со него.

Може да биде побарано од вас да ги дадете вашите лични податоци во секое време кога ќе не контактирате.

Подолу се дадени неколку примери за типовите на лични информации што можеме да ги собираме и како можеме да ги користиме тие информации.

Кои лични податоци ги собираме:

• Кога поднесувате апликација на страницата, може да собереме различни информации, вклучувајќи го вашето име, телефонски број, адреса Е-поштаитн.

Како ги користиме вашите лични податоци:

• Собрани од нас лични податоцини овозможува да ве контактираме и да ве информираме за уникатни понуди, промоции и други настани и претстојни настани.
• Од време на време, може да ги користиме вашите лични податоци за да испраќаме важни известувања и комуникации.
• Може да користиме и лични информации за внатрешни цели како што се ревизија, анализа на податоци и различни студиисо цел да ги подобриме услугите што ги нудиме и да ви дадеме препораки во врска со нашите услуги.
• Ако учествувате во наградно извлекување, натпревар или слична промоција, ние може да ги користиме информациите што ги давате за администрирање на такви програми.

Откривање на информации на трети страни

Ние не ги откриваме информациите добиени од вас на трети страни.

Исклучоци:

• Доколку е потребно - во согласност со закон, судска постапка, правни постапки и/или врз основа на јавни барања или барања од владини агенциина територијата на Руската Федерација - обелоденете ги вашите лични податоци. Ние, исто така, може да откриеме информации за вас ако утврдиме дека таквото откривање е неопходно или соодветно за безбедност, спроведување на законот или други цели од јавна важност.
• Во случај на реорганизација, спојување или продажба, можеме да ги пренесеме личните информации што ги собираме на соодветната трета страна наследник.

Заштита на лични информации

Преземаме мерки на претпазливост - вклучувајќи административни, технички и физички - за да ги заштитиме вашите лични информации од губење, кражба и злоупотреба, како и од неовластен пристап, откривање, менување и уништување.

Почитување на вашата приватност на ниво на компанија

За да се осигураме дека вашите лични информации се безбедни, ние ги пренесуваме стандардите за приватност и безбедност на нашите вработени и строго ги спроведуваме практиките за приватност.

Правата линија во однос на кругот може да биде на следните три позиции:

1. Растојанието од центарот на кругот до правата линија е поголемо од радиусот.Во овој случај, сите точки на линијата лежат надвор од кругот.


2. Растојанието од центарот на кругот до правата линија е помало од радиусот.Во овој случај, правата има точки што лежат во кругот и бидејќи правата е бесконечна во двете насоки, таа е пресечена со кругот на 2 точки.


3. Растојанието од центарот на кругот до права линија е еднакво на радиусот.Правата линија е тангента.

Права која има само една заедничка точка со круг се нарекува тангентадо кругот.

Заедничката точка се нарекува во овој случај точка на контакт.

Можноста за постоење на тангента и, згора на тоа, исцртана низ која било точка на кружницата како точка на тангенција, се докажува со следнава теорема.

Теорема. Ако правата е нормална на радиусот на нејзиниот крај што лежи на кругот, тогаш оваа права е тангента.

Нека О (сл) е центар на некоја кружница и ОА некој од неговиот радиус. Преку неговиот крај А цртаме МН ^ ОА.

Потребно е да се докаже дека правата MN е тангента, т.е. дека оваа права има само една заедничка точка А со кружницата.

Да го претпоставиме спротивното: нека МН има друга заедничка точка со кругот, на пример Б.

Тогаш правата линија OB би била радиус и затоа еднаква на ОА.

Но, тоа не може да биде, бидејќи ако ОА е нормално, тогаш OB мора да биде наклонето на MN, а наклонетото е поголемо од нормалното.

Конверзна теорема. Ако правата е тангента на круг, тогаш радиусот нацртан до точката на тангенција е нормален на неа.

Нека MN е тангента на кружницата, A точка на тангенција и O центар на кружницата.

Се бара да се докаже дека ОА^МН.

Да го претпоставиме спротивното, т.е. Да претпоставиме дека нормалната спуштена од O на MN нема да биде OA, туку некоја друга права, на пример, OB.

Да земеме BC = AB и да извршиме оперативен систем.

Тогаш OA и OS ќе бидат наклонети, подеднакво оддалечени од нормалната OB, и затоа OS = OA.

Од ова произлегува дека кругот, земајќи ја предвид нашата претпоставка, ќе има две заеднички точки со правата MN: A и C, т.е. МН нема да биде тангента, туку секанта, што е во спротивност со условот.

Последица. Преку која било дадена точка на круг може да се нацрта тангента на оваа кружница, и само една, бидејќи преку оваа точка може да се нацрта нормална, и само една, на радиусот вовлечен во неа.

Теорема. Тангента паралелна на акорд го дели лакот подвижен од акордот на половина на местото на допир.

Нека правата линија AB (сл.) го допира кругот во точката M и е паралелна со акорд CD.

Треба да докажеме дека ÈCM = ÈMD.

Цртајќи го дијаметарот ME низ точката на тангенција, добиваме: EM ^ AB, а со тоа и EM ^ CB.

Затоа CM=MD.

Задача.Низ дадена точка нацртајте тангента на дадена кружница.

Ако дадена точкае на круг, потоа повлечете радиус низ него и нормална права линија низ крајот на радиусот. Оваа линија ќе биде саканата тангента.

Да го разгледаме случајот кога точката е дадена надвор од кругот.

Нека се бара (сл.) да се нацрта тангента на круг со центар О низ точката А.

За да го направите ова, од точката A, како центар, опишуваме лак со радиус AO, а од точката O, како центар, го пресекуваме овој лак во точките B и C со отвор на компасот еднаков на дијаметарот на дадениот круг. .

Откако ги нацртавме акордите OB и OS, ја поврзуваме точката А со точките D и E, на кои овие акорди се сечат со дадената кружница.

Правилата AD и AE се тангентни на кругот O.

Навистина, од конструкцијата е јасно дека цевките AOB и AOC се рамнокраки (AO = AB = AC) со основите OB и OS еднакви на дијаметарот на кругот O.

Бидејќи OD и OE се радиуси, тогаш D е средината на OB, а E е средината на OS, што значи AD и AE се медијани нацртани до основите на рамнокракните цевки, и затоа се нормални на овие основи. Ако правите DA и EA се нормални на радиусите OD и OE, тогаш тие се тангентни.

Последица. Две тангенти нацртани од една точка до круг се еднакви и формираат еднакви агли со правата линија што ја поврзува оваа точка со центарот.

Значи AD=AE и ÐOAD = ÐOAE (сл.), бидејќи правоаголните tr-ki AOD и AOE, кои имаат заедничка хипотенуза AO и еднакви краци OD и OE (како радиуси), се еднакви.

Забележете дека овде зборот „тангента“ го означува вистинскиот „тангентен сегмент“ од дадена точка до точката на контакт.

Задача.Нацртајте тангента на дадена кружница O паралелна на дадена права AB (сл.).

Спуштаме нормален OS на AB од центарот O и низ точката D, на која оваа нормална ја пресекува кругот, цртаме EF || АБ.

Тангентата што ја бараме ќе биде EF.

Навистина, бидејќи OS ^ AB и EF || AB, потоа EF ^ OD и правата линија нормална на радиусот на неговиот крај што лежи на кругот е тангента.

Задача.Нацртајте заедничка тангента на два круга O и O 1 (сл.).

Анализа. Да претпоставиме дека проблемот е решен.

Нека AB е заедничката тангента, A и B точките на тангенција.

Очигледно, ако најдеме една од овие точки, на пример, А, тогаш лесно можеме да ја најдеме и другата.

Да ги нацртаме радиусите OA и O 1 B. Овие радиуси, кои се нормални на заедничката тангента, се паралелни еден на друг.

Затоа, ако од O 1 извлечеме O 1 C || BA, тогаш цевководот OCO 1 ќе биде правоаголен на темето C.

Како резултат на тоа, ако опишеме круг од O како центар со радиус OS, тогаш тој ќе ја допре правата линија O 1 C во точката C.

Радиусот на овој помошен круг е познат: тој е еднаков на OA – CA = OA - O 1 B, т.е. тоа е еднакво на разликата помеѓу радиусите на овие кругови.

Градба.Од центарот О опишуваме круг со радиус еднаква на разликатададени радиуси.

Од O 1 цртаме тангента O 1 C на оваа кружница (на начин наведен во претходната задача).

Низ тангентата точка C го исцртуваме радиусот OS и го продолжуваме додека не ја сретне дадената кружница во точката A. На крајот, од A цртаме AB паралелно со CO 1.

На ист начин можеме да конструираме уште една заедничка тангента A 1 B 1 (сл.). Се викаат директните линии AB и A 1 B 1 надворешензаеднички тангенти.

Можете да потрошите уште две внатрешентангенти како што следува:

Анализа.Да претпоставиме дека проблемот е решен (сл.). Нека AB е саканата тангента.

Да ги нацртаме радиусите OA и O 1 B на тангентните точки A и B. Бидејќи овие радиуси се нормални на заедничката тангента, тие се паралелни еден на друг.

Затоа, ако од O 1 извлечеме O 1 C || BA и продолжете OA до точката C, тогаш OS ќе биде нормално на O 1 C.

Како резултат на тоа, кругот опишан со радиусот OS од точката O како центар ќе ја допре правата линија O 1 C во точката C.

Радиусот на овој помошен круг е познат: тој е еднаков на OA+AC = OA+O 1 B, т.е. тоа е еднакво на збирот на радиусите на дадените кругови.

Градба.Од О како центар, опишуваме круг со радиус еднаков на износотдадени радиуси.

Од O 1 цртаме тангента O 1 C на оваа кружница.

Ја поврзуваме допирната точка C со O.

На крајот, преку точката А, во која OS ја пресекува дадената кружница, цртаме AB = O 1 C.

На сличен начин можеме да конструираме друга внатрешна тангента A 1 B 1.

Општа дефиниција на тангента

Нека тангента AT и некоја секанта AM се повлечени низ точката А до круг со центар (сл.).

Ајде да го ротираме овој секант околу точката А така што другата пресечна точка Б се приближува и поблиску до А.

Тогаш нормалниот OD, спуштен од центарот до секантот, се повеќе и повеќе ќе се приближува до радиусот OA, а аголот AOD може да стане помал од кој било мал агол.

Аголот МАТ формиран од секанта и тангента е еднаков на аголот AOD (поради нормалноста на нивните страни).

Затоа, како што точката Б се приближува до А на неодредено време, аголот МАТ исто така може да стане произволно мал.

Ова се изразува со други зборови вака:

тангента е граничната положба до која се стреми секанта извлечена низ точка на тангенција кога втората точка на пресек се приближува до точката на тангенција на неодредено време.

Ова својство се зема како дефиниција за тангента кога ние зборуваме заза која било крива.

Така, тангентата на кривата AB (сл.) е ограничувачката положба MT кон која се стреми секантата MN кога пресечната точка P се приближува до M без ограничување.

Забележете дека вака дефинираната тангента може да има повеќе од една заедничка точка со кривата (како што може да се види на сл.).