I. Правопропорционални величини.
Нека вредноста yзависи од големината X. Ако при зголемувањето Xнеколку пати поголема од големината насе зголемува за истиот износ, тогаш таквите вредности XИ насе нарекуваат правопропорционални.
Примери.
1 . Количината на купена стока и набавната цена (со фиксна цена за една единица стока - 1 парче или 1 кг итн.) Колку пати повеќе се купиле стоки, толку пати повеќе платиле.
2 . Поминатото растојание и времето поминато на него (со постојана брзина). Колку пати е подолга патеката, колку пати повеќе време ќе биде потребно за да се заврши.
3 . Волуменот на телото и неговата маса. ( Ако една лубеница е 2 пати поголема од друга, тогаш нејзината маса ќе биде 2 пати поголема)
II. Својство на права пропорционалност на количините.
Ако две количини се директно пропорционални, тогаш односот на две произволно земени вредности на првата количина е еднаков на односот на две соодветни вредности на втората количина.
Задача 1.За џем од малини земавме 12 кгмалини и 8 кгСахара. Колку шеќер ќе ви треба ако го земете? 9 кгмалини?
Решение.
Размислуваме вака: нека биде потребно x kgшеќер за 9 кгмалини Масата на малини и масата на шеќер се директно пропорционални количини: колку пати помалку малини, потребен е ист број пати помалку шеќер. Затоа, односот на земените малини (по тежина) ( 12:9 ) ќе биде еднаков на односот на земениот шеќер ( 8: x). Ја добиваме пропорцијата:
12: 9=8: X;
x=9 · 8: 12;
x=6. Одговор:на 9 кгтреба да се земаат малини 6 кгСахара.
Решението на проблемотТоа би можело да се направи вака:
Нека 9 кгтреба да се земаат малини x kgСахара.
(Стрелките на сликата се насочени во една насока, а нагоре или надолу не е важно. Значење: колку пати е бројот 12 повеќе број 9 , исто толку пати 8 повеќе број Xт.е. тука има директна врска).
Одговор:на 9 кгТреба да земам малини 6 кгСахара.
Задача 2.Автомобил за 3 часаго помина растојанието 264 км. Колку време ќе му треба да патува? 440 км, ако вози со иста брзина?
Решение.
Дозволете за x часаавтомобилот ќе го помине растојанието 440 км.
Одговор:колата ќе помине 440 км за 5 часа.
Задача 3.Водата тече од цевката во базенот. Зад 2 часатаа пополнува 1/5 базен Во кој дел од базенот се полни со вода 5 часот?
Решение.
Одговараме на прашањето на задачата: за 5 часотќе се пополни 1/xдел од базенот. (Целиот базен се зема како една целина).
Заедно со директно пропорционалните величини во аритметиката, беа разгледани и обратнопропорционалните величини.
Да дадеме примери.
1) Должината на основата и висината на правоаголник со константна површина.
Да претпоставиме дека треба да доделите правоаголна парцела со површина од
Ние „произволно можеме да ја поставиме, на пример, должината на делот. Но, тогаш ширината на областа ќе зависи од тоа каква должина сме избрале. Различните (можни) должини и ширини се прикажани во табелата.
Општо земено, ако ја означиме должината на делот со x и ширината со y, тогаш односот меѓу нив може да се изрази со формулата:
Изразувајќи y преку x, добиваме:
Давајќи x произволни вредности, ќе ги добиеме соодветните y вредности.
2) Време и брзина на еднообразно движење на одредено растојание.
Нека растојанието помеѓу два града е 200 km. Колку е поголема брзината, толку помалку време ќе биде потребно за да се помине одредено растојание. Ова може да се види од следната табела:
Во принцип, ако ја означиме брзината со x, а времето на движење со y, тогаш односот меѓу нив ќе се изрази со формулата:
Дефиниција. Врската помеѓу две величини изразена со еднаквоста , каде што k е одреден број (не еднаков на нула), се нарекува обратно пропорционална врска.
Бројот овде се нарекува и коефициент на пропорционалност.
Исто како и во случајот со директна пропорционалност, во еднаквост количините x и y во општиот случај можат да добијат позитивни и негативни вредности.
Но, во сите случаи на обратна пропорционалност, ниту една од величините не може да биде еднаква на нула. Всушност, ако барем една од величините x или y е еднаква на нула, тогаш левата страна на еднаквоста ќе биде еднаква на
И вистинскиот - на некој број што не е еднаков на нула (по дефиниција), односно резултатот ќе биде неточна еднаквост.
2. График на обратна пропорционалност.
Ајде да изградиме график на зависност
Изразувајќи y преку x, добиваме:
Ќе дадеме x произволни (валидни) вредности и ќе ги пресметаме соодветните y вредности. Ја добиваме табелата:
Да ги конструираме соодветните точки (сл. 28).
Ако ги земеме вредностите на x во помали интервали, тогаш точките ќе бидат лоцирани поблиску една до друга.
За сите можни вредности на x, соодветните точки ќе бидат лоцирани на две гранки на графикот, симетрични во однос на потеклото на координатите и поминуваат во првата и третата четвртина од координатната рамнина (сл. 29).
Значи, гледаме дека графикот на обратна пропорционалност е крива линија. Оваа линија се состои од две гранки.
Едната гранка ќе се добие за позитивни, а другата - за негативни вредности на x.
Графикот на обратно пропорционална врска се нарекува хипербола.
За да добиете попрецизен график, треба да изградите што е можно повеќе поени.
Хиперболата може да се нацрта со прилично висока точност користејќи, на пример, обрасци.
На цртежот 30 е нацртан график на обратно пропорционална врска со негативен коефициент. На пример, со креирање табела како оваа:
добиваме хипербола, чии гранки се наоѓаат во II и IV четвртина.
Решавање задачи од проблематичната книга Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд за VI одделение по математика на тема:
§ 4. Односи и пропорции:
22. Директни и обратнопропорционални односи
1 За 3,2 кг стока платиле 115,2 рубли. Колку треба да платите за 1,5 кг од овој производ?
РЕШЕНИЕ
2 Два правоаголници имаат иста плоштина. Должината на првиот правоаголник е 3,6 m, а ширината е 2,4 m Должината на вториот е 4,8 m. Најдете ја неговата ширина.
РЕШЕНИЕ
782 Определи дали односот помеѓу количините е директен, инверзен или непропорционален: растојанието што го поминува автомобилот со константна брзина и времето на неговото движење; цената на чинење на стоката купена по една цена и нејзината количина; површината на плоштадот и должината на неговата страна; масата на челичната шипка и нејзиниот волумен; бројот на работници кои вршат некоја работа со иста продуктивност на трудот и времето на завршување; цената на чинење на производот и неговата количина купена за одредена сума пари; возраста на лицето и големината на неговите чевли; волуменот на коцката и должината на нејзиниот раб; периметарот на квадратот и должината на неговата страна; дропка и нејзиниот именител, ако броителот не се менува; дропка и неговиот броител ако именителот не се менува.
РЕШЕНИЕ
783 Челична топка со волумен од 6 cm3 има маса од 46,8 g Колкава е масата на топката направена од истиот челик ако нејзиниот волумен е 2,5 cm3?
РЕШЕНИЕ
784 Од 21 кг семе од памук, добиени се 5,1 кг масло. Колку масло ќе се добие од 7 кг памучно семе?
РЕШЕНИЕ
785 За изградба на стадионот, 5 булдожери ја расчистија локацијата за 210 минути. Колку време ќе бидат потребни 7 булдожери за расчистување на оваа локација?
РЕШЕНИЕ
786 За превоз на товарот биле потребни 24 возила со носивост од 7,5 тони Колку возила со носивост од 4,5 тони се потребни за превоз на ист товар?
РЕШЕНИЕ
787 За да се утврди ртење на семињата, се сее грашок. Од посеаните 200 грашок никнале 170. Колкав процент од грашокот никнал (никнал)?
РЕШЕНИЕ
788 За време на неделата на градското зазеленување, на улицата беа засадени липи. Прифатени се 95% од сите засадени липи. Колку од нив се засадени ако се засадат 57 липи?
РЕШЕНИЕ
789 Во скијачката секција има 80 ученици. Меѓу нив има 32 девојчиња. Колкав процент од учесниците во секцијата се девојчиња и момчиња?
РЕШЕНИЕ
790 Според планот, фабриката требаше да топи 980 тони челик за еден месец. Но, планот е исполнет со 115%. Колку тони челик произведе фабриката?
РЕШЕНИЕ
791 За 8 месеци работникот завршил 96% од годишниот план. Колкав процент од годишниот план ќе заврши работникот за 12 месеци доколку работи со иста продуктивност?
РЕШЕНИЕ
792 За три дена се собрани 16,5% од целокупното цвекло. Колку дена ќе бидат потребни за да се соберат 60,5% од цвеклото ако работите со иста продуктивност?
РЕШЕНИЕ
793 Во железната руда на секои 7 делови железо има 3 дела нечистотии. Колку тони нечистотии има во рудата која содржи 73,5 тони железо?
РЕШЕНИЕ
794 За подготовка на борш, на секои 100 гр месо треба да земете 60 гр цвекло. Колку цвекло треба да земете за 650 гр месо?
РЕШЕНИЕ
796 Изрази ја секоја од следните дропки како збир на две дропки со броител 1.
РЕШЕНИЕ
797 Од броевите 3, 7, 9 и 21 формирај две точни пропорции.
РЕШЕНИЕ
798 Средните членови на пропорцијата се 6 и 10. Кои можат да бидат екстремните членови? Наведи примери.
РЕШЕНИЕ
799 При која вредност на x е точна пропорцијата.
РЕШЕНИЕ
800 Најдете го односот од 2 мин до 10 секунди; 0,3 m2 до 0,1 dm2; 0,1 kg до 0,1 g; 4 часа до 1 ден; 3 dm3 до 0,6 m3
РЕШЕНИЕ
801 Каде на координатниот зрак треба да се наоѓа бројот c за пропорцијата да биде точна.
РЕШЕНИЕ
802 Покријте ја масата со лист хартија. Отворете ја првата линија неколку секунди и потоа, затворајќи ја, обидете се да ги повторите или запишете трите броја од таа линија. Ако правилно сте ги репродуцирале сите броеви, преминете на вториот ред од табелата. Ако има грешка во која било линија, напишете сами неколку групи со ист број двоцифрени броеви и вежбајте да меморирате. Ако можете да репродуцирате најмалку пет двоцифрени броеви без грешки, имате добра меморија.
РЕШЕНИЕ
804 Дали е можно да се формулира точната пропорција од следните броеви?
РЕШЕНИЕ
805 Од еднаквоста на производите 3 · 24 = 8 · 9 формирајте три точни пропорции.
РЕШЕНИЕ
806 Должината на отсечката AB е 8 dm, а должината на отсечката CD е 2 cm. Најдете го односот на должините AB и CD. Кој дел од AB е должината на CD?
РЕШЕНИЕ
807 Патување во санаториум чини 460 рубли. Синдикатот плаќа 70% од трошоците за патувањето. Колку ќе плати туристи за патување?
РЕШЕНИЕ
808 Најдете го значењето на изразот.
РЕШЕНИЕ
809 1) При обработка на дел за леење со тежина од 40 kg се потрошиле 3,2 kg. Колкав процент е масата на делот од леењето? 2) При сортирање на жито од 1750 кг, 105 кг отидоа на отпад. Колкав процент од жито остана?
Концептот на директна пропорционалност
Замислете дека планирате да ги купите вашите омилени бонбони (или нешто што навистина ви се допаѓа). Слатките во продавницата имаат своја цена. Да речеме 300 рубли за килограм. Колку повеќе бонбони купувате, толку повеќе пари плаќате. Односно, ако сакате 2 килограми, платите 600 рубли, а ако сакате 3 килограми, платите 900 рубли. Се чини дека сето ова е јасно, нели?
Ако да, тогаш сега ви е јасно што е директна пропорционалност - ова е концепт кој ја опишува врската на две големини зависни една од друга. И односот на овие количини останува непроменет и константен: за колку делови еден од нив се зголемува или намалува, за ист број делови вториот се зголемува или намалува пропорционално.
Директната пропорционалност може да се опише со следнава формула: f(x) = a*x, а a во оваа формула е константна вредност (a = const). Во нашиот пример за бонбоните, цената е константна вредност, константа. Не се зголемува или намалува, без разлика колку бонбони ќе одлучите да купите. Независната променлива (аргумент) x е колку килограми бонбони ќе купите. А зависната променлива f(x) (функција) е колку пари на крајот плаќате за купувањето. Така, можеме да ги замениме броевите во формулата и да добиеме: 600 рубли. = 300 рубли. * 2 кг.
Средниот заклучок е овој: ако аргументот се зголемува, функцијата исто така се зголемува, ако аргументот се намалува, функцијата исто така се намалува
Функција и нејзините својства
Директно пропорционална функцијае посебен случај на линеарна функција. Ако линеарната функција е y = k*x + b, тогаш за директна пропорционалност таа изгледа вака: y = k*x, каде што k се нарекува коефициент на пропорционалност и секогаш е број кој не е нула. Лесно се пресметува k - се наоѓа како количник на функција и аргумент: k = y/x.
За да биде појасно, да земеме уште еден пример. Замислете дека автомобил се движи од точка А до точка Б. Неговата брзина е 60 km/h. Ако претпоставиме дека брзината на движење останува константна, тогаш таа може да се земе како константа. А потоа ги запишуваме условите во форма: S = 60*t, и оваа формула е слична на функцијата на директна пропорционалност y = k *x. Да повлечеме паралела понатаму: ако k = y/x, тогаш брзината на автомобилот може да се пресмета знаејќи го растојанието помеѓу A и B и времето поминато на патот: V = S /t.
И сега, од применетата примена на знаењето за директната пропорционалност, да се вратиме на неговата функција. Чии својства вклучуваат:
неговиот домен на дефиниција е множеството од сите реални броеви (како и неговите подмножества);
функцијата е непарна;
промената на променливите е правопропорционална по целата должина на бројната права.
Директна пропорционалност и нејзиниот график
Графикот на функцијата на директна пропорционалност е права линија што го пресекува потеклото. За да го изградите, доволно е да означите само уште една точка. И поврзете го и потеклото на координатите со права линија.
Во случај на график, k е наклонот. Ако наклонот е помал од нула (к< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), графикот и х-оската формираат остар агол, а функцијата се зголемува.
И уште едно својство на графикот на функцијата на директна пропорционалност е директно поврзано со наклонот k. Да претпоставиме дека имаме две неидентични функции и, соодветно, два графика. Значи, ако коефициентите k на овие функции се еднакви, нивните графикони се наоѓаат паралелно со координатната оска. И ако коефициентите k не се еднакви еден со друг, графиконите се сечат.
Примерок проблеми
Сега да решиме пар проблеми со директна пропорционалност
Да почнеме со нешто едноставно.
Проблем 1: Замислете дека 5 кокошки снеле 5 јајца за 5 дена. И ако има 20 кокошки, колку јајца ќе снесат за 20 дена?
Решение: Да ја означиме непознатата со kx. И ќе резонираме на следниов начин: колку пати повеќе пилиња станаа? Поделете 20 на 5 и дознајте дека е 4 пати. Колку пати повеќе јајца ќе снесат 20 кокошки во истите 5 дена? Исто така 4 пати повеќе. Значи, нашата ја наоѓаме вака: 5*4*4 = 80 јајца ќе снесат 20 кокошки за 20 дена.
Сега примерот е малку покомплициран, ајде да го парафразираме проблемот од „Општата аритметика“ на Њутн. Задача 2: Писателот може да состави 14 страници од нова книга за 8 дена. Кога би имал асистенти, колку луѓе би биле потребни за да напишат 420 страници за 12 дена?
Решение: Размислуваме дека бројот на луѓе (писател + асистенти) се зголемува со обемот на работата, ако таа треба да се направи во исто време. Но, колку пати? Поделувајќи 420 со 14, дознаваме дека се зголемува за 30 пати. Но, бидејќи, според условите на задачата, се дава повеќе време за работата, бројот на асистенти се зголемува не за 30 пати, туку на овој начин: x = 1 (писател) * 30 (пати): 12/8 ( денови). Ајде да се трансформираме и да дознаеме дека x = 20 луѓе ќе напишат 420 страници за 12 дена.
Ајде да решиме уште еден проблем сличен на оние во нашите примери.
Проблем 3: Два автомобили тргнаа на исто патување. Едниот се движел со брзина од 70 км/ч и го поминал истото растојание за 2 часа колку што на другиот му биле потребни 7 часа. Најдете ја брзината на вториот автомобил.
Решение: Како што се сеќавате, патеката се одредува преку брзината и времето - S = V *t. Бидејќи двата автомобили поминаа исто растојание, можеме да ги изедначиме двата израза: 70*2 = V*7. Како да откриеме дека брзината на вториот автомобил е V = 70*2/7 = 20 km/h.
И уште неколку примери на задачи со функции на директна пропорционалност. Понекогаш проблемите бараат да се најде коефициентот k.
Задача 4: Со оглед на функциите y = - x/16 и y = 5x/2, определи ги нивните коефициенти на пропорционалност.
Решение: Како што се сеќавате, k = y/x. Тоа значи дека за првата функција коефициентот е еднаков на -1/16, а за втората k = 5/2.
Може да наидете и на задача како Задача 5: Запишете ја директната пропорционалност со формула. Неговиот график и графикот на функцијата y = -5x + 3 се наоѓаат паралелно.
Решение: Функцијата што ни е дадена во условот е линеарна. Знаеме дека директната пропорционалност е посебен случај на линеарна функција. Исто така, знаеме дека ако коефициентите на k функции се еднакви, нивните графикони се паралелни. Ова значи дека се што е потребно е да се пресмета коефициентот на позната функција и да се постави директна пропорционалност користејќи ја формулата позната нам: y = k *x. Коефициент k = -5, директна пропорционалност: y = -5*x.
Заклучок
Сега научивте (или се сетивте, ако веќе сте ја опфатиле оваа тема претходно) како се нарекува директна пропорционалност, и го погледна примери. Разговаравме и за функцијата на директна пропорционалност и нејзиниот график и решивме неколку примери на задачи.
Ако овој напис беше корисен и ви помогна да ја разберете темата, кажете ни за тоа во коментарите. За да знаеме дали можеме да ви користиме.
blog.site, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до оригиналниот извор.
Се вчитува...
