Што се пресметува со помош на логаритам. Дефиниција на логаритам, основен логаритамски идентитет. Примери на проблеми и нееднаквости

Врз основа на бројот e: ln x = log e x.

Природниот логаритам е широко користен во математиката бидејќи неговиот дериват ја има наједноставната форма: (ln x)′ = 1/ x.

Врз основа дефиниции, основата на природниот логаритам е бројот д:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

График на функцијата y = во x.

График на природен логаритам (функции y = во x) се добива од експоненцијалниот график со огледало одраз во однос на правата y = x.

Природниот логаритам е дефиниран за позитивните вредности на променливата x. Монотоно се зголемува во својот домен на дефиниција.

На x → 0 границата на природниот логаритам е минус бесконечност (-∞).

Како x → + ∞, границата на природниот логаритам е плус бесконечност (+ ∞). За голем x, логаритмот се зголемува прилично бавно. Секоја функција на моќност x a со позитивен експонент a расте побрзо од логаритамот.

Својства на природниот логаритам

Домен на дефиниција, збир на вредности, екстреми, зголемување, намалување

Природниот логаритам е монотоно растечка функција, па затоа нема екстреми. Главните својства на природниот логаритам се претставени во табелата.

ln x вредности

ln 1 = 0

Основни формули за природни логаритми

Формули кои произлегуваат од дефиницијата на инверзната функција:

Главното својство на логаритмите и неговите последици

Формула за замена на основата

Секој логаритам може да се изрази во однос на природни логаритми користејќи ја формулата за замена на основата:

Доказите за овие формули се претставени во делот „Логаритам“.

Инверзна функција

Инверзната на природниот логаритам е експонентот.

Ако тогаш

Ако тогаш.

Извод ln x

Извод на природниот логаритам:
.
Извод на природниот логаритам на модул x:
.
Извод од n-ти ред:
.
Изведување формули > > >

Интегрален

Интегралот се пресметува со интеграција по делови:
.
Значи,

Изрази кои користат сложени броеви

Размислете за функцијата на сложената променлива z:
.
Да ја изразиме сложената променлива zпреку модул ри аргумент φ :
.
Користејќи ги својствата на логаритмот, имаме:
.
Или
.
Аргументот φ не е единствено дефиниран. Ако ставите
, каде што n е цел број,
ќе биде ист број за различни n.

Според тоа, природниот логаритам, како функција на сложена променлива, не е функција со една вредност.

Проширување на серијата на моќност

Кога ќе се изврши проширување:

Референци:
И.Н. Бронштајн, К.А. Семендјаев, Прирачник за математика за инженери и студенти, „Лан“, 2009 година.

Како што се развиваше општеството и производството стана покомплексно, се развиваше и математиката. Движење од едноставно до сложено. Од обичното сметководство користејќи го методот на собирање и одземање, со нивно постојано повторување, дојдовме до концептот на множење и делење. Намалувањето на повторената операција на множење стана концепт на степенување. Првите табели за зависноста на броевите од основата и бројот на степенување беа составени уште во 8 век од индискиот математичар Варасена. Од нив може да се брои времето на настанување на логаритми.

Историска скица

Заживувањето на Европа во 16 век го поттикнало и развојот на механиката. Т бараше голема количина на пресметкиповрзани со множење и делење на повеќецифрени броеви. Античките маси беа од голема услуга. Тие овозможија да се заменат сложените операции со поедноставни - собирање и одземање. Голем чекор напред беше работата на математичарот Мајкл Штифел, објавена во 1544 година, во која тој ја реализираше идејата на многу математичари. Ова овозможи да се користат табели не само за моќи во форма на прости броеви, туку и за произволни рационални.

Во 1614 година, Шкотланѓанецот Џон Напиер, развивајќи ги овие идеи, прв го воведе новиот термин „логаритам на број“. Беа составени нови сложени табели за пресметување на логаритмите на синусите и косинусите, како и тангентите. Ова во голема мера ја намали работата на астрономите.

Почнаа да се појавуваат нови табели, кои успешно ги користеа научниците три века. Помина многу време пред новата операција во алгебрата да ја добие својата завршена форма. Беше дадена дефиницијата на логаритамот и беа проучени неговите својства.

Дури во 20 век, со појавата на калкулаторот и компјутерот, човештвото ги напуштило античките маси кои успешно работеле во текот на 13 век.

Денес го нарекуваме логаритам на b за да го засноваме a бројот x кој е моќта на a да направи b. Ова е напишано како формула: x = log a(b).

На пример, log 3(9) би бил еднаков на 2. Ова е очигледно ако ја следите дефиницијата. Ако подигнеме 3 на јачината од 2, добиваме 9.

Така, формулираната дефиниција поставува само едно ограничување: броевите a и b мора да бидат реални.

Видови логаритми

Класичната дефиниција се нарекува реален логаритам и всушност е решение на равенката a x = b. Опцијата a = 1 е гранична и не е од интерес. Внимание: 1 на која било моќност е еднакво на 1.

Реална вредност на логаритамсе дефинира само кога основата и аргументот се поголеми од 0, а основата не смее да биде еднаква на 1.

Посебно место во областа на математикатаиграјте логаритми, кои ќе бидат именувани во зависност од големината на нивната основа:

Правила и ограничувања

Основното својство на логаритмите е правилото: логаритамот на производот е еднаков на логаритамскиот збир. log abp = log a(b) + log a(p).

Како варијанта на оваа изјава ќе има: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), функцијата количник е еднаква на разликата на функциите.

Од претходните две правила лесно се гледа дека: log a(b p) = p * log a(b).

Други својства вклучуваат:

Коментар. Нема потреба да се прави вообичаена грешка - логаритмот на збирот не е еднаков на збирот на логаритми.

За многу векови, операцијата за наоѓање логаритам беше прилично долга задача. Математичарите ја користеле добро познатата формула на логаритамската теорија на полиномско проширување:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), каде што n е природен број поголем од 1, што ја одредува точноста на пресметката.

Логаритмите со други основи беа пресметани со помош на теоремата за преминот од една основа во друга и својството на логаритмот на производот.

Бидејќи овој метод е многу трудоинтензивен и при решавање на практични проблемитешко за спроведување, користевме претходно составени табели на логаритми, што значително ја забрза целата работа.

Во некои случаи се користеа специјално составени графикони на логаритми, кои даваа помала точност, но значително го забрзаа пребарувањето за саканата вредност. Кривата на функцијата y = log a(x), конструирана преку неколку точки, ви овозможува да користите редовен линијар за да ја пронајдете вредноста на функцијата во која било друга точка. Долго време, инженерите користеа таканаречена графичка хартија за овие цели.

Во 17 век се појавија првите помошни аналогни пресметковни услови, кои до 19 век добија целосна форма. Најуспешниот уред беше наречен слајд правило. И покрај едноставноста на уредот, неговиот изглед значително го забрза процесот на сите инженерски пресметки, а тоа е тешко да се прецени. Во моментов, малку луѓе се запознаени со овој уред.

Појавата на калкулатори и компјутери ја направи бесмислена употребата на кој било друг уред.

Равенки и неравенки

За решавање на различни равенки и неравенки со помош на логаритми, се користат следниве формули:

• Преместување од една база во друга: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Како последица на претходната опција: log a(b) = 1 / log b(a).

За да се решат нееднаквостите, корисно е да се знае:

• Вредноста на логаритамот ќе биде позитивна само ако основата и аргументот се и поголеми или помали од еден; ако е повреден барем еден услов, вредноста на логаритамот ќе биде негативна.
• Ако логаритамската функција се примени на десната и левата страна на неравенката, а основата на логаритамот е поголема од една, тогаш знакот на неравенство е зачуван; во спротивно се менува.

Примерок проблеми

Ајде да разгледаме неколку опции за користење на логаритми и нивните својства. Примери со решавање равенки:

Размислете за опцијата за поставување на логаритам во моќност:

• Задача 3. Пресметај 25^log 5(3). Решение: во услови на проблемот, записот е сличен на следниот (5^2)^log5(3) или 5^(2 * log 5(3)). Да го напишеме поинаку: 5^log 5(3*2), или квадратот на број како функциски аргумент може да се напише како квадрат на самата функција (5^log 5(3))^2. Користејќи ги својствата на логаритмите, овој израз е еднаков на 3^2. Одговор: како резултат на пресметката добиваме 9.

Практична употреба

Бидејќи е чисто математичка алатка, се чини далеку од реалниот живот дека логаритамот одеднаш добил големо значење за опишување на предмети во реалниот свет. Тешко е да се најде наука каде што не се користи. Ова целосно се однесува не само на природните, туку и на хуманитарните полиња на знаење.

Логаритамски зависности

Еве неколку примери на нумерички зависности:

Механика и физика

Историски гледано, механиката и физиката отсекогаш се развивале користејќи математички методи на истражување и во исто време служеле како поттик за развој на математиката, вклучувајќи ги и логаритмите. Теоријата на повеќето закони на физиката е напишана на јазикот на математиката. Да дадеме само два примери за опишување физички закони со помош на логаритам.

Проблемот со пресметување на толку сложена количина како брзината на ракетата може да се реши со користење на формулата Циолковски, која ја постави основата за теоријата за истражување на вселената:

V = I * ln (M1/M2), каде

• V е крајната брзина на авионот.
• I – специфичен импулс на моторот.
• М 1 – почетна маса на ракетата.
• М 2 – конечна маса.

Друг важен пример- ова се користи во формулата на друг голем научник Макс Планк, која служи за проценка на рамнотежната состојба во термодинамиката.

S = k * ln (Ω), каде

• S – термодинамичко својство.
• k – Болцманова константа.
• Ω е статистичката тежина на различни состојби.

Хемија

Помалку очигледна е употребата на формули во хемијата кои содржат однос на логаритми. Да дадеме само два примери:

• Нернстовата равенка, состојбата на редокс потенцијалот на медиумот во однос на активноста на супстанциите и константата на рамнотежата.
• Пресметувањето на таквите константи како што се индексот на автолиза и киселоста на растворот, исто така, не може да се направи без нашата функција.

Психологија и биологија

И воопшто не е јасно каква врска има психологијата со тоа. Излегува дека јачината на сензацијата е добро опишана со оваа функција како обратен сооднос на вредноста на интензитетот на дразбата со вредноста на помалиот интензитет.

По горенаведените примери, веќе не е чудно што темата логаритми е широко користена во биологијата. Може да се напишат цели томови за биолошки форми што одговараат на логаритамските спирали.

Други области

Се чини дека постоењето на светот е невозможно без поврзаност со оваа функција и тој владее со сите закони. Особено кога законите на природата се поврзани со геометриска прогресија. Вреди да се свртиме кон веб-страницата MatProfi и има многу такви примери во следните области на активност:

Списокот може да биде бесконечен. Совладувајќи ги основните принципи на оваа функција, можете да се фрлате во светот на бесконечната мудрост.

Значи, имаме моќ од два. Ако го земете бројот од крајната линија, лесно можете да ја пронајдете моќта на која ќе треба да подигнете два за да ја добиете оваа бројка. На пример, за да добиете 16, треба да подигнете два до четвртата сила. И за да добиете 64, треба да подигнете два на шестата сила. Ова може да се види од табелата.

И сега, всушност, дефиницијата на логаритам:

Основата на логаритам од x е моќта до која мора да се подигне a за да се добие x.

Ознака: log a x = b, каде што a е основата, x е аргументот, b е она на што всушност е еднаков логаритамот.

На пример, 2 3 = 8 ⇒ лог 2 8 = 3 (основниот 2 логаритам од 8 е три бидејќи 2 3 = 8). Со истиот успех, лог 2 64 = 6, бидејќи 2 6 = 64.

Операцијата за наоѓање на логаритам на број на дадена основа се нарекува логаритмизација. Значи, да додадеме нова линија на нашата табела:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
дневник 2 2 = 1	дневник 2 4 = 2	дневник 2 8 = 3	дневник 2 16 = 4	дневник 2 32 = 5	дневник 2 64 = 6

За жал, не сите логаритми се пресметуваат толку лесно. На пример, обидете се да го најдете дневникот 2 5. Бројот 5 го нема во табелата, но логиката налага дека логаритамот ќе лежи некаде на интервалот. Бидејќи 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Таквите броеви се нарекуваат ирационални: броевите по децималната точка можат да се напишат бесконечно и никогаш не се повторуваат. Ако се покаже дека логаритамот е ирационален, подобро е да се остави така: дневник 2 5, лог 3 8, лог 5 100.

Важно е да се разбере дека логаритам е израз со две променливи (основата и аргументот). Многу луѓе на почетокот збунуваат каде е основата и каде е аргументот. За да избегнете досадни недоразбирања, само погледнете ја сликата:

[Наслов за сликата]

Пред нас не е ништо повеќе од дефиниција на логаритам. Запомнете: логаритам е моќ, во која мора да се вгради основата за да се добие аргумент. Тоа е основата што е подигната на јачина - таа е означена со црвено на сликата. Излегува дека основата е секогаш на дното! Им го кажувам ова прекрасно правило на моите ученици уште на првата лекција - и не се појавува забуна.

Ја сфативме дефиницијата - останува само да научиме како да броиме логаритми, т.е. ослободете се од знакот „дневник“. За почеток, забележуваме дека од дефиницијата произлегуваат два важни факти:

1. Аргументот и основата секогаш мора да бидат поголеми од нула. Ова произлегува од дефиницијата на степен со рационален експонент, на кој е намалена дефиницијата за логаритам.
2. Основата мора да биде различна од една, бидејќи една до кој било степен сè уште останува една. Поради ова, прашањето „до каква моќ треба да се подигне за да се добијат две“ е бесмислено. Таква диплома нема!

Таквите ограничувања се нарекуваат опсег на прифатливи вредности(ОДЗ). Излегува дека ODZ на логаритмот изгледа вака: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Забележете дека нема ограничувања за бројот b (вредноста на логаритамот). На пример, логаритамот може да биде негативен: log 2 0,5 = −1, бидејќи 0,5 = 2 −1.

Меѓутоа, сега ги разгледуваме само нумеричките изрази, каде што не е потребно да се знае VA на логаритмот. Сите ограничувања веќе се земени предвид од авторите на проблемите. Но, кога ќе влезат во игра логаритамските равенки и неравенки, барањата за DL ќе станат задолжителни. На крајот на краиштата, основата и аргументот може да содржат многу силни конструкции кои не мора да одговараат на горенаведените ограничувања.

Сега да ја разгледаме општата шема за пресметување на логаритми. Се состои од три чекори:

1. Основата a и аргументот x изразете ги како моќност со минимална можна основа поголема од една. На патот, подобро е да се ослободите од децимали;
2. Решете ја равенката за променливата b: x = a b ;
3. Резултирачкиот број b ќе биде одговорот.

Тоа е се! Ако логаритмот се покаже дека е ирационален, тоа ќе биде видливо веќе во првиот чекор. Условот основата да биде поголема од една е многу важна: ова ја намалува веројатноста за грешка и во голема мера ги поедноставува пресметките. Истото е и со децималните дропки: ако веднаш ги претворите во обични, ќе има многу помалку грешки.

Ајде да видиме како функционира оваа шема користејќи конкретни примери:

Задача. Пресметај го логаритамот: log 5 25

1. Да ја замислиме основата и аргументот како моќ од пет: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
2. Ајде да ја создадеме и решиме равенката:
   дневник 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
3. Го добивме одговорот: 2.

Задача. Пресметајте го логаритамот:

[Наслов за сликата]

Задача. Пресметај го логаритамот: лог 4 64

1. Да ги замислиме основата и аргументот како моќ од два: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Ајде да ја создадеме и решиме равенката:
   дневник 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Го добивме одговорот: 3.

Задача. Пресметај го логаритамот: лог 16 1

1. Да ги замислиме основата и аргументот како моќ од два: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Ајде да ја создадеме и решиме равенката:
   дневник 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Го добивме одговорот: 0.

Задача. Пресметај го логаритамот: лог 7 14

1. Да ги замислиме основата и аргументот како моќ од седум: 7 = 7 1 ; 14 не може да се претстави како сила од седум, бидејќи 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Од претходниот став следува дека логаритмот не се брои;
3. Одговорот е без промена: дневник 7 14.

Мала забелешка за последниот пример. Како можеш да бидеш сигурен дека некој број не е точна моќност на друг број? Многу е едноставно - само вклучете го во основни фактори. И ако таквите фактори не можат да се соберат во моќи со исти експоненти, тогаш оригиналниот број не е точна моќност.

Задача. Откријте дали бројките се точни сили: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - точен степен, бидејќи има само еден множител;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - не е точна моќност, бидејќи има два фактора: 3 и 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - точен степен;
35 = 7 · 5 - повторно не е точна моќност;
14 = 7 · 2 - повторно не е точен степен;

Забележете исто така дека самите прости броеви се секогаш точни моќи на самите себе.

Децимален логаритам

Некои логаритми се толку чести што имаат посебно име и симбол.

Децималниот логаритам на x е логаритам на основата 10, т.е. Моќта до која треба да се подигне бројот 10 за да се добие бројот x. Ознака: lg x.

На пример, дневник 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - итн.

Отсега натаму, кога ќе се појави фраза како „Најди lg 0.01“ во учебник, знајте дека ова не е печатна грешка. Ова е децимален логаритам. Меѓутоа, ако не сте запознаени со оваа нотација, секогаш можете да ја преработите:
лог x = дневник 10 x

Сè што е точно за обичните логаритми важи и за децималните логаритми.

Природен логаритам

Постои уште еден логаритам кој има своја ознака. На некој начин, тоа е уште поважно од децималното. Зборуваме за природниот логаритам.

Природниот логаритам на x е логаритам на основата e, т.е. моќта до која мора да се подигне бројот e за да се добие бројот x. Ознака: ln x.

Многумина ќе прашаат: кој е бројот e? Ова е ирационален број, неговата точна вредност не може да се најде и запише. Ќе ги дадам само првите бројки:
e = 2,718281828459...

Нема да навлегуваме во детали за тоа што е оваа бројка и зошто е потребна. Само запомнете дека e е основата на природниот логаритам:
ln x = log e x

Така ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - итн. Од друга страна, ln 2 е ирационален број. Општо земено, природниот логаритам на кој било рационален број е ирационален. Освен, се разбира, за еден: ln 1 = 0.

За природните логаритми важат сите правила кои се точни за обичните логаритми.

Еден од елементите на алгебрата на примитивно ниво е логаритамот. Името доаѓа од грчкиот јазик од зборот „број“ или „моќ“ и значи моќност до која треба да се подигне бројот во основата за да се најде конечниот број.

Видови логаритми

• log a b – логаритам на бројот b до основата a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• log b – децимален логаритам (логаритам до основата 10, a = 10);
• ln b – природен логаритам (логаритам до основата e, a = e).

Како да се решат логаритми?

Логаритмот од b до основата a е експонент кој бара b да се подигне на основата a. Добиениот резултат се изговара вака: „логаритам од b до основата a“. Решението за логаритамските проблеми е тоа што треба да ја одредите дадената моќност во бројки од наведените броеви. Постојат некои основни правила за одредување или решавање на логаритам, како и конвертирање на самата нотација. Користејќи ги, се решаваат логаритамски равенки, се наоѓаат изводи, се решаваат интеграли и се вршат многу други операции. Во основа, решението на самиот логаритам е неговата поедноставена нотација. Подолу се дадени основните формули и својства:

За било кој а ; a > 0; a ≠ 1 и за кој било x; y > 0.

• a log a b = b – основен логаритамски идентитет
• логирај а 1 = 0
• лога a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x, за k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – формула за преместување во нова база
• log a x = 1/log x a

Како да решавате логаритми - чекор-по-чекор инструкции за решавање

• Прво, запишете ја потребната равенка.

Ве молиме имајте предвид: ако основниот логаритам е 10, тогаш записот е скратен, што резултира со децимален логаритам. Ако има природен број e, тогаш го запишуваме, сведувајќи го на природен логаритам. Ова значи дека резултатот на сите логаритми е моќноста на која се подига основниот број за да се добие бројот b.

Директно, решението лежи во пресметувањето на овој степен. Пред да се реши изразот со логаритам, тој мора да се поедностави според правилото, односно со користење на формули. Главните идентитети можете да ги најдете ако се вратите малку назад во статијата.

Кога собирате и одземате логаритми со два различни броеви, но со исти основи, заменете со еден логаритам со производот или делењето на броевите b и c, соодветно. Во овој случај, можете да ја примените формулата за преместување во друга база (види погоре).

Ако користите изрази за поедноставување на логаритам, има некои ограничувања што треба да се земат предвид. А тоа е: основата на логаритмот a е само позитивен број, но не е еднаков на еден. Бројот b, како a, мора да биде поголем од нула.

Има случаи каде што, со поедноставување на изразот, нема да можете нумерички да го пресметате логаритамот. Се случува таквиот израз да нема смисла, бидејќи многу сили се ирационални броеви. Под овој услов, оставете ја моќноста на бројот како логаритам.

Во врска со

може да се постави задача да се најде некој од трите броеви од другите два дадени. Ако се дадени a и потоа N, тие се наоѓаат со степенување. Ако N и потоа a се дадени со земање на коренот на степенот x (или подигање на моќта). Сега разгледајте го случајот кога, со оглед на a и N, треба да го најдеме x.

Нека бројот N е позитивен: бројот a е позитивен и не е еднаков на еден: .

Дефиниција. Логаритмот на бројот N до основата a е експонентот до кој мора да се подигне a за да се добие бројот N; логаритам се означува со

Така, во еднаквоста (26.1) експонентот се наоѓа како логаритам од N на основата a. Објави

имаат исто значење. Еднаквоста (26.1) понекогаш се нарекува главен идентитет на теоријата на логаритми; во реалноста ја изразува дефиницијата на поимот логаритам. Според оваа дефиниција, основата на логаритмот a е секогаш позитивна и различна од единството; логаритамскиот број N е позитивен. Негативните броеви и нулата немаат логаритми. Може да се докаже дека секој број со дадена основа има добро дефиниран логаритам. Затоа еднаквоста повлекува . Забележете дека условот е суштински овде; инаку, заклучокот не би бил оправдан, бидејќи еднаквоста е точна за сите вредности на x и y.

Пример 1. Најдете

Решение. За да добиете број, мора да ја подигнете основата 2 на моќта Затоа.

Можете да правите белешки кога решавате такви примери во следнава форма:

Пример 2. Најдете .

Решение. Ние имаме

Во примерите 1 и 2, лесно го најдовме саканиот логаритам со претставување на логаритамскиот број како моќност на основата со рационален експонент. Во општиот случај, на пример, за итн., тоа не може да се направи, бидејќи логаритамот има ирационална вредност. Да обрнеме внимание на едно прашање поврзано со оваа изјава. Во став 12 го дадовме концептот на можноста за определување на која било реална моќност на даден позитивен број. Ова беше неопходно за воведување на логаритми, кои, општо земено, можат да бидат ирационални броеви.

Ајде да погледнеме некои својства на логаритмите.

Својство 1. Ако бројот и основата се еднакви, тогаш логаритмот е еднаков на еден, а, обратно, ако логаритамот е еднаков на еден, тогаш бројот и основата се еднакви.

Доказ. Нека Со дефиниција за логаритам имаме и од каде

Спротивно на тоа, нека Потоа по дефиниција

Својство 2. Логаритмот од еден на која било основа е еднаков на нула.

Доказ. По дефиниција за логаритам (нултата моќност на која било позитивна основа е еднаква на еден, видете (10.1)). Од тука

Q.E.D.

Исто така е точно и обратното тврдење: ако , тогаш N = 1. Навистина, имаме .

Пред да го формулираме следното својство на логаритмите, да се согласиме да кажеме дека два броја a и b лежат на иста страна од третиот број c ако и двата се поголеми од c или помали од c. Ако еден од овие броеви е поголем од c, а другиот е помал од c, тогаш ќе кажеме дека лежат на спротивните страни на c.

Својство 3. Ако бројот и основата лежат на иста страна на еден, тогаш логаритамот е позитивен; Ако бројот и основата лежат на спротивните страни на едната, тогаш логаритамот е негативен.

Доказот за својството 3 се заснова на фактот дека моќта на a е поголема од еден ако основата е поголема од еден, а експонентот е позитивен или основата е помала од еден, а експонентот е негативен. Моќта е помала од една ако основата е поголема од една, а експонентот е негативен или основата е помала од еден, а експонентот е позитивен.

Постојат четири случаи кои треба да се разгледаат:

Ќе се ограничиме на анализа на првото од нив, а останатото читателот ќе го разгледа сам.

Нека во еднаквост експонентот не може да биде ниту негативен ниту еднаков на нула, затоа, тој е позитивен, т.е., како што се бара да се докаже.

Пример 3. Откријте кои од долунаведените логаритми се позитивни, а кои негативни:

Решение, а) бидејќи бројот 15 и основата 12 се наоѓаат на иста страна на еден;

б) бидејќи 1000 и 2 се наоѓаат на едната страна од единицата; во овој случај, не е важно основата да е поголема од логаритамскиот број;

в) бидејќи 3.1 и 0.8 лежат на спротивните страни на единството;

G) ; Зошто?

г) ; Зошто?

Следниве својства 4-6 често се нарекуваат правила на логаритмација: тие дозволуваат, знаејќи ги логаритмите на некои броеви, да ги најдат логаритмите на нивниот производ, количник и степен на секој од нив.

Својство 4 (правило за логаритам на производот). Логаритмот на производот од неколку позитивни броеви на дадена основа е еднаков на збирот на логаритмите на овие броеви на истата основа.

Доказ. Дадените бројки нека бидат позитивни.

За логаритмот на нивниот производ, ја пишуваме еднаквоста (26.1) што го дефинира логаритамот:

Од тука ќе најдеме

Споредувајќи ги експонентите на првиот и последниот израз, ја добиваме потребната еднаквост:

Забележете дека состојбата е суштинска; логаритмот на производот од два негативни броја има смисла, но во овој случај добиваме

Во принцип, ако производот на неколку фактори е позитивен, тогаш неговиот логаритам е еднаков на збирот на логаритмите на апсолутните вредности на овие фактори.

Својство 5 (правило за земање логаритми на количници). Логаритмот на количник на позитивни броеви е еднаков на разликата помеѓу логаритмите на дивидендата и делителот, земени во иста основа. Доказ. Ние постојано наоѓаме

Q.E.D.

Својство 6 (правило на логаритам на моќност). Логаритмот на моќноста на кој било позитивен број е еднаков на логаритамот на тој број помножен со експонентот.

Доказ. Ајде повторно да го напишеме главниот идентитет (26.1) за бројот:

Q.E.D.

Последица. Логаритмот на коренот на позитивен број е еднаков на логаритамот на радикалот поделен со експонентот на коренот:

Валидноста на оваа последица може да се докаже со замислување како и користење на својството 6.

Пример 4. Земете го логаритам за да засновате a:

а) (се претпоставува дека сите вредности b, c, d, e се позитивни);

б) (се претпоставува дека ).

Решение, а) Удобно е да се оди на фракциони сили во овој израз:

Врз основа на еднаквостите (26,5)-(26,7), сега можеме да напишеме:

Забележуваме дека на логаритмите на броевите се вршат поедноставни операции отколку на самите броеви: при множење на броевите се собираат нивните логаритми, при делење се одземаат итн.

Затоа логаритмите се користат во компјутерската практика (види став 29).

Инверзното дејство на логаритамот се нарекува потенцирање, имено: потенцирање е дејство со кое се наоѓа самиот број од даден логаритам на некој број. Во суштина, потенцирањето не е некоја посебна акција: се сведува на подигање на основата до моќност (еднаква на логаритамот на број). Терминот „потенцијација“ може да се смета за синоним со терминот „експоненцијација“.

Кога го потенцирате, мора да ги користите правилата обратно на правилата за логаритмација: заменете го збирот на логаритми со логаритмот на производот, разликата на логаритмите со логаритмот на количникот итн. Особено, ако има фактор напред на знакот на логаритам, тогаш при потенцирање мора да се пренесе на степените на експонент под знакот на логаритамот.

Пример 5. Најдете N ако се знае дека

Решение. Во врска со штотуку наведеното правило за потенцирање, факторите 2/3 и 1/3 кои стојат пред знаците на логаритмите од десната страна на оваа еднаквост ќе ги пренесеме во експоненти под знаците на овие логаритми; добиваме

Сега ја заменуваме разликата на логаритми со логаритам на количникот:

за да ја добиеме последната дропка во овој синџир на еднаквости, ја ослободивме претходната дропка од ирационалноста во именителот (клаузула 25).

Својство 7. Ако основата е поголема од една, тогаш поголемиот број има поголем логаритам (а помалиот има помал), ако основата е помала од една, тогаш поголемиот број има помал логаритам (а помалиот еден има поголем).

Ова својство е исто така формулирано како правило за земање логаритми на неравенки, чии двете страни се позитивни:

При логаритмирање на неравенки до основа поголема од една, знакот на неравенство се зачувува, а при логаритмирање на основа помала од еден, знакот за неравенство се менува во спротивното (види исто така став 80).

Доказот се заснова на својствата 5 и 3. Размислете за случајот кога Ако , тогаш и земајќи логаритми, ќе добиеме

(a и N/M лежат на иста страна на единството). Од тука

Следува случај a, читателот ќе го сфати сам.