Слајд 1
Опис на слајдот:
Слајд 2
Опис на слајдот:
Слајд 3
Опис на слајдот:
Слајд 4
Опис на слајдот:
Слајд 5
Опис на слајдот:
Слајд 6
Опис на слајдот:
Слајд 7
Опис на слајдот:
Слајд 8
Опис на слајдот:
Слајд 9
Опис на слајдот:
Слајд 10
Опис на слајдот:
Слајд 11
Опис на слајдот:
Слајд 12
Опис на слајдот:
Дури и сега понекогаш велат: „Тој внимателно ја проучуваше оваа работа“. Тоа значи дека прашањето е проучено до крај, дека не останува ни најмала нејасност. И чудниот збор „скрупулозно“ доаѓа од римското име за 1/288 assa - „scrupulus“. Во употреба беа и следните имиња: „полумина“ - половина газ, „секстани“ - шестина од него, „семиунс“ - половина унца, т.е. 1/24 магариња итн. Вкупно се користени 18 различни имиња за дропки. За да работите со дропки, требаше да ја запомните табелата за собирање и табелата за множење за овие дропки. Затоа, римските трговци цврсто знаеле дека кога се додаваат триен (1/3 аса) и секстани, резултатот е полу, а кога се множи imp (2/3 асса) со сескунс (2/3 унца, т.е. 1/8 аса), резултатот е унца. За да се олесни работата, беа составени посебни табели, од кои некои дојдоа до нас. Дури и сега понекогаш велат: „Тој внимателно ја проучуваше оваа работа“. Тоа значи дека прашањето е проучено до крај, дека не останува ни најмала нејасност. И чудниот збор „скрупулозно“ доаѓа од римското име за 1/288 assa - „scrupulus“. Во употреба беа и следните имиња: „полумина“ - половина газ, „секстани“ - шестина од него, „семиунс“ - половина унца, т.е. 1/24 магариња итн. Вкупно се користени 18 различни имиња за дропки. За да работите со дропки, требаше да ја запомните табелата за собирање и табелата за множење за овие дропки. Затоа, римските трговци цврсто знаеле дека кога се додаваат триен (1/3 аса) и секстани, резултатот е полу, а кога се множи imp (2/3 асса) со сескунс (2/3 унца, т.е. 1/8 аса), резултатот е унца. За да се олесни работата, беа составени посебни табели, од кои некои дојдоа до нас.
Слајд 13
Опис на слајдот:
Поради фактот што во дуодецималниот систем нема дропки со именители 10 или 100, на Римјаните им било тешко да поделат со 10, 100 итн. Кога делеле 1001 магариња со 100, еден римски математичар прво добил 10 асови го подели кесот на унци, итн. г. Но, тој не се ослободи од остатокот. За да не мора да се занимаваат со такви пресметки, Римјаните почнале да користат проценти. Поради фактот што во дуодецималниот систем нема дропки со именители 10 или 100, на Римјаните им било тешко да поделат со 10, 100 итн. Кога делеле 1001 магариња со 100, еден римски математичар прво добил 10 асови го подели кесот на унци, итн. г. Но, тој не се ослободи од остатокот. За да не мора да се занимаваат со такви пресметки, Римјаните почнале да користат проценти. Бидејќи зборовите „на сто“ звучеа како „околу еден центум“ на латински, стотиот дел почна да се нарекува процент.
Слајд 14
Опис на слајдот:
Слајд 15
Опис на слајдот:
Слајд 16
Опис на слајдот:
Слајд 17
Опис на слајдот:
Слајд 1
Фракции во Вавилон, Египет, Рим. Откривање на децимали ПРЕЗЕНТАЦИЈА ЗА УПОТРЕБА КАКО ВИЗУАЛНО ПОМОШ ВО БЕЗ НАСТАВНИ АКТИВНОСТИ
Маркелова Г.В., наставник по математика на огранокот Гремјачински на средното училиште МБОУ. Клучеви
Слајд 2
Слајд 3
За потеклото на дропките
Потребата за дробни броеви се појави како резултат на практичната човечка активност. Потребата да се најдат акциите на единицата се појави кај нашите предци при делење на пленот по лов. Втората значајна причина за појавата на дробни броеви треба да се смета за мерење на количините со помош на избраната мерна единица. Така настанале дропките.
Слајд 4
Потребата за попрецизни мерења доведе до фактот дека почетните мерни единици почнаа да се делат на 2, 3 или повеќе делови. На помалата единица мерка, која е добиена како резултат на фрагментација, и е дадено поединечно име, а со оваа помала единица се мерат количините. Во врска со оваа неопходна работа, луѓето почнаа да ги користат изразите: половина, трет, два и пол чекори. Од каде што можеше да се заклучи дека дробните броеви настанале како резултат на мерење на големини. Луѓето поминаа низ многу варијанти на пишување дропки додека не дојдоа до модерната нотација.
Слајд 5
Во историјата на развојот на дробните броеви се среќаваме со дропки од три вида:
1) дропки или единечни дропки во кои броителот е еден, но именителот може да биде кој било цел број; 2) систематски дропки, во кои броителите можат да бидат кои било броеви, но именители може да бидат само броеви од одреден тип, на пример, моќи од десет или шеесет;
3) општи дропки во кои броителите и именителот може да бидат кои било броеви. Пронајдокот на овие три различни типови фракции претставуваше различен степен на тешкотија за човештвото, така што различни видови фракции се појавија во различни епохи.
Слајд 6
Дропки во Вавилон
Вавилонците користеле само два броја. Вертикална линија значеше една единица, а агол од две лежечки линии значеше десет. Тие ги правеле овие редови во вид на клинови, бидејќи Вавилонците пишувале со остар стап на влажни глинени плочи, кои потоа се сушеле и печеле.
Слајд 7
Дропки во антички Египет
Во Стариот Египет, архитектурата достигна високо ниво на развој. За да се изградат грандиозни пирамиди и храмови, за да се пресметаат должините, плоштините и волумените на фигурите, неопходно било да се знае аритметиката. Од дешифрираните информации на папирусите, научниците дознале дека Египќаните пред 4.000 години имале децимален (но не позиционен) броен систем и биле способни да решат многу проблеми поврзани со потребите на градежништвото, трговијата и воените работи.
Слајд 8
Сексезимални фракции
Во древниот Вавилон тие претпочитале постојан именител од 60. Сексагезималните фракции, наследени од Вавилон, биле користени од грчки и арапски математичари и астрономи. Истражувачите на различни начини ја објаснуваат појавата на сексималниот броен систем кај Вавилонците. Најверојатно, овде е земена предвид основата 60, која е множител на 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60, што во голема мера ги поедноставува сите пресметки. Во овој поглед, полусималните дропки може да се споредат со нашите децимални дропки. Наместо зборовите „шеесетти“, „три илјади и шест стотинки“ накратко рекоа: „први мали дропки“, „втори мали дропки“. Оттука потекнуваат нашите зборови „минута“ (латински „помало“) и „второ“ (латински „второ“). Така, вавилонскиот начин на бележење на дропки го задржал своето значење до ден-денес.
Слајд 9
„Египетски фракции“
Во Стариот Египет, некои дропки имаа свои посебни имиња - имено, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/6 и 1/8, кои често се појавуваат во пракса. Покрај тоа, Египќаните знаеле да работат со таканаречените аликвотни фракции (од латинскиот аликвот - неколку) од типот 1/n - затоа понекогаш се нарекуваат и „египетски“; овие дропки имале свој правопис: издолжен хоризонтален овал и под него означување на именителот. Останатите дропки ги напишале како збир на акции. Дропката 7/8 била напишана како дропки: ½+1/4+1/8.
Слајд 10
Дропки во антички Рим
Интересен систем на дропки бил во антички Рим. Се засноваше на делење на единица тежина на 12 дела, што беше наречено газ. Дванаесеттиот дел од кецот се викаше унца. И патот, времето и другите количини беа споредувани со визуелна работа - тежина. На пример, еден Римјанин може да каже дека одел седум унци по патека или прочитал пет унци од книга. Во овој случај, се разбира, не се работеше за одмерување на патеката или на книгата. Ова значеше дека 7/12 од патувањето биле завршени или 5/12 од книгата биле прочитани. А за дропките добиени со намалување на дропките со именител 12 или со делење на дванаесеттини на помали, имало посебни имиња.
1 троја унца злато - мерка за тежината на благородни метали
Слајд 11
Откривање на децимали
Веќе неколку милениуми, човештвото користи фракциони броеви, но тие дојдоа до идеја да ги напишат во пригодни децимали многу подоцна. Денес ние користиме децимали природно и слободно. Во Западна Европа 16 век. Заедно со широко распространетиот децимален систем за претставување цели броеви, секаде во пресметките се користеле полови фракции, кои датираат од античката традиција на Вавилонците.
Слајд 12
Потребен беше паметниот ум на холандскиот математичар Сајмон Стевин да го донесе снимањето и на цели и на дробни броеви во еден систем.
Слајд 13
Користење на децимали
Од почетокот на 17 век започнува интензивно навлегување на децималните дропки во науката и практиката. Во Англија, точката беше воведена како знак што одвојува цел број од фракционо дел. Запирката, како и точката, била предложена како знак за делење во 1617 година од математичарот Напиер. многу почесто од обичните дропки.
Развојот на индустријата и трговијата, науката и технологијата бараа сè потешки пресметки, кои беа полесни за извршување со помош на децимални фракции. Децималните фракции станаа широко користени во 19 век по воведувањето на тесно поврзаниот метрички систем на тежини и мерки. На пример, кај нас, во земјоделството и индустријата, децималните дропки и нивната посебна форма - проценти - се користат многу почесто од обичните дропки.
Слајд 14
Користење на децимали
Од почетокот на 17 век започнува интензивно навлегување на децималните дропки во науката и практиката. Во Англија, точката беше воведена како знак што одвојува цел број од фракционо дел. Запирката, како и точката, била предложена како знак за делење во 1617 година од математичарот Напиер. Развојот на индустријата и трговијата, науката и технологијата бараа сè потешки пресметки, кои беа полесни за извршување со помош на децимални фракции. Децималните фракции станаа широко користени во 19 век по воведувањето на тесно поврзаниот метрички систем на тежини и мерки. На пример, кај нас, во земјоделството и индустријата, децималните дропки и нивната посебна форма - проценти - се користат многу почесто од обичните дропки.
Слајд 15
Список на извори
М.Ја.Вигодски „Аритметика и алгебра во античкиот свет“. Г.И. Глејзер „Историја на математиката на училиште“. И.Ја Депман „Историја на аритметиката“. Виленкин Н.Ја. „Од историјата на дропките“ Фридман Л.М. „Ние учиме математика. Фракции во Вавилон, Египет, Рим. Откривање на децимални дропки... prezentacii.com›Историја›Откривање на децимални дропки...математика "Допки во Вавилон, Египет, Рим. Откривање на децимали... ppt4web.ru›...drobi...rime...desjatichnykh-drobejj.html Дропки во Вавилон, Египет, Рим. Откривање на децимални дропки"...powerpt.ru›…drobi-v...rime…desyatichnyh-drobey.html Египет, Антички Рим, Вавилон. Откривање на децимални дропки."... uchportal.ru>Методолошки развој>Откривање на децимални дропки. Историја на математиката: ...Рим, Вавилон. Откривање на децимални дропки... rusedu.ru›detail_23107.html 9Презентација: .. .Антички Рим, Вавилон Откривање децимални дропки... prezentacii-powerpoint.ru›…drobi…vavilone…drobej/ Дропки во Вавилон, Египет, Рим. Откривање на децимали... prezentacia.ucoz.ru›…drobi_v…desjatichnykh_drobej …
2.1.2. Дропки во антички Рим
Римјаните главно користеле само конкретни фракции, кои ги замениле апстрактните делови со поделби на употребените мерки. Своето внимание го насочиле кон мерката „газ“, која кај Римјаните служела како основна единица за мерење на масата, но и како парична единица. Мазот беше поделен на дванаесет дела - унци. Од нив се додадени сите дропки со именител 12, односно 1/12, 2/12, 3/12...
Така настанале римските дуодецимални дропки, односно дропки во кои именителот секогаш бил бројот 12. Наместо 1/12, Римјаните рекле „една унца“, 5/12 - „пет унци“ итн. Три унци се нарекувале четвртина, четири унци третина, шест унци половина.
Сега „газот“ е аптекарска фунта.
2.1.3. Дропки во антички Египет
Првата фракција со која луѓето се запознаа беше веројатно половина. По него следеа 1/4, 1/8 ..., потоа 1/3, 1/6 итн., односно наједноставните дропки, дропки од целината, наречени единечни или основни дропки. Нивниот броител е секогаш еден. Некои народи од антиката и, пред сè, Египќаните ја изразувале секоја дропка како збир на само основни дропки. Дури многу подоцна, Грците, потоа Индијците и другите народи, почнаа да користат дропки од општа форма, наречена обична, во која броителот и именителот може да бидат сите природни броеви.
Во Стариот Египет, архитектурата достигна високо ниво на развој. За да се изградат грандиозни пирамиди и храмови, за да се пресметаат должините, плоштините и волумените на фигурите, неопходно било да се знае аритметиката.
Од дешифрираните информации на папирусите, научниците дознале дека Египќаните пред 4.000 години имале децимален (но не позиционен) броен систем и биле способни да решат многу проблеми поврзани со потребите на градежништвото, трговијата и воените работи.
Вака Египќаните ги запишаа своите дропки. Ако, на пример, резултатот од мерењето бил фракционен број 3/4, тогаш за Египќаните тој бил претставен како збир на единечни фракции ½ + ¼.
2.1.4. Вавилонски сексазимални фракции
Ископувањата извршени во дваесеттиот век меѓу урнатините на античките градови во јужниот дел на Месопотамија открија голем број математички табли со клинесто писмо. Научниците кои ги проучувале откриле дека 2000 п.н.е. д. Математиката достигнала високо ниво на развој кај Вавилонците.
Пишаното сексазимално нумерирање на Вавилонците било комбинирано со два симболи: вертикален клин ▼, кој означува еден, и конвенционален знак ◄, кој означува десет. Позициониот броен систем за прв пат се наоѓа во вавилонските клинесто писмо. Вертикалниот клин означува не само 1, туку и 60, 602, 603 итн. Отпрвин, Вавилонците немале знак за нула во позициониот сексагезимален систем. Подоцна, знакот èè беше воведен, заменувајќи ја модерната нула, за да ги оддели цифрите една од друга.
Потеклото на сексималниот броен систем кај Вавилонците е поврзано, како што веруваат научниците, со фактот дека вавилонските парични и тежински мерни единици, поради историските услови, биле поделени на 60 еднакви делови:
1 талент = 60 мин;
Шеесеттите биле вообичаени во животот на Вавилонците. Затоа користеле полусимални дропки, кои секогаш го имаат именителот 60 или неговите моќи: 602 = 3600, 603 = 216000 итн. Во овој поглед, полусималните дропки може да се споредат со нашите децимални дропки.
Вавилонската математика влијаела на грчката математика. Трагите од вавилонскиот сексазимален броен систем се задржале во модерната наука во мерењето на времето и аглите. Поделбата на часови на 60 минути, минути на 60 секунди, кругови на 360 степени, степени на 60 минути, минути на 60 секунди е зачувана до денес.
Вавилонците дадоа драгоцен придонес во развојот на астрономијата. Научниците од сите народи користеле полови фракции во астрономијата до 17 век, нарекувајќи ги астрономски фракции. Спротивно на тоа, општите дропки што ги користиме беа наречени обични.
2.1.5. Нумерирање и дропки во Античка Грција
Во Античка Грција, аритметиката - проучувањето на општите својства на броевите - беше одвоена од логистиката - уметноста на пресметување. Грците верувале дека фракциите можат да се користат само во логистиката. Овде прво се среќаваме со општиот концепт на дропка од формата m/n. Така, можеме да сметаме дека за прв пат доменот на природните броеви се проширил на доменот на комплементарни рационални броеви во Античка Грција најдоцна до 5 век п.н.е. д. Грците слободно ги управувале сите аритметички операции со дропки, но не ги препознале како бројки.
Во Античка Грција постоеле два пишани нумерирани системи: атички и јонски или азбучен. Тие биле именувани по античките грчки региони - Атика и Јонија. Во атичкиот систем, наречен и Херодијан, повеќето нумерички знаци се првите букви од грчките соодветни цифри, на пример, GENTE (генте или цента) - пет, ΔEKA (дека) - десет, итн. Овој систем се користел во Атика до 1 век од нашата ера, но во други области на Античка Грција уште порано бил заменет со попогодно азбучно нумерирање, кое брзо се проширило низ Грција.
Грците користеле, заедно со единицата, „египетски“ фракции, обични обични дропки. Меѓу различните ознаки се користеше следново: именителот е горе, а броителот на дропката е под него. На пример, 5/3 значеше три петини, итн.
1.4. Дропки во антички Рим.
Римјаните главно користеле само конкретни фракции, кои ги замениле апстрактните делови со поделби на употребените мерки. Овој систем на фракции се засноваше на делење на единица тежина на 12 дела, што беше наречено газ. Така настанале римските дуодецимални фракции, т.е. дропки чиј именител секогаш бил дванаесет. Дванаесеттиот дел од кецот се викаше унца. Наместо 1/12, Римјаните рекле „една унца“, 5/12 – „пет унци“ итн. Три унци се нарекувале четвртина, четири унци третина, шест унци половина.
И патот, времето и другите количини беа споредувани со визуелна работа - тежина. На пример, еден Римјанин може да каже дека одел седум унци по патека или прочитал пет унци од книга. Во овој случај, се разбира, не се работеше за одмерување на патеката или на книгата. Ова значеше дека 7/12 од патувањето биле завршени или 5/12 од книгата биле прочитани. А за дропките добиени со намалување на дропките со именител 12 или со делење на дванаесеттини на помали, имало посебни имиња. Вкупно се користени 18 различни имиња за дропки. На пример, следните имиња беа во употреба:
„scrupulus“ - 1/288 assa,
"полу" - половина аса,
„секстанца“ е шестиот дел од неа,
„семиунс“ - половина унца, т.е. 1/24 магариња итн.
За да се работи со такви дропки, неопходно беше да се запамети табелата за собирање и табелата за множење за овие дропки. Затоа, римските трговци цврсто знаеле дека кога се додаваат триен (1/3 аса) и секстани, резултатот е полу, а кога се множи imp (2/3 асса) со сескунс (2/3 унца, т.е. 1/8 аса), резултатот е унца. За да се олесни работата, беа составени посебни табели, од кои некои дојдоа до нас.
Унцата беше означена со линија - половина аса (6 унци) - со буквата S (првиот во латинскиот збор Semis - половина). Овие два знака служеле за снимање на која било дуодецимална фракција, од кои секоја имала свое име. На пример, 7\12 беше напишано вака: S-.
Уште во првиот век п.н.е., извонредниот римски оратор и писател Цицерон рекол: „Без познавање на дропките, никој не може да се препознае дека знае аритметика!“
Типичен е следниот извадок од делото на познатиот римски поет од 1 век п.н.е. Хорас, за разговор меѓу учител и ученик во едно од римските училишта од таа ера:
Учителката: Нека ми каже синот на Албин колку ќе остане ако се одземе една унца од пет унци!
Ученик: Една третина.
Наставникот: Така е, добро ги познаваш дропките и ќе можеш да си го спасиш имотот.
1.5. Дропки во Античка Грција.
Во Античка Грција, аритметиката - проучувањето на општите својства на броевите - беше одвоена од логистиката - уметноста на пресметување. Грците верувале дека фракциите можат да се користат само во логистиката. Грците слободно ги управувале сите аритметички операции со дропки, но не ги препознале како бројки. Дропки не беа пронајдени во грчките трудови за математика. Грчките научници верувале дека математиката треба да се занимава само со цели броеви. Тие им препуштија на трговците, занаетчиите, како и на астрономите, геодетите, механичарите и другите „црнци“. „Ако сакате да поделите единица, математичарите ќе ве исмеваат и нема да ви дозволат да го направите тоа“, напиша основачот на Академијата во Атина, Платон.
Но, не сите антички грчки математичари се согласија со Платон. Така, во својот трактат „За мерење на круг“, Архимед користи дропки. Херон од Александрија, исто така, слободно ракувал со фракции. Како и Египќаните, тој разложува дропка во збирот на основните дропки. Наместо 12\13 пишува 1\2 + 1\3 + 1\13 + 1\78, наместо 5\12 пишува 1\3 + 1\12 итн. Дури и Питагора, кој ги третирал природните броеви со свето трепет, при создавањето на теоријата на музичката скала, главните музички интервали ги поврзувал со дропки. Точно, Питагора и неговите ученици не го користеа самиот концепт на дропки. Тие си дозволија да зборуваат само за соодносите на цели броеви.
Бидејќи Грците работеле со дропки само спорадично, тие користеле различни ознаки. Херон и Диофант пишувале дропки по азбучен облик, со броителот ставен под именителот. За некои дропки се користеа посебни ознаки, на пример, за 1\2 - L′′, но генерално нивното азбучно нумерирање го отежна означувањето на дропките.
За единечни дропки, се користеше специјална нотација: именителот на фракцијата беше придружен со удар надесно, броителот не беше напишан. На пример, во азбучниот систем тоа значело 32, а " - дропот 1\32. Има такви записи на обични дропки во кои броителот со прост и именителот земен двапати со два прости броеви се пишуваат рамо до рамо во еден ред Вака, на пример, Херон од Александрија ја запишал дропката 3 \4: 
.
Недостатокот на грчката ознака за дробни броеви се должи на фактот што Грците го разбрале зборот „број“ како збир на единици, така што она што сега го сметаме како единствен рационален број - дропка - Грците го сфатиле како однос на два цели броеви. Ова објаснува зошто дропките ретко се наоѓале во грчката аритметика. Предност беше дадена или на дропките со единичен броител или на сексазималните фракции. Областа во која практичните пресметки имаа најголема потреба од точни фракции беше астрономијата, а овде вавилонската традиција беше толку силна што ја користеа сите народи, вклучително и Грција.
1.6. Дропки во Русија
Првиот руски математичар, нам познат по име, монахот на Новгородскиот манастир Кирик, се занимавал со прашања од хронологијата и календарот. Во неговата рачно напишана книга „Учејќи го да му ги кажува на личноста броевите на сите години“ (1136), т.е. „Упатство за тоа како едно лице може да го знае нумерирањето на годините“ ја применува поделбата на часот на петти, дваесет и петти, итн. дропки, кои ги нарекол „фракциони часови“ или „части“. Стигнува до седмиот фракционен час, од кои има 937.500 за едно ден или ноќ, и вели дека ништо не доаѓа од седмиот дробен час.
Во првите учебници по математика (VII век), дропките се нарекувале дропки, подоцна „скршени броеви“. Во рускиот јазик, зборот фракција се појави во 8 век, тој доаѓа од глаголот „дроблит“ - да се скрши, да се скрши на парчиња. Кога пишувате број, се користеше хоризонтална линија.
Во старите прирачници ги има следните имиња на дропки во Русија:
1/2 - половина, половина
1/3 - третина
1/4 - дури
1/6 - половина третина
1/8 - половина
1/12 - половина третина
1/16 - половина половина
1/24 - половина и половина третина (мала третина)
1/32 - половина половина половина (мала половина)
1/5 - пијатина
1/7 - недела
1/10 е десеток.
Земјиштето од една четвртина или помало се користеше во Русија -
половина четвртина, што се викаше октина. Тоа беа конкретни фракции, единици за мерење на површината на земјата, но октина не можеше да мери време или брзина итн. Многу подоцна, октина почна да значи апстрактна дропка 1/8, која може да изрази каква било вредност.
За употребата на дропки во Русија во 17 век, можете да го прочитате следново во книгата на В. Белустин „Како луѓето постепено стигнаа до вистинската аритметика“: „Во еден ракопис од 17 век. „Нумеричкиот член за уредбата за сите дропки“ започнува директно со писменото означување на дропките и со наведување на броителот и именителот. При изговарање дропки интересни се следниве карактеристики: четвртиот дел се нарекувал четвртина, додека дропките со именител од 5 до 11 се изразувале со зборови што завршуваат на „ина“, така што 1/7 е недела, 1/5 е петка, 1/10 е десеток; Акциите со именители поголеми од 10 се изговараа со зборовите „лот“, на пример 5/13 - пет тринаесеттини од лотовите. Нумерирањето на дропките било директно позајмено од западните извори... Бројачот се нарекувал горниот број, именителот долниот“.
Од 16 век, абакусот од штица беше многу популарен во Русија - пресметки со помош на уред кој беше прототип на рускиот абакус. Тоа овозможи брзо и лесно извршување на сложени аритметички операции. Сметката за штици беше многу распространета меѓу трговците, вработените во московските нарачки, „мерителите“ - геодетите, монашките економисти итн.
Во својата оригинална форма, таблата абакус беше специјално прилагоден на потребите на напредната аритметика. Ова е даночен систем во Русија од 15-17 век, во кој, заедно со собирање, одземање, множење и делење на цели броеви, неопходно е да се извршат истите операции со фракции, бидејќи конвенционалната единица на оданочување - плуг - беше поделена на делови.
Планк-сметката се состоеше од две кутии за преклопување. Секоја кутија беше поделена на два дела (подоцна само на дното); втората кутија беше неопходна поради природата на готовинската сметка. Внатре во кутијата беа нанижани коски на истегнати жици или жици. Во согласност со децималниот броен систем, редовите за цели броеви имаа 9 или 10 коцки; операциите со фракции беа извршени на нецелосни редови: редот од три коцки беше три третини, редот од четири коцки беше четири четвртини (четири). Подолу имаше редови во кои имаше една коцка: секоја коцка претставуваше половина од дропот под кој се наоѓаше (на пример, коцката што се наоѓа под редот од три коцки беше половина од една третина, коцката под неа беше половина од половина од една третина, итн.). Со собирање на две идентични „кохезивни“ дропки се добива дропот од најблискиот повисок ранг, на пример, 1/12+1/12=1/6 итн. Во абакус, додавањето на две такви фракции одговара на движење до најблиското повисоко домино.
Дропките беа сумирани без намалување на заеднички именител, на пример, „четвртина и пол третина и половина и пол“ (1/4 + 1/6 + 1/16). Некогаш операциите со дропки се вршеле како со целини со изедначување на целината (плугот) со одредена сума пари. На пример, ако sokha = 48 парични единици, горната фракција ќе биде 12 + 8 + 3 = 23 парични единици.
Во напредната аритметика мораше да се справи со помали дропки. Некои ракописи даваат цртежи и описи на „табли за броење“ слични на оние што сега беа дискутирани, но со голем број редови со една коска, така што на нив може да се постават фракции до 1/128 и 1/96. Нема сомнение дека биле произведени и соодветни инструменти. За погодност на калкулаторите, беа дадени многу правила на „Кодексот на мали коски“, т.е. собирање на дропки кои вообичаено се користат во заедничките пресметки, како што се: три четири плугови и половина плуг и половина плуг итн. до пола-пола-пола-пола-пола плуг е плуг без пола-пола-пола-пола-пола, т.е. 3/4+1/8+1/16+1/32 +1/64 + 1/128 = 1 - 1/128, итн.
Но, од дропките беа земени предвид само 1/2 и 1/3, како и оние добиени од нив со секвенцијално делење со 2. „Броењето на штиците“ не беше погодно за операции со фракции од други серии. При работењето со нив, неопходно беше да се повикаат посебни табели во кои беа дадени резултатите од различни комбинации на фракции.
ВО 1703 година Објавен е првиот руски печатен учебник по математика „Аритметика“. Автор Магнитски Леонти Филипович. Во вториот дел од оваа книга, „За броеви скршени или со дропки“, детално е претставено проучувањето на дропките.
Магнитски има речиси модерен карактер. Магнитски се задржува подетално на пресметката на акциите отколку на современите учебници. Магнитски ги смета дропките како именувани броеви (не само 1/2, туку 1/2 од рубљата, пуд итн.) и ги проучува операциите со дропките во процесот на решавање проблеми. Дека има скршен број, Магнитски одговара: „Скршен број не е ништо друго, само дел од нешто декларирано како број, односно половина рубља е половина рубља, а се пишува како рубља, или рубља, или рубља, или две петтини, и секакви работи што се или дел декларирани како број, односно скршен број“. Магнитски ги дава имињата на сите правилни дропки со именители од 2 до 10. На пример, дропки со именител 6: една шеснаесет, две шеснаесет, три шеснаесет, четири шеснаесет, пет шеснаесет.
Магнитски го користи името броител, именител, разгледува несоодветни дропки, мешаните броеви, покрај сите дејства, го изолира целиот дел од неправилна дропка.
Изучувањето на дропките отсекогаш останало најтешкиот дел од аритметиката, но во исто време, во која било од претходните епохи, луѓето ја сфатиле важноста на изучувањето на дропките, а наставниците се обидувале да ги охрабрат своите ученици во поезија и проза. Л. Магнитски напиша:
Но, нема аритметика
Ижо е целиот обвинет,
И во овие акции нема ништо,
Можно е да се одговори.
О, те молам, те молам,
Може да биде во делови.
1.7. Дропки во Античка Кина
Во Кина, речиси сите аритметички операции со обични дропки биле воспоставени до 2 век. п.н.е д.; тие се опишани во основното тело на математичкото знаење на античка Кина - „Математика во девет книги“, чие финално издание му припаѓа на Џанг Канг. Пресметувајќи врз основа на правило слично на Евклидовиот алгоритам (најголемиот заеднички делител на броителот и именителот), кинеските математичари ги намалија дропките. Множењето на фракциите се сметало за наоѓање површина на правоаголна парцела, чија должина и ширина се изразени како фракции. Поделбата се сметаше за користење на идејата за споделување, додека кинеските математичари не беа засрамени од фактот дека бројот на учесници во поделбата може да биде фракционо, на пример, 3⅓ луѓе.
Првично, Кинезите користеа едноставни фракции, кои беа именувани користејќи го хиероглифот за бања:
забрана („половина“) –1\2;
шао бан („мала половина“) –1\3;
таи бан („голема половина“) –2\3.
Следната фаза беше развојот на општо разбирање на дропките и формирањето на правила за работа со нив. Ако во древниот Египет се користеле само фракции, тогаш во Кина тие, сметани за фракции-фен, се сметале за една од сортите на фракции, а не за единствените можни. Кинеската математика се занимава со мешани броеви уште од античко време. Најраниот од математичките текстови, Џоу Би Ксуан Џинг (Канон за пресметување на Џоу Гномон/Математички трактат за Гномон), содржи пресметки кои ги зголемуваат бројките како 247 933 / 1460 на моќи.
Во „Џиу Џанг Ксуан Шу“ („Правила за броење во девет делови“), дропка се смета како дел од целина, што се изразува во n-бројот на неговите дропки-fen – m (n
Во првиот дел од „Џиу Џанг Ксуан Шу“, кој генерално е посветен на мерењето на полињата, одделно се дадени правилата за намалување, собирање, одземање, делење и множење дропки, како и нивна споредба и „изедначување“. ваква споредба на три дропки во кои е потребно да се најде нивната аритметичка средина (поедноставно правило за пресметување на аритметичката средина на два броја не е дадено во книгата).
На пример, за да се добие збирот на дропките во посочениот есеј, се нудат следните упатства: „Наизменично множете ги (ху ченг) броителите со именители. Додај - ова е дивиденда (ши). Помножете ги именителот - ова е делител (фа). Комбинирајте ја дивидендата и делителот во еден(и). Ако има остаток, поврзете го со делителот“. Оваа инструкција значи дека ако се додадат неколку дропки, тогаш броителот на секоја дропка мора да се помножи со именителот на сите други дропки. При „комбинирање“ на дивидендата (како збир од резултатите од таквото множење) со делител (производ на сите именители), се добива дропка, која по потреба треба да се намали и од која треба да се одвои целиот дел со делење. , тогаш „остатокот“ е броител, а намалениот делител е именителот. Збирот на множество дропки е резултат на таквото делење, кое се состои од цел број плус дропка. Исказот „помножи ги именителите“ во суштина значи намалување на дропките до нивниот најголем заеднички именител.
Правилото за намалување на дропките во Џиу Џанг Ксуан Шу содржи алгоритам за наоѓање на најголемиот заеднички делител на броителот и именителот, кој се совпаѓа со таканаречениот Евклидов алгоритам, дизајниран да го определи најголемиот заеднички делител на два броја. Но, ако последното, како што е познато, е дадено во Principia во геометриска формулација, тогаш кинескиот алгоритам е претставен чисто аритметички. Кинескиот алгоритам за наоѓање на најголемиот заеднички делител, наречен денг шу („ист број“), е конструиран како секвенцијално одземање на помал број од поголем. Дропката мора да се намали за овој број на ден шу. На пример, се предлага да се намали фракцијата 49\91. Вршиме секвенцијално одземање: 91 – 49 = 42; 49 – 42 = 7; 42 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 = 0. Дан шу = 7. Намали ја дропката за овој број. Добиваме: 7\13.
Поделбата на дропките во Џиу Џанг Ксуан Шу е различна од онаа прифатена денес. Правилото „jing fen“ („редослед на делење“) вели дека пред да се делат дропките, тие мора да се сведат на заеднички именител. Така, постапката за делење дропки има непотребен чекор: a/b: c/d = ad/bd: cb/bd = ad/cb. Само во 5 век. Џанг Киу-џиан во своето дело „Жанг Чиу-џиан суан јинг“ („Кононот за броење на Џанг Чиу-џиан“) се ослободи од него, делејќи ги дропките според вообичаеното правило: a/b: c/d = ad/ cb.
Можеби долгата посветеност на кинеските математичари на софистициран алгоритам за делење дропки се должела на желбата да се задржи неговата универзалност и употребата на табла за броење. Во суштина, тој се состои од намалување на поделбата на дропки на поделба на цели броеви. Овој алгоритам е валиден ако цел број е делив со мешан број. При делење, на пример, 2922 со 182 5 / 8, двата броја прво се помножија со 8, што овозможи дополнително да се делат цели броеви: 23376:1461= 16
1.8. Дропки во други состојби на антиката и средниот век.
Понатамошен развој на концептот на заедничка дропка беше постигнат во Индија. Математичарите од оваа земја можеа брзо да се префрлат од единечни дропки на општи дропки. За прв пат вакви фракции се наоѓаат во „Правилата на јажето“ од Апастамба (VII-V век п.н.е.), кои содржат геометриски конструкции и резултати од некои пресметки. Во Индија се користел систем на нотација - можеби од кинеско, а можеби и од доцно грчко потекло - во кој броителот на дропката бил запишан над именителот - како нашиот, но без линија на дропка, но целата дропка била ставена во правоаголна рамка. Понекогаш се користел и израз „трикатна“ со три броја во една рамка; во зависност од контекстот, ова може да значи неправилна дропка (a + b/c) или делење на целиот број a со дропката b/c.
На пример, дропка 
снимен како
Правилата за работа со дропки, поставени од индискиот научник Брамагупта (8 век), речиси не се разликуваа од современите. Како и во Кина, така и во Индија, за да се доведат до заеднички именител, именителите на сите поими се множеле долго време, но од 9 век. веќе го користеле најмалиот заеднички множител.
Средновековните Арапи користеле три системи за пишување дропки. Прво, на индиски начин, пишување на именителот под броителот; Дробната линија се појавила на крајот на 12-тиот - почетокот на 13-тиот век. Второ, функционерите, геодетите и трговците користеле пресметка на аликвотни фракции, слично на египетското, користејќи дропки со именители не поголеми од 10 (само за такви дропки арапскиот јазик има посебни термини); често се користеа приближни вредности; Арапските научници работеа на подобрување на оваа пресметка. Трето, арапските научници го наследиле вавилонско-грчкиот сексимален систем, во кој, како и Грците, користеле азбучна нотација, проширувајќи ја на цели делови.
Индиската нотација за дропки и правилата за работа со нив биле усвоени во 9 век. во муслиманските земји благодарение на Мухамед од Хорезм (ал-Хорезми). Во трговската практика во исламските земји, единечните фракции беа широко користени; во науката, половите фракции и, во многу помала мера, обичните фракции. Ал-Караџи (X-XI век), ал-Касар (XII век), ал-Каласади (XV век) и други научници во своите дела ги претставија правилата за претставување на обичните дропки во форма на збирови и производи на единечни дропки. Информациите за фракциите биле пренесени во Западна Европа од италијанскиот трговец и научник Леонардо Фибоначи од Пиза (13 век). Го вовел зборот дропка, почнал да ја користи дропската линија (1202) и дал формули за систематско делење на дропките на основни. Имињата броител и именител биле воведени во 13 век од Максимус Плануд, грчки монах, научник и математичар. Метод за намалување на дропките до заеднички именител бил предложен во 1556 година од N. Tartaglia. Модерната шема за собирање обични фракции датира од 1629 година. кај А. Жирар.
II. Примена на обични дропки
2.1 Аликвотни дропки
Проблемите со користење на аликвотни фракции сочинуваат голема класа на нестандардни проблеми, вклучувајќи ги и оние што потекнуваат од античко време. Аликвоти фракции се користат кога треба да поделите нешто на неколку делови во најмала количина можни чекори. Разложувањето на фракциите од формата 2/n и 2/(2n +1) на две аликвотни фракции е систематизирано во форма на формули
Распаѓање на три, четири, пет итн. аликвотни фракции може да се произведат со разложување на еден од поимите на две дропи, следниот член на уште две аликвотни фракции итн.
За да претставите број како збир на аликвотни дропки, понекогаш треба да покажете извонредна генијалност. Да речеме дека бројот 2/43 е изразен вака: 2/43=1/42+1/86+1/129+1/301. Многу е незгодно да се вршат аритметички операции на броеви, разложувајќи ги во збир на дропки од еден. Затоа, во процесот на решавање на проблемите за разложување на аликвотни фракции во форма на збир на помали аликвотни фракции, се појави идејата да се систематизира разложувањето на дропките во форма на формула. Оваа формула е валидна ако треба да разложите аликвотна фракција на две аликвотни фракции.
Формулата изгледа вака:
1/n=1/(n+1) + 1/n ·(n+1)
Примери за проширување на дропот:
1/3=1/(3+1)+1/3·(3+1)=1/4 +1/12;
1/5=1/(5+1)+1/5·(5+1)=1/6 +1/30;
1/8=1/(8+1)+1/8·(8+1)=1/9+ 1/72.
Оваа формула може да се трансформира за да се добие следната корисна еднаквост: 1/n·(n+1)=1/n -1/(n+1)
На пример, 1/6=1/(2 3)=1/2 -1/3
Односно, аликвотна дропка може да биде претставена со разлика од две аликвотни фракции, или разлика од две аликвотни дропки, чии именители се последователни броеви еднакви на нивниот производ.
Пример.Претстави го бројот 1 како збирови на различни аликвотни дропки
а) три члена 1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6
б) четири термини
1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)= 1/2+1/3+1/7+1/42
в) пет термини
1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=1/2+1/3+1/7+1/42=1/2+(1/4+ +1/12) +1/7+1/42=1/2+1/4+1/12 +1/7+1/42
2.2 Наместо мали дропки, големи
Во машинските фабрики постои многу возбудлива професија, таа се нарекува маркер. Маркерот ги означува линиите на работното парче по кои треба да се обработи ова работно парче за да му ја даде потребната форма.
Маркерот треба да решава интересни, а понекогаш и тешки геометриски проблеми, да врши аритметички пресметки итн.
„Беше некако да се поделат 7 идентични правоаголни чинии во еднакви делови помеѓу 12 дела. Тие ги донесоа овие 7 чинии на маркерот и побараа од него, ако е можно, да ги означи плочите така што ниту една од нив не треба да биде здробена на многу мали делови. Значи, наједноставното решение е - Сечењето на секоја чинија на 12 еднакви делови не беше соодветно, бидејќи тоа ќе резултира со многу мали делови.
Дали е можно да се поделат овие плочи на поголеми делови? Маркерот размислуваше, направи неколку аритметички пресметки со дропки и конечно го најде најекономичниот начин да ги подели овие таблички.
Последователно, тој лесно здроби 5 чинии за да ги распредели во еднакви делови помеѓу шест дела, 13 чинии за 12 делови, 13 чинии за 36 делови, 26 за 21, итн.
Излегува дека маркерот ја претставил дропот 7\12 како збир на единечни дропки 1\3 + 1\4. Тоа значи дека ако од 7 дадени чинии 4 се исечат на три еднакви делови, тогаш добиваме 12 третини, односно по една третина за секој дел. Останатите 3 чинии ги сечеме на по 4 еднакви делови, добиваме 12 четвртини, односно по една четвртина за секој дел. Слично, со користење на претстави на дропки во форма на збир на единечни дропки 5\6=1\2+1\3; 13\121\3+3\4; 13\36=1\4+1\9.
2.3 Поделби во тешки околности
Позната е источната парабола дека еден татко им оставил 17 камили на своите синови и им наредил да се поделат меѓу себе: најстарата половина, средната третина, најмладата деветта. Но, 17 не се дели со 2, 3 или 9. Синовите се свртеа кон мудрецот. Мудрецот бил запознаен со фракциите и можел да помогне во оваа тешка ситуација.
Тој прибегна кон измама. Мудрецот привремено ја додал својата камила во стадото, а потоа ги имало 18. Откако го поделил овој број, како што е наведено во тестаментот, мудрецот ја зел својата камила назад. Тајната е во тоа што деловите на кои синовите требало да го поделат стадото според тестаментот не се собираат до 1. Навистина, 1\2 + 1\3 + 1\9 = 17\18.
Има доста такви задачи. На пример, проблем од руски учебник за 4 пријатели кои нашле паричник со 8 кредитни банкноти: една за една, три, пет рубли, а остатокот за десет рубли. Со заеднички договор, едниот сакаше трет дел, вториот четвртина, третиот петти, четвртиот шести. Сепак, тие не можеа да го направат тоа сами: случаен минувач помогна, откако ја додаде својата рубља. За да ја реши оваа тешкотија, случаен минувач ги додаде единечните фракции 1\3 + 1\4 + 1\5 + 1\6 = 57\60, задоволувајќи ги барањата на неговите пријатели и заработувајќи 2 рубли за себе.
III.Интересни дропки
3.1 Домино фракции
Домино се игра на табла популарна низ целиот свет. Домино играта најчесто се состои од 28 правоаголни плочки. Домино е правоаголна плочка, чиј преден дел е поделен со линија на два квадратни дела. Секој дел содржи од нула до шест точки. Ако ги отстраните коцките што не содржат точки на најмалку една половина (празни места), тогаш преостанатите коцки може да се сметаат за фракции. Коцките, чиишто две половини содржат ист број на поени (двојки), се неправилни дропки еднакви на една. Ако ги отстраните уште овие коски, ќе останете со 15 коски. Тие можат да се подредат на различни начини и да добијат интересни резултати.
1. Распоред во 3 реда од кои збирот на дропките во секоја е 2.
;
;
2. Наредете ги сите 15 плочки во три реда од по 5 плочки, користејќи некои од домино како несоодветни фракции, како што се 4/3, 6/1, 3/2 итн., така што збирот на фракциите во секој ред се изедначи со бројот 10.
1\3+6\1+3\4+5\3+5\4=10
2\1+5\1+2\6+6\3+4\6=10
4\1+2\3+4\2+5\2+5\6=10
3. Распоред на дропки во редови, чиј збир ќе биде цел број (но различни во различни редови).
3.2 Од памтивек.
„Тој прецизно го проучуваше ова прашање“. Тоа значи дека прашањето е проучено до крај, дека не останува ни најмала нејасност. А чудниот збор „скрупулозно“ доаѓа од римското име за 1/288 assa – „scrupulus“.
„Влегување во дропки“. Овој израз значи да се најдете во тешка ситуација.
„Газ“ е единица за мерење на маса во фармакологијата (фармацевтска фунта).
„Унца“ е единица за маса во англискиот систем на мерки, единица за мерење на маса во фармакологијата и хемијата.
IV. Заклучок.
Проучувањето на дропките се сметало за најтешкиот дел од математиката во секое време и меѓу сите народи. Оние кои знаеле фракции биле многу ценети. Автор на антички словенски ракопис од 15 век. пишува: „Не е прекрасно тоа што... во целина, но за пофалба е што во делови...“.
Заклучив дека историјата на фракциите е кривулен пат со многу пречки и тешкотии. Додека работев на мојот есеј, научив многу нови и интересни работи. Читам многу книги и делови од енциклопедии. Се запознав со првите дропки со кои оперираа луѓето, со концептот на аликвотна дропка и научив нови имиња на научници кои придонеле за развојот на доктрината за дропки. Самиот се обидов да решавам олимпијадни и забавни проблеми, независно одбрав примери за разложување на обични дропки на аликвотни дропки и го анализирав решението на примерите и задачите дадени во текстовите. Одговорот на прашањето што си го поставив пред да започнам со работа на есејот: обичните дропки се неопходни, тие се важни. Беше интересно да се подготви презентацијата, морав да се обратам до наставникот и соучениците за помош. Исто така, при пишување, за прв пат наидов на потреба од пишување дропки и фракциони изрази. Го претставив мојот апстракт на училишна конференција. Таа настапи и пред соучениците. Тие слушаа многу внимателно и, според мене, беа заинтересирани.
Верувам дека ги завршив задачите што ги поставив пред да започнам со работа на апстрактот.
Литература.
1. Бородин А.И. Од историјата на аритметиката. Главна издавачка куќа „Училиште Вишча“-К., 1986 година
2. Глејзер Г.И Историја на математиката на училиште: IV-VI одд. Прирачник за наставници. - М.: Образование, 1981 година.
3. Игнатиев Е.И. Во царството на генијалноста. Главна редакција на физичко-математичка литература на издавачката куќа „Наука“, М., 1978 г.
4. Kordemskoy G.A. Математичка генијалност - 10-то издание, ревидирана. И дополнително - М.: Унисам, МДС, 1994 година.
5. Строик Д.Ја. Краток преглед на историјата на математиката. М.: Наука, 1990 година.
6.Енциклопедија за деца. Том 11. Математика. Москва, Аванта+, 1998 година.
7. /wiki.Материјал од Википедија - слободната енциклопедија.
Анекс 1.
Природна скала
Секој знае дека Питагора бил научник и, особено, автор на познатата теорема. Но, фактот дека тој бил и брилијантен музичар не е толку широко познат. Комбинацијата на овие таленти му овозможи да биде првиот што ќе погоди за постоењето на природна скала. Сè уште требаше да го докажам тоа. Питагора изградил полу-инструмент и полу-уред за своите експерименти - „монохорд“. Тоа беше долгнавеста кутија со низа испружена над неа. Под конецот, на горниот капак на кутијата, Питагора нацртал вага за да го олесни визуелното делење на низата на делови. Питагора извршил многу експерименти со монокорд и, на крајот, математички го опишал однесувањето на звучната низа. Делата на Питагора ја формираа основата на науката што сега ја нарекуваме музичка акустика. Излегува дека за музиката, седум звуци во една октава се природна работа како десет прсти на рацете во аритметиката. Веќе жицата од првиот лак, осцилирајќи по истрелот, го подготви тој збир на музички звуци што сè уште ги користиме речиси непроменети.
Од гледна точка на физиката, врвката и врвката се едно исто. И човекот ја направи низата, обрнувајќи внимание на својствата на врвката. Низата што звучи вибрира не само како целина, туку и во половини, третини, четвртини итн. Сега да пристапиме на овој феномен од аритметичка страна. Половини вибрираат двапати почесто од цела низа, третини - три пати, четвртини - четири пати. Со еден збор, колку пати е помал вибрирачкиот дел од жицата, фреквенцијата на неговите осцилации е исто толку пати поголема. Да речеме дека целата низа вибрира со фреквенција од 24 херци. Со броење на флуктуациите на дропките до шеснаесетти, ја добиваме серијата на броеви прикажани во табелата. Оваа низа на фреквенции се нарекува природна, т.е. природен, размер.
Додаток 2.
Антички проблеми со користење на заеднички дропки.
Во древните ракописи и древните аритметички учебници од различни земји има многу интересни проблеми кои вклучуваат дропки. Решавањето на секој од овие проблеми бара значителна генијалност, генијалност и способност за расудување.
1. Доаѓа овчар со 70 бикови. Го прашуваат:
Колку носите од вашето многубројно стадо?
Овчарот одговара:
Јас носам две третини од добитокот. Изброј колку бикови има во стадото?
Папирус од Ахмес (Египет, околу 2000 г. п.н.е.).
2. Некој земал 1/13 од касата. Од она што остана, друг зеде 1/17. Во трезорот оставил 192. Сакаме да дознаеме колку имало во трезорот првично
Аким папирус (VI век)
3. Патник! Тука е закопана пепелта на Диофант. А бројките можат да кажат, еве, колку траел неговиот живот.
Шестиот дел од него беше прекрасно детство.
Помина дванаесеттиот дел од неговиот живот - тогаш брадата му беше покриена со пената.
Диофант го помина седмиот пат во брак без деца.
Поминаа пет години; тој беше благословен со раѓањето на неговиот прекрасен првороден син.
На кого судбината му даде само половина од убав и светол живот на земјата во споредба со неговиот татко.
И во длабока тага старецот го прифати крајот на својата земна судбина, откако преживеа четири години откако го загуби својот син.
Кажи ми, колку години од животот Диофант ја издржа смртта?
4. Некој, умирајќи, оставил аманет: „Ако жена ми роди син, тогаш тој нека има 2/3 од имотот, а жената нека го има остатокот. Ако се роди ќерка, тогаш 1/3 ќе и се даде на неа, а 2/3 на сопругата. Родени се близнаци - син и ќерка. Како да се подели имотот?
Антички римски проблем (II век)
Најдете три броја такви што најголемиот го надминува просекот за даден дел од најмалиот, така што просекот го надминува најмалиот за даден дел од најголемиот и така што најмалиот го надминува бројот 10 за даден дел од просекот.
Диофант Александриски трактат „Аритметика“ (2-3 век н.е.)
5. Дива патка лета од Јужното Море до Северното Море 7 дена. Дива гуска лета од северното до јужното море 9 дена. Сега патката и гуската летаат надвор во исто време. За колку дена ќе се сретнат?
Кина (2 век н.е.)
6. „Еден трговец поминал низ 3 града, и во првиот град му наплатиле давачки за половина и третина од неговиот имот, а во вториот град за половина и третина од неговиот преостанат имот, а во третиот град за половина и третина од неговиот преостанат имот. А кога стигна дома, му останаа 11 пари. Откријте колку пари имал трговецот на почетокот“.
Ананиј Ширакаци. Збирка „Прашања и одговори“ (VIIвек од нашата ера).
Има цвет кадамба,
За едно ливче
Една петтина од пчелите паднаа.
Јас пораснав во близина
Сите во цут Сименгда,
И третиот дел се вклопуваше на неа.
Најдете ја нивната разлика
Преклопете го три пати
И засади ги тие пчели на кутаи.
Само две не беа пронајдени
Никаде нема место за себе
Сите летаа напред-назад и насекаде
Уживаше во мирисот на цвеќето.
Сега кажи ми
Пресметувајќи во мојот ум,
Колку пчели има вкупно?
Стар индиски проблем (XI век).
8. „Најди број, знаејќи дека ако од него одземе една третина и една четвртина, ќе добиеш 10“.
Мухамед ибн Муса ал Хваризми „Аритметика“ (IX век)
9. Една жена отишла во градината да бере јаболка. За да ја напушти градината, таа мораше да помине низ четири врати, од кои секоја имаше чувар. Жената половина од јаболката што ги набрала му дала на чуварот на првата врата. Откако стигна до вториот чувар, жената му даде половина од преостанатите. Истото го направила и со третиот чувар, а кога ги поделила јаболките со четвртиот чувар и останале уште 10 јаболка. Колку јаболка собрала во градината?
„1001 ноќ“
10. Само „тоа“ и „ова“ и половина од „тоа“ и „ова“ - колкав процент од три четвртини од „тоа“ и „ова“ ќе биде.
Антички ракопис на античка Русија (X-XI век)
11. Тројца Козаци дојдоа кај сточарот да купат коњи.
„Добро, ќе ти продадам коњи“, рече сточарот, „на првиот ќе му продадам половина стадо и уште половина коњ, половина од останатите коњи и уште половина коњ на вториот, третиот исто така ќе добие половина. од преостанатите коњи со половина коњ.
Ќе оставам само 5 коњи за себе“.
Козаците биле изненадени како сточарот ќе ги подели коњите на делови. Но, по малку размислување тие се смирија, и договорот се случи.
Колку коњи продал сточарот на секој од Козаците?
12. Некој го прашал наставникот: „Кажи ми колку ученици имаш во одделението, затоа што сакам да го запишам мојот син кај тебе“. Наставникот одговорил: „Ако дојдат уште толку ученици колку што имам јас, и половина и четвртина и вашиот син, тогаш ќе имам 100 ученици“. Прашањето е колку ученици имал наставникот?
Л.Ф. Магнитски „Аритметика“ (1703)
13. Патникот, откако го стигна другиот, го праша: „Колку е до селото напред? Друг патник одговорил: „Растојанието од селото од кое доаѓате е еднакво на третина од вкупното растојание меѓу селата. И ако пешачите уште две милји, ќе бидете точно на средина меѓу селата. Колку милји му преостануваат да оди на првиот патник?
Л.Ф. Магнитски „Аритметика“ (1703)
14.Селанка продавала јајца на пазар. Првиот клиент купил половина од нејзините јајца и уште половина јајце, втората половина од остатокот и уште половина јајце, а третиот последните 10 јајца.
Колку јајца донесе селанката на пазар?
Л.Ф. Магнитски „Аритметика“ (1703)
15. Мажот и жената земале пари од ист ковчег, а ништо не останало. Мажот зел 7/10 од сите пари, а сопругата 690 рубли. Колку беа сите пари?
Л.Н. Толстој „Аритметика“
16. Една осмина од бројот
Земете го и додадете кој било
Половина од триста
И осумте ќе надминат
Не малку - педесет
Три четвртини. Ќе ми биде мило,
Ако тој што го знае резултатот
Ќе ми го каже бројот.
Јохан Хемелинг, наставник по математика (1800)
17. Тројца освоиле одредена сума на пари. На првиот отпаѓа 1/4 од оваа сума, на вториот -1/7, а на третиот 17 флорини. Колку се големи вкупните добивки?
Адам Ризе (Германија, 16 век) 18. Откако решил сите негови заштеди да ги подели подеднакво меѓу сите негови синови, некој направил тестамент. „Најстариот од моите синови треба да добие 1000 рубли и осмина од остатокот; следниот - 2000 рубли и осмина од новиот биланс; третиот син - 3.000 рубли и осмина од следното салдо, итн. Определете го бројот на синови и висината на завештаните заштеди.
Леонхард Ојлер (1780)
19. Тројца луѓе сакаат да купат куќа за 24.000 ливри. Се договорија првиот да даде половина, вториот една третина, а третиот преостанатото. Колку пари ќе даде третиот?
Дропки "," Обичен дропки" Игра „За што можат да зборуваат... за ментална аритметика“. Задачи за темата " Обичен дропкии дејствија врз нив“ 1. У... филозоф, писател. Б. Паскал беше необичноталентиран и сестран, неговиот живот беше...
АПСТРАКТ
дисциплина: „Математика“
на оваа тема: „Невообичаени дропки“
Изведено:
ученик од 5-то одделение
Фролова Наталија
Супервизор:
Друшченко Е.А.
наставник по математика
Стрежевој, регионот Томск
| Страница бр. | ||
| Вовед | ||
| Јас. | Од историјата на обичните дропки. | |
| 1.1 | Појавата на дропки. | |
| 1.2 | Дропки во антички Египет. | |
| 1.3 | Дропки во антички Вавилон. | |
| 1.4 | Дропки во антички Рим. | |
| 1.5 | Дропки во Античка Грција. | |
| 1.6 | Дропки во Русија. | |
| 1.7 | Дропки во Античка Кина. | |
| 1.8 | Дропки во други состојби на антиката и средниот век. | |
| II. | Примена на обични дропки. | |
| 2.1 | Аликвотни дропки. | |
| 2.2 | Наместо мали лобуси, големи. | |
| 2.3 | Поделби во тешки околности. | |
| III. | Интересни дропки. | |
| 3.1 | Домино фракции. | |
| 3.2 | Од длабочините на вековите. | |
| Заклучок | ||
| Библиографија | ||
| Додаток 1. Природна вага. | ||
| Додаток 2. Антички задачи со користење на обични дропки. | ||
| Додаток 3. Забавни проблеми со заеднички дропки. | ||
| Додаток 4. Домино фракции |
Вовед
Оваа година почнавме да учиме за дропките. Многу необични броеви, почнувајќи од нивната необична нотација и завршувајќи со сложени правила за справување со нив. Иако од првото запознавање со нив беше јасно дека не можеме без нив ни во обичниот живот, бидејќи секој ден треба да се соочуваме со проблемот да се подели една целина на делови, па дури во одреден момент ми се чинеше дека повеќе не беа опкружени со целини, туку со броеви на дропки. Со нив светот се покажа покомплексен, но во исто време и поинтересен. Имам некои прашања. Дали се потребни дропки? Дали се важни? Сакав да знам од каде ни дојдоа дропките, кој ги смисли правилата за работа со нив. Иако зборот измислен веројатно не е многу погоден, бидејќи во математиката сè мора да се провери, бидејќи сите науки и индустрии во нашите животи се засноваат на јасни математички закони кои важат низ целиот свет. Не може кај нас собирањето дропки да се врши по едно правило, но некаде во Англија е поинаку.
Додека работев на есејот, морав да се соочам со некои потешкотии: со нови поими и концепти, морав да си го средам мозокот, да решавам проблеми и да го анализирам решението предложено од античките научници. Исто така, при пишување, за прв пат се соочив со потребата да пишувам дропки и фракциони изрази.
Целта на мојот есеј: да се следи историјата на развојот на концептот на обична дропка, да се прикаже потребата и важноста од користење на обични дропки при решавање на практични проблеми. Задачите што си ги поставив: собирање материјал за темата на есејот и негова систематизација, проучување антички проблеми, сумирање на обработениот материјал, подготовка на генерализираниот материјал, подготовка на презентација, презентирање на апстрактот.
Мојата работа се состои од три поглавја. Проучив и обработив материјали од 7 извори, вклучувајќи образовна, научна и енциклопедиска литература и веб-страница. Дизајнирав апликација која содржи избор на проблеми од антички извори, неколку интересни проблеми со обични дропки, а подготвив и презентација направена во уредникот на Power Point.
I. Од историјата на обичните дропки
Појавата на дропки
Бројни историски и математички студии покажуваат дека фракционите броеви се појавувале кај различни народи во античко време, веднаш по природните броеви. Појавата на фракции е поврзана со практични потреби: задачите каде што беше неопходно да се подели на делови беа многу чести. Покрај тоа, во животот човекот мораше не само да брои предмети, туку и да мери количини. Луѓето наидоа на мерења на должини, површини на земјиште, волумени и маси на тела. Во овој случај, се случи мерната единица да не одговара цел број пати во измерената вредност. На пример, при мерење на должината на делот во чекори, едно лице се соочи со следниов феномен: десет чекори се вклопуваат во должината, а остатокот беше помал од еден чекор. Затоа, втората значајна причина за појавата на дробни броеви треба да се смета за мерење на количините со помош на избраната мерна единица.
Така, во сите цивилизации, концептот на дропка произлезе од процесот на поделба на целина на еднакви делови. Рускиот термин „фракција“, како и неговите аналози на други јазици, доаѓа од лат. fractura, што пак е превод на арапски термин со исто значење: кршење, фрагментирање. Затоа, веројатно, првите дропки насекаде биле дропки од формата 1/n. Понатамошниот развој природно се движи кон разгледување на овие дропки како единици од кои може да се состават дропките m/n - рационални броеви. Меѓутоа, овој пат не го следеле сите цивилизации: на пример, тој никогаш не бил реализиран во античката египетска математика.
Првата дропка со која се запознаа луѓето беше половина. Иако имињата на сите следни дропки се поврзани со имињата на нивните именители (три е „трето“, четири е „четвртина“ итн.), тоа не е точно за половина - неговото име на сите јазици нема ништо за направи со зборот „два“.
Системот за запишување дропки и правилата за справување со нив значително се разликувале кај различни народи, а во различно време кај исти луѓе. Многубројните позајмувања на идеи одиграа важна улога и за време на културните контакти меѓу различните цивилизации.
Дропки во антички Египет
Во древниот Египет ги користеле само наједноставните дропки, во кои броителот е еднаков на еден (оние што ги нарекуваме „дропки“). Математичарите ги нарекуваат таквите дропки аликвоти (од латинскиот аликвот - неколку). Се користи и името базни дропки или единечни дропки.
Покрај тоа, Египќаните користеле форми за пишување засновани на хиероглифи Окото на Хорус (Wadjet). Древните се карактеризирале со испреплетување на сликата на Сонцето и окото. Во египетската митологија, богот Хорус често се споменува, олицетворувајќи го крилестото Сонце и е еден од најчестите свети симболи. Во битката со непријателите на Сонцето, отелотворени во ликот на Сет, Хорус првично е поразен. Сет му го грабнува Окото - прекрасно око - и го кине на парчиња. Тот - богот на учењето, разумот и правдата - повторно ги стави деловите на окото во една целина, создавајќи го „здравото око на Хорус“. Сликите на делови од исеченото око биле користени во писмена форма во Стар Египет за да претставуваат дропки од 1/2 до 1/64.
Збирот на шесте знаци вклучени во Ваџетот и сведени на заеднички именител: 32/64 + 16/64 + 8/64 + 4/64 + 2/64 + 1/64 = 63/64
Таквите фракции се користеле заедно со други форми на египетски фракции за делење хекат, главната мерка за волумен во Стариот Египет. Оваа комбинирана снимка беше искористена и за мерење на волуменот на жито, леб и пиво. Ако, по снимањето на количината како дропка од Окото на Хорус, имало некој остаток, тоа било напишано во вообичаената форма како множител на rho, мерна единица еднаква на 1/320 од хеката.
На пример, вака:
|
Во овој случај, „устата“ беше поставена пред сите хиероглифи.
Хекатјачмен: 1/2 + 1/4 + 1/32 (односно, 25/32 садови од јачмен).
Хекатизнесуваше приближно 4.785 литри.
Египќаните ја претставувале секоја друга дропка како збир на аликвотни дропки, на пример 9/16 = 1/2+1/16; 7/8=1/2+1/4+1/8 и така натаму.
Напишано е вака: /2 /16; /2 /4 /8.
Во некои случаи ова изгледа доволно едноставно. На пример, 2/7 = 1/7 + 1/7. Но, друго правило на Египќаните беше отсуството на повторувачки броеви во низа дропки. Тоа е, 2/7 според нивното мислење беше 1/4 + 1/28.
Сега збирот од неколку аликвотни дропки се нарекува египетска дропка. Со други зборови, секоја дропка од збирот има броител еднаков на еден и именителот еднаков на природен број.
Спроведувањето на различни пресметки, изразувањето на сите дропки во однос на единици, беше, се разбира, многу тешко и одземаше време. Затоа, египетските научници се погрижија да му ја олеснат работата на писарот. Тие составија посебни табели за разложување на фракции на едноставни. Математичките документи на древниот Египет не се научни трактати за математика, туку практични учебници со примери земени од животот. Меѓу задачите што требаше да ги реши ученик од писарската школа беа пресметките на капацитетот на амбарите, обемот на кошницата, површината на полето, поделбата на имотот меѓу наследниците и други. Писарот мораше да ги запомни овие примероци и да може брзо да ги користи за пресметки.
Една од првите познати референци за египетските фракции е математичкиот папирус Ринд. Три постари текстови кои спомнуваат египетски дропки се египетскиот математички кожен свиток, Московскиот математички папирус и дрвената табла Ахмим.
Најстариот споменик на египетската математика, таканаречениот „Московски папирус“, е документ од 19 век п.н.е. Тој беше купен во 1893 година од колекционерот на антички богатства Голенишчев, а во 1912 година стана сопственост на Московскиот музеј за ликовни уметности. Содржеше 25 различни проблеми.
На пример, го разгледува проблемот на делење 37 со број даден како (1 + 1/3 + 1/2 + 1/7). Со последователно удвојување на оваа дропка и изразување на разликата помеѓу 37 и резултатот, и користење на постапка суштински слична на наоѓање на заедничкиот именител, одговорот е: количникот е 16 + 1/56 + 1/679 + 1/776.
Најголемиот математички документ - папирус на прирачникот за пресметка на писарот Ахмес - бил пронајден во 1858 година од англискиот колекционер Ринд. Папирусот е составен во 17 век п.н.е. Неговата должина е 20 метри, ширина 30 сантиметри. Содржи 84 математички задачи, нивни решенија и одговори, напишани како египетски дропки.
Папирусот Ахмес започнува со табела во која сите дропки од формата 2\n од 2/5 до 2/99 се запишани како збирови на аликвотни дропки. Египќаните знаеле и да множат и делат дропки. Но, за да се множи, мораше да множиш дропки со дропки, а потоа, можеби, повторно да ја користиш табелата. Ситуацијата со поделеноста беше уште покомплицирана. Еве, на пример, како 5 се дели со 21:
Често се среќава проблем од папирусот Ахмес: „Нека ви се каже: поделете 10 мери јачмен на 10 луѓе; разликата меѓу секој човек и неговиот сосед е - 1/8 од мерката. Просечното учество е една мерка. Одземете еден од 10; остаток 9. Направете половина од разликата; ова е 1/16. Земете го 9 пати. Нанесете го ова на средното отчукување; одземете 1/8 од мерката за секое лице додека не стигнете до крајот“.
Друг проблем од папирусот Ахмес кој ја демонстрира употребата на аликвотни фракции: „Поделете 7 леба на 8 луѓе“.
Ако го исечете секој леб на 8 парчиња, ќе треба да направите 49 парчиња.
И на египетски овој проблем беше решен вака. Дропката 7/8 била запишана како дропки: 1/2 + 1/4 + 1/8. Тоа значи дека на секој човек треба да му се даде половина леб, четвртина леб и осмина леб; Затоа, четири леба сечеме на половина, два леба на 4 дела и еден леб на 8 дела, по што на секој му даваме дел.
Египетските табели со фракции и разните вавилонски табели се најстарите познати средства за олеснување на пресметките.
Египетските фракции продолжиле да се користат во античка Грција, а потоа и од математичари ширум светот до средниот век, и покрај коментарите на античките математичари за нив. На пример, Клавдиј Птоломеј зборуваше за непријатностите од користењето египетски дропки во споредба со вавилонскиот систем (позиционен броен систем). Важна работа за проучување на египетските дропки ја изврши математичарот од 13 век Фибоначи во неговото дело „Liber Abaci“ - ова се пресметки со користење на децимални и обични фракции, кои на крајот ги заменија египетските фракции. Фибоначи користел сложено означување на дропки, вклучително и ознака со мешана основа и нотација на збир на фракции, а често се користеле и египетски дропки. Во книгата се дадени и алгоритми за претворање од обични дропки во египетски.
Дропки во антички Вавилон.
Познато е дека во древниот Вавилон го користеле сексималниот броен систем. Научниците го припишуваат овој факт на фактот дека вавилонските мерни единици на пари и тежина биле поделени, поради историските услови, на 60 еднакви делови: 1 талент = 60 мин; 1 мина = 60 шекели. Шеесеттите биле вообичаени во животот на Вавилонците. Затоа користеле полусимални дропки, кои секогаш го имаат именителот 60 или неговите моќи: 60 2 = 3600, 60 3 = 216000 итн. Ова се првите систематски дропки во светот, т.е. дропки во кои именителот се моќи со ист број. Користејќи такви дропки, Вавилонците морале приближно да претставуваат многу дропки. Ова е недостаток и во исто време предност на овие фракции. Овие дропки станаа постојана алатка за научни пресметки за грчките, а потоа и арапските и средновековните европски научници сè до 15 век, кога им отстапија место на децималните фракции. Но, научниците од сите народи користеле полови фракции во астрономијата до 17 век, нарекувајќи ги астрономски фракции.
Сексазималниот броен систем однапред одредил голема улога во математиката на Вавилон за различни табели. Целосната вавилонска табела за множење би содржела производи од 1x1 до 59x59, односно 1770 броеви, а не 45 како нашата табела за множење. Речиси е невозможно да се запамети таква табела. Дури и во пишана форма би било многу незгодно. Затоа, за множење, како и за делење, имаше широк сет на различни табели. Операцијата на делење во вавилонската математика може да се нарече „проблем број еден“. Вавилонците го намалија делењето на бројот m со бројот n на множење на бројот m со дропка 1\n, па дури и го немаа терминот „подели“. На пример, кога пресметувавме што би напишале како x = m: n, тие секогаш размислувале вака: земете ја инверзната на n, ќе видите 1\ n, помножете го m со 1 \ n и ќе видите x. Се разбира, наместо нашите букви, жителите на Вавилон повикаа конкретни броеви. Така, најважната улога во вавилонската математика ја играле бројните табели на реципроците.
Покрај тоа, за пресметки со дропки, Вавилонците составиле обемни табели кои ги изразувале главните фракции во полусимални фракции. На пример:
1\16 = 3\60 + 45\60 2 , 1\54 = 1\60 + 6\60 2 + 40\60 3 .
Собирањето и одземањето на дропките од страна на Вавилонците било извршено слично како и соодветните операции со цели броеви и децимални дропки во нашиот систем на позиции. Но, како дропка се множи со дропка? Прилично високиот развој на мерната геометрија (земјиште, мерење на површина) сугерира дека Вавилонците ги надминале овие тешкотии со помош на геометријата: промената на линеарната скала за 60 пати дава промена во скалата на областа за 60 60 пати. Треба да се забележи дека во Вавилон проширувањето на полето на природните броеви до регионот на позитивни рационални броеви конечно не се случило, бидејќи Вавилонците сметале само конечни полови-симални фракции, во чиј регион делењето не е секогаш изводливо. Покрај тоа, Вавилонците користеле дропки 1\2,1\3,2\3,1\4,1\5,1\6,5\6, за кои имало поединечни знаци.
Трагите од вавилонскиот сексазимален броен систем се задржале во модерната наука во мерењето на времето и аглите. Поделбата на час на 60 минути, минута на 60 секунди, круг на 360 степени, степен на 60 минути, минута на 60 секунди е зачувана до денес. Минута на латински значи „мал дел“, секунда значи „второ“
(мал дел).
Дропки во антички Рим.
Римјаните главно користеле само конкретни фракции, кои ги замениле апстрактните делови со поделби на употребените мерки. Овој систем на фракции се засноваше на делење на единица тежина на 12 дела, што беше наречено газ. Така настанале римските дуодецимални фракции, т.е. дропки чиј именител секогаш бил дванаесет. Дванаесеттиот дел од кецот се викаше унца. Наместо 1/12, Римјаните рекле „една унца“, 5/12 – „пет унци“ итн. Три унци се нарекувале четвртина, четири унци третина, шест унци половина.
И патот, времето и другите количини беа споредувани со визуелна работа - тежина. На пример, еден Римјанин може да каже дека одел седум унци по патека или прочитал пет унци од книга. Во овој случај, се разбира, не се работеше за одмерување на патеката или на книгата. Ова значеше дека 7/12 од патувањето биле завршени или 5/12 од книгата биле прочитани. А за дропките добиени со намалување на дропките со именител 12 или со делење на дванаесеттини на помали, имало посебни имиња. Вкупно се користени 18 различни имиња за дропки. На пример, следните имиња беа во употреба:
„scrupulus“ - 1/288 assa,
"полу" - половина аса,
„секстанца“ е шестиот дел од неа,
„семиунс“ - половина унца, т.е. 1/24 магариња итн.
За да се работи со такви дропки, неопходно беше да се запамети табелата за собирање и табелата за множење за овие дропки. Затоа, римските трговци цврсто знаеле дека кога се додаваат триен (1/3 аса) и секстани, резултатот е полу, а кога се множи imp (2/3 асса) со сескунс (2/3 унца, т.е. 1/8 аса), резултатот е унца. За да се олесни работата, беа составени посебни табели, од кои некои дојдоа до нас.
Унцата беше означена со линија - половина аса (6 унци) - со буквата S (првиот во латинскиот збор Semis - половина). Овие два знака служеле за снимање на која било дуодецимална фракција, од кои секоја имала свое име. На пример, 7\12 беше напишано вака: S-.
Уште во првиот век п.н.е., извонредниот римски оратор и писател Цицерон рекол: „Без познавање на дропките, никој не може да се препознае дека знае аритметика!“
Типичен е следниот извадок од делото на познатиот римски поет од 1 век п.н.е. Хорас, за разговор меѓу учител и ученик во едно од римските училишта од таа ера:
Учителката: Нека ми каже синот на Албин колку ќе остане ако се одземе една унца од пет унци!
Ученик: Една третина.
Наставникот: Така е, добро ги познаваш дропките и ќе можеш да си го спасиш имотот.
Дропки во Античка Грција.
Во Античка Грција, аритметиката - проучувањето на општите својства на броевите - беше одвоена од логистиката - уметноста на пресметување. Грците верувале дека фракциите можат да се користат само во логистиката. Грците слободно ги управувале сите аритметички операции со дропки, но не ги препознале како бројки. Дропки не беа пронајдени во грчките трудови за математика. Грчките научници верувале дека математиката треба да се занимава само со цели броеви. Тие им препуштија на трговците, занаетчиите, како и на астрономите, геодетите, механичарите и другите „црнци“. „Ако сакате да поделите единица, математичарите ќе ве исмеваат и нема да ви дозволат да го направите тоа“, напиша основачот на Академијата во Атина, Платон.
Но, не сите антички грчки математичари се согласија со Платон. Така, во својот трактат „За мерење на круг“, Архимед користи дропки. Херон од Александрија, исто така, слободно ракувал со фракции. Како и Египќаните, тој разложува дропка во збирот на основните дропки. Наместо 12\13 пишува 1\2 + 1\3 + 1\13 + 1\78, наместо 5\12 пишува 1\3 + 1\12 итн. Дури и Питагора, кој ги третирал природните броеви со свето трепет, при создавањето на теоријата на музичката скала, главните музички интервали ги поврзувал со дропки. Точно, Питагора и неговите ученици не го користеа самиот концепт на дропки. Тие си дозволија да зборуваат само за соодносите на цели броеви.
Бидејќи Грците работеле со дропки само спорадично, тие користеле различни ознаки. Херон и Диофант пишувале дропки по азбучен облик, со броителот ставен под именителот. За некои дропки се користеа посебни ознаки, на пример, за 1\2 - L′′, но генерално нивното азбучно нумерирање го отежна означувањето на дропките.
За единечни дропки, се користеше специјална нотација: именителот на фракцијата беше придружен со удар надесно, броителот не беше напишан. На пример, во азбучниот систем тоа значело 32, а " - дропот 1\32. Има такви записи на обични дропки во кои броителот со прост и именителот земен двапати со два прости броеви се пишуваат рамо до рамо во еден ред Така, на пример, Херон Александриски ја запишал дропката 3 \4: .
Недостатокот на грчката ознака за дробни броеви се должи на фактот што Грците го разбрале зборот „број“ како збир на единици, така што она што сега го сметаме како единствен рационален број - дропка - Грците го сфатиле како однос на два цели броеви. Ова објаснува зошто дропките ретко се наоѓале во грчката аритметика. Предност беше дадена или на дропките со единичен броител или на сексазималните фракции. Областа во која практичните пресметки имаа најголема потреба од точни фракции беше астрономијата, а овде вавилонската традиција беше толку силна што ја користеа сите народи, вклучително и Грција.
Дропки во Русија
Првиот руски математичар, нам познат по име, монахот на Новгородскиот манастир Кирик, се занимавал со прашања од хронологијата и календарот. Во неговата рачно напишана книга „Учејќи го да му ги кажува на личноста броевите на сите години“ (1136), т.е. „Упатство за тоа како едно лице може да го знае нумерирањето на годините“ ја применува поделбата на часот на петти, дваесет и петти, итн. дропки, кои ги нарекол „фракциони часови“ или „части“. Стигнува до седмиот фракционен час, од кои има 937.500 за едно ден или ноќ, и вели дека ништо не доаѓа од седмиот дробен час.
Во првите учебници по математика (VII век), дропките се нарекувале дропки, подоцна „скршени броеви“. Во рускиот јазик, зборот фракција се појави во 8 век, тој доаѓа од глаголот „дроблит“ - да се скрши, да се скрши на парчиња. Кога пишувате број, се користеше хоризонтална линија.
Во старите прирачници ги има следните имиња на дропки во Русија:
1/2 - половина, половина
1/3 - третина
1/4 - дури
1/6 - половина третина
1/8 - половина
1/12 - половина третина
1/16 - половина половина
1/24 - половина и половина третина (мала третина)
1/32 - половина половина половина (мала половина)
1/5 - пијатина
1/7 - недела
1/10 е десеток.
Земјиштето од една четвртина или помало се користеше во Русија -
половина четвртина, што се викаше октина. Тоа беа конкретни фракции, единици за мерење на површината на земјата, но октина не можеше да мери време или брзина итн. Многу подоцна, октина почна да значи апстрактна дропка 1/8, која може да изрази каква било вредност.
За употребата на дропки во Русија во 17 век, можете да го прочитате следново во книгата на В. Белустин „Како луѓето постепено стигнаа до вистинската аритметика“: „Во еден ракопис од 17 век. „Нумеричкиот член за уредбата за сите дропки“ започнува директно со писменото означување на дропките и со наведување на броителот и именителот. При изговарање дропки интересни се следниве карактеристики: четвртиот дел се нарекувал четвртина, додека дропките со именител од 5 до 11 се изразувале со зборови што завршуваат на „ина“, така што 1/7 е недела, 1/5 е петка, 1/10 е десеток; Акциите со именители поголеми од 10 се изговараа со зборовите „лот“, на пример 5/13 - пет тринаесеттини од лотовите. Нумерирањето на дропките било директно позајмено од западните извори... Бројачот се нарекувал горниот број, именителот долниот“.
Од 16 век, абакусот од штица беше многу популарен во Русија - пресметки со помош на уред кој беше прототип на рускиот абакус. Тоа овозможи брзо и лесно извршување на сложени аритметички операции. Сметката за штици беше многу распространета меѓу трговците, вработените во московските нарачки, „мерителите“ - геодетите, монашките економисти итн.
Во својата оригинална форма, таблата абакус беше специјално прилагоден на потребите на напредната аритметика. Ова е даночен систем во Русија од 15-17 век, во кој, заедно со собирање, одземање, множење и делење на цели броеви, неопходно е да се извршат истите операции со фракции, бидејќи конвенционалната единица на оданочување - плуг - беше поделена на делови.
Планк-сметката се состоеше од две кутии за преклопување. Секоја кутија беше поделена на два дела (подоцна само на дното); втората кутија беше неопходна поради природата на готовинската сметка. Внатре во кутијата беа нанижани коски на истегнати жици или жици. Во согласност со децималниот броен систем, редовите за цели броеви имаа 9 или 10 коцки; операциите со фракции беа извршени на нецелосни редови: редот од три коцки беше три третини, редот од четири коцки беше четири четвртини (четири). Подолу имаше редови во кои имаше една коцка: секоја коцка претставуваше половина од дропот под кој се наоѓаше (на пример, коцката што се наоѓа под редот од три коцки беше половина од една третина, коцката под неа беше половина од половина од една третина, итн.). Со собирање на две идентични „кохезивни“ дропки се добива дропот од најблискиот повисок ранг, на пример, 1/12+1/12=1/6 итн. Во абакус, додавањето на две такви фракции одговара на движење до најблиското повисоко домино.
Дропките беа сумирани без намалување на заеднички именител, на пример, „четвртина и пол третина и половина и пол“ (1/4 + 1/6 + 1/16). Некогаш операциите со дропки се вршеле како со целини со изедначување на целината (плугот) со одредена сума пари. На пример, ако sokha = 48 парични единици, горната фракција ќе биде 12 + 8 + 3 = 23 парични единици.
Во напредната аритметика мораше да се справи со помали дропки. Некои ракописи даваат цртежи и описи на „табли за броење“ слични на оние што сега беа дискутирани, но со голем број редови со една коска, така што на нив може да се постават фракции до 1/128 и 1/96. Нема сомнение дека биле произведени и соодветни инструменти. За погодност на калкулаторите, беа дадени многу правила на „Кодексот на мали коски“, т.е. собирање на дропки кои вообичаено се користат во заедничките пресметки, како што се: три четири плугови и половина плуг и половина плуг итн. до пола-пола-пола-пола-пола плуг е плуг без пола-пола-пола-пола-пола, т.е. 3/4+1/8+1/16+1/32 +1/64 + 1/128 = 1 - 1/128, итн.
Но, од дропките беа земени предвид само 1/2 и 1/3, како и оние добиени од нив со секвенцијално делење со 2. „Броењето на штиците“ не беше погодно за операции со фракции од други серии. При работењето со нив, неопходно беше да се повикаат посебни табели во кои беа дадени резултатите од различни комбинации на фракции.
Во 1703 г Објавен е првиот руски печатен учебник по математика „Аритметика“. Автор Магнитски Леонти Филипович. Во вториот дел од оваа книга, „За броеви скршени или со дропки“, детално е претставено проучувањето на дропките.
Магнитски има речиси модерен карактер. Магнитски се задржува подетално на пресметката на акциите отколку на современите учебници. Магнитски ги смета дропките како именувани броеви (не само 1/2, туку 1/2 од рубљата, пуд итн.) и ги проучува операциите со дропките во процесот на решавање проблеми. Дека има скршен број, Магнитски одговара: „Скршен број не е ништо друго, само дел од нешто декларирано како број, односно половина рубља е половина рубља, а се пишува како рубља, или рубља, или рубља, или две петтини, и секакви работи што се или дел декларирани како број, односно скршен број“. Магнитски ги дава имињата на сите правилни дропки со именители од 2 до 10. На пример, дропки со именител 6: една шеснаесет, две шеснаесет, три шеснаесет, четири шеснаесет, пет шеснаесет.
Магнитски го користи името броител, именител, разгледува несоодветни дропки, мешаните броеви, покрај сите дејства, го изолира целиот дел од неправилна дропка.
Изучувањето на дропките отсекогаш останало најтешкиот дел од аритметиката, но во исто време, во која било од претходните епохи, луѓето ја сфатиле важноста на изучувањето на дропките, а наставниците се обидувале да ги охрабрат своите ученици во поезија и проза. Л. Магнитски напиша:
Но, нема аритметика
Ижо е целиот обвинет,
И во овие акции нема ништо,
Можно е да се одговори.
О, те молам, те молам,
Може да биде во делови.
Дропки во Античка Кина
Во Кина, речиси сите аритметички операции со обични дропки биле воспоставени до 2 век. п.н.е д.; тие се опишани во основното тело на математичкото знаење на античка Кина - „Математика во девет книги“, чие финално издание му припаѓа на Џанг Канг. Пресметувајќи врз основа на правило слично на Евклидовиот алгоритам (најголемиот заеднички делител на броителот и именителот), кинеските математичари ги намалија дропките. Множењето на фракциите се сметало за наоѓање површина на правоаголна парцела, чија должина и ширина се изразени како фракции. Поделбата се сметаше за користење на идејата за споделување, додека кинеските математичари не беа засрамени од фактот дека бројот на учесници во поделбата може да биде фракционо, на пример, 3⅓ луѓе.
Првично, Кинезите користеа едноставни фракции, кои беа именувани користејќи го хиероглифот за бања:
забрана („половина“) –1\2;
шао бан („мала половина“) –1\3;
таи бан („голема половина“) –2\3.
Следната фаза беше развојот на општо разбирање на дропките и формирањето на правила за работа со нив. Ако во древниот Египет се користеле само фракции, тогаш во Кина тие, сметани за фракции-фен, се сметале за една од сортите на фракции, а не за единствените можни. Кинеската математика се занимава со мешани броеви уште од античко време. Најраниот од математичките текстови, Џоу Би Ксуан Џинг (Канон за пресметување на Џоу Гномон/Математички трактат за Гномон), содржи пресметки кои ги зголемуваат бројките како 247 933 / 1460 на моќи.
Во „Џиу Џанг Ксуан Шу“ („Правила за броење во девет делови“), дропка се смета како дел од целина, што се изразува во n-бројот на неговите дропки-fen – m (n< m). Дробь – это «застывший» процесс деления одного числа на другое – делимого на делитель. Дробь всегда меньше единицы. Если в результате деления одного числа на другое получается остаток, то он принимается как числитель дроби, знаменателем которой является делитель. Например, при делении 22 на 5 получается 4 и остаток 2, который дает дробь 2\5.
Во првиот дел од „Џиу Џанг Ксуан Шу“, кој генерално е посветен на мерењето на полињата, одделно се дадени правилата за намалување, собирање, одземање, делење и множење дропки, како и нивна споредба и „изедначување“. ваква споредба на три дропки во кои е потребно да се најде нивната аритметичка средина (поедноставно правило за пресметување на аритметичката средина на два броја не е дадено во книгата).
На пример, за да се добие збирот на дропките во посочениот есеј, се нудат следните упатства: „Наизменично множете ги (ху ченг) броителите со именители. Додај - ова е дивиденда (ши). Помножете ги именителот - ова е делител (фа). Комбинирајте ја дивидендата и делителот во еден(и). Ако има остаток, поврзете го со делителот“. Оваа инструкција значи дека ако се додадат неколку дропки, тогаш броителот на секоја дропка мора да се помножи со именителот на сите други дропки. При „комбинирање“ на дивидендата (како збир од резултатите од таквото множење) со делител (производ на сите именители), се добива дропка, која по потреба треба да се намали и од која треба да се одвои целиот дел со делење. , тогаш „остатокот“ е броител, а намалениот делител е именителот. Збирот на множество дропки е резултат на таквото делење, кое се состои од цел број плус дропка. Исказот „помножи ги именителите“ во суштина значи намалување на дропките до нивниот најголем заеднички именител.
Правилото за намалување на дропките во Џиу Џанг Ксуан Шу содржи алгоритам за наоѓање на најголемиот заеднички делител на броителот и именителот, кој се совпаѓа со таканаречениот Евклидов алгоритам, дизајниран да го определи најголемиот заеднички делител на два броја. Но, ако последното, како што е познато, е дадено во Principia во геометриска формулација, тогаш кинескиот алгоритам е претставен чисто аритметички. Кинески алгоритам за наоѓање на најголемиот заеднички делител
Се вчитува...
