Диференцијација на сложена функција, непроменливост на диференцијалот. Диференцијал на сложена функција непроменливост на формата на диференцијални имплицитни функции тангентна рамнина и нормална на површинската тангентна рамнина на површината геометриско значење на комплетната ди

По дефиниција, диференцијалот (првиот диференцијал) на функцијата се пресметува со формулата
Ако - независната променлива.

ПРИМЕР.

Да покажеме дека формата на првиот диференцијал останува непроменета (е непроменета) дури и во случај кога аргументот на функцијата самата е функција, односно за сложена функција
.

Нека
се разликуваат, тогаш по дефиниција

Згора на тоа, тоа требаше да се докаже.

ПРИМЕРИ.

Докажаната непроменливост на формата на првиот диференцијал ни овозможува да го претпоставиме тоа
тоа е изводот е еднаков на односот на диференцијалот на функцијата спрема диференцијалот на нејзиниот аргумент, без разлика дали аргументот е независна променлива или функција.

Диференцијација на параметарски одредена функција

Нека функционира If
има на снимање спротивното, тогаш
Потоа еднаквостите
дефинирани на сетот функцијата одредена параметарски, – параметар (средна променлива).

ПРИМЕР. Графиконирајте ја функцијата
.

Конструираната крива се нарекува циклоид(Сл. 25) и е траекторија на точка на круг со радиус 1, која се тркала без да се лизга по оската OX.

КОМЕНТАР. Понекогаш, но не секогаш, параметар може да се елиминира од равенките на параметарската крива.

ПРИМЕРИ.
се параметарски равенки на круг, бидејќи, очигледно,

–параметриски равенки на елипсата, бидејќи

–параметриски равенки на парабола

Ајде да го најдеме изводот на функцијата дефинирана параметарски:

Изводот на функција назначена параметарски е исто така функција одредена параметарски: .

ДЕФИНИЦИЈА. Вториот извод на функцијата е изводот на нејзиниот прв извод.

Дериват тиот ред е извод на неговиот дериват на ред
.

Означи деривати на вториот и - вака по ред:

Од дефиницијата на вториот извод и правилото за диференцијација на параметарски дефинирана функција произлегува дека
За да го пресметате третиот извод, треба да го претставите вториот извод во форма
и повторно употребете го добиеното правило. Дериватите од повисок ред се пресметуваат на сличен начин.

ПРИМЕР. Најдете ги изводите од прв и втор ред на функцијата

.

Основни теореми на диференцијално сметање

ТЕОРЕМА(Фарма). Нека функцијата
има во точката
екстремен. Доколку постои
, Тоа

ДОКАЗ. Нека
, на пример, е минималната точка. По дефиниција за минимална точка, постои соседство на оваа точка
, во чии рамки
, тоа е
– прираст
во точката
. А-приоритет
Ајде да пресметаме еднострани деривати во точката
:

со теоремата за премин до границата во нееднаквост,

бидејќи

, бидејќи
Но според условот
постои, затоа левиот извод е еднаков на десниот, а тоа е можно само ако

Претпоставката дека
– максималната поен води кон истото.

Геометриско значење на теоремата:

ТЕОРЕМА(Рола). Нека функцијата
континуирано
, диференцијабилна
И
тогаш има
такви што

ДОКАЗ. Бидејќи
континуирано
, потоа со втората теорема на Вајерштрас достигнува во
нивните најголеми
а најмалку
вредности или на крајните точки или на краевите на сегментот.

1. Нека
, Потоа

2. Нека
Бидејќи
или
, или
се достигнува во екстремната точка
, но според теоремата на Ферма
Q.E.D.

ТЕОРЕМА(Лагранж). Нека функцијата
континуирано
и диференцијабилни
, тогаш има
такви што
.

Геометриско значење на теоремата:

Бидејќи
, тогаш секантата е паралелна со тангентата. Така, теоремата вели дека постои тангента паралелна на секантата што минува низ точките А и Б.

ДОКАЗ. Преку точките А
и Б
Да нацртаме секанта AB. Нејзината равенка
Размислете за функцијата

– растојанието помеѓу соодветните точки на графикот и на секантата AB.

1.
континуирано
како разлика на континуирани функции.

2.
диференцијабилна
како разлика на диференцијабилните функции.

3.

Средства,
ги задоволува условите од теоремата на Рол, затоа постои
такви што

Теоремата е докажана.

КОМЕНТАР.Формулата се нарекува Формулата на Лагранж.

ТЕОРЕМА(Коши). Оставете ги функциите
континуирано
, диференцијабилна
И
, тогаш има поента
такви што
.

ДОКАЗ. Да го покажеме тоа
. Ако
, потоа функцијата
би ги задоволил условите од теоремата на Роле, па би имало точка
такви што
– контрадикторност на состојбата. Средства,
, и двете страни на формулата се дефинирани. Ајде да погледнеме помошна функција.

континуирано
, диференцијабилна
И
, тоа е
ги задоволува условите од теоремата на Рол. Потоа, постои точка
, при што
, Но

Q.E.D.

Докажаната формула се нарекува Коши формула.

Правилото на L'Hopital(Л'Хопитал-Бернули теорема). Оставете ги функциите
континуирано
, диференцијабилна
,
И
. Покрај тоа, постои конечна или бесконечна
.

Потоа постои

ДОКАЗ. Бидејќи по услов
, потоа дефинираме
во точката
, претпоставувајќи
Потоа
ќе стане континуирано
. Да го покажеме тоа

Ајде да се преправаме дека
тогаш има
такви што
, бидејќи функцијата
на
ги задоволува условите од теоремата на Рол. Но според условот
- контрадикторност. Затоа

. Функции
ги задоволува условите од теоремата на Коши на кој било интервал
, кој е содржан во
. Ајде да ја напишеме формулата на Коши:

,
.

Од тука имаме:
, бидејќи ако
, Тоа
.

Редизајнирање на променливата во последната граница, го добиваме потребното:

ЗАБЕЛЕШКА 1. Правилото на L'Hopital останува валидно дури и кога
И
. Тоа ни овозможува да ја откриеме не само неизвесноста на типот , но и типот :

.

ЗАБЕЛЕШКА 2. Доколку по примената на правилото на L'Hopital не се открие неизвесноста, тогаш треба да се примени повторно.

ПРИМЕР.

КОМЕНТАР 3 . Правилото на L'Hopital е универзален начин за откривање на несигурностите, но постојат граници што може да се откријат со користење само на една од претходно проучуваните конкретни техники.

Но, очигледно
, бидејќи степенот на броителот е еднаков на степенот на именителот, а границата е еднаква на односот на коефициентите на највисоките сили

Правилото за диференцијација на сложена функција ќе нè доведе до едно извонредно и важно својство на диференцијалот.

Функциите нека бидат такви што од нив може да се состави сложена функција: . Ако постојат деривати, тогаш - по правило V - постои и извод

Меѓутоа, заменувајќи го неговиот извод со изразот (7) и забележувајќи дека постои диференцијал од x како функција од t, конечно добиваме:

т.е., да се вратиме на претходната форма на диференцијалот!

Така, гледаме дека обликот на диференцијалот може да се зачува дури и ако старата независна променлива се замени со нова. Секогаш сме слободни да го запишеме диференцијалот y во форма (5), без разлика дали x е независна променлива или не; единствената разлика е во тоа што ако t се избере како независна променлива, тогаш тоа не значи произволно зголемување, туку диференцијал од x во функција на Ова својство се нарекува непроменливост на формата на диференцијалот.

Бидејќи формулата (5) директно ја дава формулата (6), која го изразува изводот преку диференцијали, последната формула останува валидна без разлика која независна променлива (се разбира, иста во двата случаи) ќе се пресметаат споменатите диференцијали.

Нека, на пример, така

Дозволете ни сега да ставиме Потоа ќе имаме и: Лесно е да се провери дали формулата

дава само уште еден израз за изводот пресметан погоре.

Оваа околност е особено погодна за употреба во случаи кога зависноста на y од x не е директно наведена, но наместо тоа е наведена зависноста на двете променливи x и y од некоја трета, помошна променлива (наречена параметар):

Претпоставувајќи дека и двете од овие функции имаат изводи и дека за првата од нив постои инверзна функција која има извод, лесно е да се види дека тогаш и y испаѓа дека е функција од x:

за што има и извод. Пресметката на овој дериват може да се изврши според горенаведеното правило:

без враќање на директната зависност на y од x.

На пример, ако изводот може да се одреди како што е направено погоре, без воопшто да се користи зависноста.

Ако ги сметаме x и y како правоаголни координати на точка на рамнината, тогаш равенките (8) ја доделуваат секоја вредност на параметарот t на одредена точка, која, со промена на t, опишува крива на рамнината. Равенките (8) се нарекуваат параметарски равенки на оваа крива.

Во случај на параметарска дефиниција на крива, формулата (10) ви овозможува директно да го поставите наклонот на тангентата користејќи ги равенките (8), без да продолжите со одредување на кривата со помош на равенката (9); точно,

Коментар. Способноста да се изрази изводот преку диференцијали земени во однос на која било променлива, особено, води до фактот дека формулите

изразувајќи ги во нотација Лајбниц правилата за диференцијација на инверзна функција и сложена функција, стануваат едноставни алгебарски идентитети (бидејќи сите диференцијали овде може да се земат во однос на истата променлива). Меѓутоа, не треба да се мисли дека тоа дава нов заклучок за горенаведените формули: прво, тука не беше докажано постоењето на леви деривати, главната работа е што во суштина ја користевме непроменливоста на формата на диференцијалот. , што само по себе е последица на правилото V.

Ако диференцијабилна функција од независни променливи и нејзиниот вкупен диференцијал dz е еднаква на Да сега претпоставиме дека во точката ((,?/) функциите »?) и r)) имаат континуирани парцијални изводи во однос на (и rf, и на соодветните точкасти (x, y ) парцијални изводи постојат и се континуирани и како резултат на тоа функцијата r = f(x, y) е диференцијабилна во оваа точка. Под овие услови, функцијата има изводи во точката 17) Диференцијал на комплексна функција Непроменливост на формата на диференцијал Имплицитни функции Тангентна рамнина и нормална на површината Тангентна рамнина на површината Геометриско значење на вкупниот диференцијал Нормално на површината Како што може да се види од формулите (2), u и u се континуирани на точката ((,*?). Затоа, функцијата во точката е диференцијабилна; според формулата на вкупниот диференцијал за функција од независни променливи £ и m], имаме Замена на десната страна на еднаквостите (3) u и u нивните изрази од формулите (2), добиваме или дека, според условот, функциите во точката ((,17) имаат непрекинати парцијални изводи, тогаш тие се диференцијабилни во оваа точка и од односите (4) и (5) добиваме дека Споредбата на формулите (1) и (6) покажува дека вкупниот диференцијал на функцијата z = /(z, y) се изразува со формула со иста форма како во случајот кога аргументите x и y од функцијата /(z, y) се независни променливи, а во случај кога овие аргументи се, пак, функции на некои променливи. Така, вкупниот диференцијал на функција од неколку променливи има својство на непроменливост на формата. Коментар. Од непроменливоста на формата на вкупниот диференцијал следува: ако xlnx и y се диференцијабилни функции на кој било конечен број променливи, тогаш формулата останува валидна.Да ја имаме равенката каде е функција од две променливи дефинирана во некој домен G на xOy рамнината. Ако за секоја вредност x од одреден интервал (xo ​​- 0, xo + ^o) има точно една вредност y, која заедно со x ја задоволува равенката (1), тогаш ова ја одредува функцијата y = y(x), за која еднаквоста се запишува идентично долж x во наведениот интервал. Во овој случај, се вели дека равенката (1) го дефинира y како имплицитна функција на x. Со други зборови, функцијата специфицирана со равенка која не е решена во однос на y се нарекува имплицитна функција“, таа станува експлицитна ако директно е дадена зависноста на y од x. Примери: 1. Равенката ја дефинира вредноста y на целата OcW рх како едновредносна функција на x: 2. Со равенката количината y се дефинира како едновредносна функција на x. Да го илустрираме овој исказ. Равенката е задоволена со пар вредности x = 0, y = 0. Ќе разгледаме * параметар и ќе ги разгледаме функциите. Прашањето дали за избраниот xo има соодветна единствена вредност на O е такво што парот (ја задоволува равенката (2) се сведува на пресекување на кривите x ay и една точка. Да ги конструираме нивните графици на xOy рамнина (сл. 11) Кривата " = x + c sin y, каде што x се смета како параметар, се добива со паралелно преведување долж оската Ox и кривата z = z sin y. Геометриски е очигледно дека за кој било x кривите x = y и z = t + c $1py имаат единствена „та пресечна точка, чиј ординатор е функција од x, дефинирана со равенката (2) имплицитно. Оваа зависност не се изразува преку елементарни функции. 3. Равенката за без реален x не ја одредува реалната функција на аргументот x. Во истата смисла, можеме да зборуваме за имплицитни функции на неколку променливи. Следната теорема дава доволни услови за единствена решливост на равенката = 0 (1) во однос на y во некое соседство на дадена точка (®o>Yo).Теорема 8 (постоење на имплицитна функција) Нека се исполнети следните услови: 1) функцијата е дефинирана и континуирана во одреден правоаголник со центар. во точка во точката функцијата y) се претвора во n\l, 3) во правоаголникот D постојат и непрекинати парцијални изводи 4) Y) Кога некој доволно ма/суео позитивен број e има соседство на ова соседство постои единечна континуирана функција y = f(x) (Сл. 12), која ја зема вредноста), ја задоволува равенката \y - yol и ја претвора равенката (1) во идентитет: Оваа функција е континуирано диференцијабилна во соседството на точката Xq, а да ја изведеме формулата (3) за изводот на имплицитната функција, сметајќи дека постоењето на овој извод е докажано. Нека y = f(x) е имплицитна диференцијабилна функција дефинирана со равенката (1). Потоа во интервалот) има идентитет Диференцијал на сложена функција Непроменливост на формата на диференцијал Имплицитни функции Тангентна рамнина и нормална на површина Тангентна рамнина на површина Геометриско значење на целосен диференцијал Нормално на површина поради тоа во оваа интервал Според правилото за диференцијација на сложена функција, имаме Единствена во смисла дека секоја точка (x , y), која лежи на кривата што припаѓа на соседството на точката (xo, yo)“ има координати поврзани со равенката Оттука, со y = f(x) го добиваме тоа и затоа, Пример. Најдете j* од функцијата y = y(x), дефинирана со равенката Во овој случај Од тука, врз основа на формулата (3) Забелешка. Теоремата ќе обезбеди услови за постоење на една имплицитна функција чиј график поминува низ дадена точка (xo, oo). доволно, но не и неопходно. Всушност, разгледајте ја равенката Овде има континуирани парцијални изводи еднакви на нула во точката 0(0,0). Меѓутоа, оваа равенка има уникатно решение еднакво на нула кај Проблемот. Нека е дадена равенка - функција со една вредност која ја задоволува равенката (D). 1) Колку функции со една вредност (2") ја задоволуваат равенката (!")? 2) Колку непрекинати функции со една вредност ја задоволуваат равенката (!) 3) Колку диференцијабилни функции со една вредност ја задоволуваат равенката (!)? 4) Колку континуирани функции со една вредност ја задоволуваат „равенката (1“), дури и ако се доволно мали? Теорема за постоење слична на теорема 8 важи и во случај на имплицитна функција z - z(x, y) од две променливи, дефинирани со равенката Теорема 9. Нека се исполнети следните услови г) функцијата & е дефинирана и континуирана во доменот D во доменот D постојат и непрекинати количници деривати Тогаш за секој доволно мал e > 0 постои соседство Γ2 на точката (®o»Yo)/ во која има единствена континуирана функција z - /(x , y), земајќи вредност на x = x0, y = y0, задоволувајќи го условот и менувајќи ја равенката (4) во идентитетот: Во овој случај, функцијата во доменот Q има континуирани парцијални изводи и GG Да најдеме изрази за овие деривати. Нека равенката го дефинира z како единечна и диференцијабилна функција z = /(x, y) од независни променливи xnu. Ако ја замениме функцијата f(x, y) во оваа равенка наместо z, ќе го добиеме идентитетот Следствено, вкупните парцијални изводи во однос на x и y од функцијата y, z), каде z = /(z, y ), исто така мора да биде еднаква на нула. Со диференцирање, наоѓаме каде Овие формули даваат изрази за парцијалните изводи на имплицитната функција на две независни променливи. Пример. Најдете ги парцијалните изводи на функцијата x(r,y) дадени со равенката 4. Од ова имаме §11. Тангента рамнина и нормална на површината 11.1. Прелиминарни информации Да имаме површина S дефинирана со равенката Defined*. Точка M(x, y, z) на површината (1) се нарекува обична точка на оваа површина ако во точката M постојат и се непрекинати сите три изводи, а барем еден од нив е ненула. Ако во точката My, z) на површината (1) сите три изводи се еднакви на нула или барем еден од овие изводи не постои, тогаш точката M се нарекува еднина точка на површината. Пример. Размислете за кружен конус (слика 13). Овде единствената посебна суптилна точка е потеклото на координатите 0(0,0,0): во овој момент парцијалните деривати истовремено исчезнуваат. Ориз. 13 Размислете за просторна крива L дефинирана со параметарски равенки.Нека функциите имаат континуирани изводи во интервалот. Да ги исклучиме од разгледување еднините точки на кривата во кои Нека е обична точка на кривата L, определена со вредноста на параметарот до. Тогаш е векторот на тангентата на кривата во точката. Тангентна рамнина на површина Нека површината 5 е дадена со равенката. Земете обична точка P на површината S и повлечете низ неа крива L што лежи на површината и дадена со параметарски равенки. Да претпоставиме дека функциите £(*), "/(0" C(0) имаат континуирани изводи , никаде на (a)p) кои истовремено исчезнуваат. По дефиниција, тангентата на кривата L во точката P се нарекува тангента на површината 5 во оваа точка. Ако изразите ( 2) се заменети со равенката (1), тогаш, бидејќи кривата L лежи на површината S, равенката (1) се претвора во идентитет во однос на t: Диференцирање на овој идентитет во однос на t, користејќи го правилото за диференцијација на комплекс. функција, добиваме Изразот од левата страна на (3) е скаларен производ на два вектори: Во точката P векторот z е насочен тангента на кривата L во оваа точка (сл. 14). Што се однесува до векторот n , зависи само од координатите на оваа точка и типот на функцијата ^"(x, y, z) и не зависи од типот на кривата што минува низ точката P. Бидејќи P - обична точка на површината 5, тогаш должината на векторот n е различна од нула. Фактот дека скаларниот производ значи дека векторот r тангента на кривата L во точката P е нормален на векторот n во оваа точка (Сл. 14). Овие аргументи остануваат валидни за секоја крива што минува низ точката P и лежи на површината S. Следствено, секоја тангента линија на површината 5 во точката P е нормална на векторот n и, според тоа, сите овие прави лежат во иста рамнина, исто така нормално на векторот n Дефиниција. Рамнината во која се наоѓаат сите тангентни линии на површината 5 што минуваат низ дадена обична точка P G 5 се нарекува тангентна рамнина на површината во точката P (сл. 15). Векторски диференцијал на сложена функција Непроменливост на формата на диференцијалот Имплицитни функции Тангентна рамнина и нормална на површината Тангентна рамнина на површината Геометриско значење на целосниот диференцијал Нормалната на површината е нормалниот вектор на тангентата рамнина на површината на точка P. Од тука веднаш ја добиваме равенката на тангентата рамнина на површината ZG (во обичната точка P0 (®o, Uo" на оваа површина: Ако површината 5 е дадена со равенка, тогаш со запишување на оваа равенка во ако ја добиеме и равенката на тангентата рамнина во точката, таа ќе изгледа вака 11. 3. Геометриско значење на вкупниот диференцијал Ако го ставиме во формулата (7), тогаш таа ќе добие форма Десната страна на (8) го претставува вкупниот диференцијал на функцијата z во точката M0(x0) yо) на рамнина xOy> така што вкупниот диференцијал на функцијата z = /(x, y) на две независни променливи x и y во точката M0, што одговараат на зголемувањата Dx и Du на променливите и y, е еднаков на зголемувањето z - z0 применува z на точката на тангентата рамнина на површината 5 во точката Z>(xo» Uo» /(, Uo)) КОГА се движите од точката M0(xo, Uo) до точката - 11.4. Нормална дефиниција на површината. Правата што минува низ точката Po(xo, y0, r0) на површината нормална на тангентата рамнина на површината во точката Po се нарекува нормална на површината во точката Pq. Вектор)L е насочен вектор на нормалата, а неговите равенки имаат форма Ако површината 5 е дадена со равенка, тогаш равенките на нормалата во точката) изгледаат вака: во точката Еве Во точката (0, 0) овие изводи се еднакви на нула: а равенката на тангентата рамнина во точката 0 (0,0,0) го добива следниот облик: (xOy рамнина). Нормални равенки

Формулата за диференцијалната функција ја има формата

каде е диференцијалот на независната променлива.

Нека сега ни е дадена сложена (диференцибилна) функција , каде што,. Потоа користејќи ја формулата за извод на сложена функција наоѓаме

бидејќи .

Значи, , т.е. Диференцијалната формула има иста форма за независната променлива и за средниот аргумент, кој е диференцијабилна функција на.

Ова својство обично се нарекува својство непроменливост на формула или форма на диференцијал. Забележете дека дериватот го нема ова својство.

Врска помеѓу континуитет и диференцијабилност.

Теорема (неопходен услов за диференцијабилност на функцијата).Ако функцијата е диференцијабилна во точка, тогаш таа е континуирана во таа точка.

Доказ.Нека функцијата y=ѓ(x) диференцијабилна во точката X 0 . Во овој момент на аргументот му даваме зголемување  X. Функцијата ќе се зголеми  на. Ајде да го најдеме.

Оттука, y=ѓ(x) континуирано во една точка X 0 .

Последица.Ако X 0 е точката на дисконтинуитет на функцијата, тогаш функцијата во неа не е диференцијабилна.

Спротивното на теоремата не е точно. Континуитетот не подразбира диференцијабилност.

Диференцијал. Геометриско значење. Примена на диференцијал за приближни пресметки.

Дефиниција

Функциски диференцијалсе нарекува линеарен релативен дел од инкрементот на функцијата. Се означува како какили. Така:

Коментар

Диференцијалот на функцијата го сочинува најголемиот дел од нејзиниот пораст.

Коментар

Заедно со концептот на функционален диференцијал се воведува и концептот на аргумент диференцијал. А-приоритет аргумент диференцијале зголемувањето на аргументот:

Коментар

Формулата за диференцијал на функција може да се запише како:

Од тука го добиваме тоа

Значи, тоа значи дека изводот може да се претстави како обична дропка - односот на диференцијалите на функцијата и аргументот.

Геометриско значење на диференцијалот

Диференцијалот на функцијата во точка е еднаков на зголемувањето на ординатите на тангентата нацртана на графикот на функцијата во оваа точка, што одговара на зголемувањето на аргументот.

Основни правила на диференцијација. Извод на константа, извод на збир.

Нека функциите имаат изводи во една точка. Потоа

1. Постојанаможе да се извади од дериватниот знак.

5. Диференцијална константаеднаква на нула.

2. Извод на збир/разлика.

Изводот на збирот/разликата на две функции е еднаков на збирот/разликата на изводите на секоја функција.

Основни правила на диференцијација. Дериват на производот.

3. Дериват на производот.

Основни правила на диференцијација. Извод на сложена и инверзна функција.

5. Извод на сложена функција.

Изводот на сложената функција е еднаков на изводот на оваа функција во однос на средниот аргумент, помножен со изводот на средниот аргумент во однос на главниот аргумент.

И тие имаат деривати на точки, соодветно. Потоа

Теорема

(За изводот на инверзната функција)

Ако функцијата е континуирана и строго монотона во некое соседство на точка и диференцијабилна во оваа точка, тогаш инверзната функција има извод во точката, и .

Формули за диференцијација. Извод на експоненцијална функција.