Три гранични теореми и примери. Гранични теореми

Теорема 1. Ако ѓ(x) = б, Тоа ѓ(x) = б+а(x), Каде а(x) – б.м. на x® а.

Доказ.Нека ѓ(x) = б. Размислете за функцијата а(x) = ѓ(x) – би покажете го тоа а(x) – б.м. на x® +¥ .

Од дефиницијата ѓ(x) = бго имаме тоа“ д > 0 $x 0 "x > x 0 |ѓ(x) – б| < д, но бидејќи а(x) = ѓ(x) – б, Тоа" д > 0 $x 0 "x > x 0 |а (x)| < д, што значи дека а(x) – б.м. на
x® +¥.

Значи, од еднаквоста а(x) = ѓ(x) – бние имаме ѓ(x) = б+ а(x), Каде а(x) – б.м. на x® +¥.

Теорема 2.Доколку функцијата ѓ(x) може да се претстави како: ѓ(x) = б+ а(x), Каде
б- број, а(x) – б.м. функција во x® а, Тоа ѓ(x) = б.

Доказ.Нека ѓ(x) = б+ а(x), Каде а(x) – б.м. на x® +¥, т.е.

"д > 0 $x 0 "x > x 0 |а(x)| < д. (*)

Но а(x) = ѓ(x) – б, па (*) може да се напише вака: д > 0 $x 0 "x > x 0 |ѓ(x) – б| < д, што значи: ѓ(x) = б.

Следниве теореми го олеснуваат наоѓањето граници.

Теорема 3. Ограничување на збирот (разликата) на две функции еднаков на збирот(разлики) меѓу нивните граници, т.е. Ако

ѓ 1 (x) = б 1 , ѓ 2 (x) = б 2, тогаш ( ѓ 1 (x) + ѓ 2 (x)) = б 1 +б 2 , (ѓ 1 (x) – ѓ 2 (x)) = б 1 – б 2 .

Доказ.Врз основа на теорема 1: ѓ 1 (x) = б 1 + а 1 (x), ѓ 2 (x) = б 2 + а 2 (x), Каде а 1 (x), а 2 (x) – б.м. на x® а, Потоа

ѓ 1 (x) + ѓ 2 (x) = (б 1 + а 1 (x)) + (б 2 + а 2 (x)) = (б 1 + б 2) + (а 1 (x) + а 2 (x)).

Но а 1 (x) + а 2 (x) – б.м. функција во x® а(како збир од две б.м. функции), значи од еднаквоста ѓ 1 (x) + ѓ 2 (x) = (б 1 + б 2) + (а 1 (x) + а 2 (x)) од теорема 2 следува дека

(ѓ 1 (x) + ѓ 2 (x)) = б 1 + б 2.

Слично се изведува и доказот за разликата.

Теорема 4. Границата на производот на две функции е еднаква на производот на нивните граници, т.е. Ако ѓ 1 (x) = б 1 , ѓ 2 (x) = б 2, тогаш ( ѓ 1 (x) ѓ 2 (x)) = б 1× б 2 .

Доказ.Според теорема 1: ѓ 1 (x) = б 1 + а 1 (x), ѓ 2 (x) = б 2 + а 2 (x), Каде а 1 (x), а 2 (x) – б.м. на x® а, Потоа ѓ 1 (x)× ѓ 2 (x) = б 1× б 2 + б 1× а 2 (x) + б 2× а 1 (x) + а 1 (x)× а 2 (x).

Врз основа на последиците 2, 3, теорема 1 (Дел 1.6) функциите б 1× а 2 (x), б 2× а 1 (x), а 1 (x)× а 2 (x) – б.м. на x® аИ а(x) = б 1× а 2 (x) + б 2× а 1 (x) + а 1 (x)× а 2 (x) - бескрајно мала функцијана x® а. Од еднаквост ѓ 1 (x) ѓ 2 (x) = б 1 б 2 + а(x) од теорема 2 следува дека
(ѓ 1 (x)ѓ 2 (x)) = б 1 б 2 .

Заклучок 1. Константниот фактор може да се земе надвор од граничниот знак, т.е.
(СО× ѓ(x)) = СОѓ(x), Каде СО– постојан број.

Доказ. C f(x) = СО ѓ(x) = СО ѓ(x), бидејќи СО= СО.

Заклучок 2. Ако n – природен број, Тоа [( ѓ(x))n] = (ѓ(x))n.

Теорема 5. Границата на дропка е еднаква на границата на броителот поделен со границата на именителот, под услов границата на именителот да не е нула. Во спротивно, ако ѓ 1 (x) = б 1 ,
ѓ 2 (x) = б 2 и б 2 ¹ 0, тогаш .

Доказ.Според теорема 1: ѓ 1 (x) = б 1 + а 1 (x), ѓ 2 (x) = б 2 + а 2 (x), Каде а 1 (x), а 2 (x) – б.м. на x® а, Потоа

Да ја означиме последната дропка а(x) = , потоа + а(x). Останува да се покаже тоа а(x) – б.м. на x® а. Навистина, броителот на дропката
б 2 а 1 (x) –б 1 а 2 (x) – б.м. на својствата на бесконечно малите функции, границата
(б 2 2 + б 2 а 2 (x)) = б 2 2 ¹ 0, врз основа на теоремите 3, 4. Според тоа, функцијата е ограничена на x® а(според теорема 3, дел 1.6). Средства, а(x) – б.м. на x® а(според теорема 4, дел 1.6). Теоремата е докажана.

Да ја разгледаме примената на докажаните теореми при наоѓање граници.

Пример. Најдете .

Решение.Ајде прво да ја најдеме границата на броителот и именителот. Според својствата на границите3 x= 3x= 3(–2) = –6, 1 = 1, затоа (3 x– 1) = –6 – 1 = –7. Исто така, (5-4 x) = 5 – 4(–2) = 13. Користејќи ја теоремата 5, добиваме:

.

Теорема 6. Ако ѓ(x) постои и ѓ(x) ³ 0 за сите xод доменот на дефинирање на функцијата, тогаш ѓ(x) ³ 0.

Доказ.Нека . Да докажеме со контрадикторност, под претпоставка дека тоа ѓ(x) = б< 0. Зафиксируем д = –, д> 0. По дефиниција на границата од дќе биде x 0 , така што " x > x 0 |ѓ(x) – б| < д, од тука b–e < ѓ(x) < б+е. Но д= -, затоа " x > x 0 ѓ(x) < б -, ѓ(x) < , т.е. ѓ(x) < 0, что противоречит условию. Теоремата е докажана.

Теорема 7. ако " x(ѓ 1 (x) ³ ѓ 2 (x)) И ѓ 1 (x), ѓ 2 (x) постојат, тогаш
ѓ 1 (x) ³ ѓ 2 (x).

Доказ.Размислете за функцијата Ф(x) = ѓ 1 (x) – ѓ 2 (x), Потоа" x (Ф(x) ³ 0) и Ф(x) постои. Според теорема 6: Ф(x) ³ 0, ( ѓ 1 (x) – ѓ 2 (x)) ³ 0, оттука
ѓ 1 (x) ³ ѓ 2 (x). Теоремата е докажана.

Дадена е формулацијата на главните теореми и својства на границата на функцијата. Дадени се дефиниции за конечни и бесконечни граници во конечни точки и во бесконечност (двострани и еднострани) според Коши и Хајн. Се разгледуваат аритметичките својства; теореми поврзани со неравенки; Критериум за конвергенција на Коши; граница на сложена функција; својства на бесконечно мали, бескрајно големи и монотони функции. Дадена е дефиниција за функција.

Дефиниција на функцијата

Функција y = f (x)е закон (правило) според кој секој елемент x од множеството X се поврзува со еден и само еден елемент y од множеството Y.

Елемент x ∈ Xповикани функционален аргументили независната променлива.
Елемент y ∈ Yповикани вредност на функцијатаили зависна променлива.

Множеството X се нарекува домен на функцијата.
Множество елементи y ∈ Y, кои имаат претслики во множеството X, се нарекува област или множество на вредности на функции.

Вистинската функција се нарекува ограничен од горе (од долу), ако има број M таков што неравенството важи за сите:
.
Се повикува функцијата број ограничен, ако има број М таков што за сите:
.

Горниот рабили точен горната граница Реална функција се нарекува најмал број што го ограничува неговиот опсег на вредности одозгора. Односно, ова е број s за кој, за секого и за кој било, постои аргумент чија вредност на функцијата надминува s′: .
Горната граница на функцијата може да се означи на следниов начин:
.

Соодветно долниот рабили точната долна границаВистинската функција се нарекува најголем број што го ограничува неговиот опсег на вредности од долу. Односно, ова е број i за кој, за секого и за кој било, постои аргумент чијашто вредност на функцијата е помала од i′: .
Инфимумот на функцијата може да се означи на следниов начин:
.

Одредување на граница на функција

Определување на граница на функција според Коши

Конечни граници на функцијата на крајните точки

Нека функцијата е дефинирана во некое соседство на крајната точка, со можен исклучок на самата точка. во точка ако за некој постои такво нешто, во зависност од , дека за сите x за кои важи неравенката
.
Границата на функцијата се означува на следниов начин:
.
Или во.

Со користење на логички симболипостоење и универзалност, дефиницијата на границата на функцијата може да се напише на следниов начин:
.

Еднострани граници.
Лева граница во точка (ограничување од лево):
.
Десна граница во точка (граница од десната страна):
.
Левата и десната граница често се означуваат на следниов начин:
; .

Конечни граници на функција во точки на бесконечност

Границите во точките на бесконечност се одредуваат на сличен начин.
.
.
.
Тие често се нарекуваат:
; ; .

Користење на концептот соседство на точка

Ако го воведеме концептот на пробиено соседство на точка, тогаш можеме да дадеме унифицирана дефиниција за конечната граница на функција на конечни и бесконечно оддалечени точки:
.
Еве за крајните точки
; ;
.
Секое соседство на точки на бесконечност е пробиено:
; ; .

Бесконечни функционални граници

Дефиниција
Нека функцијата е дефинирана во некое пробиено соседство на точка (конечно или на бесконечност). ѓ (x)како x → x 0 еднакво на бесконечност, ако за некого, произволно голем бројМ > 0 , постои број δ M > 0 , во зависност од M, дека за сите x кои припаѓаат на пробиената δ M - соседството на точката: , важи следнава неравенка:
.
Бесконечната граница е означена на следниов начин:
.
Или во.

Користејќи ги логичките симболи на постоење и универзалност, дефиницијата за бесконечната граница на функцијата може да се напише на следниов начин:
.

Можете исто така да воведете дефиниции за бесконечни граници на одредени знаци еднакви на и:
.
.

Универзална дефиниција на граница на функција

Користејќи го концептот за соседство на точка, можеме да дадеме универзална дефиниција за конечната и бесконечната граница на функцијата, применлива и за конечни (двострани и еднострани) и бесконечно оддалечени точки:
.

Определување на граница на функција според Хајне

Нека функцијата е дефинирана на некое множество X:.
Бројот a се нарекува граница на функцијатаво точка:
,
ако за која било низа што конвергира на x 0 :
,
чии елементи припаѓаат на множеството X: ,
.

Да ја напишеме оваа дефиниција користејќи ги логичките симболи на постоење и универзалност:
.

Ако го земеме левото соседство на точката x како множество X 0 , тогаш ја добиваме дефиницијата за левата граница. Ако е деснак, тогаш ја добиваме дефиницијата за десната граница. Ако го земеме соседството на точка во бесконечност како множество X, ќе ја добиеме дефиницијата на границата на функцијата во бесконечност.

Теорема
Дефинициите на Коши и Хајн за границата на функцијата се еквивалентни.
Доказ

Својства и теореми на граница на функција

Понатаму, претпоставуваме дека функциите што се разгледуваат се дефинирани во соодветното соседство на точката, што е конечен број или еден од симболите: . Може да биде и еднострана гранична точка, односно да има форма или . Соседството е двострано за двострана граница и еднострано за еднострана граница.

Основни својства

Ако вредностите на функцијата f (x)промени (или направи недефиниран) конечен број точки x 1, x 2, x 3, ... x n, тогаш оваа промена нема да влијае на постоењето и вредноста на границата на функцијата во произволна точка x 0 .

Ако има конечна граница, тогаш има пробиено соседство на точката x 0 , на која функцијата f (x)ограничено:
.

Нека функцијата има во точката x 0 конечна не-нулта граница:
.
Тогаш, за кој било број c од интервалот , постои такво пробиено соседство на точката x 0 , за што ,
, Ако ;
, Ако .

Ако, на некое пробиено соседство на точката, , е константа, тогаш .

Ако има конечни граници и и на некое пробиено соседство на точката x 0
,
Тоа .

Ако , и на некое соседство на точката
,
Тоа .
Конкретно, ако во некое соседство на точка
,
тогаш ако , тогаш и ;
ако , тогаш и .

Ако на некое издупчено соседство на точка x 0 :
,
и има конечни (или бесконечни од одреден знак) еднакви граници:
, Тоа
.

Доказите за главните својства се дадени на страницата
„Основни својства на границите на функцијата“.

Аритметички својства на граница на функција

Нека се дефинираат функциите во некое пробиено соседство на точката. И нека има конечни граници:
И .
И нека C е константа, односно даден број. Потоа
;
;
;
, Ако .

Ако тогаш.

Доказите за аритметички својства се дадени на страницата
„Аритметички својства на границите на функцијата“.

Коши критериум за постоење на граница на функција

Теорема
Со цел за функција дефинирана на некое пробиено соседство на конечна или во бесконечна точка x 0 , имаше конечна граница во оваа точка, потребно е и доволно што за кое било ε > 0 имаше вакво дупнато соседство на точката x 0 , дека за која било точка и од ова соседство, важи следнава неравенка:
.

Граница на сложена функција

Теорема за граница на сложена функција
Нека функцијата има граница и мапира пробиено соседство на точка на пробиено соседство на точка. Нека функцијата е дефинирана на оваа населба и нека има ограничување на неа.
Еве ги конечните или бескрајно оддалечените точки: . Населбите и нивните соодветни граници можат да бидат или двострани или еднострани.
Тогаш постои граница на сложена функција и таа е еднаква на:
.

Граничната теорема на сложена функција се применува кога функцијата не е дефинирана во точка или има вредност различна од границата. За да се примени оваа теорема, мора да има пробиено соседство на точката каде што множеството вредности на функцијата не ја содржи точката:
.

Ако функцијата е континуирана во точката , тогаш знакот за граница може да се примени на аргументот на континуираната функција:
.
Следното е теорема што одговара на овој случај.

Теорема за граница на континуирана функција на функција
Нека има граница на функцијата g (т)како t → t 0 , и тоа е еднакво на x 0 :
.
Еве ја точката т 0 може да биде конечна или бесконечно далечна: .
И нека функцијата f (x)е континуиран во точката x 0 .
Тогаш постои граница на комплексната функција f (g(t)), и тоа е еднакво на f (x0):
.

Доказите за теоремите се дадени на страницата
„Граница и континуитет на сложена функција“.

Бесконечно мали и бесконечно големи функции

Бесконечно мали функции

Дефиниција
Се вели дека функцијата е бесконечно мала ако
.

Збир, разлика и производна конечен број на бесконечно мали функции во е бесконечно мала функција во .

Производ на ограничена функцијана некое пробиено соседство на точката, до бесконечно мало во е бесконечно мала функција во.

За да има една функција конечна граница потребно е и доволно тоа
,
каде е бесконечно мала функција во.

„Својства на бесконечно мали функции“.

Бесконечно големи функции

Дефиниција
Се вели дека функцијата е бесконечно голема ако
.

Збирот или разликата на ограничена функција, на некое пробиено соседство на точката, и бесконечно голема функција во е бесконечно голема функција во .

Ако функцијата е бесконечно голема за , и функцијата е ограничена на некое пробиено соседство на точката , тогаш
.

Ако функцијата , на некое пробиено соседство на точката , ја задоволува нееднаквоста:
,
а функцијата е бесконечно мала на:
, и (на некое дупнато соседство на точката), потоа
.

Доказите за својствата се претставени во делот
„Својства на бесконечно големи функции“.

Врска помеѓу бесконечно големи и бесконечно мали функции

Од двете претходни својства следува врската помеѓу бесконечно големи и бесконечно мали функции.

Ако функцијата е бесконечно голема во , тогаш функцијата е бесконечно мала на .

Ако функцијата е бесконечно мала за , и , тогаш функцијата е бесконечно голема за .

Односот помеѓу бесконечно мала и бесконечно голема функција може да се изрази симболично:
, .

Ако бесконечно мала функција има одреден знак на , односно е позитивна (или негативна) на некое пробиено соседство на точката, тогаш овој факт може да се изрази на следниов начин:
.
На ист начин, ако бесконечно голема функција има одреден знак на , тогаш тие пишуваат:
.

Потоа симболичната врска меѓу бесконечно малите и бесконечно одлични карактеристикиможе да се дополни со следните односи:
, ,
, .

Дополнителни формули кои се однесуваат на симболите за бесконечност може да се најдат на страницата
„Точки во бесконечност и нивните својства“.

Граници на монотони функции

Дефиниција
Функција дефинирана на одреден сет реални броеви X се нарекува строго се зголемува, ако за сите такви што важи следнава неравенка:
.
Според тоа, за строго се намалувафункцијата важи следнава неравенка:
.
За неопаѓачки:
.
За не-зголемување:
.

Следи дека строго растечката функција исто така не се намалува. Строго опаѓачка функција исто така не се зголемува.

Функцијата се нарекува монотоно, доколку е неопаѓачки или нерастечки.

Теорема
Нека функцијата не се намалува на интервалот каде .
Ако горе е ограничен со бројот М: тогаш постои конечна граница. Ако не е ограничено одозгора, тогаш .
Ако е ограничен од долу со бројот m: тогаш постои конечна граница. Ако не е ограничено одоздола, тогаш .

Ако точките a и b се на бесконечност, тогаш во изразите граничните знаци значат дека .
Оваа теорема може да се формулира покомпактно.

Нека функцијата не се намалува на интервалот каде . Тогаш има еднострани граници во точките a и b:
;
.

Слична теорема за функција која не се зголемува.

Нека функцијата не се зголемува на интервалот каде што . Потоа, постојат еднострани граници:
;
.

Доказот за теоремата е претставен на страницата
„Граници на монотони функции“.

Референци:
Л.Д. Кудрјавцев. Па математичка анализа. Том 1. Москва, 2003 година.
ЦМ. Николски. Курс за математичка анализа. Том 1. Москва, 1983 година.

Основни теореми за границите.

Теорема (за премин до граница во еднаквости).Ако во некое соседство на точка вредностите на функциите f(x) и g(x) се совпаѓаат, тогаш нивните граници во оваа точка се еднакви:

f(x)=g(x) => .

Теорема (за премин до границата во неравенки). Ако во некое соседство на точка важи неравенката f(x)≤ g(x), тогаш вистинита е и следната неравенка: .

Теорема. Границата на константата е еднаква на самата константа: .

Доц. Се спроведува врз основа на дефиницијата каде што можете да земете било кој позитивен број. Потоа за .▲

Теорема (за единственоста на границата).Функцијата не може да има повеќе од една граница во дадена точка.

Доц. Да го претпоставиме спротивното. Нека и , . Потоа, според теоремата за врската помеѓу границата и BM:

- БМ во,

- БМ во. Ако ги одземеме овие еднаквости, добиваме:

Врз основа на имотот 1 на BMF, ова е BM. Поминувајќи до границата во оваа еднаквост, добиваме:

,

Се добива контрадикција која ја докажува теоремата.▲

Потребни услови за постоење на конечна граница на функција.

Теорема (за локалната граница).За постоење на конечна граница на функција во точка, потребно е во некое соседство на оваа точка (освен самата точка) функцијата да биде ограничена.

Теорема (за локалното повторување по функција на својствата на границата).За да постои конечна граница во точка, потребно е во некое соседство на оваа точка (освен самата точка).

Доволни услови за постоење на конечна граница на функција.

Теорема (за аритметиката). Ако има конечни граници за и, тогаш за нивниот збир и производ има и конечни граници, и:

Ако , тогаш постои конечна граница на количникот:

Доц. Да ја докажеме, на пример, втората еднаквост.

Нека има конечни граници и . Да докажеме дека постои конечна граница .

Затоа мора да докажеме дека:

Ајде да земеме произволна. Да најдеме од условот, т.е. за ова : .

Да најдеме од условот, т.е. за ова :

Бидејќи зашто по услов има конечна граница во t., тогаш оваа функција ќе биде ограничена во некое соседство на t. (со теоремата за локална граница), т.е. - некоја константа.

Да ставиме . Ајде да провериме дали тоа е она што го бараме. Навистина,

Теорема (за средна функција). Нека функциите имаат конечни граници во т., еднакви една на друга, а во некое соседство на т., со исклучок на самата оваа точка, условот е задоволен:

. Тогаш за исто така постои конечна граница во т., еднаква на вредноста на границите на функциите и.

Теорема (за границата на монотона ограничена функција). Ако функцијата монотоно се зголемува (намалува) во одредено соседство од m и е ограничена одозгора (од долу), тогаш таа има соодветна еднострана граница во оваа точка.

Пресметување на границите на функциите.

Аритметичката теорема овозможува не само да се утврди фактот за постоење на конечна граница, туку и да се пресмета.

Пример. .

Меѓутоа, во некои случаи аритметичката теорема не може да се примени.

, . Теоремата не може да се примени, иако

Во овие случаи велиме дека постои неизвесност. За да се пресмета границата, потребно е идентично да се трансформира функцијата, така што аритметичката теорема ќе стане применлива (т.е. да се открие неизвесноста).

Следниве ситуации се сметаат за несигурни:

Прекрасни граници.

Теорема 1 (прво прекрасна граница) . Границата на односот на синусот на бесконечно мал лак до самиот лак, изразена во радијани, е еднаква на единството:

Доц. Размислете за круг со радиус R со центар во точката O. Прво нека . Од сликата е јасно дека.

;

;

Така,

Поделувајќи ги двете страни на овој израз со

>0, добиваме:

или .

Поминувајќи до границата во оваа неравенка во , добиваме: .

Со теоремата за интермедијарна функција.

Добиените заклучоци исто така ќе важат (докажете сами).▲

Последици. ; ; .

Теорема 2 (втора извонредна граница). Бројната низа има конечна граница еднаква на бројот e:

, ()

Последици. ; .

Многу проблеми од областа на физиката, биологијата, нуклеарната физика, демографијата итн. се сметаат за број д. Да ја разгледаме примената на втората извонредна граница во економските пресметки.

Проблем со континуирано мешање.

1. Едноставен интерес. Во банката се депонира сума пари по камата. Годишен каматна стапкае p%. Колкава ќе биде големината на придонесот Q по t години?

При користење на едноставна камата, износот на депозитот се зголемува годишно за истиот износ.

За една година сумата ќе биде

За две години: ;

Во т години:

- едноставна формула за камата.

2. Сложена камата. При користење на сложена камата се пресметува „камата на камата“, т.е. Големината на депозитот се зголемува годишно за ист број пати:

- формула за сложена камата.

Во практичното финансиско и кредитно работење не се користи континуирано пресметување на камата, туку се користи во демографски, инвестициски и други пресметки.

Нека f(x)И j(x)– функции за кои има ограничувања на X® x 0(¥):

,

Тогаш важат следните теореми за границите:

1. Функцијата не може да има повеќе од една граница.

2. Границата на алгебарски збир на конечен број функции е еднаква на истиот збир на границите на овие функции:

3. Границата на производот на конечен број функции е еднаква на производот на границите на овие функции:

Конкретно, константниот фактор може да се земе надвор од граничниот знак:

4. Границата на количникот на две функции е еднаква на количникот на границите на овие функции (под услов границата на делителот да не е еднаква на нула):

(Б#0)

Пример . Пресметајте го лимитот .

◄ Границите на броителот и именителот постојат, а границата на именителот не е нула. Користејќи ја теоремата за гранични количници, добиваме:

Пример . Пресметај .

◄ Овде не може да се примени теоремата за прераспределба на приватното, бидејќи броителот и именителот немаат конечна граница. Имаме неизвесност. Во такви случаи, за да се открие неизвесноста, препорачливо е да се подели броителот и именителот со моќноста Xсо највисок резултат, а потоа преминете на границата:

.

Прекрасни граници

Првата прекрасна граница:

Втора прекрасна граница:

,

Каде - Ојлеровиот број, кој е основа за природните логаритми. Конечната границаможе да се напише и во други форми:

,

.

Пример . Пресметај.

◄ За да се откријат таквите несигурности, се користи првата извонредна граница:

Континуитет на функцијата.

Функција ѓ(x) се нарекува континуираново точката x 0, доколку задоволува следните услови:

1) се дефинира во точката, т.е. постои f(x0);

2) има ограничено ограничување на функцијата на X® x 0 ;

3) оваа граница е еднаква на вредноста на функцијата во точката x 0,

тие.

На пример, во точката x = 0 функцијата не е континуирана (првиот услов е нарушен).

Функција дадена со израз:

во точката X= 0 не е континуирано поради отсуството на граница во X® 0, иако има ограничувања лево и десно (види слика).

Точката се нарекува точка на прекин функција ако оваа функција во дадена точка не е континуирана. Постојат два типа на точки на прекин.

Точка на дисконтинуитет од 1-виот вид: има конечни еднострани граници на функцијата лево и десно кога X® x 0, не еднакви едни на други.

X= 0 за функцијата дискутирана погоре .

Точка на дисконтинуитет од втор вид: барем една од едностраните граници е еднаква на бесконечност или не постои.

Како пример, можете да ја наведете поентата X= 0 за функцијата .

Својства на функциите континуирани во точка:

1. Ако функциите се континуирани во точката, тогаш нивниот збир, производ и количници () се функции континуирани во точката.

2. Ако функцијата y = ѓ(x) е континуирано во точката x 0И f(x 0)> 0, тогаш постои такво соседство на точката x 0 , во која и f(x)> 0.

3. Ако функцијата y = ѓ(u) е континуирано во точката u 0И f(x 0)> 0, а функцијата е континуирана во точката x 0, потоа сложена функција y = f[ј(X)] е континуиран во точката X 0 .

Функција y = ѓ(x) се нарекува континуирано на интервалот X ако е континуиран во секоја точка од овој интервал.

Својства на функциите континуирани во интервал:

1. Ако функцијата y = ѓ(x) е континуирано на интервалот [ а, б], тогаш е ограничен на овој сегмент.

2. Ако функцијата y = ѓ(x) е континуирано на интервалот [ а, б], допира до овој сегмент најниска вредност мИ највисока вредностМ.

3. Ако функцијата y = ѓ(x) е континуирано на интервалот [ а, б] и неговите вредности на краевите на сегментот f(a)И f(b)имаат спротивни знаци, тогаш внатре во сегментот има точка x Î ( а, б) така што ѓ(x)=0.

Предавање 2.7.2 „Дериват. диференцијал"

Прашања за проучување:

1. Дериват

2. Диференцијал

Дериват

Дериватна функцијата е границата на односот на зголемувањето на функцијата до зголемувањето на независната променлива бидејќи таа тежи на нула (ако оваа граница постои):

.

Други деривативни ознаки: .

Диференцијацијафункцијата е наоѓање на изводот на оваа функција. Ако функцијата има во точка xизвод (конечен), тогаш се нарекува диференцијабилнаво оваа точка.

Геометриско значењеизвод: изводот е еднаков на тангентата на аголот помеѓу оската Воли тангента нацртана на графикот на функцијата во точка (види слика).

Механичко значење: изводот на патеката во однос на времето е брзината на точката во еден момент т.е. .

Продуктивноста на трудот во моментот е дериват на обемот на производството со текот на времето.

Теорема.Ако функцијата е диференцијабилна во точка, тогаш таа е континуирана во таа точка.

Конверзната теорема, општо земено, не е точна, т.е. континуирана функција може да не може да се диференцира во точка, на пример, функција во точка.

Правила за диференцијација

1. Изводот на константа е нула, т.е. , Каде СО -конст.

2. Изводот на аргументот е еднаков на 1, т.е. .

3. Изводот на алгебарски збир на конечен број на диференцијабилни функции е еднаков на истиот збир од изводите на овие функции, т.е.