Именителот на аритметичката дропка a / b е бројот b, кој ја покажува големината на дропките на единицата од која е составена дропката. Именителот на алгебарската дропка A / B е алгебарскиот израз B. За да се извршат аритметички операции со дропки, тие мора да се сведат на најмал заеднички именител.
Ќе ви треба
- За да работите со алгебарски дропки и да го пронајдете најмалиот заеднички именител, треба да знаете како да ги факторизирате полиномите.
Инструкции
Да разгледаме намалување на две аритметички дропки n/m и s/t на најмал заеднички именител, каде што n, m, s, t се цели броеви. Јасно е дека овие две дропки можат да се сведат на кој било именител делив со m и t. Но, тие се обидуваат да доведат до најмал заеднички именител. Тоа е еднакво на најмалиот заеднички множител на именителот m и t од дадените дропки. Најмалиот множител (LMK) на еден број е најмалиот делив со сите дадени броеви во исто време. Оние. во нашиот случај, треба да го најдеме најмалиот заеднички множител на броевите m и t. Означено како LCM (m, t). Следно, фракциите се множат со соодветните: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).
Да го најдеме најмалиот заеднички именител на три дропки: 4/5, 7/8, 11/14. Прво, да ги прошириме именителот 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Следно, пресметајте го LCM (5, 8, 14) со множење сите броеви вклучени во барем едно од проширувањата. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Забележете дека ако фактор се појави во проширувањето на неколку броеви (фактор 2 во проширувањето на именители 8 и 14), тогаш го земаме факторот до поголем степен (2^3 во нашиот случај).
Значи, се прима општото. Тоа е еднакво на 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Овде ги добиваме броевите со кои треба да ги помножиме дропките со соодветните именители за да ги доведеме до најмал заеднички именител. Добиваме 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.
Намалување на најмал заеднички именител алгебарски дропкиизведена по аналогија со аритметика. За јасност, да го разгледаме проблемот користејќи пример. Нека се дадени две дропки (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) и (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). Да ги факторизираме двата именители. Забележете дека именителот на првата дропка е совршен квадрат: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. За
Во рамките на проучувањето на идентитетските трансформации, темата на рендерирање заеднички мултипликаторнадвор од загради. Во оваа статија ќе објасниме што точно е таква трансформација, ќе го изведеме основното правило и ќе анализираме типични примери на проблеми.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Концептот на вадење фактор од загради
За успешно да ја примените оваа трансформација, треба да знаете за какви изрази се користи и каков резултат треба да се добие на крајот. Дозволете ни да ги разјасниме овие точки.
Заедничкиот фактор може да го извадите од загради во изрази кои претставуваат збирови во кои секој член е производ, а во секој производ има еден фактор кој е заеднички (ист) за секого. Ова се нарекува заеднички фактор. Тоа е тоа што ќе го извадиме од заградите. Значи, ако имаме дела 5 3И 5 4,тогаш можеме да го извадиме заедничкиот фактор 5 од заградите.
Од што се состои оваа трансформација? За време на него, оригиналниот израз го претставуваме како производ на заеднички фактор и израз во загради кој го содржи збирот на сите оригинални членови освен заедничкиот фактор.
Да го земеме примерот даден погоре. Да додадеме заеднички фактор 5 на 5 3И 5 4и добиваме 5 (3 + 4) . Конечниот израз е производ на заедничкиот фактор 5 со изразот во загради, што е збир на оригиналните членови без 5.
Оваа трансформација се заснова на дистрибутивното својство на множење, кое веќе го проучувавме претходно. Во буквална форма може да се напише како a (b + c) = a b + a c. Со менување на десната страна со левата, ќе видиме шема за вадење на заедничкиот фактор од загради.
Правилото за вадење на заедничкиот фактор од загради
Користејќи се што е кажано погоре, го извлекуваме основното правило за таква трансформација:
Дефиниција 1
За да го отстраните заедничкиот фактор од заградите, треба да го напишете оригиналниот израз како производ на заедничкиот фактор и заградите што ја вклучуваат оригиналната сума без заедничкиот фактор.
Пример 1
Да земеме едноставен пример за рендерирање. Имаме нумерички израз 3 7 + 3 2 − 3 5, што е збир на три члена 3 · 7, 3 · 2 и заеднички фактор 3. Земајќи го правилото што го изведовме како основа, производот го пишуваме како 3 (7 + 2 − 5). Ова е резултат на нашата трансформација. Целото решение изгледа вака: 3 7 + 3 2 − 3 5 = 3 (7 + 2 − 5).
Можеме да го ставиме факторот надвор од загради не само во нумерички, туку и во буквални изрази. На пример, во 3 x − 7 x + 2можете да ја извадите променливата x и да добиете 3 x − 7 x + 2 = x (3 − 7) + 2, во изразот (x 2 + y) x y − (x 2 + y) x 3– заеднички фактор (x2+y)и добие на крајот (x 2 + y) · (x · y − x 3).
Не е секогаш можно веднаш да се утврди кој фактор е заеднички. Понекогаш изразот мора прво да се трансформира со замена на броеви и изрази со идентично еднакви производи.
Пример 2
Така, на пример, во изразот 6 x + 4 годможно е да се изведе заеднички фактор 2 кој не е експлицитно запишан. За да го пронајдеме, треба да го трансформираме оригиналниот израз, претставувајќи шест како 2 · 3 и четири како 2 · 2. Тоа е 6 x + 4 y = 2 3 x + 2 2 y = 2 (3 x + 2 y). Или во изразување x 3 + x 2 + 3 xможеме да го извадиме од загради заедничкиот фактор x, кој се открива по замената x 3на x · x 2 .Оваа трансформација е можна поради основните својства на степенот. Како резултат на тоа, го добиваме изразот x (x 2 + x + 3).
Друг случај што треба да се дискутира посебно е отстранувањето на минус од загради. Потоа го вадиме не самиот знак, туку минус еден. На пример, да го трансформираме изразот на овој начин − 5 − 12 x + 4 x y. Ајде да го преработиме изразот како (− 1) 5 + (− 1) 12 x − (− 1) 4 x y, така што вкупниот множител е појасно видлив. Да го извадиме од загради и да добиеме − (5 + 12 · x − 4 · x · y) . Овој пример покажува дека во загради се добива иста количина, но со спротивни знаци.
Во заклучоците, забележуваме дека трансформацијата со ставање на заедничкиот фактор надвор од загради многу често се користи во пракса, на пример, за пресметување на вредноста на рационалните изрази. Овој метод е исто така корисен кога треба да се претстави израз како производ, на пример, да се факторизира полином во поединечни фактори.
Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter
Во оваа лекција ќе се запознаеме со правилата за ставање заеднички фактор надвор од загради и ќе научиме како да го најдеме во разни примерии изрази. Ајде да разговараме за тоа како едноставна операција, поставувањето на заедничкиот фактор надвор од заградите ви овозможува да ги поедноставите пресметките. Стекнатите знаења и вештини ќе ги консолидираме со разгледување примери на различни сложености.
Што е заеднички фактор, зошто да се бара и со која цел се вади од загради? Ајде да одговориме на овие прашања гледајќи едноставен пример.
Да ја решиме равенката. Лева странаравенката е полином кој се состои од слични членови. Буквата е заедничка за овие поими, што значи дека ќе биде заеднички фактор. Ајде да го ставиме надвор од загради:
Во овој случај, вадењето на заедничкиот фактор од заградите ни помогна да го претвориме полиномот во моном. Така, можевме да го поедноставиме полиномот и неговата трансформација ни помогна да ја решиме равенката.
Во разгледуваниот пример, заедничкиот фактор беше очигледен, но дали ќе биде толку лесно да се најде во произволен полином?
Да го најдеме значењето на изразот: .
ВО во овој примерпоставувањето на заедничкиот фактор надвор од заградите значително ја поедностави пресметката.
Ајде да решиме уште еден пример. Да ја докажеме деливоста на изрази.
Добиениот израз е делив со , како што се бара да се докаже. Уште еднаш, преземањето на заедничкиот фактор ни овозможи да го решиме проблемот.
Ајде да решиме уште еден пример. Да докажеме дека изразот е делив со кој било природен број: 
.
Изразот е производ на два соседни природни броја. Еден од двата броја дефинитивно ќе биде парен, што значи дека изразот ќе биде делив со .
Го средивме различни примери, но го користеа истиот метод на решение: го извадија заедничкиот фактор од загради. Гледаме дека оваа едноставна операција во голема мера ги поедноставува пресметките. Беше лесно да се најде заеднички фактор за овие посебни случаи, но што да се прави во општ случај, за произволен полином?
Потсетиме дека полиномот е збир на мономи.
Размислете за полиномот 
. Овој полином е збир од два мономи. Мономот е производ на број, коефициент и дел од буквата. Така, во нашиот полином, секој моном е претставен со производ на број и сили, производ на множители. Факторите можат да бидат исти за сите мономи. Токму овие фактори треба да се утврдат и извадат од заградата. Прво, го наоѓаме заедничкиот фактор за коефициентите, кои се цели броеви.
Беше лесно да се најде заедничкиот фактор, но ајде да го дефинираме gcd на коефициентите: 
.
Ајде да погледнеме друг пример: .
Ајде да најдеме , што ќе ни овозможи да го одредиме заедничкиот фактор за овој израз: .
Изведевме правило за коефициенти на цели броеви. Треба да го најдете нивниот gcd и да го извадите од заградата. Ајде да го консолидираме ова правило со решавање на уште еден пример.
Го разгледавме правилото за доделување заеднички фактор за целобројни коефициенти, ајде да преминеме на делот со букви. Прво ги бараме оние букви што се вклучени во сите мономи, а потоа го одредуваме највисокиот степен на буквата што е вклучена во сите мономи: .
Во овој пример имаше само една заедничка променлива со букви, но може да има неколку, како во следниот пример:
Ајде да го комплицираме примерот со зголемување на бројот на мономи:
Откако го извадивме заедничкиот фактор, алгебарскиот збир го претворивме во производ.
Одделно ги разгледавме правилата за одземање за коефициентите на цели броеви и променливите на буквите, но најчесто треба да ги примените заедно за да го решите примерот. Ајде да погледнеме на пример:
Понекогаш може да биде тешко да се одреди кој израз е оставен во загради, ајде да погледнеме лесен трик кој ќе ви овозможи брзо да го решите овој проблем.
Заедничкиот фактор може да биде и саканата вредност:
Заедничкиот фактор може да биде не само број или моном, туку и кој било израз, како на пример во следната равенка.
\(5x+xy\) може да се претстави како \(x(5+y)\). Овие се навистина идентични изрази, ова можеме да го потврдиме ако ги отвориме заградите: \(x(5+y)=x \cdot 5+x \cdot y=5x+xy\). Како што можете да видите, како резултат го добиваме оригиналниот израз. Ова значи дека \(5x+xy\) е навистина еднакво на \(x(5+y)\). Патем, ова сигурен начинда ја проверите исправноста на заедничките фактори - отворете ја добиената заграда и споредете го резултатот со оригиналниот израз.
Главното правило за заграда:
На пример, во изразот \(3ab+5bc-abc\) само \(b\) може да се извади од заградата, бидејќи е единствениот што е присутен во сите три члена. Процесот на вадење на заеднички фактори од заградите е прикажан на дијаграмот подолу:
Правила за загради
Во математиката, вообичаено е да се извадат сите заеднички фактори одеднаш.
Пример:\(3xy-3xz=3x(y-z)\)
Ве молиме имајте предвид дека овде би можеле да се прошириме вака: \(3(xy-xz)\) или вака: \(x(3y-3z)\). Сепак, тоа би биле нецелосни распаѓања. И C и X мора да се извадат.
Понекогаш заедничките членови не се веднаш видливи.
Пример:\(10x-15y=2·5·x-3·5·y=5(2x-3y)\)
Во овој случај, заедничкиот термин (пет) беше скриен. Меѓутоа, откако го проширивме \(10\) како \(2\) помножено со \(5\), и \(15\) како \(3\) помножено со \(5\) - ги „повлековме петте во светлина божја“, по што лесно можеа да ја извадат од заградата.
Ако мономот се отстрани целосно, еден останува од него.
Пример: \(5xy+axy-x=x(5y+ay-1)\)
Го ставаме \(x\) надвор од загради, а третиот моном се состои само од x. Зошто човек останува од него? Затоа што ако некој израз се помножи со еден, тој нема да се промени. Тоа е, истото \(x\) може да се претстави како \(1\cdot x\). Потоа го имаме следниот синџир на трансформации:
\(5xy+axy-\)\(x\) \(=5xy+axy-\)\(1 \cdot x\) \(=\)\(x\) \(5y+ay-\)\ (1\) \()\)
Покрај тоа, ова е единствениот правилен начин да се извлече, бидејќи ако не оставиме еден, тогаш при отворање на заградите нема да се вратиме на оригиналниот израз. Навистина, ако го направиме извлекувањето вака \(5xy+axy-x=x(5y+ay)\), тогаш кога ќе се прошири ќе добиеме \(x(5y+ay)=5xy+axy\). Третиот член го нема. Тоа значи дека таквата изјава е неточна.
Можете да поставите знак минус надвор од заградата, а знаците на термините во заградата се обратни.
Пример:\(x-y=-(-x+y)=-(y-x)\)
Во суштина, овде го ставаме „минус еден“, кој може да се „одбере“ пред кој било моном, дури и ако немало минус пред него. Овде го користиме фактот дека еден може да се напише како \((-1) \cdot (-1)\). Еве го истиот пример, детално опишан:
\(x-y=\)
\(=1·x+(-1)·y=\)
\(=(-1)·(-1)·x+(-1)·y=\)
\(=(-1)·((-1)·x+y)=\)
\(=-(-x+y)=\)
\(-(y-x)\)
Заградата исто така може да биде заеднички фактор.
Пример:\(3m(n-5)+2(n-5)=(n-5)(3m+2)\)
Оваа ситуација (отстранување на загради од загради) најчесто се среќаваме при факторинг со помош на методот на групирање или
ВО вистински животТреба да работиме со обични фракции. Меѓутоа, за да собираме или одземаме дропки со различни именители, како што се 2/3 и 5/7, треба да најдеме заеднички именител. Со доведување на дропки до заеднички именител, лесно можеме да извршиме операции за собирање или одземање.
Дефиниција
Дропките се едни од најпознатите тешки темиво елементарната аритметика, а рационалните бројки ги плашат учениците кои првпат се среќаваат со нив. Навикнати сме да работиме со бројки напишани во децимален формат. Многу е полесно веднаш да се додадат 0,71 и 0,44 отколку да се додадат 5/7 и 4/9. На крајот на краиштата, за да се сумираат дропките, тие мора да се сведат на заеднички именител. Меѓутоа, дропките го претставуваат значењето на количините многу попрецизно од нивните децимални еквиваленти, а во математиката претставувањето на серии или ir рационални броевистанува во форма на дропка приоритет. Оваа задача се нарекува „доведување на израз во затворена форма“.
Ако и броителот и именителот на дропка се помножат или поделат со истиот фактор, вредноста на дропката не се менува. Ова е една од најважните својства дробни броеви. На пример, дропот 3/4 во децимална форма се пишува како 0,75. Ако ги помножиме броителот и именителот со 3, добиваме дропка 9/12, што е точно исто како 0,75. Благодарение на ова својство, можеме да множиме различни дропки така што сите имаат исти именители. Како да се направи тоа?
Наоѓање заеднички именител
Најмалиот заеднички именител (LCD) е најмалиот заеднички множител од сите именители во изразот. Таков број можеме да го најдеме на три начини.
Користење на максималниот именител
Ова е еден од наједноставните, но одземаат многу време методи за пребарување на НЗБ. Прво, го запишуваме најголемиот број од именителот на сите дропки и ја проверуваме неговата деливост со помали броеви. Ако е делив, тогаш најголемиот именител е NCD.
Ако во претходната операција броевите се деливи со остаток, тогаш најголемиот од нив мора да се помножи со 2 и да се повтори тестот за деливост. Ако се подели без остаток, тогаш новиот коефициент станува НОЗ.
Ако не, тогаш најголемиот именител се множи со 3, 4, 5 и така натаму, додека не се најде најмалиот заеднички множител на долните делови на сите дропки. Во пракса тоа изгледа вака.
Да ги имаме дропките 1/5, 1/8 и 1/20. Проверуваме 20 за деливост на 5 и 8. 20 не се дели со 8. Помножете го 20 со 2. Проверете 40 за деливост на 5 и 8. Броевите се деливи без остаток, затоа, N3 (1/5, 1/8 и 1/20) = 40 , а дропките стануваат 8/40, 5/40 и 2/40.
Секвенцијално пребарување на множители
Вториот метод е едноставно пребарување на множители и избирање на најмалиот. За да најдеме множители, множиме број со 2, 3, 4 и така натаму, така што бројот на множители оди до бесконечност. Оваа низа може да биде ограничена со граница, која е производ на дадените броеви. На пример, за броевите 12 и 20, LCM се наоѓа на следниов начин:
- запишете броеви кои се множители на 12 - 24, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120;
- запишете броеви кои се множители на 20 - 40, 60, 80, 100, 120;
- определи заеднички множители - 60, 120;
- изберете го најмалиот од нив - 60.
Така, за 1/12 и 1/20, заедничкиот именител е 60, а дропките се претвораат во 5/60 и 3/60.
Примарната факторизација
Овој метод за наоѓање на LOC е најрелевантен. Овој методподразбира разложување на сите броеви од долните делови на дропките на неделиви множители. По ова се составува број кој ги содржи факторите на сите именители. Во пракса тоа функционира вака. Ајде да го најдеме LCM за истиот пар 12 и 20:
- факторизирај 12 - 2 × 2 × 3;
- изложи 20 - 2 × 2 × 5;
- ги комбинираме факторите така што тие ги содржат броевите и 12 и 20 - 2 × 2 × 3 × 5;
- помножете ги неделивите и добијте резултат - 60.
Во третата точка комбинираме множители без повторувања, односно доволни се две по две за да се формира 12 во комбинација со тројка и 20 со петка.
Нашиот калкулатор ви овозможува да ја одредите NOZ за произволен број на дропки напишани и во обична и во децимална форма. За да пребарувате за NOS, само треба да внесете вредности одделени со јазичиња или запирки, по што програмата ќе го пресмета заедничкиот именител и ќе ги прикаже конвертираните фракции.
Пример од реалниот живот
Додавање дропки
Да претпоставиме дека во аритметички проблем треба да додадеме пет дропки:
0,75 + 1/5 + 0,875 + 1/4 + 1/20
Решението треба да се направи рачно на следниот начин. Прво, треба да ги претставиме броевите во една форма на нотација:
- 0,75 = 75/100 = 3/4;
- 0,875 = 875/1000 = 35/40 = 7/8.
Сега имаме серија обични дропки, кој мора да се сведе на истиот именител:
3/4 + 1/5 + 7/8 + 1/4 + 1/20
Бидејќи имаме 5 поими, најлесно е да се користи методот за пребарување на NOZ од најголемиот број. Проверуваме 20 за деливост со други броеви. 20 не се дели со 8 без остаток. Помножуваме 20 со 2, проверуваме 40 за деливост - сите броеви делат 40 со целина. Ова е нашиот заеднички именител. Сега, за да ги сумираме рационалните броеви, треба да одредиме дополнителни фактори за секоја дропка, кои се дефинирани како однос на LCM до именителот. Дополнителните множители ќе изгледаат вака:
- 40/4 = 10;
- 40/5 = 8;
- 40/8 = 5;
- 40/4 = 10;
- 40/20 = 2.
Сега ги множиме броителот и именителот на дропките со соодветните дополнителни фактори:
30/40 + 8/40 + 35/40 + 10/40 + 2/40
За таков израз, лесно можеме да одредиме збир еднаков на 85/40 или 2 цели и 1/8. Ова е гломазна пресметка, па можете едноставно да ги внесете податоците за проблемот во формуларот за калкулатор и веднаш да го добиете одговорот.
Заклучок
Аритметичките операции со дропки не се многу погодна работа, бидејќи за да го најдете одговорот треба да извршите многу средни пресметки. Користете го нашиот онлајн калкулатор за претворање на дропки во заеднички именител и брзо решавање на училишните проблеми.
Се вчитува...
