Примери за нелинеарни парцијални диференцијални равенки. Диференцијални равенки. Линеарни и нелинеарни диференцијални равенки

Книгата е вовед во аналитичката теорија на нелинеарни диференцијални равенки и е посветена на анализа на нелинеарни математички модели и динамички системи за нивно точно решение (интеграбилност).
Наменет за студенти, дипломирани студенти и истражувачи заинтересирани за нелинеарни математички модели, теоријата на солитони, методи за конструирање точни решенија на нелинеарни диференцијални равенки, теоријата на равенките на Пајнлев и нивните повисоки аналози.

Равенката Korteweg-de Vries за опишување на водените бранови.
Феноменот на ширење на брановите на површината на водата долго време го привлекува вниманието на истражувачите. Ова е пример на бранови што секој можел да ги набљудува како дете и кој обично се демонстрира како дел од училишниот курс по физика. Сепак, ова е прилично сложен тип на бранови. Како што рече Ричард Фајнман, „тешко е да се смисли понесреќен пример за демонстрација на бранови, бидејќи овие бранови воопшто не се слични на звукот или светлината; сите тешкотии што можат да бидат во брановите се собраа овде“.

Ако земеме во предвид базен исполнет со вода и создадеме некакво нарушување на неговата површина, тогаш брановите ќе почнат да се шират по површината на водата. Нивната појава се објаснува со фактот дека течните честички кои се наоѓаат во близина на вдлабнатината, кога создаваат пореметување, ќе имаат тенденција да ја пополнат депресијата, бидејќи се под влијание на гравитацијата. Развојот на овој феномен со текот на времето ќе доведе до ширење на бранови на водата. Течните честички во таков бран не се движат горе-долу, туку приближно во кругови, така што брановите на водата не се ниту надолжни ниту попречни. Се чини дека тие се мешавина од двете. Со длабочината, радиусите на круговите по кои се движат течните честички се намалуваат додека не станат еднакви на нула.

Ако ја анализираме брзината на ширење на бранот на вода, излегува дека зависи од неговата амплитуда. Брзината на долгите бранови е пропорционална на квадратниот корен на забрзувањето на гравитацијата помножена со збирот на амплитудата на бранот и длабочината на базенот. Причината за ваквите бранови е гравитацијата.

СОДРЖИНА
Предговор 9
Поглавје 1. НЕЛИНЕАРНИ МАТЕМАТИЧКИ МОДЕЛИ 13
1.1 Кортевег-де Врис равенка за опишување на бранови на вода 13
1.2 Наједноставни решенија на равенката Кортевег-де Вриес 23
1.3 Модел за опишување на нарушувања во синџир од идентични маси 26
1.4 Наједноставните решенија на изменетата равенка Korteweg - de Vries 32
1.5 Фазни и групни брзини на брановите 35
1.6 Нелинеарна Шредингерова равенка за обвивката на брановиот пакет 39
1.7 Осамени бранови опишани со нелинеарната Шредингерова равенка и групниот солитон 42
1.8 Син-Гордонова равенка за опишување дислокации во цврста 44
1.9 Наједноставни решенија на синус-Гордоновата равенка и тополошкиот солитон 48
1.10 Нелинеарна транспортна равенка и Бургерс равенка 51
1.11 Henon-Heiles модел 57
1.12 Лоренц систем 60
1.13 Задачи и вежби за поглавје 1 68
Поглавје 2. АНАЛИТИЧКИ СВОЈСТВА НА ОБИЧНИ ДИФЕРЕНЦИЈАЛНИ РАВЕНКИ 71
2.1 Класификација на еднини точки на функции на сложена променлива 71
2.2 Фиксни и подвижни еднини точки 74
2.3 Равенки кои немаат решенија со критични подвижни еднини точки 76
2.4 Главниот проблем на Ковалевскаја 82
2.5 Дефиниција на својството Painlevé и равенката Painlevé 85
2.6 Втора Painlevé равенка за опишување на електричното поле во полупроводничка диода 87
2.7 Ковалевскаја алгоритам за анализа на диференцијални равенки 91
2.8 Локални прикази на решенија на равенките од типот Painlevé 96
2.9 Painlevé метод за анализа на диференцијални равенки 100
2.10 Трансцендентална зависност на решенијата на првата равенка на Painlevé 106
2.11 Нередуктивност на равенките на Пајнлев 111
2.12 Bäcklund трансформации за решенија на втората Painlevé равенка 113
2.13 Рационални и специјални решенија на втората равенка на Паинлев 114
2.14 Дискретни равенки на Painlevé 116
2.15 Асимптотични решенија на првата и втората равенка на Painlevé 118
2.16 Линеарни прикази на равенките на Painlevé 120
2.17 Comte - Fordy - Pickering алгоритам за тестирање равенки за својството Painlevé 122
2.18 Примери за анализа на равенки со методот на пертурбација на Painlevé 125
2.19 Painlevé тест за системот на равенки Хенон-Хајлес 128
2.20 Точно решливи случаи на Лоренцовиот систем 131
2.21 Задачи и вежби за поглавје 2 135
Поглавје 3. СВОЈСТВА НА НЕЛИНЕАРНИ ПАРЦИЈАЛНИ ДЕРИВАТИВНИ РАВЕНКИ 138
3.1 Интегрирани системи 138
3.2 Кол - Трансформација на Хопф за Бургерсовата равенка 141
3.3 Трансформација на Миура и пар Лакс за равенката Корте-вега - де Врис 144
3.4 Закони за зачувување за равенката Кортевег-де Врис 146
3.5 Bäcklund карти и трансформации 149
3.6 Беклунд трансформации за грев-Гордоновата равенка 151
3.7 Bäcklund трансформации за равенката Korteweg-de Vries 153
3.8 Семејство на равенки на Кортевег-де Ври 155
3.9 АКНС фамилија равенки 157
3.10 Абловиц-Рамани-Сигур тест за нелинеарни парцијални диференцијални равенки 160
3.11 Вајс-Табор-Карневал метод за анализа на нелинеарни равенки 163
3.12 Painlevé анализа на равенката Бургер со помош на методот VTK 165
3.13 Анализа на равенката Korteweg - de Vries 168
3.14 Конструкција на парот Lax за равенката Korteweg - de Vries со помош на методот VTC 169
3.15 Анализа на изменетата равенка Korteweg - de Vries 171
3.16 Скратени проширувања како пресликување на решенија на нелинеарни равенки 172
3.17 Инваријантна Painlevé анализа 174
3.18 Примена на непроменлива анализа на Painlevé за пронаоѓање на Lax парови 176
3.19 Односи меѓу главните точно решливи нелинеарни равенки 179
3.20 Равенки на Family of Burgers 187
3.21 Задачи и вежби за поглавје 3 189
Поглавје 4. ТОЧНИ РЕШЕНИЈА НА НЕЛИНЕАРНИ ДИФЕРЕНЦИЈАЛНИ РАВЕНКИ 193
4.1 Примена на скратени проширувања за конструирање парцијални решенија на неинтеграбилни равенки 193
4.2 Точни решенија на равенката Бургерс-Хаксли 197
4.3 Делумни решенија на равенката Бургер - Кортевег - де Ври 205
4.4 Осамени бранови опишани со равенката Курамото-Сивашински 208
4.5 Кноидни бранови опишани со Курамото-Сивашински равенка 215
4.6 Посебни решенија на наједноставната нелинеарна бранова равенка од петти ред 217
4.7 Точни решенија на нелинеарна равенка од петти ред за опишување водни бранови 220
4.8 Решенија на равенката Korteweg-de Vries од петти ред кај променливите на патувачки бранови 230
4.9 Точни решенија на моделот Henon - Heiles 235
4.10 Метод за наоѓање рационални решенија на некои точно решливи нелинеарни равенки 237
4.11 Задачи и вежби за поглавје 4 241
Поглавје 5. ПОВИСОКИ АНАЛОГИ НА РАВЕНКИТЕ НА PAINLEVE И НИВНИТЕ СВОЈСТВА 244
5.1 Анализа на равенки од четврти ред за својството Painlevé 244
5.2 Равенки од четврти ред што го поминуваат тестот Painlevé 251
5.3 Трансценденти определени со нелинеарни равенки од четврти ред 253
5.4 Локални претстави на решенија за равенки од четврти ред 258
5.5 Асимптотички својства на трансценденталните равенки од четврти ред 264
5.6 Семејства на равенки со решенија во трансцендентална форма 266
5.7 Лакс парови за равенки од четврти ред 271
5.8 Генерализации на равенките на Painlevé 277
5.9 Bäcklund трансформации за повисоки аналози на равенките Painlevé 284
5.10 Рационални и специјални решенија на повисоки аналози на равенките Painlevé 291
5.11 Дискретни равенки што одговараат на повисоките аналози на равенките Painlevé 295
5.12 Задачи и вежби за Поглавје 5 304
ГЛАВА 6. МЕТОД НА ОБРАТЕН ПРОБЛЕМ И МЕТОД НА ХИРОТА ЗА РЕШАВАЊЕ НА РАВЕНКАТА KORTEWEG - DE Vries 306
6.1 Коши проблем за равенката Кортевег-де Врис 306
6.2 Проблем со директно расејување 307
6.3 Интегрален облик на стационарната Шредингерова равенка 313
6.4 Аналитички својства на амплитудата на расејување 315
6.5 Гелфанд - Левитан - Марченко равенка 318
6.6 Интеграција на равенката Korteweg-de Vries со методот на проблем со инверзно расејување 321
6.7 Решение на равенката Korteweg-de Vries во случај на потенцијали без рефлексија 323
6.8 Операторот Хирота и неговите својства 326
6.9 Наоѓање солитонски решенија на равенката Кортевег-де Врис со помош на методот Хирота 327
6.10 Хирота метод за изменетата равенка Кортевег-де Врис 331
6.11 Задачи и вежби за поглавје 6 333
Литература 337
Индекс на тема.

Во некои проблеми на физиката, не е можно да се воспостави директна врска помеѓу количините што го опишуваат процесот. Но, можно е да се добие еднаквост што ги содржи дериватите на функциите што се проучуваат. Така произлегуваат диференцијалните равенки и потребата од нивно решавање за да се најде непозната функција.

Оваа статија е наменета за оние кои се соочуваат со проблем за решавање на диференцијална равенка во која непознатата функција е функција на една променлива. Теоријата е структурирана на таков начин што со нула познавање на диференцијални равенки, можете да се справите со вашата задача.

Секој тип на диференцијални равенки е поврзан со метод на решение со детални објаснувања и решенија за типични примери и проблеми. Сè што треба да направите е да го одредите типот на диференцијалната равенка на вашиот проблем, да пронајдете сличен анализиран пример и да извршите слични дејства.

За успешно решавање на диференцијални равенки, ќе ви треба и способност да најдете множества на антидеривати (неопределени интеграли) од различни функции. Доколку е потребно, препорачуваме да се повикате на делот.

Прво, ќе ги разгледаме типовите на обични диференцијални равенки од прв ред што можат да се решат во однос на изводот, потоа ќе преминеме на ODE од втор ред, потоа ќе се задржиме на равенките од повисок ред и ќе завршиме со системи на диференцијални равенки.

Потсетиме дека ако y е функција од аргументот x.

Диференцијални равенки од прв ред.

Наједноставните диференцијални равенки од прв ред на формата.

Ајде да напишеме неколку примери на таков далечински управувач .

Диференцијални равенки може да се реши во однос на изводот со делење на двете страни на еднаквоста со f(x) . Во овој случај, доаѓаме до равенка која ќе биде еквивалентна на првобитната за f(x) ≠ 0. Примери за такви ODE се .

Ако има вредности на аргументот x на кои функциите f(x) и g(x) истовремено исчезнуваат, тогаш се појавуваат дополнителни решенија. Дополнителни решенија на равенката дадени x се сите функции дефинирани за овие вредности на аргументот. Примери за такви диференцијални равенки вклучуваат:

Диференцијални равенки од втор ред.

Линеарни хомогени диференцијални равенки од втор ред со константни коефициенти.

LDE со константни коефициенти е многу чест тип на диференцијални равенки. Нивното решение не е особено тешко. Прво, се наоѓаат корените на карактеристичната равенка . За различни p и q, можни се три случаи: корените на карактеристичната равенка можат да бидат реални и различни, реални и совпаѓаат или сложени конјугати. Во зависност од вредностите на корените на карактеристичната равенка, општото решение на диференцијалната равенка се запишува како , или , или соодветно.

На пример, разгледајте линеарна хомогена диференцијална равенка од втор ред со константни коефициенти. Корените на неговата карактеристична равенка се k 1 = -3 и k 2 = 0. Корените се реални и различни, затоа, општото решение на LODE со константни коефициенти ја има формата


Линеарни нехомогени диференцијални равенки од втор ред со константни коефициенти.

Општото решение на LDDE од втор ред со константни коефициенти y се бара во форма на збир од општото решение на соодветните LDDE и одредено решение на првобитната нехомогена равенка, односно . Претходниот став е посветен на изнаоѓање на општо решение за хомогена диференцијална равенка со константни коефициенти. И одредено решение се определува или со методот на неопределени коефициенти за одредена форма на функцијата f(x) на десната страна на првобитната равенка, или со методот на менување произволни константи.

Како примери на LDDE од втор ред со константни коефициенти, даваме


За да ја разберете теоријата и да се запознаете со деталните решенија на примери, ви нудиме на страницата линеарни нехомогени диференцијални равенки од втор ред со константни коефициенти.

Линеарни хомогени диференцијални равенки (LODE) и линеарни нехомогени диференцијални равенки (LNDEs) од втор ред.

Посебен случај на диференцијални равенки од овој тип се LODE и LDDE со константни коефициенти.

Општото решение на LODE на одреден сегмент е претставено со линеарна комбинација од две линеарно независни парцијални решенија y 1 и y 2 од оваа равенка, т.е. .

Главната тешкотија лежи токму во изнаоѓање линеарно независни парцијални решенија за диференцијална равенка од овој тип. Вообичаено, одредени решенија се избираат од следниве системи на линеарно независни функции:


Сепак, одредени решенија не се секогаш претставени во оваа форма.

Пример за LOD е .

Општото решение на LDDE се бара во форма , каде што е општото решение на соодветниот LDDE, и е посебното решение на оригиналната диференцијална равенка. Само што зборувавме за негово наоѓање, но може да се одреди со помош на методот на менување произволни константи.

Може да се даде пример за LNDU .

Диференцијални равенки од повисоки редови.

Диференцијални равенки кои овозможуваат намалување по редослед.

Редослед на диференцијална равенка , која не ја содржи саканата функција и нејзините деривати до k-1 ред, може да се намали на n-k со замена на .

Во овој случај, оригиналната диференцијална равенка ќе се сведе на . Откако ќе го најдеме неговото решение p(x), останува да се вратиме на замената и да ја одредиме непознатата функција y.

На пример, диференцијалната равенка по замената ќе стане равенка со раздвојливи променливи, а нејзиниот редослед ќе се намали од трето на прво.

Диференцијални равенки- гранка од математиката која ги проучува теоријата и методите на решавање равенки што ја содржат саканата функција и нејзините изводи од различни реда на еден аргумент (обичен диференцијал) или неколку аргументи (парцијални диференцијални равенки). Диференцијалните равенки се широко користени во практиката, особено за опишување на минливи процеси.

Теорија на диференцијални равенки- гранка од математиката која се занимава со изучување на диференцијални равенки и проблеми поврзани со нив. Нивните резултати се користат во многу природни науки, особено широко во физиката.

Едноставно кажано, диференцијална равенкае равенка во која непознатото количество е одредена функција.Покрај тоа, самата равенка ја вклучува не само непознатата функција, туку и нејзините различни деривати. Диференцијалната равенка ја опишува врската помеѓу непозната функција и нејзините деривати. Ваквите врски се бараат во различни области на знаење: механика, физика, хемија, биологија, економија итн.

Постојат обични диференцијални равенки и парцијални диференцијални равенки. Интегра-диференцијалните равенки се посложени.

На почетокот, диференцијалните равенки произлегоа од проблемите во механиката кои ги вклучуваа координатите на телата, нивните брзини и забрзувања, сметани како функции на времето.

Диференцијалната равенка се нарекува интеграбилни во квадрати, ако задачата за пронаоѓање на сите врски може да се сведе на пресметување на конечен број интеграли на познати функции и едноставни алгебарски операции.

Приказна

Леонард Ојлер

Џозеф-Луј Лагранж

Пјер-Симон Лаплас

Џозеф Лиувил

Анри Поенкаре

Диференцијалните равенки биле измислени од Њутн (1642-1727). Њутн го сметаше овој изум толку важен што го шифрираше во форма на анаграм, чиешто значење во современи термини може слободно да се пренесе на следниов начин: „законите на природата се изразуваат со диференцијални равенки“.

Главното аналитичко достигнување на Њутн беше проширувањето на сите видови функции во серии на моќност (значењето на вториот, долг анаграм на Њутн е дека за да се реши која било равенка треба да се замени серија во равенката и да се изедначат членовите од ист степен). Од особена важност овде беше формулата за бином на Њутн што ја откри (се разбира, не само со целобројни експоненти, за кои формулата беше позната, на пример, од Виете (1540-1603), туку, што е најважно, со дробни и негативни експоненти ). Њутн ги проширил сите основни елементарни функции во „Тејлоровата серија“. четвртина час“.

Њутн истакна дека коефициентите на неговата серија се пропорционални со последователните деривати на функцијата, но не се задржа на тоа детално, бидејќи со право веруваше дека е попогодно да се извршат сите пресметки во анализата не користејќи повеќе диференцијации, туку со пресметување на првите членови од серијата. За Њутн, врската помеѓу коефициентите на серија и деривати беше повеќе средство за пресметување на деривати отколку средство за составување серија. Едно од најважните достигнувања на Њутн е неговата теорија за Сончевиот систем, изнесена во „Математичките принципи на природната филозофија“ („Принципија“) без помош на математичка анализа. Општо се верува дека Њутн го открил законот за универзална гравитација преку неговата анализа. Всушност, Њутн (1680) само ја докажал елиптичноста на орбитите на атрактивно поле според законот за обратен квадрат: самиот овој закон на Њутн му бил укажан од Хук (1635-1703) и, можеби, претпоставен од неколку други научници.

Од огромниот број дела од 18 век за диференцијални равенки, се издвојуваат делата на Ојлер (1707-1783) и Лагранж (1736-1813). Во овие дела најпрво била развиена теоријата на мали осцилации, а со тоа и теоријата на линеарни системи на диференцијални равенки; На патот, се појавија основните концепти на линеарна алгебра (сопствени вредности и вектори во n-димензионален случај). Карактеристичната равенка на линеарен оператор долго време се нарекува секуларна, бидејќи од таквата равенка се одредуваат секуларните (поврзани со возраста, т.е. бавни во споредба со годишното движење) пертурбации на планетарните орбити според теоријата на Лагранж за мали осцилации. Следејќи го Њутн, Лаплас и Лагранж, а подоцна и Гаус (1777-1855), исто така развиле методи на теоријата на пертурбации.

Кога била докажана нерешливоста на алгебарските равенки во радикали, Џозеф Лиувил (1809-1882) конструирал слична теорија за диференцијални равенки, утврдувајќи ја неможноста за решавање на голем број равенки (особено такви класични како линеарни равенки од втор ред) во елементарните функции и квадратури. Подоцна, Sophus Lie (1842-1899), анализирајќи го прашањето за интегрирање равенки во квадрати, дошол до потреба детално да ги проучува групите на дифеоморфизми (кои подоцна го добиле името Lie групи) - така, во теоријата на диференцијални равенки, еден се појавија од најплодните области на модерната математика, чиј понатамошен развој беше тесно поврзан со сосема различни прашања (Лежите алгебри беа разгледани уште порано од Симеон-Денис Поасон (1781-1840) и, особено, Карл Густав Јакоб Јакоби (1804). -1851)).

Нова фаза во развојот на теоријата на диференцијални равенки започнува со работата на Анри Поенкаре (1854-1912), „квалитативната теорија на диференцијални равенки“ што тој ја создаде, заедно со теоријата на функции на сложени променливи, доведе до основата на модерната топологија. Квалитативната теорија на диференцијални равенки или, како што сега почесто се нарекува, теоријата на динамички системи, сега најактивно се развива и ги има најважните примени на теоријата на диференцијални равенки во природните науки.

Обични диференцијални равенки

Обични диференцијални равенки- ова се равенки на формата Ф (т, x, x ", x "",..., x(n)) = 0 , Каде x = x (т) - непозната функција (можеби векторска функција; во овој случај тие често зборуваат за систем на диференцијални равенки), во зависност од временската променлива т, простиот значи диференцијација во однос на т. Број nсе нарекува редот на диференцијалната равенка.

Решение (или решение) на диференцијална равенка е функција која се диференцира n пати и ја задоволува равенката во сите точки од нејзиниот домен на дефиниција. Обично има цела разновидност на такви функции, а за да изберете еден од резултатите, треба да наметнете дополнителни услови: на пример, барајте одлуката да земе одредена вредност во одредена точка.

Главните проблеми и резултати од теоријата на диференцијални равенки: постоењето и единственоста на решенија за различни проблеми за ODE, методи за решавање едноставни ODE, квалитативно проучување на решенија на ODE без да се најде нивната експлицитна форма.

Парцијални диференцијални равенки

Парцијални диференцијални равенкисе равенки кои содржат непознати функции на неколку променливи и нивни парцијални изводи.

Општата форма на таквите равенки може да се претстави како:

,

каде се независните променливи и е функција од овие променливи.

Нелинеарни диференцијални равенки

Нелинеарни диференцијални равенки се гранка на математиката која ги проучува теоријата и методите на решавање на нелинеарни равенки кои ја содржат саканата функција и нејзините деривати од различни редови на еден аргумент (обични нелинеарни диференцијални равенки) или неколку аргументи (нелинеарни парцијални диференцијални равенки). Диференцијалните равенки се широко користени во практиката, особено за опишување на минливи процеси.

Теоријата на нелинеарни диференцијални равенки е гранка на математиката која се занимава со проучување на диференцијални равенки и проблеми поврзани со нив. Нивните резултати се користат во многу природни науки: механика, физика, термоеластичност, оптика.

Нелинеарна диференцијална равенка е равенка во која непознатото количество е функција. Самата диференцијална равенка вклучува не само непозната функција, туку и нејзини различни деривати во нелинеарна форма. Нелинеарната диференцијална равенка ја опишува врската помеѓу непозната функција и нејзините деривати. Ваквите врски се бараат во различни области на знаење: механика, физика, хемија, биологија, економија итн.

Постојат обични нелинеарни диференцијални равенки и нелинеарни парцијални диференцијални равенки.

Нелинеарните диференцијални равенки произлегоа од проблемите на нелинеарната механика, кои ги вклучуваа координатите на телата, нивните брзини и забрзувања, сметани како функции на времето.

Примери

• Вториот закон на Њутн може да се напише во форма на диференцијална равенка

,

Каде м- телесна маса, x- нејзината координата, Ф (x, т) - сила што дејствува на тело со координати xво одреден момент од времето т. Нејзиното решение е траекторијата на телото под дејство на одредената сила.

• Вибрацијата на низата е дадена со равенката

,

Каде u = u (x, т) - отклонување на низата во точка со координата xво одреден момент од времето т, параметар аги одредува својствата на низата.

Диференцијална равенка е равенка која вклучува функција и еден или повеќе нејзини деривати. Во повеќето практични проблеми, функциите претставуваат физички големини, дериватите одговараат на стапките на промена на овие величини, а равенката ја одредува врската помеѓу нив.

Оваа статија ги разгледува методите за решавање на одредени видови обични диференцијални равенки, чии решенија може да се напишат во форма елементарни функции, односно полиномни, експоненцијални, логаритамски и тригонометриски, како и нивните инверзни функции. Многу од овие равенки се појавуваат во реалниот живот, иако повеќето други диференцијални равенки не можат да се решат со овие методи, а за нив одговорот е напишан во форма на специјални функции или серии на моќност, или се наоѓа со нумерички методи.

За да ја разберете оваа статија, мора да бидете умешни во диференцијални и интегрални пресметки, како и да имате одредено разбирање за парцијалните деривати. Исто така, се препорачува да се знаат основите на линеарната алгебра како што се применува на диференцијални равенки, особено на диференцијални равенки од втор ред, иако знаењето за диференцијалното и интегралното сметање е доволно за нивно решавање.

Прелиминарни информации

• Диференцијалните равенки имаат опширна класификација. Оваа статија зборува за обични диференцијални равенки, односно за равенките кои вклучуваат функција од една променлива и нејзините изводи. Обичните диференцијални равенки се многу полесни за разбирање и решавање отколку парцијални диференцијални равенки, кои вклучуваат функции на неколку променливи. Оваа статија не зборува за парцијални диференцијални равенки, бидејќи методите за решавање на овие равенки обично се одредуваат според нивната посебна форма.
  • Подолу се дадени неколку примери на обични диференцијални равенки.
    • d y d x = k y (\приказ стил (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\приказ стил (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d))t^(2)))+kx=0)
  • Подолу се дадени неколку примери на парцијални диференцијални равенки.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\приказ (\frac (\делумно ^(2)f)(\делумно x^(2))+(\frac (\делумно ^(2 )ѓ)(\делумно y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\дисплеј стил (\frac (\делумен u)(\делумен t))-\алфа (\frac (\делумен ^(2)u)(\делумен x ^ (2))) = 0)
• Со целна диференцијална равенка се одредува според редот на највисокиот извод вклучен во оваа равенка. Првата од горенаведените обични диференцијални равенки е од прв ред, додека втората е равенка од втор ред. Степенна диференцијална равенка е највисоката моќност на која е подигнат еден од поимите од оваа равенка.
  • На пример, равенката подолу е од трет ред и втор степен.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d))^(3)y)((\mathrm (d))x^(3))\ десно)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d))x))=0)
• Диференцијалната равенка е линеарна диференцијална равенкаво случај функцијата и сите нејзини изводи да се во прв степен. Инаку равенката е нелинеарна диференцијална равенка. Линеарните диференцијални равенки се извонредни по тоа што нивните решенија може да се користат за формирање на линеарни комбинации кои исто така ќе бидат решенија за дадената равенка.
  • Подолу се дадени неколку примери на линеарни диференцијални равенки.
    • d y d x + p (x) y = q (x) (\стил на приказ (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x) )
    • x 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d))^(2)y)((\mathrm (d))x^(2) )) + секира (\ фрак ((\ матема (г) ) y) ((\ матема (г) )х)) + со=0)
  • Подолу се дадени неколку примери на нелинеарни диференцијални равенки. Првата равенка е нелинеарна поради синусниот член.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)\theta)((\mathrm (d))t^(2)))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d))t^(2)))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\ right)^(2)+tx^(2)=0)
• Заедничка одлукаобичната диференцијална равенка не е единствена, таа вклучува произволни константи на интеграција. Во повеќето случаи, бројот на произволни константи е еднаков на редот на равенката. Во пракса, вредностите на овие константи се одредуваат врз основа на даденото почетни услови, односно според вредностите на функцијата и нејзините деривати на x = 0. (\displaystyle x=0.)Бројот на почетни услови кои се неопходни за да се најдат приватно решениедиференцијална равенка, во повеќето случаи е исто така еднаква на редот на дадената равенка.
  • На пример, оваа статија ќе го разгледа решавањето на равенката подолу. Ова е линеарна диференцијална равенка од втор ред. Неговото општо решение содржи две произволни константи. За да се најдат овие константи потребно е да се знаат почетните услови на x (0) (\displaystyle x(0))И x ′ (0) . (\displaystyle x"(0).)Обично почетните услови се наведени во точката x = 0, (\displaystyle x=0,), иако тоа не е потребно. Оваа статија, исто така, ќе разговара за тоа како да се најдат одредени решенија за дадени почетни услови.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d))^(2)x)((\mathrm (d))t^(2)))+k^(2 )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\стил на прикажување x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Чекори

Дел 1

Равенки од прв ред

Кога ја користите оваа услуга, некои информации може да се пренесат на YouTube.

Оваа страница била прегледана 69.354 пати.

Дали овој напис беше корисен?

Ние продолжуваме да ги разгледуваме парцијалните диференцијални равенки од прв ред во општиот случај. Како и со линеарните равенки дискутирани погоре, прво ќе претпоставиме дека има само две независни променливи. Парцијалната диференцијална равенка од прв ред за функција од две независни променливи е

Прво да го разјасниме геометриското значење на напишаната равенка. Во која било фиксна точка, равенката (59) ја претставува врската помеѓу, т.е., односот помеѓу косинусите на насоката на нормалата кон површината. Нормалите што ја задоволуваат оваа врска формираат одредена конусна површина со теме. Рамнините што минуваат низ точката и нормално на генераторите на овој конус претставуваат можни позиции

тангентна рамнина на фиксна точка на потребните интегрални површини. Оваа фамилија на рамнини, како и семејството на нормални што го формираат конусот, ќе зависат од еден параметар. Обвивката на оваа фамилија на рамнини ќе претставува нов конус, кој ќе го наречеме конус Т. Така, равенката (59) е еквивалентна на одредување на конусот Т во секоја точка од просторот, а саканата интегрална површина на равенката (59) мора имаат својство дека во секоја нејзина точка, тангентата рамнина мора да го допре конусот Т што одговара на оваа точка.

Да ги составиме равенките на генераторите на конусот T во дадена точка Нека и q се функции од некој параметар a, што ја задоволува равенката (59) во фиксна точка. Конусот T е обвивка на фамилија рамнини:

Диференцирајќи во однос на параметарот a, ја добиваме дополнителната равенка

Диференцирачка релација (59) во однос на a, добиваме

Во продолжение, ќе претпоставиме дека за разгледуваните вредности на променливите тие не исчезнуваат истовремено, односно единствен исклучок ќе биде случајот со посебни решенија на равенката (59). Претпоставувајќи дека - и не може и двете да бидат еднакви на нула во исто време, добиваме од хомогени равенки (61) и (62)

и конечно, равенката (60) конечно ни ја дава равенката на генераторите на конусот:

За да добиеме различни генератори на конусот T, мора да замениме различни вредности за q во именители, задоволувајќи ја врската (59) во фиксна точка.

Во случајот со линеарната равенка (2), во секоја точка имавме по една специфична насока, а тангентата рамнина на бараните интегрални површини треба да ја содржи оваа насока. конус, а тангентата рамнина на саканите интегрални површини треба да го допре овој конус. Затоа, не можеме да конструираме карактеристични криви директно за нелинеарната равенка (59) на ист начин како што направивме за линеарната равенка (2), со одредено поле на насоки. Во овој случај, наместо поле со насоки, имаме поле од конуси T. Но сега ќе покажеме дека, имајќи ја интегралната површина на равенката (59), можеме да ја покриеме со линии кои се сосема слични на карактеристичните линии на линеарната равенка (2). Навистина, во секоја точка од интегралната површина, тангентата рамнина мора да го допре конусот Т што одговара на оваа точка, и затоа мора да содржи една од генератриките на овој конус, по која го допира конусот. на различни точки на површината создаваме на интегралната површина одредено поле на насоки и, со тоа, интегрирајќи ја диференцијалната равенка од прв ред што одговара на ова поле на насоки, ја покриваме нашата површина со семејство криви Т, во зависност од еден параметар. Косинусите на насоката на споменатото поле за насока мора да бидат пропорционални со именителот на равенката (64), каде што и q се одредуваат директно од равенката на интегралната површина што се разгледува. Така, по споменатите линии што покриваат дадена интегрална површина, релацијата мора да биде задоволена

За да се најдат споменатите линии на дадена интегрална површина, доволно е да се интегрира равенката од прв ред

Притоа, именители на напишаните дропки ги содржат само променливите x и y, бидејќи функцијата a и нејзините парцијални изводи и q на дадена површина се познати функции на x и y. Интегрирајќи ја равенката (67) и користејќи ја равенката на површината, ги добиваме линиите споменати погоре

Десните страни на равенките (66) имаат одредено значење само за одреден избор на интегралната површина и . Познавањето на интегралната површина ни дава и q во функција на . Сега ќе го дополниме системот на равенки (66) со уште две равенки кои содржат диференцијали така што ќе добиеме систем на диференцијални равенки што не зависи од изборот на интегралната површина на равенката (59). Да ги означиме со и t вторите изводи на функцијата и:

и да ги означиме изводите од левата страна на равенката (59) во однос на:

Со целосно диференцирање на левата страна на равенката (55) во однос на x и y, добиваме

Од друга страна, очигледно имаме

Од напишаните равенки директно произлегува дека

и, според тоа, можеме да ги додадеме последните две равенки на равенките (66), и на тој начин да го добиеме следниов систем од пет диференцијални равенки со пет функции на помошниот параметар