Математичко очекување m. Формула за очекување

Задача 1.Веројатноста за ртење на семето од пченица е 0,9. Која е веројатноста од четири посеани семиња да никнат барем три?

Решение. Нека настанот А– од 4 семки ќе никнат најмалку 3 семиња; настан ВО– од 4 семки ќе никнат 3 семиња; настан СО– од 4 семки ќе никнат 4 семки. По теоремата за собирање на веројатности

Веројатности
И
одредуваме со формулата на Бернули, применета во следниот случај. Нека се одржи серијата Пнезависни тестови, при секој од нив веројатноста за настанување на настанот е константна и еднаква на Р, а веројатноста овој настан да не се случи е еднаква на
. Тогаш веројатноста дека настанот АВ Птестовите ќе се појават точно пати, пресметано со формулата на Бернули

,

Каде
– број на комбинации на Пелементи од . Потоа

Потребна веројатност

Задача 2.Веројатноста за ртење на семето од пченица е 0,9. Најдете ја веројатноста дека од 400 посеани семиња ќе никнат 350 семиња.

Решение. Пресметајте ја потребната веројатност
користењето на формулата на Бернули е тешко поради гломазноста на пресметките. Затоа, применуваме приближна формула што ја изразува локалната теорема на Лаплас:

,

Каде
И
.

Од проблематичните услови. Потоа

.

Од табела 1 од прилозите наоѓаме. Потребната веројатност е еднаква на

Задача 3.Семето од пченица содржи 0,02% плевел. Колкава е веројатноста ако по случаен избор се одберат 10.000 семиња, да се најдат 6 семиња од плевелот?

Решение. Примена на Лапласовата локална теорема поради мала веројатност
доведува до значително отстапување на веројатноста од точната вредност
. Затоа, при мали вредности Рда се пресмета
примени ја асимптотичната Поасонова формула

, Каде.

Оваа формула се користи кога
, а помалку Ри повеќе П, толку е попрецизен резултатот.

Според условите на проблемот
;
. Потоа

Задача 4.Процентот на ртење на семето од пченица е 90%. Најдете ја веројатноста дека од 500 посеани семиња ќе никнат од 400 до 440 семиња.

Решение. Ако веројатноста да се случи некој настан Аво секое Птестовите се константни и еднакви Р, тогаш веројатноста
дека настанот Аво такви тестови нема да има помалку еднаш и не повеќе пати определено со интегралната теорема на Лаплас со следнава формула:

, Каде

,
.

Функција
наречена Лапласова функција. Прилозите (Табела 2) ги даваат вредностите на оваа функција за
. На
функција
. За негативни вредности Xпоради необичноста на Лапласовата функција
. Користејќи ја функцијата Лаплас, имаме:

Според условите на задачата. Користејќи ги горенаведените формули наоѓаме
И :

Задача 5.Даден е законот за распределба на дискретна случајна променлива X:

2. Најдете: 1) математичко очекување; 2) дисперзија; 3) стандардна девијација.

Решение. 1) Ако законот за распределба на дискретна случајна променлива е даден со табелата

2. Кога првата линија ги содржи вредностите на случајната променлива x, а втората линија ги содржи веројатностите на овие вредности, тогаш математичкото очекување се пресметува со формулата

2) Варијанса
дискретна случајна променлива Xсе нарекува математичко очекување на квадратното отстапување на случајна променлива од нејзиното математичко очекување, т.е.

Оваа вредност ја карактеризира просечната очекувана вредност на квадратното отстапување Xод
. Од последната формула што ја имаме

Варијанса
може да се најде на друг начин, врз основа на неговото следно својство: дисперзија
еднаква на разликата помеѓу математичкото очекување на квадратот на случајната променлива Xи квадратот на неговото математичко очекување
, тоа е

Да се ​​пресмета
да го составиме следниот закон за распределба на количината
:

3) За да се карактеризира расејувањето на можните вредности на случајна променлива околу нејзината просечна вредност, се воведува стандардна девијација
случајна променлива X, еднаков на квадратниот корен на варијансата
, тоа е

.

Од оваа формула имаме:

Задача 6.Континуирана случајна променлива Xдадена со кумулативната дистрибутивна функција

Најдете: 1) функција на диференцијална распределба
; 2) математичко очекување
; 3) варијанса
.

Решение. 1) Функција на диференцијална дистрибуција
континуирана случајна променлива Xсе нарекува извод на функцијата кумулативна дистрибуција
, тоа е

.

Бараната диференцијална функција ја има следната форма:

2) Ако континуирана случајна променлива Xдадена од функцијата
, тогаш неговото математичко очекување се одредува со формулата

Од функцијата
на
и во
е еднаква на нула, тогаш од последната формула што ја имаме

.

3) Варијанса
ќе утврдиме по формулата

Задача 7.Должината на делот е нормално распределена случајна променлива со математичко очекување од 40 mm и стандардно отстапување од 3 mm. Најдете: 1) веројатноста дека должината на произволно земениот дел ќе биде поголема од 34 mm и помала од 43 mm; 2) веројатноста дека должината на делот ќе отстапи од неговото математичко очекување за не повеќе од 1,5 mm.

Решение. 1) Нека X– должина на делот. Ако случајната променлива Xдадена со диференцијална функција
, тогаш веројатноста дека Xќе земе вредности кои припаѓаат на сегментот
, се одредува со формулата

.

Веројатност за строги нееднаквости
се одредува со истата формула. Ако случајната променлива Xсе дистрибуира според нормалниот закон, тогаш

, (1)

Каде
- Лапласова функција,
.

Во проблемот. Потоа

2) Според условите на проблемот, каде
. Заменувајќи се во (1), имаме

. (2)

Од формулата (2) имаме.

Математичкото очекување на случајната променлива X е средната вредност.

1. M(C) = C

2. M(CX) = CM(X), Каде В= конст

3. M(X ± Y) = M(X) ± M(Y)

4. Ако случајни променливи XИ Yтогаш се независни M(XY) = M(X) M(Y)

Дисперзија

Варијансата на случајната променлива X се нарекува

D(X) = S(x – M(X)) 2 p = M(X 2 ) – М 2 (X).

Дисперзијата е мерка за отстапување на вредностите на случајна променлива од нејзината средна вредност.

1. D(C) = 0

2. D(X + C) = D(X)

3. D(CX) = C 2 D(X), Каде В= конст

4. За независни случајни променливи

D(X ± Y) = D(X) + D(Y)

5. D(X ± Y) = D(X) + D(Y) ± 2Cov(x, y)

Квадратниот корен на варијансата на случајната променлива X се нарекува стандардна девијација .

@Задача 3: Нека случајната променлива X зема само две вредности (0 или 1) со веројатности q, стр, Каде p + q = 1. Најдете ги математичкото очекување и варијансата.

Решение:

M(X) = 1 p + 0 q = p; D(X) = (1 – p) 2 p + (0 - p) 2 q = pq.

@Задача 4: Очекување и варијанса на случајна променлива Xсе еднакви на 8. Најдете ги математичкото очекување и варијансата на случајните променливи: а) X – 4; б) 3X - 4.

Решение: M(X – 4) = M(X) – 4 = 8 – 4 = 4; D(X – 4) = D(X) = 8; M(3X – 4) = 3M(X) – 4 = 20; D(3X – 4) = 9D(X) = 72.

@Задача 5: Севкупноста на семејствата ја има следната распределба по број на деца:

x i	x 1	x 2
стр i	0,1	стр2	0,4	0,35

Дефинирај x 1, x 2И стр2, ако се знае дека M(X) = 2; D(X) = 0,9.

Решение: Веројатноста p 2 е еднаква на p 2 = 1 – 0,1 – 0,4 – 0,35 = 0,15. Непознатите x се наоѓаат од равенките: M(X) = x 1 ·0.1 + x 2 ·0.15 + 2·0.4 + 3·0.35 = 2; D(X) = ·0,1 + ·0,15 + 4·0,4 + 9·0,35 – 4 = 0,9. x 1 = 0; x 2 = 1.

Популација и примерок. Проценки на параметрите

Селективно набљудување

Статистичката опсервација може да се организира континуирано или неконтинуирано. Континуираното набљудување вклучува испитување на сите единици на популацијата што се проучува (општа популација). Популација ова е збир на физички или правни лица кои истражувачот ги проучува според својата задача. Ова често не е економски исплатливо, а понекогаш и невозможно. Во овој поглед, се проучува само дел од општата популација - примерок популација .

Резултатите добиени од популацијата на примерокот може да се прошират на општата популација доколку се следат следниве принципи:

1. Популацијата на примерокот мора да се одреди случајно.

2. Бројот на единици во популацијата на примерокот мора да биде доволен.

3. Мора да се обезбеди репрезентативност ( репрезентативност) на примерокот. Репрезентативен примерок е помал, но точен модел на популацијата што треба да ја одрази.

Типови на примероци

Следниве типови на примероци се користат во пракса:

а) строго случаен, б) механички, в) типичен, г) сериски, д) комбиниран.

Правилно случајно земање примероци

На вистински случаен примерок изборот на единици во примерокот од популацијата се врши по случаен избор, на пример, со ждрепка или со користење на генератор на случаен број.

Примероците може да се повторуваат или да не се повторуваат. При повторното земање мостри, единицата што е земена мостра се враќа и задржува еднакви можности повторно да биде земена мостра. Во неповторливото земање примероци, единицата на населението што е вклучена во примерокот не учествува во примерокот во иднина.

Грешките својствени за набљудувањето на примерокот, кои произлегуваат поради фактот што популацијата на примерокот не ја репродуцира целосно општата популација, се нарекуваат стандардни грешки . Тие ја претставуваат средната квадратна разлика помеѓу вредностите на индикаторите добиени од примерокот и соодветните вредности на индикаторите од општата популација.

Формулите за пресметка за стандардната грешка за случајно повторено земање примероци се како што следува: , и за случајно неповторливо земање примероци како што следува: , каде што S 2 е варијансата на популацијата на примерокот, n/N -примерок удел, n, Н- бројот на единици во примерокот и општата популација. На n = Nстандардна грешка m = 0.

Механичко земање примероци

На механичко земање мостри Популацијата е поделена на еднакви интервали и од секој интервал по случаен избор се избира по една единица.

На пример, со стапка на земање примероци од 2%, секоја 50-та единица се избира од списокот на население.

Стандардна грешка при механичко земање примероци е дефинирана како грешка на навистина случајно неповторливо земање примероци.

Типичен примерок

На типичен примерок општата популација е поделена на хомогени типични групи, потоа единиците се избираат по случаен избор од секоја група.

Типичен примерок се користи во случај на хетерогена популација. Типичен примерок дава попрецизни резултати бидејќи обезбедува репрезентативност.

На пример, наставниците како општа популација се поделени во групи според следните критериуми: пол, искуство, квалификации, образование, урбани и рурални училишта итн.

Стандардните грешки на типичен примерок се дефинираат како грешки на вистински случаен примерок, со единствената разлика што С 2се заменува со просекот на варијансите во рамките на групата.

Сериско земање примероци

На сериско земање примероци општата популација е поделена во посебни групи (серија), потоа случајно избраните групи се подложени на континуирано набљудување.

Стандардните грешки на серискиот примерок се дефинирани како грешки на вистински случаен примерок, со единствената разлика што С 2се заменува со просекот на варијансите помеѓу групите.

Комбиниран примерок

Комбиниран примероке комбинација од два или повеќе типови примероци.

Точка проценка

Крајната цел на набљудувањето на примерокот е да се пронајдат карактеристиките на популацијата. Бидејќи тоа не може да се направи директно, карактеристиките на популацијата на примерокот се прошируваат на општата популација.

Се докажува фундаменталната можност за определување на аритметичката средина на популацијата од податоците на просечниот примерок Теорема на Чебишев. Со неограничено зголемување nверојатноста дека разликата помеѓу средната вредност на примерокот и општата средна вредност ќе биде произволно мала се стреми кон 1.

Тоа значи дека карактеристиките на населението со точност од . Оваа проценка се нарекува точка .

Проценка на интервал

Основата на проценката на интервалот е централна гранична теорема.

Проценка на интервални овозможува да одговориме на прашањето: во кој интервал и со која веројатност се наоѓа непознатата, посакувана вредност на параметарот популација?

Обично зборуваме за веројатноста за доверба стр = 1 – а, со кој ќе биде во интервалот – Д< < + D, где D = т кр m > 0 маргинална грешка примероци, а - ниво на значајност (веројатност дека нееднаквоста ќе биде лажна), т кр- критична вредност, која зависи од вредностите nи а. За мал примерок n< 30 т крсе одредува со помош на критичната вредност на Студентската т-дистрибуција за двостран тест со n– 1 степен на слобода со ниво на значајност a ( т кр(n - 1, а) се наоѓа од табелата „Критични вредности на студентската t-дистрибуција“, Додаток 2). За n > 30, т кре квантил од законот за нормална распределба ( т крсе наоѓа од табелата со вредности на Лапласовата функција F(t) = (1 – а)/2 како аргумент). На p = 0,954 критичната вредност т кр= 2 на p = 0,997 критична вредност т кр= 3. Тоа значи дека маргиналната грешка е обично 2-3 пати поголема од стандардната грешка.

Така, суштината на методот на земање примероци е дека врз основа на статистичките податоци на одреден мал дел од популацијата, можно е да се најде интервал во кој, со веројатна веројатност стрсе наоѓа посакуваната карактеристика на општата популација (просечен број работници, просечна оценка, просечен принос, стандардна девијација итн.).

@Задача 1.За да се одреди брзината на порамнувањето со доверителите на корпоративните претпријатија, комерцијална банка спроведе случаен примерок од 100 документи за плаќање, за кои просечното време за пренос и примање пари се покажа дека е 22 дена (= 22) со стандардна девијација од 6 дена (S = 6). Со веројатност стр= 0,954 ја одредува максималната грешка на просекот на примерокот и интервалот на доверба на просечното времетраење на порамнувањата на претпријатијата од оваа корпорација.

Решение: Маргинална грешка на просекот на примерокот според(1)еднаква на D= 2· 0,6 = 1,2, а интервалот на доверба е дефиниран како (22 – 1,2; 22 + 1,2), т.е. (20,8; 23,2).

§6.5 Корелација и регресија

Математичкото очекување (просечна вредност) на случајна променлива X дадена на дискретен простор на веројатност е бројот m =M[X]=∑x i p i ако серијата апсолутно конвергира.

Цел на услугата. Користење на онлајн услугата се пресметуваат математичко очекување, варијанса и стандардна девијација(види пример). Дополнително, се црта график на функцијата за распределба F(X).

Својства на математичкото очекување на случајна променлива

1. Математичкото очекување на константна вредност е еднакво на себе: M[C]=C, C – константа;
2. M=C M[X]
3. Математичкото очекување од збирот на случајни променливи е еднакво на збирот на нивните математички очекувања: M=M[X]+M[Y]
4. Математичкото очекување од производот на независни случајни променливи е еднакво на производот од нивните математички очекувања: M=M[X] M[Y] , ако X и Y се независни.

Карактеристики на дисперзија

1. Варијансата на константна вредност е нула: D(c)=0.
2. Константниот фактор може да се извади од под знакот на дисперзија со негово квадратирање: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Ако случајните променливи X и Y се независни, тогаш варијансата на збирот е еднаква на збирот на варијансите: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Ако случајните променливи X и Y се зависни: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Следната пресметковна формула е валидна за дисперзија:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Пример. Познати се математичките очекувања и варијанси на две независни случајни променливи X и Y: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Најдете ги математичкото очекување и варијансата на случајната променлива Z=9X-8Y+7.
Решение. Врз основа на својствата на математичкото очекување: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Врз основа на својствата на дисперзија: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Алгоритам за пресметување на математичко очекување

Својства на дискретни случајни променливи: сите нивни вредности може да се пренумерираат со природни броеви; Доделете ја секоја вредност не-нулта веројатност.

1. Ги множиме паровите еден по еден: x i со p i .
2. Додадете го производот на секој пар x i p i.
   На пример, за n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Дистрибутивна функција на дискретна случајна променливапостепено, нагло се зголемува во оние точки чии веројатности се позитивни.

Пример бр. 1.

x i	1	3	4	7	9
стр i	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

Математичкото очекување го наоѓаме користејќи ја формулата m = ∑x i p i .
Очекување M[X].
M[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
Варијансата ја наоѓаме користејќи ја формулата d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Варијанса D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Стандардна девијација σ(x).
σ = sqrt (D[X]) = sqrt (7,69) = 2,78

Пример бр. 2. Дискретна случајна променлива ја има следната дистрибутивна серија:

X	-10	-5	0	5	10
Р	А	0,32	2а	0,41	0,03

Најдете ја вредноста на a, математичкото очекување и стандардното отстапување на оваа случајна променлива.

Решение. Вредноста на a се наоѓа од релацијата: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 или 0,24 = 3 a , од каде a = 0,08

Пример бр. 3. Одреди го законот за распределба на дискретна случајна променлива ако е позната нејзината варијанса и x 1 x 1 =6; x 2 =9; x 3 =x; x 4 =15
стр 1 =0,3; стр 2 =0,3; стр 3 =0,1; стр 4 =0,3
d(x)=12,96

Решение.
Овде треба да креирате формула за наоѓање на варијансата d(x):
d(x) = x 1 2 p 1 + x 2 2 p 2 + x 3 2 p 3 + x 4 2 p 4 -m(x) 2
каде што очекувањето m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
За нашите податоци
m(x)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
или -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Соодветно на тоа, треба да ги најдеме корените на равенката, а ќе има два од нив.
x 3 =8, x 3 =12
Изберете го оној што го задоволува условот x 1 x 3 =12

Закон за распределба на дискретна случајна променлива
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
стр 1 =0,3; стр 2 =0,3; стр 3 =0,1; стр 4 =0,3

Теоријата на веројатност е посебна гранка од математиката која ја изучуваат само студенти на високообразовни институции. Дали ви се допаѓаат пресметки и формули? Зарем не ве плашат изгледите да се запознаете со нормалната распределба, ентропијата на ансамблот, математичкото очекување и дисперзијата на дискретна случајна променлива? Тогаш оваа тема ќе ви биде многу интересна. Да се ​​запознаеме со неколку од најважните основни концепти на оваа гранка на науката.

Да се ​​потсетиме на основите

Дури и ако се сеќавате на наједноставните концепти на теоријата на веројатност, не ги занемарувајте првите ставови од статијата. Поентата е дека без јасно разбирање на основите, нема да можете да работите со формулите дискутирани подолу.

Значи, се случува некој случаен настан, некој експеримент. Како резултат на активностите што ги преземаме, можеме да добиеме неколку исходи - некои од нив се случуваат почесто, други поретко. Веројатноста за настан е односот на бројот на реално добиените исходи од еден тип до вкупниот број на можни. Само знаејќи ја класичната дефиниција на овој концепт, можете да започнете да ги проучувате математичкото очекување и дисперзијата на континуираните случајни променливи.

Просечна

Уште во училиште, за време на часовите по математика, почнавте да работите со аритметичката средина. Овој концепт е широко користен во теоријата на веројатност и затоа не може да се игнорира. Главното за нас во моментов е што ќе го сретнеме во формулите за математичко очекување и дисперзија на случајна променлива.

Имаме низа од броеви и сакаме да ја најдеме аритметичката средина. Сè што се бара од нас е да сумираме се што е достапно и да се подели со бројот на елементи во низата. Да имаме броеви од 1 до 9. Збирот на елементите ќе биде еднаков на 45, а оваа вредност ќе ја поделиме со 9. Одговор: - 5.

Дисперзија

Во научна смисла, дисперзијата е просечниот квадрат на отстапувањата на добиените вредности на карактеристиката од аритметичката средина. Се означува со една голема латинична буква D. Што е потребно за да се пресмета? За секој елемент од низата ја пресметуваме разликата помеѓу постоечкиот број и аритметичката средина и ја квадратуваме. Ќе има точно онолку вредности колку што може да има исходи за настанот што го разгледуваме. Следно, сумираме сè што е примено и делиме со бројот на елементи во низата. Ако имаме пет можни исходи, тогаш подели со пет.

Дисперзијата има и својства кои треба да се запомнат за да се користат при решавање на проблеми. На пример, кога се зголемува случајната променлива за X пати, варијансата се зголемува за X квадрат пати (т.е. X*X). Никогаш не е помал од нула и не зависи од поместување на вредностите нагоре или надолу во еднакви количини. Дополнително, за независни испитувања, варијансата на збирот е еднаква на збирот на варијансите.

Сега дефинитивно треба да разгледаме примери за варијанса на дискретна случајна променлива и математичко очекување.

Да речеме дека извршивме 21 експеримент и добивме 7 различни резултати. Ние го набљудувавме секој од нив 1, 2, 2, 3, 4, 4 и 5 пати, соодветно. На што ќе биде еднаква варијансата?

Прво, да ја пресметаме аритметичката средина: збирот на елементите, се разбира, е 21. Поделете го со 7, добивајќи 3. Сега од секој број во првобитната низа одземете 3, секоја вредност на квадрат и додадете ги резултатите заедно. Резултатот е 12. Сега сè што треба да направиме е да го поделиме бројот со бројот на елементи и, се чини, тоа е сè. Но, има финта! Ајде да го дискутираме.

Зависност од бројот на експерименти

Излегува дека кога се пресметува варијансата, именителот може да содржи еден од двата броја: или N или N-1. Овде N е бројот на извршени експерименти или бројот на елементи во низата (што во суштина е иста работа). Од што зависи ова?

Ако бројот на тестови се мери во стотици, тогаш во именителот мора да ставиме N. Ако во единици, тогаш N-1. Научниците решија да ја исцртаат границата сосема симболично: денес таа минува низ бројот 30. Ако направивме помалку од 30 експерименти, тогаш количината ќе ја поделиме со N-1, а ако повеќе, тогаш со N.

Задача

Да се ​​вратиме на нашиот пример за решавање на проблемот на варијанса и математичко очекување. Добивме среден број 12, кој требаше да се подели со N или N-1. Бидејќи спроведовме 21 експеримент, што е помалку од 30, ќе ја избереме втората опција. Значи, одговорот е: варијансата е 12/2 = 2.

Очекувана вредност

Ајде да преминеме на вториот концепт, кој мора да го разгледаме во оваа статија. Математичкото очекување е резултат на собирање на сите можни исходи помножени со соодветните веројатности. Важно е да се разбере дека добиената вредност, како и резултатот од пресметувањето на варијансата, се добиваат само еднаш за целиот проблем, без разлика колку исходи се разгледуваат во него.

Формулата за математичко очекување е прилично едноставна: го земаме исходот, го множиме со неговата веројатност, го додаваме истиот за вториот, третиот резултат итн. Сè што е поврзано со овој концепт не е тешко да се пресмета. На пример, збирот на очекуваните вредности е еднаков на очекуваната вредност на збирот. Истото важи и за работата. Не секоја количина во теоријата на веројатност ви дозволува да извршите такви едноставни операции. Да го земеме проблемот и да го пресметаме значењето на два концепта што ги проучувавме одеднаш. Освен тоа, ни беше одвлечено вниманието од теоријата - време е за вежбање.

Уште еден пример

Извршивме 50 испитувања и добивме 10 типа на исходи - бројки од 0 до 9 - кои се појавуваат во различни проценти. Тоа се, соодветно: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Потсетете се дека за да добиете веројатности, треба да ги поделите процентуалните вредности со 100. Така, добиваме 0,02; 0,1, итн. Да претставиме пример за решавање на проблемот за варијансата на случајна променлива и математичкото очекување.

Ја пресметуваме аритметичката средина користејќи ја формулата што ја паметиме од основно училиште: 50/10 = 5.

Сега да ги конвертираме веројатностите во бројот на исходи „на парчиња“ за полесно да се брои. Добиваме 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 и 9. Од секоја добиена вредност ја одземаме аритметичката средина, по што го квадратуваме секој од добиените резултати. Погледнете како да го направите ова користејќи го првиот елемент како пример: 1 - 5 = (-4). Следно: (-4) * (-4) = 16. За други вредности, направете ги овие операции сами. Ако сте направиле сè правилно, тогаш откако ќе ги соберете сите ќе добиете 90.

Да продолжиме да ја пресметуваме варијансата и очекуваната вредност со делење 90 со N. Зошто избираме N наместо N-1? Точно, бидејќи бројот на извршени експерименти надминува 30. Значи: 90/10 = 9. Ја добивме варијансата. Ако добиете друг број, не очајувајте. Најверојатно, сте направиле едноставна грешка во пресметките. Проверете го тоа што сте го напишале и веројатно се ќе си дојде на свое место.

Конечно, запомнете ја формулата за математичко очекување. Ние нема да ги дадеме сите пресметки, ќе напишеме само одговор со кој можете да проверите откако ќе ги завршите сите потребни процедури. Очекуваната вредност ќе биде 5,48. Само да се потсетиме како да ги извршуваме операциите, користејќи ги првите елементи како пример: 0*0.02 + 1*0.1... и така натаму. Како што можете да видите, ние едноставно ја множиме вредноста на исходот со неговата веројатност.

Отстапување

Друг концепт тесно поврзан со дисперзијата и математичкото очекување е стандардното отстапување. Се означува или со латинските букви sd или со грчкото мало „сигма“. Овој концепт покажува колку вредностите во просек отстапуваат од централната карактеристика. За да ја пронајдете неговата вредност, треба да го пресметате квадратниот корен на варијансата.

Ако нацртате график за нормална дистрибуција и сакате да го видите квадратното отстапување директно на него, тоа може да се направи во неколку фази. Земете половина од сликата лево или десно од режимот (средишна вредност), нацртајте нормално на хоризонталната оска, така што областите на добиените фигури се еднакви. Големината на сегментот помеѓу средината на дистрибуцијата и добиената проекција на хоризонталната оска ќе го претставува стандардното отстапување.

Софтвер

Како што може да се види од описите на формулите и презентираните примери, пресметувањето на варијансата и математичкото очекување не е наједноставната постапка од аритметичка гледна точка. За да не губите време, има смисла да се користи програмата што се користи во високообразовните институции - таа се нарекува „Р“. Има функции кои ви дозволуваат да пресметате вредности за многу концепти од статистиката и теоријата на веројатност.

На пример, одредувате вектор на вредности. Ова се прави на следниов начин: вектор<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Конечно

Дисперзијата и математичкото очекување се без кои е тешко да се пресмета нешто во иднина. Во главниот тек на предавањата на универзитетите, тие се дискутираат веќе во првите месеци од изучувањето на предметот. Токму поради неразбирањето на овие едноставни поими и неможноста да се пресметаат многу студенти веднаш почнуваат да заостануваат во програмата, а подоцна на крајот на сесијата добиваат лоши оценки, што ги лишува од стипендија.

Вежбајте најмалку една недела, половина час дневно, решавајќи задачи слични на оние претставени во оваа статија. Потоа, на кој било тест во теоријата на веројатност, ќе можете да се справите со примерите без дополнителни совети и листови за измами.

Како што е веќе познато, законот за распределба целосно карактеризира случајна променлива. Меѓутоа, честопати законот за дистрибуција е непознат и човек мора да се ограничи на помалку информации. Понекогаш е уште попрофитабилно да се користат броеви кои ја опишуваат случајната променлива вкупно; се нарекуваат такви броеви нумерички карактеристики на случајна променлива.Една од важните нумерички карактеристики е математичкото очекување.

Математичкото очекување, како што ќе биде прикажано подолу, е приближно еднакво на просечната вредност на случајната променлива. За да се решат многу проблеми, доволно е да се знае математичкото очекување. На пример, ако се знае дека математичкото очекување за бројот на постигнати поени од првиот стрелец е поголемо од оној на вториот, тогаш првиот стрелец, во просек, постигнува повеќе поени од вториот, и затоа шутира подобро. од вториот. Иако математичкото очекување дава многу помалку информации за случајна променлива отколку законот на нејзината дистрибуција, знаењето за математичкото очекување е доволно за решавање на проблеми како горенаведениот и многу други.

§ 2. Математичко очекување на дискретна случајна променлива

Математичко очекувањеДискретна случајна променлива е збирот на производите на сите нејзини можни вредности и нивните веројатности.

Нека случајната променлива X може да земе само вредности X 1 , Х 2 , ..., X П , чиишто веројатности се соодветно еднакви Р 1 , Р 2 , . . ., Р П . Потоа математичкото очекување М(X) случајна променлива X се определува со еднаквост

М(X) = X 1 Р 1 + X 2 Р 2 + … + x n стр n .

Ако дискретна случајна променлива X зема броиво збир на можни вредности, тогаш

М(X)=

Згора на тоа, математичкото очекување постои ако серијата од десната страна на еднаквоста апсолутно се спојува.

Коментар. Од дефиницијата произлегува дека математичкото очекување на дискретна случајна променлива е неслучајна (константна) величина. Ви препорачуваме да ја запомните оваа изјава, бидејќи ќе се користи многу пати подоцна. Подоцна ќе се покаже дека математичкото очекување на континуирана случајна променлива е исто така константна вредност.

Пример 1.Најдете го математичкото очекување на случајна променлива X, знаејќи го законот за неговата дистрибуција:

Решение. Потребното математичко очекување е еднакво на збирот на производите на сите можни вредности на случајната променлива и нивните веројатности:

М(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.

Пример 2.Најдете го математичкото очекување за бројот на појавувања на некој настан Аво едно судење, доколку веројатноста за настанот Аеднаква на Р.

Решение. Случајна вредност X - број на појави на настанот Аво еден тест - може да земе само две вредности: X 1 = 1 (настан Анастанале) со веројатност РИ X 2 = 0 (настан Ане се случи) со веројатност q= 1 -Р.Потребното математичко очекување

М(X)= 1* стр+ 0* q= стр

Значи, математичкото очекување на бројот на појави на настан во едно испитување е еднакво на веројатноста за овој настан.Овој резултат ќе се користи подолу.

§ 3. Веројатно значење на математичкото очекување

Нека се произведува Птестови во кои случајната променлива X прифатени Т 1 пати вредност X 1 , Т 2 пати вредност X 2 ,...,м к пати вредност x к , и Т 1 + Т 2 + …+т До = стр.Потоа збирот на сите земени вредности X, еднаква на

X 1 Т 1 + X 2 Т 2 + ... + X До Т До .

Ајде да ја најдеме аритметичката средина сите вредности прифатени со случајна променлива, за која најдената сума ја делиме со вкупниот број на тестови:

= (X 1 Т 1 + X 2 Т 2 + ... + X До Т До)/P,

= X 1 (м 1 / n) + X 2 (м 2 / n) + ... + X До (Т До /П). (*)

Забележувајќи дека ставот м 1 / n- релативна фреквенција В 1 вредности X 1 , м 2 / n - релативна фреквенција В 2 вредности X 2 итн., ја пишуваме релацијата (*) вака:

=X 1 В 1 + x 2 В 2 + .. . + X До В к . (**)

Да претпоставиме дека бројот на тестови е доста голем. Тогаш релативната фреквенција е приближно еднаква на веројатноста да се случи настанот (ова ќе се докаже во Поглавје IX, § 6):

В 1 стр 1 , В 2 стр 2 , …, В к стр к .

Заменувајќи ги релативните фреквенции со соодветните веројатности во односот (**), добиваме

x 1 стр 1 + X 2 Р 2 + … + X До Р До .

Десната страна на оваа приближна еднаквост е М(X). Значи,

М(X).

Веројатното значење на добиениот резултат е како што следува: математичкото очекување е приближно еднакво(колку е попрецизно, толку е поголем бројот на тестови) аритметичката средина на набљудуваните вредности на случајна променлива.

Забелешка 1. Лесно е да се разбере дека математичкото очекување е поголемо од најмалата и помала од најголемата можна вредност. Со други зборови, на нумеричката линија, можните вредности се наоѓаат лево и десно од математичкото очекување. Во оваа смисла, математичкото очекување ја карактеризира локацијата на распределбата и затоа често се нарекува дистрибутивен центар.

Овој термин е позајмен од механиката: ако масите Р 1 , Р 2 , ..., Р Плоцирани на точките на апсцисата x 1 , X 2 , ..., X n, и
потоа апсцисата на центарот на гравитација

x в =
.

Со оглед на тоа
= М (X) И
добиваме М(X)= x Со .

Значи, математичкото очекување е апсциса на центарот на гравитација на систем на материјални точки, чии апсциси се еднакви на можните вредности на случајната променлива, а масите се еднакви на нивните веројатности.

Забелешка 2. Потеклото на терминот „математичко очекување“ е поврзано со почетниот период на појавата на теоријата на веројатност (XVI - XVII век), кога опсегот на неговата примена беше ограничен на коцкање. Играчот беше заинтересиран за просечната вредност на очекуваната победа, или, со други зборови, математичкото очекување за победа.