Алдыңғы параграфта қарастырылған графикалық әдіске қарағанда сенімдірек.
Ауыстыру әдісі
Бұл әдісті 7-сыныпта жүйелерді шешуде қолдандық сызықтық теңдеулер. 7-сыныпта жасалған алгоритм x және y екі айнымалысы бар кез келген екі теңдеулер жүйесін (міндетті түрде сызықтық емес) шешу үшін өте қолайлы (әрине, айнымалыларды басқа әріптермен белгілеуге болады, бұл маңызды емес). Шындығында, біз бұл алгоритмді алдыңғы абзацта, екі таңбалы санның мәселесі теңдеулер жүйесі болып табылатын математикалық модельге әкелген кезде қолдандық. Біз жоғарыда аталған теңдеулер жүйесін ауыстыру әдісі арқылы шештік (§ 4-тен 1-мысалды қараңыз).
Екі айнымалы x, y екі теңдеулер жүйесін шешуде алмастыру әдісін қолдану алгоритмі.
1. Жүйенің бір теңдеуінен у-ны х арқылы өрнектеңіз.
2. Жүйенің басқа теңдеуіне у орнына алынған өрнекті қойыңыз.
3. Алынған х үшін теңдеуді шешіңіз.
4. Бірінші қадамда алынған у-дан х-ке дейінгі өрнекке х орнына үшінші қадамда табылған теңдеу түбірлерінің әрқайсысын кезекпен ауыстырыңыз.
5. Жауапты сәйкесінше үшінші және төртінші қадамдарда табылған мәндер (x; y) жұптары түрінде жазыңыз.
4) х = 5 - 3 формуласына у-ның табылған мәндерінің әрқайсысын бір-бірден ауыстырыңыз. Егер онда 
5) (2; 1) жұптары және берілген теңдеулер жүйесінің шешімдері.
Жауабы: (2; 1);
Алгебралық қосу әдісі
Бұл әдіс алмастыру әдісі сияқты сізге 7-сынып алгебра курсынан таныс, ол жерде сызықтық теңдеулер жүйесін шешуде қолданылған. Келесі мысал арқылы әдістің мәнін еске түсірейік.
2-мысал.Теңдеулер жүйесін шешу
Жүйенің бірінші теңдеуінің барлық мүшелерін 3-ке көбейтіп, екінші теңдеуді өзгеріссіз қалдырайық: 
Жүйенің екінші теңдеуін оның бірінші теңдеуінен алып тастаңыз:
Бастапқы жүйенің екі теңдеуін алгебралық жолмен қосу нәтижесінде берілген жүйенің бірінші және екінші теңдеулеріне қарағанда қарапайым теңдеу алынды. Осы қарапайым теңдеу арқылы біз берілген жүйенің кез келген теңдеуін, мысалы, екіншісін ауыстыруға құқылымыз. Сонда берілген теңдеулер жүйесі қарапайым жүйемен ауыстырылады:
Бұл жүйені ауыстыру әдісі арқылы шешуге болады. Екінші теңдеуден табамыз.Жүйенің бірінші теңдеуіне y орнына осы өрнекті қойып, мынаны аламыз.
Табылған х мәндерін формулаға ауыстыру қалады
Егер x = 2 болса, онда
Осылайша, біз жүйенің екі шешімін таптық: 
Жаңа айнымалыларды енгізу әдісі
Сіз 8-сынып алгебра курсында бір айнымалысы бар рационал теңдеулерді шешуде жаңа айнымалыны енгізу әдісімен таныстыңыз. Теңдеулер жүйесін шешудің бұл әдісінің мәні бір, бірақ техникалық тұрғыдан алғанда біз келесі мысалдарда талқылайтын кейбір ерекшеліктер бар.
3-мысал.Теңдеулер жүйесін шешу
Жаңа айнымалыны енгізейік.Одан кейін жүйенің бірінші теңдеуін көбірек түрге қайта жазуға болады. қарапайым түрде: t айнымалысы үшін мына теңдеуді шешейік:
Бұл мәндердің екеуі де шартты қанағаттандырады, сондықтан тамыр болып табылады рационал теңдеу t айнымалысы бар. Бірақ бұл x = 2y табылған жерді білдіреді, немесе
Осылайша, жаңа айнымалыны енгізу әдісін қолдана отырып, біз сыртқы түрі айтарлықтай күрделі жүйенің бірінші теңдеуін екі қарапайым теңдеуге «стратификациялауға» қол жеткіздік:
x = 2 y; у - 2x.
Келесі не? Содан кейін алынған екі қарапайым теңдеудің әрқайсысын біз әлі есімізде сақтамаған х 2 - у 2 = 3 теңдеуі бар жүйеде кезекпен қарастыру керек. Басқаша айтқанда, мәселе екі теңдеулер жүйесін шешуге келеді:
Біз бірінші жүйенің, екінші жүйенің шешімдерін табуымыз керек және жауапқа барлық алынған мән жұптарын қосуымыз керек. Бірінші теңдеулер жүйесін шешейік:
Ауыстыру әдісін қолданайық, әсіресе мұнда бәрі оған дайын болғандықтан: жүйенің екінші теңдеуіне х орнына 2у өрнегін қоямыз. Біз алып жатырмыз
x = 2y болғандықтан, сәйкесінше х 1 = 2, x 2 = 2 табамыз. Осылайша, берілген жүйенің екі шешімі шығады: (2; 1) және (-2; -1). Екінші теңдеулер жүйесін шешейік:
Қайтадан ауыстыру әдісін қолданайық: жүйенің екінші теңдеуіне у орнына 2х өрнегін қойыңыз. Біз алып жатырмыз
Бұл теңдеудің түбірі жоқ, яғни теңдеулер жүйесінің шешімі жоқ. Осылайша, жауапқа тек бірінші жүйенің шешімдерін қосу керек.
Жауабы: (2; 1); (-2;-1).
Екі айнымалысы бар екі теңдеулер жүйесін шешу кезінде жаңа айнымалыларды енгізу әдісі екі нұсқада қолданылады. Бірінші нұсқа: бір жаңа айнымалы жүйенің тек бір теңдеуінде енгізіледі және пайдаланылады. 3-мысалда дәл осылай болды. Екінші нұсқа: жүйенің екі теңдеуінде бір уақытта екі жаңа айнымалы енгізіледі және пайдаланылады. Бұл 4-мысалда болады.
4-мысал.Теңдеулер жүйесін шешу
Екі жаңа айнымалыны енгізейік:
Соны ескерейік
Бұл сізге қайта жазуға мүмкіндік береді бұл жүйеәлдеқайда қарапайым түрде, бірақ салыстырмалы түрде жаңа a және b айнымалылары:
a = 1 болғандықтан, а + 6 = 2 теңдеуінен мынаны табамыз: 1 + 6 = 2; 6=1. Осылайша, a және b айнымалыларына қатысты біз бір шешім алдық:
х және у айнымалыларына оралсақ, теңдеулер жүйесін аламыз
Бұл жүйені шешу үшін алгебралық қосу әдісін қолданайық:
Содан бері 2x + y = 3 теңдеуінен мынаны табамыз:
Осылайша, x және y айнымалыларына қатысты біз бір шешім алдық:
Осы абзацты қысқаша, бірақ айтарлықтай маңызды теориялық талқылаумен аяқтайық. Сіз шешуде біраз тәжірибе жинадыңыз әртүрлі теңдеулер: сызықтық, шаршы, рационал, иррационал. Сіз теңдеуді шешудің негізгі идеясы бір теңдеуден екіншісіне біртіндеп көшу екенін білесіз, қарапайым, бірақ берілгенге тең. Алдыңғы абзацта біз екі айнымалысы бар теңдеулер үшін эквиваленттілік ұғымын енгізген болатынбыз. Бұл ұғым теңдеулер жүйелері үшін де қолданылады.
Анықтама.
Х және у айнымалылары бар екі теңдеулер жүйесі, егер олардың шешімдері бірдей болса немесе екі жүйенің де шешімі болмаса, олар эквивалент деп аталады.
Осы бөлімде қарастырған үш әдіс те (ауыстыру, алгебралық қосу және жаңа айнымалыларды енгізу) эквиваленттілік тұрғысынан мүлдем дұрыс. Басқаша айтқанда, бұл әдістерді қолдана отырып, біз бір теңдеулер жүйесін басқа, қарапайым, бірақ бастапқы жүйеге эквивалентті ауыстырамыз.
Теңдеулер жүйесін шешудің графикалық әдісі
Біз теңдеулер жүйесін ауыстыру, алгебралық қосу және жаңа айнымалыларды енгізу әдісі сияқты ортақ және сенімді тәсілдермен шешуді үйрендік. Енді өткен сабақта өткен әдісті еске түсірейік. Яғни, графикалық шешу әдісі туралы білетіндеріңізді қайталайық.
Теңдеулер жүйесін графикалық жолмен шешу әдісі – берілген жүйеге кіретін және бір жүйеде болатын нақты теңдеулердің әрқайсысы үшін график құру. координаталық жазықтық, сондай-ақ осы графиктердің нүктелерінің қиылысуларын табу қажет болған жерде. Бұл теңдеулер жүйесін шешу үшін осы нүктенің координаталары (x; y) болып табылады.
Графикалық теңдеулер жүйесіне бір жалғыз болуы тән екенін есте ұстаған жөн дұрыс шешім, не шешімдердің шексіз саны, не шешімдер мүлдем жоқ.
Енді осы шешімдердің әрқайсысын толығырақ қарастырайық. Сонымен, егер жүйе теңдеулерінің графиктері болып табылатын сызықтар қиылыса, теңдеулер жүйесінің бірегей шешімі болуы мүмкін. Егер бұл түзулер параллель болса, онда мұндай теңдеулер жүйесінің шешімі мүлдем болмайды. Егер жүйе теңдеулерінің тура графиктері сәйкес келсе, онда мұндай жүйе көптеген шешімдерді табуға мүмкіндік береді.
Ал, енді 2 белгісізі бар екі теңдеулер жүйесін графикалық әдіспен шешу алгоритмін қарастырайық:
Біріншіден, алдымен 1-ші теңдеудің графигін саламыз;
Екінші қадам екінші теңдеуге қатысты графикті құру болады;
Үшіншіден, графиктердің қиылысу нүктелерін табу керек.
Нәтижесінде біз әрбір қиылысу нүктесінің координаталарын аламыз, ол теңдеулер жүйесінің шешімі болады.
Мысал арқылы бұл әдісті толығырақ қарастырайық. Бізге шешілуі керек теңдеулер жүйесі берілген:
Теңдеулерді шешу
1. Алдымен кесте құрастырамыз берілген теңдеу: x2+y2=9.
Бірақ бұл теңдеулердің графигі бастапқыда центрі бар шеңбер болатынын және оның радиусы үшке тең болатынын атап өткен жөн.
2. Біздің келесі қадамымыз келесідей теңдеудің графигін салу болады: y = x – 3.
Бұл жағдайда түзу салып, (0;−3) және (3;0) нүктелерін табу керек.
3. Не алғанымызды көрейік. Түзу шеңберді оның екі А және В нүктесінде қиып өтетінін көреміз.
Енді біз осы нүктелердің координаталарын іздейміз. (3;0) координаталары А нүктесіне, ал (0;−3) координаталары В нүктесіне сәйкес келетінін көреміз.
Нәтижесінде біз не аламыз?
Түзу шеңберді қиып өткенде алынған (3;0) және (0;−3) сандар жүйенің екі теңдеуінің де шешімі болып табылады. Ал бұдан бұл сандар да осы теңдеулер жүйесінің шешімі болып табылатыны шығады.
Яғни, бұл шешімнің жауабы мына сандар: (3;0) және (0;−3).
Нұсқаулар
Ауыстыру әдісі Бір айнымалыны өрнектеп, оны басқа теңдеуге ауыстырыңыз. Кез келген айнымалы мәнді өз қалауыңыз бойынша көрсете аласыз. Мысалы, екінші теңдеуден у-ны өрнектеңіз:
x-y=2 => y=x-2Одан кейін барлығын бірінші теңдеуге ауыстырыңыз:
2x+(x-2)=10 “x” белгісінсіз барлығын оң жаққа жылжытыңыз және есептеңіз:
2x+x=10+2
3x=12 Содан кейін х мәнін алу үшін теңдеудің екі жағын 3-ке бөлеміз:
x=4. Сонымен, сіз «x» таптыңыз. «y. Ол үшін «y» өрнектелген теңдеудегі «x» орнына ауыстырыңыз:
y=x-2=4-2=2
y=2.
Тексеріңіз. Ол үшін алынған мәндерді теңдеулерге ауыстырыңыз:
2*4+2=10
4-2=2
Белгісіздер дұрыс табылды!
Теңдеулерді қосу немесе азайту тәсілі Кез келген айнымалыдан бірден құтылыңыз. Біздің жағдайда мұны «y» арқылы жасау оңайырақ.
Өйткені «y» -де «+» белгісі, ал екіншісінде «-» белгісі бар, онда сіз қосу әрекетін орындай аласыз, яғни. сол жақоны сол жаққа қосыңыз және оң жаққа оңды қосыңыз:
2x+y+(x-y)=10+2Түрлендіру:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4Кез келген теңдеудегі “x” орнына қойып, “y”-ді табыңыз:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=21-ші әдіс бойынша олардың дұрыс табылғанын көруге болады.
Егер нақты анықталған айнымалылар болмаса, онда теңдеулерді аздап түрлендіру қажет.
Бірінші теңдеуде бізде «2x», ал екіншісінде жай ғана «x» бар. Қосу кезінде х азайтылуы үшін екінші теңдеуді 2-ге көбейтіңіз:
x-y=2
2x-2y=4Содан кейін бірінші теңдеуден екіншісін алып тастаңыз:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Егер жақшаның алдында минус болса, ашқаннан кейін оны керісінше өзгертетінін ескеріңіз:
2x+y-2x+2y=6
3у=6
кез келген теңдеуден өрнектеу арқылы у=2х табу, яғни.
x=4
Тақырып бойынша бейнеролик
2-кеңес: Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеуді шешу жолы
теңдеу, В жалпы көрінісжазылған ax+bу+c=0 екі сызықты теңдеу деп аталады айнымалылар. Мұндай теңдеудің өзі шешімдердің шексіз санын қамтиды, сондықтан есептерде ол әрқашан бір нәрсемен - басқа теңдеумен немесе шектеу шарттарымен толықтырылады. Есепте берілген шарттарға байланысты екі бар сызықтық теңдеуді шешіңіз айнымалыларкерек әртүрлі жолдар.
Саған қажет болады
- - екі айнымалысы бар сызықтық теңдеу;
- - екінші теңдеу немесе қосымша шарттар.
Нұсқаулар
Екі сызықтық теңдеулер жүйесі берілген, оны келесідей шешіңіз. Коэффиценттері болатын теңдеулердің бірін таңдаңыз айнымалыларкішірек және айнымалылардың бірін өрнектеңіз, мысалы, x. Содан кейін y бар осы мәнді екінші теңдеуге ауыстырыңыз. Алынған теңдеуде бір ғана y айнымалысы болады, y бар барлық бөліктерді сол жаққа, ал бос бөліктерін оңға жылжытыңыз. у-ны тауып, х-ті табу үшін бастапқы теңдеулердің кез келгеніне ауыстырыңыз.
Екі теңдеу жүйесін шешудің тағы бір жолы бар. Айнымалылардың бірінің коэффициенті х сияқты екі теңдеуде де бірдей болатындай теңдеулердің бірін санға көбейтіңіз. Содан кейін теңдеулердің біреуін екіншісінен алып тастаңыз (егер оң жақ 0-ге тең болмаса, оң жақтарын дәл осылай азайтуды ұмытпаңыз). Сіз x айнымалысы жойылып, тек бір у айнымалысы қалғанын көресіз. Алынған теңдеуді шешіп, табылған у мәнін бастапқы теңдіктердің кез келгеніне ауыстырыңыз. х табыңыз.
Екі сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің үшінші жолы – графикалық. Координаталар жүйесін сызыңыз және жүйеңізде теңдеулері берілген екі түзудің графигін салыңыз. Ол үшін теңдеудегі кез келген екі х мәнін ауыстырып, сәйкес у-ны табыңыз - бұл сызыққа жататын нүктелердің координаталары болады. Координаталар осьтерімен қиылысуды табудың ең қолайлы жолы - x=0 және y=0 мәндерін жай ғана ауыстыру. Осы екі түзудің қиылысу нүктесінің координаттары тапсырмалар болады.
Егер есеп шарттарында бір ғана сызықтық теңдеу болса, онда сізге шешімді табуға болатын қосымша шарттар берілген. Осы шарттарды табу үшін мәселені мұқият оқып шығыңыз. Егер айнымалылар x және y қашықтықты, жылдамдықты, салмақты көрсетеді - x≥0 және y≥0 шегін еркін түрде орнатыңыз. Х немесе у алма санын жасыруы әбден мүмкін, т.б. – онда мәндер тек болуы мүмкін. Егер х ұлының жасы болса, оның болуы мүмкін емес екені анық әкеден үлкен, сондықтан тапсырма шарттарында мұны көрсетіңіз.
Дереккөздер:
- бір айнымалысы бар теңдеуді шешу жолы
Өздігінен теңдеуүшпен белгісізкөптеген шешімдері бар, сондықтан көбінесе ол тағы екі теңдеумен немесе шартпен толықтырылады. Бастапқы деректердің қандай екеніне байланысты шешімнің барысы көп жағдайда байланысты болады.
Саған қажет болады
- - үш белгісізі бар үш теңдеулер жүйесі.
Нұсқаулар
Егер үш жүйенің екеуінде үш белгісіздің екеуі ғана болса, кейбір айнымалыларды басқаларымен өрнектеп, оларды келесіге ауыстырыңыз. теңдеуүшпен белгісіз. Бұл жағдайда сіздің мақсатыңыз оны қалыпты жағдайға айналдыру теңдеубелгісіз адаммен. Егер бұл болса, келесі шешім өте қарапайым - табылған мәнді басқа теңдеулерге ауыстырыңыз және басқа барлық белгісіздерді табыңыз.
Кейбір теңдеулер жүйесін бір теңдеуден екіншісімен алып тастауға болады. Екі белгісізді бірден жою үшін біреуін немесе айнымалыны көбейтуге болатынын қараңыз. Егер мұндай мүмкіндік болса, оны пайдаланыңыз, мүмкін, кейінгі шешім қиын болмайды. Есіңізде болсын, санға көбейту кезінде сол жағын да, оң жағын да көбейту керек. Сол сияқты, теңдеулерді алып тастағанда, оң жағын да алып тастау керек екенін есте ұстаған жөн.
Егер бұрынғы әдістеркөмектеспеді, қолданыңыз жалпы түрдеүшеуі бар кез келген теңдеулердің шешімдері белгісіз. Ол үшін теңдеулерді a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3 түрінде қайта жазыңыз. Енді x (A), белгісіздер матрицасы (X) және бос айнымалылар матрицасы (В) үшін коэффициенттер матрицасын құрыңыз. Коэффициенттер матрицасын белгісіздер матрицасына көбейту арқылы бос мүшелердің матрицасы шығатынын, яғни A*X=B болатынын ескеріңіз.
Бірінші табу арқылы (-1) дәрежесіне А матрицасын табыңыз, ол нөлге тең болмауы керек екенін ескеріңіз. Осыдан кейін алынған матрицаны В матрицасына көбейтіңіз, нәтижесінде сіз барлық мәндерді көрсететін қажетті X матрицасын аласыз.
Сондай-ақ Крамер әдісі арқылы үш теңдеу жүйесінің шешімін табуға болады. Ол үшін жүйелік матрицаға сәйкес үшінші ретті анықтауыш ∆ табу керек. Содан кейін сәйкес бағандардың мәндерінің орнына бос мүшелердің мәндерін ауыстырып, тағы үш ∆1, ∆2 және ∆3 анықтауыштарын табыңыз. Енді х табыңыз: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.
Дереккөздер:
- үш белгісізі бар теңдеулердің шешімдері
Теңдеулер жүйесін шешу қиын және қызықты. Қалай күрделірек жүйе, оны шешу қызықтырақ. Көбінесе математикада орта мектепЕкі белгісіз теңдеулер жүйесі бар, бірақ жоғары математикада айнымалылар көбірек болуы мүмкін. Жүйелерді бірнеше әдістер арқылы шешуге болады.
Нұсқаулар
Теңдеулер жүйесін шешудің ең көп тараған әдісі – алмастыру. Ол үшін бір айнымалыны екіншісімен өрнектеп, екіншісіне ауыстыру керек теңдеужүйелер, осылайша жетекшілік етеді теңдеубір айнымалыға. Мысалы, келесі теңдеулер берілген: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.
Екінші өрнектен айнымалылардың бірін өрнектеу ыңғайлы, қалғанының барлығын өрнектің оң жағына жылжытып, коэффициенттің таңбасын өзгертуді ұмытпайды: x = 3-y.
Жақшаларды ашыңыз: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1.Алынған у мәнін өрнекке ауыстырамыз: x=3-y;x=3-1;x=2 .
Бірінші өрнекте барлық мүшелер 2, көбейтудің үлестіргіш қасиетіне жақшаның ішінен 2-ні шығаруға болады: 2*(2x-y-3)=0. Енді өрнектің екі бөлігін де осы санға азайтуға болады, содан кейін у түрінде өрнектеледі, өйткені ол үшін модуль коэффициенті біреуге тең: -y = 3-2x немесе y = 2x-3.
Бірінші жағдайдағыдай, біз бұл өрнекті екіншісіне ауыстырамыз теңдеужәне мынаны аламыз: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2. Алынған мәнді өрнекке ауыстырыңыз: y=2x -3;y=4-3=1.
Біз у үшін коэффициент мәні бойынша бірдей, бірақ таңбасы басқаша екенін көреміз, сондықтан осы теңдеулерді қоссақ у-дан толық құтыламыз: 4x+3x-2y+2y-6-8=0;7x- 14=0;x=2.Жүйенің екі теңдеуінің кез келгеніне х мәнін қойып, у=1 мәнін алыңыз.
Тақырып бойынша бейнеролик
Биквадраттық теңдеубілдіреді теңдеутөртінші дәрежелі, жалпы түрі ax^4 + bx^2 + c = 0 өрнегі арқылы берілген. Оның шешімі белгісіздерді алмастыру әдісін қолдануға негізделген. Бұл жағдайда x^2 басқа айнымалымен ауыстырылады. Осылайша, нәтиже кәдімгі шаршы болып табылады теңдеу, ол шешуді қажет етеді.
Нұсқаулар
Квадратты шеш теңдеу, ауыстыру нәтижесінде пайда болады. Ол үшін алдымен формулаға сәйкес мәнді есептеңіз: D = b^2? 4ac. Бұл жағдайда a, b, c айнымалылары біздің теңдеуіміздің коэффициенттері болып табылады.
Биквадрат теңдеудің түбірлерін табыңыз. Ол үшін алынған ерітінділердің квадрат түбірін алыңыз. Егер бір шешім болса, онда екі болады - оң және жағымсызшаршы түбір. Егер екі шешім болса, биквадрат теңдеудің төрт түбірі болады.
Тақырып бойынша бейнеролик
Сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің классикалық әдістерінің бірі - Гаусс әдісі. Ол қарапайым түрлендірулерді қолданатын теңдеулер жүйесі сатылы жүйеге айналғанда, соңғыларынан бастап барлық айнымалылар дәйекті түрде табылатын айнымалыларды ретімен жоюдан тұрады.
Нұсқаулар
Біріншіден, теңдеулер жүйесін барлық белгісіздер қатаң анықталған тәртіпте болатын пішінге келтіріңіз. Мысалы, барлық белгісіз Х әр жолда бірінші пайда болады, барлық Y - Х-тен кейін, барлық Z - У-дан кейін келеді және т.б. Әрбір теңдеудің оң жағында белгісіздер болмауы керек. Әрбір белгісіздің алдындағы коэффициенттерді, сондай-ақ әрбір теңдеудің оң жағындағы коэффициенттерді ойша анықтаңыз.
7-сыныптың математика курсында біз бірінші рет кездесіп отырмыз екі айнымалысы бар теңдеулер, бірақ олар екі белгісізі бар теңдеулер жүйесі контекстінде ғана зерттеледі. Сондықтан ол көзден таса болып қалады тұтас сызықоларды шектейтін теңдеу коэффициенттері бойынша белгілі бір шарттар енгізілген есептер. Сонымен қатар, «Натурал немесе бүтін сандардағы теңдеуді шешу» сияқты есептерді шешу әдістері де еленбейді. Бірыңғай мемлекеттік емтихан материалдарыАл қабылдау емтихандарында мұндай мәселелер жиі кездеседі.
Қандай теңдеу екі айнымалысы бар теңдеу деп аталады?
Сонымен, мысалы, 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 немесе xy = 12 теңдеулер екі айнымалысы бар теңдеулер.
2x – y = 1 теңдеуін қарастырайық. Ол x = 2 және у = 3 болғанда ақиқат болады, сондықтан бұл айнымалы мәндер жұбы қарастырылып отырған теңдеудің шешімі болып табылады.
Осылайша, екі айнымалысы бар кез келген теңдеудің шешімі реттелген жұптар жиыны (x; y), бұл теңдеуді шынайы сандық теңдікке айналдыратын айнымалылардың мәндері.
Екі белгісізі бар теңдеу:
A) бір шешімі бар.Мысалы, x 2 + 5y 2 = 0 теңдеуінің бірегей шешімі бар (0; 0);
б) бірнеше шешімдері бар.Мысалы, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 4 шешімі бар: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);
V) шешімдері жоқ.Мысалы, x 2 + y 2 + 1 = 0 теңдеуінің шешімдері жоқ;
G) шексіз көп шешімдері бар.Мысалы, x + y = 3. Бұл теңдеудің шешімдері қосындысы 3-ке тең сандар болады. Бұл теңдеудің шешімдер жиынын (k; 3 – k) түрінде жазуға болады, мұндағы k кез келген нақты сан.
Екі айнымалысы бар теңдеулерді шешудің негізгі әдістері өрнектерді көбейтуге негізделген әдістер, толық квадратты оқшаулау, квадрат теңдеудің қасиеттерін қолдану, шектеулі өрнектер және бағалау әдістері. Теңдеу әдетте белгісіздерді табу жүйесін алуға болатын пішінге түрлендіріледі.
Факторизация
1-мысал.
Теңдеуді шешіңіз: xy – 2 = 2x – y.
Шешім.
Факторизациялау мақсатында терминдерді топтастырамыз:
(xy + y) – (2x + 2) = 0. Әрбір жақшадан ортақ көбейткіш шығарамыз:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y – 2) = 0. Бізде:
y = 2, x – кез келген нақты сан немесе x = -1, y – кез келген нақты сан.
Осылайша, жауап (x; 2), x € R және (-1; y), y € R түріндегі барлық жұптар.
Нөлге тең емес теріс сандар
2-мысал.
Теңдеуді шешіңіз: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
Шешім.
Топтастыру:
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Енді әрбір жақшаны квадрат айырмасының формуласы арқылы бүктеуге болады.
(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.
3x – 2 = 0 және 2y – 3 = 0 болғанда ғана екі теріс емес өрнектің қосындысы нөлге тең болады.
Бұл x = 2/3 және y = 3/2 дегенді білдіреді.
Жауабы: (2/3; 3/2).
Бағалау әдісі
3-мысал.
Теңдеуді шешіңіз: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.
Шешім.
Әрбір жақшада біз толық шаршыны таңдаймыз:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Бағалап көрейік 
жақшадағы өрнектердің мағынасы.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 және (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, онда теңдеудің сол жағы әрқашан кем дегенде 2 болады. Теңдік мүмкін, егер:
(x + 1) 2 + 1 = 1 және (y – 2) 2 + 2 = 2, бұл x = -1, y = 2 дегенді білдіреді.
Жауабы: (-1; 2).
Екінші дәрежелі екі айнымалысы бар теңдеулерді шешудің тағы бір әдісімен танысайық. Бұл әдіс теңдеуді келесідей өңдеуден тұрады кейбір айнымалыға қатысты квадрат.
4-мысал.
Теңдеуді шеш: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.
Шешім.
Теңдеуді х үшін квадрат теңдеу ретінде шешейік. Дискриминантты табайық:
D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . D = 0, яғни у = 4 болғанда ғана теңдеудің шешімі болады. Бастапқы теңдеуге у мәнін қойып, х = 3 екенін табамыз.
Жауабы: (3; 4).
Көбінесе екі белгісізі бар теңдеулерде олар көрсетеді айнымалыларға шектеулер.
5-мысал.
Теңдеуді бүтін сандармен шешіңіз: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
Шешім.
Теңдеуді x 2 = -5y 2 + 20x + 2 түрінде қайта жазайық. Алынған теңдеудің оң жағы 5-ке бөлгенде 2 қалдығын береді. Демек, х 2 5-ке бөлінбейді. Бірақ а квадраты 5-ке бөлінбейтін сан 1 немесе 4 қалдығын береді. Осылайша, теңдік мүмкін емес және шешімдер жоқ.
Жауап: тамыры жоқ.
6-мысал.
Теңдеуді шешіңіз: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.
Шешім.
Ерекшелеп көрейік тамаша квадраттарәрбір жақшада:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Теңдеудің сол жағы әрқашан 3-тен үлкен немесе оған тең. |x| шартында теңдік мүмкін болады. – 2 = 0 және у + 3 = 0. Сонымен, x = ± 2, у = -3.
Жауабы: (2; -3) және (-2; -3).
7-мысал.
Теңдеуді қанағаттандыратын теріс бүтін сандар (x;y) әрбір жұбы үшін
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, қосындыны есептеңіз (x + y). Жауабыңызда ең аз соманы көрсетіңіз.
Шешім.
Толық квадраттарды таңдайық:
(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. x және y бүтін сандар болғандықтан, олардың квадраттары да бүтін сандар. 1 + 36 қоссақ, екі бүтін санның квадраттарының қосындысын 37-ге тең аламыз. Сондықтан:
(x – y) 2 = 36 және (y + 2) 2 = 1 
(x – y) 2 = 1 және (y + 2) 2 = 36.
Бұл жүйелерді шешіп, х пен у теріс екенін ескере отырып, шешімдерді табамыз: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Жауабы: -17.
Екі белгісізі бар теңдеулерді шешу қиын болса, үмітіңізді үзбеңіз. Кішкене жаттығу арқылы сіз кез келген теңдеуді шеше аласыз.
Әлі де сұрақтарыңыз бар ма? Екі айнымалысы бар теңдеулерді шешуді білмейсіз бе?
Тәрбиешіден көмек алу үшін -.
Бірінші сабақ тегін!
blog.site, материалды толық немесе ішінара көшіру кезінде бастапқы дереккөзге сілтеме қажет.
Мұны пайдалану математикалық бағдарламаЕкі айнымалысы бар екі сызықтық теңдеулер жүйесін алмастыру және қосу әдісі арқылы шешуге болады.
Бағдарлама мәселенің жауабын ғана емес, сонымен қатар береді егжей-тегжейлі шешімшешу қадамдарын екі жолмен түсіндіре отырып: ауыстыру әдісі және қосу әдісі.
Бұл бағдарлама жоғары сынып оқушылары үшін пайдалы болуы мүмкін орта мектептердайындық үстінде сынақтаржәне емтихандар, Бірыңғай мемлекеттік емтихан алдында білімді тексеру кезінде, ата-аналар үшін математика мен алгебрадан көптеген есептердің шешімін бақылау үшін. Немесе сізге репетитор жалдау немесе жаңа оқулықтар сатып алу тым қымбат болуы мүмкін бе? Немесе оны мүмкіндігінше тезірек аяқтағыңыз келе ме? үй жұмысыматематикада немесе алгебрада? Бұл жағдайда сіз егжей-тегжейлі шешімдері бар біздің бағдарламаларды да пайдалана аласыз.
Осылайша сіз өзіңіздің жаттығуларыңызды және/немесе жаттығуларыңызды жүргізе аласыз. інілерінемесе апалы-сіңлілер, ал шешілетін мәселелер саласындағы білім деңгейі көтеріледі.
Теңдеулерді енгізу ережелері
Кез келген латын әрпі айнымалы ретінде әрекет ете алады.
Мысалы: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), т.б.
Теңдеулерді енгізу кезінде жақшаларды қолдануға болады. Бұл жағдайда теңдеулер алдымен жеңілдетіледі. Жеңілдетілгеннен кейінгі теңдеулер сызықтық болуы керек, яғни. ax+by+c=0 түріндегі элементтер ретінің дәлдігімен.
Мысалы: 6x+1 = 5(x+y)+2
Теңдеулерде тек бүтін сандарды ғана емес, сонымен қатар қолдануға болады бөлшек сандарондық және жай бөлшек түрінде.
Ондық бөлшектерді енгізу ережелері.
Бүтін және бөлшек бөліктері ондық бөлшектернүктемен де, үтірмен де бөлуге болады.
Мысалы: 2,1н + 3,5м = 55
Жай бөлшектерді енгізу ережелері.
Бөлшектің алымы, бөлімі және бүтін бөлігі ретінде тек натурал сан әрекет ете алады.
Бөлгіш теріс болуы мүмкін емес.
Сандық бөлшекті енгізу кезінде алым бөлгіштен бөлу белгісімен бөлінеді: /
Толық бөлігібөлшектен амперсанд арқылы бөлінеді: &
Мысалдар.
-1&2/3ж + 5/3х = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)
Теңдеулер жүйесін шешу
Бұл мәселені шешуге қажетті кейбір сценарийлер жүктелмегені және бағдарлама жұмыс істемеуі мүмкін екені анықталды.
Сізде AdBlock қосылған болуы мүмкін.
Бұл жағдайда оны өшіріп, бетті жаңартыңыз.
Шешім пайда болуы үшін JavaScript қосу керек.
Мұнда браузерде JavaScript-ті қосу туралы нұсқаулар берілген.
Өйткені Мәселені шешуге ниет білдірушілер көп, өтінішіңіз кезекке қойылды.
Бірнеше секундтан кейін шешім төменде пайда болады.
Өтінемін, күте тұрыңыз сек...
Егер сіз шешімдегі қатені байқады, содан кейін бұл туралы Кері байланыс пішінінде жаза аласыз.
Ұмытпаңыз қандай тапсырманы көрсетіңізнені өзіңіз шешесіз өрістерге енгізіңіз.
Біздің ойындар, басқатырғыштар, эмуляторлар:
Кішкене теория.
Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу. Ауыстыру әдісі
Ауыстыру әдісімен сызықтық теңдеулер жүйесін шешу кезіндегі әрекеттер тізбегі:
1) жүйенің қандай да бір теңдеуінен бір айнымалыны екіншісімен өрнектеу;
2) алынған өрнекті осы айнымалының орнына жүйенің басқа теңдеуіне қою;
$$ \left\( \begin(массив)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(массив) \оң. $$
Бірінші теңдеуден у-ны х арқылы өрнектеп көрейік: у = 7-3х. Екінші теңдеуде у орнына 7-3x өрнегін қойып, жүйені аламыз:
$$ \left\( \begin(массив)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(массив) \оң. $$
Бірінші және екінші жүйелердің шешімдері бірдей екенін көрсету оңай. Екінші жүйеде екінші теңдеу тек бір айнымалыны қамтиды. Мына теңдеуді шешейік:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Оң жақ көрсеткі -5x+14-6x=3 \Оң жақ көрсеткі -11x=-11 \Оң жақ көрсеткі x=1 $$
y=7-3x теңдігіне х орнына 1 санын қойып, у-ның сәйкес мәнін табамыз:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Оң жақ көрсеткі y=4 $$
Жұп (1;4) – жүйенің шешімі
Шешімдері бірдей екі айнымалы теңдеулер жүйесі деп аталады эквивалент. Шешімдері жоқ жүйелер де эквивалент болып саналады.
Сызықтық теңдеулер жүйесін қосу арқылы шешу
Сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің тағы бір тәсілі – қосу әдісін қарастырайық. Жүйелерді осылайша шешуде, сондай-ақ алмастыру арқылы шешуде біз бұл жүйеден басқа, теңдеулердің бірінде тек бір айнымалы бар эквивалентті жүйеге көшеміз.
Қосу әдісімен сызықтық теңдеулер жүйесін шешу кезіндегі әрекеттер тізбегі:
1) айнымалылардың бірінің коэффициенттері қарама-қарсы сандар болатындай етіп көбейткіштерді таңдай отырып, жүйе мүшесінің теңдеулерін мүшеге көбейту;
2) жүйе теңдеулерінің сол және оң жақтарын мүше бойынша қосу;
3) бір айнымалысы бар алынған теңдеуді шешу;
4) екінші айнымалының сәйкес мәнін табыңыз.
Мысал. Теңдеулер жүйесін шешейік:
$$ \left\( \begin(массив)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(массив) \оң. $$
Бұл жүйенің теңдеулерінде у коэффициенттері қарама-қарсы сандар болып табылады. Теңдеулердің сол және оң жақтарын мүше бойынша қосу арқылы бір айнымалысы 3x=33 болатын теңдеуді аламыз. Жүйе теңдеулерінің бірін, мысалы, біріншісін 3х=33 теңдеуімен ауыстырайық. Жүйені алайық
$$ \left\( \begin(массив)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(массив) \оң. $$
3x=33 теңдеуінен х=11 екенін табамыз. Осы х мәнін \(x-3y=38\) теңдеуіне қойып, у айнымалысы бар теңдеуді аламыз: \(11-3y=38\). Мына теңдеуді шешейік:
\(-3y=27 \оң жақ көрсеткі y=-9 \)
Осылайша, теңдеулер жүйесінің шешімін қосу арқылы таптық: \(x=11; y=-9\) немесе \((11;-9)\)
Жүйе теңдеулерінде у үшін коэффициенттер қарама-қарсы сандар болатынын пайдаланып, оның шешімін эквивалентті жүйенің шешіміне келтірдік (бастапқы жүйенің әрбір теңдеуінің екі жағын қосу арқылы), онда бір теңдеулердің бір ғана айнымалысы бар.
Кітаптар (оқулықтар) Бірыңғай мемлекеттік емтиханның тезистері және Бірыңғай мемлекеттік емтихан тесттері онлайн Ойындар, басқатырғыштар Функциялардың графиктерін құру Орыс тілінің орфографиялық сөздігі Жастар сленгінің сөздігі Орыс мектептерінің каталогы Ресейдің орта оқу орындарының каталогы Ресей университеттерінің тізімі тапсырмалардыңНұсқаулар
Қосу әдісі.
Бір-бірінің астына екі жазу керек:
549+45у+4у=-7, 45у+4у=549-7, 49у=542, у=542:49, у≈11.
Ерікті түрде таңдалған (жүйеден) теңдеуде бұрыннан табылған «ойынның» орнына 11 санын енгізіңіз және екінші белгісізді есептеңіз:
X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Бұл теңдеулер жүйесінің жауабы x=116, y=11.
Графикалық әдіс.
Ол теңдеулер жүйесінде түзулер математикалық түрде жазылатын нүктенің координаталарын іс жүзінде табудан тұрады. Екі түзудің графиктерін бір координаталар жүйесінде бөлек салу керек. Жалпы көрініс: – y=khx+b. Түзу сызықты салу үшін екі нүктенің координаталарын табу жеткілікті, ал х ерікті түрде таңдалады.
Жүйе берілсін: 2x – y=4
Y=-3x+1.
Біріншісі арқылы түзу салынады, ыңғайлы болу үшін оны жазу керек: y=2x-4. x үшін (жеңілірек) мәндерді ойлап табыңыз, оны теңдеуге ауыстырыңыз, оны шешіңіз және у табыңыз. Біз екі нүкте аламыз, оның бойымен түзу сызық салынған. (суретті қараңыз)
x 0 1
y -4 -2
Екінші теңдеу арқылы түзу салынады: y=-3x+1.
Сондай-ақ түзу сызықты салыңыз. (суретті қараңыз)
y 1 -5
Графиктен салынған екі түзудің қиылысу нүктесінің координаталарын табыңыз (егер түзулер қиылыспаса, онда теңдеулер жүйесінде болмайды - солай).
Тақырып бойынша бейнеролик
Бір теңдеулер жүйесін үш түрлі жолмен шешсеңіз, жауап бірдей болады (егер шешім дұрыс болса).
Дереккөздер:
- 8 сынып алгебра
- Екі белгісізі бар теңдеуді желіде шешу
- Екі сызықты теңдеулер жүйесін шешу мысалдары
Жүйе теңдеулерматематикалық жазбалар жинағы болып табылады, олардың әрқайсысында бірнеше айнымалылар бар. Оларды шешудің бірнеше жолы бар.
Саған қажет болады
- - сызғыш пен қарындаш;
- - калькулятор.
Нұсқаулар
a1x + b1y = c1 және a2x + b2y = c2 түріндегі сызықтық теңдеулерден тұратын жүйені шешу ретін қарастырайық. Мұндағы х және у - белгісіз айнымалылар, ал b,c - бос мүшелер. Бұл әдісті қолданғанда әрбір жүйе әрбір теңдеуге сәйкес нүктелердің координаталарын көрсетеді. Бастау үшін, әр жағдайда бір айнымалыны екіншісімен көрсетіңіз. Содан кейін x айнымалысын мәндердің кез келген санына орнатыңыз. Екі жеткілікті. Теңдеудің орнына қойып, у-ны табыңыз. Координаталар жүйесін құрып, оның үстінен алынған нүктелерді белгілеңіз және олар арқылы түзу жүргізіңіз. Осындай есептеулер жүйенің басқа бөліктері үшін де орындалуы керек.
Егер салынған сызықтар қиылыса және бір ортақ нүкте болса, жүйенің бірегей шешімі бар. Бір-біріне параллель болса, ол үйлеспейді. Жолдар бір-бірімен біріктірілгенде оның шексіз көп шешімдері бар.
Бұл әдісөте көрнекі болып саналады. Негізгі кемшілігі – есептелген белгісіздердің жуық мәндері болуы. Көбірек нақты нәтижеалгебралық әдістер деп аталатындарды келтіріңіз.
Теңдеулер жүйесінің кез келген шешімі тексеруге тұрарлық. Ол үшін айнымалылардың орнына алынған мәндерді ауыстырыңыз. Сондай-ақ оның шешімін бірнеше әдістер арқылы табуға болады. Егер жүйенің шешімі дұрыс болса, онда барлығы бірдей шығуы керек.
Жиі терминдердің бірі белгісіз теңдеулер бар. Теңдеуді шешу үшін осы сандармен белгілі бір әрекеттер жинағын есте сақтау және орындау қажет.
Саған қажет болады
- - қағаз;
- - қалам немесе қарындаш.
Нұсқаулар
Сіздің алдыңызда 8 қоян, ал сізде тек 5 сәбіз бар деп елестетіңіз. Ойлап көріңізші, әр қоянға бір-бірден жету үшін әлі де көбірек сәбіз сатып алу керек.
Бұл есепті теңдеу түрінде көрсетейік: 5 + х = 8. х орнына 3 санын қойып көрейік. Шынында да 5 + 3 = 8.
Сіз х орнына санды қойғанда, 8-ден 5-ті азайтқандағыдай әрекет жасадыңыз. Сонымен, табу үшін белгісізқосындыдан белгілі мүшені алып тастаңыз.
Сізде 20 қоян және 5 ғана сәбіз бар делік. Оны құрастырайық. Теңдеу – оған кіретін әріптердің белгілі бір мәндері үшін ғана орындалатын теңдік. Мағынасын табу керек әріптер деп аталады. Бір белгісізі бар теңдеуді жазыңыз, оны х деп атаңыз. Қоян есебімізді шешкенде келесі теңдеуді аламыз: 5 + x = 20.
20 мен 5-тің айырмасын табайық. Алу кезінде ол қай санды азайтады, ол азайтылатын сан болады. Алынған сан , ал соңғы нәтиже айырма деп аталады. Сонымен, x = 20 – 5; x = 15. Қояндарға 15 сәбіз сатып алу керек.
Тексеріңіз: 5 + 15 = 20. Теңдеу дұрыс шешілген. Әрине, қашан туралы айтып отырмызмұндай қарапайымдар туралы тексеру жүргізудің қажеті жоқ. Дегенмен, сізде үш таңбалы, төрт таңбалы және т.б. сандары бар теңдеулер болған кезде, жұмысыңыздың нәтижесіне толық сенімді болу үшін міндетті түрде тексеру керек.
Тақырып бойынша бейнеролик
Пайдалы кеңес
Белгісіз минуендті табу үшін, айырмашылыққа субстрагенді қосу керек.
Белгісіз көбейтіндіні табу үшін минуендтен айырманы алып тастау керек.
4-кеңес: Үш белгісіз үш теңдеулер жүйесін шешу жолы
Үш белгісізі бар үш теңдеулер жүйесінде теңдеулердің жеткілікті санына қарамастан шешімдері болмауы мүмкін. Оны алмастыру әдісі немесе Крамер әдісі арқылы шешуге болады. Крамер әдісі жүйені шешуден басқа, белгісіздердің мәндерін тапқанға дейін жүйенің шешілетіндігін бағалауға мүмкіндік береді.
Нұсқаулар
Ауыстыру әдісі дәйекті түрде бір белгісіз арқылы қалған екеуінен және алынған нәтижені жүйенің теңдеулеріне ауыстырудан тұрады. Үш теңдеулер жүйесі жалпы түрде берілсін:
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
Бірінші теңдеуден х-ті өрнектеңіз: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - және екінші және үшінші теңдеулерге ауыстырыңыз, содан кейін екінші теңдеуден у-ны өрнектеп, үшіншіге ауыстырыңыз. Жүйе теңдеулерінің коэффициенттері арқылы z үшін сызықтық өрнекті аласыз. Енді «артқа» өтіңіз: екінші теңдеудегі z орнына y мәнін енгізіңіз, содан кейін бірінші теңдеудегі z мен уды ауыстырыңыз және х мәнін шешіңіз. Процесс әдетте z табудан бұрын суретте көрсетілген. Әрі қарай жалпы түрде жазу тым қиын болады; іс жүзінде - дегенді ауыстырып, үш белгісізді де оңай табуға болады.
Крамер әдісі жүйелік матрицаны құрудан және осы матрицаның анықтаушысын, сонымен қатар тағы үш көмекші матрицаны есептеуден тұрады. Жүйелік матрица теңдеулердің белгісіз мүшелері үшін коэффициенттерден тұрады. Теңдеулердің оң жағындағы сандардан тұратын баған, оң жақтағы бағандар. Ол жүйеде қолданылмайды, бірақ жүйені шешу кезінде қолданылады.
Тақырып бойынша бейнеролик
назар аударыңыз
Жүйедегі барлық теңдеулер басқа теңдеулерден тәуелсіз қосымша ақпаратты қамтамасыз етуі керек. Әйтпесе, жүйе анықталмаған болады және біржақты шешім табу мүмкін болмайды.
Пайдалы кеңес
Теңдеулер жүйесін шешкеннен кейін табылған мәндерді бастапқы жүйеге ауыстырыңыз және олардың барлық теңдеулерді қанағаттандыратынын тексеріңіз.
Өздігінен теңдеуүшпен белгісізкөптеген шешімдері бар, сондықтан көбінесе ол тағы екі теңдеумен немесе шартпен толықтырылады. Бастапқы деректердің қандай екеніне байланысты шешімнің барысы көп жағдайда байланысты болады.
Саған қажет болады
- - үш белгісізі бар үш теңдеулер жүйесі.
Нұсқаулар
Егер үш жүйенің екеуінде үш белгісіздің екеуі ғана болса, кейбір айнымалыларды басқаларымен өрнектеп, оларды келесіге ауыстырыңыз. теңдеуүшпен белгісіз. Бұл жағдайда сіздің мақсатыңыз оны қалыпты жағдайға айналдыру теңдеубелгісіз адаммен. Егер бұл болса, келесі шешім өте қарапайым - табылған мәнді басқа теңдеулерге ауыстырыңыз және басқа барлық белгісіздерді табыңыз.
Кейбір теңдеулер жүйесін бір теңдеуден екіншісімен алып тастауға болады. Екі белгісізді бірден жою үшін біреуін немесе айнымалыны көбейтуге болатынын қараңыз. Егер мұндай мүмкіндік болса, оны пайдаланыңыз, мүмкін, кейінгі шешім қиын болмайды. Есіңізде болсын, санға көбейту кезінде сол жағын да, оң жағын да көбейту керек. Сол сияқты, теңдеулерді алып тастағанда, оң жағын да алып тастау керек екенін есте ұстаған жөн.
Егер алдыңғы әдістер көмектеспесе, кез келген үш теңдеулерді шешудің жалпы әдісін қолданыңыз белгісіз. Ол үшін теңдеулерді a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3 түрінде қайта жазыңыз. Енді x (A), белгісіздер матрицасы (X) және бос айнымалылар матрицасы (В) үшін коэффициенттер матрицасын құрыңыз. Коэффициенттер матрицасын белгісіздер матрицасына көбейту арқылы бос мүшелердің матрицасы шығатынын, яғни A*X=B болатынын ескеріңіз.
Бірінші табу арқылы (-1) дәрежесіне А матрицасын табыңыз, ол нөлге тең болмауы керек екенін ескеріңіз. Осыдан кейін алынған матрицаны В матрицасына көбейтіңіз, нәтижесінде сіз барлық мәндерді көрсететін қажетті X матрицасын аласыз.
Сондай-ақ Крамер әдісі арқылы үш теңдеу жүйесінің шешімін табуға болады. Ол үшін жүйелік матрицаға сәйкес үшінші ретті анықтауыш ∆ табу керек. Содан кейін сәйкес бағандардың мәндерінің орнына бос мүшелердің мәндерін ауыстырып, тағы үш ∆1, ∆2 және ∆3 анықтауыштарын табыңыз. Енді х табыңыз: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.
Дереккөздер:
- үш белгісізі бар теңдеулердің шешімдері
Теңдеулер жүйесін шешуді бастағанда, олардың қандай теңдеулер екенін анықтаңыз. Сызықтық теңдеулерді шешу әдістері өте жақсы зерттелген. Сызықты емес теңдеулеркөбіне батылы бармайды. Бір ғана ерекше жағдай бар, олардың әрқайсысы іс жүзінде жеке. Сондықтан шешу әдістерін зерттеуді сызықтық теңдеулерден бастау керек. Мұндай теңдеулерді тіпті таза алгоритмдік жолмен шешуге болады.
Нұсқаулар
Оқу процесін екі белгісіз X және Y бар екі сызықтық теңдеулер жүйесін жою арқылы шешуді үйренуден бастаңыз. a11*X+a12*Y=b1 (1); a21*X+a22*Y=b2 (2). Теңдеулердің коэффициенттері олардың орналасу орындарын көрсететін индекстермен көрсетіледі. Осылайша, a21 коэффициенті екінші теңдеуде бірінші орында жазылғанын көрсетеді. Жалпы қабылданған белгілерде жүйе бірінің астында бірінің астында орналасқан және оң немесе сол жақтағы бұйра жақшамен бірге белгіленетін теңдеулер арқылы жазылады (толығырақ 1а-суретті қараңыз).
Теңдеулердің нөмірленуі ерікті. Ең қарапайымын таңдаңыз, мысалы, айнымалылардың біреуінің алдында 1 коэффициенті немесе кем дегенде бүтін сан болатынын таңдаңыз. Егер бұл (1) теңдеу болса, келесіде, айталық, белгісіз У-ны Х арқылы өрнектеңіз (У-ды алып тастау жағдайы). Ол үшін (1) мәнін a12*Y=b1-a11*X (немесе X-ты қоспағанда a11*X=b1-a12*Y), содан кейін Y=(b1-a11*X)/a12 түрлендіріңіз. . Соңғысын (2) теңдеуіне қойып, a21*X+a22*(b1-a11*X)/a12=b2 жазыңыз. Осы теңдеуді X үшін шешіңіз.
a21*X+a22*b1/a12-a11*a22*X/a12=b2; (a21-a11*a22/a12)*X=b2-a22*b1/a12;
X=(a12* b2-a22*b1)/(a12*a21-a11*a22) немесе X=(a22* b1-a12*b2)/(a11*a22-a12*a21).
Y және X арасындағы табылған байланысты пайдаланып, сіз ақырында екінші белгісіз Y=(a11* b2-a21*b1)/(a11*a22-a12*a21) аласыз.
Егер жүйе нақты сандық коэффициенттермен көрсетілген болса, онда есептеулер азырақ ауыртпалықсыз болар еді. Бірақ ортақ шешімтабылған белгісіздердің тура бірдей екендігін қарастыруға мүмкіндік береді. Иә, ал сандар олардың құрылысында кейбір үлгілерді көрсетеді. Егер теңдеулер жүйесінің өлшемі екіден үлкен болса, онда жою әдісі өте қиын есептеулерге әкеледі. Оларды болдырмау үшін таза алгоритмдік шешімдер әзірленді. Олардың ең қарапайымы Крамер алгоритмі (Крамер формулалары). Себебі сіз білуіңіз керек жалпы жүйе n теңдеуден алынған теңдеулер.
n белгісізі бар n сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі пішінге ие (1а-суретті қараңыз). Онда aij – жүйенің коэффициенттері,
xj – белгісіздер, bi – бос мүшелер (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Мұндай жүйені AX=B матрицалық түрінде жинақы түрде жазуға болады. Мұндағы А – жүйе коэффициенттерінің матрицасы, Х – белгісіздердің бағандық матрицасы, В – бос мүшелердің бағандық матрицасы (1б суретті қараңыз). Крамер әдісі бойынша әрбір белгісіз xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Коэффициент матрицасының анықтаушысы ∆ негізгі анықтауыш, ал ∆i көмекші деп аталады. Әрбір белгісіз үшін көмекші квалификациялауышнегізгі анықтауыштың i-ші бағанасын бос мүшелер бағанымен ауыстыру арқылы табылады. Екінші және үшінші ретті жүйелер жағдайына арналған Крамер әдісі суретте егжей-тегжейлі көрсетілген. 2.
Жүйе екі немесе одан да көп теңдіктердің қосындысы болып табылады, олардың әрқайсысында екі немесе одан да көп белгісіздер бар. Қолданылатын сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің екі негізгі жолы бар мектеп бағдарламасы. Олардың бірі – әдіс, екіншісі – қосу әдісі деп аталады.
Екі теңдеулер жүйесінің стандартты түрі
Сағат стандартты пішінбірінші теңдеу a1*x+b1*y=c1, екінші теңдеу a2*x+b2*y=c2 және т.б. Мысалы, жүйенің екі бөлігі болған жағдайда, берілген a1, a2, b1, b2, c1, c2 екеуі де нақты теңдеулерде көрсетілген кейбір сандық коэффициенттер болып табылады. Өз кезегінде, x және y мәндерін анықтау қажет белгісіздерді білдіреді. Қажетті мәндер екі теңдеуді бір уақытта шынайы теңдікке айналдырады.Қосу әдісі арқылы жүйені шешу
Жүйені шешу үшін, яғни оларды шынайы теңдікке айналдыратын х және у мәндерін табу үшін бірнеше қарапайым қадамдарды орындау қажет. Олардың біріншісі – екі теңдеудегі х немесе у айнымалысының сандық коэффициенттері шамасы бойынша бірдей, бірақ таңбасы әртүрлі болатындай теңдеуді түрлендіру.Мысалы, екі теңдеуден тұратын жүйе берілген делік. Олардың біріншісі 2x+4y=8, екіншісінде 6x+2y=6 түріндегі. Тапсырманы орындау нұсқаларының бірі екінші теңдеуді -2 коэффициентіне көбейту болып табылады, бұл оны -12x-4y=-12 түріне әкеледі. Дұрыс таңдаукоэффицент жүйені қосу арқылы шешу процесіндегі негізгі міндеттердің бірі болып табылады, өйткені ол белгісіздерді табу процедурасының одан арғы барысын анықтайды.
Енді жүйенің екі теңдеуін қосу керек. Коэффиценттері мәні бойынша тең, бірақ таңбасы қарама-қарсы айнымалылардың өзара жойылуы -10x=-4 түріне әкелетіні анық. Осыдан кейін мына қарапайым теңдеуді шешу керек, одан х = 0,4 екені анық шығады.
Шешім процесінің соңғы қадамы айнымалылардың бірінің табылған мәнін жүйеде бар бастапқы теңдіктердің кез келгеніне ауыстыру болып табылады. Мысалы, бірінші теңдеудегі х=0,4 орнына қойып, 2*0,4+4у=8 өрнегін алуға болады, одан у=1,8. Сонымен, x=0,4 және y=1,8 мысалдық жүйенің түбірлері болып табылады.
Түбірлердің дұрыс табылғанына көз жеткізу үшін табылған мәндерді жүйенің екінші теңдеуіне ауыстыру арқылы тексеру пайдалы. Мысалы, бұл жағдайда 0,4*6+1,8*2=6 түріндегі теңдік аламыз, ол дұрыс.
Тақырып бойынша бейнеролик
Жүктелуде...
