Біз тақырыпты зерттеуді жалғастырамыз» теңдеулерді шешу" Біз сызықтық теңдеулермен бұрыннан таныс болдық және танысуға көшеміз квадрат теңдеулер.

Алдымен квадрат теңдеудің не екенін және оның қалай жазылатынын қарастырамыз жалпы көрініс, және сәйкес анықтамаларды беріңіз. Осыдан кейін біз толық емес квадрат теңдеулердің қалай шешілетінін егжей-тегжейлі тексеру үшін мысалдарды қолданамыз. Енді толық теңдеулерді шешуге көшеміз, түбір формуласын аламыз және дискриминантпен танысамыз. квадрат теңдеужәне типтік мысалдардың шешімдерін қарастырыңыз. Соңында түбірлер мен коэффициенттер арасындағы байланыстарды қадағалап көрейік.

Бетті шарлау.

Квадрат теңдеу дегеніміз не? Олардың түрлері

Алдымен квадрат теңдеудің не екенін нақты түсіну керек. Сондықтан квадрат теңдеулер туралы әңгімені квадрат теңдеудің анықтамасынан, сондай-ақ оған қатысты анықтамалардан бастау қисынды. Осыдан кейін квадрат теңдеулердің негізгі түрлерін қарастыруға болады: келтірілген және келтірілмеген теңдеулер, сондай-ақ толық және толық емес теңдеулер.

Квадрат теңдеулердің анықтамасы және мысалдары

Анықтама.

Квадрат теңдеутүрінің теңдеуі болып табылады a x 2 +b x+c=0, мұндағы х - айнымалы, a, b және c - кейбір сандар, ал а - нөл емес.

Бірден айтайық, квадрат теңдеулерді көбінесе екінші дәрежелі теңдеулер деп атайды. Бұл квадрат теңдеудің болатындығына байланысты алгебралық теңдеуекінші дәрежелі.

Берілген анықтама квадрат теңдеулердің мысалдарын келтіруге мүмкіндік береді. Сонымен 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, т.б. Бұл квадрат теңдеулер.

Анықтама.

Сандар a, b және c деп аталады квадрат теңдеудің коэффициенттері a·x 2 +b·x+c=0, ал а коэффициенті бірінші немесе ең үлкен деп аталады немесе х 2 коэффициенті, b - екінші коэффициент немесе х коэффициенті, ал с - бос мүше. .

Мысалы, 5 x 2 −2 x −3=0 түріндегі квадрат теңдеуді алайық, мұндағы жетекші коэффициент 5, екінші коэффициент −2, бос мүшесі −3-ке тең. Жаңа ғана келтірілген мысалдағыдай b және/немесе c коэффициенттері теріс болса, онда екенін ескеріңіз қысқа нысаны 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0 емес, 5 x 2 −2 x−3=0 түріндегі квадрат теңдеуді жазу.

Айта кету керек, a және/немесе b коэффициенттері 1 немесе −1-ге тең болса, онда олар әдетте квадрат теңдеуде анық көрсетілмейді, бұл мұндай жазудың ерекшеліктеріне байланысты. Мысалы, y 2 −y+3=0 квадрат теңдеуінде жетекші коэффициент бір, ал у коэффициенті −1-ге тең.

Келтірілген және келтірілмеген квадрат теңдеулер

Жетекші коэффициенттің мәніне қарай келтірілген және келтірілмеген квадрат теңдеулер ажыратылады. Сәйкес анықтамаларды берейік.

Анықтама.

Жетекші коэффициенті 1 болатын квадрат теңдеу деп аталады берілген квадрат теңдеу. Әйтпесе квадрат теңдеу болады тимеген.

Сәйкес бұл анықтама, квадрат теңдеулер x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0, т.б. – берілген, олардың әрқайсысында бірінші коэффициент бірге тең. A 5 x 2 −x−1=0, т.б. - келтірілмеген квадрат теңдеулер, олардың жетекші коэффициенттері 1-ден өзгеше.

Кез келген азайтылмаған квадрат теңдеуден екі жағын жетекші коэффициентке бөлу арқылы қысқартылғанға өтуге болады. Бұл әрекет эквивалентті түрлендіру болып табылады, яғни осылайша алынған келтірілген квадрат теңдеудің бастапқы келтірілмеген квадрат теңдеумен түбірі бірдей немесе сол сияқты түбірі жоқ.

Келтірілген квадрат теңдеуден қысқартылғанға көшу қалай орындалатынын мысалға келтірейік.

Мысал.

3 x 2 +12 x−7=0 теңдеуінен сәйкес келтірілген квадрат теңдеуге өтіңіз.

Шешім.

Бізге бастапқы теңдеудің екі жағын да жетекші коэффициент 3-ке бөлу керек, ол нөлге тең емес, сондықтан біз бұл әрекетті орындай аламыз. Бізде (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, ол бірдей, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, содан кейін (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, мұндағы . Осылайша біз бастапқыға тең келетін келтірілген квадрат теңдеуді алдық.

Жауап:

Толық және толық емес квадрат теңдеулер

Квадрат теңдеудің анықтамасы а≠0 шартын қамтиды. Бұл шарт a x 2 + b x + c = 0 теңдеуі квадраттық болуы үшін қажет, өйткені a = 0 болғанда ол шын мәнінде b x + c = 0 түріндегі сызықтық теңдеу болады.

b және c коэффициенттеріне келетін болсақ, олар жеке де, бірге де нөлге тең болуы мүмкін. Бұл жағдайларда квадрат теңдеу толық емес деп аталады.

Анықтама.

a x 2 +b x+c=0 квадрат теңдеу деп аталады толық емес, егер b, c коэффициенттерінің кем дегенде біреуі нөлге тең болса.

Өз кезегінде

Анықтама.

Толық квадрат теңдеубарлық коэффициенттері нөлден өзгеше болатын теңдеу.

Мұндай атаулар кездейсоқ қойылмаған. Бұл келесі талқылаулардан белгілі болады.

Егер b коэффициенті нөлге тең болса, онда квадрат теңдеу a·x 2 +0·x+c=0 түрін алады және ол a·x 2 +c=0 теңдеуіне эквивалент болады. Егер c=0 болса, яғни квадрат теңдеудің a·x 2 +b·x+0=0 түрі болса, онда оны a·x 2 +b·x=0 түрінде қайта жазуға болады. Ал b=0 және c=0 болғанда a·x 2 =0 квадрат теңдеуін аламыз. Алынған теңдеулердің толық квадрат теңдеуден айырмашылығы сол жақтарында х айнымалы мүшесі де, бос мүшесі де, екеуі де жоқ. Сондықтан олардың атауы – толық емес квадрат теңдеулер.

Сонымен x 2 +x+1=0 және −2 x 2 −5 x+0,2=0 теңдеулері толық квадрат теңдеулердің мысалы болып табылады, ал x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 толық емес квадрат теңдеулер.

Толымсыз квадрат теңдеулерді шешу

Алдыңғы абзацтағы ақпараттан бар екендігі шығады толық емес квадрат теңдеулердің үш түрі:

• a·x 2 =0, оған b=0 және c=0 коэффициенттері сәйкес келеді;
• b=0 кезінде a x 2 +c=0;
• және c=0 кезінде a·x 2 +b·x=0.

Осы түрлердің әрқайсысының толық емес квадрат теңдеулері қалай шешілетінін ретімен қарастырайық.

a x 2 =0

b және c коэффициенттері нөлге тең болатын толық емес квадрат теңдеулерді шешуден бастайық, яғни a x 2 =0 түріндегі теңдеулерден. a·x 2 =0 теңдеуі х 2 =0 теңдеуіне тең, ол екі бөлікті де нөлдік емес а санына бөлу арқылы түпнұсқадан алынған. Әлбетте, x 2 =0 теңдеуінің түбірі нөлге тең, өйткені 0 2 =0. Бұл теңдеудің басқа түбірлері жоқ, бұл кез келген нөлдік емес p саны үшін p 2 >0 теңсіздігі орындалатынымен түсіндіріледі, яғни p≠0 үшін p 2 =0 теңдігі ешқашан орындалмайды.

Сонымен, a·x 2 =0 толық емес квадрат теңдеуінің x=0 бір түбірі бар.

Мысал ретінде −4 x 2 =0 толық емес квадрат теңдеудің шешімін береміз. Ол x 2 =0 теңдеуіне тең, оның жалғыз түбірі х=0, сондықтан бастапқы теңдеудің бір түбірі нөлге ие.

Бұл жағдайда қысқаша шешімді келесідей жазуға болады:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Енді b коэффициенті нөлге тең және c≠0 болатын толық емес квадрат теңдеулердің, яғни a x 2 +c=0 түріндегі теңдеулердің қалай шешілетінін қарастырайық. Теңдеудің бір жағынан екінші жағына қарама-қарсы таңбалы мүшені жылжыту, сондай-ақ теңдеудің екі жағын да нөлдік емес санға бөлу эквивалентті теңдеуді беретінін білеміз. Демек, a x 2 +c=0 толық емес квадрат теңдеудің келесі эквивалентті түрлендірулерін жүзеге асыруға болады:

• c-ны оң жаққа жылжытыңыз, бұл a x 2 =−c теңдеуін береді,
• және екі жағын а-ға бөлсек, аламыз.

Алынған теңдеу оның түбірлері туралы қорытынды жасауға мүмкіндік береді. a және c мәндеріне байланысты өрнектің мәні теріс (мысалы, егер a=1 және c=2 болса, онда ) немесе оң (мысалы, a=−2 және c=6 болса, онда ), ол нөлге тең емес, өйткені c≠0 шарты бойынша. Істерді бөлек қарастырайық.

Егер болса, онда теңдеудің түбірі болмайды. Бұл тұжырым кез келген санның квадраты теріс емес сан болатынынан шығады. Бұдан шығатыны, болғанда, кез келген p саны үшін теңдік ақиқат бола алмайды.

Егер болса, онда теңдеудің түбірлерімен жағдай басқаша болады. Бұл жағдайда, егер біз туралы еске түсірсек, онда теңдеудің түбірі бірден анық болады; бұл сан, өйткені . Санның теңдеудің түбірі екенін болжау оңай, шын мәнінде, . Бұл теңдеудің басқа түбірі жоқ, оны, мысалы, қайшылық арқылы көрсетуге болады. Қанекей мынаны істейік.

Жаңа ғана жарияланған теңдеудің түбірлерін x 1 және −x 1 деп белгілейік. Теңдеудің көрсетілген x 1 және −x 1 түбірлерінен басқа тағы бір x 2 түбірі бар делік. Оның түбірлерін х орнына теңдеумен ауыстыру теңдеуді дұрыс сандық теңдікке айналдыратыны белгілі. x 1 және −x 1 үшін бізде , ал x 2 үшін бізде болады. Сандық теңдіктердің қасиеттері дұрыс сандық теңдіктерді мүше бойынша азайтуды орындауға мүмкіндік береді, сондықтан теңдіктердің сәйкес бөліктерін алып тастағанда x 1 2 −x 2 2 =0 шығады. Сандармен амалдардың қасиеттері алынған теңдікті (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0 түрінде қайта жазуға мүмкіндік береді. Екі санның көбейтіндісі нөлге тең болатынын, егер олардың ең болмағанда біреуі нөлге тең болса ғана білеміз. Демек, алынған теңдіктен x 1 −x 2 =0 және/немесе x 1 +x 2 =0 болатыны шығады, ол бірдей, x 2 =x 1 және/немесе x 2 =−x 1. Сонымен біз қарама-қайшылыққа келдік, өйткені біз басында x 2 теңдеуінің түбірі х 1 және −x 1-ден өзгеше екенін айтқанбыз. Бұл теңдеудің және -ден басқа түбірі жоқ екенін дәлелдейді.

Осы тармақтағы ақпаратты қорытындылайық. a x 2 +c=0 толық емес квадрат теңдеу мына теңдеуге эквивалентті.

• тамыры жоқ, егер,
• екі түбірі бар және егер .

a·x 2 +c=0 түріндегі толық емес квадрат теңдеулерді шешу мысалдарын қарастырайық.

9 x 2 +7=0 квадрат теңдеуінен бастайық. Бос мүшені теңдеудің оң жағына жылжытқаннан кейін ол 9 x 2 =−7 пішінін алады. Алынған теңдеудің екі жағын 9-ға бөлсек, біз мынаған келеміз. Өйткені оң жақтан шықты теріс сан, онда бұл теңдеудің түбірі жоқ, демек, 9 x 2 +7=0 бастапқы толық емес квадрат теңдеудің түбірі жоқ.

Тағы −x 2 +9=0 толық емес квадрат теңдеуді шешейік. Тоғызды оң жаққа жылжытамыз: −x 2 =−9. Енді екі жағын −1-ге бөлеміз, х 2 =9 аламыз. Оң жағында оң сан, одан біз деп қорытынды жасаймыз немесе . Содан соң соңғы жауапты жазамыз: −x 2 +9=0 толық емес квадрат теңдеудің x=3 немесе x=−3 екі түбірі бар.

a x 2 +b x=0

Шешімді анықтау қалды соңғы түрі c=0 үшін толық емес квадрат теңдеулер. a x 2 + b x = 0 түріндегі толық емес квадрат теңдеулерді шешуге мүмкіндік береді. факторизация әдісі. Әлбетте, біз теңдеудің сол жағында орналаса аламыз, ол үшін жақшаның ішінен жалпы x көбейткішін алу жеткілікті. Бұл бастапқы толық емес квадрат теңдеуден x·(a·x+b)=0 түріндегі эквивалентті теңдеуге көшуге мүмкіндік береді. Және бұл теңдеу x=0 және a·x+b=0 екі теңдеу жиынына тең, соңғысы сызықтық және x=−b/a түбірі бар.

Сонымен, a·x 2 +b·x=0 толық емес квадрат теңдеуінің x=0 және x=−b/a екі түбірі бар.

Материалды бекіту үшін біз нақты мысалдың шешімін талдаймыз.

Мысал.

Теңдеуді шеш.

Шешім.

Жақшаның ішінен х-ті алып тастасақ, теңдеу шығады. Ол x=0 және екі теңдеуіне тең. Бізде бар нәрсені шешу сызықтық теңдеу: , және аралас санды бөлу жай бөлшек, табамыз. Демек, бастапқы теңдеудің түбірлері x=0 және .

Қажетті тәжірибені алғаннан кейін мұндай теңдеулердің шешімдерін қысқаша жазуға болады:

Жауап:

x=0, .

Дискриминант, квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласы

Квадрат теңдеулерді шешу үшін түбір формуласы бар. Оны жазып алайық квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласы: , Қайда D=b 2 −4 a c- деп аталатын квадрат теңдеудің дискриминанты. Кіру негізінен мынаны білдіреді.

Түбір формуласы қалай шығарылғанын және оның квадрат теңдеулердің түбірлерін табуда қалай қолданылатынын білу пайдалы. Осыны анықтап көрейік.

Квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласын шығару

a·x 2 +b·x+c=0 квадрат теңдеуін шешуіміз керек. Кейбір эквивалентті түрлендірулерді орындайық:

• Бұл теңдеудің екі жағын да нөлдік емес а санына бөлуге болады, нәтижесінде келесі квадрат теңдеу шығады.
• Қазір толық шаршыны таңдаңызоның сол жағында: . Осыдан кейін теңдеу пішінін алады.
• Бұл кезеңде соңғы екі мүшені қарама-қарсы таңбамен оң жаққа ауыстыруға болады, бізде .
• Оң жақтағы өрнекті де түрлендірейік: .

Нәтижесінде a·x 2 +b·x+c=0 бастапқы квадрат теңдеуіне эквивалентті теңдеуге келеміз.

Біз қарастырған кезде алдыңғы параграфтарда пішіні ұқсас теңдеулерді шештік. Бұл теңдеудің түбірлеріне қатысты келесі қорытындыларды жасауға мүмкіндік береді:

• егер болса, онда теңдеудің нақты шешімдері жоқ;
• егер , онда теңдеу оның жалғыз түбірі көрінетін , демек, түрінде болады;
• егер , онда немесе , ол немесе -мен бірдей, яғни теңдеудің екі түбірі болады.

Сонымен, теңдеудің түбірлерінің болуы немесе болмауы, демек, бастапқы квадрат теңдеу өрнектің оң жағындағы таңбасына байланысты. Өз кезегінде бұл өрнектің таңбасы алым белгісімен анықталады, өйткені 4·а 2 бөлгіш әрқашан оң, яғни b 2 −4·a·c өрнегінің таңбасы арқылы. Бұл b 2 −4 a c өрнегі деп аталды квадрат теңдеудің дискриминантыжәне хатпен белгіленеді D. Осыдан дискриминанттың мәні түсінікті – оның мәні мен белгісіне сүйене отырып, олар квадрат теңдеудің нақты түбірлері бар ма, егер бар болса, олардың саны қандай – бір немесе екі деген қорытынды жасайды.

Теңдеуге оралайық және оны дискриминант белгісін пайдаланып қайта жазайық: . Және біз қорытынды жасаймыз:

• егер Д<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• егер D=0 болса, онда бұл теңдеудің бір түбірі болады;
• соңында, егер D>0 болса, онда теңдеудің екі түбірі бар немесе, оны немесе түрінде қайта жазуға болады, ал бөлшектерді кеңейтіп, ортақ бөлгішке келтіргеннен кейін аламыз.

Сонымен, біз квадрат теңдеудің түбірлерінің формулаларын шығардық, олар келесідей болады, мұнда D дискриминанты D=b 2 −4·a·c формуласымен есептеледі.

Олардың көмегімен оң дискриминантпен квадрат теңдеудің екі нақты түбірін де есептеуге болады. Дискриминант нөлге тең болғанда, екі формула да квадрат теңдеудің бірегей шешіміне сәйкес түбірдің бірдей мәнін береді. Ал теріс дискриминантпен квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласын қолдануға тырысқанда, біз теріс санның квадрат түбірін шығаруға тап боламыз, бұл бізді аумақтан және мектеп бағдарламасы. Теріс дискриминантпен квадрат теңдеудің нақты түбірі жоқ, бірақ жұбы болады күрделі конъюгатбіз алған бірдей түбір формулалары арқылы табуға болатын тамырлар.

Түбір формулалары арқылы квадрат теңдеулерді шешу алгоритмі

Практикада квадрат теңдеулерді шешу кезінде олардың мәндерін есептеу үшін бірден түбір формуласын қолдануға болады. Бірақ бұл күрделі түбірлерді табумен көбірек байланысты.

Дегенмен, в мектеп курсыәдетте алгебра туралы айтып отырмызкомплекс туралы емес, квадрат теңдеудің нақты түбірлері туралы. Бұл жағдайда квадрат теңдеудің түбірлерінің формулаларын қолданбас бұрын, алдымен дискриминантты тауып, оның теріс емес екеніне көз жеткізген жөн (әйтпесе, теңдеудің нақты түбірлері жоқ деген қорытынды жасауға болады), содан кейін ғана түбірлердің мәндерін есептеңіз.

Жоғарыдағы пайымдаулар жазуға мүмкіндік береді квадрат теңдеуді шешу алгоритмі. a x 2 +b x+c=0 квадрат теңдеуін шешу үшін мыналар қажет:

• D=b 2 −4·a·c дискриминант формуласын пайдаланып, оның мәнін есептеңіз;
• егер дискриминант теріс болса квадрат теңдеудің нақты түбірі болмайды деген қорытынды жасау;
• формула бойынша теңдеудің жалғыз түбірін есептеңіз, егер D=0;
• дискриминант оң болса, түбір формуласын пайдаланып квадрат теңдеудің екі нақты түбірін табыңыз.

Мұнда дискриминант нөлге тең болса, формуланы да қолдануға болатынын ескереміз; ол -мен бірдей мән береді.

Квадрат теңдеулерді шешу алгоритмін қолдану мысалдарына көшуге болады.

Квадрат теңдеулерді шешу мысалдары

Оң, теріс және нөлдік дискриминанты бар үш квадрат теңдеудің шешімдерін қарастырайық. Олардың шешімін қарастырып, аналогия бойынша кез келген басқа квадрат теңдеуді шешуге болады. Бастайық.

Мысал.

x 2 +2·x−6=0 теңдеуінің түбірлерін табыңыз.

Шешім.

Бұл жағдайда бізде квадрат теңдеудің келесі коэффициенттері бар: a=1, b=2 және c=−6. Алгоритмге сәйкес алдымен дискриминантты есептеу керек, ол үшін дискриминант формуласына көрсетілген a, b және c мәндерін ауыстырамыз, бізде D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. 28>0, яғни дискриминант нөлден үлкен болғандықтан, квадрат теңдеудің екі нақты түбірі болады. Түбір формуласы арқылы оларды табайық, біз аламыз, мұнда сіз нәтижелі өрнектерді орындау арқылы жеңілдетуге болады көбейткішті түбір белгісінен тыс жылжытусодан кейін бөлшекті азайту:

Жауап:

Келесі типтік мысалға көшейік.

Мысал.

−4 x 2 +28 x−49=0 квадрат теңдеуді шешіңіз.

Шешім.

Біз дискриминантты табудан бастаймыз: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Демек, бұл квадрат теңдеудің бір түбірі бар, біз оны келесідей табамыз, яғни,

Жауап:

x=3,5.

Теріс дискриминанты бар квадрат теңдеулерді шешуді қарастыру қалды.

Мысал.

5·y 2 +6·y+2=0 теңдеуін шешіңіз.

Шешім.

Мұнда квадрат теңдеудің коэффициенттері берілген: a=5, b=6 және c=2. Біз бұл мәндерді дискриминант формуласына ауыстырамыз, бізде бар D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Дискриминант теріс, сондықтан бұл квадрат теңдеудің нақты түбірі жоқ.

Егер көрсету керек болса күрделі тамырлар, содан кейін квадрат теңдеудің түбірлері үшін белгілі формуланы қолданамыз және орындаймыз бар әрекеттер күрделі сандар :

Жауап:

нақты түбірлер жоқ, күрделі түбірлер: .

Тағы бір рет атап өтейік, егер квадрат теңдеудің дискриминанты теріс болса, онда мектепте олар әдетте нақты түбірлердің жоқтығын және күрделі түбірлердің табылмайтынын көрсететін жауапты дереу жазады.

Жұп екінші коэффициенттер үшін түбір формуласы

Квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласы, мұнда D=b 2 −4·a·c ықшам түрдегі формуланы алуға мүмкіндік береді, x үшін жұп коэффициенті бар квадрат теңдеулерді шешуге мүмкіндік береді (немесе жай ғана a 2·n түріндегі коэффициент, мысалы, немесе 14· ln5=2·7·ln5). Оны шығарайық.

a x 2 +2 n x+c=0 түріндегі квадрат теңдеуді шешу керек делік. Өзіміз білетін формула арқылы оның түбірлерін табайық. Ол үшін дискриминантты есептейміз D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), содан кейін біз түбір формуласын қолданамыз:

n 2 −a c өрнегін D 1 деп белгілейік (кейде ол D " деп белгіленеді). Сонда 2 n екінші коэффициентімен қарастырылып отырған квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласы мына түрге ие болады. , мұндағы D 1 =n 2 −a·c.

D=4·D 1 немесе D 1 =D/4 екенін көру оңай. Басқаша айтқанда, D 1 дискриминанттың төртінші бөлігі. D 1 белгісі D белгісімен бірдей екені анық. Яғни, D 1 белгісі де квадрат теңдеудің түбірлерінің бар немесе жоқтығын көрсететін көрсеткіш болып табылады.

Сонымен, екінші коэффициенті 2·n болатын квадрат теңдеуді шешу үшін сізге қажет

• Есептеңіз D 1 =n 2 −a·c ;
• Егер D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Егер D 1 =0 болса, онда формула арқылы теңдеудің жалғыз түбірін есептеңіз;
• Егер D 1 >0 болса, формула бойынша екі нақты түбірді табыңыз.

Осы тармақта алынған түбір формуласын пайдаланып мысалды шешуді қарастырайық.

Мысал.

5 x 2 −6 x −32=0 квадрат теңдеуді шешіңіз.

Шешім.

Бұл теңдеудің екінші коэффициентін 2·(−3) түрінде көрсетуге болады. Яғни, бастапқы квадрат теңдеуді 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, мұнда a=5, n=−3 және c=−32 түрінде қайта жазып, төртінші бөлігін есептеуге болады. дискриминант: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Оның мәні оң болғандықтан, теңдеудің екі нақты түбірі болады. Тиісті түбір формуласы арқылы оларды табайық:

Квадрат теңдеудің түбірлері үшін әдеттегі формуланы қолдануға болатынын ескеріңіз, бірақ бұл жағдайда көбірек есептеу жұмыстарын орындауға тура келеді.

Жауап:

Квадрат теңдеулердің түрін жеңілдету

Кейде квадрат теңдеудің түбірлерін формулалар арқылы есептеуді бастамас бұрын: «Бұл теңдеудің түрін жеңілдету мүмкін бе?» Деген сұрақты қоюдың зияны жоқ. 1100 x 2 −400 x−600=0-ге қарағанда 11 x 2 −4 x−6=0 квадрат теңдеуін есептеулер тұрғысынан шешу оңайырақ болатынымен келісіңіз.

Әдетте квадрат теңдеудің түрін жеңілдету екі жағын да белгілі бір санға көбейту немесе бөлу арқылы қол жеткізіледі. Мысалы, алдыңғы абзацта екі жағын 100-ге бөлу арқылы 1100 x 2 −400 x −600=0 теңдеуін оңайлатуға болатын еді.

Ұқсас түрлендіру коэффициенттері емес квадрат теңдеулермен жүзеге асырылады. Бұл жағдайда теңдеудің екі жағы әдетте оның коэффициенттерінің абсолютті мәндеріне бөлінеді. Мысалы, 12 x 2 −42 x+48=0 квадрат теңдеуін алайық. оның коэффициенттерінің абсолютті мәндері: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Бастапқы квадрат теңдеудің екі жағын 6-ға бөлсек, 2 x 2 −7 x+8=0 эквивалентті квадрат теңдеуге келеміз.

Ал квадрат теңдеудің екі жағын көбейту әдетте бөлшек коэффициенттерден құтылу үшін жасалады. Бұл жағдайда көбейту оның коэффициенттерінің бөлгіштері арқылы жүзеге асырылады. Мысалы, егер квадрат теңдеудің екі жағы да LCM(6, 3, 1)=6-ға көбейтілсе, онда ол х 2 +4·x−18=0 қарапайым түрін алады.

Осы тармақты қорытындылай келе, олар барлық мүшелердің таңбаларын өзгерту арқылы квадрат теңдеудің ең жоғары коэффициентіндегі минустан әрқашан дерлік құтылатынын атап өтеміз, бұл екі жағын −1-ге көбейтуге (немесе бөлуге) сәйкес келеді. Мысалы, әдетте −2 x 2 −3 x+7=0 квадрат теңдеуінен 2 x 2 +3 x−7=0 шешіміне көшеді.

Квадрат теңдеудің түбірлері мен коэффициенттері арасындағы байланыс

Квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласы теңдеудің түбірлерін оның коэффициенттері арқылы өрнектейді. Түбір формуласына сүйене отырып, түбірлер мен коэффициенттер арасындағы басқа қатынастарды алуға болады.

Вьета теоремасының ең танымал және қолданылатын формулалары және пішіні болып табылады. Атап айтқанда, берілген квадрат теңдеу үшін түбірлердің қосындысы қарама-қарсы таңбалы екінші коэффициентке, ал түбірлердің көбейтіндісі бос мүшеге тең. Мысалы, 3 x 2 −7 x + 22 = 0 квадрат теңдеудің түріне қарап, оның түбірлерінің қосындысы 7/3-ке тең, ал түбірлерінің көбейтіндісі 22-ге тең деп бірден айта аламыз. /3.

Жазылған формулаларды пайдалана отырып, квадрат теңдеудің түбірлері мен коэффициенттері арасындағы басқа да бірқатар байланыстарды алуға болады. Мысалы, квадрат теңдеудің түбірлерінің квадраттарының қосындысын оның коэффициенттері арқылы өрнектеуге болады: .

Әдебиеттер тізімі.

• Алгебра:оқулық 8 сыныпқа арналған. жалпы білім беру мекемелер / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; өңдеген С.А.Теляковский. - 16-шы басылым. – М.: Білім, 2008. – 271 б. : науқас. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А.Г.Алгебра. 8 сынып. 14.00 1-бөлім. Оқушыларға арналған оқулық оқу орындары/ А.Г.Мордкович. - 11-ші басылым, өшірілген. - М.: Мнемосине, 2009. - 215 б.: сырқат. ISBN 978-5-346-01155-2.

Библиографиялық сипаттама:Гасанов А.Р., Курамшин А.А., Елков А.А., Шилненков Н.В., Уланов Д.Д., Шмелева О.В. Квадрат теңдеулерді шешу әдістері // Молодой ученый. 2016. № 6.1. Б. 17-20..02.2019).



Біздің жоба квадрат теңдеулерді шешу жолдары туралы. Жобаның мақсаты: мектеп бағдарламасына кірмейтін тәсілдермен квадрат теңдеулерді шешуге үйрету. Тапсырма: бәрін тап мүмкін жолдарыквадрат теңдеулерді шешу және оларды өз бетінше қолдануды үйрену және осы әдістерді сыныптастарына таныстыру.

«Квадрат теңдеулер» дегеніміз не?

Квадрат теңдеу- пішіннің теңдеуі балта2 + bx + c = 0, Қайда а, б, в- кейбір сандар ( a ≠ 0), x- белгісіз.

a, b, c сандары квадрат теңдеудің коэффициенттері деп аталады.

• a бірінші коэффициент деп аталады;
• b екінші коэффициент деп аталады;
• c - еркін мүше.

Квадрат теңдеулерді алғаш «ойлап шығарған» кім?

Сызықтық және квадрат теңдеулерді шешудің кейбір алгебралық әдістері Ежелгі Вавилонда 4000 жыл бұрын белгілі болған. Біздің дәуірімізге дейінгі 1800-1600 жылдар аралығындағы ежелгі Вавилон саз тақталарының табылуы квадрат теңдеулерді зерттеудің ең алғашқы дәлелі болып табылады. Дәл сол планшеттерде квадрат теңдеулердің белгілі бір түрлерін шешу әдістері бар.

Бірінші ғана емес, екінші дәрежелі теңдеулерді шешу қажеттілігі ежелгі дәуірде облыстарды табуға байланысты есептерді шешу қажеттілігінен туындаған. жер учаскелеріжәне әскери сипаттағы жер жұмыстарымен, сондай-ақ астрономия мен математиканың дамуымен.

Вавилондық мәтіндерде келтірілген бұл теңдеулерді шешу ережесі қазіргіге сәйкес келеді, бірақ вавилондықтардың бұл ережеге қалай келгені белгісіз. Осы уақытқа дейін табылған сына жазуының барлық дерлік мәтіндері рецепттер түрінде берілген шешімдері бар мәселелерді ғана қамтамасыз етеді, олардың қалай табылғанын көрсетпейді. Қарамастан жоғары деңгейВавилондағы алгебраның дамуы, сына жазуы мәтіндерінде теріс сан және ұғымы жоқ жалпы әдістерквадрат теңдеулерді шешу.

Шамамен б.з.б 4 ғасырдағы Вавилон математиктері. оң түбірлері бар теңдеулерді шешу үшін квадраттың толықтауыш әдісін қолданды. Біздің эрамызға дейінгі 300 жж Евклид жалпы геометриялық шешім әдісін ойлап тапты. Теріс түбірлері бар теңдеулердің шешімін алгебралық формула түрінде тапқан тұңғыш математик үнді ғалымы. Брахмагупта(Үндістан, біздің эрамыздың 7 ғасыры).

Брахмагупта бір канондық түрге келтірілген квадрат теңдеулерді шешудің жалпы ережесін келтірді:

ax2 + bx = c, a>0

Бұл теңдеудегі коэффициенттер де теріс болуы мүмкін. Брахмагуптаның ережесі шын мәнінде біздікімен бірдей.

Үндістанда күрделі мәселелерді шешудегі ашық жарыстар жиі болды. Ескі үнді кітаптарының бірінде мұндай жарыстар туралы былай делінген: «Күн жұлдыздарды жарқырағанымен қалай тұтса, білімді адамол алгебралық есептерді ұсынып, шешу арқылы қоғамдық жиналыстарда даңқын жауып тастайды». Мәселелер көбінесе поэтикалық күйде ұсынылды.

Алгебралық трактатта Әл-Хорезмисызықтық және квадрат теңдеулердің классификациясы берілген. Автор теңдеудің 6 түрін санап, оларды былай өрнектейді:

1) «Квадраттар түбірлерге тең», яғни ax2 = bx.

2) «Квадраттар сандарға тең», яғни ax2 = c.

3) «Түбірлер санға тең», яғни ax2 = c.

4) «Квадраттар мен сандар түбірлерге тең», яғни ax2 + c = bx.

5) «Квадраттар мен түбірлер санға тең», яғни ax2 + bx = c.

6) «Түбірлер мен сандар квадраттарға тең», яғни bx + c == ax2.

Теріс сандарды қолданудан аулақ болған әл-Хорезми үшін бұл теңдеулердің әрқайсысының мүшелері қосындылар болып табылады және алынбайтын болады. Бұл жағдайда оң шешімдері жоқ теңдеулер ескерілмейтіні анық. Автор бұл теңдеулерді әл-жабр және әл-мукабал әдістерін қолдана отырып шешу әдістерін белгілейді. Оның шешімі, әрине, біздікімен толық сәйкес келмейді. Оның таза риторикалық екенін айтпағанның өзінде, айталық, бірінші текті толық емес квадрат теңдеуді шешкенде Әл-Хорезми 17 ғасырға дейінгі барлық математиктер сияқты нөлдік шешімді есепке алмағанын айта кеткен жөн. Мүмкін, нақты практикада тапсырмаларда маңызды емес. Толық квадрат теңдеулерді шешкенде, әл-Хорезми оларды шешудің ережелерін нақты сандық мысалдар арқылы, содан кейін олардың геометриялық дәлелдеулерін белгілейді.

Еуропадағы Аль-Хорезми үлгісі бойынша квадрат теңдеулерді шешу формалары алғаш рет 1202 жылы жазылған «Абакус кітабында» келтірілген. Итальяндық математик Леонард Фибоначчи. Автор өз бетінше жаңадан әзірледі алгебралық мысалдармәселелерді шешіп, Еуропада бірінші болып теріс сандарды енгізді.

Бұл кітап алгебралық білімнің тек Италияда ғана емес, Германияда, Францияда және басқа да Еуропа елдерінде таралуына ықпал етті. Бұл кітаптағы көптеген есептер 14-17 ғасырлардағы Еуропаның барлық дерлік оқулықтарында қолданылған. Жалпы ереже b, c белгілері мен коэффициенттерінің барлық мүмкін комбинациясы үшін x2 + bх = с бірыңғай канондық түрге келтірілген квадрат теңдеулердің шешімі 1544 жылы Еуропада тұжырымдалған. М. Штифель.

Квадрат теңдеуді шешуге арналған формуланы жалпы түрде шығару Виеттен бар, бірақ Виет тек оң түбірлерді мойындады. Итальяндық математиктер Тарталья, Кардано, Бомбелли 16 ғасырдағы алғашқылардың бірі. ескеру, оң қосымша, және теріс тамырлар. Тек 17 ғасырда. күш-жігерінің арқасында Жирард, Декарт, Ньютонжәне басқа ғалымдардың зерттеуінде квадрат теңдеулерді шешу әдісі қазіргі заманғы формада.

Квадрат теңдеулерді шешудің бірнеше жолдарын қарастырайық.

Мектеп бағдарламасындағы квадрат теңдеулерді шешудің стандартты әдістері:

1. Теңдеудің сол жағын көбейткіштерге бөлу.
2. Толық шаршыны таңдау әдісі.
3. Формула арқылы квадрат теңдеулерді шешу.
4. Графикалық шешімквадрат теңдеу.
5. Виета теоремасын пайдаланып теңдеулерді шешу.

Келтірілген және келтірілмеген квадрат теңдеулерді Виет теоремасын пайдаланып шешуге толығырақ тоқталайық.

Еске салайық, жоғарыдағы квадрат теңдеулерді шешу үшін көбейтіндісі бос мүшеге тең, ал қосындысы қарама-қарсы таңбалы екінші коэффициентке тең екі санды табу жеткілікті.

Мысал.x 2 -5x+6=0

Көбейтіндісі 6, қосындысы 5 болатын сандарды табу керек. Бұл сандар 3 және 2 болады.

Жауабы: x 1 =2, x 2 =3.

Бірақ бұл әдісті бірінші коэффициенті біреуге тең емес теңдеулер үшін де қолдануға болады.

Мысал.3x 2 +2x-5=0

Бірінші коэффициентті алып, оны бос мүшеге көбейтіңіз: x 2 +2x-15=0

Бұл теңдеудің түбірлері көбейтіндісі - 15-ке, ал қосындысы - 2-ге тең сандар болады. Бұл сандар 5 және 3. Бастапқы теңдеудің түбірлерін табу үшін алынған түбірлерді бірінші коэффициентке бөлу керек.

Жауабы: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. «Лақтыру» әдісі арқылы теңдеулерді шешу.

ax 2 + bx + c = 0 квадрат теңдеуін қарастырайық, мұндағы a≠0.

Екі жағын а-ға көбейтіп, a 2 x 2 + abx + ac = 0 теңдеуін аламыз.

ax = y болсын, мұндағы х = у/а; онда берілгенге эквивалентті y 2 + by + ac = 0 теңдеуіне келеміз. 1 және 2 үшін оның түбірлерін Виет теоремасы арқылы табамыз.

Біз ақырында x 1 = y 1 /a және x 2 = y 2 /a аламыз.

Бұл әдіспен а коэффициенті бос мүшеге көбейтіледі, оған «лақтырылған» сияқты, сондықтан оны «лақтыру» әдісі деп атайды. Бұл әдіс теңдеудің түбірлерін Виет теоремасы арқылы оңай табуға болатын кезде және ең бастысы дискриминант дәл квадрат болғанда қолданылады.

Мысал.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Бос мүшеге 2 коэффициентін «лақтырып», алмастыруды жасап, у 2 - 11у + 30 = 0 теңдеуін алайық.

Виетаның кері теоремасы бойынша

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Жауабы: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Квадрат теңдеудің коэффициенттерінің қасиеттері.

ax 2 + bx + c = 0 квадрат теңдеуі, a ≠ 0 берілсін.

1. Егер a+ b + c = 0 (яғни, теңдеу коэффициенттерінің қосындысы нөлге тең болса), онда x 1 = 1.

2. Егер a - b + c = 0, немесе b = a + c болса, онда x 1 = - 1.

Мысал.345x 2 - 137x - 208 = 0.

a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0) болғандықтан, x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Жауабы: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Мысал.132x 2 + 247x + 115 = 0

Өйткені a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), онда x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Жауабы: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Квадрат теңдеудің коэффициенттерінің басқа да қасиеттері бар. бірақ оларды пайдалану күрделірек.

8. Номограмма көмегімен квадрат теңдеулерді шешу.

1-сурет. Номограмма

Бұл жинақтың 83-бетінде орналастырылған квадрат теңдеулерді шешудің ескі және қазір ұмытылған әдісі: Брадис В.М. Төрт таңбалы математикалық кестелер. – М., Білім, 1990 ж.

XXII кесте. Теңдеуді шешуге арналған номограмма z 2 + pz + q = 0. Бұл номограмма квадрат теңдеуді шешпей, оның коэффициенттерінен теңдеудің түбірлерін анықтауға мүмкіндік береді.

Номограмманың қисық сызықты шкаласы формулалар бойынша құрастырылады (1-сурет):

Сену OS = p, ED = q, OE = a(барлығы см), 1-суреттен үшбұрыштардың ұқсастықтары SANЖәне CDFпропорцияны аламыз

ол алмастырулар мен жеңілдетулерден кейін теңдеуді береді z 2 + pz + q = 0,және хат zқисық шкаладағы кез келген нүктенің белгісін білдіреді.

Күріш. 2 Номограмма көмегімен квадрат теңдеулерді шешу

Мысалдар.

1) теңдеу үшін z 2 - 9z + 8 = 0номограмма z 1 = 8,0 және z 2 = 1,0 түбірлерін береді

Жауабы: 8,0; 1.0.

2) Номограмманы пайдаланып, теңдеуді шешеміз

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Осы теңдеудің коэффициенттерін 2-ге бөлсек, z 2 - 4,5z + 1 = 0 теңдеуін аламыз.

Номограмма z 1 = 4 және z 2 = 0,5 түбірлерін береді.

Жауабы: 4; 0,5.

9. Квадрат теңдеулерді шешудің геометриялық әдісі.

Мысал.X 2 + 10x = 39.

Түпнұсқада бұл есеп былай тұжырымдалған: «Квадрат және он түбір 39-ға тең».

Қабырғасы x болатын шаршыны қарастырайық, оның қабырғаларына тіктөртбұрыштар салынған, сондықтан олардың әрқайсысының екінші жағы 2,5, сондықтан әрқайсысының ауданы 2,5x. Алынған фигура бұрыштарға төрт шаршыны қосып, жаңа ABCD квадратына толтырылады. тең шаршы, олардың әрқайсысының қабырғасы 2,5, ал ауданы 6,25

Күріш. 3 x 2 + 10x = 39 теңдеуін шешудің графикалық әдісі

ABCD шаршысының S ауданы мыналардың аудандарының қосындысы ретінде ұсынылуы мүмкін: бастапқы квадрат x 2, төрт төртбұрыш (4∙2,5x = 10x) және төрт қосымша квадрат (6,25∙4 = 25), яғни. S = x 2 + 10x = 25. x 2 + 10x санын 39 санымен ауыстырсақ, S = 39 + 25 = 64 болатынын аламыз, бұл квадраттың қабырғасы ABCD, яғни. AB кесіндісі = 8. Бастапқы квадраттың қажетті x жағы үшін аламыз

10. Безут теоремасын пайдаланып теңдеулерді шешу.

Безут теоремасы. P(x) көпмүшені х - α биномына бөлудің қалдығы P(α) тең (яғни, P(x) х = α кезіндегі).

Егер α саны P(x) көпмүшесінің түбірі болса, онда бұл көпмүше х -α-ға қалдықсыз бөлінеді.

Мысал.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. P(x) мәнін (x-1) бөлу: (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, немесе x-3=0, x=3; Жауабы: x1 =2, x2 =3.

Қорытынды:Квадрат теңдеулерді жылдам және ұтымды шешу мүмкіндігі көбірек шешу үшін қажет күрделі теңдеулер, мысалы, бөлшек рационал теңдеулер, теңдеулер жоғары дәрежелер, биквадрат теңдеулер және in орта мектептригонометриялық, көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер. Квадрат теңдеулерді шешудің барлық табылған жолдарын зерттей отырып, біз сыныптастарымызға кеңес бере аламыз, қоспағанда стандартты әдістер, беру әдісімен шешу (6) және теңдеулерді коэффициенттердің (7) қасиеттерін пайдаланып шешу, өйткені олар түсінуге қол жетімді.

Әдебиет:

1. Брэдис В.М. Төрт таңбалы математикалық кестелер. – М., Білім, 1990 ж.
2. Алгебра 8-сынып: 8-сыныпқа арналған оқулық. жалпы білім беру мекемелер Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. ред. С.А.Теляковский 15-бас., қайта қаралған. - М.: Білім, 2015 ж
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Глейзер Г.И. Мектептегі математика тарихы. Мұғалімдерге арналған нұсқаулық. / Ред. В.Н. Кіші. – М.: Білім, 1964 ж.

Бастапқы деңгей

Квадрат теңдеулер. Кешенді нұсқаулық (2019)

«Квадрат теңдеу» терминінде негізгі сөз «квадраттық» болып табылады. Бұл теңдеу міндетті түрде айнымалыны (сол х) квадратты қамтуы керек және үшінші (немесе үлкен) дәрежеге х болмауы керек дегенді білдіреді.

Көптеген теңдеулерді шешу квадрат теңдеулерді шешуге келеді.

Бұл басқа теңдеу емес, квадрат теңдеу екенін анықтауды үйренейік.

1-мысал.

Бөлгіштен құтылып, теңдеудің әрбір мүшесін көбейтейік

Барлығын сол жаққа жылжытып, терминдерді X дәрежесінің кему ретімен орналастырайық

Енді біз мұны нық сеніммен айта аламыз берілген теңдеутөртбұрышты!

2-мысал.

Сол және оң жақтарын көбейтіңіз:

Бұл теңдеу бастапқыда болғанымен, квадрат емес!

3-мысал.

Барлығын көбейтейік:

Қорқынышты ма? Төртінші және екінші дәрежелер... Дегенмен, ауыстыруды жасасақ, бізде қарапайым квадрат теңдеу бар екенін көреміз:

4-мысал.

Ол бар сияқты, бірақ жақынырақ қарастырайық. Барлығын сол жаққа жылжытайық:

Қараңызшы, ол қысқартылды - енді бұл қарапайым сызықтық теңдеу!

Енді келесі теңдеулердің қайсысы квадрат, қайсысы емес екенін өзіңіз анықтап көріңіз:

Мысалдар:

Жауаптары:

1. шаршы;
2. шаршы;
3. шаршы емес;
4. шаршы емес;
5. шаршы емес;
6. шаршы;
7. шаршы емес;
8. шаршы.

Математиктер барлық квадрат теңдеулерді шартты түрде келесі түрлерге бөледі:

• Толық квадрат теңдеулер- коэффиценттері және, сондай-ақ бос c мүшесі нөлге тең емес теңдеулер (мысалдағыдай). Сонымен қатар, толық квадрат теңдеулер бар берілген- бұл коэффициенті бар теңдеулер (бірінші мысалдағы теңдеу тек толық емес, сонымен қатар қысқартылған!)

• Толық емес квадрат теңдеулер- коэффициенті және немесе бос c мүшесі нөлге тең теңдеулер:

  Олар толық емес, себебі оларда кейбір элемент жоқ. Бірақ теңдеуде әрқашан x квадраты болуы керек!!! Әйтпесе, ол енді квадрат теңдеу емес, басқа теңдеу болады.

Неліктен олар мұндай бөлуді ойлап тапты? X квадраты бар сияқты, және жарайды. Бұл бөлу шешу әдістерімен анықталады. Олардың әрқайсысын толығырақ қарастырайық.

Толымсыз квадрат теңдеулерді шешу

Алдымен, толық емес квадрат теңдеулерді шешуге назар аударайық - олар әлдеқайда қарапайым!

Толық емес квадрат теңдеулердің түрлері бар:

1. , бұл теңдеудегі коэффициент тең.
2. , бұл теңдеудегі бос мүшесі тең.
3. , бұл теңдеуде коэффициент пен бос мүше тең.

1. i. Өйткені біз қалай шығару керектігін білеміз Шаршы түбір, онда осы теңдеуден өрнектеп көрейік

Өрнек теріс немесе оң болуы мүмкін. Квадрат сан теріс болуы мүмкін емес, өйткені екі теріс немесе екі оң сандарды көбейткенде нәтиже әрқашан оң сан болады, сондықтан: егер, онда теңдеудің шешімдері жоқ.

Ал егер, онда біз екі түбір аламыз. Бұл формулаларды жаттап алудың қажеті жоқ. Ең бастысы, сіз одан кем болмайтынын білуіңіз керек және әрқашан есте сақтауыңыз керек.

Кейбір мысалдарды шешуге тырысайық.

5-мысал:

Теңдеуді шеш

Енді сол және оң жақтан тамырды алу ғана қалды. Ақыр соңында, сіз тамырларды қалай алу керектігін есіңізде ме?

Жауап:

Теріс белгісі бар тамырларды ешқашан ұмытпаңыз!!!

6-мысал:

Теңдеуді шеш

Жауап:

7-мысал:

Теңдеуді шеш

О! Санның квадраты теріс болуы мүмкін емес, бұл теңдеу дегенді білдіреді

тамыры жоқ!

Түбірлері жоқ мұндай теңдеулер үшін математиктер арнайы белгішені - (бос жиынтық) ойлап тапты. Ал жауапты былай жазуға болады:

Жауап:

Сонымен, бұл квадрат теңдеудің екі түбірі бар. Мұнда ешқандай шектеулер жоқ, өйткені біз тамырды шығармағанбыз.
8-мысал:

Теңдеуді шеш

Жақшаның ішінен ортақ көбейткішті шығарайық:

Осылайша,

Бұл теңдеудің екі түбірі бар.

Жауап:

Толық емес квадрат теңдеулердің ең қарапайым түрі (олардың барлығы қарапайым болғанымен, солай ма?). Әлбетте, бұл теңдеудің әрқашан бір ғана түбірі болады:

Біз мұнда мысалдарды келтіреміз.

Толық квадрат теңдеулерді шешу

Толық квадрат теңдеу мұндағы түрдегі теңдеудің теңдеуі екенін еске саламыз

Толық квадрат теңдеулерді шешу оларға қарағанда біршама қиынырақ (сәл ғана).

Есіңізде болсын, Кез келген квадрат теңдеуді дискриминант көмегімен шешуге болады! Тіпті толық емес.

Басқа әдістер мұны тезірек орындауға көмектеседі, бірақ егер сізде квадрат теңдеулерге қатысты мәселелер болса, алдымен дискриминантты пайдаланып шешімді меңгеріңіз.

1. Квадрат теңдеулерді дискриминантты пайдаланып шешу.

Бұл әдіс арқылы квадрат теңдеулерді шешу өте қарапайым, ең бастысы - әрекеттер тізбегін және бірнеше формулаларды есте сақтау.

Егер, онда теңдеудің түбірі бар.Қадамға ерекше назар аудару керек. Дискриминант () теңдеудің түбірлерінің санын айтады.

• Егер, онда қадамдағы формула келесіге дейін қысқарады. Осылайша, теңдеудің тек түбірі болады.
• Егер, онда біз қадамдағы дискриминанттың түбірін шығара алмаймыз. Бұл теңдеудің түбірі жоқ екенін көрсетеді.

Теңдеуімізге қайта оралып, бірнеше мысалдарды қарастырайық.

9-мысал:

Теңдеуді шеш

1-қадамөткізіп жібереміз.

2-қадам.

Біз дискриминантты табамыз:

Бұл теңдеудің екі түбірі бар дегенді білдіреді.

3-қадам.

Жауап:

10-мысал:

Теңдеуді шеш

Теңдеу стандартты түрде берілген, сондықтан 1-қадамөткізіп жібереміз.

2-қадам.

Біз дискриминантты табамыз:

Бұл теңдеудің бір түбірі бар дегенді білдіреді.

Жауап:

11-мысал:

Теңдеуді шеш

Теңдеу стандартты түрде берілген, сондықтан 1-қадамөткізіп жібереміз.

2-қадам.

Біз дискриминантты табамыз:

Бұл дискриминанттың түбірін шығара алмайтынымызды білдіреді. Теңдеудің түбірі жоқ.

Енді біз мұндай жауаптарды қалай дұрыс жазу керектігін білеміз.

Жауап:тамыры жоқ

2. Квадрат теңдеулерді Виет теоремасын пайдаланып шешу.

Естеріңізде болса, төмендетілген деп аталатын теңдеу түрі бар (а коэффициенті тең болғанда):

Мұндай теңдеулерді Виет теоремасы арқылы шешу өте оңай:

Түбірлердің қосындысы берілгенквадрат теңдеу тең, ал түбірлердің көбейтіндісі тең.

12-мысал:

Теңдеуді шеш

Бұл теңдеуді Виет теоремасы арқылы шешуге болады, өйткені .

Теңдеудің түбірлерінің қосындысы тең, яғни. бірінші теңдеуді аламыз:

Ал өнім мынаған тең:

Жүйені құрастырып шешейік:

• Және. Сома тең;
• Және. Сома тең;
• Және. Сома тең.

және бұл жүйенің шешімі:

Жауап: ; .

13-мысал:

Теңдеуді шеш

Жауап:

14-мысал:

Теңдеуді шеш

Теңдеу берілген, ол мынаны білдіреді:

Жауап:

Квадраттық теңдеулер. ОРТАША ДЕҢГЕЙ

Квадрат теңдеу дегеніміз не?

Басқаша айтқанда, квадрат теңдеу түрдегі теңдеу болып табылады, мұндағы - белгісіз, - кейбір сандар, және.

Сан ең үлкен немесе деп аталады бірінші коэффициентквадрат теңдеу, - екінші коэффициент, A - тегін мүше.

Неліктен? Өйткені теңдеу бірден сызықты болса, өйткені жоғалады.

Бұл жағдайда және нөлге тең болуы мүмкін. Бұл кафедрада теңдеу толық емес деп аталады. Барлық терминдер орнында болса, яғни теңдеу толық болады.

Квадрат теңдеулердің әртүрлі типтерінің шешімдері

Толық емес квадрат теңдеулерді шешу әдістері:

Алдымен, аяқталмаған квадрат теңдеулерді шешу әдістерін қарастырайық - олар қарапайым.

Теңдеулердің келесі түрлерін ажыратуға болады:

I., бұл теңдеуде коэффициент пен бос мүше тең.

II. , бұл теңдеудегі коэффициент тең.

III. , бұл теңдеудегі бос мүшесі тең.

Енді осы кіші түрлердің әрқайсысының шешімін қарастырайық.

Әлбетте, бұл теңдеудің әрқашан бір ғана түбірі болады:

Квадрат сан теріс болуы мүмкін емес, өйткені екі теріс немесе екі оң санды көбейткенде нәтиже әрқашан оң сан болады. Сондықтан:

егер, онда теңдеудің шешімдері жоқ;

егер бізде екі тамыр болса

Бұл формулаларды жаттап алудың қажеті жоқ. Ең бастысы, оның аз болуы мүмкін емес екенін есте ұстаған жөн.

Мысалдар:

Шешімдер:

Жауап:

Теріс белгісі бар тамырлар туралы ешқашан ұмытпаңыз!

Санның квадраты теріс болуы мүмкін емес, бұл теңдеу дегенді білдіреді

тамыры жоқ.

Мәселенің шешімі жоқ екенін қысқаша жазу үшін біз бос жиын белгішесін қолданамыз.

Жауап:

Сонымен, бұл теңдеудің екі түбірі бар: және.

Жауап:

Біз оны шығарамыз ортақ көбейткішжақшаның сыртында:

Көбейткіштердің кем дегенде біреуі нөлге тең болса, көбейтінді нөлге тең болады. Бұл теңдеудің шешімі бар екенін білдіреді:

Сонымен, бұл квадрат теңдеудің екі түбірі бар: және.

Мысалы:

Теңдеуді шеш.

Шешімі:

Теңдеудің сол жағын көбейткіштерге бөліп, түбірлерін табайық:

Жауап:

Толық квадрат теңдеулерді шешу әдістері:

1. Дискриминант

Квадрат теңдеулерді осылай шешу оңай, бастысы - әрекеттер тізбегін және бірнеше формуланы есте сақтау. Есіңізде болсын, кез келген квадрат теңдеуді дискриминантты пайдаланып шешуге болады! Тіпті толық емес.

Түбірлерге арналған формуладағы дискриминанттан түбірді байқадыңыз ба? Бірақ дискриминант теріс болуы мүмкін. Не істеу? Біз 2-қадамға ерекше назар аударуымыз керек. Дискриминант бізге теңдеудің түбірлерінің санын айтады.

• Егер, онда теңдеудің түбірі болады:
• Егер онда теңдеу бар бірдей тамырлар, бірақ негізінен бір түбір:

  Мұндай тамырларды қос түбірлер деп атайды.

• Егер, онда дискриминанттың түбірі шығарылмайды. Бұл теңдеудің түбірі жоқ екенін көрсетеді.

Неліктен мүмкін әртүрлі мөлшерлертамыры? жүгінейік геометриялық мағынаквадрат теңдеу. Функцияның графигі парабола:

Квадрат теңдеу болып табылатын ерекше жағдайда . Бұл квадрат теңдеудің түбірлері абсцисса осімен (ось) қиылысу нүктелері екенін білдіреді. Парабола осьті мүлде қиыспауы мүмкін немесе оны бір (параболаның төбесі осьте жатқанда) немесе екі нүктеде қиюы мүмкін.

Сонымен қатар, коэффициент параболаның тармақтарының бағытына жауап береді. Егер, онда параболаның тармақтары жоғары, ал егер болса, онда төмен бағытталған.

Мысалдар:

Шешімдер:

Жауап:

Жауап: .

Жауап:

Бұл шешімдер жоқ дегенді білдіреді.

Жауап: .

2. Виетаның теоремасы

Виет теоремасын қолдану өте оңай: көбейтіндісі теңдеудің бос мүшесіне тең сандар жұбын таңдау керек, ал қосындысы қарама-қарсы таңбамен алынған екінші коэффициентке тең.

Виетаның теоремасын тек қолдануға болатынын есте ұстаған жөн келтірілген квадрат теңдеулер ().

Бірнеше мысалды қарастырайық:

№1 мысал:

Теңдеуді шеш.

Шешімі:

Бұл теңдеуді Виет теоремасы арқылы шешуге болады, өйткені . Басқа коэффициенттер: ; .

Теңдеудің түбірлерінің қосындысы:

Ал өнім мынаған тең:

Көбейтінділері тең сандар жұбын таңдап алайық және олардың қосындысы тең екенін тексерейік:

• Және. Сома тең;
• Және. Сома тең;
• Және. Сома тең.

және бұл жүйенің шешімі:

Сонымен, және біздің теңдеуіміздің түбірлері.

Жауап: ; .

№2 мысал:

Шешімі:

Өнімде беретін сандар жұбын таңдап алайық, содан кейін олардың қосындысының тең екенін тексерейік:

және: олар жалпы береді.

және: олар жалпы береді. Алу үшін болжамды тамырлардың белгілерін өзгерту жеткілікті: және, ең алдымен, өнім.

Жауап:

№3 мысал:

Шешімі:

Теңдеудің бос мүшесі теріс, демек түбірлердің көбейтіндісі теріс сан болады. Бұл түбірлердің бірі теріс, екіншісі оң болған жағдайда ғана мүмкін болады. Сондықтан түбірлердің қосындысы тең олардың модульдерінің айырмашылығы.

Көбейтіндіде беретін және айырмасы тең сандар жұбын таңдап алайық:

және: олардың айырмашылығы тең - сәйкес келмейді;

және: - жарамсыз;

және: - жарамсыз;

және: - қолайлы. Түбірлердің бірі теріс екенін есте сақтау ғана қалады. Олардың қосындысы тең болуы керек болғандықтан, модулі кіші түбір теріс болуы керек: . Біз тексереміз:

Жауап:

№4 мысал:

Теңдеуді шеш.

Шешімі:

Теңдеу берілген, ол мынаны білдіреді:

Еркін термин теріс, демек түбірлердің туындысы да теріс. Ал бұл теңдеудің бір түбірі теріс, екіншісі оң болғанда ғана мүмкін болады.

Көбейтінділері тең сандар жұбын таңдап алайық, содан кейін қандай түбірлерде теріс таңба болуы керек екенін анықтайық:

Әлбетте, тек тамырлар және бірінші жағдайға жарамды:

Жауап:

№5 мысал:

Теңдеуді шеш.

Шешімі:

Теңдеу берілген, ол мынаны білдіреді:

Түбірлердің қосындысы теріс, яғни түбірлердің кем дегенде біреуі теріс. Бірақ олардың өнімі оң болғандықтан, бұл екі түбірде де минус белгісі бар дегенді білдіреді.

Көбейтінділері тең сандар жұбын таңдайық:

Әлбетте, түбірлер сандар және.

Жауап:

Келісіңіз, бұл жағымсыз дискриминантты санаудың орнына тамырларды ауызша шығару өте ыңғайлы. Виетаның теоремасын мүмкіндігінше жиі қолдануға тырысыңыз.

Бірақ Виетаның теоремасы түбірлерді табуды жеңілдету және жылдамдату үшін қажет. Оны пайдаланудан пайда алу үшін сіз әрекеттерді автоматты түрде орындауыңыз керек. Бұл үшін тағы бес мысалды шешіңіз. Бірақ алдамаңыз: дискриминантты пайдалана алмайсыз! Тек Виетаның теоремасы:

Өзіндік жұмыс тапсырмаларының шешімдері:

1-тапсырма.((х)^(2))-8х+12=0

Виетаның теоремасы бойынша:

Әдеттегідей, таңдауды бөліктен бастаймыз:

Қолайсыз, себебі сома;

: сома дәл сізге қажет.

Жауап: ; .

2-тапсырма.

Тағы да біздің сүйікті Виет теоремасы: қосынды тең болуы керек, ал көбейтінді тең болуы керек.

Бірақ ол болмауы керек болғандықтан, бірақ, біз түбірлердің белгілерін өзгертеміз: және (барлығы).

Жауап: ; .

3-тапсырма.

Хм... Бұл қайда?

Барлық шарттарды бір бөлікке жылжыту керек:

Түбірлердің қосындысы көбейтіндіге тең.

Жарайды, тоқта! Теңдеу берілмейді. Бірақ Виет теоремасы берілген теңдеулерде ғана қолданылады. Сондықтан алдымен теңдеу беру керек. Егер сіз басқара алмасаңыз, бұл идеядан бас тартып, оны басқа жолмен шешіңіз (мысалы, дискриминант арқылы). Естеріңізге сала кетейін, квадрат теңдеуді беру жетекші коэффициентті тең етуді білдіреді:

Тамаша. Сонда түбірлердің қосындысы және көбейтіндісіне тең болады.

Бұл жерде таңдау алмұрт шағылыстыру сияқты оңай: бұл жай сан (таутология үшін кешіріңіз).

Жауап: ; .

4-тапсырма.

Тегін мүше теріс. Мұның ерекшелігі неде? Ал тамырлардың әртүрлі белгілері болатыны шындық. Ал енді іріктеу кезінде біз түбірлердің қосындысын емес, олардың модульдеріндегі айырмашылықты тексереміз: бұл айырмашылық тең, бірақ көбейтінді.

Сонымен, түбірлер менге тең, бірақ олардың біреуі минус. Виетаның теоремасы түбірлердің қосындысы қарама-қарсы таңбалы екінші коэффициентке тең екенін айтады, яғни. Бұл кіші түбірдің минус болатынын білдіреді: және, өйткені.

Жауап: ; .

5-тапсырма.

Алдымен не істеу керек? Дұрыс, теңдеуді көрсетіңіз:

Тағы да: біз санның факторларын таңдаймыз және олардың айырмашылығы тең болуы керек:

Түбірлері менге тең, бірақ олардың біреуі минус. Қайсысы? Олардың қосындысы тең болуы керек, яғни минус үлкенірек түбірге ие болады.

Жауап: ; .

Қорытындылай кетейін:

1. Виет теоремасы берілген квадрат теңдеулерде ғана қолданылады.
2. Виет теоремасын пайдаланып, түбірлерді таңдау арқылы, ауызша табуға болады.
3. Егер теңдеу берілмесе немесе теңдеу табылмаса қолайлы жұпбос терминнің көбейткіштері, яғни бүтін түбірлер жоқ және оны басқа жолмен шешу керек (мысалы, дискриминант арқылы).

3. Толық шаршыны таңдау әдісі

Белгісізді қамтитын барлық мүшелер қысқартылған көбейту формулаларынан – қосындының немесе айырманың квадраты – мүшелер түрінде ұсынылса, онда айнымалыларды ауыстырғаннан кейін теңдеу түрдегі толық емес квадрат теңдеу түрінде ұсынылуы мүмкін.

Мысалы:

1-мысал:

Теңдеуді шеш: .

Шешімі:

Жауап:

2-мысал:

Теңдеуді шеш: .

Шешімі:

Жауап:

Жалпы, трансформация келесідей болады:

Бұл мынаны білдіреді: .

Сізге ештеңені еске түсірмейді ме? Бұл кемсітушілік! Дискриминант формуласын дәл осылай алдық.

Квадраттық теңдеулер. НЕГІЗГІ НӘРСЕЛЕР ТУРАЛЫ ҚЫСҚА

Квадрат теңдеу- бұл түрдегі теңдеу, мұндағы - белгісіз, - квадрат теңдеудің коэффициенттері, - еркін мүше.

Толық квадрат теңдеу- коэффициенттері нөлге тең емес теңдеу.

Қысқартылған квадрат теңдеу- коэффициенті болатын теңдеу, яғни: .

Толық емес квадрат теңдеу- коэффициенті және немесе бос c мүшесі нөлге тең болатын теңдеу:

• коэффициент болса, теңдеу келесідей болады: ,
• егер бос мүше болса, теңдеу мына түрге ие болады: ,
• егер және, теңдеуі келесідей болады: .

1. Толымсыз квадрат теңдеулерді шешу алгоритмі

1.1. Толымсыз квадрат теңдеу, мұндағы, :

1) Белгісізді өрнектеп көрейік: ,

2) Өрнектің таңбасын тексеріңіз:

• егер теңдеудің шешімі жоқ болса,
• егер, онда теңдеудің екі түбірі болады.

1.2. Толымсыз квадрат теңдеу, мұндағы, :

1) Жақшаның ішінен ортақ көбейткішті шығарайық: ,

2) Көбейткіштердің ең болмағанда біреуі нөлге тең болса, көбейтінді нөлге тең. Демек, теңдеудің екі түбірі бар:

1.3. Толымсыз квадрат теңдеу, мұндағы:

Бұл теңдеудің әрқашан бір ғана түбірі болады: .

2. Мұндағы түрдегі толық квадрат теңдеулерді шешу алгоритмі

2.1. Дискриминантты қолданатын шешім

1) теңдеуді төмендетейік стандартты көрініс: ,

2) Дискриминантты формула бойынша есептейік: , ол теңдеудің түбірлерінің санын көрсетеді:

3) Теңдеудің түбірін табыңыз:

• егер, онда теңдеудің түбірлері бар, олар мына формула бойынша табылады:
• егер, онда теңдеудің түбірі бар, ол формула бойынша табылады:
• егер, онда теңдеудің түбірі жоқ.

2.2. Виета теоремасын қолданып шешу

Келтірілген квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы (мұндағы түрдегі теңдеу) тең, ал түбірлердің көбейтіндісі тең, яғни. , А.

2.3. Толық шаршыны таңдау әдісімен шешу

IN қазіргі қоғамКвадрат айнымалысы бар теңдеулермен амалдарды орындау мүмкіндігі қызметтің көптеген салаларында пайдалы болуы мүмкін және ғылыми-техникалық әзірлемелерде тәжірибеде кеңінен қолданылады. Бұған теңіз және өзен кемелерінің, ұшақтар мен зымырандардың конструкциясы дәлел бола алады. Осындай есептеулерді пайдалана отырып, ең көп қозғалыс траекториялары әртүрлі денелер, соның ішінде ғарыш объектілері. Квадрат теңдеулердің шешімі бар мысалдар тек экономикалық болжауда, ғимараттарды жобалау мен салуда ғана емес, сонымен қатар қарапайым күнделікті жағдайларда да қолданылады. Олар жаяу сапарларда, спорттық іс-шараларда, дүкендерде сатып алу кезінде және басқа да өте жиі кездесетін жағдайларда қажет болуы мүмкін.

Өрнекті құрамдас факторларға бөлейік

Теңдеудің дәрежесі анықталады максималды мәносы өрнекті қамтитын айнымалының дәрежесі. Егер ол 2-ге тең болса, онда мұндай теңдеу квадрат деп аталады.

Егер біз формулалар тілінде сөйлейтін болсақ, онда көрсетілген өрнектер, олар қалай көрінсе де, әрқашан пішінге келтірілуі мүмкін. сол жақөрнек үш мүшеден тұрады. Олардың ішінде: ax 2 (яғни, оның коэффициенті квадраты айнымалы), bx (коэффиценті бар квадратсыз белгісіз) және c (бос компонент, яғни тұрақты сан). Осының бәрі оң жағында 0-ге тең. Мұндай көпмүшенің 2-ші балдан басқа құрамдас мүшелерінің бірі жетіспейтін жағдайда, ол толық емес квадрат теңдеу деп аталады. Мұндай есептерді шешудің мысалдары, айнымалылардың мәндерін табу оңай, бірінші кезекте қарастырылуы керек.

Егер өрнектің оң жағында екі мүшесі бар сияқты көрінсе, дәлірек айтқанда ax 2 және bx, x табудың ең оңай жолы айнымалыны жақшадан шығару болып табылады. Енді біздің теңдеуіміз келесідей болады: x(ax+b). Әрі қарай, не x=0, не мәселе келесі өрнектен айнымалыны табуға келетіні анық болады: ax+b=0. Бұл көбейтудің бір қасиетімен белгіленеді. Ереже екі фактордың көбейтіндісі олардың біреуі нөлге тең болса ғана 0 болатынын айтады.

Мысал

x=0 немесе 8x - 3 = 0

Нәтижесінде теңдеудің екі түбірін аламыз: 0 және 0,375.

Бұл түрдегі теңдеулер координаталар басы ретінде қабылданған белгілі бір нүктеден қозғала бастаған ауырлық күшінің әсерінен денелердің қозғалысын сипаттай алады. Мұнда математикалық белгілер алынады келесі пішін: y = v 0 t + gt 2 /2. Қажетті мәндерді қойып, оң жағын 0-ге теңестіріп, мүмкін белгісіздерді табу арқылы дененің көтерілуінен құлағанға дейінгі уақытты, сонымен қатар басқа да көптеген шамаларды білуге ​​болады. Бірақ бұл туралы кейінірек айтатын боламыз.

Өрнекті факторинг

Жоғарыда сипатталған ереже бұл мәселелерді күрделі жағдайларда шешуге мүмкіндік береді. Осы типтегі квадрат теңдеулерді шешу мысалдарын қарастырайық.

X 2 - 33x + 200 = 0

Бұл квадрат үшмүшетолық. Алдымен өрнекті түрлендірейік және көбейткіштерге бөлейік. Олардың екеуі бар: (х-8) және (х-25) = 0. Нәтижесінде бізде 8 және 25 екі түбір бар.

9-сыныпта квадрат теңдеулерді шешу мысалдары бұл әдіс тек екінші емес, тіпті үшінші және төртінші ретті өрнектерде айнымалыны табуға мүмкіндік береді.

Мысалы: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Оң жағын айнымалысы бар көбейткіштерге жіктегенде олардың үшеуі болады, яғни (х+1), (х-3) және (х+) 3).

Нәтижесінде бұл теңдеудің үш түбірі болатыны белгілі болады: -3; -1; 3.

Шаршы түбір

Басқа жағдай толық емес теңдеуекінші ретті – оң жағы ax 2 және c компоненттерінен құрастырылатындай әріптер тілінде берілген өрнек. Мұнда айнымалының мәнін алу үшін бос термин -ге ауыстырылады оң жақ, содан кейін квадрат түбір теңдіктің екі жағынан алынады. Айта кету керек, бұл жағдайда әдетте теңдеудің екі түбірі болады. Айнымалысы нөлге тең болатын мүшесі мүлде жоқ теңдіктер, сондай-ақ оң жағы теріс болып шыққан кездегі өрнектердің нұсқалары ерекше жағдайлар болуы мүмкін. Соңғы жағдайда шешімдер мүлдем жоқ, өйткені жоғарыда аталған әрекеттерді тамырлармен орындау мүмкін емес. Осы типтегі квадрат теңдеулердің шешімдерінің мысалдарын қарастыру керек.

Бұл жағдайда теңдеудің түбірлері -4 және 4 сандары болады.

Жер көлемін есептеу

Мұндай есептеулердің қажеттілігі пайда болды ежелгі дәуір, өйткені математиканың сол шалғай дәуірлерде жан-жақты дамуы жер телімдерінің аудандары мен периметрлерін барынша дәлдікпен анықтау қажеттілігімен айқындалды.

Сондай-ақ осы тектес есептер негізінде квадрат теңдеулерді шешу мысалдарын қарастырған жөн.

Сонымен, ұзындығы енінен 16 метр үлкен төртбұрышты жер телімі делік. Егер сіз оның ауданы 612 м2 екенін білсеңіз, сайттың ұзындығын, енін және периметрін табуыңыз керек.

Бастау үшін алдымен қажетті теңдеуді құрайық. Ауданның енін х деп белгілейік, сонда оның ұзындығы (x+16) болады. Жазылғандардан аудан x(x+16) өрнегі арқылы анықталатыны шығады, ол біздің есептің шарты бойынша 612. Бұл x(x+16) = 612 дегенді білдіреді.

Толық квадрат теңдеулерді шешу және дәл осы өрнекті дәл осылай орындау мүмкін емес. Неліктен? Сол жағында әлі екі фактор болса да, олардың көбейтіндісі мүлдем 0-ге тең емес, сондықтан мұнда әртүрлі әдістер қолданылады.

Дискриминант

Ең алдымен, қажетті түрлендірулерді жасайық, содан кейін сыртқы түрібұл өрнектің көрінісі келесідей болады: x 2 + 16x - 612 = 0. Бұл біз бұрын көрсетілген стандартқа сәйкес пішіндегі өрнекті алғанымызды білдіреді, мұнда a=1, b=16, c=-612.

Бұл дискриминантты пайдаланып квадрат теңдеулерді шешудің мысалы болуы мүмкін. Мұнда қажетті есептеулерсызба бойынша шығарылады: D = b 2 - 4ac. Бұл көмекші шама екінші ретті теңдеуде қажетті шамаларды табуға мүмкіндік беріп қана қоймайды, мүмкін болатын нұсқалардың санын анықтайды. Егер D>0 болса, олардың екеуі бар; D=0 үшін бір түбір бар. Д жағдайда<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Түбірлер және олардың формуласы туралы

Біздің жағдайда дискриминант мынаған тең: 256 - 4(-612) = 2704. Бұл біздің мәселеміздің жауабы бар екенін көрсетеді. Егер сіз k білсеңіз, квадрат теңдеулерді шешуді төмендегі формула арқылы жалғастыру керек. Ол түбірлерді есептеуге мүмкіндік береді.

Бұл ұсынылған жағдайда: x 1 =18, x 2 =-34 дегенді білдіреді. Бұл дилеммадағы екінші нұсқа шешім бола алмайды, өйткені жер учаскесінің өлшемдерін теріс мөлшерде өлшеуге болмайды, яғни х (яғни учаскенің ені) 18 м.Осыдан ұзындықты есептейміз: 18 +16=34, ал периметрі 2(34+ 18)=104(м2).

Мысалдар мен тапсырмалар

Квадрат теңдеулерді оқуды жалғастырамыз. Олардың бірнешеуінің мысалдары мен егжей-тегжейлі шешімдері төменде келтірілген.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Барлығын теңдіктің сол жағына жылжытайық, түрлендіру жасайық, яғни стандартты деп аталатын теңдеу түрін аламыз және оны нөлге теңестіреміз.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Ұқсастарды қосып, дискриминантты анықтаймыз: D = 49 - 48 = 1. Бұл біздің теңдеуіміздің екі түбірі болады дегенді білдіреді. Оларды жоғарыдағы формула бойынша есептейік, яғни олардың біріншісі 4/3-ке, екіншісі 1-ге тең болады.

2) Енді басқа түрдегі жұмбақтарды шешейік.

Мұнда x 2 - 4x + 5 = 1 түбірлері бар-жоғын анықтайық? Толық жауап алу үшін көпмүшені сәйкес кәдімгі пішінге келтіріп, дискриминантты есептейік. Жоғарыда келтірілген мысалда квадрат теңдеуді шешудің қажеті жоқ, өйткені бұл мәселенің мәні мүлде емес. Бұл жағдайда D = 16 - 20 = -4, бұл шын мәнінде түбірлердің жоқтығын білдіреді.

Виетаның теоремасы

Квадрат теңдеулерді жоғарыда келтірілген формулалар мен дискриминантты пайдаланып шешу ыңғайлы, егер соңғысының мәнінен квадрат түбір алынғанда. Бірақ бұл әрқашан бола бермейді. Дегенмен, бұл жағдайда айнымалы мәндерді алудың көптеген жолдары бар. Мысалы: Виет теоремасын пайдаланып квадрат теңдеулерді шешу. Ол 16 ғасырда Францияда өмір сүрген және оның математикалық таланты мен соттағы байланыстарының арқасында тамаша мансапқа ие болған адамның есімімен аталған. Оның портретін мақаладан көруге болады.

Атақты француз байқаған үлгі мынадай болды. Ол теңдеудің түбірлері сан жағынан -p=b/a қосылатынын, ал олардың көбейтіндісі q=c/a сәйкес келетінін дәлелдеді.

Енді нақты тапсырмаларды қарастырайық.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Қарапайымдылық үшін өрнекті түрлендірейік:

x 2 + 7x - 18 = 0

Виет теоремасын қолданайық, бұл бізге келесіні береді: түбірлердің қосындысы -7, ал олардың көбейтіндісі -18. Осыдан біз теңдеудің түбірлері -9 және 2 сандары екенін аламыз. Тексергеннен кейін бұл айнымалы мәндердің өрнекке шынымен сәйкес келетініне көз жеткіземіз.

Парабола графигі және теңдеуі

Квадраттық функция мен квадрат теңдеулер ұғымдары бір-бірімен тығыз байланысты. Бұған мысалдар бұрын да келтірілген. Енді кейбір математикалық жұмбақтарды толығырақ қарастырайық. Сипатталған түрдегі кез келген теңдеуді көрнекі түрде беруге болады. График түрінде сызылған мұндай қатынас парабола деп аталады. Оның әртүрлі түрлері төмендегі суретте берілген.

Кез келген параболаның төбесі, яғни оның тармақтары шығатын нүктесі болады. Егер a>0 болса, олар шексіздікке дейін көтеріледі, ал а болғанда<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Функциялардың көрнекі көріністері кез келген теңдеулерді, соның ішінде квадраттық теңдеулерді шешуге көмектеседі. Бұл әдіс графикалық деп аталады. Ал х айнымалысының мәні график сызығының 0х-пен қиылысатын нүктелеріндегі абсцисса координатасы болып табылады. Төбенің координаталарын x 0 = -b/2a берілген формула арқылы табуға болады. Ал алынған мәнді функцияның бастапқы теңдеуіне қойып, у 0, яғни ордината осіне жататын парабола төбесінің екінші координатасын табуға болады.

Парабола тармақтарының абсцисса осімен қиылысуы

Квадрат теңдеулерді шешудің көптеген мысалдары бар, бірақ жалпы заңдылықтар да бар. Оларды қарастырайық. a>0 үшін графиктің 0x осімен қиылысуы y 0 алған жағдайда ғана мүмкін болатыны анық. теріс мәндер. Және а<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Әйтпесе D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Парабола графигінен түбірлерін де анықтауға болады. Керісінше де шындық. Яғни, квадраттық функцияның көрнекі көрінісін алу оңай болмаса, өрнектің оң жағын 0-ге теңестіріп, алынған теңдеуді шешуге болады. Ал 0x осімен қиылысу нүктелерін біле отырып, графикті құру оңайырақ.

Тарихтан

Квадрат айнымалысы бар теңдеулерді пайдалана отырып, ескі күндерде олар тек математикалық есептеулер жүргізіп қана қоймай, геометриялық фигуралардың аудандарын анықтады. Ежелгі адамдарға мұндай есептеулер физика мен астрономия салаларындағы үлкен жаңалықтар үшін, сондай-ақ астрологиялық болжамдар жасау үшін қажет болды.

Қазіргі ғалымдардың пайымдауынша, Вавилон тұрғындары квадрат теңдеулерді бірінші болып шешкен. Бұл біздің дәуірден төрт ғасыр бұрын болған. Әрине, олардың есептеулері қазіргі уақытта қабылданғандардан түбегейлі өзгеше болды және әлдеқайда қарапайым болып шықты. Мысалы, Месопотамия математиктерінде теріс сандардың бар екендігі туралы түсінік болмаған. Олар сондай-ақ кез келген қазіргі мектеп оқушысы білетін басқа нәзіктіктермен таныс емес еді.

Үндістандық данышпан Баудхаяма Вавилон ғалымдарынан да ертерек квадрат теңдеулерді шеше бастады. Бұл Мәсіхтің дәуірінен шамамен сегіз ғасыр бұрын болған. Рас, ол берген екінші ретті теңдеулер, шешу әдістері ең қарапайым болды. Одан басқа қытай математиктерін де ертеде осындай сұрақтар қызықтырған. Еуропада квадрат теңдеулер 13 ғасырдың басында ғана шешіле бастады, бірақ кейінірек оларды Ньютон, Декарт және басқа да көптеген ұлы ғалымдар өз еңбектерінде пайдаланды.

Бұл мақалада біз толық емес квадрат теңдеулерді шешуді қарастырамыз.

Бірақ алдымен қандай теңдеулер квадрат деп аталатынын қайталап көрейік. ax 2 + bx + c = 0 түріндегі теңдеу, мұндағы х - айнымалы, ал a, b және c коэффициенттері кейбір сандар және a ≠ 0 деп аталады. шаршы. Көріп отырғанымыздай, х 2 үшін коэффициент нөлге тең емес, сондықтан х немесе бос мүше үшін коэффициенттер нөлге тең болуы мүмкін, бұл жағдайда толық емес квадрат теңдеуді аламыз.

Толық емес квадрат теңдеулердің үш түрі бар:

1) Егер b = 0, c ≠ 0 болса, онда ax 2 + c = 0;

2) Егер b ≠ 0, c = 0 болса, онда ax 2 + bx = 0;

3) b = 0, c = 0 болса, онда ах 2 = 0.

• Қалай шешуге болатынын анықтайық ax 2 + c = 0 түріндегі теңдеулер.

Теңдеуді шешу үшін бос c мүшесін теңдеудің оң жағына жылжытамыз, аламыз

балта 2 = ‒s. a ≠ 0 болғандықтан, теңдеудің екі жағын да а-ға бөлеміз, онда x 2 = ‒c/a.

Егер ‒с/а > 0 болса, онда теңдеудің екі түбірі болады

x = ±√(–c/a) .

Егер ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Мұндай теңдеулерді шешу жолдарын мысалдар арқылы түсінуге тырысайық.

1-мысал. 2х 2 ‒ 32 = 0 теңдеуін шешіңіз.

Жауабы: x 1 = - 4, x 2 = 4.

2-мысал. 2х 2 + 8 = 0 теңдеуін шешіңіз.

Жауабы: теңдеудің шешімі жоқ.

• Оны қалай шешуге болатынын анықтап көрейік ax 2 + bx = 0 түріндегі теңдеулер.

ax 2 + bx = 0 теңдеуін шешу үшін көбейткіштерге жіктейік, яғни жақшаның ішінен х-ті алып, х(ax + b) = 0 аламыз. Көбейткіштердің ең болмағанда біреуі тең болса, көбейтінді нөлге тең болады. нөлге дейін. Сонда не x = 0, не ax + b = 0. ax + b = 0 теңдеуін шешсек, ax = - b аламыз, мұндағы x = - b/a. ax 2 + bx = 0 түріндегі теңдеуде әрқашан x 1 = 0 және x 2 = ‒ b/a екі түбірі болады. Осы түрдегі теңдеулердің шешімі қандай болатынын диаграммадан қараңыз.

Нақты мысалмен білімімізді бекітейік.

3-мысал. 3x 2 ‒ 12x = 0 теңдеуін шешіңіз.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 немесе 3x – 12 = 0

Жауабы: x 1 = 0, x 2 = 4.

• Үшінші типті теңдеулер ax 2 = 0өте қарапайым шешіледі.

Егер ax 2 = 0 болса, онда x 2 = 0. Теңдеудің екі тең түбірі бар x 1 = 0, x 2 = 0.

Түсінікті болу үшін диаграмманы қарастырайық.

4-мысалды шешу кезінде осы түрдегі теңдеулерді өте оңай шешуге болатынына көз жеткізейік.

4-мысал. 7х 2 = 0 теңдеуін шешіңіз.

Жауабы: x 1, 2 = 0.

Толық емес квадрат теңдеудің қандай түрін шешуіміз керек екені әрқашан анық бола бермейді. Келесі мысалды қарастырайық.

5-мысал.Теңдеуді шеш

Теңдеудің екі жағын ортақ бөлгішке, яғни 30-ға көбейтейік.

Оны қысқартайық

5(5х 2 + 9) – 6(4х 2 – 9) = 90.

Жақшаларды ашайық

25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.

Ұқсас берейік

Таңбасын керісінше өзгерте отырып, теңдеудің сол жағынан 99-ды оңға жылжытайық.

Жауап: тамыры жоқ.

Біз толық емес квадрат теңдеулердің қалай шешілетінін қарастырдық. Енді мұндай тапсырмаларды орындауда қиындықтар болмайды деп сенемін. Толық емес квадрат теңдеудің түрін анықтау кезінде абай болыңыз, сонда сіз табысқа жетесіз.

Осы тақырып бойынша сұрақтарыңыз болса, менің сабақтарыма жазылыңыз, туындаған мәселелерді бірге шешеміз.

веб-сайт, материалды толық немесе ішінара көшіру кезінде дереккөзге сілтеме қажет.