Бірінші керемет шек. Керемет шектеулер. Шешімдердің мысалдары

Керемет шектеулерді табыңызБұл шектер теориясын оқитын көптеген бірінші және екінші курс студенттеріне ғана емес, кейбір мұғалімдерге де қиын.

Бірінші керемет шектің формуласы

Бірінші тамаша шектің салдары формулалармен жазамыз
1. 2. 3. 4. Бірақ өз бетінше жалпы формулаларкеремет шектеулер емтиханда немесе сынақта ешкімге көмектеспейді. Мәселе мынада, нақты тапсырмалар жоғарыда жазылған формулаларға әлі де жетуіңіз керек етіп құрастырылған. Ал сабақты босатқан, бұл курсты сырттай оқитын немесе мұғалімдері түсіндіріп жатқанын түсінбейтін студенттердің көпшілігі ең қарапайым мысалдарды керемет шектерге дейін есептей алмайды. Бірінші тамаша шектің формулаларынан олардың көмегімен тригонометриялық функциялары бар өрнектер үшін нөлге бөлінген нөлдік типті белгісіздіктерді зерттеуге болатынын көреміз. Алдымен бірінші тамаша шектің бірнеше мысалдарын қарастырайық, содан кейін екінші тамаша шекті зерттейік.

Мысал 1. sin(7*x)/(5*x) функциясының шегін табыңыз.
Шешуі: Көріп отырғаныңыздай, шектің астындағы функция бірінші керемет шекке жақын, бірақ функцияның өзі сөзсіз біреуге тең емес. Шектердің мұндай тапсырмаларында синус астындағы айнымалының құрамында болатын коэффициенті бірдей айнымалыны бөлгіште таңдау керек. Бұл жағдайда 7-ге бөлу және көбейту керек

Кейбіреулер үшін мұндай егжей-тегжей қажетсіз болып көрінеді, бірақ шектеулермен қиналатын студенттердің көпшілігі үшін бұл ережелерді жақсы түсінуге және теориялық материалды меңгеруге көмектеседі.
Сондай-ақ, егер функцияның кері түрі болса, бұл да бірінші тамаша шек болып табылады. Және бәрі керемет шегі біреуге тең болғандықтан

Дәл осы ереже 1-ші тамаша шектің салдарына да қолданылады. Сондықтан, егер сізден: «Бірінші таңғажайып шек қандай?» Деп сұраса. Бірлік деп ойланбастан жауап беру керек.

Мысал 2. sin(6x)/tan(11x) функциясының шегін табыңыз.
Шешуі: Соңғы нәтижені түсіну үшін функцияны пішінге жазайық

Керемет шек ережелерін қолдану үшін көбейткіштерге көбейту және бөлу

Әрі қарай функциялар туындысының шегін шектердің туындысы арқылы жазамыз

Күрделі формулаларсыз біз часка шегін таппадық тригонометриялық функциялар. Ассимиляция үшін қарапайым формулалар 2 және 4-тің шегін ойлап тауып, тамаша шектің 1-қорытындысының формуласын табуға тырысыңыз. Біз күрделірек мәселелерді қарастырамыз.

3-мысал: (1-cos(x))/x^2 шегін есептеңіз
Шешуі: Ауыстыру арқылы тексергенде 0/0 белгісіздік аламыз. Көптеген адамдар мұндай мысалды бір керемет шекке дейін қалай азайтуға болатынын білмейді. Мұнда пайдалану керек тригонометриялық формула

Бұл жағдайда шек анық пішінге айналады

Біз функцияны керемет шектің квадратына дейін азайта алдық.

Мысал 4. Шекті табыңыз
Шешуі: Ауыстыру кезінде біз таныс мүмкіндікті аламыз 0/0. Дегенмен, айнымалы нөлге емес, Pi-ге ұмтылады. Сондықтан, бірінші тамаша шекті қолдану үшін, жаңа айнымалы нөлге өтетіндей х айнымалысында осындай өзгерісті орындаймыз. Ол үшін бөлгішті жаңа айнымалы Pi-x=y деп белгілейміз

Осылайша, алдыңғы тапсырмада берілген тригонометриялық формуланы пайдалана отырып, мысал 1 тамаша шекке дейін азаяды.

5-мысал: Лимитті есептеу
Шешім: Бастапқыда шектеулерді қалай жеңілдету керектігі түсініксіз. Бірақ мысал бар болғандықтан, жауап болуы керек. Айнымалының бірлікке өту фактісі алмастыру кезінде нөл түрінің шексіздікке көбейтілген ерекшелігін береді, сондықтан тангенс формуланы пайдаланып ауыстырылуы керек

Осыдан кейін біз қажетті белгісіздік 0/0 аламыз. Әрі қарай, шектегі айнымалылардың өзгеруін орындаймыз және котангенстің периодтылығын қолданамыз

Соңғы ауыстырулартамаша шектің 1 нәтижесін пайдалануға мүмкіндік береді.

Екінші керемет шек экспоненциалдыға тең

Бұл нақты шекті мәселелерде қол жеткізу оңай емес классика.
Есептеулерде сізге қажет болады шектер екінші керемет шектің салдары болып табылады:
1. 2. 3. 4.
Екінші керемет шектің және оның салдарының арқасында нөлдің нөлге бөлінуі, бірдің шексіздік дәрежесіне және шексіздіктің шексіздікке бөлінуі, тіпті сол дәрежедегі белгісіздіктерді зерттеуге болады.

Қарапайым мысалдардан бастайық.

6-мысал. Функцияның шегін табыңыз
Шешім: 2-ші керемет шектеуді тікелей қолдану жұмыс істемейді. Біріншіден, көрсеткішті жақшадағы терминге кері мәнге ұқсайтындай етіп түрлендіру керек

Бұл 2-ші керемет шекке дейін азайту және мәні бойынша шектің нәтижесінің 2-ші формуласын шығару әдістемесі.

7-мысал. Функцияның шегін табыңыз
Шешуі: Бізде тамаша шектің 2 қорытындысының 3 формуласына арналған тапсырмалар бар. Нөлді ауыстыру 0/0 түрінің ерекшелігін береді. Шекті ережеге дейін көтеру үшін айнымалы логарифмдегідей коэффициентке ие болатындай етіп бөлгішті айналдырамыз.

Емтиханда оны түсіну және орындау оңай. Оқушылардың шекті есептеудегі қиындықтары келесі есептерден басталады.

8-мысал. Функцияның шегін есептеңіз[(x+7)/(x-3)]^(x-2)
Шешуі: Бізде шексіздіктің 1 типті ерекшелігі бар. Маған сенбесеңіз, барлық жерде «X» орнына шексіздікті қойып, оған көз жеткізуге болады. Ережені құру үшін алымды жақшадағы бөлгішке бөлеміз, ол үшін алдымен манипуляцияларды орындаймыз.

Өрнекті шектің орнына қойып, оны 2 тамаша шекке айналдырайық

Шектеу көрсеткіші 10-ға тең. Жақшада да, дәрежеде де айнымалысы бар терминдер болып табылатын тұрақтылар ешқандай «ауа райын» ​​енгізбейді - мұны есте сақтау керек. Ал егер мұғалімдеріңіз сізден «Неге индикаторды өзгертпейсіз?» деп сұраса. (Х-3-тегі осы мысал үшін), содан кейін «Айнымалы шексіздікке ұмтылғанда, оған тіпті 100 қосыңыз немесе 1000-ды шегеріңіз, сонда шек бұрынғыдай қалады!» деп айтыңыз.
Осы түрдегі шектеулерді есептеудің екінші жолы бар. Бұл туралы келесі тапсырмада айтатын боламыз.

9-мысал. Шекті табыңыз
Шешуі: Енді алым мен бөлгіштегі айнымалыны шығарып, бір ерекшелікті екіншісіне айналдырайық. Соңғы мәнді алу үшін біз керемет шектің 2-ші қорытынды формуласын қолданамыз

10-мысал. Функцияның шегін табыңыз
Шешуі: Берілген шекті барлығы бірдей таба алмайды. Шекті 2-ге дейін көтеру үшін, sin (3x) айнымалы деп елестетіңіз және көрсеткішті бұру керек.

Әрі қарай, индикаторды қуат ретінде жазамыз


Аралық аргументтер жақшада сипатталған. Бірінші және екінші керемет шектерді қолдану нәтижесінде біз текшедегі экспоненциалды алдық.

11-мысал. Функцияның шегін есептеңіз sin(2*x)/ln(3*x+1)
Шешуі: Бізде 0/0 түрінің белгісіздігі бар. Сонымен қатар, біз функцияны екі керемет шектеуді де пайдалану үшін түрлендіру керек екенін көреміз. Алдыңғы математикалық түрлендірулерді орындайық

Әрі қарай, қиындықсыз шек мәнді қабылдайды

Функцияларды жылдам жазуды және оларды бірінші немесе екінші керемет шекке дейін азайтуды үйренсеңіз, тапсырмаларда, тесттерде, модульдерде осылай еркін сезінесіз. Егер сізге шектеулерді табудың берілген әдістерін жаттау қиын болса, сіз әрқашан тапсырыс бере аласыз сынақбіздің шегімізге дейін.
Ол үшін пішінді толтырыңыз, деректерді беріңіз және мысалдары бар файлды тіркеңіз. Біз көптеген студенттерге көмектестік - біз сізге де көмектесе аламыз!

Бірінші керемет шек көбінесе синус, арксинус, тангенс, арктангенс және нөлге бөлінген нөлдің белгісіздігі бар шектерді есептеу үшін қолданылады.

Формула

Бірінші керемет шектің формуласы: $$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$

$ \alpha\-дан 0 $-ға дейін $ \sin\alpha \to 0 $ болатынын ескереміз, осылайша алым мен бөлгіште нөлдер бар. Осылайша, $ \frac(0)(0) $ белгісіздіктерін ашу үшін бірінші керемет шектің формуласы қажет.

Формуланы қолдану үшін екі шарт орындалуы керек:

1. Синус құрамындағы өрнектер мен бөлшектің бөлімі бірдей
2. Бөлшектің синусы мен бөлгішіндегі өрнектер нөлге бейім

Назар аударыңыз! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ Синус астындағы және бөлгіштегі өрнектер бірдей болғанымен, бірақ $ 2x ^2+1 = 1 $, $ x\-тен 0 $ аралығында. Екінші шарт орындалмаған, сондықтан формуланы қолдануға БОЛМАЙДЫ!

Салдары

Тапсырмаларда сіз бірден жауапты жаза алатын таза бірінші тамаша шекті көре аласыз. Іс жүзінде бәрі біршама күрделірек көрінеді, бірақ мұндай жағдайларда бірінші керемет шектің салдарын білу пайдалы болады. Олардың арқасында сіз қажетті шектеулерді жылдам есептей аласыз.

$$ \lim_(\альфа\0-ден) \frac(\alpha)(\sin\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\альфадан 0) \frac(\sin(a\альфа))(\sin(b\альфа)) = \frac(a)(b) $$

$$ \lim_(\альфа\0-ден) \frac(tg\alpha)(\альфа) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\00) \frac(\arcsin\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\альфа\0-ден) \frac(arctg\alpha)(\альфа) = 1 $$

Шешімдердің мысалдары

Бірінші тамаша шекті, оның тригонометриялық функцияларды және белгісіздікті қамтитын шектерді есептеуге арналған шешімінің мысалдарын қарастырайық $ \bigg[\frac(0)(0)\bigg] $

1-мысал

$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) $ есептеңіз

Шешім

Шекті қарастырайық және оның құрамында синус бар екенін байқаймыз. Әрі қарай, алым мен бөлгішке $ x = 0 $ ауыстырамыз және белгісіздік нөлді нөлге бөлеміз: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \frac(0)(0) ) $$ Қазірдің өзінде тамаша шекті қолдану керек деген екі белгі бар, бірақ кішкене нюанс бар: формуланы бірден қолдана алмаймыз, өйткені синус белгісінің астындағы өрнек бөлгіштегі өрнектен ерекшеленеді. Ал бізге олардың тең болуы керек. Сондықтан, көмегімен элементарлық түрлендірулернумератор біз оны $2x$-ға айналдырамыз. Ол үшін бөлшектің бөлгішінен екеуін бөлек көбейткіш ретінде аламыз. Ол келесідей көрінеді: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2\cdot 2x) = $$ $$ = \frac(1)(2) \lim_(x\-0) \frac(\sin2x)(2x) = \frac(1)(2)\cdot 1 = \frac(1)(2) $$ Өтінемін , соңында $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = 1 $ формула бойынша алынғанын ескеріңіз. Мәселеңізді шеше алмасаңыз, оны бізге жіберіңіз. қамтамасыз етеміз егжей-тегжейлі шешім. Есептеу барысын қарап, ақпарат ала аласыз. Бұл мұғалімнің бағасын дер кезінде алуға көмектеседі!

Жауап

$$ \lim_(x\00) \frac(\sin2x)(4x) =\frac(1)(2) $$

2-мысал

$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) $ табыңыз

Шешім

Әдеттегідей, алдымен белгісіздік түрін білу керек. Егер нөл нөлге бөлінген болса, онда синустың болуына назар аударамыз: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = \frac(0) (0) = $$ Бұл белгісіздік бірінші тамаша шектің формуласын қолдануға мүмкіндік береді, бірақ бөлгіштен алынған өрнек синустың аргументіне тең емес пе? Сондықтан формуланы «басқа» қолдануға болмайды. Бөлшекті синустың аргументіне көбейту және бөлу керек: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x)\sin(x^3+2x))((2x) -x^4)(x ^3+2x)) = $$ Енді шектердің қасиеттерін жазамыз: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x))(2x) -x^4)\cdot \lim_(x \to 0) \frac(\sin(x^3+2x))((x^3+2x)) = $$ Екінші шек формулаға дәл сәйкес келеді және оған тең біреуге: $$ = \lim_(x\to 0 ) \frac(x^3+2x)(2x-x^4)\cdot 1 = \lim_(x\ to 0) \frac(x^3+2x) )(2x-x^4) = $$ Бөлшекке қайтадан $ x = 0 $ ауыстырсақ, $ \frac(0)(0) $ белгісіздігін аламыз. Оны жою үшін жақшаның ішінен $ x $ алып, оны келесіге азайту жеткілікті: $$ = \lim_(x\to 0) \frac(x(x^2+2))(x(2-x^) 3)) = \ lim_(x\-дан 0-ге дейін) \frac(x^2+2)(2-x^3) = $$ $$ = \frac(0^2 + 2)(2 - 0^3) = \frac(2 )(2) = 1 $$

Жауап

$$ \lim_(x\00) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = 1 $$

4-мысал

$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) $ есептеңіз

Шешім

Есепті $ x=0 $ ауыстырудан бастайық. Нәтижесінде $ \frac(0)(0) $ белгісіздігін аламыз. Шекте синус пен тангенс бар, ол бірінші керемет шектің формуласын пайдалана отырып, жағдайдың ықтимал дамуын меңзейді. Бөлшектің алымы мен бөлімін формула мен нәтижеге айналдырайық: $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) = \frac(0)(0) = \lim_(x\to0) \frac(\frac(\sin2x)(2x)\cdot 2x )(\frac(tg3x)(3x)\cdot 3x) = $$ Енді алым мен бөлгіште формула мен салдарға сәйкес келетін өрнектер бар екенін көреміз. Синус аргументі мен тангенс аргументі сәйкес бөлгіштер үшін бірдей $$ = \lim_(x\to0) \frac(1\cdot 2x)(1\cdot 3x) = \frac(2)(3) $$

Жауап

$$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg2x) = \frac(2)(3) $$

Мақалада: «Бірінші керемет шек, шешімдердің мысалдары» бұл формуланы қолданған жөн болатын жағдайлар және оның салдары туралы айтылды.

Бірнеше керемет шектеулер бар, бірақ ең танымалы бірінші және екінші керемет шектер. Бұл шектеулердің таңғаларлық жері олардың бар болуы кең қолданужәне олардың көмегімен көптеген мәселелерде кездесетін басқа шектеулерді табуға болады. Бұл біз практикалық бөлімде жасаймыз. осы сабақ. Есептерді бірінші немесе екінші керемет шекке дейін азайту арқылы шешу үшін олардағы белгісіздіктерді ашудың қажеті жоқ, өйткені бұл шектердің мәндерін ұлы математиктер бұрыннан шығарған.

Бірінші керемет шекрадиандық өлшеммен өрнектелетін шексіз аз доғаның синусының сол доғаға қатынасының шегі деп аталады:

Бірінші керемет шектегі мәселелерді шешуге көшейік. Ескерту: шектеу белгісінің астында тригонометриялық функция болса, бұл дерлік сенімді белгібұл өрнек өзінің алғашқы керемет шегіне дейін қабылдануы мүмкін.

1-мысал.Шекті табыңыз.

Шешім. Оның орнына ауыстыру xнөл белгісіздікке әкеледі:

.

Бөлгіш синус болып табылады, сондықтан өрнекті бірінші керемет шекке дейін жеткізуге болады. Трансформацияны бастайық:

.

Бөлгіш үш X синусы болып табылады, бірақ алымда тек бір X бар, яғни алымдағы үш Х алу керек. Не үшін? Таныстыру 3 x = ажәне өрнекті алыңыз.

Біз бірінші керемет шектің вариациясына келдік:

өйткені бұл формуладағы X орнына қай әріп (айнымалы) тұрғаны маңызды емес.

X-ті үшке көбейтіп, бірден бөлеміз:

.

Байқаған бірінші ерекше шекке сәйкес бөлшек өрнекті ауыстырамыз:

Енді біз бұл шектеуді шеше аламыз:

.

2-мысал.Шекті табыңыз.

Шешім. Тікелей ауыстыру қайтадан «нөлге бөлінген нөл» белгісіздігіне әкеледі:

.

Бірінші керемет шекті алу үшін алымдағы синус таңбасының астындағы х пен бөлгіштегі тек х бірдей коэффициентке ие болуы керек. Бұл коэффициент 2-ге тең болсын. Ол үшін х үшін ток коэффициентін төмендегідей елестетіп, бөлшектермен амалдарды орындап, аламыз:

.

3-мысал.Шекті табыңыз.

Шешім. Ауыстыру кезінде біз «нөлдің нөлге бөлінуі» белгісіздігін аламыз:

.

Түпнұсқа өрнектен бірінші тамаша шекке көбейтілген бірінші тамаша шекті алуға болатынын түсінген шығарсыз. Ол үшін алымдағы х пен азалғыштағы синустың квадраттарын бірдей көбейткіштерге ыдыратамыз және х пен синустың бірдей коэффициенттерін алу үшін алымдағы х-ті 3-ке бөліп, бірден көбейтеміз. бойынша 3. Біз аламыз:

.

4-мысал.Шекті табыңыз.

Шешім. Тағы да біз «нөлдің нөлге бөлінуі» белгісіздігін аламыз:

.

Біз алғашқы екі керемет шектің арақатынасын ала аламыз. Алымды да, азайғышты да х-ке бөлеміз. Содан кейін, синустар мен хтердің коэффициенттері сәйкес келетіндей етіп, біз жоғарғы х-ті 2-ге көбейтеміз және бірден 2-ге бөлеміз, ал төменгі х-ті 3-ке көбейтіп, бірден 3-ке бөлеміз. Біз мынаны аламыз:

5-мысал.Шекті табыңыз.

Шешім. Және тағы да «нөлдің нөлге бөлінуі» белгісіздігі:

Тригонометриядан тангенс синустың косинусқа қатынасы, ал нөлдің косинусы бірге тең екенін есте ұстаймыз. Біз түрлендірулерді орындаймыз және аламыз:

.

6-мысал.Шекті табыңыз.

Шешім. Шек таңбасының астындағы тригонометриялық функция тағы да бірінші тамаша шекті пайдалануды ұсынады. Біз оны синус пен косинусқа қатынасы ретінде көрсетеміз.

Жоғарыдағы мақаладан сіз қандай шектеу екенін және оны немен жейтінін біле аласыз - бұл өте маңызды. Неліктен? Сіз анықтауыштардың не екенін түсінбеуіңіз және оларды сәтті шешуіңіз мүмкін; туындының не екенін мүлде түсінбеуіңіз және оларды «А» белгісімен табуыңыз мүмкін. Бірақ егер сіз шектеудің не екенін түсінбесеңіз, практикалық тапсырмаларды шешу қиын болады. Сондай-ақ үлгі шешімдермен және менің дизайн ұсыныстарыммен танысу жақсы идея болар еді. Барлық ақпарат қарапайым және қол жетімді нысанда ұсынылған.

Осы сабақтың мақсаты үшін бізге келесі оқу материалдары қажет: Керемет шектеулерЖәне Тригонометриялық формулалар. Оларды бетте табуға болады. Нұсқаулықтарды басып шығарған дұрыс - бұл әлдеқайда ыңғайлы, сонымен қатар сіз оларға офлайн режимде жиі жүгінуіңіз керек.

Керемет шектеулердің ерекшелігі неде? Бұл шектеулердің бір қызығы, оларды атақты математиктердің ең ұлы ақыл-ойлары дәлелдеген, ал ризашылықты ұрпақтар тригонометриялық функциялардың, логарифмдердің, қуаттардың үйіндісі бар қорқынышты шектеулерден зардап шекпейді. Яғни, шекті табу кезінде теориялық тұрғыдан дәлелденген дайын нәтижелерді қолданамыз.

Бірнеше керемет шектеулер бар, бірақ іс жүзінде 95% жағдайда сырттай оқитын студенттердің екі керемет шегі бар: Бірінші керемет шек, Екінші керемет шек. Айта кету керек, бұл тарихи қалыптасқан атаулар және олар, мысалы, «бірінші тамаша шек» туралы айтқанда, бұл төбеден алынған кездейсоқ шектеу емес, өте нақты нәрсені білдіреді.

Бірінші керемет шек

Келесі шектеуді қарастырыңыз: («ол» төл әрпінің орнына мен қолданамын грек әрпі«альфа», бұл материалды ұсыну тұрғысынан ыңғайлы).

Біздің шектеулерді табу ережесіне сәйкес (бапты қараңыз Шектеулер. Шешімдердің мысалдары) функцияға нөлді ауыстыруға тырысамыз: алымда нөл аламыз (нөлдің синусы нөлге тең), ал бөлгіште нөл де бар екені анық. Осылайша, біз, бақытымызға орай, ашуды қажет етпейтін пішіннің белгісіздігіне тап болдық. Білемін математикалық талдау, бұл дәлелденді:

Бұл математикалық факт деп аталады Бірінші керемет шек. Мен шектеудің аналитикалық дәлелін бермеймін, бірақ бұл: геометриялық мағынасытуралы сабақта қарастырамыз шексіз аз функциялар.

Көбінесе практикалық тапсырмаларда функцияларды басқаша орналастыруға болады, бұл ештеңені өзгертпейді:

- сол бірінші тамаша шек.

Бірақ сіз алым мен бөлгішті өзіңіз қайта реттей алмайсыз! Егер шек түрінде берілген болса, онда ол ешнәрсені қайта реттемей, сол пішінде шешілуі керек.

Практикада тек айнымалы ғана емес, элементар функция немесе күрделі функция да параметр ретінде әрекет ете алады. Жалғыз маңызды нәрсе - ол нөлге ұмтылады.

Мысалдар:
, , ,

Мұнда , , , , және бәрі жақсы - бірінші керемет шектеу қолданылады.

Бірақ келесі жазба бидғат болып табылады:

Неліктен? Көпмүше нөлге ұмтылмағандықтан, ол беске ұмтылады.

Айтпақшы, жылдам сұрақ: шектеу қандай? ? Жауабын сабақтың соңында табуға болады.

Тәжірибеде бәрі бірқалыпты бола бермейді, студентке тегін шектеуді шешіп, жеңіл рұқсат алу ұсынылмайды. Ммм... Мен осы жолдарды жазып жатырмын, және менің ойыма өте маңызды ой келді - «еркін» математикалық анықтамалар мен формулаларды жатқа есте сақтаған дұрыс, бұл тестте баға жетпес көмек болады, сұрақ қойылған кезде. «екі» мен «үш» арасында шешім қабылданады, ал мұғалім студентке қарапайым сұрақ қоюды немесе шешуді ұсынуды шешеді. ең қарапайым мысал(«мүмкін ол (лар) нені әлі де білетін шығар?!»).

Келіңіздер, қарастыруға көшейік практикалық мысалдар:

1-мысал

Шекті табыңыз

Егер біз шектен синусты байқасақ, бұл бізді бірден бірінші керемет шекті қолдану мүмкіндігі туралы ойлануға әкелуі керек.

Біріншіден, біз шек белгісінің астындағы өрнекке 0-ді ауыстыруға тырысамыз (біз мұны ойша немесе жобада жасаймыз):

Сондықтан бізде пішіннің белгісіздігі бар көрсетуді ұмытпаңызшешім қабылдауда. Шектеу белгісінің астындағы өрнек бірінші тамаша шекке ұқсайды, бірақ бұл дәл емес, ол синустың астында, бірақ бөлгіште.

Мұндай жағдайларда біз жасанды техниканы қолдана отырып, бірінші тамаша шекті өзіміз ұйымдастыруымыз керек. Дәлелдеу сызығы келесідей болуы мүмкін: «бізде синустың астында , яғни біз деноминаторға кіруіміз керек».
Және бұл өте қарапайым түрде жасалады:

Яғни, бөлгіш бұл жағдайда жасанды түрде 7-ге көбейтіліп, бірдей жетіге бөлінеді. Қазір біздің жазбамыз таныс пішінге ие болды.
Тапсырма қолмен құрастырылған кезде қарапайым қарындашпен бірінші керемет шекті белгілеген жөн:

Не болды? Шындығында, біздің шеңберлі өрнек бірлікке айналып, шығармада жоғалып кетті:

Енді үш қабатты фракциядан құтылу ғана қалды:

Кім көпдеңгейлі бөлшектерді жеңілдетуді ұмытып кеткен болса, анықтамалықтағы материалды жаңартыңыз. Мектептегі математика курсына арналған ыстық формулалар .

Дайын. Соңғы жауап:

Егер сіз қарындаш белгілерін пайдаланғыңыз келмесе, шешімді келесідей жазуға болады:

“

Бірінші тамаша шекті қолданайық

“

2-мысал

Шекті табыңыз

Тағы да біз шекті бөлшек пен синусты көреміз. Нөлді алым мен бөлгішке ауыстыруға тырысайық:

Шынында да, бізде белгісіздік бар, сондықтан біз бірінші тамаша шекті ұйымдастыруға тырысуымыз керек. Сабақта Шектеулер. Шешімдердің мысалдарыбіз белгісіздік болған кезде алым мен бөлгішті көбейткіштерге бөлу керек деген ережені қарастырдық. Міне, дәл солай, біз дәрежелерді өнім (көбейткіштер) ретінде көрсетеміз:

Алдыңғы мысалға ұқсас, біз керемет шектердің айналасында қарындаш саламыз (мұнда олардың екеуі бар) және олардың бірлікке бейім екенін көрсетеміз:

Негізінде жауап дайын:

Келесі мысалдарда мен Paint-те өнермен айналыспаймын, менің ойымша, шешімді дәптерге қалай дұрыс салу керек - сіз түсіндіңіз.

3-мысал

Шекті табыңыз

Шектеу белгісінің астындағы өрнектің орнына нөлді қоямыз:

Ашуды қажет ететін белгісіздік алынды. Егер шекте тангенс болса, онда ол әрқашан дерлік белгілі тригонометриялық формуланы қолдана отырып синус пен косинусқа айналады (айтпақшы, олар котангенспен шамамен бірдей әрекетті жасайды, суретті қараңыз). әдістемелік материал Ыстық тригонометриялық формулаларБетінде Математикалық формулалар, кестелер және анықтамалық материалдар).

Бұл жағдайда:

Нөлдің косинусы бірге тең және одан құтылу оңай (бірге бейім екенін белгілеуді ұмытпаңыз):

Осылайша, егер шекте косинус КӨПТЕГЕН болса, онда шамамен айтқанда, оны өнімде жоғалып кететін бірлікке айналдыру керек.

Мұнда бәрі көбейту мен бөлусіз қарапайым болды. Бірінші керемет шектеу де біреуге айналады және өнімде жоғалады:

Нәтижесінде шексіздік алынады және бұл орын алады.

4-мысал

Шекті табыңыз

Нөлді алым мен бөлгішке ауыстыруға тырысайық:

Белгісіздік алынады (нөлдің косинусы, біз есімізде, бірге тең)

Біз тригонометриялық формуланы қолданамыз. Назар аударыңыз! Қандай да бір себептермен бұл формуланы пайдалану шектеулері өте кең таралған.

Тұрақты факторларды шекті белгішеден тыс жылжытайық:

Бірінші тамаша шекті ұйымдастырайық:

Мұнда бізде бір ғана керемет шектеу бар, ол біреуге айналады және өнімде жоғалады:

Үш қабатты құрылымнан арылайық:

Шектеу іс жүзінде шешілді, біз қалған синустың нөлге ұмтылатынын көрсетеміз:

5-мысал

Шекті табыңыз

Бұл мысал күрделірек, оны өзіңіз анықтап көріңіз:

Кейбір шектеулерді айнымалы мәнді өзгерту арқылы 1-ші керемет шекке дейін азайтуға болады, бұл туралы мақалада сәл кейінірек оқи аласыз. Лимиттерді шешу әдістері.

Екінші керемет шек

Математикалық талдау теориясында дәлелденген:

Бұл фактаталады екінші керемет шек.

Анықтама: иррационал сан болып табылады.

Параметр тек айнымалы ғана емес, күрделі функция да болуы мүмкін. Ең бастысы, ол шексіздікке ұмтылады.

6-мысал

Шекті табыңыз

Шектеу белгісінің астындағы өрнек дәрежеде болғанда, бұл екінші керемет шекті қолдануға тырысу керек болатын бірінші белгі.

Бірақ алдымен, әдеттегідей, біз шексіз ауыстыруға тырысамыз үлкен санөрнекте бұл қандай принциппен орындалады, сабақта талқыланады Шектеулер. Шешімдердің мысалдары.

Қашан екенін байқау оңай дәреженің негізі , ал дәреже көрсеткіші , яғни пішіннің белгісіздігі бар:

Бұл белгісіздік екінші керемет шектің көмегімен дәл ашылады. Бірақ, жиі болатындай, екінші керемет шек күміс табаққа жатпайды және оны жасанды түрде ұйымдастыру керек. Келесідей дәлелдеуге болады: в бұл мысалдапараметр, бұл көрсеткіште біз де ұйымдастыруымыз керек дегенді білдіреді . Мұны істеу үшін біз негізді қуатқа көтереміз және өрнек өзгермеуі үшін оны қуатқа көтереміз:

Тапсырманы қолмен орындаған кезде қарындашпен белгілейміз:

Барлығы дерлік дайын, қорқынышты дәреже жақсы хатқа айналды:

Бұл жағдайда шектеу белгішесін индикаторға жылжытамыз:

7-мысал

Шекті табыңыз

Назар аударыңыз! Шектеудің бұл түрі жиі кездеседі, осы мысалды мұқият оқып шығыңыз.

Шексіз үлкен санды шек белгісінің астындағы өрнекке ауыстыруға тырысайық:

Нәтиже – белгісіздік. Бірақ екінші тамаша шек пішіннің белгісіздігіне қатысты. Не істеу? Біз дәреженің негізін түрлендіруіміз керек. Біз былай деп есептейміз: бөлгіште бізде бар, яғни алымдағы біз де ұйымдастыруымыз керек дегенді білдіреді.