Ортогональды проекция аймағы реферат. Орфографиялық проекция және оның қасиеттері

Геометриялық есептерде табыс тек теорияны білуге ​​ғана емес, жоғары сапалы сызбаға да байланысты.
Тегіс сызбалармен бәрі азды-көпті анық. Бірақ стереометрияда жағдай күрделірек. Өйткені, бейнелеу керек үш өлшемдідене қосулы жазықСіз өзіңіз де, сызбаңызға қарап отырған адам да бірдей көлемді денені көре алатындай етіп.

Бұны қалай істейді?
Әрине, көлемді дененің жазықтықтағы кез келген кескіні шартты болады. Дегенмен, белгілі бір ережелер жиынтығы бар. Сызбаларды салудың жалпы қабылданған тәсілі бар - параллель проекция.

Көлемдік денені алайық.
Таңдаймыз проекция жазықтығы.
Көлемдік дененің әрбір нүктесі арқылы бір-біріне параллель және проекция жазықтығымен кез келген бұрышпен қиылысатын түзулер жүргіземіз. Бұл түзулердің әрқайсысы қандай да бір нүктеде проекция жазықтығымен қиылысады. Және бұл нүктелердің барлығы бірге қалыптасады болжамкөлемдік дененің жазықтыққа, яғни оның жазық бейнесі.

Көлемдік денелердің проекциялары қалай салынады?
Сізде көлемді дененің жақтауы бар деп елестетіңіз - призма, пирамида немесе цилиндр. Оны параллельді жарық шоғымен жарықтандыру арқылы біз кескінді аламыз - қабырғадағы немесе экрандағы көлеңке. Әр түрлі бұрыштардан әртүрлі кескіндер алынғанын ескеріңіз, бірақ кейбір үлгілер әлі де бар:

Сегменттің проекциясы сегмент болады.

Әрине, егер кесінді проекция жазықтығына перпендикуляр болса, ол бір нүктеде көрсетіледі.

Жалпы жағдайда шеңбердің проекциясы эллипс болады.

Тіктөртбұрыштың проекциясы параллелограмм болып табылады.

Кубтың жазықтыққа проекциясы осылай көрінеді:

Мұнда алдыңғы және артқы беттер проекция жазықтығына параллель

Сіз мұны басқаша жасай аласыз:

Қай бұрышты таңдасақ та, проекциялар параллель сегменттерсызбада да болады параллель түзулер . Бұл параллель проекциялау принциптерінің бірі.

Пирамиданың проекцияларын саламыз,

цилиндр:

Параллель проекцияның негізгі принципін тағы да қайталайық. Проекциялық жазықтықты таңдаймыз және көлемдік дененің әрбір нүктесі арқылы бір-біріне параллель түзулер жүргіземіз. Бұл түзулер проекция жазықтығымен кез келген бұрышта қиылысады. Егер бұл бұрыш 90° болса - туралы айтып отырмызО тікбұрышты проекция. Тік бұрышты проекцияны пайдалана отырып, технологиядағы көлемді бөліктердің сызбалары құрастырылады. Бұл жағдайда біз жоғарғы көрініс, алдыңғы көрініс және бүйірлік көрініс туралы айтып отырмыз.

Ұшақты қарастырайық б және оны қиып өтетін түзу . Болсын А - кеңістіктегі ерікті нүкте. Осы нүкте арқылы түзу жүргізейік , сызыққа параллель . Болсын . Нүкте нүктенің проекциясы деп аталады Аұшаққа бберілген түзу бойымен параллельді дизайнмен . Ұшақ б , оған кеңістік нүктелері проекцияланатын проекция жазықтығы деп аталады.

p – проекция жазықтығы;

- тікелей жобалау; ;

; ; ;

Ортогональды дизайнпараллельді жобалаудың ерекше жағдайы болып табылады. Ортогональды дизайн - конструктивтік сызық проекция жазықтығына перпендикуляр болатын параллельді дизайн. Ортогональды дизайн техникалық сызбада кеңінен қолданылады, мұнда фигура үш жазықтыққа проекцияланады - көлденең және екі тік.

Анықтама: Нүктенің ортогональ проекциясы Мұшаққа ббаза деп атайды М 1перпендикуляр ММ 1, нүктеден төмендеді Мұшаққа б.

Белгі: , , .

Анықтама: Фигураның ортогональ проекциясы Фұшаққа бфигураның нүктелерінің жиынының ортогональ проекциялары болып табылатын жазықтықтың барлық нүктелерінің жиыны Фұшаққа б.

Ортогональды дизайн сияқты жеке оқиғаПараллель дизайн бірдей қасиеттерге ие:

p – проекция жазықтығы;

- тікелей жобалау; ;

1) ;

2) , .

1. Параллель түзулердің проекциялары параллель.

Тегіс фигураның проекциялау аймағы

Теорема: Жазық көпбұрыштың белгілі бір жазықтыққа проекциясының ауданы проекцияланатын көпбұрыштың ауданын көпбұрыш жазықтығы мен проекция жазықтығы арасындағы бұрыштың косинусына көбейткенге тең.

1-кезең: Проекцияланатын фигура АВС үшбұрышы, оның қабырғасы АС проекциялау жазықтығына а (проекциялау жазықтығына параллель) жатады.

Берілген:

Дәлелдеу:

Дәлелдеу:

1. ; ;

2. ; ; ; ;

3. ; ;

4. Үш перпендикуляр теоремасы бойынша;

ВD – биіктігі; B 1 D – биіктігі;

5. – сызықтық бұрыш екібұрышты бұрыш ;

6. ; ; ; ;

2-кезең: Проекцияланатын фигура АВС үшбұрышы, оның қабырғаларының ешқайсысы а проекциялық жазықтықта жатпайды және оған параллель емес.

Берілген:

Дәлелдеу:

Дәлелдеу:

1. ; ;

2. ; ;

4. ; ; ;

(1-кезең);

5. ; ; ;

(1-кезең);

Кезең: Жобаланған фигура ерікті көпбұрыш.

Дәлелдеу:

Көпбұрыш бір төбеден жүргізілген диагональдар арқылы әр теорема ақиқат болатын үшбұрыштардың шектеулі санына бөлінеді. Демек, теорема жазықтықтары проекция жазықтығымен бірдей бұрышты құрайтын барлық үшбұрыштардың аудандарының қосындысы үшін де ақиқат болады.

Түсініктеме: Дәлелденген теорема тұйық қисықпен шектелген кез келген жазық фигура үшін жарамды.

Жаттығулар:

1. Егер проекциясы қабырғасы а болатын дұрыс үшбұрыш болса, жазықтығы проекция жазықтығына бұрышпен көлбеу болатын үшбұрыштың ауданын табыңыз.

2. Егер проекциясы қабырғасы 10 см, табаны 12 см тең қабырғалы үшбұрыш болса, жазықтығы проекция жазықтығына бұрышпен көлбеу үшбұрыштың ауданын табыңыз.

3. Егер проекциясы қабырғалары 9, 10 және 17 см болатын үшбұрыш болса, жазықтығы проекциялар жазықтығына бұрышпен көлбеу болатын үшбұрыштың ауданын табыңыз.

4. Жазықтығы проекция жазықтығына бұрышпен көлбеу болатын трапецияның ауданын есептеңдер, егер оның проекциясы болса тең қабырғалы трапеция, оның үлкен табаны 44 см, бүйірі 17 см, диагоналы 39 см.

5. Қабырғасы 8 см болатын дұрыс алтыбұрыштың проекциялық ауданын есептеңдер, оның жазықтығы проекция жазықтығына бұрышпен көлбеу.

6. Қабырғасы 12 см сүйір бұрышы бар ромб берілген жазықтықпен бұрыш жасайды. Осы жазықтыққа ромбтың проекциясының ауданын есептеңдер.

7. Қабырғасы 20 см, диагоналы 32 см ромб берілген жазықтықпен бұрыш жасайды. Осы жазықтыққа ромбтың проекциясының ауданын есептеңдер.

8. Шатырдың горизонталь жазықтыққа проекциясы қабырғалары мен тіктөртбұрышты болады. Егер болса шатырдың ауданын табыңыз бүйір беттері– бұрышта горизонталь жазықтыққа көлбеу тең тіктөртбұрыштар , және ортаңғы бөлігішатыр – проекция жазықтығына параллель шаршы.

11. «Кеңістіктегі түзулер мен жазықтықтар» тақырыбы бойынша жаттығулар:

Үшбұрыштың қабырғалары 20 см, 65 см, 75 см-ге тең.Үшбұрыштың үлкен бұрышының төбесінен оның жазықтығына 60 см-ге тең перпендикуляр жүргізілген.Перпендикуляр ұштарынан арақашықтықты табыңдар. үшбұрыштың үлкен жағы.

2. Жазықтықтан см қашықтықта орналасқан нүктеден жазықтықпен -ге тең бұрыштар және олардың арасында тік бұрыш құрайтын екі көлбеу сызылады. Көлбеу жазықтықтардың қиылысу нүктелерінің арасындағы қашықтықты табыңыз.

3. Бүйір дұрыс үшбұрыш 12 см-ге тең.М нүктесі М нүктесін үшбұрыштың барлық төбелерімен қосатын кесінділер оның жазықтығымен бұрыш жасайтындай етіп таңдалады. М нүктесінен үшбұрыштың төбелері мен қабырғаларына дейінгі қашықтықты табыңыз.

4. Шаршының диагоналіне бұрыш жасай отырып, шаршының бүйір жағы арқылы жазықтық жүргізілген. Шаршының екі қабырғасы жазықтыққа көлбеу болатын бұрыштарды табыңыз.

5. Тең қабырғалы аяқ тікбұрышты үшбұрышжазықтығына көлбеу а бұрышпен гипотенуза арқылы өтетін. a жазықтығы мен үшбұрыш жазықтығы арасындағы бұрыштың тең екенін дәлелдеңдер.

6. ABC және DBC үшбұрыштарының жазықтықтарының арасындағы екібұрышты бұрыш -ге тең. АВ = АС = 5 см, ВС = 6 см, BD = DC = см болса, AD табыңыз.

«Кеңістіктегі түзулер мен жазықтықтар» тақырыбы бойынша тест сұрақтары

1. Стереометрияның негізгі ұғымдарын атаңыз. Стереометрия аксиомаларын тұжырымдаңыз.

2. Аксиомалардан нәтижелерді дәлелдеңіз.

3. Бұл қандай өзара реттеукеңістікте екі сызық? Қиылысатын, параллель және қиғаш түзулерге анықтама беріңіз.

4. Қисық сызықтардың белгісін дәлелде.

5. Түзу мен жазықтықтың өзара орналасуы қандай? Қиылысатын, параллель түзулер мен жазықтықтарға анықтама беріңіз.

6. Түзу мен жазықтықтың параллельдік белгісін дәлелдеңдер.

7. Екі жазықтықтың өзара орналасуы қандай?

8. Анықтаңыз параллель жазықтықтар. Екі жазықтықтың параллель екендігінің белгісін дәлелдеңдер. Параллель жазықтықтар туралы күй теоремалары.

9. Түзулер арасындағы бұрышты анықтаңыз.

10. Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлық белгісін дәлелдеңдер.

11. Перпендикуляр табанын, көлбеу табанын, көлбеунің жазықтыққа проекциясын анықтаңыз. Жазықтыққа бір нүктеден түсірілген перпендикуляр және көлбеу түзулердің қасиеттерін тұжырымдаңыз.

12. Түзу мен жазықтық арасындағы бұрышты анықтаңыз.

13. Үш перпендикуляр туралы теореманы дәлелдеңдер.

14. Екібұрышты бұрыштың, екібұрыштың сызықтық бұрышының анықтамаларын беріңіз.

15. Екі жазықтықтың перпендикулярлық белгісін дәлелдеңдер.

16. Екі түрлі нүктенің арақашықтығын анықтаңыз.

17. Нүктеден түзуге дейінгі қашықтықты анықтаңыз.

18. Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықты анықтаңыз.

19. Түзу мен оған параллель жазықтықтың арақашықтығын анықтаңыз.

20. Параллель жазықтықтар арасындағы қашықтықты анықтаңыз.

21. Қиылысатын түзулер арасындағы қашықтықты анықтаңыз.

22. Нүктенің жазықтыққа ортогональ проекциясын анықтаңыз.

23. Фигураның жазықтыққа ортогональ проекциясын анықтаңыз.

24. Жазықтыққа проекциялардың қасиеттерін тұжырымдаңыз.

25. Жазық көпбұрыштың проекция ауданы туралы теореманы тұжырымдаңыз және дәлелдеңіз.

IV тарау. Кеңістіктегі түзулер мен жазықтықтар. Көп қырлы

§ 55. Көпбұрыштың проекциялық ауданы.

Түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрыш деп берілген түзу мен оның жазықтыққа проекциясы арасындағы бұрыш екенін еске түсірейік (164-сурет).

Теорема. Көпбұрыштың жазықтыққа ортогональ проекциясының ауданы проекцияланатын көпбұрыштың ауданын көпбұрыш жазықтығы мен проекция жазықтығы жасаған бұрыштың косинусына көбейткенге тең.

Әрбір көпбұрышты аудандарының қосындысы көпбұрыштың ауданына тең болатын үшбұрыштарға бөлуге болады. Сондықтан үшбұрыш үшін теореманы дәлелдеу жеткілікті.

Болсын /\ ABC жазықтыққа проекцияланады Р. Екі жағдайды қарастырайық:
а) тараптардың бірі /\ ABC жазықтыққа параллель Р;
б) ешбір тарап /\ ABC параллель емес Р.

қарастырайық бірінші жағдай: [AB] || болсын Р.

(АВ) арқылы жазықтық жүргізейік. Р 1 || Ржәне ортогональды жобалау /\ ABC қосулы Р 1 және одан кейін Р(Cурет 165); Біз алып жатырмыз /\ ABC 1 және /\ А"В"С".
Проекциялық қасиеті бойынша бізде бар /\ ABC 1 /\ A"B"C", демек

С /\ ABC1=S /\ A"B"C"

_|_ және D 1 C 1 кесіндісін салайық. Сонда _|_ , a = φ - жазықтық арасындағы бұрыштың мәні /\ ABC және ұшақ Р 1 . Сондықтан

С /\ ABC1 = 1/2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos φ = S /\ ABC cos φ

және сондықтан С /\ A"B"C" = S /\ ABC cos φ.

Келіңіздер, қарастыруға көшейік екінші жағдай. Ұшақтың суретін салайық Р 1 || Рсол үстінде /\ ABC, жазықтыққа дейінгі қашықтық Рең кіші (бұл А шыңы болсын).
Жобалаймыз /\ ABC ұшақта Р 1 және Р(Cурет 166); оның проекциялары сәйкес болсын /\ AB 1 C 1 және /\ А"В"С".

болсын (күн) б 1 = D. Содан кейін

С /\ A"B"C" = S /\ AB1 C1 = S /\ ADC1-S /\ ADB1 = (С /\ ADC-S /\ АДБ) cos φ = S /\ ABC cos φ

Тапсырма.Негіздің жағы арқылы дұрыс үшбұрышты призмажазықтық оның табанының жазықтығына φ = 30° бұрыш жасап сызылған. Алынған көлденең қиманың ауданын табыңыз, егер призма табанының бүйір жағы болса А= 6 см.

Осы призманың көлденең қимасын бейнелейік (167-сурет). Призма дұрыс болғандықтан, оның бүйір жиектері табан жазықтығына перпендикуляр. білдіреді, /\ ABC - проекция /\ Сондықтан ADC