Svar:

Intet navn

hvis vi anser det for en ^ x \u003d e ^ x * ln (a), viser det sig, at det samme 0 ^ 0 \u003d 1 (grænse, ved x-\u003e 0)
Selvom svaret er "usikkerhed" også acceptabelt

Nul i matematik er ikke tomhed, dette tal er meget tæt på "ingenting", ligesom uendelig kun på turnen

Spildevand:
0 ^ 0 \u003d 0 ^ (A-a) \u003d 0 ^ a * 0 ^ (- a) \u003d 0 ^ a / 0 ^ a \u003d 0/0
I dette tilfælde deler vi på nul, og denne operation over et felt med reelle tal er ikke defineret.

6 år siden

RPI.SU er den største russiske talende base af spørgsmål og svar. Vores projekt blev implementeret som en fortsættelse af den populære service otvy.google.ru, som blev lukket og fjernet den 30. april 2015. Vi besluttede at genoplive den nyttige service af Googles svar, så alle offentligt kan finde ud af svaret på sit spørgsmål fra internettet.

Alle spørgsmål tilføjet til Googles svar websted, vi kopierede og gemte her. Navne på gamle brugere vises også i den form, hvor de eksisterede tidligere. Bare nødt til at rekruttere registrering for at kunne stille spørgsmål eller reagere på andre.

For at kontakte os på ethvert spørgsmål om webstedet (reklame, samarbejde, gennemgang af tjenesten), skriv til posthuset [E-mail beskyttet] Kun alle de fælles spørgsmål placeres på webstedet, de er ikke forsynet med et svar via mail.

Hvad vil nul være lige, hvis det er taget til nul?

Hvorfor er nummeret til grad 0 svarende til 1? Der er en regel, at ethvert tal ud over nul, opført i en nulgrad vil være lig med en: 20 \u003d 1; 1,50 \u003d 1; 100000 \u003d 1 Men hvorfor er det så? Når nummeret er opført i et forhold med en naturlig indikator, menes det, at det multipliceres i sig selv så mange gange som indikatoren for graden: 43 \u003d 4 × 4 × 4; 26 \u003d 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 Når indikatoren for graden er 1, er der kun en multiplikator under konstruktionen (hvis der ikke kan være nogen faktor generelt), og derfor er bygningsresultatet lig med jorden: 181 \u003d 18; (-3,4) 1 \u003d -3,4 men hvordan i et sådant tilfælde være med en nul indikator? Hvad multipliceres med? Lad os prøve at gå anderledes. Det er kendt, at hvis to grader har de samme baser, men forskellige indikatorer, kan basen efterlades i det samme, og indikatorerne er enten foldet med hinanden (hvis graden multipliceres) eller fradrage dividerindikatoren fra Dividy indikator (hvis opdelt): 32 × 31 \u003d 32 + 1 \u003d 33 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27 45 × 43 \u003d 45-3 \u003d 42 \u003d 4 × 4 \u003d 16 Og nu anser vi et sådant eksempel: 82 ÷ 82 \u003d 82-2 \u003d 80 \u003d? Hvad hvis vi ikke bruger graden af \u200b\u200bgrader med samme base og foretag beregninger i rækkefølge af deres følger: 82 ÷ 82 \u003d 64 ÷ 64 \u003d 1 Så vi fik en værdsat enhed. Således synes nulindikatoren for omfanget at sige, at nummeret ikke multipliceres i sig selv, men er opdelt af sig selv. Og dermed bliver det klart, hvorfor udtrykket 00 ikke giver mening. Det er trods alt umuligt at opdele på 0. Det kan være begrundet anderledes. Hvis der for eksempel er multiplikation af grader 52 × 50 \u003d 52 + 0 \u003d 52, følger det således, at 52 blev multipliceret med 1. Følgelig 50 \u003d 1.

Fra egenskaberne af grader: a ^ n / a ^ m \u003d a ^ (nm) Hvis n \u003d m, vil resultatet være enheden undtagen naturligt a \u003d 0, i dette tilfælde (da nul i hvilket som helst vil være nul) ville Har en division på nul, derfor eksisterer ikke 0 ^ 0

Konto på forskellige sprog

Nizhny navne fra 0 til 9 på populære verdenssprog.

Sprog	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
engelsk	nul.	en.	to	tre.	fire.	fem.	seks.	syv.	otte	ni
Bulgarsk.	nula.	edino.	to	tre	chetSiri.	kæledyr	pol	sEM.	akse	net
Ungarsk.	nulla.	egy.	kettõ.	három.	négy.	ÖT.	hat.	hét.	nyolc.	kilenc.
hollandsk	nul.	en.	twee.	drie.	vier.	vIJF.	zes.	zeven.	acht.	negen.
dansk	nul.	dA.	til.	tre.	ild	fem.	sEKS.	sYV.	otte.	ni.
spansk	cero.	uno.	dos.	tres.	cuatro.	cinco.	seis.	siete.	ocho.	nueve.
Italiensk	nul.	uno.	på grund.	tre.	quattro.	cinque.	sei.	sæbe	otto.	nove.
Litauisk.	nulis.	vienas.	dU.	trys.	keturi.	penki.	SKIB	septyNi.	aðtuoni.	devyni.
tysk	nUL	ein.	zwei.	drei.	vier.	fünf.	sekhs.	sieben.	acht.	neun.
Russisk	nul	en	to	tre	fire.	fem	seks	syv.	otte	ni
Polere	nul.	jeden.	dWA.	trzy.	czery.	piêæ.	sze¶æ.	siedem.	osiem.	dziewiêæ.
Portugisisk.	um.	dois.	três.	quatro.	cinco.	seis.	sETE.	oito.	nove.
fransk	nul.	fN.	deux.	trois.	quatre.	cinq.	seks.	sept.	hUIT.	neuf.
Tjekkisk	nula.	jedna.	dVA.	tØI.	ètyøi.	grube.	¹est	sedm.	oSM.	devìt.
Svensk	noll.	ett.	tVA.	tre.	fyra.	fem.	køn.	sju.	aTTA.	nio.
Estonian.	nUL	Üks.	kaks.	kolm.	neli.	viis.	kuus.	seitse.	kaheksa.	Üheksa.

Negativ og nul.

Nul, negativ og fraktioneret grad

Nul indikator

Evaluere dette nummer i en vis grad betyder at gentage det på en fabrik så mange gange som enheder i en indikator for graden.

Ifølge denne definition er udtrykket: eN. 0 giver ikke mening. Men at reglerne for at dividere graden af \u200b\u200bsamme nummer, så værdien af \u200b\u200bdivider er lig med divisionsindikatoren, blev definitionen indført:

Nulgraden af \u200b\u200bet hvilket som helst tal vil være lig med en.

Negativ indikator

Udtryk a -M., i sig selv giver ikke mening. Men for reglerne for at dividere graden af \u200b\u200bsamme nummer, og i det tilfælde, hvor dividerindikatoren er større end den konkrete indikator, blev definitionen introduceret:

Eksempel 1. Hvis dette nummer består af 5 hundrede, 7 tiere, 2 enheder og 9 hundrede, så kan det afbildes som følger:

5 × 10 2 + 7 × 10 1 + 2 × 10 0 + 0 × 10 -1 + 9 × 10 -2 \u003d 572,09

Eksempel 2. Hvis dette nummer består af et snesevis, B-enheder, med tiendedele og D tusinder af det, kan det skildres som følger:

eN. × 10 1 + b. × 10 0 + c. × 10 -1 + d. × 10 -3.

Handlinger om grader med negative indikatorer

Når man multiplicerer graderne i samme nummer, foldes indikatorerne.

Når du deler graden af \u200b\u200bsamme nummer, trækkes dividerindikatoren fra divisionen.

For at blive taget i graden af \u200b\u200barbejde, er det nok at bygge i denne grad alle faktum særskilt:

For at konstruere en brøkdel er det nok at bygge denne grad særskilt begge medlemmer af Fraci:

Ved opførelse af en grad til en anden grad er indikatorerne for grader variabel.

Fraktioneret indikator

Hvis en k. ikke der er en flere n., så udtryk: giver ikke mening. Men at reglen om udvinding af roden fra det omfang, der blev fundet sted med en hvilken som helst værdi af indikatoren i graden, blev definitionen indført:

Takket være indførelsen af \u200b\u200bet nyt symbol kan rodekstraktionen altid erstattes af øvelsen.

Handlinger om grader med fraktionerede indikatorer

Handlinger om grader med fraktionerede indikatorer udføres i overensstemmelse med de samme regler, der er fastsat for integerindikatorer.

I beviset for denne situation vil vi først antage, at medlemmer af fraktioner: og betjeningsindikatorer for grader er positive.

I særdeleshed n. eller q. kan være lig med en.

Når man multiplicerer graderne af samme nummer, foldes fraktionelle indikatorer:

Når du deler graden af \u200b\u200bsamme nummer med fraktionelle indikatorer, trækkes dividerindikatoren fra opdelingsindikatoren:

For at hæve en grad i en anden grad i tilfælde af fraktionerede indikatorer er det tilstrækkeligt at formere graden:

For at udvinde roden af \u200b\u200bfraktioneret grad er det ret nok at opdele graden til rodfrekvensen:

Aktionsreglerne gælder ikke kun for positiv fraktionelle indikatorer, men også til negativ.

Der er en regel, at ethvert tal udover nul, opført til nul grad vil være lig med en:
2 0 = 1; 1.5 0 = 1; 10 000 0 = 1
Men hvorfor er det sådan?
Når nummeret opføres i et forhold med en naturlig figur, menes det, at det multipliceres i sig selv så mange gange som en indikator:
4 3 \u003d 4 × 4 × 4; 2 6 \u003d 2 × 2 × 2 × 2 × 2 x 2
Når indikatoren for graden er 1, så er der under konstruktionen kun en multiplikator (hvis der ikke kan være nogen faktor generelt), og derfor er bygningsresultatet lig med jorden:
18 1 = 18;(-3.4)^1 = -3.4
Men hvordan, i dette tilfælde, med nulindikatoren? Hvad multipliceres med?
Lad os prøve at gå anderledes.

Hvorfor er nummeret til grad 0 svarende til 1?

Det er kendt, at hvis to grader har de samme baser, men forskellige indikatorer, kan basen efterlades i det samme, og indikatorerne er enten foldet med hinanden (hvis graden multipliceres) eller graden af \u200b\u200bdividerindikatoren fra fordelingsindikatoren (hvis grader er opdelt):
3 2 × 3 1 \u003d 3 ^ (2 + 1) \u003d 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27
4 5 × 4 3 \u003d 4 ^ (5-3) \u003d 4 2 \u003d 4 × 4 \u003d 16
Og nu overveje et sådant eksempel:
8 2 ÷ 8 2 \u003d 8 ^ (2-2) \u003d 8 0 \u003d?
Hvad hvis vi ikke bruger graden af \u200b\u200bgrader med samme grundlag og producerer beregninger i rækkefølge af deres følgende:
8 2 ÷ 8 2 \u003d 64 ÷ 64 \u003d 1
Så vi fik en værdsat enhed. Således synes nulindikatoren for omfanget at sige, at nummeret ikke multipliceres i sig selv, men er opdelt af sig selv.
Og dermed bliver det klart, hvorfor udtrykket 0 0 ikke giver mening. Det er trods alt umuligt at opdele 0.

Første niveau

Graden og egenskaberne. Udtømmende vejledning (2019)

Hvorfor har du brug for? Hvor vil de komme til dig? Hvorfor skal du bruge tid på deres undersøgelse?

At finde ud af alt om graderne, hvad de har brug for for, hvad de har brug for, hvordan de skal bruge deres viden i hverdagen Læs denne artikel.

Og selvfølgelig vil kendskabet til grader bringe dig tættere på den vellykkede overgivelse af Oge eller EGE og at komme ind på universitetet i dine drømme.

Lad os gå ... (kørte!)

VIGTIGT BEMÆRKNING! Hvis i stedet for formler ser Abracadabra, skal du rengøre cachen. For at gøre dette skal du klikke på CTRL + F5 (på Windows) eller CMD + R (på Mac).

Første niveau

Øvelsen er den samme matematiske drift som tilføjelse, subtraktion, multiplikation eller division.

Nu vil jeg forklare alt det menneskelige sprog på meget enkle eksempler. Vær opmærksom. Eksempler på elementær, men forklarer vigtige ting.

Lad os begynde med tilsætning.

Der er ikke noget at forklare her. Du ved alle alt: Vi er otte personer. Alle har to flasker cola. Hvor meget er colaen? Højre - 16 flasker.

Nu multiplikation.

Det samme eksempel med en cola kan registreres forskelligt :. Matematik - Folk Cunning og Lazy. De bemærker først nogle mønstre, og derefter opfinde vejen, hvordan man "tæller" dem hurtigere. I vores tilfælde bemærkede de, at hver af de otte personer havde det samme antal cola flasker og kom op med en modtagelse kaldet multiplikation. Enig, det anses for lettere og hurtigere end.

Så at læse hurtigere, lettere og uden fejl, skal du bare huske tabel multiplikation. Selvfølgelig kan du gøre alt langsommere, hårdere og fejl! Men…

Her er multiplikationstabellen. Gentage.

Og den anden, smukkere:

Og hvad andre tricks kom op med dovne matematikere? Ret - erektion.

Erektion

Hvis du har brug for at formere nummeret for dig selv fem gange, siger matematik, at du skal bygge dette nummer i den femte grad. For eksempel, . Matematik husker at to i den femte grad er. Og de løser sådanne opgaver i sindet - hurtigere, lettere og uden fejl.

Til dette behøver du kun husk, hvad der er fremhævet i farve i tabellen af \u200b\u200bgrader af tal. Tro det, det vil meget lette dit liv.

Forresten, hvorfor den anden grad kaldes firkant tal, og den tredje - cuba.? Hvad betyder det? Meget godt spørgsmål. Nu vil der være til dig og kvadrater og Cuba.

Eksempel fra Life Number 1

Lad os starte med en firkant eller fra en anden grad af nummer.

Forestil dig en firkantet pool af målerstørrelse på en meter. Puljen er på din Dacha. Varme og virkelig vil svømme. Men ... Pool uden bunden! Du skal gemme bunden af \u200b\u200bpoolfliserne. Hvor meget har du brug for fliser? For at bestemme dette skal du finde ud af området af bunden af \u200b\u200bpoolen.

Du kan simpelthen beregne, med en finger, at bunden af \u200b\u200bpoolen består af en meter kuber pr. Meter. Hvis du har en meter flise til måler, skal du bruge stykker. Det er nemt ... men hvor så du sådan en flise? Flisen er mere tilbøjelige til at se for se og derefter "finger til at tælle" tortur. Så skal du formere dig. Så på den ene side af bunden af \u200b\u200bpuljen passer vi fliser (stykker) og på den anden for fliser. Multiplicere på, du får fliser ().

Har du bemærket, at vi for at bestemme området af bunden af \u200b\u200bpoolen, multiplicerede vi det samme nummer alene? Hvad betyder det? Dette multipliceres med samme nummer, vi kan drage fordel af "erektionen af \u200b\u200budryddelsen". (Selvfølgelig, når du kun har to tal, multiplicer dem eller hæver dem i graden. Men hvis du har mange af dem, er det meget lettere at hæve dem i form af beregninger, for meget mindre. Til eksamen, det er meget vigtigt).
Så tredive til anden grad vil (). Eller vi kan sige, at tredive på pladsen vil være. Med andre ord kan den anden grad af nummer altid være repræsenteret som en firkant. Og tværtimod, hvis du ser en firkant - er det altid den anden grad af noget nummer. Square er billedet af et andet grader nummer.

Eksempel fra Life Number 2

Her er opgaven, tæl, hvor mange firkanter på et skakbræt med en firkant af tallet ... på den ene side af cellerne og på den anden også. For at beregne deres mængde skal du multiplicere otte eller ... Hvis du bemærker, at skakbrættet er en firkant på siden, så kan du bygge otte pr. Kvadrat. Det viser sig celler. () Så?

Eksempel fra Life Number 3

Nu en kube eller en tredje grad af nummer. Den samme pool. Men nu skal du vide, hvor meget vand der skal udfyldes i denne pool. Du skal tælle lydstyrken. (Volumener og væsker, forresten, måles i kubikmeter. Pludselig, virkelig?) Tegn en pool: bunden af \u200b\u200bmålerens størrelse og en dybde af meter og prøv at tælle, hvor meget kuber størrelsen af \u200b\u200bmåleren på måleren vil Indtast din pool.

Højre vis din finger og tæller! En gang, to, tre, fire ... toogtyve, treogtyve ... hvor meget skete det? Kom ikke ned? Svært at tælle din finger? Så det! Tag et eksempel fra matematikere. De er dovne, derfor bemærket, at for at beregne mængden af \u200b\u200bpoolen, er det nødvendigt at formere hinanden i længde, bredde og højde. I vores tilfælde vil mængden af \u200b\u200bpoolen være lig med kuber ... det er lettere for sandheden?

Og forestil dig nu, så vidt matematik er doven og snedig, hvis de forenkles. Bragte alle til en handling. De bemærkede, at længden, bredden og højden er lig med, og at de samme nummer varnimer sig selv på sig selv ... og hvad betyder det? Det betyder, at du kan udnytte graden. Så hvad tænkte du med din finger, de gør i én handling: tre i Cuba er lige. Dette er skrevet så :.

Det forbliver kun husk bordet grader. Hvis du selvfølgelig er den samme dovne og snedige som matematik. Hvis du kan lide at arbejde meget og lave fejl - kan du fortsætte med at tælle din finger.

Nå for endelig at overbevise dig om, at graderne kom op med Lodii og Cunnies for at løse deres livsproblemer, og ikke at skabe problemer, du, her er et andet par eksempler fra livet.

Eksempel fra Life Number 4

Du har en million rubler. I begyndelsen af \u200b\u200bhvert år tjener du hver million yderligere millioner. Det vil sige, hver million vil fordoble i begyndelsen af \u200b\u200bhvert år. Hvor mange penge vil du have i årene? Hvis du sidder nu og "du tænker din finger", så er du en meget hårdtarbejdende person og .. dumt. Men sandsynligvis vil du svare om et par sekunder, fordi du er smart! Så i det første år - to multiplicerede to ... i andet år - hvad skete der, en anden to, på det tredje år ... Stop! Du har bemærket, at antallet multiplicerer sig selv. Så to i den femte grad - en million! Og forestiller dig nu, at du har en konkurrence, og disse millioner vil modtage den, der vil finde hurtigere ... det er værd at huske graden af \u200b\u200btal, hvad synes du?

Eksempel fra Life Number 5

Du har en million. I begyndelsen af \u200b\u200bhvert år tjener du hver million to mere. Stor sandhed? Hver million tripler. Hvor mange penge vil du efter et år? Lad os tælle. Det første år er at multiplicere på, så er resultatet stadig på ... allerede kedeligt, fordi du allerede har forstået alt: Tre multipliceres af sig selv. Derfor er fjerde grad lig med en million. Det er kun nødvendigt at huske, at tre i fjerde grad er eller.

Nu ved du, at ved hjælp af opførelsen af \u200b\u200bnummeret, vil du i høj grad lette dit liv. Lad os se ud for hvad du kan gøre med graderne og hvad du behøver at vide om dem.

Vilkår og koncepter ... for ikke at blive forvirret

Så for at startere, lad os definere begreberne. Hvad synes du, hvad er indikatoren for graden? Det er meget simpelt - dette er det nummer, der er "øverst" af graden af \u200b\u200bnummer. Ikke videnskabeligt, men det er klart og nemt at huske ...

Nå, på samme tid det sådan en grundgrad? Endnu lettere - dette er det nummer, der er under, ved bunden.

Her er en tegning for loyalitet.

Godt, generelt at opsummere og bedre huske ... Graden med basis "" og indikatoren "" læses som "til grad" og er skrevet som følger:

Graden af \u200b\u200bnummer med en naturlig indikator

Du har allerede sikkert gættet: Fordi indikatoren er et naturligt nummer. Ja, men hvad er naturligt nummer.? Elementære! Natural Dette er de numre, der bruges i kontoen, når du noterer varer: en, to, tre ... vi, når vi overvejer ting, siger ikke: "Minus fem", "minus seks", "minus syv". Vi siger også ikke: "En tredjedel", eller "nul af helhed, fem tiendedele." Disse er ikke naturlige tal. Og hvad disse tal tror du?

Tal som "minus fem", "minus seks", "minus syv" tilhører hele tal. Generelt omfatter til hele tal alle naturlige tal, tallene er modsatte af naturlige (det vil sige taget med et minustegn) og nummeret. Nul forstår let - det er når ingenting. Og hvad betyder de negative ("minus") tal? Men de blev opfundet primært for at udpege gæld: Hvis du har en balance på telefonnummeret, betyder det, at du skal operere rubler.

Alle slags fraktioner er rationelle tal. Hvordan opstod de, hvad synes du? Meget simpelt. For flere tusinde år siden fandt vores forfædre, at de mangler naturlige tal til at måle lang, vægt, firkantet osv. Og de opfinder rationelle tal.... Jeg spekulerer på, om det er sandt?

Der er også irrationelle tal. Hvad er dette nummer? Hvis kort, så en uendelig decimal fraktion. For eksempel, hvis omkredslængden er opdelt i sin diameter, vil det irrationelle antal være.

Resumé:

Vi definerer begrebet grad, hvis indikator er et naturligt tal (dvs. en hel og positiv).

1. Et hvilket som helst nummer til den første grad lige til sig selv:
2. Evaluere nummeret på pladsen - det betyder at formere det selv:
3. Vurder nummeret i terningen - det betyder at formere det i sig selv tre gange:

Definition. Vurder nummeret i naturen - det betyder at multiplicere antallet af hele tiden for dig selv:
.

Egenskaber af grader

Hvor kom disse egenskaber fra? Jeg vil vise dig nu.

Lad os se: Hvad er og ?

A-Priory:

Hvor mange multiplikatorer er her?

Meget enkel: Vi gennemførte multiplikatorer til multiplikatorer, det viste sig faktorerne.

Men pr. Definition er dette graden af \u200b\u200bet nummer med en indikator, det vil sige, at det var nødvendigt at bevise.

Eksempel: Forenkle udtrykket.

Afgørelse:

Eksempel: Forenkle udtrykket.

Afgørelse: Det er vigtigt at bemærke, at i vores regel før Skal være det samme fundament!
Derfor kombinerer vi grader med grundlag, men forbliver en separat multiplikator:

kun for graders arbejde!

I intet tilfælde kan ikke skrive det.

2. det er Graden af \u200b\u200bnummer

Ligesom med den tidligere ejendom vender vi til definitionen af \u200b\u200bgraden:

Det viser sig, at udtrykket multipliceres i sig selv en gang, det vil sige ifølge definitionen, det er, der er en række nummer:

Faktisk kan dette kaldes "indikatoren for parentes". Men aldrig kan gøre det i mængden:

Husk formlen på forkortet multiplikation: Hvor mange gange ønskede vi at skrive?

Men det er forkert, fordi.

Negativ

Op til dette punkt diskuterede vi kun, hvad indikatoren skulle være.

Men hvad skal være grundlaget?

I graderne af S. naturlig indikator Basen kan være et hvilket som helst nummer.. Og sandheden kan vi formere hinanden alle andre, uanset om de er positive, negative eller endda.

Lad os tænke på, hvilke tegn ("eller" ") vil have graderne af positive og negative tal?

For eksempel, et positivt eller negativt tal? MEN? ? Med det første er alt klart: Hvor mange positive tal vi ikke multipliceres af hinanden, vil resultatet være positivt.

Men med negativ lidt mere interessant. Vi husker trods alt en simpel regel i klasse 6: "Minus for minus giver et plus." Det vil sige, eller. Men hvis vi multipliceres på, vil det fungere ud.

Bestem uafhængigt, hvilket tegn Følgende udtryk vil have:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Klare sig?

Her er svarene: I de første fire eksempler håber jeg, at alt er forståeligt? Bare se på bunden og indikatoren, og anvend den rigtige regel.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

I eksempel 5) er alt heller ikke så skræmmende, som det ser ud til: Det er ligegyldigt, hvad der er lig med basen - graden er endda, hvilket betyder, at resultatet altid vil være positivt.

Nå, med undtagelse af sagen, når basen er nul. Årsagen er ikke lige? Naturligvis nej, fordi (fordi).

Eksempel 6) er ikke længere så simpelt!

6 Eksempler på træning

Løsninger af 6 eksempler

Hvis du ikke er opmærksom på den ottende grad, hvad ser vi her? Husk Grade 7-programmet. Så husket? Dette er en formel for forkortet multiplikation, nemlig - forskellen mellem firkanter! Vi får:

Se omhyggeligt på nævneren. Han ligner meget på en af \u200b\u200bantallet af tællerens multiplikatorer, men hvad er der galt? Ikke proceduren i vilkårene. Hvis de ville ændre dem på steder, ville det være muligt at anvende reglen.

Men hvordan man gør det? Det viser sig meget nemt: den lige grad af denominator hjælper os.

Magisk ændrede komponenterne på steder. Dette "fænomen" gælder for ethvert udtryk til en jævn grad: Vi kan frit ændre tegn i parenteser.

Men det er vigtigt at huske: alle tegn ændrer sig på samme tid.!

Lad os gå tilbage for eksempel:

Og igen formlen:

Heltal Vi kalder naturlige numre modsat dem (det vil sige taget med tegnet "") og nummeret.

hele positivt nummer., Og det adskiller sig ikke fra naturligt, så ser alt ud som i det foregående afsnit.

Og lad os nu overveje nye tilfælde. Lad os starte med en indikator, der er lig med.

Et hvilket som helst nummer til nul svarende til en:

Som altid vil vi spørge mig: Hvorfor er det så?

Overvej enhver grad med basis. Tag for eksempel og dominerende på:

Så vi multiplicerede nummeret på, og fik det samme som det var. Og for hvilket nummer skal der multipliceres, så intet har ændret sig? Det er rigtigt på. Så.

Vi kan gøre det samme med et vilkårligt nummer:

Gentag reglen:

Et hvilket som helst nummer til nul svarende til en.

Men fra mange regler er der undtagelser. Og her er det også, at der er et tal (som en base).

På den ene side skal det være lig med nogen grad - hvor meget nul selv er hverken multipliceret, stadig få nul, det er klart. Men på den anden side, som et hvilket som helst nummer til nulgrad, bør være ens. Så hvad er sandheden? Matematik besluttede ikke at binde og nægtede at oprette nul til nul. Det vil sige, nu kan vi ikke kun opdeles i nul, men også at bygge det til nul.

Lad os gå videre. Ud over naturlige tal og tal omfatter negative tal. For at forstå, hvad en negativ grad vil vi gøre som sidste gang: Domingly noget normalt nummer på samme måde til en negativ grad:

Herfra er det allerede nemt at udtrykke det ønskede:

Nu spredte vi den resulterende regel til en vilkårlig grad:

Så vi formulerer reglen:

Nummeret er en negativ grad tilbage til samme nummer til en positiv grad. Men samtidig basen kan ikke være nul: (Fordi det er umuligt at opdele).

Lad os opsummere:

I. Udtrykket er ikke defineret i sagen. Hvis så.

II. Ethvert tal til nul er lig med en :.

III. Et nummer, der ikke er lig med nul, til en negativ grad tilbage til samme nummer til en positiv grad :.

Opgaver til selvløsninger:

Nå, som sædvanlig, eksempler på selvløsninger:

Opgaveanalyse for selvløsninger:

Jeg ved, jeg ved, tallene er forfærdelige, men eksamen skal være klar til alt! Del disse eksempler eller spred deres beslutning, hvis jeg ikke kunne beslutte, og du vil lære at nemt klare dem på eksamen!

Fortsæt med at udvide cirklen af \u200b\u200btal, "egnet" som en indikator for graden.

Nu overveje rationelle tal. Hvilke numre kaldes rationelle?

Svar: Alt, der kan repræsenteres i form af fraktioner, hvor og - heltal, og.

At forstå, hvad der er "Fragtgrad", Overvej fraktionen:

Opstillet begge dele af ligningen til graden:

Husk nu reglen om "Grad til grad":

Hvilket nummer skal der tages i graden for at få?

Denne formulering er definitionen af \u200b\u200brodgrad.

Lad mig minde dig om: Roten af \u200b\u200bnummeret () kaldes nummeret, der er lige i udryddelsen.

Det vil sige rodgrad er en operation, omvendt øvelsen i graden :.

Viser sig at. Det er klart, at denne særlige sag kan udvides :.

Tilføj nu en tæller: Hvad er? Svaret er nemt at få ved hjælp af "grad til grad" -reglen:

Men kan årsagen være noget nummer? Når alt kommer til alt, kan roden ikke udvindes fra alle numre.

Ingen!

Husk reglen: Et hvilket som helst tal opført i en jævn grad er nummeret positivt. Det vil sige at udvinde rødderne af en jævn grad af negative tal er det umuligt!

Det betyder, at det er umuligt at opbygge sådanne tal i en fraktioneret grad med en jævntennævner, det vil sige, at udtrykket ikke giver mening.

Hvad med udtryk?

Men der er et problem.

Nummeret kan være repræsenteret i form af DRGIH, reducerede fraktioner, for eksempel eller.

Og det viser sig, at der er, men eksisterer ikke, men det er kun to forskellige poster af samme nummer.

Eller et andet eksempel: en gang, så kan du skrive. Men det er umagen værd at skrive til os på en anden måde, og igen får vi en gener: (det vil sige, de modtog et helt andet resultat!).

For at undgå lignende paradokser anser vi os kun et positivt fundament af grad med fraktioneret indikator.

Så hvis:

• - naturligt nummer
• - heltal;

Eksempler:

Graderne med den rationelle indikator er meget nyttige til at omdanne udtryk med rødder, for eksempel:

5 eksempler til træning

Analyse af 5 eksempler til træning

Nå, nu - det sværeste. Nu vil vi forstå irrationel.

Alle regler og egenskaber af grader her er nøjagtigt de samme som i en grad med en rationel indikator med undtagelse

Når alt kommer til alt, pr. Definition er irrationelle numre tal, der ikke kan repræsenteres i form af en brøkdel, hvor og - heltal (det vil sige irrationelle tal er alle gyldige tal undtagen rationelt).

Når vi studerer grader med naturlig, hel og rationel indikator, udgjorde vi hver gang et bestemt "billede", "analogi" eller en beskrivelse i mere velkendte vilkår.

For eksempel er en naturlig figur et tal flere gange multipliceret af sig selv;

...nul - Sådan er antallet multipliceret af sig selv en gang, det vil sige, at det endnu ikke er begyndt at formere sig, det betyder, at antallet selv ikke engang optrådte - derfor er resultatet kun et bestemt "billetnummer", nemlig nummeret;

...grad med en hel negativ indikator "Det syntes at have fundet sted en bestemt" reverse proces ", det vil sige nummeret blev ikke multipliceret af sig selv, men deli.

Forresten, i videnskaben bruges ofte med en kompleks indikator, det vil sige, indikatoren er ikke engang et gyldigt nummer.

Men i skole tænker vi ikke på sådanne vanskeligheder, du får mulighed for at forstå disse nye begreber på instituttet.

Hvor vi er sikre på, at du vil gøre! (Hvis du lærer at løse sådanne eksempler :))

For eksempel:

Solim dig selv:

Vragrester:

1. Lad os starte med de sædvanlige regler for træningsreglerne for os:

Se nu på indikatoren. Har han ikke noget om noget om noget? Husk formlen for forkortet multiplikation. Firkantede forskelle:

I dette tilfælde,

Viser sig at:

Svar: .

2. Vi bringer fraktionen i indikatorerne for grader til samme form: enten både decimal eller begge almindelige. Vi får for eksempel:

Svar: 16.

3. Intet særligt, vi bruger de sædvanlige egenskaber af grader:

AVANCERET NIVEAU

Bestemmelse af grad.

Graden kaldes udtrykket af formularen: hvor:

• — grad;
• - Indikator.

Graden med den naturlige indikator (n \u003d 1, 2, 3, ...)

Bygge en naturlig grad n - det betyder at multiplicere antallet for dig selv en gang:

Graden med heltalet (0, ± 1, ± 2, ...)

Hvis en indikator for graden er software positivt nummer:

Konstruktion i nul grad.:

Udtrykket er ubestemt, fordi det på den ene side i nogen grad er, og på den anden side - et hvilket som helst antal i grad er.

Hvis en indikator for graden er en hel negativ nummer:

(Fordi det er umuligt at opdele).

Endnu en gang om Zeros: Udtrykket er ikke defineret i sagen. Hvis så.

Eksempler:

Rationel

• - naturligt nummer
• - heltal;

Eksempler:

Egenskaber af grader

For at gøre det lettere at løse problemer, lad os prøve at forstå: Hvor kom disse ejendomme fra? Vi beviser dem.

Lad os se: Hvad er hvad?

A-Priory:

Så i den højre del af dette udtryk opnås et sådant arbejde:

Men efter definition er dette graden af \u200b\u200bet nummer med en indikator, det vil sige:

Q.e.d.

Eksempel : Forenkle udtrykket.

Afgørelse : .

Eksempel : Forenkle udtrykket.

Afgørelse : Det er vigtigt at bemærke, at i vores regel førder skal være de samme baser. Derfor kombinerer vi grader med grundlag, men forbliver en separat multiplikator:

En anden vigtig Bemærk: Dette er en regel - kun for graders arbejde!

Under ingen omstændigheder til nerven at skrive det.

Ligesom med den tidligere ejendom vender vi til definitionen af \u200b\u200bgraden:

Vi omgrupperer dette arbejde som dette:

Det viser sig, at udtrykket multipliceres i sig selv en gang, det vil sige ifølge definitionen, er dette - ved graden af \u200b\u200bnummer:

Faktisk kan dette kaldes "indikatoren for parentes". Men aldrig kan gøre dette i mængden:!

Husk formlen på forkortet multiplikation: Hvor mange gange ønskede vi at skrive? Men det er forkert, fordi.

Grad med negativt grundlag.

Op til dette punkt diskuterede vi kun, hvad der skulle være indikator grad. Men hvad skal være grundlaget? I graderne af S. naturlig indikator Basen kan være et hvilket som helst nummer. .

Og sandheden kan vi formere hinanden alle andre, uanset om de er positive, negative eller endda. Lad os tænke på, hvilke tegn ("eller" ") vil have graderne af positive og negative tal?

For eksempel, et positivt eller negativt tal? MEN? ?

Med det første er alt klart: Hvor mange positive tal vi ikke multipliceres af hinanden, vil resultatet være positivt.

Men med negativ lidt mere interessant. Vi husker trods alt en simpel regel i klasse 6: "Minus for minus giver et plus." Det vil sige, eller. Men hvis vi vil multiplicere på (), viser det sig.

Og så til uendelig: hver gang den næste multiplikation vil ændre tegnet. Enkle regler kan formuleres:

1. også selvom grad - nummer. positiv.
2. Negativt tal opført i ulige grad - nummer. negativ.
3. Et positivt tal til en hvilken som helst grad er nummeret positivt.
4. Nul i en hvilken som helst grad er nul.

Bestem uafhængigt, hvilket tegn Følgende udtryk vil have:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Klare sig? Her er svarene:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

I de første fire eksempler håber jeg, at alt er klart? Bare se på bunden og indikatoren, og anvend den rigtige regel.

I eksempel 5) er alt heller ikke så skræmmende, som det ser ud til: Det er ligegyldigt, hvad der er lig med basen - graden er endda, hvilket betyder, at resultatet altid vil være positivt. Nå, med undtagelse af sagen, når basen er nul. Årsagen er ikke lige? Naturligvis nej, fordi (fordi).

Eksempel 6) er ikke længere så simpelt. Her skal du vide det mindre: eller? Hvis du husker at det bliver klart, at og derfor er basen mindre end nul. Det vil sige, vi anvender reglen 2: Resultatet vil være negativt.

Og igen bruger vi graden af \u200b\u200bgrad:

Alt som normalt - skriv ned definitionen af \u200b\u200bgrader og opdele dem til hinanden, opdele på parene og få:

Før du demonterer den sidste regel, løser vi flere eksempler.

Beregnede udtryk:

Løsninger :

Hvis du ikke er opmærksom på den ottende grad, hvad ser vi her? Husk Grade 7-programmet. Så husket? Dette er en formel for forkortet multiplikation, nemlig - forskellen mellem firkanter!

Vi får:

Se omhyggeligt på nævneren. Han ligner meget på en af \u200b\u200bantallet af tællerens multiplikatorer, men hvad er der galt? Ikke proceduren i vilkårene. Hvis de blev byttet på steder, ville det være muligt at anvende reglen 3. Men hvordan man gør det? Det viser sig meget nemt: den lige grad af denominator hjælper os.

Hvis du tegner det, vil ingenting ændre sig, ikke? Men nu viser det sig følgende:

Magisk ændrede komponenterne på steder. Dette "fænomen" gælder for ethvert udtryk til en jævn grad: Vi kan frit ændre tegn i parenteser. Men det er vigtigt at huske: alle tegn ændrer sig på samme tid!Du kan ikke erstatte på, ændre kun en ubehagelig minus!

Lad os gå tilbage for eksempel:

Og igen formlen:

Så nu den sidste regel:

Hvordan vil vi bevise? Selvfølgelig som sædvanlig: Jeg vil afsløre begrebet grad og forenkler:

Nå, nu vil jeg afsløre parenteser. Hvor meget vil bogstaverne få? En gang på multiplikatorer - hvad minder det om? Det er ikke andet end definitionen af \u200b\u200boperationen multiplikation: I alt var der faktorer. Det vil sige, det er pr. Definition graden af \u200b\u200bnummer med indikatoren:

Eksempel:

Irrationel

Ud over oplysninger om grader for gennemsnittet vil vi analysere graden med den irrationelle indikator. Alle regler og egenskaber af grader her er nøjagtigt de samme som i en grad med en rationel indikator med undtagelse - efter alt efter definition er irrationelle numre tal, der ikke kan indsendes i form af en brøkdel, hvor - heltalerne (dvs. irrationelle numre er alle gyldige numre udover rationel).

Når vi studerer grader med naturlig, hel og rationel indikator, udgjorde vi hver gang et bestemt "billede", "analogi" eller en beskrivelse i mere velkendte vilkår. For eksempel er en naturlig figur et tal flere gange multipliceret af sig selv; Nummeret i nul grad er på en eller anden måde tallet multipliceret af sig selv en gang, det vil sige, at det endnu ikke er begyndt at formere sig, det betyder, at antallet selv ikke engang er optrådt - derfor er kun en bestemt "billet", nemlig resultatet ; Graden med en hel negativ indikator er som om en bestemt "reverse proces" forekom, det vil sige, at nummeret ikke blev multipliceret af sig selv, men delt.

Forestil dig, at graden med en irrationel indikator er ekstremt vanskelig (ligesom det er svært at indsende et 4-dimensionelt rum). Det er snarere et rent matematisk objekt, som matematik skabt for at udvide konceptet af grad til hele antallet af tal.

Forresten, i videnskaben bruges ofte med en kompleks indikator, det vil sige, indikatoren er ikke engang et gyldigt nummer. Men i skole tænker vi ikke på sådanne vanskeligheder, du får mulighed for at forstå disse nye begreber på instituttet.

Så hvad gør vi, hvis vi ser en irrationel sats? Vi forsøger at slippe af med det med alt det magt! :)

For eksempel:

Solim dig selv:

1)

2)

3)

Svar:

1. Vi husker formlen forskellen mellem kvadrater. Svar:.
2. Vi giver fraktionen til samme form: enten både decimal eller begge almindelige. Vi får for eksempel:.
3. Intet særligt, vi bruger de sædvanlige egenskaber af grader:

Resumé af sektion og grundlæggende formler

Grad kaldet udtryk for formularen: hvor:

Heltal

graden, hvis indikator er et naturligt tal (dvs. en hel og positiv).

Rationel

graden, hvis indikator er negative og fraktionelle tal.

Irrationel

graden, hvis indikator er en uendelig decimalfraktion eller rod.

Egenskaber af grader

Funktioner i grader.

• Negativt tal opført i også selvom grad - nummer. positiv.
• Negativt tal opført i ulige grad - nummer. negativ.
• Et positivt tal til en hvilken som helst grad er nummeret positivt.
• Nul i enhver grad er ens.
• Et hvilket som helst nummer til nul lige.

Nu har du brug for et ord ...

Hvordan har du brug for en artikel? Skriv ned i kommentarerne som eller ej.

Fortæl mig om din erfaring med at bruge egenskaberne af grader.

Måske har du spørgsmål. Eller forslag.

Skriv i kommentarerne.

Og held og lykke på eksamenerne!

En grad med en rationel indikator

Strømfunktion IV.

§ 71. Grader med nul og negative indikatorer

I § \u200b\u200b69 beviste vi (se sætning 2) det t\u003e P.

(eN. =/= 0)

Ret naturligt ønske om at udvide denne formel og i tilfælde t. < P. . Men så nummeret t - P. Det vil være enten negativt eller lig med nul. A. Vi talte stadig kun om grader med naturlige indikatorer. Således står vi over for behovet for at tage hensyn til reelle tal med nul og negative indikatorer.

Definition 1. Et hvilket som helst nummer. men , ikke lig med nul, til nul grad svarende til en, det er, når men =/= 0

men 0 = 1. (1)

For eksempel (-13,7) 0 \u003d 1; π 0 \u003d 1; (√2) 0 \u003d 1. Nummeret 0 af nulgrad har ikke, det vil sige, at ekspressionen 0 0 ikke er defineret.

Definition 2.. Hvis en men \u003d / \u003d 0 og p. - Natural nummer, derefter

men - N. = 1 /eN. n. (2)

dvs. graden af \u200b\u200bet hvilket som helst tal, ulige nul, med en hel negativ indikator er fraktionen, hvis tæller er en enhed, og nævneren er graden af \u200b\u200bdet samme nummer A, men med en indikator modsat indikatoren i en given grad .

For eksempel,

Ved at tage disse definitioner kan det bevises det eN. \u003d / \u003d 0, formel

verne for eventuelle naturlige tal t. og N. , ikke kun for t\u003e P. . For at bevise er det nok at begrænse os til overvejelsen af \u200b\u200bto tilfælde: t \u003d P. og t.< .п Fordi Case. m\u003e n. Allerede overvejet i § 69.

Lad ske t \u003d P. ; derefter . Det betyder, at den venstre del af ligestilling (3) er lig med 1. Den rigtige del er t \u003d P. bliver til

men m - N. = men n - N. = men 0 .

Men pr. Definition men 0 \u003d 1. Således er den højre side af ligestilling (3) også lig med 1. Følgelig, t \u003d P. Formel (3) er sandt.

Antag nu det t.< п . Deling af tælleren og nævneren af \u200b\u200bfraktionen på men m. Vi får:

Som p\u003e T. derefter. Derfor . Brug af graden af \u200b\u200bgrad med en negativ indikator, du kan optage .

Så for. Som krævet for at bevise. Formel (3) er nu bevist for nogen naturlige numre t. og p. .

Kommentar. Negative indikatorer giver dig mulighed for at optage fraktioner uden nævner. For eksempel,

1 / 3 = 3 - 1 ; 2 / 5 = 2 5 - en ; overhovedet, EN. / b. = og B. - 1

Men man bør ikke tro, at fraktionerne er i stedet for at få adgang til heltal. For eksempel 3. - 1 Der er den samme fraktion som 1/3, 2 5 - 1 - samme fraktion som 2/5, og så videre.

Øvelser

529. Beregn:

530. Optag uden nominanter:

1) 1 / 8 , 2) 1 / 625 ; 3) 10 / 17 ; 4) - 2 / 3

531. Data Decimalfraktioner skrevet i form af heltaludtryk ved hjælp af negative indikatorer:

1) 0,01; 3) -0,00033; 5) -7,125;

2) 0,65; 4) -0,5; 6) 75,75.

3) - 33 10 - 5