Начертани сегменти от допирателни към окръжност. Справочни материали: хорда, секуща, тангенс, теореми

Понятието допирателна към окръжност

Един кръг има три възможни взаимни договореностисравнително прав:

Ако разстоянието от центъра на окръжността до правата линия е по-малко от радиуса, тогава правата линия има две точки на пресичане с окръжността.

Ако разстоянието от центъра на окръжността до правата линия е равно на радиуса, тогава правата линия има две точки на пресичане с окръжността.

Ако разстоянието от центъра на окръжността до правата линия е по-голямо от радиуса, тогава правата линия има две точки на пресичане с окръжността.

Нека сега въведем понятието допирателна към окръжност.

Определение 1

Допирателна към окръжност е права, която има една пресечна точка с нея.

Общата точка на окръжността и допирателната се нарича точка на допиране (Фигура 1).

Фигура 1. Допирателна към окръжност

Теореми, свързани с понятието допирателна към окръжност

Теорема 1

Теорема за свойство на допирателната: допирателната към окръжност е перпендикулярна на радиуса, прекаран до точката на допиране.

Доказателство.

Да разгледаме кръг с център $O$. Нека начертаем допирателната $a$ в точка $A$. $OA=r$ (фиг. 2).

Нека докажем, че $a\bot r$

Ще докажем теоремата от противно. Да предположим, че допирателната $a$ не е перпендикулярна на радиуса на окръжността.

Фигура 2. Илюстрация на теорема 1

Тоест $OA$ е наклонена към тангентата. Тъй като перпендикулярът към правата $a$ винаги е по-малък от наклонения към същата права линия, разстоянието от центъра на окръжността до правата линия е по-малко от радиуса. Както знаем, в този случай правата има две пресечни точки с окръжността. Което противоречи на определението за допирателна.

Следователно допирателната е перпендикулярна на радиуса на окръжността.

Теоремата е доказана.

Теорема 2

Обратно на теоремата за свойството на допирателната: Ако права, минаваща през края на радиуса на окръжност, е перпендикулярна на радиуса, тогава тази права е допирателна към тази окръжност.

Доказателство.

Според условията на задачата имаме, че радиусът е перпендикуляр, прекаран от центъра на окръжността към дадена права линия. Следователно разстоянието от центъра на окръжността до правата линия е равно на дължината на радиуса. Както знаем, в този случай окръжността има само една пресечна точка с тази права. По Определение 1 намираме, че тази права е допирателна към окръжността.

Теоремата е доказана.

Теорема 3

Отсечките от допирателни към окръжност, изтеглени от една точка, са равни и сключват равни ъгли с права линия, минаваща през тази точка и центъра на окръжността.

Доказателство.

Нека е дадена окръжност с център в точка $O$. Две различни допирателни са начертани от точка $A$ (която лежи върху цялата окръжност). От точката на контакт съответно $B$ и $C$ (фиг. 3).

Нека докажем, че $\angle BAO=\angle CAO$ и че $AB=AC$.

Фигура 3. Илюстрация на теорема 3

По теорема 1 имаме:

Следователно триъгълниците $ABO$ и $ACO$ са правоъгълни триъгълници. Тъй като $OB=OC=r$ и хипотенузата $OA$ е обща, тогава тези триъгълници са равни по хипотенуза и катет.

Следователно получаваме, че $\angle BAO=\angle CAO$ и $AB=AC$.

Теоремата е доказана.

Примерна задача върху понятието допирателна към окръжност

Пример 1

Дадена е окръжност с център в точка $O$ и радиус $r=3\ cm$. Допирателната $AC$ има точка на допиране $C$. $AO=4\ cm$. Намерете $AC$.

Решение.

Нека първо изобразим всичко на фигурата (фиг. 4).

Фигура 4.

Тъй като $AC$ е допирателна и $OC$ е радиус, тогава по Теорема 1 получаваме, че $\angle ACO=(90)^(()^\circ )$. Открихме, че триъгълникът $ACO$ е правоъгълен, което означава, че според Питагоровата теорема имаме:

\[(AC)^2=(AO)^2+r^2\] \[(AC)^2=16+9\] \[(AC)^2=25\] \

Директен ( MN), имаща само една обща точка с окръжността ( А), Наречен допирателна към кръга.

В този случай се извиква общата точка точка на допир.

Възможност за съществуване допирателна, и освен това, начертан през всяка точка кръг, като точка на допир, се доказва по следния начин теорема.

Нека се изисква да се извърши кръгс център О допирателнапрез точката А. За да направите това от точката а,като от центъра, ние описваме дъгарадиус А.О., и от точката О, като център, пресичаме тази дъга в точките бИ СЪСпергел, равен на диаметъра на дадения кръг.

След прекарване тогава акорди O.B.И операционна система, свържете точката Ас точки дИ д, при която тези хорди се пресичат с дадена окръжност. Директен ADИ А.Е. - допирателни към окръжност О. Наистина от конструкцията става ясно, че триъгълници AOBИ AOC равнобедрен(AO = AB = AC) с основи O.B.И операционна система, равен на диаметъра на кръга О.

защото O.D.И О.Е.- радиуси, тогава д - средата O.B., А д- средно операционна система, Средства ADИ А.Е. - медиани, отнесени до базите равнобедрени триъгълници, и следователно перпендикулярно на тези основи. Ако прав Д.А.И Е.А.перпендикулярно на радиусите O.D.И О.Е., тогава те - допирателни.

Последица.

Две допирателни, прекарани от една точка към окръжност, са равни и образуват равни ъгли с правата линия, свързваща тази точка с центъра.

Така AD=AEи ∠ OAD = ∠OAEзащото правоъгълни триъгълници AODИ AOE, имащи общ хипотенуза А.О.и равни крака O.D.И О.Е.(като радиуси), са равни. Обърнете внимание, че тук думата „тангента“ всъщност означава „ допирателна отсечка” от дадена точка до точката на контакт.

Отсечките от допирателни към окръжност, изтеглени от една точка, са равни и сключват равни ъгли с права линия, минаваща през тази точка и центъра на окръжността. ДОКАЗАТЕЛСТВО. A. 3. B. 4. 1. 2. S. O. По теоремата за свойството допирателна ъгли 1 и 2 са прави ъгли, следователно триъгълниците ABO и ACO са правоъгълни. Те са равни, т.к имат обща хипотенуза OA и равни крака OV и OS. Следователно AB = AC и ъгъл 3 = ъгъл 4, което трябваше да се докаже.

Слайд 4от презентацията Геометрия "кръг".. Размерът на архива с презентацията е 316 KB.

Геометрия 8 клас

резюмедруги презентации

„Свойства на четириъгълниците“ - Трапец. Dunno коригира двойката. Диагоналите разполовяват ъглите. Дефиниции на четириъгълници. Диагонали. Диктовка. Квадратът е правоъгълник, чиито страни са равни. Всички ъгли са прави. Противоположни ъгли. Елементи на успоредник. Конструктор. Ромб. Свойства на четириъгълниците. Партита. Четириъгълници и техните свойства. Четириъгълник. Помогнете на Dunno да коригира двойката. Диагонал. Противоположни страни.

„Вектори 8 клас“ - Цели на урока. Назовете равни и противоположни вектори. Определете координатите на вектора. Равни вектори. Вектори в уроците по физика. Продължете изречението. Намерете и назовете равни вектори на тази фигура. Векторни координати. Практическа работа. Абсолютната величина на вектора. Абсолютната величина на вектора. Самостоятелна работапо двойки. Описани са природни явления физични величини. Вектори. Векторни координати.

„Скаларен продукт в координати“ - Математическа загрявка. Решение на триъгълника. Теорема на Наполеон. Нов материал. Размяна на карти. Да решим проблема. Геометрия. Името на автора на теоремата. Последица. вектор. Свойства на скаларното произведение на векторите. Скаларен продуктв координатите и неговите свойства. Доказателство на Питагоровата теорема. Тест по математика.

„Аксиална симетрия в геометрията“ - Фигура се нарича симетрична по отношение на права линия a. Фигури с две оси на симетрия. Фигури, които имат една ос на симетрия. Построете триъгълници, симетрични на данните спрямо права C. Съдържание. Конструирайте точки A" и B". Определение. Симетрия в поезията. Аксиална симетрия. Начертайте две прави a и b и маркирайте две точки A и B. Как да получите фигура, симетрична на тази. Думи, които имат ос на симетрия.

Геометрия „Аксиална и централна симетрия“ - Опишете фигурата. Вайл Херман. Симетрия в растителния свят. Наука. Симетрия в света на насекомите. Ъгли на триъгълник. Ротационна симетрия. Пропорционалност. Алгоритъм за изграждане. Аксиален и централна симетрия. Симетрични точки спрямо центъра. Симетрия на точки спрямо права линия. Познати функции. Какво те привлече в тези снимки? Точка О. Централна и аксиална симетрия. Симетрията на фигурата е относително права.

“Теорема на Талес” 8 клас” - Сегмент. Умения за решаване на проблеми. Диагонал. Анализ. Задачи върху готови рисунки. Доказателство. Проучване. Паралелни линии. Талес е известен като геометър. Талес от Милет. Средни точки на страните. Теорема на Талес. Изказвания на Талес. Задача. Намерете ъглите на трапеца. Докажи.

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране определено лицеили връзка с него.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявка на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Събрани от нас лична информацияни позволява да се свържем с вас и да ви информираме за уникални предложения, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели като одит, анализ на данни и различни изследванияза да подобрим услугите, които предоставяме и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебната процедура, съдебното производство и/или въз основа на публични искания или искания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Една права линия спрямо кръг може да бъде в следните три позиции:

1. Разстоянието от центъра на окръжността до правата линия е по-голямо от радиуса.В този случай всички точки на линията лежат извън кръга.


2. Разстоянието от центъра на окръжността до правата линия е по-малко от радиуса.В този случай правата линия има точки, разположени вътре в окръжността и тъй като правата е безкрайна в двете посоки, тя се пресича от окръжността в 2 точки.


3. Разстоянието от центъра на окръжността до правата линия е равно на радиуса.Правата е допирателна.

Права, която има само една обща точка с окръжност, се нарича допирателнакъм кръга.

В този случай се извиква общата точка точка на допир.

Възможността за съществуване на допирателна и, освен това, прекарана през която и да е точка от окръжността като точка на допиране, се доказва от следната теорема.

Теорема. Ако една права е перпендикулярна на радиуса в края си, лежащ върху окръжността, тогава тази права е допирателна.

Нека O (фиг.) е центърът на някаква окръжност и OA - част от нейния радиус. През неговия край A прекарваме MN ^ OA.

Изисква се да се докаже, че правата MN е допирателна, т.е. че тази права има само една обща точка А с окръжността.

Нека приемем обратното: нека MN има друга обща точка с окръжността, например B.

Тогава правата линия OB ще бъде радиус и следователно равна на OA.

Но това не може да бъде, тъй като ако OA е перпендикулярен, тогава OB трябва да е наклонен към MN, а наклоненият е по-голям от перпендикуляра.

Обратна теорема. Ако правата е допирателна към окръжност, тогава радиусът, начертан до точката на допиране, е перпендикулярен на нея.

Нека MN е допирателната към окръжността, A е точката на допир, а O е центърът на окръжността.

Изисква се да се докаже, че OA^MN.

Да приемем обратното, т.е. Да приемем, че перпендикулярът, пуснат от O към MN, няма да бъде OA, а друга права, например OB.

Нека вземем BC = AB и изпълним OS.

Тогава OA и OS ще бъдат наклонени, еднакво отдалечени от перпендикуляра OB, и следователно OS = OA.

От това следва, че окръжността, като се вземе предвид нашето предположение, ще има две общи точки с правата MN: A и C, т.е. MN няма да е тангенс, а секанс, което противоречи на условието.

Последица. През всяка дадена точка от окръжност може да се начертае допирателна към тази окръжност и само една, тъй като през тази точка може да се начертае перпендикуляр и само един на радиуса, начертан в нея.

Теорема. Допирателна, успоредна на хорда, разделя дъгата, обхващаща хордата, наполовина в точката на контакт.

Нека правата AB (фиг.) докосва окръжността в точка M и е успоредна на хорда CD.

Трябва да докажем, че ÈCM = ÈMD.

Изчертавайки диаметъра ME през точката на допиране, получаваме: EM ^ AB и следователно EM ^ CB.

Следователно CM=MD.

Задача.През дадена точка начертайте допирателна към дадена окръжност.

Ако дадена точкае върху кръг, след това начертайте радиус през него и перпендикулярна права линия през края на радиуса. Тази линия ще бъде желаната допирателна.

Нека разгледаме случая, когато точката е дадена извън кръга.

Нека се изисква (фиг.) да се начертае допирателна към окръжност с център O през точка A.

За да направите това, от точка А, като център, описваме дъга с радиус AO, а от точка О, като център, пресичаме тази дъга в точките B и C с пергел, равен на диаметъра на дадения кръг .

След като начертаем хордите OB и OS, свързваме точка A с точки D и E, в които тези хорди се пресичат с дадената окръжност.

Правите AD и AE са допирателни към окръжност O.

Наистина, от конструкцията става ясно, че тръбите AOB и AOC са равнобедрени (AO = AB = AC) с основи OB и OS, равни на диаметъра на окръжността O.

Тъй като OD и OE са радиуси, тогава D е средата на OB, а E е средата на OS, което означава, че AD и AE са медиани, начертани към основите на равнобедрени тръби и следователно перпендикулярни на тези основи. Ако правите DA и EA са перпендикулярни на радиусите OD и OE, тогава те се допират.

Последица. Две допирателни, прекарани от една точка към окръжност, са равни и образуват равни ъгли с правата линия, свързваща тази точка с центъра.

Така AD=AE и ÐOAD = ÐOAE (фиг.), тъй като правоъгълните тр-ки AOD и AOE, имащи обща хипотенуза AO и равни крака OD и OE (като радиуси), са равни.

Обърнете внимание, че тук думата „тангента“ означава действителния „сегмент на допирателната“ от дадена точка до точката на контакт.

Задача.Начертайте допирателна към дадена окръжност O, успоредна на дадена права AB (фиг.).

Спускаме перпендикуляр OS към AB от центъра O и през точката D, в която този перпендикуляр пресича окръжността, прекарваме EF || AB.

Тангентата, която търсим, ще бъде EF.

Наистина, тъй като OS ^ AB и EF || AB, тогава EF ^ OD и правата, перпендикулярна на радиуса в края му, лежаща върху окръжността, е допирателна.

Задача.Начертайте обща допирателна към две окръжности O и O 1 (фиг.).

Анализ. Да приемем, че проблемът е решен.

Нека AB е общата допирателна, A и B точките на допиране.

Очевидно, ако намерим една от тези точки, например А, тогава можем лесно да намерим другата.

Нека начертаем радиусите OA и O 1 B. Тези радиуси, перпендикулярни на общата допирателна, са успоредни един на друг.

Следователно, ако от O 1 начертаем O 1 C || BA, тогава тръбопроводът OCO 1 ще бъде правоъгълен във връх C.

В резултат на това, ако опишем окръжност от O като център с радиус OS, тогава тя ще докосне правата O 1 C в точка C.

Радиусът на тази спомагателна окръжност е известен: той е равен на OA – CA = OA - O 1 B, т.е. то е равно на разликата между радиусите на тези окръжности.

Строителство.От центъра O описваме окръжност с радиус равно на разликатададени радиуси.

От O 1 начертаваме допирателна O 1 C към тази окръжност (по начина, посочен в предишната задача).

През допирателната точка C прекарваме радиуса OS и го продължаваме, докато срещне дадената окръжност в точка A. Накрая от A прекарваме AB успоредно на CO 1.

По абсолютно същия начин можем да построим друга обща допирателна A 1 B 1 (фиг.). Правите AB и A 1 B 1 се наричат външенобщи допирателни.

Можете да похарчите още две вътрешнидопирателни, както следва:

Анализ.Да приемем, че проблемът е решен (фиг.). Нека AB е желаната тангенс.

Нека начертаем радиусите OA и O 1 B към допирателните точки A и B. Тъй като и двата радиуса са перпендикулярни на общата допирателна, те са успоредни един на друг.

Следователно, ако от O 1 начертаем O 1 C || BA и продължете OA до точка C, тогава OS ще бъде перпендикулярна на O 1 C.

В резултат на това окръжността, описана от радиуса OS от точка O като център, ще докосне правата O 1 C в точка C.

Радиусът на тази спомагателна окръжност е известен: той е равен на OA+AC = OA+O 1 B, т.е. тя е равна на сбора от радиусите на дадените окръжности.

Строителство.От O като център, ние описваме окръжност с радиус равно на суматададени радиуси.

От O 1 начертаваме допирателна O 1 C към тази окръжност.

Свързваме точката на контакт C с O.

Накрая през точка A, в която OS пресича дадената окръжност, прекарваме AB = O 1 C.

По подобен начин можем да построим друга вътрешна допирателна A 1 B 1.

Обща дефиниция на допирателната

Нека допирателна AT и някаква секуща AM са прекарани през точка A към окръжност с център (фиг.).

Нека завъртим този секанс около точка А, така че другата пресечна точка В да се приближава все по-близо до А.

Тогава перпендикулярът OD, спуснат от центъра към секанса, ще се доближава до радиуса OA все повече и повече и ъгълът AOD може да стане по-малък от всеки малък ъгъл.

Ъгълът MAT, образуван от секанс и допирателна, е равен на ъгъл AOD (поради перпендикулярността на страните им).

Следователно, когато точка В се приближава до А безкрайно дълго, ъгълът MAT също може да стане произволно малък.

Това се изразява с други думи като това:

допирателната е граничната позиция, към която секущата, прекарана през точка на допиране, се стреми, когато втората точка на пресичане се доближава до точката на допиране за неопределено време.

Това свойство се приема като дефиниция на допирателна, когато ние говорим заза всяка крива.

По този начин допирателната към кривата AB (фиг.) е граничната позиция MT, към която секущата MN се стреми, когато пресечната точка P се приближава до M без ограничение.

Имайте предвид, че допирателната, дефинирана по този начин, може да има повече от една обща точка с кривата (както може да се види на фиг.).