В тази статия ще отговорим на въпроса: „Как да намерим координатите на пресечната точка на права и равнина, ако са дадени уравненията, определящи правата и равнината“? Нека започнем с концепцията за пресечната точка на права и равнина. След това ще покажем два начина за намиране на координатите на пресечната точка на права и равнина. За да консолидирате материала, помислете за подробни решения на примерите.
Навигация в страницата.
Пресечната точка на права и равнина - определение.
Има три възможни варианта за взаимното разположение на правата и равнината в пространството:
- права линия лежи в равнина;
- права линия е успоредна на равнина;
- права линия пресича равнина.
Интересуваме се от третия случай. Нека си припомним какво означава изразът „права и равнина се пресичат“. Права и равнина се пресичат, ако имат само една обща точка. Тази обща точка на пресичане на права и равнина се нарича пресечната точка на права и равнина.
Нека дадем графична илюстрация.
Намиране на координатите на пресечната точка на права и равнина.
Нека представим Oxyz в триизмерното пространство. Сега всяка линия съответства на уравнение на права линия от някакъв тип (статията е посветена на тях: видове уравнения на линия в пространството), всяка равнина съответства на уравнение на равнина (можете да прочетете статията: видове уравнения на равнина), а всяка точка съответства на подредена тройка числа - координатите на точката. По-нататъшното представяне предполага познаване на всички видове уравнения на права в пространството и всички видове уравнения на равнина, както и способността да се преминава от един тип уравнения към друг. Но не се тревожете, в целия текст ще предоставим връзки към необходимата теория.
Нека първо анализираме подробно проблема, чието решение можем да получим въз основа на определяне на пресечната точка на права линия и равнина. Тази задача ще ни подготви за намиране на координатите на пресечната точка на права и равнина.
Пример.
Дали точката M 0 с координати е пресечната точка на правата 
и самолети 
.
Решение.
Знаем, че ако една точка принадлежи на определена права, тогава координатите на точката удовлетворяват уравненията на правата. По същия начин, ако една точка лежи в определена равнина, тогава координатите на точката удовлетворяват уравнението на тази равнина. По дефиниция пресечната точка на права и равнина е обща точка на правата и равнината, тогава координатите на пресечната точка удовлетворяват както уравненията на правата, така и уравнението на равнината.
По този начин, за да решим задачата, трябва да заместим координатите на точката M 0 в дадените уравнения на правата и в уравнението на равнината. Ако в този случай всички уравнения се превърнат в правилни равенства, тогава точката M 0 е пресечната точка на дадените права и равнина, в противен случай точката M 0 не е точката на пресичане на правата и равнината.
Заменете координатите на точката 
:
Всички уравнения се превърнаха в правилни равенства, следователно точката M 0 едновременно принадлежи на правата линия и самолети , тоест M 0 е пресечната точка на посочените права и равнина.
Отговор:
Да, точка 
е пресечната точка на линията и самолети .
И така, координатите на пресечната точка на права и равнина удовлетворяват както уравненията на правата, така и уравнението на равнината. Ще използваме този факт, когато намираме координатите на пресечната точка на права и равнина.
Първият метод е да се намерят координатите на пресечната точка на права и равнина.
Нека са дадени права a и равнина в правоъгълната координатна система Oxyz и е известно, че права a и равнината се пресичат в точка M 0 .
Необходимите координати на пресечната точка на правата a и равнината, както вече казахме, удовлетворяват както уравненията на правата a, така и уравнението на равнината, следователно те могат да бъдат намерени като решение на a система от линейни уравнения от вида 
. Това е вярно, тъй като решаването на система от линейни уравнения превръща всяко уравнение на системата в идентичност.
Обърнете внимание, че с тази формулировка на проблема ние всъщност намираме координатите на пресечната точка на три равнини, определени от уравненията , и .
Нека решим пример за консолидиране на материала.
Пример.
Права линия, дадена от уравненията на две пресичащи се равнини като 
, пресича равнината 
. Намерете координатите на пресечната точка на правата и равнината.
Решение.
Получаваме необходимите координати на пресечната точка на правата и равнината чрез решаване на система от уравнения от вида 
. В този случай ще разчитаме на информацията в статията.
Първо, нека пренапишем системата от уравнения във формата 
и изчислете детерминантата на основната матрица на системата (ако е необходимо, вижте статията):
Детерминантата на основната матрица на системата е различна от нула, така че системата от уравнения има единствено решение. За да го намерите, можете да използвате всеки метод. Ние използваме : 
Така получихме координатите на пресечната точка на правата и равнината (-2, 1, 1).
Отговор:
(-2, 1, 1) .
Трябва да се отбележи, че системата от уравнения има уникално решение, ако правата a е дефинирана от уравненията 
, и равнината, определена от уравнението, се пресичат. Ако права линия a лежи в равнината, тогава системата има безкраен брой решения. Ако правата а е успоредна на равнината, то системата от уравнения няма решения.
Пример.
Намерете пресечната точка на линията 
и самолети 
, ако е възможно.
Решение.
Клаузата „ако е възможно“ означава, че правата и равнината не могат да се пресичат.
. Ако тази система от уравнения има уникално решение, тогава тя ще ни даде желаните координати на пресечната точка на правата и равнината. Ако тази система няма решения или има безкрайно много решения, тогава намирането на координатите на пресечната точка е изключено, тъй като правата е или успоредна на равнината, или лежи в тази равнина.
Основната матрица на системата има формата 
, а разширената матрица е 
. Нека дефинираме A и ранга на матрицата T: 
. Тоест рангът на основната матрица е равен на ранга на разширената матрица на системата и е равен на две. Следователно, въз основа на теоремата на Кронекер-Капели, може да се твърди, че системата от уравнения има безкраен брой решения.
Така, направо лежи в равнина , и не можем да говорим за намиране на координатите на пресечната точка на правата и равнината.
Отговор:
Невъзможно е да се намерят координатите на пресечната точка на права и равнина.
Пример.
Ако прав 
пресича равнината, след което намерете координатите на точката на тяхното пресичане.
Решение.
Нека създадем система от дадените уравнения 
. За да намерим неговото решение, ние използваме. Методът на Гаус ще ни позволи не само да определим дали записаната система от уравнения има едно решение, безкраен брой решения или няма никакви решения, но и да намерим решения, ако съществуват. 
Последното уравнение на системата след директното преминаване на метода на Гаус се превърна в неправилно равенство, следователно системата от уравнения няма решения. От това заключаваме, че правата линия и равнината нямат общи точки. По този начин не можем да говорим за намиране на координатите на тяхната пресечна точка.
Отговор:
Правата е успоредна на равнината и те нямат пресечна точка.
Обърнете внимание, че ако права a съответства на параметрични уравнения на права в пространството или на канонични уравнения на права в пространството, тогава е възможно да се получат уравненията на две пресичащи се равнини, които определят права a, и след това да се намерят координатите на пресечната точка на линия a и равнината по анализиран начин. Въпреки това е по-лесно да използвате друг метод, който сега описваме.
Линията на пресичане на две равнини е права линия. Нека първо разгледаме специалния случай (фиг. 3.9), когато една от пресичащите се равнини е успоредна на хоризонталната равнина на проекциите (α π 1, f 0 α X). В този случай пресечната линия a, принадлежаща на равнината α, също ще бъде успоредна на равнината π 1, (фиг. 3.9. a), т.е. ще съвпадне с хоризонталата на пресичащите се равнини (a ≡ h) .
Ако една от равнините е успоредна на фронталната равнина на проекциите (фиг. 3.9. b), тогава пресечната линия a, принадлежаща на тази равнина, ще бъде успоредна на равнината π 2 и ще съвпадне с фронта на пресичащите се равнини (a ≡ е).
.
.
Ориз. 3.9. Специален случай на пресичане на обща равнина с равнините: а - хоризонтално ниво; b - фронтално ниво
Пример за конструиране на пресечната точка (K) на права линия a (AB) с равнина α (DEF) е показан на фиг. 3.10. За да направите това, правата a се затваря в произволна равнина β и се определя пресечната линия на равнините α и β.
В разглеждания пример правите линии AB и MN принадлежат на една и съща равнина β и се пресичат в точка K, и тъй като правата линия MN принадлежи на дадена равнина α (DEF), точката K е и пресечната точка на права линия a (AB) с равнина α. (фиг. 3.11).
.
Ориз. 3.10. Построяване на пресечната точка на права и равнина
За да решите такъв проблем в сложен чертеж, трябва да можете да намерите пресечната точка на права линия в общо положение с равнина в общо положение.
Нека разгледаме пример за намиране на пресечната точка на права линия AB с равнината на триъгълник DEF, показана на фиг. 3.11.
За да се намери пресечната точка през фронталната проекция на правата A 2 B 2, е начертана фронтално проектирана равнина β, която пресича триъгълника в точки M и N. На фронталната равнина на проекциите (π 2) тези точки са представени от проекции M 2, N 2. От условието за принадлежност към права равнина върху хоризонталната равнина на проекциите (π 1) се намират хоризонталните проекции на получените точки M 1 N 1. В пресечната точка на хоризонталните проекции на линиите A 1 B 1 и M 1 N 1 се образува хоризонтална проекция на тяхната пресечна точка (K 1). Според линията на комуникация и условията на членство върху фронталната равнина на проекциите има фронтална проекция на пресечната точка (K 2).
.
Ориз. 3.11. Пример за определяне на пресечната точка на права и равнина
Видимостта на сегмента AB спрямо триъгълника DEF се определя чрез метода на конкурентните точки.
В равнината π 2 се разглеждат две точки NEF и 1AB. От хоризонталните проекции на тези точки може да се установи, че точка N е разположена по-близо до наблюдателя (Y N >Y 1), отколкото точка 1 (посоката на зрителната линия е успоредна на S). Следователно правата линия AB, т.е. част от правата линия AB (K 1) е покрита от равнината DEF върху равнината π 2 (нейната проекция K 2 1 2 е показана с пунктирана линия). Видимостта в равнината π 1 се установява по подобен начин.
Въпроси за самоконтрол
1) Каква е същността на метода на конкурентните точки?
2) Какви свойства на правата линия знаете?
3) Какъв е алгоритъмът за определяне на пресечната точка на права и равнина?
4) Какви задачи се наричат позиционни?
5) Формулирайте условията за принадлежност към права равнина.
Предлагаме на вашето внимание списания, издадени от издателство "Академия за естествени науки"
Да разгледаме случаите: 1) когато проектиращата повърхнина се пресича от проектиращата равнина; 2) когато проектиращата повърхност пресича обща равнина. И в двата случая, за да построим разрез на диаграмата, използваме алгоритъма за проектираща фигура (алгоритъм № 1). В първия случай чертежът вече знае...(дескриптивна геометрия)
Изграждане на линия на пресичане на две равнини в точките на пресичане на прави с равнината
Фигура 2.60 показва конструкцията на пресечната линия на два триъгълника ABCИ DEFуказващи видимите и невидимите секции на тези триъгълници. Фигура 2.60 Прав К,К2построен върху точките на пресичане на страните ACИ слънцетриъгълник ABCс триъгълна равнина DEF....(Инженерна графика)
Особени случаи
При умерен натиск (Re " 1000 атм.) течната фаза (например вода) може да се приеме, че е несвиваема (Re= const). В този случай системата от уравнения за тази несвиваема среда може да бъде допълнително опростена и намалена до следния вид: където и чрез хидростатични сили (терминът ue7)За...(Основи на кавитационната обработка на многокомпонентни среди)
Специални случаи на равновесие в непрекъснати системи Барометрично уравнение
Барометричното уравнение установява зависимостта на газовото налягане от надморската височина. Има много методи за извеждане на това уравнение, датиращи от Лаплас. В този случай ще се възползваме от факта, че газ, намиращ се в гравитационно поле, е непрекъсната система, съдържаща един компонент - газ с...(Термодинамика в съвременната химия)
СПЕЦИАЛНИ СЛУЧАИ НА ВЗАИМНА УСПОРЕЛНОСТ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТ НА ПРАВА И РАВНИНА. СПЕЦИАЛНИ СЛУЧАИ НА ВЗАИМНА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТ НА ДВЕ РАВНИНИ
Ако равнината е проектираща, тогава всяка проектираща права със същото име е успоредна на тази равнина, тъй като в една равнина винаги може да се намери проектираща права със същото име. И така, на фиг. 67 показва самолетите: T 1Sh, FJL Sh, G1 Pz. Тези равнини ще имат прави линии, успоредни на тях: А|| T (a 1 Pg);...(дескриптивна геометрия)
ОБЩИ СЛУЧАИ. МЕТОД НА ПОСРЕДНИКИТЕ
За да се намерят точките на пресичане на права линия с повърхността Ф по метода на посредниците, препоръчително е правата да се огради в междинна равнина Т, която пресича дадената повърхност Ф по точна линия- прав или кръг. Общ преглед и класификация на различни видове такива самолети беше даден по-рано (вижте....(дескриптивна геометрия)
МЕТОД НА ПОСРЕДНИКИТЕ
Ако и двете общи равнини на положение са дадени произволно, тогава проблемът може да бъде решен чрез метода на посредниците в съответствие с алгоритъм № 2. Като посредници се избират две равнини T и T1 - изпъкнала или нивелирана (фиг. 254). В случай на пресичане на две равнини, записваме алгоритъм № 2, както следва: 1. Изберете T и T1....(дескриптивна геометрия)
Здравейте приятели! Днес разглеждаме тема от дескриптивната геометрия - пресичане на права с равнинаИ определяне на видимостта на линията.
Вземаме заданието от сборника на Боголюбов, 1989, с. 63, вар. 1. Трябва да построим сложен чертеж на триъгълник ABC и права линия MN, използвайки дадени координати. Намерете пресечната точка на правата с непрозрачната равнина ABC.Определете видимите участъци на правата.
Пресечна точка на права с равнина
1. Използвайки координатите на точки A, B и C, изграждаме сложен чертеж на триъгълник и права линия NM. Започваме да рисуваме с хоризонтална проекция. Намираме координатите на проекционните точки с помощта на спомагателни линии.
2. Получаваме такъв сложен чертеж.
3. Да се определи координати на пресечната точка на права и равнинаДа направим следното.
а) През правата NM прекарваме спомагателна равнина P, т.е. върху фронталната проекция начертаваме следа от равнината Pv, върху хоризонталната равнина спускаме перпендикуляра Pn - хоризонталната следа от равнината P.
б) Намерете фронталната проекция на пресечната линия на следата на равнината P с триъгълника ABC. Това е сегментът d'e. Намираме хоризонталната проекция по линиите на свързване, докато се пресекат със страните ab (точка d) и ac (точка e) на триъгълника. Свързваме точки d и e.
в) Заедно с пресечните точки на de и nm ще има хоризонтална проекция на желаната точка пресичане на права с равнинак.
г) Начертаваме съединителна линия от k до пресечната точка с d’e’, получаваме челна проекция на точка k’.
д) с помощта на комуникационните линии намираме профилната проекция на точка k’’.
Координати на пресечната точка на права и равнина K намерен. Тази точка се нарича още пресечна точка на правата и равнината.
Определяне на видимостта на линията
За определяне на видимостта на линиятанека използваме метода конкурентни точки.
Във връзка с нашия чертеж конкуриращите се точки ще бъдат:
— точки: d’ принадлежащи на a’b’ и e’ принадлежащи на n’m’ (фронтално състезаващи се),
— точки: g, принадлежащи на bc и hпринадлежи на nm (хоризонтално конкуриращ се),
— точки: l’’ принадлежащи на b’’c’’ и p’’ принадлежащи на n’’m’’ (съревнование за профил).
От двете конкуриращи се точки ще се вижда тази, чиято височина е по-голяма. Границата на видимост е ограничена от точка К.
За двойка точки d’ и e’ определяме видимостта, както следва: спускаме перпендикуляра към пресечната точка с ab и nm върху хоризонталната проекция, намираме точките d и f. Виждаме, че координатата y за точка f е по-голяма от тази на d → точка f е видима → правата линия nm е видима в сечението f’k’ и невидима в сечението k’m’.
Разсъждаваме по подобен начин за двойка точки g и h: във фронталната проекция координатата z на точка h' е по-голяма от тази на g' → точка h' се вижда, g' не е → правата линия nm се вижда на сегмент hk, но невидим на сегмента kn.
И за двойка точки l''p'': във фронталната проекция x-координатата е по-голяма в точка p', което означава, че покрива точка l'' на профилната проекция → p'' се вижда, l'' не е → правата отсечка n' 'k'' е видима, k''m'' е невидима.
Тази глава говори за това как да намерите координатите на пресечната точка на права с равнина, като се имат предвид уравненията, които определят тази равнина. Ще бъдат разгледани понятието точка на пресичане на права с равнина и два начина за намиране на координатите на точката на пресичане на права с равнина.
За задълбочено изучаване на теорията е необходимо да започне разглеждането с концепцията за точка, права линия, равнина. Концепцията за точка и права линия се разглежда както в равнината, така и в пространството. За подробно разглеждане е необходимо да се обърнем към темата за правите линии и равнините в пространството.
Има няколко варианта на местоположението на линията спрямо равнината и пространството:
- права линия лежи в равнина;
- права линия е успоредна на равнина;
- права линия пресича равнина.
Ако разгледаме третия случай, можем ясно да видим, че когато права линия и равнина се пресичат, те образуват обща точка, която се нарича точка на пресичане на права линия и равнина. Нека да разгледаме този случай с пример.
Намиране на координатите на пресечната точка на права и равнина
Въведена е правоъгълна координатна система O x y z на тримерното пространство. Всяка права линия има свое собствено уравнение, а всяка равнина отговаря на свое дадено уравнение, всяка точка има определен брой реални числа - координати.
За да разберете подробно темата за координатите на пресичане, трябва да знаете всички видове уравнения на прави линии в пространството и уравнения на равнини. в този случай знанията за прехода от един тип уравнение към друг ще бъдат полезни.
Разгледайте задача, която се основава на дадено пресичане на права и равнина. се свежда до намиране на координатите на пресечните точки.
Пример 1
Пресметнете дали точка M 0 с координати - 2, 3, - 5 може да бъде пресечната точка на правата x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 с равнината x - 2 y - z + 3 = 0.
Решение
Когато една точка принадлежи на определена права, координатите на пресечната точка са решението на двете уравнения. От дефиницията имаме, че при пресичане се образува обща точка. За да разрешите задачата, трябва да замените координатите на точката M 0 в двете уравнения и да изчислите. Ако това е пресечната точка, тогава и двете уравнения ще съответстват.
Да си представим координатите на точката - 2, 3, - 5 и да получим:
2 + 3 - 1 = 3 - 3 = - 5 + 2 3 ⇔ - 1 = - 1 = - 1 - 2 - 2 3 - (- 5) + 3 = 0 ⇔ 0 = 0
Тъй като получаваме правилните равенства, заключаваме, че точката M 0 е пресечната точка на дадената права с равнината.
Отговор:дадената точка с координати е пресечната точка.
Ако координатите на пресечната точка са решения на двете уравнения, тогава те се пресичат.
Първият метод е да се намерят координатите на пресечната точка на права и равнина.
Когато права a е зададена с равнина α от правоъгълна координатна система, е известно, че те се пресичат в точката M 0. Първо, нека потърсим координатите на дадена пресечна точка за дадено уравнение на равнина, което има формата A x + B y + C z + D = 0 с права линия a, която е пресечната точка на равнините A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. Този метод за дефиниране на линия в пространството се обсъжда в статията уравнения на права и уравнения на две пресичащи се равнини.
Координатите на правата a и равнината α, от които се нуждаем, трябва да удовлетворяват и двете уравнения. Така се посочва система от линейни уравнения, имаща формата
A x + B y + C z + D = 0 A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0
Решаването на системата предполага превръщането на всяка идентичност в истинско равенство. Трябва да се отбележи, че с това решение ние определяме координатите на пресичането на 3 равнини под формата A x + B y + C z + D = 0, A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 , A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . За да консолидираме материала, ще разгледаме решаването на тези проблеми.
Пример 2
Правата линия се определя от уравнението на две пресичащи се равнини x - y + 3 = 0 5 x + 2 z + 8 = 0 и пресича друга 3 x - z + 7 = 0. Необходимо е да се намерят координатите на пресечната точка.
Решение
Получаваме необходимите координати, като съставяме и решаваме система, която има формата x - y + 3 = 0 5 x + 2 z + 8 = 0 3 x - z + 7 = 0.
Трябва да обърнете внимание на темата за решаване на системи от линейни уравнения.
Да вземем система от уравнения под формата x - y = - 3 5 x + 2 z = - 8 3 x - z = - 7 и да извършим изчисления, като използваме детерминантата на основната матрица на системата. Разбираме това
∆ = 1 - 1 0 5 0 2 3 0 - 1 = 1 0 (- 1) + (- 1) 2 3 + 0 5 0 - 0 0 3 - 1 2 0 - (- 1) · 5 · (- 1 ) = - 11
Тъй като детерминантата на матрицата не е равна на нула, системата има само едно решение. За целта ще използваме метода на Cramer. Смята се за много удобно и подходящо за този повод.
∆ x = - 3 - 1 0 - 8 0 2 - 7 0 - 1 = (- 3) 0 (- 1) + (- 1) 2 (- 7) + 0 (- 8) 0 - - 0 0 (- 7) - (- 3) 2 0 - (- 1) (- 8) (- 1) = 22 ⇒ x = ∆ x ∆ = 22 - 11 = - 2 ∆ y = 1 - 3 0 5 - 8 2 3 - 7 - 1 = 1 · (- 8) · (- 1) + (- 3) · 2 · 3 + 0 · 5 · (- 7) - - 0 · ( - 8) 3 - 1 2 (- 7) - (- 3) 5 (- 1) = - 11 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 11 - 11 = 1 ∆ z = 1 - 1 - 3 5 0 - 8 3 0 - 7 = 1 0 (- 7) + ( - 1) (- 8) 3 + (- 3) 5 0 - - (- 3) 0 3 - 1 · (- 8) · 0 - (- 1) · 5 · (- 7) = - 11 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 11 - 11 = 1
От това следва, че координатите на пресечната точка на дадена права и равнина имат стойност (- 2, 1, 1).
Отговор: (- 2 , 1 , 1) .
Система от уравнения във формата A x + B y + C z + D = 0 A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 има само едно решение. Когато права a е дефинирана от уравнения като A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 и равнината α е дадена от A x + B y + C z + D = 0, тогава те се пресичат. Когато права линия лежи в равнина, системата произвежда безкраен брой решения. Ако са успоредни, уравнението няма решения, тъй като няма общи точки на пресичане.
Пример 3
Намерете пресечната точка на правата линия z - 1 = 0 2 x - y - 2 = 0 и равнината 2 x - y - 3 z + 1 = 0.
Решение
Дадените уравнения трябва да се преобразуват в системата z - 1 = 0 2 x - y - 2 = 0 2 x - y - 3 z + 1 = 0. Когато има уникално решение, ще получим необходимите координати на пресичане в точката. При условие, че ако няма решения, те са успоредни или правата лежи в една и съща равнина.
Получаваме, че основната матрица на системата е A = 0 0 1 2 - 1 0 2 - 1 - 3, разширената матрица е T = 0 0 1 1 2 - 1 0 2 2 - 1 - 3 - 1. Трябва да определим ранга на матрицата A и T, използвайки метода на Гаус:
1 = 1 ≠ 0 , 0 1 - 1 0 = 1 ≠ 0 , 0 0 1 2 - 1 0 2 - 1 - 3 = 0 , 0 1 1 - 1 0 2 - 1 - 3 - 1 = 0
Тогава откриваме, че рангът на основната матрица е равен на ранга на разширената. Нека приложим теоремата на Кронекер-Капели, която показва, че системата има безкраен брой решения. Получаваме, че правата z - 1 = 0 2 x - y - 2 = 0 принадлежи на равнината 2 x - y - 3 z + 1 = 0, което показва невъзможността за тяхното пресичане и наличието на обща точка.
Отговор:няма координати на пресечната точка.
Пример 4
Като се има предвид пресечната точка на правата x + z + 1 = 0 2 x + y - 4 = 0 и равнината x + 4 y - 7 z + 2 = 0, намерете координатите на пресечната точка.
Решение
Необходимо е дадените уравнения да се съберат в система от вида x + z + 1 = 0 2 x + y - 4 = 0 x + 4 y - 7 z + 2 = 0. За решаване използваме метода на Гаус. С негова помощ накратко ще определим всички налични решения. За да направите това, нека напишем
x + z + 1 = 0 2 x + y - 4 x + 4 y - 7 z + 2 = 0 ⇔ x + z = - 1 2 x + y = 4 x + 4 y - 7 z = - 2 ⇔ ⇔ x + z = - 1 y - 2 z = 6 4 y - 8 z = - 1 ⇔ x + z = - 1 y - 2 z = 6 0 = - 25
След прилагане на метода на Гаус стана ясно, че равенството е неправилно, тъй като системата от уравнения няма решения.
Заключаваме, че правата x + z + 1 = 0 2 x + y - 4 = 0 с равнината x + 4 y - 7 z + 2 = 0 няма пресечки. От това следва, че е невъзможно да се намерят координатите на точката, тъй като те не се пресичат.
Отговор:няма пресечни точки, тъй като правата е успоредна на равнината.
Когато права линия е дадена от параметрично или канонично уравнение, тогава от тук можете да намерите уравнението на пресичащите се равнини, които определят правата линия a, и след това да потърсите необходимите координати на пресечната точка. Има и друг метод, който се използва за намиране на координатите на пресечната точка на права и равнина.
Вторият метод за намиране на точка започва със задаване на права линия a, пресичаща равнината α в точката M 0. Необходимо е да се намерят координатите на дадена пресечна точка за дадено уравнение на равнина A x + B y + C z + D = 0. Дефинираме права линия a чрез параметрични уравнения от вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ, λ ∈ R.
Когато се направи заместване в уравнението A x + B y + C z + D = 0 x = x 1 + a x · λ, y = y 1 + a y · λ, z = z 1 + a z · λ, изразът приема форма на уравнение с неизвестно λ. Необходимо е да го разрешим по отношение на λ, тогава получаваме λ = λ 0, което съответства на координатите на точката, в която се пресичат. Координатите на точка се изчисляват от x = x 1 + a x · λ 0 y = y 1 + a y · λ 0 z = z 1 + a z · λ 0 .
Този метод ще бъде разгледан по-подробно с помощта на примерите, дадени по-долу.
Пример 5
Намерете координатите на пресечната точка на правата x = - 1 + 4 · λ y = 7 - 7 · λ z = 2 - 3 · λ, λ ∈ R с равнината x + 4 y + z - 2 = 0 .
Решение
За да се реши системата, е необходимо да се направи заместване. Тогава разбираме това
1 + 4 λ + 4 7 - 7 λ + 2 - 3 λ - 2 = 0 ⇔ - 27 λ + 27 = 0 ⇔ λ = 1
Нека намерим координатите на пресечната точка на равнината с правата, като използваме параметрични уравнения със стойност λ = 1.
x = - 1 + 4 1 y = 7 - 7 1 z = 2 - 3 1 ⇔ x = 3 y = 0 z = - 1
Отговор: (3 , 0 , - 1) .
Когато права от формата x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ, λ ∈ R принадлежи на равнината A x + B y + C z + D = 0 , тогава е необходимо да заместим там уравнението на равнината на израз x = x 1 + a x · λ, y = y 1 + a y · λ, z = z 1 + a z · λ, тогава получаваме идентичност на тази форма 0 ≡ 0. Ако равнината и правата са успоредни, получаваме неправилно равенство, тъй като няма пресечни точки.
Ако една права линия е дадена от канонично уравнение, имащо формата x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z , тогава е необходимо да се премине от канонично към параметрично, когато се търсят координатите на точката на пресичане на правата с равнината A x + B y + C z + D = 0, т.е. получаваме x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ и Ще приложим необходимия метод за намиране на координатите на пресечната точка на дадена права и равнина в пространството.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Зареждане...
