Задача № 1. Определить координаты фокусов и составить уравнение директрисы параболы
Сравнивая это
уравнение с уравнением
,
находим, что 2p=4,
откуда
.
Таким образом, точка
-
фокусы параболы, а прямая
,
т. е. x=-1
или x+1=0
– её директриса.
Ответ: (1;0)
Задача № 2. Фокусы параболы с вершиной в начале координат лежит в точке F(0;-4). Написать уравнение этой параболы.
Задача № 3. Директрисой параболы с вершиной в начале координат служит прямая 2x+5=0
Написать уравнение и найти координаты фокуса параболы.
Р
ешение:
Так как директрисой параболы с вершиной
в начале координат служит прямая 2x+5=0
или
,
то ее фокус имеет координаты
,
поэтому искомая кривая симметрична
относительно оси Оx
F(
)
и ветви ее направлены вправо (абсцисса
фокуса
положительна). Следовательно, уравнение
параболы имеет вид
Так как
то
и уравнение параболы будет:
,
а координаты ее фокуса F(2,5;0)
Ответ:
;
F(2,5;0)
Задача №4. Написать уравнение параболы, симметричной относительно оси Оy, с центром в начале системы координат, если она проходит через точку В(1;-2).
Так как парабола
симметрична относительно оси Оy
и имеет вершину в начале системы
координат, то ее уравнение имеет вид
.
Поскольку точка В(1;-2) лежит на параболе,
то ее координаты удовлетворяют параболы,
т.е.
,
Откуда
,
и, следовательно,
-
уравнение параболы.
Ответ:
Задача № 5. Найти
высоту арки моста длиной 24м, если арка
имеет вид параболы, уравнение которой
Построим эскиз
параболы
в декартовой прямоугольной системе
координат. Обозначим через h
высоту моста, а через
=24
- длину арки мосту. Тогда, А(12;-h)
П:
.
Т
ак
как точка А принадлежит параболе
,
то ее координаты удовлетворяют уравнению
параболы. Это дает возможность вместо
текущих координат (x;y)
подставить координаты
данной точки в уравнение параболы. Тогда
имеем
Итак, высота арки моста 3 м.
Задача № 6. Струя воды, направленная под углом к плоскости горизонта поднимается на высоту 2 м и падает в 12 м от наконечника шланга. Найти параболическую траекторию струи.
Решение: Свяжем параболическую траекторию струи с декартовой прямоугольной системой координат так, чтобы параболическая траектория была симметрична оси Оy, ветви были бы направлены вниз, а ее вершина лежала бы в начале координат.
Тогда уравнение
такой параболической траектории имеет
вид
,
точка А(6;-2)
П:
,
следовательно, ее координаты удовлетво-ряют
уравнению параболы. Подстановка координат
точки А вместо текущих
координатx
и y
параболы
,
дает равенство
.
Следовательно,
- уравнение параболической траектории
струи.
Ответ:
Решить самостоятельно:
Задача № 7. Сечение рефлектора плоскостью проходящей через ось рефлектора, есть парабола. Написать ее уравнение, если ширина рефлектора 30 см, а глубина 20 см, (ось рефлектора совпадает с осью Ox)
Ответ:
Задача № 8. Из
отверстия, находящегося на поверхности
земли вытекает вода струей, представляющей
ветвь параболы
.
На каком расстоянии от края бака падает
струя на землю, если высота отверстия
Ответ: 3 м.
Задача № 9. Осевое
сечение параболического зеркала является
параболой
Определить диаметр зеркала, если его «глубина» равна 18,75 см.
Ответ: 30 см.
Задача № 10. Камень брошенный под острым углом к плоскости горизонта, достиг наибольшей высоты 16 м., Описав параболическую траекторию, камень упал в 48 м., от точки бросания. Найти траекторию камня.
Ответ:
.
Задача № 11 Найти параболу с вершиной в начале координат, если ее фокус лежит в точке а) F(3;0); б) F(-2;0); в) F(0;4); г) F(0;-)
Ответ: а)
;
б)
;
в)
;
г)
Задача № 12 Найти
параболы с вершиной в начале координат,
если даны директрисы: а)
;
б)x=-5
; в) y=3
; г) y=-2
;
Ответ: а)
;
б)
;
в)
; г)
.
Задача № 13. Найти координаты фокуса и написать уравнение директрисы для каждой из парабол.
а)
;
б)
;
в)
; г)
.
Построить эти параболы.
Ответ: а) F(2;0); x+2=0 ; б) F(-3;0); x-3=0 ; в) F(0;); 2y+5=0
г) F(0;-4); x-4=0
Задача № 14.
Проверить, лежат ли точки А(2;-2) и В(1;2) на
параболе
Ответ: А лежат, В не лежат.
Задача № 15. Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Оx и проходящей через точку
Ответ:
Задача № 16. Напишите уравнение параболы с вершиной в начале координат, если:
А) парабола расположена в верхней полуплоскости симметрично относительно оси ординат, а ее фокальный параметр равен 4;
Б) парабола расположена в нижней полуплоскости симметрично относительно оси ординат, а ее фокальный параметр равен 6;
В) парабола расположена в правой полуплоскости симметрично относительно оси ординат, а ее фокальный параметр равен 3;
г) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси ординат, а ее фокальный параметр равен 5.
Ответ а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки F и заданной прямой d , не проходящей через заданную точку. Это геометрическое определение выражает директориальное свойство параболы .
Директориальное свойство параболы
Точка F называется фокусом параболы, прямая d - директрисой параболы, середина O перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису, - вершиной параболы, расстояние p от фокуса до директрисы - параметром параболы, а расстояние \frac{p}{2} от вершины параболы до её фокуса - фокусным расстоянием (рис.3.45,а). Прямая, перпендикулярная директрисе и проходящая через фокус, называется осью параболы (фокальной осью параболы). Отрезок FM , соединяющий произвольную точку M параболы с её фокусом, называется фокальным радиусом точки M . Отрезок, соединяющий две точки параболы, называется хордой параболы.
Для произвольной точки параболы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы равно единице. Сравнивая директориальные свойства , и параболы, заключаем, что эксцентриситет параболы по определению равен единице (e=1) .
Геометрическое определение параболы , выражающее её директориальное свойство, эквивалентно её аналитическому определению - линии, задаваемой каноническим уравнением параболы:
Действительно, введем прямоугольную систему координат (рис.3.45,б). Вершину O параболы примем за начало системы координат; прямую, проходящую через фокус перпендикулярно директрисе, примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки O к точке F ); прямую, перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через вершину параболы, примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат Oxy оказалась правой).
Составим уравнение параболы, используя её геометрическое определение, выражающее директориальное свойство параболы. В выбранной системе координат определяем координаты фокуса F\!\left(\frac{p}{2};\,0\right) и уравнение директрисы x=-\frac{p}{2} . Для произвольной точки M(x,y) , принадлежащей параболе, имеем:
FM=MM_d,
где M_d\!\left(\frac{p}{2};\,y\right) - ортогональная проекция точки M(x,y) на директрису. Записываем это уравнение в координатной форме:
\sqrt{{\left(x-\frac{p}{2}\right)\!}^2+y^2}=x+\frac{p}{2}.
Возводим обе части уравнения в квадрат: {\left(x-\frac{p}{2}\right)\!}^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} . Приводя подобные члены, получаем каноническое уравнение параболы
y^2=2\cdot p\cdot x, т.е. выбранная система координат является канонической.
Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.51), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому параболой. Таким образом, аналитическое определение параболы эквивалентно его геометрическому определению, выражающему директориальное свойство параболы.
Уравнение параболы в полярной системе координат
Уравнение параболы в полярной системе координат Fr\varphi (рис.3.45,в) имеет вид
r=\frac{p}{1-e\cdot\cos\varphi}, где p - параметр параболы, а e=1 - её эксцентриситет.
В самом деле, в качестве полюса полярной системы координат выберем фокус F параболы, а в качестве полярной оси - луч с началом в точке F , перпендикулярный директрисе и не пересекающий её (рис.3.45,в). Тогда для произвольной точки M(r,\varphi) , принадлежащей параболе, согласно геометрическому определению (директориальному свойству) параболы, имеем MM_d=r . Поскольку MM_d=p+r\cos\varphi , получаем уравнение параболы в координатной форме:
p+r\cdot\cos\varphi \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac{p}{1-\cos\varphi},
что и требовалось доказать. Заметим, что в полярных координатах уравнения эллипса, гиперболы и параболы совпадают, но описывают разные линии, поскольку отличаются эксцентриситетами (0\leqslant e<1 для , e=1 для параболы, e>1 для ).
Геометрический смысл параметра в уравнении параболы
Поясним геометрический смысл параметра p в каноническом уравнении параболы. Подставляя в уравнение (3.51) x=\frac{p}{2} , получаем y^2=p^2 , т.е. y=\pm p . Следовательно, параметр p - это половина длины хорды параболы, проходящей через её фокус перпендикулярно оси параболы.
Фокальным параметром параболы , так же как для эллипса и для гиперболы, называется половина длины хорды, проходящей через её фокус перпендикулярно фокальной оси (см. рис.3.45,в). Из уравнения параболы в полярных координатах при \varphi=\frac{\pi}{2} получаем r=p , т.е. параметр параболы совпадает с её фокальным параметром.
Замечания 3.11.
1. Параметр p параболы характеризует её форму. Чем больше p , тем шире ветви параболы, чем ближе p к нулю, тем ветви параболы уже (рис.3.46).
2. Уравнение y^2=-2px (при p>0 ) определяет параболу, которая расположена слева от оси ординат (рис. 3.47,a). Это уравнение сводится к каноническому при помощи изменения направления оси абсцисс (3.37). На рис. 3.47,a изображены заданная система координат Oxy и каноническая Ox"y" .
3. Уравнение (y-y_0)^2=2p(x-x_0),\,p>0 определяет параболу с вершиной O"(x_0,y_0) , ось которой параллельна оси абсцисс (рис.3.47,6). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36).
Уравнение (x-x_0)^2=2p(y-y_0),\,p>0 , также определяет параболу с вершиной O"(x_0,y_0) , ось которой параллельна оси ординат (рис.3.47,в). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36) и переименования координатных осей (3.38). На рис. 3.47,б,в изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат Ox"y" .
4. y=ax^2+bx+c,~a\ne0 является параболой с вершиной в точке O"\!\left(-\frac{b}{2a};\,-\frac{b^2-4ac}{4a}\right) , ось которой параллельна оси ординат, ветви параболы направлены вверх (при a>0 ) или вниз (при a<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение
y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+c \quad \Leftrightarrow \quad \!\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{1}{a}\left(y+\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\!,
которое приводится к каноническому виду (y")^2=2px" , где p=\left|\frac{1}{2a}\right| , при помощи замены y"=x+\frac{b}{2a} и x"=\pm\!\left(y+\frac{b^2-4ac}{4a}\right) .
Знак выбирается совпадающим со знаком старшего коэффициента a . Эта замена соответствует композиции: параллельного переноса (3.36) с x_0=-\frac{b}{2a} и y_0=-\frac{b^2-4ac}{4a} , переименования координатных осей (3.38), а в случае a<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 и a<0 соответственно.
5. Ось абсцисс канонической системы координат является осью симметрии параболы , поскольку замена переменной y на -y не изменяет уравнения (3.51). Другими словами, координаты точки M(x,y) , принадлежащей параболе, и координаты точки M"(x,-y) , симметричной точке M относительно оси абсцисс, удовлетворяют уравнению (3.S1). Оси канонической системы координат называются главными осями параболы .
Пример 3.22. Изобразить параболу y^2=2x в канонической системе координат Oxy . Найти фокальный параметр, координаты фокуса и уравнение директрисы.
Решение. Строим параболу, учитывая её симметрию относительно оси абсцисс (рис.3.49). При необходимости определяем координаты некоторых точек параболы. Например, подставляя x=2 в уравнение параболы, получаем y^2=4~\Leftrightarrow~y=\pm2 . Следовательно, точки с координатами (2;2),\,(2;-2) принадлежат параболе.
Сравнивая заданное уравнение с каноническим (3.S1), определяем фокальный параметр: p=1 . Координаты фокуса x_F=\frac{p}{2}=\frac{1}{2},~y_F=0 , т.е. F\!\left(\frac{1}{2},\,0\right) . Составляем уравнение директрисы x=-\frac{p}{2} , т.е. x=-\frac{1}{2} .
Общие свойства эллипса, гиперболы, параболы
1. Директориальное свойство может быть использовано как единое определение эллипса, гиперболы, параболы (см. рис.3.50): геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки F (фокуса) к расстоянию до заданной прямой d (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету e , называется:
а) , если 0\leqslant e<1 ;
б) , если e>1 ;
в) параболой , если e=1 .
2. Эллипс, гипербола, парабола получаются в сечениях кругового конуса плоскостями и поэтому называются коническими сечениями . Это свойство также может служить геометрическим определением эллипса, гиперболы, параболы.
3. К числу общих свойств эллипса, гиперболы и параболы можно отнести биссекториальное свойство их касательных. Под касательной к линии в некоторой её точке K понимается предельное положение секущей KM , когда точка M , оставаясь на рассматриваемой линии, стремится к точке K . Прямая, перпендикулярная касательной к линии и проходящая через точку касания, называется нормалью к этой линии.
Биссекториальное свойство касательных (и нормалей) к эллипсу, гиперболе и параболе формулируется следующим образом: касательная (нормаль) к эллипсу или к гиперболе образует равные углы с фокальными радиусами точки касания (рис.3.51,а,б); касательная (нормаль) к параболе образует равные углы с фокальным радиусом точки касания и перпендикуляром, опущенным из нее на директрису (рис.3.51,в). Другими словами, касательная к эллипсу в точке K является биссектрисой внешнего угла треугольника F_1KF_2 (а нормаль - биссектрисой внутреннего угла F_1KF_2 треугольника); касательная к гиперболе является биссектрисой внутреннего угла треугольника F_1KF_2 (а нормаль - биссектрисой внешнего угла); касательная к параболе является биссектрисой внутреннего угла треугольника FKK_d (а нормаль - биссектрисой внешнего угла). Биссекториальное свойство касательной к параболе можно сформулировать так же, как для эллипса и гиперболы, если считать, что у параболы имеется второй фокус в бесконечно удаленной точке.
4. Из биссекториальных свойств следуют оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы , поясняющие физический смысл термина "фокус". Представим себе поверхности, образованные вращением эллипса, гиперболы или параболы вокруг фокальной оси. Если на эти поверхности нанести отражающее покрытие, то получаются эллиптическое, гиперболическое и параболическое зеркала. Согласно закону оптики, угол падения луча света на зеркало равен углу отражения, т.е. падающий и отраженный лучи образуют равные углы с нормалью к поверхности, причем оба луча и ось вращения находятся в одной плоскости. Отсюда получаем следующие свойства:
– если источник света находится в одном из фокусов эллиптического зеркала, то лучи света, отразившись от зеркала, собираются в другом фокусе (рис.3.52,а);
– если источник света находится в одном из фокусов гиперболического зеркала, то лучи света, отразившись от зеркала, расходятся так, как если бы они исходили из другого фокуса (рис.3.52,б);
– если источник света находится в фокусе параболического зеркала, то лучи света, отразившись от зеркала, идут параллельно фокальной оси (рис.3.52,в).
5. Диаметральное свойство эллипса, гиперболы и параболы можно сформулировать следующим образом:
– середины параллельных хорд эллипса (гиперболы) лежат на одной прямой, проходящей через центр эллипса (гиперболы) ;
– середины параллельных хорд параболы лежат на прямой, коллинеарной оси симметрии параболы .
Геометрическое место середин всех параллельных хорд эллипса (гиперболы, параболы) называют диаметром эллипса (гиперболы, параболы) , сопряженным к этим хордам.
Это определение диаметра в узком смысле (см. пример 2.8). Ранее было дано определение диаметра в широком смысле, где диаметром эллипса, гиперболы, параболы, а также других линий второго порядка называется прямая, содержащая середины всех параллельных хорд. В узком смысле диаметром эллипса является любая хорда, проходящая через его центр (рис.3.53,а); диаметром гиперболы является любая прямая, проходящая через центр гиперболы (за исключением асимптот), либо часть такой прямой (рис.3.53,6); диаметром параболы является любой луч, исходящий из некоторой точки параболы и коллинеарный оси симметрии (рис.3.53,в).
Два диаметра, каждый их которых делит пополам все хорды, параллельные другому диаметру, называются сопряженными. На рис.3.53 полужирными линиями изображены сопряженные диаметры эллипса, гиперболы, параболы.
Касательную к эллипсу (гиперболе, параболе) в точке K можно определить как предельное положение параллельных секущих M_1M_2 , когда точки M_1 и M_2 , оставаясь на рассматриваемой линии, стремятся к точке K . Из этого определения следует, что касательная, параллельная хордам, проходит через конец диаметра, сопряженного к этим хордам.
6. Эллипс, гипербола и парабола имеют, кроме приведенных выше, многочисленные геометрические свойства и физические приложения. Например, рис.3.50 может служить иллюстрацией траекторий движения космических объектов, находящихся в окрестности центра F притяжения.
Функция вида , где называется квадратичной функцией .
График квадратичной функции – парабола .
Рассмотрим случаи:
I СЛУЧАЙ, КЛАССИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА
То есть , ,
Для построения заполняем таблицу, подставляя значения x в формулу:
Отмечаем точки (0;0); (1;1); (-1;1) и т.д. на координатной плоскости (чем с меньшим шагом мы берем значения х (в данном случае шаг 1), и чем больше берем значений х, тем плавнее будет кривая), получаем параболу:
Нетрудно заметить, что если мы возьмем случай , , , то есть , то мы получим параболу, симметричную относительно оси (ох). Убедиться в этом несложно, заполнив аналогичную таблицу:
II СЛУЧАЙ, «a» ОТЛИЧНО ОТ ЕДИНИЦЫ
Что же будет, если мы будем брать , , ? Как изменится поведение параболы? При title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):
На первой картинке (см. выше) хорошо видно, что точки из таблицы для параболы (1;1), (-1;1) трансформировались в точки (1;4), (1;-4), то есть при тех же значениях ордината каждой точки умножилась на 4. Это произойдет со всеми ключевыми точками исходной таблицы. Аналогично рассуждаем в случаях картинок 2 и 3.
А при парабола «станет шире» параболы :
Давайте подытожим:
1) Знак коэффициента отвечает за направление ветвей. При title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз.
2) Абсолютная величина коэффициента (модуля) отвечает за “расширение”, “сжатие” параболы. Чем больше , тем у’же парабола, чем меньше |a|, тем шире парабола.
III СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «С»
Теперь давайте введем в игру (то есть рассматриваем случай, когда ), будем рассматривать параболы вида . Нетрудно догадаться (вы всегда можете обратиться к таблице), что будет происходить смещение параболы вдоль оси вверх или вниз в зависимости от знака :
IV СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «b»
Когда же парабола “оторвется” от оси и будет, наконец, “гулять” по всей координатной плоскости? Когда перестанет быть равным .
Здесь для построения параболы нам понадобится формула для вычисления вершины: , .
Так вот в этой точке (как в точке (0;0) новой системы координат) мы будем строить параболу , что уже нам по силам. Если имеем дело со случаем , то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, один вверх, – полученная точка – наша (аналогично шаг влево, шаг вверх – наша точка); если имеем дело с , например, то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, два – вверх и т.д.
Например, вершина параболы :
Теперь главное уяснить, что в этой вершине мы будем строить параболу по шаблону параболы , ведь в нашем случае.
При построении параболы после нахождения координат вершины очень удобно учитывать следующие моменты:
1) парабола обязательно пройдет через точку . Действительно, подставив в формулу x=0, получим, что . То есть ордината точки пересечения параболы с осью (оу), это . В нашем примере (выше), парабола пересекает ось ординат в точке , так как .
2) осью симметрии параболы является прямая , поэтому все точки параболы будут симметричны относительно нее. В нашем примере, мы сразу берем точку (0; -2) и строим ей симметричную относительно оси симметрии параболы, получим точку (4; -2), через которую будет проходить парабола.
3) Приравнивая к , мы узнаем точки пересечения параболы с осью (ох). Для этого решаем уравнение . В зависимости от дискриминанта, будем получать одну (, ), две ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) . В предыдущем примере у нас корень из дискриминанта – не целое число, при построении нам особо нет смысла находить корни, но мы видим четко, что две точки пересечения с осью (ох) у нас будут (так как title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.
Итак, давайте выработаем
Алгоритм для построения параболы, если она задана в виде
1) определяем направление ветвей (а>0 – вверх, a<0 – вниз)
2) находим координаты вершины параболы по формуле , .
3) находим точку пересечения параболы с осью (оу) по свободному члену , строим точку, симметричную данной относительно оси симметрии параболы (надо заметить, бывает, что эту точку невыгодно отмечать, например, потому, что значение велико… пропускаем этот пункт…)
4) В найденной точке – вершине параболы (как в точке (0;0) новой системы координат) строим параболу . Если title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с
5) Находим точки пересечения параболы с осью (оу) (если они еще сами “не всплыли”), решая уравнение
Пример 1
Пример 2
Замечание 1. Если же парабола изначально нам задана в виде , где – некоторые числа (например, ), то построить ее будет еще легче, потому что нам уже заданы координаты вершины . Почему?
Возьмем квадратный трехчлен и выделим в нем полный квадрат: Посмотрите, вот мы и получили, что , . Мы с вами ранее называли вершину параболы , то есть теперь , .
Например, . Отмечаем на плоскости вершину параболы , понимаем, что ветви направлены вниз, парабола расширена (относительно ). То есть выполняем пункты 1; 3; 4; 5 из алгоритма построения параболы (см. выше).
Замечание 2. Если парабола задана в виде, подобном этому (то есть представлен в виде произведения двух линейных множителей), то нам сразу видны точки пересечения параболы с осью (ох). В данном случае – (0;0) и (4;0). В остальном же действуем согласно алгоритму, раскрыв скобки.
Во всей этой главе предполагается, что в плоскости (в которой лежат все рассматриваемые далее фигуры) выбран определенный масштаб; рассматриваются лишь прямоугольные системы координат с этим масштабом.
§ 1. Парабола
Парабола известна читателю из школьного курса математики как кривая, являющаяся графиком функции
(рис. 76). (1)
График любого квадратного трехчлена
также является параболой; можно посредством одного лишь сдвига системы координат (на некоторый вектор ОО), т. е. преобразования
достигнуть того, чтобы график функции (во второй системе координат) совпадал с графиком (2) (в первой системе координат).
В самом деле, произведем подстановку (3) в равенство (2). Получим
Мы хотим подобрать так, чтобы коэффициент при и свободный член многочлена (относительно ) в правой части этого равенства были равны нулю. Для этого определяем из уравнения
что и дает
Теперь определяем из условия
в которое подставляем уже найденное значение . Получим
Итак, посредством сдвига (3), в котором
мы перешли к новой системе координат, в которой уравнение параболы (2) получило вид
(рис. 77).
Вернемся к уравнению (1). Оно может служить определением параболы. Напомним ее простейшие свойства. Кривая имеет ось симметрии: если точка удовлетворяет уравнению (1), то точка симметричная точке М относительно оси ординат, также удовлетворяет уравнению (1) - кривая симметрична относительно оси ординат (рис. 76).
Если , то парабола (1) лежит в верхней полуплоскости , имея с осью абсцисс единственную общую точку О.
При неограниченном возрастании модуля абсцисс ордината также неограниченно возрастает. Общий вид кривой дай на рис. 76, а.
Если (рис. 76, б), то кривая расположена в нижней полуплоскости симметрично относительно оси абсцисс к кривой .
Если перейти к новой системе координат, полученной из старой заменой положительного направления оси ординат на противоположное, то парабола, имеющая в старой системе уравнение , получит в новой системе координат уравнение у . Поэтому при изучении парабол можно ограничиться уравнениями (1), в которых .
Поменяем, наконец, названия осей, т. е. перейдем к иовой системе координат, в которой осью ординат будет старая ось абсцисс, а осью абсцисс - старая ось ординат. В этой новой системе уравнение (1) запишется в виде
Или, если число - обозначить через , в виде
Уравнение (4) называется в аналитической геометрии каноническим уравнением параболы; прямоугольная система координат, в которой данная парабола имеет уравнение (4), называется канонической системой координат (для этой параболы).
Сейчас мы установим геометрический смысл коэффициента . Для этого берем точку
называемую фокусом параболы (4), и прямую d, определенную уравнением
Эта прямая называется директрисой параболы (4) (см. рис. 78).
Пусть - произвольная точка параболы (4). Из уравнения (4) следует, что Поэтому расстояние точки М от директрисы d есть число
Расстояние точки М от фокуса F есть
Но , поэтому
Итак, все точки М параболы равноудалены от ее фокуса и директрисы:
Обратно, каждая точка М, удовлетворяющая условию (8), лежит на параболе (4).
В самом деле,
Следовательно,
и, после раскрытия скобок и приведения подобных членов,
Мы доказали, что каждая парабола (4) есть геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса F и от директрисы d этой параболы.
Вместе с тем мы установили и геометрический смысл коэффициента в уравнении (4): число равно расстоянию между фокусом и директрисой параболы.
Пусть теперь на плоскости даны произвольно точка F и прямая d, не проходящая через эту точку. Докажем, что существует парабола с фокусом F и директрисой d.
Для этого проведем через точку F прямую g (рис. 79), перпендикулярную к прямой d; точку пересечения обеих прямых обозначим через D; расстояние (т. е. расстояние между точкой F и прямой d) обозначим через .
Прямую g превратим в ось, прнняв на ней направление DF в качестве положительного. Эту ось сделаем осью абсцисс прямоугольной системы координат, началом которой является середина О отрезка
Тогда и прямая d получает уравнение .
Теперь мы можем в выбранной системе координат написать каноническое уравнение параболы:
причем точка F будет фокусом, а прямая d - директрисой параболы (4).
Мы установили выше, что парабола есть геометрическое место точек М, равноудаленных от точки F и прямой d. Итак, мы можем дать такое геометрическое (т. е. не зависящее ни от какой системы координат) определение параболы.
Определение. Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от некоторой фиксированной точки («фокуса» параболы) и некоторой фиксированной прямой («директрисы» параболы).
Обозначая расстояние между фокусом и директрисой параболы через , мы можем всегда найти прямоугольную систему координат, каноническую для данной параболы, т. е. такую, в которой уравнение параболы имеет канонический вид:
Обратно, всякая кривая, имеющая такое уравнение в некоторой прямоугольной системе координат, является параболой (в только что установленном геометрическом смысле).
Расстояние между фокусом и директрисой параболы называется фокальным параметром, или просто параметром параболы.
Прямая, проходящая через фокус перпендикулярно к директрисе параболы, называется ее фокальной осью (или просто осью); она является осью симметрии параболы - это вытекает из того, что ось параболы является осью абсцисс в системе координат, относительно которой уравнение параболы имеет вид (4).
Если точка удовлетворяет уравнению (4), то этому уравнению удовлетворяет и точка , симметричная точке М относительно оси абсцисс.
Точка пересечения параболы с ее осью называется вершиной параболы; она является началом системы координат, канонической для данной параболы.
Дадим еще одно геометрическое истолкование параметра параболы.
Проведем через фокус параболы прямую, перпендикулярную к оси параболы; она пересечет параболу в двух точках (см. рис. 79) и определит так называемую фокальную хорду параболы (т. е. хорду, проходящую через фокус параллельно директрисе параболы). Половина длины фокальной хорды и есть параметр параболы.
В самом деле, половина длины фокальной хорды есть абсолютная величина ординаты любой из точек , абсцисса каждой из которых равна абсциссе фокуса, т. е. . Поэтому для ординаты каждой из точек имеем
что и требовалось доказать.
Что такое парабола знают, пожалуй, все. А вот как ее правильно, грамотно использовать при решении различных практических задач, разберемся ниже.
Сначала обозначим основные понятия, которые дает этому термину алгебра и геометрия. Рассмотрим все возможные виды этого графика.
Узнаем все основные характеристики этой функции. Поймем основы построения кривой (геометрия). Научимся находить вершину, другие основные величины графика данного типа.
Узнаем: как правильно строится искомая кривая по уравнению, на что надо обратить внимание. Посмотрим основное практическое применение этой уникальной величины в жизни человека.
Что такое парабола и как она выглядит
Алгебра: под этим термином понимается график квадратичной функции.
Геометрия: это кривая второго порядка, имеющая ряд определенных особенностей:
Каноническое уравнение параболы
На рисунке изображена прямоугольная система координат (XOY), экстремум, направление ветвей чертежа функции вдоль оси абсцисс.
Каноническое уравнение имеет вид:
y 2 = 2 * p * x,
где коэффициент p – фокальный параметр параболы (AF).
В алгебре оно запишется иначе:
y = a x 2 + b x + c (узнаваемый шаблон: y = x 2).
Свойства и график квадратичной функции
Функция обладает осью симметрии и центром (экстремум). Область определения – все значения оси абсцисс.
Область значений функции – (-∞, М) или (М, +∞) зависит от направления ветвей кривой. Параметр М тут означает величину функции в вершине линии.
Как определить, куда направлены ветви параболы
Чтобы найти направление кривой такого типа из выражения, нужно определить знак перед первым параметром алгебраического выражения. Если а ˃ 0, то они направлены вверх. Если наоборот – вниз.
Как найти вершину параболы по формуле
Нахождение экстремума является основным этапом при решении множества практических задач. Конечно, можно открыть специальные онлайн калькуляторы, но лучше это уметь делать самому.
Как же ее определить? Есть специальная формула. Когда b не равно 0, надо искать координаты этой точки.
Формулы нахождения вершины:
- x 0 = -b / (2 * a);
- y 0 = y (x 0).
Пример.
Имеется функция у = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Найдём вершины этой функции.
Для такой линии:
- х = -16 / (2 * 4) = -2;
- y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.
Получаем координаты вершины (-2, -41).
Смещение параболы
Классический случай, когда в квадратичной функции y = a x 2 + b x + c, второй и третий параметры равны 0, а = 1 – вершина находится в точке (0; 0).
Движение по осям абсцисс или ординат обусловлено изменением параметров b и c соответственно. Сдвиг линии на плоскости будет осуществляться ровно на то количество единиц, чему равно значение параметра.
Пример.
Имеем: b = 2, c = 3.
Это означает, что классический вид кривой сдвинется на 2 единичных отрезка по оси абсцисс и на 3 — по оси ординат.
Как строить параболу по квадратному уравнению
Школьникам важно усвоить, как правильно начертить параболу по заданным параметрам.
Анализируя выражения и уравнения, можно увидеть следующее:
- Точка пересечения искомой линии с вектором ординат будет иметь значение, равное величине с.
- Все точки графика (по оси абсцисс) будут симметричны относительно основного экстремума функции.
Кроме того, места пересечения с ОХ можно найти, зная дискриминант (D) такой функции:
D = (b 2 — 4 * a * c).
Для этого нужно приравнять выражение к нулю.
Наличие корней параболы зависит от результата:
- D ˃ 0, то х 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
- D = 0, то х 1, 2 = -b / (2 * a);
- D ˂ 0, то нет точек пересечения с вектором ОХ.
Получаем алгоритм построения параболы:
- определить направление ветвей;
- найти координаты вершины;
- найти пересечение с осью ординат;
- найти пересечение с осью абсцисс.
Пример 1.
Дана функция у = х 2 — 5 * х + 4. Необходимо построить параболу. Действуем по алгоритму:
- а = 1, следовательно, ветви направлены вверх;
- координаты экстремума: х = — (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
- с осью ординат пересекается в значении у = 4;
- найдем дискриминант: D = 25 - 16 = 9;
- ищем корни:
- Х 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
- Х 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (1, 0).
Пример 2.
Для функции у = 3 * х 2 — 2 * х — 1 нужно построить параболу. Действуем по приведенному алгоритму:
- а = 3, следовательно, ветви направлены вверх;
- координаты экстремума: х = — (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
- с осью у будет пересекаться в значении у = -1;
- найдем дискриминант: D = 4 + 12 = 16. Значит корни:
- Х 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
- Х 2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).
По полученным точкам можно построить параболу.
Директриса, эксцентриситет, фокус параболы
Исходя из канонического уравнения, фокус F имеет координаты (p/2, 0).
Прямая АВ – директриса (своего рода хорда параболы определенной длины). Ее уравнение: х = -р/2.
Эксцентриситет (константа) = 1.
Заключение
Мы рассмотрели тему, которую изучают школьники в средней школе. Теперь вы знаете, глядя на квадратичную функцию параболы, как найти её вершину, в какую сторону будут направлены ветви, есть ли смещение по осям, и, имея алгоритм построения, сможете начертить её график.
Загрузка...
