Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. В начертательной геометрии она определяется графическим путем по приведенному ниже алгоритму.
Алгоритм
- Прямую переводят в положение, в котором она будет параллельна какой-либо плоскости проекции. Для этого применяют методы преобразования ортогональных проекций.
- Из точки проводят перпендикуляр к прямой. В основе данного построения лежит теорема о проецировании прямого угла.
- Длина перпендикуляра определяется путем преобразования его проекций или с использованием способа прямоугольного треугольника.
На следующем рисунке представлен комплексный чертеж точки M и прямой b, заданной отрезком CD. Требуется найти расстояние между ними.
Согласно нашему алгоритму, первое, что необходимо сделать, это перевести прямую в положение, параллельное плоскости проекции. При этом важно понимать, что после проведенных преобразований фактическое расстояние между точкой и прямой не должно измениться. Именно поэтому здесь удобно использовать метод замены плоскостей , который не предполагает перемещение фигур в пространстве.
Результаты первого этапа построений показаны ниже. На рисунке видно, как параллельно b введена дополнительная фронтальная плоскость П 4 . В новой системе (П 1 , П 4) точки C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 находятся на том же удалении от оси X 1 , что и C"", D"", M"" от оси X.
Выполняя вторую часть алгоритма, из M"" 1 опускаем перпендикуляр M"" 1 N"" 1 на прямую b"" 1 , поскольку прямой угол MND между b и MN проецируется на плоскость П 4 в натуральную величину. По линии связи определяем положение точки N" и проводим проекцию M"N" отрезка MN.
На заключительном этапе нужно определить величину отрезка MN по его проекциям M"N" и M"" 1 N"" 1 . Для этого строим прямоугольный треугольник M"" 1 N"" 1 N 0 , у которого катет N"" 1 N 0 равен разности (Y M 1 – Y N 1) удаления точек M" и N" от оси X 1 . Длина гипотенузы M"" 1 N 0 треугольника M"" 1 N"" 1 N 0 соответствует искомому расстоянию от M до b.
Второй способ решения
- Параллельно CD вводим новую фронтальную плоскость П 4 . Она пересекает П 1 по оси X 1 , причем X 1 ∥C"D". В соответствии с методом замены плоскостей определяем проекции точек C"" 1 , D"" 1 и M"" 1 , как это изображено на рисунке.
- Перпендикулярно C"" 1 D"" 1 строим дополнительную горизонтальную плоскость П 5 , на которую прямая b проецируется в точку C" 2 = b" 2 .
- Величина расстояния между точкой M и прямой b определяется длиной отрезка M" 2 C" 2 , обозначенного красным цветом.
Похожие задачи:
Для вычисления расстояния от данной точки M до прямой L можно использовать разные способы. Например, если на прямой L взять произвольную точку M 0 , то можно определить ортогональную проекцию вектора M 0 M на направление нормального вектора прямой. Эта проекция с точностью до знака и есть нужное расстояние.
Другой способ вычисления расстояния от точки до прямой основан на использовании нормального уравнения прямой . Пусть прямая L задана нормальным уравнением (4.23). Если точка M(x; у) не лежит на прямой L, то ортогональная проекция пр n OM радиус-вектора точки M на направление единичного нормального вектора n прямой L равна скалярному произведению векторов OM и n, т.е. x cosφ + у sinφ. Эта же проекция равна сумме расстояния p от начала координат до прямой и некоторой величины δ (рис. 4.10). Величина δ по абсолютной величине равна расстоянию от точки М до прямой. При этом δ > 0, если точки М и O находятся по разные стороны от прямой, и δ отклонением точки М от прямой.
Отклонение δ для точки M(x; у) от прямой L вычисляется как разность проекции пр n OM и расстояния p от начала координат до прямой (см. рис. 4.10), т.е. δ = x cosφ + у sinφ - p.
По этой формуле можно получить и расстояние p(M, L) от точки M(x; у) до прямой L, заданной нормальным уравнением: p(M, L) = |δ | = |x cosφ + у sinφ - p|.
2 Два смежныхугла в сумме дают 180°
Учитывая приведенную выше процедуру преобразования общего уравнения прямой в ее нормальное уравнение, получаем формулу для расстояния от точки M(х; у) до прямой L, заданной своим общим уравнением:
Пример 4.8. Найдем общие уравнения высоты AH, медианы AM и биссектрисы AD треугольника ABC, выходящих из вершины A. Известны координаты вершин треугольника А(-1;- 3), B(7; 3), C(1;7).
Прежде всего уточним условие примера: под указанными уравнениями подразумевают уравнения прямых L AH , L AM и L AD , на которых расположены соответственно высота АН, медиана AM и биссектриса AD указанного треугольника (рис. 4.11).
Чтобы найти уравнение прямой L AM , воспользуемся тем, что медиана делит противоположную сторону треугольника пополам. Найдя координаты (x 1 ; y 1) середины стороны BC x 1 = (7 + 1)/2 = 4, у 1 = (3 + 7)/2 = 5, записываем уравнение для L AM в виде уравнения прямой, проходящей через две точки, (x + 1)/(4 + 1) = (y + 3)/(5 + 3). После преобразований получаем общее уравнение медианы 8х - 5у - 7 = 0./p>
Чтобы найти уравнение высоты L AH , воспользуемся тем, что высота перпендикулярна про-тивоположной стороне треугольника. Следовательно, вектор BC перпендикулярен высоте AH и его можно выбрать в качестве нормального вектора прямой L AH . Уравнение этой прямой получаем из (4.15), подставляя координаты точки A и нормального вектора прямой L AH:
(-6)(х + 1) + 4(у + 3) = 0.
После преобразований получаем общее уравнение высоты 3x - 2у - 3 = 0.
Чтобы найти уравнение биссектрисы L AD , воспользуемся тем, что биссектриса AD принадлежит множеству тех точек N(х; у), которые равноудалены от прямых L AB и L AC . Уравнение этого множества имеет вид
P(N, L AB) = P(N, L AC), (4.28)
и оно задает две прямые, проходящие через точку A и делящие углы между прямыми L AB и L AC пополам. Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки, найдем общие уравнения прямых L AB и L AC:
L AB: (x + 1)/(7 + 1) = (y + 3)/(3 + 3), L AC: (x + 1)/(1 + 1) = (y + 3)/(7 + 3)
После преобразований получаем L AB: 3х - 4у - 9 = 0, L AC: 5х - у + 2 = 0. Уравнение (4.28) с помощью формулы (4.27) для вычисления расстояния от точки до прямой запишем в виде
Преобразуем его, раскрыв модули:
В итоге получим общие уравнения двух прямых
(3 ± 25/√26)x + (-4 ± 5/√26)y + (-9 ± 10/√26) = 0
Чтобы выбрать из них уравнение биссектрисы, учтем, что вершины B и C треугольника расположены по разные стороны от искомой прямой и поэтому подстановки их координат в левую часть общего уравнения прямой L AD должны давать значения с разными знаками. Выбираем уравнение, соответствующее верхнему знаку, т. е.
(3 - 25/√26)x + (-4 + 5/√26)y + (-9 - 10/√26) = 0
Подстановка координат точки B в левую часть этого уравнения дает отрицательное значение, поскольку
(3 - 25/√26)7 + (-4 + 5/√26)3 + (-9 - 10/√26) = 21 - 12 - 9 + (-175 + 15 - 10)/√26 = -170/√26
и такой же знак получается для координат точки C, так как
(3 - 25/√26)1 + (-4 + 5/√26)7 + (-9 - 10/√26) = 3 - 28 - 9 + (-25 + 35 - 10)/√26 = -34
Следовательно, вершины B и C расположены по одну сторону прямой с выбранным уравнением, а потому уравнением биссектрисы является
(3 + 25/√26)х + (-4 - 5/√26)у + (-9 + 10/√26) = 0.
Формула для вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости
Если задано уравнение прямой Ax + By + C = 0, то расстояние от точки M(M x , M y) до прямой можно найти, используя следующую формулу
Примеры задач на вычисление расстояния от точки до прямой на плоскости
Пример 1.
Найти расстояние между прямой 3x + 4y - 6 = 0 и точкой M(-1, 3).
Решение. Подставим в формулу коэффициенты прямой и координаты точки
Ответ: расстояние от точки до прямой равно 0.6.
уравнение плоскости проходящей через точки перпендикулярно векторуОбщее уравнение плоскости
Ненулевой вектор , перпендикулярный заданной плоскости, называетсянормальным вектором (или, короче, нормалью ) для этой плоскости.
Пусть в координатном пространстве (в прямоугольной системе координат) заданы:
а)
точка 
;
б) ненулевой вектор (рис.4.8,а).
Требуется
составить уравнение плоскости, проходящей
через точку 
перпендикулярно
векторуКонец
доказательства.
Рассмотрим теперь различные типы уравнений прямой на плоскости.
1) Общее уравнение плоскости P .
Из вывода уравнения следует, что одновременно A , B и C не равны 0 (объясните почему).
Точка принадлежит плоскостиP только в том случае, когда ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости. В зависимости от коэффициентов A , B , C и D плоскость P занимает то или иное положение:
‑ плоскость проходит через начало системы координат, ‑ плоскость не проходит через начало системы координат,
‑ плоскость параллельна оси X ,
X ,
‑ плоскость параллельна оси Y ,
‑ плоскость не параллельна оси Y ,
‑ плоскость параллельна оси Z ,
‑ плоскость не параллельна оси Z .
Докажите эти утверждения самостоятельно.
Уравнение
(6) легко выводится из уравнения (5).
Действительно, пусть точка лежит
на плоскости P
.
Тогда ее координаты удовлетворяют
уравнениюВычитая
из уравнения (5) уравнение (7) и группируя
слагаемые, получим уравнение (6). Рассмотрим
теперь два вектора с координатами соответственно.
Из формулы (6) следует, что их скалярное
произведение равно нулю. Следовательно,
вектор перпендикулярен
вектору Начало
и конец последнего вектора находятся
соответственно в точках которые
принадлежат плоскости P
.
Следовательно, вектор перпендикулярен
плоскости P
.
Расстояние от точкидо
плоскости P
,
общее уравнение которой
определяется
по формуле
Доказательство
этой формулы полностью аналогично
доказательству формулы расстояния
между точкой и прямой (см. рис. 2).
Рис.
2. К выводу формулы расстояния между
плоскостью и прямой.
Действительно, расстояние d между прямой и плоскостью равно
где ‑
точка лежащая на плоскости. Отсюда, как
и в лекции № 11, получается выше приведенная
формула. Две плоскости параллельны,
если параллельны их нормальные вектора.
Отсюда получаем условие параллельности
двух плоскостей
‑
коэффициенты общих уравнений плоскостей .
Две плоскости перпендикулярны, если
перпендикулярны их нормальные вектора,
отсюда получаем условие перпендикулярности
двух плоскостей, если известны их общие
уравнения
Угол f
между
двумя плоскостями равен углу между их
нормальными векторами (см. рис. 3) и может,
поэтому, быть вычислен по формуле
Определение
угла между плоскостями.
(11)
Расстояние от точки до плоскости и способы его нахождения
Расстояние
от точки до
плоскости
–
длина перпендикуляра, опущенного из
точки на эту плоскость.
Существует,
по крайней мере, два способа найти
расстояние от точки до
плоскости:геометрический
и алгебраический
.
При геометрическом способе нужно сначала понять, как расположен перпендикуляр из точки на плоскость: может он лежит в какой –то удобной плоскости, является высотой в какой-нибудь удобном (или не очень) треугольнике, а может этот перпендикуляр вообще является высотой в какой-нибудь пирамиде.
После этого первого и самого сложного этапа задача распадается на несколько конкретных планиметрических задач (быть может, в разных плоскостях).
При алгебраическом способе для того, чтобы найти расстояние от точки до плоскости, нужно ввести систему координат, найти координаты точки и уравнение плоскости, и после этого применить формулу расстояния от точки до плоскости.
155*. Определить натуральную величину отрезка АВ прямой общего положения (рис. 153, а).
Решение. Как известно, проекция отрезка прямой на какой-либо плоскости равна самому отрезку (с учетом масштаба чертежа), если он параллелен этой плоскости
(рис. 153, б). Из этого следует, что путем преобразования чертежа надо добиться параллельности данного отрезка пл. V или пл. Н или же дополнить систему V, Н еще одной плоскостью, перпендикулярной к пл. V или к пл. H и в то же время параллельной данному отрезку.
На рис. 153, в показано введение дополнительной плоскости S, перпендикулярной к пл. H и параллельной заданному отрезку АВ.
Проекция a s b s равна натуральной величине отрезка AB.
На рис. 153, г показан другой прием: отрезок АВ повернут вокруг прямой, проходящей через точку В и перпендикулярной к пл. Н, до положения, параллельного
пл. V. При этом точка В остается на месте, а точка А занимает новое положение А 1 . В новом положении горизонт. проекция а 1 b || оси х. Проекция a" 1 b" равна натуральной величине отрезка АВ.
156. Дана пирамида SABCD (рис. 154). Определить натуральную величину ребер пирамиды AS и CS, используя способ перемены плоскостей проекций, и ребер BS и DS, используя способ вращения, причем взять ось вращения перпендикулярно к пл. H.
157*. Определить расстояние от точки А до прямой ВС (рис. 155, а).
Решение. Расстояние от точки до прямой измеряется отрезком перпендикуляра, проведенного из точки на прямую.
Если прямая перпендикулярна к какой-либо плоскости (рис. 155,6), то расстояние от точки до прямой измеряется расстоянием между проекцией точки и точкой- проекцией прямой на этой плоскости. Если прямая занимает в системе V, H общее положение, то, чтобы определить расстояние от точки до прямой способом перемены плоскостей проекций, надо ввести в систему V, H еще две дополнительные плоскости.
Сначала (рис. 155, в) вводим пл. S, параллельную отрезку ВС (новая ось S/H параллельна проекции bс), и строим проекции b s c s и a s . Затем (рис. 155, г) вводим еще пл. Т, перпендикулярную к прямой ВС (новая ось T/S перпендикулярна к b s с s). Строим проекции прямой и точки - с t (b t) и a t . Расстояние между точками a t и с t (b t) равно расстоянию l от точки А до прямой ВС.
На рис. 155, д эта же задача выполнена с помощью способа вращения в той его форме, которую называют способом параллельного перемещения. Сначала прямую ВС и точку А, сохраняя неизменным их взаимное положение, поворачиваем вокруг некоторой (не обозначенной на чертеже) прямой, перпендикулярной к пл. H, так, чтобы прямая ВС расположилась параллельно пл. V. Это равносильно перемещению точек А, В, С в плоскостях, параллельных пл. H. При этом горизонт. проекция заданной системы (BC + A) не изменяется ни по величине, ни по конфигурации, лишь изменяется ее положение относительно оси х. Располагаем горизонт. проекцию прямой ВС параллельно оси х (положение b 1 c 1) и определяем проекцию a 1 , откладывая c 1 1 1 = с-1 и а 1 1 1 = а-1, причем a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1 . Проведя прямые b"b" 1 , a"a" 1 , с"с" 1 параллельно оси х, находим на них фронт. проекции b" 1 ,а" 1 , с" 1 . Далее, перемещаем точки В 1 , С 1 и A 1 в плоскостях, параллельных пл. V (также не изменяя их взаимного расположения), так, чтобы получить В 2 С 2 ⊥ пл. H. При этом фронту проекция прямой расположится перпендикулярно к оси x,b 2 c" 2 = b" 1 с" 1 , а для построений проекции а" 2 надо взять b" 2 2" 2 = b" 1 2" 1 , провести 2"a" 2 ⊥ b" 2 с" 2 и отложить а" 2 2" 2 = а" 1 2" 1 . Теперь, проведя с 1 с 2 и а 1 а 2 || х 1 получим проекции b 2 с 2 и а 2 и искомое расстояние l от точки А до прямой ВС. Определить расстояние от А до ВС можно, повернув плоскость, определяемую точкой А и прямой ВС, вокруг горизонтали этой плоскости до положения Т || пл. H (рис. 155, е).
В плоскости, задаваемой точкой А и прямой ВС, проводим горизонталь А-1 (рис. 155, ж) и поворачиваем вокруг нее точку В. Точка В перемещается в пл. R (заданной на чертеже следом R h), перпендикулярной к А-1; в точке О находится центр вращения точки В. Определяем теперь натуральную величину радиуса вращения ВО, (рис. 155, в). В требуемом положении, т. е. когда пл. Т, определяемая точкой А и прямой ВС, станет || пл. H, точка В получится на R h на расстоянии Оb 1 от точки О (может быть и другое положение на том же следе R h , но по другую сторону от О). Точка b 1 - это горизонт. проекция точки В после перемещения ее в положение В 1 в пространстве, когда плоскость, определяемая точкой А и прямой ВС, заняла положение Т.
Проведя (рис. 155, и) прямую b 1 1, получаем горизонт. проекцию прямой ВС, уже расположенной || пл. H в одной плоскости с А. В этом положении расстояние от а до b 1 1 равно искомому расстоянию l. Плоскость Р, в которой лежат заданные элементы, можно совместить с пл. H (рис. 155, к), повернув пл. Р вокругее горизонт. следа. Перейдя от задания плоскости точкой А и прямой ВС к заданию прямыми ВС и А-1 (рис. 155, л), находим следы этих прямых и проводим через них следы Р ϑ и P h . Строим (рис. 155, м) совмещенное с пл. H положение фронт. следа - P ϑ0 .
Через точку а проводим горизонт. проекцию фронтали; совмещенная фронталь проходит через точку 2 на следе Р h параллельно Р ϑ0 . Точка А 0 - совмещенное с пл. H положение точки А. Аналогично находим точку В 0 . Прямая ВС в совмещенном с пл. H положении проходит через точку В 0 и точку m (горизонт. след прямой).
Расстояние от точки A 0 до прямой В 0 С 0 равно искомому расстоянию l.
Можно выполнить указанное построение, найдя только один след Р h (рис. 155, н и о). Все построение аналогично повороту вокруг горизонтали (см. рис. 155, ж, в, и): след Р h - это одна из горизонталей пл. Р.
Из приведенных для решения данной задачи способов преобразования чертежа предпочтительным является способ вращения вокруг горизонтали или фронтали.
158. Дана пирамида SABC (рис. 156). Определить расстояния:
а) от вершины В основания до его стороны АС способом параллельного перемещения;
б) от вершины S пирамиды до сторон ВС и АВ основания способом вращения вокруг горизонтали;
в) от вершины S до стороны AС основания способом перемены плоскостей проекций.
159. Дана призма (рис. 157). Определить расстояния:
а) между ребрами AD и CF способом перемены плоскостей проекций;
б) между ребрами BE и CF вращением вокруг фронтали;
в) между ребрами AD и BE способом параллельного перемещения.
160. Определить натуральную величину четырехугольника ABCD (рис. 158) совмещением с пл. Н. Пользоваться только горизонтальным следом плоскости.
161*. Определить расстояние между скрещивающимися прямыми АВ и CD (рис. 159, а) и построить проекции общего к ним перпендикуляра.
Решение. Расстояние между скрещивающимися прямыми измеряется отрезком (MN) перпендикуляра к обеим прямым (рис. 159, б). Очевидно, если одну из прямых расположить перпендикулярно к какой-либо пл. Т, то
отрезок MN перпендикуляра к обеим прямым окажется параллельным пл. Т него проекция на этой плоскости отобразит искомое расстояние. Проекция прямого угла менаду MN н АВ на пл. Т оказывается также прямым углом между m t n t и а t b t , так как одна из сторон прямого угла AMN, а именно MN. параллельна пл. Т.
На рис. 159, в и г искомое расстояние l определено способом перемены плоскостей проекций. Сначала вводим дополнительную пл. проекций S, перпендикулярную к пл. H и параллельную прямой CD (рис. 159, в). Затем вводим еще одну дополнительную пл. Т, перпендикулярную к пл. S и перпендикулярную к той же прямой CD (рис. 159, г). Теперь можно построить проекцию общего перпендикуляра проведя m t n t из точки c t (d t) перпендикулярно к проекции a t b t . Точки m t и n t - проекции точек пересечения этого перпендикуляра с прямыми АВ и CD. По точке m t (рис. 159, д) находим m s на a s b s: проекция m s n s должна быть параллельна оси Т/S. Далее, по m s и n s находим m и n на ab и cd, а по ним m" и n" на а"b" и c"d".
На рис. 159, в показано решение этой задачи по способу параллельного перемещений. Сначала ставим прямую CD параллельно пл. V: проекция c 1 d 1 || х. Далее перемещаем прямые CD и АВ из положений C 1 D 1 и А 1 В 1 в положения С 2 B 2 и А 2 В 2 так, чтобы С 2 D 2 расположилась перпендикулярно Н: проекция с" 2 d" 2 ⊥ х. Отрезок искомого перпендикуляра располагается || пл. H, и, следовательно, m 2 n 2 выражает искомое расстояние l между АВ и CD. Находим положение проекций m" 2 , и n" 2 на а" 2 b" 2 и c" 2 d" 2 , затем проекций и m 1 и m" 1 , n 1 и n" 1 , наконец, проекций m" и n", m и n.
162. Дана пирамида SABC (рис. 160). Определить расстояние между ребром SB и стороной АС основания пирамиды и построить проекции общего перпендикуляра к SB и АС, применив способ пере-мены плоскостей проекций.
163. Дана пирамида SABC (рис. 161). Определить расстояние между ребром SH и стороной ВС основания пирамиды и построить проекции общего перпендикуляра к SX и ВС, применив способ параллельного перемещения.
164*. Определить расстояние от точки А до плоскости в случаях, когда плоскость задана: а) треугольником BCD (рис. 162, а); б) следами (рис. 162, б).
Решение. Как известно, расстояние от точки до плоскости измеряется величиной перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость. Это расстояние проецируется на какую-либо пл. проекций в натуральную величину, если данная плоскость перпендикулярна к пл. проекций (рис. 162, в). Добиться такого положения можно, преобразуя чертеж, например, способом перемены пл. проекций. Введем пл. S (рис. 16ц, г), перпендикулярную к пл. треугольника BCD. Для этого проводим в пл. треугольника горизонталь В-1 и располагаем ось проекций S перпендикулярно к проекции b-1 горизонтали. Строим проекции точки и плоскости - а s и отрезок c s d s . Расстояние от a s до c s d s равно искомому расстоянию l точки до плоскости.
На рио. 162, д применен способ параллельного перемещения. Перемещаем всю систему до тех пор, пока горизонталь В-1 плоскости не станет перпендикулярна к плоскости V: проекция b 1 1 1 должна быть перпендикулярна к оси x. В этом положении плоскость треугольника станет фронтально-проецирующей, и расстояние l от точки А до нее получится на пл. V без искажения.
На рис. 162, б плоскость задана следами. Вводим (рис. 162, е) дополнительную пл. S, перпендикулярную к пл. P: ось S/Н перпендикулярна к Р h . Дальнейшее ясно из чертежа. На рис. 162, ж задача решена при помощи одного перемещения: пл. Р переходит в положение Р 1 , т. е. становится фронтально-проецирующей. След. Р 1h перпендикулярен к оси х. Строим в этом положении плоскости фронт. след горизонтали - точку n" 1 ,n 1 . След P 1ϑ пройдет через Р 1x и n 1 . Расстояние от a" 1 , до Р 1ϑ равно искомому расстоянию l.
165. Дана пирамида SABC (см. рис. 160). Определить расстояние от точки А до грани SBC пирамиды, применив способ параллельного перемещения.
166. Дана пирамида SABC (см. рис. 161). Определить высоту пирамиды, применив способ параллельного перемещения.
167*. Определить расстояние между скрещивающимися прямыми АВ и CD (см.рис. 159,а) как расстояние между параллельными плоскостями, проведенными через эти прямые.
Решение. На рис. 163, а показаны параллельные между собой плоскости Р и Q, из которых пл. Q проведена через CD параллельно АВ, а пл. Р - через АВ параллельно пл. Q. Расстояние между такими плоскостями и считается расстоянием между скрещивающимися прямыми АВ и CD. Однако можно ограничиться построением только одной плоскости, например Q, параллельно АВ, а затем определить расстояние хотя бы от точки А до этой плоскости.
На рис. 163, в показана плоскость Q, проведенная через CD параллельно АВ; в проекциях проведено с"е" || а"b" и се || аb. Применяя способ перемены пл. проекций (рис. 163, в), введем дополнительную пл. S, перпендикулярную к пл. V и в то же время
перпендикулярную к пл. Q. Чтобы провести ось S/V, берем в этой плоскости фронталь D-1. Теперь проводим S/V перпендикулярно к d"1" (рис. 163, в). Пл. Q изобразится на пл. S в виде прямой с s d s . Остальное ясно из чертежа.
168. Дана пирамида SABC (см. рис, 160). Определить расстояние между ребрами SC и AB.Применить: 1) способ перемены пл. проекций, 2) способ параллельного перемещения.
169*. Определить расстояние между параллельными плоскостями, из которых одна задана прямыми АВ и АС, а другая - прямыми DE и DF (рис. 164, а). Выполнить также построение для случая, когда плоскости заданы следами (рис. 164, б).
Решение. Расстояние (рис. 164, в) между параллельными плоскостями можно определить, проведя перпендикуляр из любой точки одной плоскости на другую плоскость. На рис. 164, г введена дополнительная пл. S перпендикулярно к пл. Н и к обеим данным плоскостям. Ось S.H перпендикулярна к горизонт. проекции горизонтали, проведенной в одной из плоскостей. Строим проекцию этой плоскости и точки В другой плоскости на пл. 5. Расстояние точки d s до прямой l s a s равно искомому расстоянию между параллельными плоскостями.
На рис. 164, д дано другое построение (по способу параллельного перемещения). Для того чтобы плоскость, выраженная пересекающимися прямыми АВ и АС,оказалась перпендикулярна к пл. V, горизонт. проекцию горизонтали этой плоскости ставим перпендикулярно к оси х: 1 1 2 1 ⊥ х. Расстояние между фронт. проекцией d" 1 точки D и прямой а" 1 2" 1 (фронт. проекцией плоскости) равно искомому расстоянию между плоскостями.
На рис. 164, е показано введение дополнительной пл. S, перпендикулярной к пл.H и к данным плоскостям Р и Q (ось S/H перпендикулярна к следам Р h , и Q h). Строим следы Р s , и Q s . Расстояние между ними (см. рис. 164, в) равно искомому расстоянию l между плоскостями Р и Q.
На рис. 164, ж показано перемещение плоскостей Р 1 н Q 1 , в положение P 1 и Q 1 , когда горизонт. следы оказываются перпендикулярными к оси x. Расстояние между новыми фронт. следами P 1ϑ и Q 1ϑ равно искомому расстоянию l.
170. Дан параллелепипед ABCDEFGH (рис. 165). Определить расстояния: а) между основаниями параллелепипеда - l 1 ; б) между гранями ABFE и DCGH - l 2 ; в) между гранями ADHE и BCGF-l 3 .
Загрузка...
