Параллельности плоскостей.
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти
плоскости параллельны.
Доказательство. Пусть a
и b
- данные плоскости, а 1
и а 2
– прямые в плоскости a
, пересекающиеся в точке А
, b
1
и
b
2
соответственно параллельные им прямые в
плоскости b
.
Допустим, что плоскости a
и b
не параллельны, то есть они пересекаются по некоторой
прямой с
. Прямая а
1 параллельна
прямой b
1 , значит она параллельна и самой плоскости b
(признак параллельности прямой и плоскости). Прямая а
2
параллельна прямой b
2 ,
значит она параллельна и самой плоскости b
(признак
параллельности прямой и плоскости). Прямая
с
принадлежит плоскости a
,
значит хотя
бы одна из прямых а 1
или а 2
пересекает прямую
с,
то есть имеет с ней общую точку.
Но прямая с
также
принадлежит и плоскости b
, значит,
пересекая прямую с,
прямая а 1
или а 2
пересекает плоскость b
, чего быть не может, так как прямые а 1
и а 2
параллельны плоскости b
. Из этого следует, что
плоскости a
и b
не пересекаются, то есть они параллельны.
Теорема 1
. Если две параллельные плоскости пересекаются
третей, то прямые пересечения параллельны. 
Доказательство. Пусть a
и b
- параллельные плоскости,
а g
- плоскость,
пересекающая их. Плоскость a
пересеклась с плоскостью g
по прямой а.
Плоскость b
пересеклась с плоскостью g
по
прямой b
.
Линии пересечения а
и
b
лежатв одной плоскости g
и потому могут быть либо пересекающимися, либо параллельными прямыми. Но, принадлежа двум параллельным плоскостям, они не могут иметь общих точек. Следовательно, они параллельны.
Теорема 2.
Отрезки параллельных прямых, заключенных между
двумя параллельными плоскостями, равны. 
Доказательство. Пусть a
и b
- параллельные плоскости,
а а
и b
– параллельные прямые, пересекающие их. Через прямые а
и
b
проведем плоскость g
(эти прямые параллельны, значит
определяют плоскость, причем только одну).
Плоскость a
пересеклась с плоскостью g
по
прямой АВ.
Плоскость
b
пересеклась с
плоскостью g
по
прямой СД.По предыдущей
теореме прямая
с
параллельна
прямой d
.
Прямые а,
b
,
АВ
и
СД принадлежат плоскости g
.Четырехугольник, ограниченный этими прямыми,есть параллелограмм (у него противоположные стороны параллельны). А раз это параллелограмм, то противоположные стороны у него равны, то есть АД = ВС
На этом уроке мы дадим определение параллельных плоскостей и вспомним аксиому о пересечении двух плоскостей. Далее мы докажем теорему - признак параллельности плоскостей и, опираясь на нее, решим несколько задач на параллельность плоскостей.
Тема: Параллельность прямых и плоскостей
Урок: Параллельные плоскости
На этом уроке мы дадим определение параллельных плоскостей и вспомним аксиому о пересечении двух плоскостей.
Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Обозначение : .
Иллюстрация параллельных плоскостей (Рис. 1.)
1. Какие плоскости называются параллельными?
2. Могут ли быть параллельными плоскости, проходящие через непараллельные прямые?
3. Каким может быть взаимное расположение двух прямых, каждая из которых лежит в одной из двух различных параллельных плоскостей?
4. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
Задания 1, 2, 5 стр. 29
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Загрузка...
