Теорема 1 . Если f (x ) = b , то f (x ) = b + a (x ), где a (x ) – б.м. при x ® a .
Доказательство. Пусть f (x ) = b . Рассмотрим функцию a (x ) = f (x ) – b и покажем, что a (x ) – б.м. при x ® +¥ .
Из определения f
(x
) = b
имеем, что "e
> 0 $x
0 "x > x
0 |f
(x
) – b
| < e
, но так как a
(x
) = f
(x
) – b
, то "e
> 0 $x
0 "x > x
0 |a
(x
)| < e
, а это означает, что a
(x
) – б.м. при
x
® +¥.
Итак, из равенства a (x ) = f (x ) – b имеем f (x ) = b + a (x ), где a (x ) – б.м. при x ® +¥.
Теорема 2.
Если функцию f
(x
) можно представить в виде: f
(x
) = b
+ a
(x
), где
b
– число, a
(x
) – б.м. функция при x
® a
, то f
(x
) = b
.
Доказательство. Пусть f (x ) = b + a (x ), где a (x ) – б.м. при x ® +¥, т.е.
"e > 0 $x 0 "x > x 0 |a (x )| < e . (*)
Но a (x ) = f (x ) – b , поэтому (*) можно записать так: "e > 0 $x 0 "x > x 0 |f (x ) – b | < e , что означает: f (x ) = b .
Следующие теоремы значительно облегчают нахождение пределов.
Теорема 3 . Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов, т.е. если
f 1 (x ) = b 1 , f 2 (x ) = b 2 , то (f 1 (x ) + f 2 (x )) = b 1 + b 2 , (f 1 (x ) – f 2 (x )) = b 1 – b 2 .
Доказательство. На основании теоремы 1: f 1 (x ) = b 1 + a 1 (x ), f 2 (x ) = b 2 + a 2 (x ), где a 1 (x ), a 2 (x ) – б.м. при x ® a , тогда
f 1 (x ) + f 2 (x ) = (b 1 + a 1 (x )) + (b 2 + a 2 (x )) = (b 1 + b 2) + (a 1 (x ) + a 2 (x )).
Но a 1 (x ) + a 2 (x ) – б.м. функция при x ® a (как сумма двух б.м. функций), поэтому из равенства f 1 (x ) + f 2 (x ) = (b 1 + b 2) + (a 1 (x ) + a 2 (x )) по теореме 2 следует, что
(f 1 (x ) + f 2 (x )) = b 1 + b 2.
Аналогично проводится доказательство для разности.
Теорема 4 . Предел произведения двух функций равен произведению их пределов, т.е. если f 1 (x ) = b 1 , f 2 (x ) = b 2 , то (f 1 (x ) f 2 (x )) = b 1 × b 2 .
Доказательство. По теореме 1: f 1 (x ) = b 1 + a 1 (x ), f 2 (x ) = b 2 + a 2 (x ), где a 1 (x ), a 2 (x ) – б.м. при x ® a , тогда f 1 (x )× f 2 (x ) = b 1 × b 2 + b 1 ×a 2 (x ) + b 2 ×a 1 (x ) + a 1 (x )× a 2 (x ).
На основании следствий 2, 3, теоремы 1 (разд. 1.6) функции b
1 ×a
2 (x
), b
2 ×a
1 (x
), a
1 (x
)×a
2 (x
) – б.м. при x
® a
и a
(x
) = b
1 ×a
2 (x
) + b
2 ×a
1 (x
) + a
1 (x
)×a
2 (x
) – бесконечно малая функция при x
® a
. Из равенства f
1 (x
) f
2 (x
) = b
1 b
2 + a
(x
) по теореме 2 следует, что
(f
1 (x
)f
2 (x
)) = b
1 b
2 .
Следствие 1
. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.
(С
×f
(x
)) = С
f
(x
), где С
– постоянное число.
Доказательство. С f (x ) = С f (x ) = С f (x ), так как С = С.
Следствие 2 . Если n – натуральное число, то [(f (x )) n ] = (f (x )) n .
Теорема 5
. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя при условии, что предел знаменателя не равен нулю. Иначе, если f
1 (x
) = b
1 ,
f
2 (x
) = b
2 и b
2 ¹ 0, то 
.
Доказательство. По теореме 1: f 1 (x ) = b 1 + a 1 (x ), f 2 (x ) = b 2 + a 2 (x ), где a 1 (x ), a 2 (x ) – б.м. при x ® a , тогда
Обозначим последнюю дробь a
(x
) = 
, тогда + a
(x
). Остается показать, что a
(x
) – б.м. при x
® a
. Действительно, числитель дроби
b
2 a
1 (x
) – b
1 a
2 (x
) – б.м. по свойствам бесконечно малых функций, предел
(b
2 2 + b
2 a
2 (x
)) = b
2 2 ¹ 0, на основании теорем 3, 4. Поэтому – функция,ограниченная при x
® a
(по теореме 3 разд. 1.6). Значит, a
(x
) – б.м. при x
® a
(по теореме 4 разд. 1.6). Теорема доказана.
Рассмотрим применение доказанных теорем при нахождении пределов.
Пример . Найти .
Решение. Найдем сначала предел числителя и знаменателя. По свойствам пределов3 x = 3x = 3(–2) = –6, 1 = 1, поэтому (3x – 1) = –6 – 1 = –7. Аналогично, (5 – 4x ) = 5 – 4(–2) = 13. Используя теорему 5, получим:
.
Теорема 6 . Если f (x ) существует и f (x ) ³ 0 для всех x из области определения функции, то f (x ) ³ 0.
Доказательство. Пусть . Докажем методом от противного, предполагая, что f (x ) = b < 0. Зафиксируем e = –, e > 0. По определению предела по e найдется x 0 , такое, что "x > x 0 |f (x ) – b | < e , отсюда b – e < f (x ) < b + e . Но e = –, поэтому "x > x 0 f (x ) < b – , f (x ) < , т.е. f (x ) < 0, что противоречит условию. Теорема доказана .
Теорема 7
. Если "x
(f
1 (x
) ³ f
2 (x
)) и f
1 (x
), f
2 (x
) существуют, то
f
1 (x
) ³ f
2 (x
).
Доказательство.
Рассмотрим функцию F
(x
) = f
1 (x
) – f
2 (x
), тогда "x
(F
(x
) ³ 0) иF
(x
) существует. По теореме 6: F
(x
) ³ 0, (f
1 (x
) – f
2 (x
)) ³ 0, отсюда
f
1 (x
) ³ f
2 (x
). Теорема доказана
.
Приводятся формулировки основных теорем и свойств предела функции. Даны определения конечных и бесконечных пределов в конечных точках и на бесконечности (двусторонних и односторонних) по Коши и Гейне. Рассмотрены арифметические свойства; теоремы, связанные с неравенствами; критерий сходимости Коши; предел сложной функции; свойства бесконечно малых, бесконечно больших и монотонных функций. Дано определение функции.
Определение функции
Функцией y = f(x) называется закон (правило), согласно которому, каждому элементу x множества X ставится в соответствие один и только один элемент y множества Y .
Элемент x ∈
X
называют аргументом функции
или независимой переменной
.
Элемент y ∈
Y
называют значением функции
или зависимой переменной
.
Множество X
называется областью определения функции
.
Множество элементов y ∈
Y
,
которые имеют прообразы в множестве X
,
называется областью или множеством значений функции
.
Действительная функция называется ограниченной сверху (снизу)
, если существует такое число M
,
что для всех выполняется неравенство:
.
Числовая функция называется ограниченной
, если существует такое число M
,
что для всех :
.
Верхней гранью
или точной верхней границей
действительной функции называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s
,
для которого для всех и для любого ,
найдется такой аргумент ,
значение функции от которого превосходит s′
:
.
Верхняя грань функции может обозначаться так:
.
Соответственно нижней гранью
или точной нижней границей
действительной функции называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i
,
для которого для всех и для любого ,
найдется такой аргумент ,
значение функции от которого меньше чем i′
:
.
Нижняя грань функции может обозначаться так:
.
Определение предела функции
Определение предела функции по Коши
Конечные пределы функции в конечных точках
Пусть функция определена в некоторой окрестности конечной точки за исключением, может быть, самой точки .
в точке ,
если для любого существует такое ,
зависящее от ,
что для всех x
,
для которых ,
выполняется неравенство
.
Предел функции обозначается так:
.
Или при .
С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела функции можно записать следующим образом:
.
Односторонние пределы.
Левый предел в точке (левосторонний предел):
.
Правый предел в точке (правосторонний предел):
.
Пределы слева и справа часто обозначают так:
;
.
Конечные пределы функции в бесконечно удаленных точках
Аналогичным образом определяются пределы в бесконечно удаленных точках.
.
.
.
Их часто обозначают так:
;
;
.
Использование понятия окрестности точки
Если ввести понятие проколотой окрестности точки ,
то можно дать единое определение конечного предела функции в конечных и бесконечно удаленных точках:
.
Здесь для конечных точек
;
;
.
Любые окрестности бесконечно удаленных точек являются проколотыми:
;
;
.
Бесконечные пределы функции
Определение
Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности точки (конечной или бесконечно удаленной). f(x)
при x → x 0
равен бесконечности
, если для любого, сколь угодно большого числа M > 0
,
существует такое число δ M > 0
,
зависящее от M
,
что для всех x
,
принадлежащих проколотой δ M
- окрестности точки :
,
выполняется неравенство:
.
Бесконечный предел обозначают так:
.
Или при .
С помощью логических символов существования и всеобщности определение бесконечного предела функции можно записать так:
.
Также можно ввести определения бесконечных пределов определенных знаков, равных и :
.
.
Универсальное определение предела функции
Используя понятие окрестности точки, можно дать универсальное определение конечного и бесконечно предела функции, применимое как для конечных (двусторонних и односторонних), так и для бесконечно удаленных точек:
.
Определение предела функции по Гейне
Пусть функция определена на некотором множестве X
:
.
Число a
называется пределом функции
в точке :
,
если для любой последовательности ,
сходящейся к x 0
:
,
элементы которой принадлежат множеству X
:
,
.
Запишем это определение с помощью логических символов существования и всеобщности:
.
Если в качестве множества X взять левостороннюю окрестность точки x 0 , то получим определение левого предела. Если правостороннюю - то получим определение правого предела. Если в качестве множества X взять окрестность бесконечно удаленной точки, то получим определение предела функции на бесконечности.
Теорема
Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.
Доказательство
Свойства и теоремы предела функции
Далее мы считаем, что рассматриваемые функции определены в соответствующей окрестности точки , которая является конечным числом или одним из символов: . Также может быть точкой одностороннего предела, то есть иметь вид или . Окрестность является двусторонней для двустороннего предела и односторонней для одностороннего.
Основные свойства
Если значения функции f(x) изменить (или сделать неопределенными) в конечном числе точек x 1 , x 2 , x 3 , ... x n , то это изменение никак не повлияет на существование и величину предела функции в произвольной точке x 0 .
Если существует конечный предел ,
то существует такая проколотая окрестность точки x 0
,
на которой функция f(x)
ограничена:
.
Пусть функция имеет в точке x 0
конечный предел, отличный от нуля:
.
Тогда, для любого числа c
из интервала ,
существует такая проколотая окрестность точки x 0
,
что для ,
,
если ;
,
если .
Если, на некоторой проколотой окрестности точки , - постоянная, то .
Если существуют конечные пределы и и на некоторой проколотой окрестности точки x 0
,
то .
Если ,
и на некоторой окрестности точки
,
то .
В частности, если на некоторой окрестности точки
,
то если ,
то и ;
если ,
то и .
Если на некоторой проколотой окрестности точки x 0
:
,
и существуют конечные (или бесконечные определенного знака) равные пределы:
,
то
.
Доказательства основных свойств приведены на странице
«Основные свойства пределов функции ».
Арифметические свойства предела функции
Пусть функции и определены в некоторой проколотой окрестности точки .
И пусть существуют конечные пределы:
и .
И пусть C
- постоянная, то есть заданное число. Тогда
;
;
;
,
если .
Если , то .
Доказательства арифметических свойств приведены на странице
«Арифметические свойства пределов функции ».
Критерий Коши существования предела функции
Теорема
Для того, чтобы функция ,
определенная на некоторой проколотой окрестности конечной или бесконечно удаленной точки x 0
,
имела в этой точке конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0
существовала такая проколотая окрестность точки x 0
,
что для любых точек и из этой окрестности, выполнялось неравенство:
.
Предел сложной функции
Теорема о пределе сложной функции
Пусть функция имеет предел и отображает проколотую окрестность точки на проколотую окрестность точки .
Пусть функция определена на этой окрестности и имеет на ней предел .
Здесь - конечные или бесконечно удаленные точки: .
Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Тогда существует предел сложной функции и он равен :
.
Теорема о пределе сложной функции применяется в том случае, когда функция не определена в точке или имеет значение, отличное от предельного .
Для применения этой теоремы, должна существовать проколотая окрестность точки ,
на которой множество значений функции не содержит точку :
.
Если функция непрерывна в точке ,
то знак предела можно применять к аргументу непрерывной функции:
.
Далее приводится теорема, соответствующая этому случаю.
Теорема о пределе непрерывной функции от функции
Пусть существует предел функции g(t)
при t → t 0
,
и он равен x 0
:
.
Здесь точка t 0
может быть конечной или бесконечно удаленной: .
И пусть функция f(x)
непрерывна в точке x 0
.
Тогда существует предел сложной функции f(g(t))
,
и он равен f(x 0)
:
.
Доказательства теорем приведены на странице
«Предел и непрерывность сложной функции ».
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Бесконечно малые функции
Определение
Функция называется бесконечно малой при ,
если
.
Сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых функций при является бесконечно малой функцией при .
Произведение функции, ограниченной на некоторой проколотой окрестности точки , на бесконечно малую при является бесконечно малой функцией при .
Для того, чтобы функция имела конечный предел ,
необходимо и достаточно, чтобы
,
где - бесконечно малая функция при .
«Свойства бесконечно малых функций ».
Бесконечно большие функции
Определение
Функция называется бесконечно большой при ,
если
.
Сумма или разность ограниченной функции, на некоторой проколотой окрестности точки , и бесконечно большой функции при является бесконечно большой функцией при .
Если функция является бесконечно большой при ,
а функция - ограничена, на некоторой проколотой окрестности точки ,
то
.
Если функция ,
на некоторой проколотой окрестности точки ,
удовлетворяет неравенству:
,
а функция является бесконечно малой при :
,
и (на некоторой проколотой окрестности точки ), то
.
Доказательства свойств изложены в разделе
«Свойства бесконечно больших функций ».
Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями
Из двух предыдущих свойств вытекает связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.
Если функция являются бесконечно большой при , то функция является бесконечно малой при .
Если функция являются бесконечно малой при , и , то функция является бесконечно большой при .
Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией можно выразить символическим образом:
,
.
Если бесконечно малая функция имеет определенный знак при ,
то есть положительна (или отрицательна) на некоторой проколотой окрестности точки ,
то этот факт можно выразить так:
.
Точно также если бесконечно большая функция имеет определенный знак при ,
то пишут:
.
Тогда символическую связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями можно дополнить следующими соотношениями:
,
,
,
.
Дополнительные формулы, связывающие символы бесконечности, можно найти на странице
«Бесконечно удаленные точки и их свойства ».
Пределы монотонных функций
Определение
Функция ,
определенная на некотором множестве действительных чисел X
называется строго возрастающей
, если для всех таких что выполняется неравенство:
.
Соответственно, для строго убывающей
функции выполняется неравенство:
.
Для неубывающей
:
.
Для невозрастающей
:
.
Отсюда следует, что строго возрастающая функция также является неубывающей. Строго убывающая функция также является невозрастающей.
Функция называется монотонной , если она неубывающая или невозрастающая.
Теорема
Пусть функция не убывает на интервале ,
где .
Если она ограничена сверху числом M
:
,
то существует конечный предел .
Если не ограничена сверху, то .
Если ограничена снизу числом m
:
,
то существует конечный предел .
Если не ограничена снизу, то .
Если точки a
и b
являются бесконечно удаленными, то в выражениях под знаками пределов подразумевается, что .
Эту теорему можно сформулировать более компактно.
Пусть функция не убывает на интервале ,
где .
Тогда существуют односторонние пределы в точках a
и b
:
;
.
Аналогичная теорема для невозрастающей функции.
Пусть функция не возрастает на интервале ,
где .
Тогда существуют односторонние пределы:
;
.
Доказательство теоремы изложено на странице
«Пределы монотонных функций ».
Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Основные теоремы о пределах .
Теорема (о предельном переходе в равенствах). Если в некоторой окрестности точки значения функций f(x) и g(x) совпадают, то их пределы в этой точке равны:
f(x)=g(x)
=>
.
Теорема
(о предельном переходе в неравенствах)
.
Если в некоторой окрестности точки
выполняется неравенство f(x)≤
g(x),
то верно и неравенство:
.
Теорема . Предел постоянной равен самой постоянной: .
Док-во. Проводится на основании определения, где в качестве можно взять любое положительное число. Тогда при .▲
Теорема (о единственности предела). Функция не может иметь более одного предела в данной точке.
Док-во. Предположим противное. Пусть и , . Тогда по теореме о связи предела и БМ:
- БМ при
,
- БМ при
.
Вычитая эти равенства, получим:
На основании свойства 1 БМФ это есть БМ. Переходя в этом равенстве к пределу, получим:
,
Получено противоречие, доказывающее теорему.▲
Необходимые условия существования конечного предела функции.
Теорема (о локальной ограниченности) . Для существования конечного предела функции в точке необходимо, чтобы в некоторой окрестности этой точки (за исключением самой точки) функция была ограничена.
Теорема (о локальном повторении функцией свойств предела). Для существования в точке конечного предела необходимо, чтобы в некоторой окрестности этой точки (за исключением самой точки) .
Достаточные условия существования конечного предела функции.
Теорема (об арифметике) . Если для и существуют конечные пределы, то для их суммы и произведения также существуют конечные пределы, причем:
Если , то существует конечный предел частного:
Док-во. Докажем, например, второе равенство.
Пусть
существуют конечные пределы
и
.
Докажем, что существует конечный предел
.
Итак, мы должны доказать, что:
Возьмем произвольное . Найдем из условия , т.е. для этого : .
Найдем из условия , т.е. для этого :
Т.к. для по условию существует конечный предел в т. , то эта функция будет ограниченной в некоторой окрестности т. (по теореме о локальной ограниченности), т.е. - некоторой константы.
Положим
.
Проверим, что это
- искомое. Действительно,
Теорема (о промежуточной функции) . Пусть для функций и существуют конечные пределы в т., равные друг другу, и в некоторой окрестности т. , за исключением самой этой точки, выполняется условие:
.
Тогда для
тоже существует конечный предел в т.
,
равный значению пределов функций
и
.
Теорема (о пределе монотонной ограниченной функции) . Если функция монотонно возрастает (убывает) в некоторой окрестности т. и ограничена сверху (снизу), то она имеет в этой точке соответствующий односторонний предел.
Вычисление пределов функций .
Теорема об арифметике позволяет не только устанавливать факт существования конечного предела, но и вычислять его.
Пример.
.
Однако, в ряде случаев теорема об арифметике не может быть применена.
,
.
Теорему применять нельзя, хотя
В этих случаях говорят, что имеет место неопределенность. Для вычисления предела необходимо преобразовать функцию тождественным образом так, чтобы теорема об арифметике стала применима (т.е. раскрыть неопределенность).
К неопределенностям относят следующие ситуации:
Замечательные пределы .
Теорема 1 (первый замечательный предел) . Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице:
Док-во. Рассмотрим круг радиуса R с центром в точке О. Пусть сначала . Из рисунка видно, что.
;
;
Таким образом,
Разделив обе части этого выражения на
>0, получим:
или
.
Переходя
в этом неравенстве к пределу при
,
получим:
.
По теореме о промежуточной функции .
При полученные выводы также будут справедливы (доказать самостоятельно).▲
Следствия. ; ; .
Теорема 2 (второй замечательный предел) . Числовая последовательность имеет конечный предел, равный числу е:
,
()
Следствия.
;
.
К числу е приводят многие задачи из области физики, биологии, ядерной физики, демографии и т.п. Рассмотрим применение второго замечательного предела в экономических расчетах.
Задача о непрерывном начислении процентов .
1. Простые проценты . В банк под проценты положена денежная сумма . Ежегодная процентная ставка составляет р %. Каков будет размер вклада Q через t лет?
При использовании простых процентов размер вклада ежегодно увеличивается на одну и ту же величину.
Через год сумма составит ,
Через два года: ;
Через t лет:
- формула простых процентов.
2. Сложные проценты . При использовании сложных процентов начисляются «проценты на проценты», т.е. размер вклада увеличивается ежегодно в одно и то же число раз:
- формула сложных процентов.
В практических финансово-кредитных операциях непрерывное начисление процентов не применяется, но используется в демографических, инвестиционных и др. расчетах.
Пусть f(x) и j (x) – функции, для которых существуют пределы при х ® х 0 (¥):
, 
Тогда имеют место следующие теоремы о пределах:
1. Функция не может иметь более одного предела.
2. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций:
3. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:
В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела:
4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю):
(B ¹ 0)
Пример.
Вычислить предел 
.
◄ Пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя не равен нулю. Пользуясь теоремой о пределе частного, получаем:
Пример.
Вычислить 
.
◄ Теорему о переделе частного здесь применять нельзя, т.к. числитель и знаменатель конечного предела не имеют. Имеем неопределенность . В подобных случаях для раскрытия неопределенности целесообразно числитель и знаменатель разделить на степень х с наивысшим показателем, а затем перейти к пределу:
.
Замечательные пределы
Первый замечательный предел :
Второй замечательный предел :
,
где 
–число Эйлера, которое является основанием для натуральных логарифмов. Последний предел можно записать в других формах:
,
.
Пример. Вычислить .
◄ Для раскрытия подобных неопределенностей используется первый замечательный предел:
Непрерывность функции.
Функция f (x ) называется непрерывной в точке х 0 , если она удовлетворяет следующим условиям:
1) она определена в точке ,т.е. существует f(х 0);
2) она имеет конечный предел функции при х ® х 0 ;
3) этот предел равен значению функции в точке х 0 ,
т.е. 
Например, в точке х = 0 функция не является непрерывной (нарушено 1-е условие).
Функция, заданная выражением:
в точке х = 0 не является непрерывной из-за отсутствия предела при х ® 0, хотя существуют пределы слева и справа (см. рис.).
Точка называется точкой разрыва функции , если эта функция в данной точке не является непрерывной. Существует две разновидности точек разрыва.
Точка разрыва 1-го рода : существуют конечные односторонние пределы функции слева и справа при х ® х 0 , не равные друг другу.
х
= 0 для рассмотренной выше функции 
.
Точка разрыва 2-го рода : хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует.
В качестве примера можно указать точку х = 0 для функции .
Свойства функций непрерывных в точке:
1. Если функции и непрерывны в точке , то их сумма , произведение и частные () являются функциями, непрерывными в точке .
2. Если функция y = f (x ) непрерывна в точке х 0 и f(x 0) > 0, то существует такая окрестность точки x 0 , в которой и f(x) > 0.
3. Если функция y = f (u ) непрерывна в точке u 0 и f(x 0) > 0, а функция непрерывна в точке х 0 , то сложная функция y = f [j (х )] непрерывна в точке х 0 .
Функция y = f (x ) называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Свойства функций непрерывных на отрезке:
1. Если функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ], то она ограничена на этом отрезке.
2. Если функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ], она достигает на этом отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения M.
3. Если функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ] и ее значения на концах отрезка f(a) и f(b) имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точка x Î (a, b ) такая, что f (x)=0.
Лекция 2.7.2 «Производная. Дифференциал»
Учебные вопросы:
1. Производная
2. Дифференциал
Производная
Производной от функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):
.
Другие обозначения производной: 
.
Дифференцирование функции – это нахождение производной этой функции. Если функция имеет в точке x производную (конечную), то она называется дифференцируемой в этой точке.
Геометрический смысл производной: производная равна тангенсу угла между осью Ox
и касательной, проведенной к графику функции в точке (см. рис.).
Механический смысл: производная пути по времени есть скорость точки в момент т.е. 
.
Производительность труда в момент есть производная объема произведенной продукции по времени .
Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она в этой точке непрерывна.
Обратная теорема, вообще говоря, не верна, т.е. непрерывная функция может быть не дифференцируемой в точке , например, функция в точке .
Правила дифференцирования
1. Производная константы равна нулю, т.е. , где С - const.
2. Производная аргумента равна 1, т.е. .
3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, т.е.
Загрузка...
