Линии влияния усилий в заданном сечении сооружения строят двумя методами: статическим и кинематическим.
2.1.1. Статический метод построения линий влияния
Груз F=1 устанавливается в произвольном сечении, положение которого фиксируется переменной X (рис. 10). Из условия равновесия системы записывается аналитическое выражение определяемого усилия J=f(x). Подставляя в него значение координат, фиксирующих положение груза F=1 , вычисляют ординаты лв , расположенные под нагрузкой, и строят график.
Рис. 1.10. Линии влияния усилий
При построении линий влияния усилий М к , Q к для фиксированного сечения “К”, расположенного между опорами , следует рассматривать два положения груза F=1 – слева и справа от сечения “К” , при этом рассматривая равновесие соответственно правой и левой отсечённых частей . В данном случае запись уравнений М к , Q к проще. В том случае, когда сечение расположено на консоли, при движении груза F=1 слева и справа от сечения целесообразно рассматривать равновесие консольной части, считая, что груз движется от сечения.
За пределами сооружения линии влияния нулевые.
Линии влияния усилий R A, R B, M K, Q K, M n, Q nпоказаны на рис.2.1.
Линии влияния R A
Из уравнения статики определяем реакцию R A.
уравнение прямой, для построения которой достаточно двух точек.
При х = 0,
лв R A (0) = 1(L - 0) / L = 1,
при х = L;
лв R A (L) = 1(L - L) / L = 0.
Груз F=1 находится на консоли, х = -d,
лв R A (-d) = 1(L + d) / L.
По полученным значениям строим линию влияния опорной реакции R A .
Линия влияния RB
,
лв R B (x) = x / L.
Линия влияния R b (x) изменяется по линейному закону. Подставляем координаты Х в уравнение лв Rb:
x = 0, ЛВ R B (0) = 0 / L; x = L, ЛВ R B (L) = L / L = 1;
x = –d, лв R B (–d) = –d / L.
Характеристики линии влияния реакции R :
состоит из одной ветви;
над опорой, для которой определяется усилие R, отсекает ординату равную плюс 1;
на противоположной опоре ордината равна нулю.
Линия влияния изгибающего момента М К .
Сечение “К” расположено между опорами: . ГрузF = 1 слева от сечения К, рассматривается равновесие правой части балки.
M K = R B (x) х b или лв M K = лв R B х b - уравнение прямой.
При х = а, лв M K = a х b / L , при x = -d, лв M K = -d х b / L.
Линия влияния, построенная в предположении, что груз F = 1 перемещается слева от сечения К , называется левой ветвью линии влияния. Левая ветвь лв М К представляет лв R B , увеличенную в b раз.
Груз F=1 справа от сечения К, равновесие левой части, .
M K = R A (x) х a = a х (L - x) / L или лв M K = лв R A х a.
При x = a, лв M K = (L - a) х a / L = a х b /L,
при x = L, лв M K = (L - L) х a /L =0 .
Правая ветвь лв М К – это лв R A , увеличенная в а раз.
Характеристики линии влияния М К , сечение “К” расположено между опорами:
состоит из двух ветвей: левая ветвь справедлива от левой опоры до сечения, правая ветвь – от правой опоры до сечения;
ветви отсекают над опорой расстояние от данной опоры до сечения.
Линия влияния поперечной силы Q K
Сечение К расположено между опорами: . Груз F=1 слева от сечения, равновесие правой части.
; лв мQ = -ЛВ R B;
x =a, лв Q K = -a /L; x = -d, лв Q K = d / L.
Груз F=1 справа от сечения К , равновесие левой части .
Q K = R A(x) = 1(L - x) / L; лв Q K = ЛВ R A;
x = a, лв Q K (a) = (L - a) / L = b / L.
Характеристики лв Q K , сечение между опорами:
– состоит из двух параллельных ветвей;
– правая ветвь отсекает над левой опорой ординату равную плюс 1, а левая ветвь под правой опорой отсекает ординату равную минус 1;
– в сечении наблюдается скачок равный 1.
Линия влияния M n
Сечение n расположено на консоли, .
Груз F = 1 слева от сечения n
M n = -Fx 1 ; лв M n = -x 1 ;
x 1 =0 , ЛВ M n = 0 ;
x 1 =-С, ЛВ M n = -С
Груз F = 1 справа от сечения n , равновесие консольной (левой) части балки.
M n = 0 - правая ветвь.
Правая ветвь со стороны опор – нулевая, поскольку рассматривается равновесие той части балки, на которой нагрузка отсутствует. Следовательно, ветвь со стороны опор совпадает с осью линии влияния.
Характеристики ЛВ М n, сечение на консоли :
состоит из двух ветвей;
ветви всегда пересекаются под сечением;
ветвь со стороны опор, заделки всегда нулевая;
ветвь со стороны консоли отсекает на конце консоли ординату, равную расстоянию от сечения до конца консоли.
Линия влияния Q n
Груз F =1 слева от сечения n
Q n(x 1) = - F=- 1 - левая ветвь.
Груз F =1 справа от сечения n , равновесие консольной части.
Q n(x 1) = 0 - правая, нулевая ветвь.
Характеристики ЛВ Q n, сечение на консоли :
состоит из двух параллельных ветвей;
ветвь со стороны опор всегда нулевая;
ветвь на консольной части параллельна оси линии влияния и отсекает в сечении ординату равную минус 1, если консоль расположена слева от опор, и плюс 1 – если консоль справа от опор;
в сечении – скачок равный единице.
2.1.2. Кинематический метод построения линий влияния
Кинематический метод основан на принципе возможных перемещений: если система находится в равновесии, то сумма работ всех сил, действующих на систему, на любых возможных бесконечно малых перемещениях равна нулю.
Суть кинематического метода построения линий влияния заключается в следующем:
отбрасывается связь, усилие в которой определяется, получается механизм с одной степенью свободы;
вместо отброшенной связи прикладывается искомое усилие;
по направлению искомого усилия системе даётся единичное перемещение и строится эпюра перемещений полученного механизма. Построенная эпюра перемещений даёт вид линии влияния;
для получения ординат линии влияния записывается уравнение работ при определённом положении груза F = 1;
характерные ординаты линии влияния определяются из геометрических построений.
Вид эпюр перемещений в соответствии с рис. 2.2 получают для построения линий влияния:
опорной реакции R – отбрасыванием опорного стержня, действие которого заменяется силой R;
изгибающего момента М – в каком-либо сечении врезанием шарнира в заданное сечение, действие нарушенной связи компенсируется приложением двух равных и противоположно направленных моментов;
поперечной силы Q – в каком-либо сечении введением в заданное сечение ползуна, при этом, стержни системы всегда остаются параллельными. Замена нарушенной связи осуществляется приложением к концам получившихся частей бруса двух равных и противоположно направленных сосредоточенных сил.
При расчете строительных конструкций нередко приходится иметь дело с нагрузками, которые могут занимать на ней разные положения. Например, это может быть тележка крана на подкрановой балке, нагрузка проходящего поезда или скопления людей на ферме моста и т.п. Все эти нагрузки представляют собой, как правило, систему сосредоточенных вертикальных грузов с фиксированным расстоянием друг от друга. Предполагается, что нагрузки лишь изменяют свое положение, но не создают динамического эффекта.
Линией влияния (л.в.) какого-либо расчетного усилия (опорной реакции, изгибающего момента или поперечной силы) в заданном сечении балки называют график, отражающий закон изменения этого усилия в зависимости от положения на балке груза F = 1.
Линии влияния позволяют легко определить усилия в сечении, для которого они построены от любых нагрузок в произвольной комбинации.
Проще всего построение л.в. можно осуществить, используя статический способ. Он состоит в том, что из уравнений равновесия находят формулу (закон) изменения усилия в рассматриваемом сечении, для которого строится л.в., при любом положении груза F= 1 . Положение груза определяется в произвольно выбранной системе координат. В балках за начало отсчете принимают обычно левую опору А.
Л.в. опорных реакций V A и V B балки с консолями (рис.2.5).
Из уравнений равновесия можно получить формулы для V A иV В:
Уравнение л.в. V A
0;V А .
l
- 1(l
-x)= 0V А =
Уравнение л.в.V в 
0;
-V B . l
+
1 . x=0V B =
Каждое из этих уравнений - это уравнение прямой линии (xв первой степени). Графики можно построить, определив опорные реакции в двух точках
при x=0V A = 1,V B =0,
при x=lV A = 0,V B =1.
Положительный знак означает, что соответствующая реакция направлена вверх. При положении груза F=1 на дальней от опоры консоли опорная реакция меняет знак, так как направлена вниз.
Чтобы сразу оценить полезность таких графиков, зададимся вопросом, что будет, если на балке в каком то месте стоит не единичный груз, а сосредоточенная сила, например, мешок с цементом 0,5 кн.? Нужно умножить эту силу на ординату линии влияния (например, л.в.V A) под нагрузкой и сразу, без составления уравнений равновесия получить значение опорной реакцииV A .
Линии влияния изгибающего момента и поперечной силы в каком либо сечении балки получают аналогично. Они функционально связаны с линиями влияния
опорных реакций.
Линия влияния изгибающего момента М к 1 в сечении к 1 ,расположенного в пролете балки (рис.2.6).
Рассматривают два случая расположения единичного груза: левее заданного сечения к 1 и правее него. Выражение для момента М к1 получают из уравнения равновесия.Составляют уравнение для той части балки, на которой грузF=1 отсутствует.
1.Пусть груз F=1 расположен
левее сечения к 1 .Рассматривая равновесии
правой части балки получим: М к1 =
=b
.
Эта формула определяет левую ветвь л.в.
М к1 от сечений к 1 до конца
левой консоли
2. Пусть груз F=1 расположен
правее сечения к 1 . Тогда М к1 =
=
a
. Эта формула определяет правую
ветвь л.в. М к1 .
Таким образом, ординаты правой ветви равны увеличенным в а раз ординатам линии влияния опорной реакцииV А, а ординаты левой ветви – ординатам л.в.V B , увеличенным вb раз. Левая и правая ветви пересекаются над сечением к 1 .(рис. 2.6).
Каждая ордината этого графика дает значение изгибающего момента в сечении к 1 , когда грузF=1 располагается на балке в месте, соответствующем этой ординате. Отличие от эпюры моментов состоит и в том, что положительные ординаты откладываются над осью балки.
Итак, построение л.в. изгибающего момента в заданном сечении к двухопорной балки сводится к следующему простому алгоритму:
На левой опоре вверх откладывают отрезок, равный расстоянию от этой опоры до сечения. Этот отрезок можно откладывать в любом удобном масштабе.
Конец отрезка соединяют с правой опорой
На полученную прямую сносят сечение. На рис. 2.6 эта точка показана звездочкой.
Точку пересечения соединяют с левой опорой.
Линия влияния поперечной силы Q к1 (ри2.7)
Опираясь на определение поперечной силы в балках, как проекции всех сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения на нормаль к оси балки, нетрудно получить формулы для левой и правой ветвей л.в.Q л1 .
1. Груз F=1 левее сеченияк
1
: Q к1 = -(V
В)=
-левая ветвь,
2. Груз F=1 правее
сечения к 1: Q к1 =V А =
-
правая ветвь.
Порядок построения л.в. поперечной силы для сечения к сводится к следующим действиям:
На левой опоре вверх откладывают отрезок равный единице (рис.2.7)
на правой опоре вниз откладывают отрезок равный единице.
Соединяют концы отрезков с противоположными опорами.
На полученный параллелограмм сносят сечение.
Если у балки есть консольные участки, то правую ветвь л.в. продолжают по прямой до конца правой консоли, а левую ветвь - до конца левой консоли
Линии влияния момента и поперечной сил для сечения к 2, расположенного на консольной части балки (рис.2.8), легче всего строить, опираясь лишь на определения изгибающего момента и поперечной силы в балке.
Рассмотрим, например, сечение к1 на правой консоли.
Будем задавать положение груза F=1 координатой x с началом отсчета в сечении к 2 , направляя ось вправо (см. рис.2.5)
Линия влияния М к1 . .
1. Груз F=1 левее сечения к 2: М к2 =0 (Рассматривая правую ненагруженную часть консоли устанавливаем на основании определения момента, что М к2 =0)
2.Груз F=1 правее сечения к 2: М к2 =-1 . x .
Линия влияния М к2 показана на рис.2.8
Линия влияния Q к2 (рис.2.9)
1. Груз F=1 левее сечения к 2: Q к2 =0
2. Груз F=1 правее сечения к 2: Q к2 =1
Cравнивая эпюры изгибающих моментов М и поперечных силQcлиниями влияния М иQ, следует отметить, что они принципиально различны.
Ординаты эпюр усилий характеризуют напряженное состояние всей системы, в любом сечении от одной конкретной заданной нагрузки. При другом положении нагрузки расчет нужно проводить заново и строить новые эпюры.
Ординаты линии влияния, наоборот, характеризуют величину и изменение усилия в одном сечении, для которого построена эта линия влияния, в зависимости от положения единичной силы.
Определение усилий по линиям влияния. Загружение линий влияния.
Ординаты различных линий влияния имеют разную размерность. Действительно, чтобы получить по линии влияния опорную реакцию или поперечную силу, нужно умножить эту силу на ординату л.в. под силой и не забыть о ее знаке этой ординаты. Отсюда следует, что ординаты линий влияния опорных реакций и поперечных сил безразмерны. Ординаты линий влияния изгибающих моментов имеют размерность длины.
Линии влияния, построенные от единичного вертикального груза, позволяют найти соответствующее усилие от любой реальной нагрузки, действующей на балку.
Рассмотрим три самые распространенные случая нагружения.
1.Влияние неподвижной цепочки сосредоточенных грузов (рис.2.10).
S = F 1 y 1
+ F 2
y 2 +
…+F n
y n =
(1.2)
Следовательно, надо сосредоточенные внешние нагрузки умножить на ординаты л.в., расположенные под этими нагрузками (со своим знаком!) и результаты сложить,
2. Влияние неподвижной равномерно распределенной нагрузки, интенсивностью q(рис.2.11).э
Рис.2.11
S=
.
(2.2)
Буквой
обозначена площадь линии влияния под
нагрузкой.
Итак, чтобы определить по л.в. усилие от равномерно распределенной нагрузки интенсивность нагрузки qнужно умножить на площадь л.в. под нагрузкой (площадь понимается алгебраически - учитываются знаки участков л.в.).
3.Влияние сосредоточенного момента (рис.2.12)
Задача сводится к загружению сосредоточенными силами, если момент
представить в виде пары сил с плечом, равным единице. В этом случае каждая сила будет равна по величине М.
Влияние момента записывается как для цепочки грузов
Рис.2.12
Это выражение можно переписать так
S=M
.
Из рис.2.12 видно, что второй (дробный)
множитель равен
-
тангенсу угла наклона л.в. к оси балки
в месте приложения сосредоточенного
момента, т.е
S=M
.
(3.2)
Чтобы учесть влияние сосредоточенного
момента нужно умножить его на тангенс
угла наклона л.в. к оси балки в сечении,
где он действует. При этом принимается
следующее правило знаков: момент,
действующий по часовой стрелке, считается
положительным; угол
,
отсчитываемый против часовой стрелки,
принят положительным.
На
рис. 2.12 угол
положительный.
Линии влияния расчетных усилий в многопролетных шарнирных балках.
Чтобы построить л.в. в многопролетной шарнирной балке, необходимо, прежде всего, построить поэтажную схему, схему взаимодействия отдельных ее элементов. Из поэтажной схемы следует, что единичная сила оказывает влияние на усилие в сечении только тогда, когда она находится на “этаже”, на котором это сечение задано, или на более высоких “этажах”.
Поэтому построение л.в. проводят в два этапа.
1.Строят л.в. на том этаже, на котором задано сечение по правилам построения л.в. для одиночной балки.
2.Учитывают влияние верхних этажей.
Построим, например, л.в. изгибающего момента для сечения I–Iв балке, показанной на рис.2..13, на котором изображена и поэтажная схема.
Так как сечение задано на основной балке АС, то строим л.в. момента как для однопролетной балки с консолью, руководствуясь правилом, изложенным на стр.20.
На втором этапе находятся нулевые точки л.в.на верхних “этажах”, которые и позволяют довести решение задачи до конца. При перемещении груза F=1 по балке второго “этажа” СЕ вправо опорная реакция на опоре С будет линейно уменьшаться и, следовательно будут уменьшаться давление на нижний этаж. Когда единичная сила, займет положение над опорой на "землю"D,то она будет воспринята этой опорой, опорная реакция на опоре С будет равна нулю, давление на нижний этаж передаваться не будет и момент в сеченииI–Iбудет равен нулю. Проведя прямую линию, соединяющую конец отрезка на консоли ВС и найденную нулевую точкуD
и продолжая ее до конца консоли второго этажа Е, получают второй участок л.в.
Поднимем груз F= 1 на третий “этаж”. Рассуждая аналогичным образом, устанавливаем, что при положении груза над опоройFопорная реакция на опоре Е будет равна нулю и нижние “этажи” выключаются из работы., то есть М I - I равен нулю. Соединим конец отрезка л.в на конце консоли второго “этажа” Е с нулем на опореF, закончим построение л.в. М I - I . (рис2.13с).
Все ординаты л.в. определяются из подобия треугольников. Опорными значениями служат ординаты на том этаже, на котором задано сечение.
Изложенные правила и приемы позволяют легко построить и л.в. поперечной силы Qв том же сеченииI–I.(рис.2.13d).
Построенные л.в. позволяют найти расчетные усилия в сечении I–Iот любой заданной нагрузки.
Найдем, например, М I - I иQ I - I от нагрузки, показанной на рис.2.13е.
Q I-I - 1.928 кН.
Пример решения задачи №1 контрольного задания.
Задана двухпролетная шарнирная балка и действующая на нее нагрузка(Рис.2.14)
Требуется
1.Построить эпюры М и Q.
2.Построить линии влияния R B ,М К и Q К для сеченияк и определить по ним опорную реакцию R В,М К, и Q К от заданной нагрузки.
1. Построение эпюр М и Q.
1.1 Выделяя "главные балки" (АВ и ДЕ) и "второстепенную" (СД),строят "поэтажную схему"(рис.2.15)
1.2 Начинают расчет с балки верхнего этажа (рис.2.16)
Балка CD /
Силу F 2 при расчете балки СД не учитываем, так как она на изгиб балки не влияет. Равномерно распределенная нагрузка оказывает одинаковое давление на опоры С иD. Поэтому
V C = V D = ql /2 = 2,4 . 3/2=3,6kH
Нужно твердо знать формулу для вычисления изгибающего момента в середине пролета равномерно загруженной балки
M max =ql 2 /8 = 2,4 . 3 2 /8 = 2,7 кНм.
1.3 Последовательно рассчитывают балки нижнего этажа.
Балка АВ (рис.2.17)
Опорные реакции определяют из условий равновесия
На конце левой консоли действует сосредоточенная сила равная сумме двух сил: силы F 2 = 2 кН и перевернутой опорной реакции балки верхнего этажаV с = 3.6 кН.
М B =0; -6-14 . 2 + V A 4 + (2+3,6) . 1,5=0
V A = 6,40 кН;
M A
= 0: - 6 +14
-V B
+ 5,6
=0
Проверка
y=0; 6,40-14 + 13,2-(2+3,6)=19,6 – 19,6 =0
Подсчитывают М и Q в характерных сечениях. Изгибающий момент М в каком либо сечении равен сумме моментов всех сил, действующих по одну сторону от этого сечения. Поперечная сила в каком либо сечении равна сумме проекций на нормаль к оси балки всех сил, лежащих по одну сторону от этого сечения.
М A =- 6 кНм, М c ередина пролета АВ =- 6+6,4 . 2 = 6,80 кНм;
М К = - 6+ 6,4
-
14
3кНм
М B = - (2+3,6) . 1,5 = - 8,40 кНм.
Q прав A =V A =6,40кН, Q прав серед.пролета АВ =V A = 6,40кН;
Q лев середина пролета АВ = 6,40-14 = -7,60кН;Q K = 6,4 – 14 = - 7,60 кН
Q прав B =-7,60+13,20=5,6 кН
Эпюру изгибающих моментов строим со стороны растянутых волокон и знаков можно не ставить. На эпюре поперечных сил знаки ставят обязательно.
Балка DE (рис. 2 .18)
Эпюры внутренних усилий М и Q в консольной балке удобно строить, начиная со свободного конца консоли, не определяя опорных реакций.
Рис.2.18
На участке, где действует равномерно распределенная нагрузка, моменты можно вычислять в трех точках: по концам и в середине участка. При вычислении изгибающего момента равномерно распределенная нагрузка заменяется равнодействующей.
М середине консоли =-3,6 . 1,25 - 2,4 . 1,25 . 0,625=- 6,375 кНм
М E =-3,6 . 2,5-2,4 . 2,5 . 1,25=- 16,50 кНм
Q E =-3,6-2,4 . 2,5=-9,6 кН.
Составляя эпюры, построенные для отдельных элементов, изображая ординаты в одном, удобном масштабе, строят окончательные эпюры М и Q.(Рис.2.19)
2. Построение линий влияния и определение по ним V В , M k и Q k от
заданной нагрузки.
Ориентируясь на «поэтажную» схему строят л.в. для балки АВ, а затем учитывают влияние верхнего этажа СD (рис.2.20).
Построение л.в.М л. на основной балке АВ.
На левой опоре вверх откладывают отрезок длиной, равной расстоянию от опоры А до сечения к.
Конец отрезка соединяют с правой опорой.
На полученную линию сносят сечение.
Точку пересечения соединяют с левой опорой.5
Левую и правую ветви л.в. продолжают до конца левой и правой консольной части балки
Если единичный груз находится на верхнем этаже, то давление на основную балку передается только через опору С. Когда груз расположится на опоре D, то опорная реакцияV c будет равна нулю и основная балка выключается из работы.. Поэтому влияние верхнего этажа на расчетные усилия в сечениик отражается прямой, соединяющей конец отрезка (ординаты) л.в. в точке С с точкойD.
На участке DEординаты обеих л.в.равны нулю: нагрузка, действующая на нижнем этаже не влияет на напряженное состояние другого нижнего этажа (АВ)
Линии влияния М и Qпоказаны на рис.2.20.
Определение М k и Q k по линиям влияния.
По правилам, изложенным на стр. 22-23, найдем расчетные величины усилий в сечении к от нагрузки, изображенной на рис.2.14.
Сосредоточенные силы умножаем на ординаты л.в. под этими силами, интенсивность нагрузки qумножаем на площадь л.в. под нагрузкой и сосредоточенный момент - на тангенс угла наклона л.в. к оси балки в месте приложения момента.
M k = - 6 . 0,30,8+14 . 0,75+2 (-0,9375)+2,4 (-0,9375 . 32) = 3,0kHм
Q k =-6 (-0,20,8) + 14 (-0,5) + 2 (-0,375) + 2,4 (-0,375 . 32) = -7,6 kH
Сравнивая полученные значения с величинами, полученными при построении эпюр, убеждаемся в их полном совпадении.
Рассмотрим построение линий влияния в многопролетной балке на конкретном примере (рис. 11а ).
Линия влияния реакций опор, изгибающих моментов и поперечных сил в каком-либо сечении в многопролетной статически определимой балке удобнее строить с использованием ее поэтажной схемы, которая дает наглядное представление о взаимодействии пролетов (рис.11б ).
Рис. 11. Линии влияния в многопролетной балке
Подвесные балки BC (балка-вставка) и KLT относительно основных двух балок AB и CDEK являются передаточными и испытывают нагрузку только тогда, когда она действует непосредственно на эти балки.
При движении единичного груза по подвесной балке KLT , возникающая опорная реакция R k будет оказывать давление на балку CDEK , изменяя в частности, опорные реакции R B и R E . Как только единичный груз достигнет
опоры L , опорная реакция R L = 1, а опорная реакция R K = 0, а, следовательно, давление на балку CDEK будет отсутствовать (R B = 0, R E = 0).
При движении единичного груза по основной балке CDEK последняя никакого давления на подвесные балки KLT и BC не оказывает.
Используя подобные рассуждения, можно сформулировать основные принципы построения линий влияния в многопролетной балке:
1. Для многопролетной балки строим поэтажную схему.
2. Для элементарной балки, в которой задано сечение, строим линии влияния, используя рис. 10.
3. Линии влияния достраиваются только на вышерасположенные балки по следующим правилам:
Под соединительными шарнирами линии влияния всегда имеют перелом;
Под следующей опорой вышерасположенных балок вселинии влияния имеют нулевые ординаты;
В пределах каждой вышерасположенной балки линии влияния прямолинейны.
Ординаты линии влияния на опорах второстепенных балок (шарнирах) определяются из отношений сходственных сторон подобных треугольников.
Для балки, изображенной на рис.11, построим линии влияния опорной реакции R E и линии влияния изгибающих моментов и поперечных сил в сечениях 1 и 2 .
Линия влияния опорной реакции R E
Опора R E принадлежит балке CDEK - это двух опорная балка со свисающими консолями. В соответствии с рис. 8 в отложим единицу под опорой E , соединим с нулем на опоре D и продлим влево и вправо на величину консольных вылетов. Ординаты линии влияния в сечениях C и K балки CDEK определим из отношений сторон подобных треугольников. Достраиваем линию влияния на вышерасположенные балки BC и KLT . Соединяем ординату линии влияния в сечении C с нулем в шарнире B , а ординату линии влияния в сечении K с нулем на опоре L и продлеваем вправо на величину консольного вылета LT . Ординату линии влияния в сечении T определим из отношений сторон подобных треугольников.
Внутренние и внешние (опоры) связи
Связи в расчетных схемах инженерных конструкций строительной механики, которые соединяют друг с другом отдельные ее части (стержни, пластины и т.д.) называются внутренними .
Виды внутренних связей:
2) отбросить более сложную часть (где больше сил) и для дальнейшего расчета используют более простую часть стержня;
3) составить уравнения равновесия;
4) решая полученные уравнения, определить внутренние усилия M, Q, N ;
5) построить эпюры M, Q, N
по найденным значениям внутренних усилий.
Метод совместных сечений
Данный метод применяется при расчете составных систем.
Например, при расчете трехдисковой рамы (рис. 2, а) проводятся три совместных сечения I, II, III . В точках рассечения междисковых связей появляются 9 реакций (рис. 2, б): реакции в опорах R 1 , R 2 , H и реакции X 1 , X 2 , X 3 ,Y 1 , Y 2 , Y 3 . Величины данных реакций определяются посредством составления уравнений равновесия.
Рисунок 2. Метод совметсных сечений
1) провести через несколько точкек для рассматриваемой системы разрезы, деля данную конструкцию на составные части;
2) отметить возникшие реакции в рассеченных связях;
3) для каждой полученной составной части диска составить уравнения равновесия;
5) построить эпюры для каждой составной части заданной конструкции;
6) построить совместные эпюры для всей системы.
Метод вырезания узла
Данный метод применяется при расчете внутренних усилий в простых системах.
Алгоритм расчета данным методом:
1) можно вырезать узел только с двумя стержнями , сходящимися в нем, внутренние усилия в которых неизвестны;
2) продольные силы, действующие в узле, проецируются на соответствующие оси (для плоской системы x и y);
3) решая составленные уравнения, определяют неизвестные внутренние усилия.
Метод замены связей
Данный метод применяется при определении внутренних усилий в сложных статически определимых систем, для расчета которых использовать выше перечисленные способы трудно.
Алгоритм расчета данным методом:
1) сложная система преобразуется в более простую посредством перемещения связей;
2) из условия равенства изначально заданной и заменяющей систем определяется внутреннее усилие в переставленной связи;
3) полученная система рассчитывается одним из выше описанных способов.
Примеры задач с решениями.
С. Задача 1
Подробнее: С. Задача 1
С. Задача 2
Построить эпюры внутренних усилий для балки.
Подробнее: С. Задача 2
С. Задача 3
Построить эпюры внутренних усилий для однопролетной ломаной балки.
Подробнее: С. Задача 3
С. Задача 4
Построить эпюры внутренних усилий для консольной ломаной балки.
Подробнее: С. Задача 4
Примеры с решениями.
С. Задача 1
Построить эпюры внутренних усилий для балки.
Однопролетная балка
1) Определяем реакции в опорах:
Т.к., значение реакции R A получилось отрицательным, то меняем ее направление на расчетной схеме (новое направление обозначаем пунктирной линией), учитывая в дальнейшем новое направление и положительное значение этой реакции.
Проверка:
2) Строим эпюру изгибающих моментов М (построение эпюры ведется с любого "свободного" конца балки):
Q . Производим построение эпюры поперечных сил (Q ), используя формулу Журавского:
где М пр, М лев – ординаты изгибающего момента на правом и левом концах рассматриваемого участка балки;
l – длина рассматриваемого участка балки;
Q – величина распределенной нагрузки на рассматриваемом участке.
Знак «±» в формуле ставится в соответствии с правилом знаков поперечных сил , рассмотренным выше (рисунок 1).
С. Задача 2
Построить эпюры внутренних усилий для составной рамы.
Разделяем составную раму на две части: вспомогательную и основную (статически определимую и геометрически неизменяемую ).
Расчет начинаем со вспомогательной рамы.
Составная рама
Вспомогательная часть рамы
1) Определяем реакции в опорах:
Проверка:
2) Строим эпюру изгибающих моментов М:
3) Строим эпюру поперечных сил Q :
Эпюры внутренних усилий для вспомогательной рамы
4) Строим эпюру продольных сил N :
Рассматриваем узел G :
Вырезание узла для
Рассмотрим одну из наиболее простых статически определимых комбинированных систем (рис. 11.11, а). Вначале построим линию влияния усилия в затяжке 1-2. Для этого проведем сечение I-I и рассмотрим равновесие левой отсе-
Рис. 11.11
ченной части. Предполагая, что груз находится справа от сечения I-I, из равновесия левой части получим
откуда найдем
Линия влияния при грузе, находящемся правее сечения I-I, имеет такое же очертание, как линия влияния опорной реакции R A , которая представляет собой треугольник с ординатой над левой опорой, равной единице. В нашем случае но уравнению (11.3) над левой опорой необходимо отложить ординату 1/(2/) (рис. 11.11, б). Но полученная правая прямая действительна только на протяжении от опоры В до шарнира С. Под точкой С пересекутся левая и правая прямые. Ордината над точкой С будет //(4/). Таким образом, получим л. в. Я в виде треугольника (см. рис. 11.11,6).
Для определения изгибающего момента в точке k проведем в непосредственной близости от стойки сечение II-И. Из равновесия левой части при грузе правее сечения найдем
Итак, ординаты правой прямой состоят из ординат двух прямых: прямой, определяющей линию влияния R A в масштабе (ik, и прямой, являющейся линией влияния распора в масштабе /. Ордината в середине пролета будет
но aft = 1/4 , поэтому момент М* при единичном грузе, расположенном в середине пролета, равен -1/8; если груз Р = 1 стоит в точке k , то
По этим данным построена л. в. (рис. 11.11, в). На рис. 11.11, г показана линия влияния поперечной силы. Усилие в затяжке 1-2 проецируется на сечение k в ноль, поэтому величина Н не влияет на величину поперечной силы Qj,. Ее вид будет такой же, как для простой балки.
В рассмотренной линии влияния момента положение нулевой точки легко определить графически. На рис. 11.12 показано направление равнодействующих сил, приложенных к левой и правой частям, когда единичный груз находится в точке, которой соответствует равенство нулю момента М*. Каждая из равнодействующей приложена в точке пересечения горизонтальной силы Н и соответствующей опорной реакции. Равнодействующая, приложенная к правой части, обязательно пройдет через шарнир С, так как момент в шарнире равен нулю. Равнодействующая сил, приложенных к левой части, должна пройти через точку k, так как только в этом случае М* = 0. Там, где пересекутся две равнодействующие, и должен расположиться груз Р - 1. Под этим грузом и будет лежать нулевая точка л. в. М/,.
При расчете статически неопределимых комбинированных систем обычно применяется метод сил, по которому линия влияния лишнего неизвестного определяется как линия прогибов от единичного значения неизвестного, деленная на масштаб 5ц (см. п. 6.12).
Рис. 11.12
Особенностью расчета в этом случае является вычисление масштаба 5ц с учетом изгиба в балке жесткости и осевых сил в элементах цепи:
Все остальные вычисления проводятся по обычной схеме.
Рассмотрим систему, которая приведена в примере 2 предыдущего параграфа. Масштаб 6 И = 1839/(?/).
Для построения линии прогибов балки, по которой движется единичная сила Р = 1 (рис. 11.13, а), необходимо вычислить прогибы от трех единичных сил, которые передаются на балку от действия силы Х = 1 (рис. 11.13, б). Эту задачу можно решить, применяя метод фиктивных сил (см. и. 5.11).
Формула подсчета фиктивного груза имеет вид
При расстояниях между узлами, равных S n = 5, |+ | = d = 6, и при EJ = const получим
По эпюре М„ (см. рис. 11.9) найдем
Фиктивная балка для данной задачи представляет собой простую двухопорную балку. Найдя фиктивные моменты от загружения балки фиктивными грузами W (см. рис. 11.13, б), получим линию прогибов, которая изображена на рис. 11.13, в. При построении Мф мы придерживались принятого ранее правила знаков: 1) грузы W направляли в сторону растянутого волокна в эпюре М (которая была сверху); 2) эпюру Мф от грузов W, направленных вверх, строили также со стороны растянутого волокна. В результате Мф отложены вверх. Это означает, что прогибы от Х = 1 направлены вверх, т.е. в противоположном направлении от груза Р = 1,
Рис. 11.13
ОТ которого строится ЛИНИЯ ВЛИЯНИЯ. Поэтому эпюра Мф имеет знак «минус». В соответствии с формулой (11.3) получим л. в. (рис. 11.13, г); для этого все ординаты эпюры Мф разделим на 8ц и сменим знак на обратный.
В тех случаях, когда узлы цепи гибкой арки лежат на узлах квадратной параболы, линии влияния в других подвесках будут совпадать с л. в. Х. Рассмотрим равновесие произвольного узла гибкой арки, показанного на рис. 11.14. Усилия в элементах цепи обозначим N„ и М„ +1 . Ввиду того что цепь сжата, обе силы N направлены к узлу. Усилие в стойке направлено вниз. Составим сумму проекций на горизонтальную ось:
Из этого равенства следует, что узел п уравновешивается двумя проекциями сил N, которые равны распору. Отсюда найдем
Проецируя все силы на вертикаль, запишем
Подставляя сюда значения сил N согласно равенству (11.4) и определяя усилие в стойке, найдем
Построим л. в. распора Я. Из равенства (11.6) найдем
Таким образом, линия влияния распора Я будет иметь такой же вид, как и л. в. Х. Все ординаты л. в. Я получатся из ординат л. в. Х путем деления их на разность тангенсов углов наклона примыкающих к узлу п элементов цени.
Рассмотрим теперь случай, когда узлы гибкой арки располагаются на оси квадратной параболы. В этом случае разность тангенсов углов наклона есть величина постоянная и равная 8fd/l 2 , где d - расстояние между подвесками. Поэтому из выражения (11.6) получим
Из выражений (11.4) и (11.8) следует, что построенная л. в. Х { подобна линиям влияния усилий N и распора Я. Для перехода от л. в. Х { к л. в. N надо все ординаты л. в. Х разделить на соответствующий косинус угла (р, а для получения л. в. Я - умножить на
l 2 /(8fd).
Построим теперь линию влияния изгибающего момента в сечении под первой стойкой по формуле Mk = Ml +МХ в этой точке М = -9 (см. рис. 11.9).
На рис. 11.15 показаны комбинированная система, линия влияния Ml в основной системе и окончательная линия влияния момента в точке k.
Вычисления целесообразно проводить в табличной форме (табл. 11.3).
Загрузка...
