Formula pentru înălțimea unei piramide triunghiulare. Bazele geometriei: o piramidă obișnuită este

Acest tutorial video va ajuta utilizatorii să-și facă o idee despre tema piramidei. Piramida corectă. În această lecție ne vom familiariza cu conceptul de piramidă și îi vom da o definiție. Să luăm în considerare ce este o piramidă obișnuită și ce proprietăți are. Apoi demonstrăm teorema despre suprafața laterală a unei piramide regulate.

În această lecție ne vom familiariza cu conceptul de piramidă și îi vom da o definiție.

Luați în considerare un poligon A 1 A 2...A n, care se află în planul α și punctul P, care nu se află în planul α (Fig. 1). Să conectăm punctele P cu vârfuri A 1, A 2, A 3, … A n. Primim n triunghiuri: A 1 A 2 R, A 2 A 3 Rși așa mai departe.

Definiție. Poliedru RA 1 A 2 ...A n, alcătuit din n-pătrat A 1 A 2...A nȘi n triunghiuri RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 este numit n-piramida cărbunelui. Orez. 1.

Orez. 1

Luați în considerare o piramidă patruunghiulară PABCD(Fig. 2).

R- vârful piramidei.

ABCD- baza piramidei.

RA- coasta laterala.

AB- coasta de baza.

Din punct de vedere R să scăpăm perpendiculara RN la planul de bază ABCD. Perpendiculara desenată este înălțimea piramidei.

Orez. 2

Suprafata intreaga Piramida constă dintr-o suprafață laterală, adică aria tuturor fețelor laterale și aria bazei:

S plin = S lateral + S principal

O piramidă se numește corectă dacă:

• baza sa este un poligon regulat;
• segmentul care leagă vârful piramidei de centrul bazei este înălțimea acesteia.

Explicație folosind exemplul unei piramide patruunghiulare obișnuite

Luați în considerare o piramidă patruunghiulară obișnuită PABCD(Fig. 3).

R- vârful piramidei. Baza piramidei ABCD- un patrulater regulat, adică un pătrat. Punct DESPRE, punctul de intersecție al diagonalelor, este centrul pătratului. Mijloace, RO este înălțimea piramidei.

Orez. 3

Explicaţie: în corect nÎntr-un triunghi, centrul cercului înscris și centrul cercului circumscris coincid. Acest centru se numește centrul poligonului. Uneori se spune că vârful este proiectat în centru.

Se numește înălțimea feței laterale a unei piramide regulate trasă din vârful acesteia apotema si este desemnat h a.

1. toate marginile laterale ale unei piramide regulate sunt egale;

2. fetele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente.

Vom da o dovadă a acestor proprietăți folosind exemplul unei piramide patruunghiulare obișnuite.

Dat: PABCD- piramida patruunghiulara regulata,

ABCD- pătrat,

RO- inaltimea piramidei.

Dovedi:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Vezi Fig. 4.

Orez. 4

Dovada.

RO- inaltimea piramidei. Adică drept RO perpendicular pe plan ABC, și deci direct SA, VO, SOȘi DO culcat în ea. Deci triunghiuri ROA, ROV, ROS, ROD- dreptunghiular.

Luați în considerare un pătrat ABCD. Din proprietățile unui pătrat rezultă că AO = VO = CO = DO.

Apoi triunghiurile dreptunghiulare ROA, ROV, ROS, ROD picior RO- general si picioare SA, VO, SOȘi DO sunt egale, ceea ce înseamnă că aceste triunghiuri sunt egale pe două laturi. Din egalitatea triunghiurilor rezultă egalitatea segmentelor, RA = PB = RS = PD. Punctul 1 a fost dovedit.

Segmente ABȘi Soare sunt egale pentru că sunt laturile aceluiași pătrat, RA = PB = RS. Deci triunghiuri AVRȘi VSR - isoscel și egal pe trei laturi.

Într-un mod similar găsim că triunghiurile ABP, VCP, CDP, DAP sunt isoscele și egale, așa cum trebuie dovedit la paragraful 2.

Aria suprafeței laterale a unei piramide regulate este egală cu jumătate din produsul dintre perimetrul bazei și apotema:

Pentru a demonstra acest lucru, să alegem o piramidă triunghiulară obișnuită.

Dat: RAVS- piramida triunghiulara regulata.

AB = BC = AC.

RO- înălțime.

Dovedi: . Vezi fig. 5.

Orez. 5

Dovada.

RAVS- piramida triunghiulara regulata. Acesta este AB= AC = BC. Lăsa DESPRE- centrul triunghiului ABC, Apoi RO este înălțimea piramidei. La baza piramidei se află un triunghi echilateral ABC. observa asta .

Triunghiuri RAV, RVS, RSA- egal triunghiuri isoscele(după proprietate). U piramidă triunghiulară trei fețe laterale: RAV, RVS, RSA. Aceasta înseamnă că aria suprafeței laterale a piramidei este:

Partea S = 3S RAW

Teorema a fost demonstrată.

Raza unui cerc înscris la baza unei piramide patrulatere obișnuite este de 3 m, înălțimea piramidei este de 4 m Aflați aria suprafeței laterale a piramidei.

Dat: piramidă patruunghiulară regulată ABCD,

ABCD- pătrat,

r= 3 m,

RO- inaltimea piramidei,

RO= 4 m.

Găsi: partea S. Vezi fig. 6.

Orez. 6

Soluţie.

Conform teoremei dovedite, .

Să găsim mai întâi partea laterală a bazei AB. Știm că raza unui cerc înscris la baza unei piramide patruunghiulare regulate este de 3 m.

Apoi, m.

Aflați perimetrul pătratului ABCD cu latura de 6 m:

Luați în considerare un triunghi BCD. Lăsa M- mijlocul lateral DC. Deoarece DESPRE- mijloc BD, Acea (m).

Triunghi DPC- isoscel. M- mijloc DC. Acesta este, RM- mediana, și deci înălțimea în triunghi DPC. Apoi RM- apotema piramidei.

RO- inaltimea piramidei. Apoi, drept RO perpendicular pe plan ABC, și deci direct OM, culcat în ea. Să găsim apotema RM dintr-un triunghi dreptunghic ROM.

Acum putem găsi suprafața laterală a piramidei:

Răspuns: 60 m2.

Raza cercului circumscris bazei unei piramide triunghiulare regulate este egală cu m Aria suprafeței laterale este de 18 m2. Aflați lungimea apotemului.

Dat: ABCP- piramida triunghiulara regulata,

AB = BC = SA,

R= m,

Latura S = 18 m2.

Găsi: . Vezi fig. 7.

Orez. 7

Soluţie.

Într-un triunghi dreptunghic ABC Este dată raza cercului circumscris. Să găsim o parte AB acest triunghi folosind legea sinusurilor.

Cunoscând latura unui triunghi regulat (m), găsim perimetrul acestuia.

Prin teorema pe suprafața laterală a unei piramide regulate, unde h a- apotema piramidei. Apoi:

Răspuns: 4 m.

Deci, ne-am uitat la ce este o piramidă, ce este o piramidă obișnuită și am demonstrat teorema despre suprafața laterală a unei piramide obișnuite. În lecția următoare ne vom familiariza cu piramida trunchiată.

Bibliografie

1. Geometrie. Clasele 10-11: manual pentru elevi institutii de invatamant(nivel de bază și de profil) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Ed. a 5-a, rev. si suplimentare - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.
2. Geometrie. Clasa 10-11: Manual pentru invatamantul general institutii de invatamant/ Sharygin I.F. - M.: Gutarda, 1999. - 208 p.: ill.
3. Geometrie. Nota a 10-a: Manual pentru instituţiile de învăţământ general cu studiu aprofundat şi de specialitate la matematică /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Ed. a VI-a, stereotip. - M.: Butard, 008. - 233 p.: ill.

1. Portalul de internet „Yaklass” ()
2. Portalul de internet „Festival idei pedagogice„Primul septembrie” ()
3. Portalul de internet „Slideshare.net” ()

Teme pentru acasă

1. Poate un poligon regulat să fie baza unei piramide neregulate?
2. Demonstrați că muchiile disjunse ale unei piramide regulate sunt perpendiculare.
3. Aflați valoarea unghiului diedrului de pe latura bazei unei piramide patruunghiulare regulate dacă apotema piramidei este egală cu latura bazei acesteia.
4. RAVS- piramida triunghiulara regulata. Construiți unghiul liniar al unghiului diedric de la baza piramidei.

Tutorial video 2: Problema piramidei. Volumul piramidei

Tutorial video 3: Problema piramidei. Piramida corectă

Lectura: Piramida, baza ei, nervurile laterale, înălțimea, suprafața laterală; piramidă triunghiulară; piramida regulata

Piramida, proprietățile sale

Piramidă este un corp tridimensional care are un poligon la bază și toate fețele sale sunt formate din triunghiuri.

Un caz special al unei piramide este un con cu un cerc la bază.

Să ne uităm la elementele principale ale piramidei:

Apotema- acesta este un segment care leagă vârful piramidei cu mijlocul marginii inferioare a feței laterale. Cu alte cuvinte, aceasta este înălțimea marginii piramidei.

În figură puteți vedea triunghiuri ADS, ABS, BCS, CDS. Dacă te uiți cu atenție la nume, poți vedea că fiecare triunghi are o literă comună în numele său - S. Adică, aceasta înseamnă că toate fețele laterale (triunghiurile) converg într-un singur punct, care se numește vârful piramidei. .

Segmentul OS care leagă vârful cu punctul de intersecție al diagonalelor bazei (în cazul triunghiurilor - în punctul de intersecție al înălțimilor) se numește înălțimea piramidei.

O secțiune diagonală este un plan care trece prin vârful piramidei, precum și una dintre diagonalele bazei.

Deoarece suprafața laterală a piramidei este formată din triunghiuri, atunci pentru a găsi suprafata totala suprafața laterală, trebuie să găsiți zona fiecărei fețe și să le adăugați. Numărul și forma fețelor depind de forma și dimensiunea laturilor poligonului care se află la bază.

Se numește singurul plan dintr-o piramidă care nu aparține vârfului său bază piramide.

În figură vedem că baza este un paralelogram, dar poate fi orice poligon arbitrar.

Proprietăți:

Luați în considerare primul caz al unei piramide, în care are muchii de aceeași lungime:

• Un cerc poate fi desenat în jurul bazei unei astfel de piramide. Dacă proiectați vârful unei astfel de piramide, atunci proiecția acesteia va fi situată în centrul cercului.
• Unghiurile de la baza piramidei sunt aceleași pe fiecare față.
• În acest caz, o condiție suficientă pentru faptul că un cerc poate fi descris în jurul bazei piramidei și, de asemenea, că toate marginile sunt de lungimi diferite, poate fi considerată aceleași unghiuri între bază și fiecare margine a fețelor.

Dacă întâlniți o piramidă în care unghiurile dintre fețele laterale și bază sunt egale, atunci următoarele proprietăți sunt adevărate:

• Veți putea descrie un cerc în jurul bazei piramidei, al cărui vârf este proiectat exact în centru.
• Dacă desenați fiecare margine laterală a înălțimii la bază, atunci acestea vor fi de lungime egală.
• Pentru a găsi suprafața laterală a unei astfel de piramide, este suficient să găsiți perimetrul bazei și să îl înmulțiți cu jumătate din lungimea înălțimii.
• S bp = 0,5P oc H.
• Tipuri de piramide.
• În funcție de poligonul care se află la baza piramidei, acestea pot fi triunghiulare, patrulatere etc. Dacă la baza piramidei se află un poligon regulat (cu laturi egale), atunci o astfel de piramidă va fi numită obișnuită.

Piramidă triunghiulară regulată

Continuăm să luăm în considerare sarcinile incluse în examenul unificat de stat la matematică. Am studiat deja problemele în care este dată condiția și se cere să găsim distanța dintre două puncte date sau un unghi.

O piramidă este un poliedru, a cărui bază este un poligon, fețele rămase sunt triunghiuri și au un vârf comun.

O piramidă obișnuită este o piramidă la baza căreia se află un poligon regulat, iar vârful său este proiectat în centrul bazei.

O piramidă patruunghiulară obișnuită - baza este un pătrat. Vârful piramidei este proiectat în punctul de intersecție al diagonalelor bazei (pătrat).

ML - apotema
∠MLO - unghi diedru la baza piramidei
∠MCO - unghi dintre marginea laterală și planul bazei piramidei

În acest articol ne vom uita la problemele pentru a rezolva o piramidă obișnuită. Trebuie să găsiți un element, suprafața laterală, volumul, înălțimea. Desigur, trebuie să cunoașteți teorema lui Pitagora, formula pentru aria suprafeței laterale a unei piramide și formula pentru găsirea volumului unei piramide.

In articol „” prezintă formulele necesare pentru rezolvarea problemelor de stereometrie. Deci, sarcinile:

SABCD punct O- centrul bazei,S vârf, ASA DE = 51, A.C.= 136. Aflați marginea lateralăS.C..

În acest caz, baza este un pătrat. Aceasta înseamnă că diagonalele AC și BD sunt egale, se intersectează și sunt tăiate în două de punctul de intersecție. Rețineți că într-o piramidă obișnuită, înălțimea scăzută din vârful acesteia trece prin centrul bazei piramidei. Deci SO este înălțimea și triunghiulSOCdreptunghiular. Apoi, conform teoremei lui Pitagora:

Cum se extrage rădăcina din un numar mare.

Raspuns: 85

Decideți singuri:

Într-o piramidă patruunghiulară obișnuită SABCD punct O- centrul bazei, S vârf, ASA DE = 4, A.C.= 6. Găsiți marginea laterală S.C..

Într-o piramidă patruunghiulară obișnuită SABCD punct O- centrul bazei, S vârf, S.C. = 5, A.C.= 6. Aflați lungimea segmentului ASA DE.

Într-o piramidă patruunghiulară obișnuită SABCD punct O- centrul bazei, S vârf, ASA DE = 4, S.C.= 5. Aflați lungimea segmentului A.C..

SABC R- mijlocul coastei B.C., S- de sus. Se știe că AB= 7, a S.R.= 16. Aflați aria suprafeței laterale.

Aria suprafeței laterale a unei piramide triunghiulare obișnuite este egală cu jumătate din produsul dintre perimetrul bazei și apotema (apotema este înălțimea feței laterale a unei piramide regulate extrasă din vârful acesteia):

Sau putem spune acest lucru: aria suprafeței laterale a piramidei este egală cu suma ariilor celor trei fețe laterale. Fețele laterale dintr-o piramidă triunghiulară regulată sunt triunghiuri de arie egală. În acest caz:

Raspuns: 168

Decideți singuri:

Într-o piramidă triunghiulară regulată SABC R- mijlocul coastei B.C., S- de sus. Se știe că AB= 1, a S.R.= 2. Aflați aria suprafeței laterale.

Într-o piramidă triunghiulară regulată SABC R- mijlocul coastei B.C., S- de sus. Se știe că AB= 1, iar aria suprafeței laterale este 3. Aflați lungimea segmentului S.R..

Într-o piramidă triunghiulară regulată SABC L- mijlocul coastei B.C., S- de sus. Se știe că SL= 2, iar aria suprafeței laterale este 3. Aflați lungimea segmentului AB.

Într-o piramidă triunghiulară regulată SABC M. Aria unui triunghi ABC este 25, volumul piramidei este 100. Aflați lungimea segmentului DOMNIȘOARĂ.

Baza piramidei este un triunghi echilateral. De aceea Meste centrul bazei șiDOMNIȘOARĂ- inaltimea unei piramide regulateSABC. Volumul piramidei SABC este egal cu: vizualizați soluția

Într-o piramidă triunghiulară regulată SABC medianele bazei se intersectează în punct M. Aria unui triunghi ABC este egal cu 3, DOMNIȘOARĂ= 1. Aflați volumul piramidei.

Într-o piramidă triunghiulară regulată SABC medianele bazei se intersectează în punct M. Volumul piramidei este 1, DOMNIȘOARĂ= 1. Aflați aria triunghiului ABC.

Să terminăm aici. După cum puteți vedea, problemele sunt rezolvate în unul sau doi pași. Pe viitor, vom lua în considerare și alte probleme din această parte, unde sunt date corpuri de revoluție, nu ratați!

Vă doresc succes!

Cu stimă, Alexander Krutitskikh.

P.S: V-as fi recunoscator daca mi-ati spune despre site pe retelele de socializare.

Definiție

Piramidă este un poliedru compus dintr-un poligon \(A_1A_2...A_n\) și \(n\) triunghiuri cu un vârf comun \(P\) (nu se află în planul poligonului) și laturile opuse acestuia, care coincid cu laturile poligonului.
Denumire: \(PA_1A_2...A_n\) .
Exemplu: piramidă pentagonală \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Triunghiuri \(PA_1A_2, \PA_2A_3\), etc. sunt numite fetele laterale piramide, segmente \(PA_1, PA_2\), etc. – coaste laterale, poligon \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – bază, punctul \(P\) – top.

Înălţime piramidele sunt o perpendiculară coborâtă de la vârful piramidei până la planul bazei.

O piramidă cu un triunghi la bază se numește tetraedru.

Piramida se numește corect, dacă baza sa este un poligon regulat și este îndeplinită una dintre următoarele condiții:

\((a)\) marginile laterale ale piramidei sunt egale;

\((b)\) înălțimea piramidei trece prin centrul cercului circumscris lângă bază;

\((c)\) nervurile laterale sunt înclinate pe planul bazei la același unghi.

\((d)\) fețele laterale sunt înclinate față de planul bazei la același unghi.

Tetraedru regulat este o piramidă triunghiulară, ale cărei fețe sunt triunghiuri echilaterale egale.

Teorema

Condițiile \((a), (b), (c), (d)\) sunt echivalente.

Dovada

Să aflăm înălțimea piramidei \(PH\) . Fie \(\alpha\) planul bazei piramidei.

1) Să demonstrăm că din \((a)\) rezultă \((b)\) . Fie \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Deoarece \(PH\perp \alpha\), atunci \(PH\) este perpendiculară pe orice dreaptă situată în acest plan, ceea ce înseamnă că triunghiurile sunt dreptunghiulare. Aceasta înseamnă că aceste triunghiuri sunt egale în cateta comună \(PH\) și ipotenuză \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Deci, \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Aceasta înseamnă că punctele \(A_1, A_2, ..., A_n\) sunt la aceeași distanță de punctul \(H\), prin urmare, ele se află pe același cerc cu raza \(A_1H\) . Acest cerc, prin definiție, este circumscris poligonului \(A_1A_2...A_n\) .

2) Să demonstrăm că \((b)\) implică \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) dreptunghiulară și egală pe două picioare. Aceasta înseamnă că unghiurile lor sunt de asemenea egale, prin urmare, \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\).

3) Să demonstrăm că \((c)\) implică \((a)\) .

Similar cu primul punct, triunghiuri \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) dreptunghiular atât de-a lungul piciorului cât și unghiul ascuțit. Aceasta înseamnă că și ipotenuzele lor sunt egale, adică \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Să demonstrăm că \((b)\) implică \((d)\) .

Deoarece într-un poligon regulat, centrele cercurilor circumscrise și înscrise coincid (în general, acest punct se numește centrul unui poligon regulat), atunci \(H\) este centrul cercului înscris. Să desenăm perpendiculare din punctul \(H\) spre laturile bazei: \(HK_1, HK_2\), etc. Acestea sunt razele cercului înscris (prin definiție). Apoi, conform TTP (\(PH\) este o perpendiculară pe plan, \(HK_1, HK_2\), etc. sunt proiecții perpendiculare pe laturi) înclinate \(PK_1, PK_2\), etc. perpendicular pe laturile \(A_1A_2, A_2A_3\), etc. respectiv. Deci, prin definiție \(\unghi PK_1H, \unghi PK_2H\) egal cu unghiurile dintre fețele laterale și bază. Deoarece triunghiurile \(PK_1H, PK_2H, ...\) sunt egale (ca dreptunghiulare pe două laturi), apoi unghiurile \(\unghi PK_1H, \unghi PK_2H, ...\) sunt egale.

5) Să demonstrăm că \((d)\) implică \((b)\) .

Similar cu al patrulea punct, triunghiurile \(PK_1H, PK_2H, ...\) sunt egale (ca dreptunghiulare de-a lungul catetei și unghi ascuțit), ceea ce înseamnă că segmentele \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) sunt egal. Aceasta înseamnă, prin definiție, \(H\) este centrul unui cerc înscris în bază. Dar pentru că Pentru poligoane regulate, centrele cercului înscris și circumscris coincid, atunci \(H\) este centrul cercului circumscris. Chtd.

Consecinţă

Fețele laterale ale unei piramide regulate sunt triunghiuri isoscele egale.

Definiție

Se numește înălțimea feței laterale a unei piramide regulate trasă din vârful acesteia apotema.
Apotemele tuturor fețelor laterale ale unei piramide regulate sunt egale între ele și sunt, de asemenea, mediane și bisectoare.

Notite importante

1. Înălțimea unei piramide triunghiulare regulate cade în punctul de intersecție a înălțimilor (sau bisectoarelor, sau medianelor) bazei (baza este un triunghi regulat).

2. Înălțimea unei piramide patruunghiulare regulate scade în punctul de intersecție a diagonalelor bazei (baza este un pătrat).

3. Înălțimea unei piramide hexagonale regulate scade în punctul de intersecție a diagonalelor bazei (baza este un hexagon regulat).

4. Înălțimea piramidei este perpendiculară pe orice linie dreaptă aflată la bază.

Definiție

Piramida se numește dreptunghiular, dacă una dintre marginile sale laterale este perpendiculară pe planul bazei.

Notite importante

1. Într-o piramidă dreptunghiulară, muchia perpendiculară pe bază este înălțimea piramidei. Adică \(SR\) este înălțimea.

2. Pentru că Atunci \(SR\) este perpendiculară pe orice dreaptă de la bază \(\triunghi SRM, \triunghi SRP\)– triunghiuri dreptunghiulare.

3. Triunghiuri \(\triunghi SRN, \triunghi SRK\)- de asemenea dreptunghiular.
Adică, orice triunghi format din această muchie și diagonala care iese din vârful acestei muchii aflată la bază va fi dreptunghiular.

\[(\Large(\text(Volumul și suprafața piramidei)))\]

Teorema

Volumul piramidei este egal cu o treime din produsul dintre suprafața bazei și înălțimea piramidei: \

Consecințe

Fie \(a\) latura bazei, \(h\) înălțimea piramidei.

1. Volumul unei piramide triunghiulare regulate este \(V_(\text(triunghi drept.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Volumul unei piramide patruunghiulare regulate este \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. Volumul unei piramide hexagonale regulate este \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Volumul unui tetraedru regulat este \(V_(\text(right tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Teorema

Aria suprafeței laterale a unei piramide regulate este egală cu jumătatea produsului dintre perimetrul bazei și apotema.

\[(\Large(\text(Frustum)))\]

Definiție

Luați în considerare o piramidă arbitrară \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Să desenăm un plan paralel cu baza piramidei printr-un anumit punct situat pe marginea laterală a piramidei. Acest avion va împărți piramida în două poliedre, dintre care una este o piramidă (\(PB_1B_2...B_n\) ), iar cealaltă se numește trunchi de piramidă(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Piramida trunchiată are două baze - poligoane \(A_1A_2...A_n\) și \(B_1B_2...B_n\) care sunt similare între ele.

Înălțimea unei piramide trunchiate este o perpendiculară trasată de la un punct al bazei superioare la planul bazei inferioare.

Notite importante

1. Toate fețele laterale ale unei piramide trunchiate sunt trapeze.

2. Segmentul care leagă centrele bazelor unei piramide trunchiate regulate (adică o piramidă obținută prin secțiunea transversală a unei piramide regulate) este înălțimea.

O piramidă este un poliedru cu un poligon la bază. Toate fețele, la rândul lor, formează triunghiuri care converg la un singur vârf. Piramidele sunt triunghiulare, patrulatere și așa mai departe. Pentru a determina ce piramidă se află în fața ta, este suficient să numeri numărul de unghiuri de la baza acesteia. Definiția „înălțimii unei piramide” se găsește foarte des în problemele de geometrie din curiculumul scolar. În acest articol vom încerca să luăm în considerare căi diferite locația ei.

Părți ale piramidei

Fiecare piramidă este formată din următoarele elemente:

• fețele laterale, care au trei colțuri și converg la vârf;
• apotema reprezintă înălțimea care coboară de la vârful ei;
• vârful piramidei este un punct care leagă nervurile laterale, dar nu se află în planul bazei;
• baza este un poligon pe care nu se află vârful;
• înălțimea unei piramide este un segment care intersectează vârful piramidei și formează un unghi drept cu baza acesteia.

Cum se află înălțimea unei piramide dacă este cunoscut volumul acesteia

Prin formula V = (S*h)/3 (în formula V este volumul, S este aria bazei, h este înălțimea piramidei) aflăm că h = (3*V)/ S. Pentru a consolida materialul, să rezolvăm imediat problema. ÎN baza triunghiulara este egal cu 50 cm 2, în timp ce volumul său este de 125 cm 3. Înălțimea piramidei triunghiulare este necunoscută, ceea ce trebuie să găsim. Totul este simplu aici: introducem datele în formula noastră. Obținem h = (3*125)/50 = 7,5 cm.

Cum se află înălțimea unei piramide dacă lungimea diagonalei și marginile ei sunt cunoscute

După cum ne amintim, înălțimea piramidei formează un unghi drept cu baza sa. Aceasta înseamnă că înălțimea, muchia și jumătatea diagonalei formează împreună. Mulți, desigur, își amintesc de teorema lui Pitagora. Cunoscând două dimensiuni, nu va fi greu să găsiți a treia cantitate. Să ne amintim binecunoscuta teoremă a² = b² + c², unde a este ipotenuza, iar în cazul nostru muchia piramidei; b - primul picior sau jumătate din diagonală și, respectiv, c - al doilea picior, sau înălțimea piramidei. Din această formulă c² = a² - b².

Acum problema: într-o piramidă obișnuită diagonala este de 20 cm, când lungimea marginii este de 30 cm. Trebuie să găsiți înălțimea. Rezolvăm: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Prin urmare, c = √ 500 = aproximativ 22,4.

Cum să găsești înălțimea unei piramide trunchiate

Este un poligon cu o secțiune transversală paralelă cu baza sa. Înălțimea unei piramide trunchiate este segmentul care leagă cele două baze ale acesteia. Înălțimea poate fi găsită pentru o piramidă obișnuită dacă sunt cunoscute lungimile diagonalelor ambelor baze, precum și marginea piramidei. Fie diagonala bazei mai mari d1, în timp ce diagonala bazei mai mici este d2, iar muchia are lungimea l. Pentru a găsi înălțimea, puteți coborî înălțimile din cele două puncte superioare opuse ale diagramei până la baza acesteia. Vedem că avem două triunghi dreptunghic, rămâne de găsit lungimile picioarelor lor. Pentru a face acest lucru, scădeți-o pe cea mai mică din diagonala mai mare și împărțiți-l cu 2. Așadar, vom găsi un catet: a = (d1-d2)/2. După care, conform teoremei lui Pitagora, tot ce trebuie să facem este să găsim al doilea picior, care este înălțimea piramidei.

Acum să ne uităm la toată chestia asta în practică. Avem o sarcină în față. O piramidă trunchiată are un pătrat la bază, lungimea diagonală a bazei mai mari este de 10 cm, în timp ce cea mai mică este de 6 cm, iar marginea este de 4 cm. În primul rând, găsim un picior: a = (10-6)/2 = 2 cm Un picior este egal cu 2 cm, iar ipotenuza este de 4 cm. 4 = 12, adică h = √12 = aproximativ 3,5 cm.