Derivată de sinus: (sin x)′. Derivată a cosinusului: (cos x)′ Derivată a cosinusului x

Când obținem prima formulă a tabelului, vom continua de la definiția funcției derivate într-un punct. Să luăm unde X– orice număr real, adică X– orice număr din domeniul de definire al funcției. Să notăm limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului la:

De remarcat că sub semnul limită se obține expresia, care nu este incertitudinea zero împărțită la zero, întrucât numărătorul nu conține o valoare infinitezimală, ci exact zero. Cu alte cuvinte, incrementul unei funcții constante este întotdeauna zero.

Prin urmare, derivată a unei funcții constanteeste egal cu zero în întregul domeniu de definiție.

Derivată a unei funcții de putere.

Formula pentru derivata unei funcții putere are forma , unde exponentul p– orice număr real.

Să demonstrăm mai întâi formula exponentului natural, adică pentru p = 1, 2, 3, …

Vom folosi definiția derivatei. Să notăm limita raportului dintre incrementul unei funcții de putere și incrementul argumentului:

Pentru a simplifica expresia în numărător, ne întoarcem la formula binomială Newton:

Prin urmare,

Aceasta dovedește formula pentru derivata unei funcții de putere pentru un exponent natural.

Derivată a unei funcții exponențiale.

Prezentăm derivarea formulei derivate pe baza definiției:

Am ajuns la incertitudine. Pentru a o extinde, introducem o nouă variabilă, iar la . Apoi . În ultima tranziție, am folosit formula pentru trecerea la o nouă bază logaritmică.

Să înlocuim în limita inițială:

Dacă ne amintim a doua limită remarcabilă, ajungem la formula pentru derivata funcției exponențiale:

Derivată a unei funcții logaritmice.

Să demonstrăm formula pentru derivata unei funcții logaritmice pentru toate X din domeniul definiției și toate valorile valide ale bazei A logaritm Prin definiția derivatei avem:

După cum ați observat, în timpul demonstrației transformările au fost efectuate folosind proprietățile logaritmului. Egalitatea este adevărat datorită celei de-a doua limite remarcabile.

Derivate ale funcţiilor trigonometrice.

Pentru a deriva formule pentru derivate ale funcțiilor trigonometrice, va trebui să reamintim câteva formule de trigonometrie, precum și prima limită remarcabilă.

Prin definiția derivatei pentru funcția sinus avem .

Să folosim formula diferenței sinusurilor:

Rămâne să ne întoarcem la prima limită remarcabilă:

Astfel, derivata funcției sin x Există cos x.

Formula pentru derivata cosinusului este dovedită exact în același mod.

Prin urmare, derivata funcției cos x Există –sin x.

Vom obține formule pentru tabelul de derivate pentru tangentă și cotangentă folosind reguli dovedite de diferențiere (derivată a unei fracții).

Derivate ale funcțiilor hiperbolice.

Regulile de diferențiere și formula pentru derivata funcției exponențiale din tabelul derivatelor ne permit să derivăm formule pentru derivatele sinusului hiperbolic, cosinusului, tangentei și cotangentei.

Derivată a funcției inverse.

Pentru a evita confuzia în timpul prezentării, să notăm în indice argumentul funcției prin care se realizează diferențierea, adică este derivata funcției f(x) De X.

Acum să formulăm regula pentru aflarea derivatei unei functii inverse.

Lasă funcțiile y = f(x)Și x = g(y) reciproc invers, definite pe intervale și respectiv. Dacă într-un punct există o derivată finită nenulă a funcției f(x), atunci în punct există o derivată finită a funcției inverse g(y), și . Într-o altă postare .

Această regulă poate fi reformulată pentru oricare X din intervalul , atunci obținem .

Să verificăm validitatea acestor formule.

Să găsim funcția inversă pentru logaritmul natural (Aici y este o funcție și X- argument). După ce am rezolvat această ecuație pt X, primim (aici X este o funcție și y– argumentul ei). Acesta este, și funcții reciproc inverse.

Din tabelul derivatelor vedem că Și .

Să ne asigurăm că formulele pentru găsirea derivatelor funcției inverse ne conduc la aceleași rezultate:

După cum puteți vedea, am obținut aceleași rezultate ca și în tabelul cu derivate.

Acum avem cunoștințele pentru a demonstra formule pentru derivatele funcțiilor trigonometrice inverse.

Să începem cu derivata arcsinusului.

. Apoi, folosind formula pentru derivata funcției inverse, obținem

Tot ce rămâne este să efectuăm transformările.

Deoarece intervalul arcsinus este intervalul , Acea (vezi secțiunea privind funcțiile elementare de bază, proprietățile și graficele acestora). Prin urmare, nu luăm în considerare.

Prin urmare, . Domeniul de definire al derivatei arcsinus este intervalul (-1; 1) .

Pentru arccosinus, totul se face exact în același mod:

Să găsim derivata arctangentei.

Pentru funcția inversă este .

Să exprimăm arctangenta în termeni de arccosin pentru a simplifica expresia rezultată.

Lăsa arctgx = z, Apoi

Prin urmare,

Derivata cotangentei arcului se găsește într-un mod similar:

Se prezintă o demonstrație și o derivare a formulei pentru derivata sinusului - sin(x). Exemple de calculare a derivatelor sin 2x, sinus pătrat și cub. Derivarea formulei pentru derivata sinusului de ordinul al n-lea.

Conţinut

Vezi si: Sinus și cosinus - proprietăți, grafice, formule

Derivata față de variabila x din sinusul lui x este egală cu cosinusul lui x:
(sin x)′ = cos x.

Dovada

Pentru a deriva formula pentru derivata sinusului, vom folosi definiția derivatei:
.

Pentru a găsi această limită, trebuie să transformăm expresia în așa fel încât să o reducem la legi, proprietăți și reguli cunoscute. Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoaștem patru proprietăți.
1) Sensul primei limite remarcabile este:
(1) ;
2) Continuitatea funcției cosinus:
(2) ;
3) Formule trigonometrice. Vom avea nevoie de următoarea formulă:
(3) ;
4) Proprietăți aritmetice ale limitei unei funcții:
Dacă și , atunci
(4) .

Să aplicăm aceste reguli până la limita noastră. Mai întâi transformăm expresia algebrică
.
Pentru a face acest lucru, aplicăm formula
(3) .
În cazul nostru
; . Apoi
;
;
;
.

Acum să facem înlocuirea. La , .
.

Să aplicăm prima limită remarcabilă (1):
.

Să facem aceeași înlocuire și să folosim proprietatea continuității (2):

.

Deoarece limitele calculate mai sus există, aplicăm proprietatea (4):

Formula pentru derivata sinusului a fost dovedită.

Exemple
Să ne uităm la exemple simple de găsire a derivatelor de funcții care conțin sinus. Vom găsi derivate ale următoarelor funcții: y = sin 2x; y = păcat 2 x și y =.

păcat 3 x

Exemplul 1 Găsiți derivata lui.

păcat de 2x
Mai întâi, să găsim derivata celei mai simple părți:
(2x)′ = 2(x)′ = 2 1 = 2.
.
Aplicam.

Aici .

(sin 2x)′ = 2 cos 2x.

Exemplul 2
Aflați derivata sinusului pătrat: y = sin 2x; y =.

y =
.
Să rescriem funcția originală într-o formă mai înțeleasă:
.
Să găsim derivata celei mai simple părți:

.
Aplicam.

Aplicam formula pentru derivata unei functii complexe.
.

Puteți aplica una dintre formulele de trigonometrie. Apoi

Exemplul 3
Aflați derivata sinusului pătrat: și y =.

Găsiți derivata sinusului cub:

Derivate de ordin superior Rețineți că derivata lui sin x
.

primul ordin poate fi exprimat prin sinus după cum urmează:

.
Aplicam.

Acum putem observa această diferențiere Rețineți că derivata lui face ca argumentul său să crească cu . Atunci derivata de ordinul n-a are forma:
(5) .

Să demonstrăm acest lucru folosind metoda inducției matematice.

Am verificat deja că pentru , formula (5) este valabilă.

Să presupunem că formula (5) este valabilă pentru o anumită valoare. Să demonstrăm că de aici rezultă că formula (5) este satisfăcută pentru .

Să scriem formula (5) la:
.
Diferențiam această ecuație folosind regula de diferențiere a unei funcții complexe:

.
Aplicam.
Așa că am găsit:
.
Dacă înlocuim , atunci această formulă va lua forma (5).

Formula este dovedită.

Vezi si: Calcul derivat- una dintre cele mai importante operatii din calculul diferential. Mai jos este un tabel pentru găsirea derivatelor funcțiilor simple. Pentru reguli de diferențiere mai complexe, consultați alte lecții:

• Tabel de derivate ale funcțiilor exponențiale și logaritmice

Utilizați formulele date ca valori de referință. Acestea vor ajuta la rezolvarea ecuațiilor diferențiale și a problemelor. În imagine, în tabelul de derivate ale funcțiilor simple, există o „foaie de cheat” a principalelor cazuri de găsire a unei derivate într-o formă care este de înțeles pentru utilizare, alături de aceasta sunt explicații pentru fiecare caz.

Derivate ale funcțiilor simple

1. Derivata unui număr este zero
с´ = 0
Exemplu:
5' = 0

Explicaţie:
Derivata arată rata la care valoarea unei funcții se schimbă atunci când argumentul acesteia se schimbă. Deoarece numărul nu se modifică în niciun fel în nicio condiție, rata modificării sale este întotdeauna zero.

2. Derivată a unei variabile egal cu unu
x´ = 1

Explicaţie:
Cu fiecare creștere a argumentului (x) cu unu, valoarea funcției (rezultatul calculelor) crește cu aceeași valoare. Astfel, rata de modificare a valorii funcției y = x este exact egală cu rata de modificare a valorii argumentului.

3. Derivata unei variabile si a unui factor este egala cu acest factor
сx´ = с
Exemplu:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Explicaţie:
În acest caz, de fiecare dată când argumentul funcției se schimbă ( X) valoarea lui (y) crește în Cu o singura data. Astfel, rata de modificare a valorii funcției în raport cu rata de modificare a argumentului este exact egală cu valoarea Cu.

De unde rezultă că
(cx + b)" = c
adică diferența funcției liniare y=kx+b este egală cu panta dreptei (k).

4. Modul derivată a unei variabile egal cu coeficientul acestei variabile la modulul ei
|x|"= x / |x| cu condiția ca x ≠ 0
Explicaţie:
Deoarece derivata unei variabile (vezi formula 2) este egală cu unu, derivata modulului diferă doar prin aceea că valoarea ratei de modificare a funcției se schimbă în sens opus la trecerea punctului de origine (încercați să desenați un grafic a funcției y = |x| și vedeți singuri aceasta este valoarea și returnează expresia x / |x|< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - unu. Adică, pentru valorile negative ale variabilei x, cu fiecare creștere a modificării argumentului, valoarea funcției scade cu exact aceeași valoare, iar pentru valorile pozitive, dimpotrivă, crește, dar exact cu aceeași valoare. aceeași valoare.

5. Derivată a unei variabile la o putere egal cu produsul unui număr din această putere și o variabilă cu puterea redusă cu unu
(x c)"= cx c-1, cu condiția ca x c și cx c-1 să fie definite și c ≠ 0
Exemplu:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Pentru a reține formula:
Mutați în jos gradul variabilei ca factor, apoi reduceți gradul în sine cu unul. De exemplu, pentru x 2 - cei doi au fost înaintea lui x, iar apoi puterea redusă (2-1 = 1) ne-a dat pur și simplu 2x. Același lucru s-a întâmplat și pentru x 3 - „deplasăm în jos” triplul, îl reducem cu unul și în loc de cub avem un pătrat, adică 3x 2. Puțin „neștiințific”, dar foarte ușor de reținut.

6.Derivată a unei fracții 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Exemplu:
Deoarece o fracție poate fi reprezentată ca ridicând la o putere negativă
(1/x)" = (x -1)", atunci puteți aplica formula de la regula 5 din tabelul derivatelor
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Derivată a unei fracții cu o variabilă de grad arbitrarîn numitor
(1 / x c)" = - c/x c+1
Exemplu:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. Derivat al rădăcinii(derivată a variabilei sub rădăcină pătrată)
(√x)" = 1 / (2√x) sau 1/2 x -1/2
Exemplu:
(√x)" = (x 1/2)" înseamnă că puteți aplica formula de la regula 5
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. Derivată a unei variabile sub rădăcina unui grad arbitrar
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)

Operația de găsire a derivatei se numește diferențiere.

Ca urmare a rezolvării problemelor de găsire a derivatelor celor mai simple (și nu foarte simple) funcții prin definirea derivatei ca limită a raportului dintre increment și increment al argumentului, a apărut un tabel de derivate și reguli de diferențiere precis definite. . Primii care au lucrat în domeniul găsirii derivatelor au fost Isaac Newton (1643-1727) și Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Prin urmare, în timpul nostru, pentru a găsi derivata oricărei funcții, nu trebuie să calculați limita menționată mai sus a raportului dintre creșterea funcției și creșterea argumentului, ci trebuie doar să utilizați tabelul de derivate și regulile de diferențiere. Următorul algoritm este potrivit pentru găsirea derivatei.

Pentru a găsi derivata, aveți nevoie de o expresie sub semnul prim descompune funcțiile simple în componenteși stabiliți ce acțiuni (produs, sumă, coeficient) aceste funcții sunt legate. În continuare, găsim derivatele funcțiilor elementare în tabelul de derivate, iar formulele pentru derivatele produsului, sumă și coeficient - în regulile de diferențiere. Tabelul derivatelor și regulile de diferențiere sunt date după primele două exemple.

Exemplul 1. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Din regulile de diferențiere aflăm că derivata unei sume de funcții este suma derivatelor de funcții, adică.

Din tabelul derivatelor aflăm că derivata lui „x” este egală cu unu, iar derivata sinusului este egală cu cosinus. Inlocuim aceste valori in suma derivatelor si gasim derivata ceruta de conditia problemei:

Exemplul 2. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Diferențiem ca derivată a unei sume în care al doilea termen are un factor constant poate fi scos din semnul derivatei:

Dacă încă apar întrebări despre unde provine ceva, acestea sunt de obicei clarificate după ce te-ai familiarizat cu tabelul derivatelor și cu cele mai simple reguli de diferențiere. Trecem la ele chiar acum.

Tabel de derivate ale funcțiilor simple

1. Derivată a unei constante (număr). Orice număr (1, 2, 5, 200...) care se află în expresia funcției. Întotdeauna egal cu zero. Acest lucru este foarte important de reținut, deoarece este necesar foarte des
2. Derivată a variabilei independente. Cel mai adesea „X”. Întotdeauna egal cu unu. Acest lucru este, de asemenea, important de reținut pentru o lungă perioadă de timp
3. Derivată de grad. Când rezolvați probleme, trebuie să convertiți rădăcinile nepătrate în puteri.
4. Derivată a unei variabile la puterea -1
5. Derivată de rădăcină pătrată
6. Derivată de sinus
7. Derivată a cosinusului
8. Derivată a tangentei
9. Derivat de cotangente
10. Derivată de arcsinus
11. Derivatul arccosinului
12. Derivată a arctangentei
13. Derivată a cotangentei arcului
14. Derivată a logaritmului natural
15. Derivata unei functii logaritmice
16. Derivată a exponentului
17. Derivata unei functii exponentiale

Reguli de diferențiere

1. Derivată a unei sume sau diferențe
2. Derivat al produsului
2a. Derivată a unei expresii înmulțită cu un factor constant
3. Derivată a coeficientului
4. Derivata unei functii complexe

Regula 1.Dacă funcţiile

sunt diferențiabile la un moment dat, atunci funcțiile sunt diferențiabile în același punct

și

acestea. derivata unei sume algebrice de funcții este egală cu suma algebrică a derivatelor acestor funcții.

Consecinţă. Dacă două funcții diferențiabile diferă printr-un termen constant, atunci derivatele lor sunt egale, adică

Regula 2.Dacă funcţiile

sunt diferențiabile la un moment dat, atunci produsul lor este diferențiabil în același punct

și

acestea. Derivata produsului a două funcții este egală cu suma produselor fiecăreia dintre aceste funcții și derivata celeilalte.

Corolarul 1. Factorul constant poate fi scos din semnul derivatei:

Corolarul 2. Derivata produsului mai multor functii diferentiabile este egala cu suma produselor derivatei fiecarui factor si a tuturor celorlalti.

De exemplu, pentru trei multiplicatori:

Regula 3.Dacă funcţiile

diferentiabil la un moment dat Și , atunci în acest moment câtul lor este de asemenea diferențiabilu/v și

acestea. derivata câtului a două funcții este egală cu o fracție, al cărei numărător este diferența dintre produsele numitorului și derivata numărătorului și numărătorului și derivata numitorului, iar numitorul este pătratul fostul numărător.

Unde să cauți lucruri pe alte pagini

La găsirea derivatei unui produs și a unui coeficient în probleme reale, este întotdeauna necesar să se aplice mai multe reguli de diferențiere simultan, așa că există mai multe exemple despre aceste derivate în articol„Derivată a produsului și coeficientul de funcții”.

Cometariu. Nu trebuie să confundați o constantă (adică un număr) ca termen dintr-o sumă și ca factor constant! În cazul unui termen, derivata acestuia este egală cu zero, iar în cazul unui factor constant, se scoate din semnul derivatelor. Aceasta este o greșeală tipică care apare în etapa inițială a studiului derivatelor, dar pe măsură ce studentul obișnuit rezolvă mai multe exemple cu una sau două părți, el nu mai face această greșeală.

Și dacă, la diferențierea unui produs sau coeficient, ai un termen u"v, in care u- un număr, de exemplu, 2 sau 5, adică o constantă, atunci derivata acestui număr va fi egală cu zero și, prin urmare, întregul termen va fi egal cu zero (acest caz este discutat în exemplul 10).

O altă greșeală comună este rezolvarea mecanică a derivatei unei funcții complexe ca derivată a unei funcții simple. De aceea derivata unei functii complexe este dedicat un articol separat. Dar mai întâi vom învăța să găsim derivate ale funcțiilor simple.

Pe parcurs, nu te poți descurca fără transformarea expresiilor. Pentru a face acest lucru, poate fi necesar să deschideți manualul în ferestre noi. Acțiuni cu puteri și rădăciniȘi Operații cu fracții .

Dacă căutați soluții la derivatele fracțiilor cu puteri și rădăcini, adică atunci când funcția arată ca , apoi urmați lecția „Derivată de sume de fracții cu puteri și rădăcini”.

Dacă aveți o sarcină ca , apoi veți lua lecția „Derivate ale funcțiilor trigonometrice simple”.

Exemple pas cu pas - cum să găsiți derivatul

Exemplul 3. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Definim părțile expresiei funcției: întreaga expresie reprezintă un produs, iar factorii săi sunt sume, în al doilea dintre care unul dintre termeni conține un factor constant. Aplicam regula de diferentiere a produsului: derivata produsului a doua functii este egala cu suma produselor fiecareia dintre aceste functii prin derivata celeilalte:

În continuare, aplicăm regula diferențierii sumei: derivata unei sume algebrice de funcții este egală cu suma algebrică a derivatelor acestor funcții. În cazul nostru, în fiecare sumă al doilea termen are semnul minus. În fiecare sumă vedem atât o variabilă independentă, a cărei derivată este egală cu unu, cât și o constantă (număr), a cărei derivată este egală cu zero. Deci, „X” se transformă în unu, iar minus 5 se transformă în zero. În a doua expresie, „x” este înmulțit cu 2, așa că înmulțim doi cu aceeași unitate ca și derivata lui „x”. Obținem următoarele valori derivate:

Inlocuim derivatele gasite in suma produselor si obtinem derivata intregii functii ceruta de conditia problemei:

Și puteți verifica soluția problemei derivate pe.

Exemplul 4. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Ni se cere să găsim derivata coeficientului. Aplicăm formula de diferențiere a câtului: derivata câtului a două funcții este egală cu o fracție, al cărei numărător este diferența dintre produsele numitorului și derivata numărătorului și numărătorului și derivata numitorul, iar numitorul este pătratul fostului numărător. Primim:

Am găsit deja derivata factorilor din numărător în exemplul 2. De asemenea, să nu uităm că produsul, care este al doilea factor la numărător în exemplul curent, este luat cu semnul minus:

Dacă căutați soluții la probleme în care trebuie să găsiți derivata unei funcții, unde există o grămadă continuă de rădăcini și puteri, cum ar fi, de exemplu, , atunci bun venit la curs „Derivată a sumelor fracțiilor cu puteri și rădăcini” .

Dacă trebuie să aflați mai multe despre derivatele sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și altor funcții trigonometrice, adică atunci când funcția arată ca , apoi o lecție pentru tine „Derivate ale funcțiilor trigonometrice simple” .

Exemplul 5. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. În această funcție vedem un produs, unul dintre factorii căruia este rădăcina pătrată a variabilei independente, a cărei derivată ne-am familiarizat în tabelul de derivate. Folosind regula de diferențiere a produsului și a valorii tabelare a derivatei rădăcinii pătrate, obținem:

Puteți verifica soluția problemei derivate la calculator de derivate online .

Exemplul 6. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. În această funcție vedem un coeficient al cărui dividend este rădăcina pătrată a variabilei independente. Folosind regula de diferențiere a coeficientilor, pe care am repetat-o ​​și aplicată în exemplul 4, și valoarea tabelată a derivatei rădăcinii pătrate, obținem:

Pentru a scăpa de o fracție din numărător, înmulțiți numărătorul și numitorul cu .

Calculul derivatului se găsește adesea în sarcinile de examinare unificată de stat. Această pagină conține o listă de formule pentru găsirea derivatelor.

Reguli de diferențiere

1. (k⋅ f(x))′=k⋅ f ′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Derivată a unei funcții complexe. Dacă y=F(u) și u=u(x), atunci funcția y=f(x)=F(u(x)) se numește o funcție complexă a lui x. Egal cu y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. Derivată a unei funcții implicite. Funcția y=f(x) se numește funcție implicită definită prin relația F(x,y)=0 dacă F(x,f(x))≡0.
6. Derivată a funcției inverse. Dacă g(f(x))=x, atunci funcția g(x) se numește funcția inversă a funcției y=f(x).
7. Derivată a unei funcții definite parametric. Fie x și y specificate ca funcții ale variabilei t: x=x(t), y=y(t). Ei spun că y=y(x) este o funcție definită parametric pe intervalul x∈ (a;b), dacă pe acest interval ecuația x=x(t) poate fi exprimată ca t=t(x) și funcția y=y(t(x))=y(x).
8. Derivată a unei funcții putere-exponențială. Găsit luând logaritmi la baza logaritmului natural.

Vă sfătuim să salvați linkul, deoarece acest tabel poate fi necesar de mai multe ori.