O piramidă triunghiulară obișnuită are fețele numerotate. Figuri geometrice. Piramidă

Instrucțiuni

În cazul în care la bază piramide se află un pătrat, lungimea diagonalei sale este cunoscută, precum și lungimea marginii acestuia piramide, Acea înălţime acest piramide poate fi exprimat din teorema lui Pitagora, deoarece un triunghi format dintr-o muchie piramide, iar jumătate din diagonala de la bază este un triunghi dreptunghic.
Teorema lui Pitagora afirmă că pătratul ipotenuzei este dreptunghiular egal cu suma pătratele picioarelor sale (a² = b² + c²). Margine piramide- ipotenuza, unul dintre catete este jumatatea diagonalei patratului. Apoi lungimea piciorului necunoscut (înălțimea) este găsită folosind formulele:
b² = a² - c²;
c² = a² - b².

Pentru a face ambele situații cât mai clare și de înțeles posibil, puteți lua în considerare o pereche.
Exemplul 1: Zona de bază piramide 46 cm², volumul său este de 120 cm³. Pe baza acestor date, înălțimea piramide se afla astfel:
h = 3*120/46 = 7,83 cm
Răspuns: înălțimea acestui lucru piramide va avea aproximativ 7,83 cm
Exemplul 2: U piramide, la baza căruia se află un poligon - un pătrat, diagonala sa este de 14 cm, lungimea marginii este de 15 cm Conform acestor date, pentru a găsi înălţime piramide, trebuie să utilizați următoarea formulă (care este o consecință a teoremei lui Pitagora):
h² = 15² - 14²
h² = 225 - 196 = 29
h = √29 cm
Răspuns: înălțimea acestui lucru piramide este √29 cm sau aproximativ 5,4 cm

Notă

Dacă la baza piramidei există un pătrat sau un alt poligon regulat, atunci această piramidă poate fi numită regulată. O astfel de piramidă are o serie de proprietăți:
coastele sale laterale sunt egale;
marginile sale - triunghiuri isoscele, care sunt egale între ele;
lângă o astfel de piramidă se poate descrie o sferă și, de asemenea, se poate înscrie.

Surse:

• Piramida corectă

O piramidă este o figură a cărei bază este un poligon, iar fețele sale sunt triunghiuri cu un vârf comun pentru toți. În problemele tipice, este adesea necesar să se construiască și să se determine lungimea unei perpendiculare trase dintr-un vârf piramide la planul bazei sale. Lungimea acestui segment se numește înălțime piramide.

Vei avea nevoie

• - rigla
• - creion
• - busolă

Instrucțiuni

Pentru a finaliza, construiți o piramidă în conformitate cu condițiile sarcinii. De exemplu, pentru a construi un tetraedru obișnuit, trebuie să desenați o figură astfel încât toate cele 6 margini să fie egale între ele. Dacă trebuie să construiți înălţime patruunghiulară, atunci numai 4 margini ale bazei ar trebui să fie egale. Apoi puteți construi marginile fețelor laterale inegale cu marginile poligonului. Numiți piramida, etichetând toate vârfurile cu litere latine. De exemplu, pentru piramide cu un triunghi la baza poti alege A, B, C (pentru baza), S (pentru varf). Dacă condiția specifică dimensiunile specifice ale nervurilor, atunci când construiți figura, porniți de la aceste valori.

Pentru a începe, selectați condiționat, folosind o busolă, tangenta din interior la toate marginile poligonului. Dacă o piramidă, atunci punctul (numiți-l, de exemplu, H) de pe bază piramide, în care coboară înălțimea, trebuie să corespundă centrului cercului înscris în temeiuri corecte piramide. Centrul va corespunde unui punct echidistant de orice alt punct de pe cerc. Dacă conectați vârful piramide S cu centrul cercului H, atunci segmentul SH va fi înălțimea piramide. Amintiți-vă că un cerc poate fi înscris într-un patrulater, sumele părți opuse care sunt identice. Acest lucru se aplică pătratului și rombului. În acest caz, punctul H se află pe patrulater. Pentru orice triunghi este posibil să se înscrie și să descrie un cerc.

A construi înălţime piramide, folosiți o busolă pentru a desena un cerc și apoi folosiți o riglă pentru a conecta centrul său H cu vârful S. SH este înălțimea dorită. Dacă la bază piramide SABC este o figură neregulată, atunci înălțimea va conecta vârful piramide cu centrul cercului în care este înscris poligonul de bază. Toate vârfurile poligonului se află pe un astfel de cerc. în care acest segment va fi perpendicular pe planul bazei piramide. Puteți descrie un cerc în jurul unui patrulater dacă suma unghiurilor opuse este de 180°. Apoi, centrul unui astfel de cerc se va afla la intersecția diagonalelor corespunzătoare

Ipoteză: credem că perfecţiunea formei piramidei se datorează legilor matematice inerente formei acesteia.

Ţintă: După ce ați studiat piramida ca corp geometric, explicați perfecțiunea formei sale.

Sarcini:

1. Dați o definiție matematică a unei piramide.

2. Studiați piramida ca corp geometric.

3. Înțelegeți ce cunoștințe matematice au încorporat egiptenii în piramidele lor.

Întrebări private:

1. Ce este o piramidă ca corp geometric?

2. Cum poate fi explicată din punct de vedere matematic forma unică a piramidei?

3. Ce explică minunile geometrice ale piramidei?

4. Ce explică perfecțiunea formei piramidei?

Definiția piramidei.

PIRAMIDĂ (din greacă pyramis, gen. pyramidos) - un poliedru a cărui bază este un poligon, iar fețele rămase sunt triunghiuri având un vârf comun (desen). Pe baza numărului de colțuri ale bazei, piramidele sunt clasificate ca triunghiulare, patrulatere etc.

PIRAMIDĂ - o structură monumentală care are forma geometrică a unei piramide (uneori și în trepte sau în formă de turn). Piramidele sunt numele dat mormintelor gigantice ale vechilor faraoni egipteni din mileniul III-II î.Hr. e., precum și vechile socluri ale templului american (în Mexic, Guatemala, Honduras, Peru), asociate cu cultele cosmologice.

Este posibil ca cuvântul grecesc „piramidă” să provină din expresia egipteană per-em-us, adică dintr-un termen care înseamnă înălțimea piramidei. Remarcabilul egiptolog rus V. Struve credea că grecescul „puram...j” provine din vechiul egiptean „p”-mr”.

Din istorie. După ce am studiat materialul din manualul „Geometrie” de către autorii lui Atanasyan. Butuzov și alții, am aflat că: Un poliedru compus dintr-un n-gon A1A2A3 ... Un și n triunghiuri PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1 se numește piramidă. Poligonul A1A2A3 ... An este baza piramidei, iar triunghiurile PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1 sunt fetele laterale piramide, P – vârful piramidei, segmente PA1, PA2,…, PAn – marginile laterale.

Cu toate acestea, această definiție a unei piramide nu a existat întotdeauna. De exemplu, matematicianul grec antic, autorul unor tratate teoretice de matematică care au ajuns până la noi, Euclid, definește o piramidă ca fiind o figură solidă limitată de planuri care converg de la un plan la un punct.

Dar această definiție a fost criticată deja în vremuri străvechi. Deci Heron a propus următoarea definiție a unei piramide: „Este o figură delimitată de triunghiuri care converg într-un punct și a cărei bază este un poligon.”

Grupul nostru, comparând aceste definiții, a ajuns la concluzia că nu au o formulare clară a conceptului de „fundație”.

Am examinat aceste definiții și am găsit definiția lui Adrien Marie Legendre, care în 1794 în lucrarea sa „Elementele de geometrie” definește o piramidă astfel: „O piramidă este o figură solidă formată din triunghiuri care converg într-un punct și se termină pe diferite laturi ale o bază plată.”

Ni se pare că ultima definiție oferă o idee clară despre piramidă, deoarece aceasta despre care vorbim că baza este plată. O altă definiție a piramidei a apărut într-un manual din secolul al XIX-lea: „o piramidă este un unghi solid intersectat de un plan”.

Piramida ca corp geometric.

Acea. O piramidă este un poliedru, una dintre ale cărui fețe (bază) este un poligon, fețele rămase (laturile) sunt triunghiuri care au un vârf comun (vârful piramidei).

Se numește perpendiculara trasată din vârful piramidei pe planul bazei înălţimeh piramide.

Pe lângă piramida arbitrară, există piramida corecta la baza căruia se află un poligon regulat şi trunchi de piramidă.

În figură există o piramidă PABCD, ABCD este baza sa, PO este înălțimea sa.

Suprafata totala piramida este suma ariilor tuturor fețelor sale.

Sfull = Sside + Smain, Unde Latură– suma suprafețelor fețelor laterale.

Volumul piramidei se gaseste prin formula:

V=1/3Sbas. h, unde Sbas. - suprafata de baza, h- înălțime.

Axă piramida regulata se numește linie dreaptă care conține înălțimea acesteia.
Apotema ST este înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite.

Aria feței laterale a unei piramide regulate este exprimată astfel: Sside. =1/2P h, unde P este perimetrul bazei, h- inaltimea fetei laterale (apotema unei piramide regulate). Dacă piramida este intersectată de planul A’B’C’D’, paralel cu baza, atunci:

1) nervurile laterale și înălțimea sunt împărțite de acest plan în părți proporționale;

2) în secțiune transversală se obține un poligon A’B’C’D’, asemănător bazei;

DIV_ADBLOCK914">

O piramidă triunghiulară regulată se numește tetraedru .

Piramida trunchiată se obține prin tăierea părții sale superioare din piramidă cu un plan paralel cu baza (figura ABCDD’C’B’A’).

Bazele unei piramide trunchiate– poligoane similare ABCD și A`B`C`D`, fețele laterale sunt trapeze.

Înălţime trunchi de piramidă - distanța dintre baze.

Volum trunchiat piramida se gaseste dupa formula:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Suprafața laterală a unei piramide trunchiate obișnuite se exprimă astfel: Sside = ½(P+P') h, unde P și P’ sunt perimetrele bazelor, h- înălțimea feței laterale (apotema unui piri trunchiat obișnuit

Secțiuni ale unei piramide.

Secțiunile unei piramide prin planuri care trec prin vârful ei sunt triunghiuri.

O secțiune care trece prin două margini laterale neadiacente ale unei piramide se numește secțiune diagonală.

Dacă secțiunea trece printr-un punct de pe marginea laterală și pe partea bazei, atunci urma sa până în planul bazei piramidei va fi această parte.

O secțiune care trece printr-un punct situat pe fața piramidei și o urmă de secțiune dată pe planul de bază, apoi construcția trebuie efectuată după cum urmează:

· găsiți punctul de intersecție al planului unei fețe date și urma secțiunii piramidei și desemnați-o;

construiți o linie dreaptă care trece prin punct datși punctul de intersecție rezultat;

· repetați acești pași pentru fețele următoare.

, care corespunde raportului catetelor unui triunghi dreptunghic 4:3. Acest raport al picioarelor corespunde binecunoscutului triunghi dreptunghic cu laturile 3:4:5, care se numește triunghiul „perfect”, „sacru” sau „egiptean”. Potrivit istoricilor, triunghiului „egiptean” i s-a dat un sens magic. Plutarh a scris că egiptenii comparau natura universului cu un triunghi „sacru”; au asemănat simbolic piciorul vertical cu soțul, baza cu soția și ipotenuza cu ceea ce se naște din ambele.

Pentru un triunghi 3:4:5, egalitatea este adevărată: 32 + 42 = 52, care exprimă teorema lui Pitagora. Nu a fost această teoremă pe care preoții egipteni au vrut să o perpetueze ridicând o piramidă bazată pe triunghiul 3:4:5? E greu să găsești mai multe bun exemplu pentru a ilustra teorema lui Pitagora, care era cunoscută egiptenilor cu mult înainte de descoperirea ei de către Pitagora.

Astfel, genialii creatori ai piramidelor egiptene au căutat să uimească descendenții îndepărtați cu profunzimea cunoștințelor lor și au reușit acest lucru alegând triunghiul dreptunghic „de aur” ca „idee geometrică principală” pentru piramida lui Keops și „sacru” sau „egiptean” pentru piramida lui Khafre.

Foarte des în cercetările lor, oamenii de știință folosesc proprietățile piramidelor cu proporții ale raportului de aur.

În matematică dicţionar enciclopedic Este dată următoarea definiție a Secțiunii de Aur - aceasta este o diviziune armonică, diviziune în raport extrem și mediu - împărțind segmentul AB în două părți, astfel încât partea sa mai mare AC să fie media proporțională între întregul segment AB și parte mai mică NE.

Determinarea algebrică a secțiunii de aur a unui segment AB = a reduce la rezolvarea ecuației a: x = x: (a – x), din care x este aproximativ egal cu 0,62a. Raportul x poate fi exprimat ca fracții 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618, unde 2, 3, 5, 8, 13, 21 sunt numere Fibonacci.

Construcția geometrică a Secțiunii de Aur a segmentului AB se realizează astfel: în punctul B, se restabilește o perpendiculară pe AB, pe ea este așezat segmentul BE = 1/2 AB, A și E sunt conectate, DE = BE este concediat și, în final, AC = AD, apoi egalitatea AB este satisfăcută: CB = 2:3.

Raportul de aur este adesea folosit în opere de artă, arhitectură și se găsește în natură. Exemple vii sunt sculptura lui Apollo Belvedere, Partenonul. În timpul construcției Partenonului s-a folosit raportul dintre înălțimea clădirii și lungimea acesteia și acest raport este de 0,618. Obiectele din jurul nostru oferă, de asemenea, exemple ale raportului de aur, de exemplu, legăturile multor cărți au un raport lățime-lungime apropiat de 0,618. Având în vedere dispunerea frunzelor pe tulpina comună a plantelor, puteți observa că între fiecare două perechi de frunze a treia este situată la Raportul de Aur (diapozitive). Fiecare dintre noi „poartă” Raportul de Aur cu noi „în mâinile noastre” - acesta este raportul dintre falangele degetelor.

Datorită descoperirii mai multor papirusuri matematice, egiptologii au aflat câte ceva despre vechile sisteme egiptene de calcul și măsurare. Sarcinile cuprinse în ele erau rezolvate de cărturari. Unul dintre cele mai faimoase este Papirusul matematic Rhind. Studiind aceste probleme, egiptologii au aflat cum se comportau egiptenii antici in cantitati diferite, care au apărut în calculul măsurilor de greutate, lungime și volum, care foloseau adesea fracții și modul în care s-au ocupat de unghiuri.

Vechii egipteni foloseau o metodă de calcul a unghiurilor bazată pe raportul dintre înălțimea și baza unui triunghi dreptunghic. Ei exprimau orice unghi în limbajul unui gradient. Gradientul pantei a fost exprimat ca un raport de număr întreg numit „seced”. În Mathematics in the Age of the Pharaohs, Richard Pillins explică: „Seked-ul unei piramide obișnuite este înclinarea oricăreia dintre cele patru fețe triunghiulare față de planul bazei, măsurată prin al n-lea număr de unități orizontale per unitate verticală de ridicare. . Astfel, această unitate de măsură este echivalentă cu cotangentei noastre moderne a unghiului de înclinare. Prin urmare, cuvântul egiptean „seced” este legat de al nostru cuvânt modern"gradient"".

Cheia numerică a piramidelor constă în raportul dintre înălțimea lor și bază. ÎN în termeni practici- Acesta este cel mai simplu mod de a realiza șabloanele necesare pentru a verifica constant unghiul corect de înclinare pe tot parcursul construcției piramidei.

Egiptologii ar fi bucuroși să ne convingă că fiecare faraon dorește să-și exprime individualitatea, de unde și diferențele de unghiuri de înclinare pentru fiecare piramidă. Dar ar putea exista un alt motiv. Poate că toți au vrut să întruchipeze diferite asociații simbolice, ascunse în proporții diferite. Cu toate acestea, unghiul piramidei lui Khafre (bazat pe triunghi (3:4:5) apare în cele trei probleme prezentate de piramide din Papirusul matematic Rhind). Deci această atitudine era bine cunoscută vechilor egipteni.

Pentru a fi corect față de egiptologii care susțin că egiptenii antici nu cunoșteau triunghiul 3:4:5, lungimea ipotenuzei 5 nu a fost niciodată menționată. Dar probleme de matematicăîntrebările referitoare la piramide sunt întotdeauna decise pe baza celui de-al doilea unghi - raportul dintre înălțime și bază. Deoarece lungimea ipotenuzei nu a fost niciodată menționată, s-a ajuns la concluzia că egiptenii nu au calculat niciodată lungimea celei de-a treia laturi.

Raporturile înălțime-bază folosite în piramidele din Giza erau, fără îndoială, cunoscute egiptenilor antici. Este posibil ca aceste relații pentru fiecare piramidă să fi fost alese în mod arbitrar. Cu toate acestea, acest lucru contrazice importanța acordată simbolismului numerelor în toate tipurile de egiptean Arte vizuale. Este foarte probabil ca astfel de relații să fie semnificative, deoarece exprimau idei religioase specifice. Cu alte cuvinte, întregul complex Giza a fost subordonat unui design coerent menit să reflecte o anumită temă divină. Acest lucru ar explica de ce designerii au ales unghiuri diferite pentru cele trei piramide.

În Misterul lui Orion, Bauval și Gilbert au prezentat dovezi convingătoare care leagă piramidele din Giza cu constelația Orion, în special cu stelele din Centura lui Orion fiecare piramidă ca reprezentare a uneia dintre cele trei zeități principale - Osiris, Isis și Horus.

MIRACURI „GEOMETRICE”.

Printre grandioasele piramide ale Egiptului ocupă un loc aparte Marea Piramidă a faraonului Keops (Khufu). Înainte de a începe să analizăm forma și dimensiunea piramidei Keops, ar trebui să ne amintim ce sistem de măsuri au folosit egiptenii. Egiptenii aveau trei unități de lungime: un „cot” (466 mm), care era egal cu șapte „palme” (66,5 mm), care, la rândul lor, era egal cu patru „degete” (16,6 mm).

Să analizăm dimensiunile piramidei Keops (Fig. 2), urmând argumentele date în minunata carte a savantului ucrainean Nikolai Vasyutinsky „Proporția de aur” (1990).

Majoritatea cercetătorilor sunt de acord că lungimea laturii bazei piramidei, de exemplu, GF egal cu L= 233,16 m Această valoare corespunde aproape exact la 500 de „coate”. Respectarea deplină a 500 de „coturi” va avea loc dacă lungimea „cotului” este considerată egală cu 0,4663 m.

Înălțimea piramidei ( H) este estimată de cercetători în mod variat de la 146,6 la 148,2 m Și în funcție de înălțimea acceptată a piramidei, toate relațiile elementelor sale geometrice se modifică. Care este motivul diferențelor de estimări ale înălțimii piramidei? Cert este că, strict vorbind, piramida lui Keops este trunchiată. Platforma sa superioară măsoară astăzi aproximativ 10 ´ 10 m, dar acum un secol avea 6 ´ 6 m Evident, vârful piramidei a fost demontat și nu corespunde cu cel inițial.

Atunci când se evaluează înălțimea piramidei, este necesar să se țină cont de un astfel de factor fizic precum „proiectul” structurii. Pe o perioadă lungă de timp, sub influența presiunii colosale (atingând 500 de tone la 1 m2 de suprafață inferioară), înălțimea piramidei a scăzut față de înălțimea inițială.

Care a fost înălțimea inițială a piramidei? Această înălțime poate fi recreată prin găsirea „ideei geometrice” de bază a piramidei.

Figura 2.

În 1837, colonelul englez G. Wise a măsurat unghiul de înclinare al fețelor piramidei: s-a dovedit a fi egal A= 51°51". Această valoare este încă recunoscută de majoritatea cercetătorilor astăzi. Valoarea unghiului specificată corespunde tangentei (tg A), egal cu 1,27306. Această valoare corespunde raportului dintre înălțimea piramidei AC la jumătatea bazei sale C.B.(Fig.2), adică A.C. / C.B. = H / (L / 2) = 2H / L.

Și aici cercetătorii au avut o mare surpriză!.png" width="25" height="24">= 1.272. Comparând această valoare cu valoarea tg A= 1,27306, vedem că aceste valori sunt foarte apropiate unele de altele. Dacă luăm unghiul A= 51°50”, adică reduceți-l cu doar un minut de arc, apoi valoarea A va deveni egal cu 1,272, adică va coincide cu valoarea. De remarcat că în 1840 G. Wise și-a repetat măsurătorile și a clarificat că valoarea unghiului A=51°50".

Aceste măsurători i-au condus pe cercetători la următoarea ipoteză foarte interesantă: triunghiul ACB al piramidei lui Keops s-a bazat pe relația AC / C.B. = = 1,272!

Luați în considerare acum triunghiul dreptunghic ABC, în care raportul picioarelor A.C. / C.B.= (Fig. 2). Dacă acum lungimile laturilor dreptunghiului ABC desemnat prin X, y, z, și, de asemenea, să ia în considerare faptul că raportul y/X= , apoi în conformitate cu teorema lui Pitagora, lungimea z poate fi calculat folosind formula:

Dacă acceptăm X = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Figura 3. Triunghi dreptunghic „de aur”.

Un triunghi dreptunghic în care laturile sunt legate ca t:de aur" triunghi dreptunghic.

Apoi, dacă luăm ca bază ipoteza că „ideea geometrică” principală a piramidei lui Cheops este un triunghi dreptunghic „de aur”, atunci de aici putem calcula cu ușurință înălțimea „proiectului” a piramidei lui Cheops. Este egal cu:

H = (L/2) ´ = 148,28 m.

Să derivăm acum câteva alte relații pentru piramida lui Keops, care decurg din ipoteza „de aur”. În special, vom găsi raportul dintre zona exterioară a piramidei și zona bazei sale. Pentru a face acest lucru, luăm lungimea piciorului C.B. pe unitate, adică: C.B.= 1. Dar apoi lungimea laturii bazei piramidei GF= 2 și aria bazei EFGH va fi egal SEFGH = 4.

Să calculăm acum aria feței laterale a piramidei Keops SD. De la înălțime AB triunghi AEF egal cu t, atunci aria feței laterale va fi egală cu SD = t. Apoi, aria totală a tuturor celor patru fețe laterale ale piramidei va fi egală cu 4 t, iar raportul dintre suprafața totală exterioară a piramidei și aria bazei va fi egal cu raportul de aur! Asta e - principalul mister geometric al piramidei lui Keops!

Grupul de „miracole geometrice” din piramida lui Keops include proprietăți reale și exagerate ale relațiilor dintre diferitele dimensiuni din piramidă.

De regulă, ele sunt obținute în căutarea anumitor „constante”, în special, numărul „pi” (numărul lui Ludolfo), egal cu 3,14159...; baza logaritmilor naturali „e” (numărul Neperovo), egală cu 2,71828...; numărul „F”, numărul „secțiunii de aur”, egal cu, de exemplu, 0,618... etc.

Puteti numi, de exemplu: 1) Proprietatea lui Herodot: (Inaltime)2 = 0,5 art. de bază x Apothem; 2) Proprietatea lui V. Pret: Inaltime: 0,5 art. baza = rădăcina pătrată a lui „F”; 3) Proprietatea lui M. Eist: Perimetrul bazei: 2 Inaltime = "Pi"; într-o interpretare diferită - 2 linguri. de bază : Înălțime = „Pi”; 4) Proprietatea lui G. Muchia: Raza cercului înscris: 0,5 art. de bază = "F"; 5) Proprietatea lui K. Kleppisch: (Art. principal.)2: 2(Art. principal. x Apothem) = (Art. principal. W. Apothema) = 2(Art. principal. x Apothem) : ((2 art. principal. . principal X Apothem) + (v. principal)2). etc. Puteți veni cu multe astfel de proprietăți, mai ales dacă conectați două piramide adiacente. De exemplu, ca „Proprietățile lui A. Arefyev” se poate menționa că diferența dintre volumele piramidei lui Keops și piramidei lui Khafre este egală cu dublul volumului piramidei lui Mikerin...

Mulți prevederi interesanteÎn special, construcția piramidelor conform „raportului de aur” este descrisă în cărțile lui D. Hambidge „Simetria dinamică în arhitectură” și M. Gick „Estetica proporției în natură și artă”. Să ne amintim că „raportul de aur” este împărțirea unui segment într-un astfel de raport încât partea A este de atâtea ori mai mare decât partea B, de câte ori A este mai mic decât întregul segment A + B. Raportul A/B este egal cu numărul „F” == 1,618 .. Utilizarea „raportului de aur” este indicată nu numai în piramidele individuale, ci și în întregul complex de piramide de la Giza.

Cel mai curios lucru, însă, este că una și aceeași piramidă a lui Cheops pur și simplu „nu poate” conține atât de multe proprietăți minunate. Luând o anumită proprietate una câte una, aceasta poate fi „montată”, dar toate nu se potrivesc deodată - nu coincid, se contrazic. Prin urmare, dacă, de exemplu, la verificarea tuturor proprietăților, luăm inițial aceeași parte a bazei piramidei (233 m), atunci înălțimile piramidelor cu proprietăți diferite vor fi și ele diferite. Cu alte cuvinte, există o anumită „familie” de piramide care sunt similare în exterior cu Keops, dar corespund proprietăți diferite. Rețineți că nu există nimic deosebit de miraculos în proprietățile „geometrice” - multe apar pur automat, din proprietățile figurii în sine. Un „miracol” ar trebui considerat doar ceva ce era în mod clar imposibil pentru egiptenii antici. Aceasta, în special, include miracole „cosmice”, în care măsurătorile piramidei Cheops sau ale complexului piramidal de la Giza sunt comparate cu unele măsurători astronomice și sunt indicate numere „pare”: de un milion de ori mai puțin, de un miliard de ori mai puțin și curând. Să luăm în considerare câteva relații „cosmice”.

Una dintre afirmații este: „dacă împărțiți latura bazei piramidei la lungimea exactă a unui an, obțineți exact 10 milionimi dintr-un an”. axa pământului". Calculați: împărțiți 233 la 365, obținem 0,638. Raza Pământului este de 6378 km.

O altă afirmație este de fapt opusă celei anterioare. F. Noetling a subliniat că, dacă folosiți „cotul egiptean” pe care l-a inventat el însuși, atunci partea piramidei va corespunde „cea mai precisă durată”. an solar, exprimată la cea mai apropiată miliardime dintr-o zi” - 365.540.903.777.

Afirmația lui P. Smith: „Înălțimea piramidei este exact o miliardime din distanța de la Pământ la Soare”. Deși înălțimea luată de obicei este de 146,6 m, Smith a considerat-o ca 148,2 m. Conform măsurătorilor radar moderne, semi-axa majoră a orbitei pământului este de 149.597.870 + 1,6 km. Aceasta este distanța medie de la Pământ la Soare, dar la periheliu este cu 5.000.000 de kilometri mai mică decât la afeliu.

O ultima afirmatie interesanta:

„Cum putem explica că masele piramidelor lui Keops, Khafre și Mykerinus se relaționează între ele, ca și masele planetelor Pământ, Venus și Marte?” Să calculăm. Masele celor trei piramide sunt: ​​Khafre - 0,835; Keops - 1.000; Mikerin - 0,0915. Raporturile maselor celor trei planete: Venus - 0,815; Pământ - 1.000; Marte - 0,108.

Deci, în ciuda scepticismului, remarcăm armonia binecunoscută a construcției enunțurilor: 1) înălțimea piramidei, ca o linie „mergând în spațiu”, corespunde distanței de la Pământ la Soare; 2) partea bazei piramidei, cea mai apropiată „de substrat”, adică de Pământ, este responsabilă pentru raza pământului și circulația pământului; 3) volumele piramidei (citește - mase) corespund raportului dintre masele planetelor cele mai apropiate de Pământ. Un „cifr” similar poate fi urmărit, de exemplu, în limbajul albinelor analizat de Karl von Frisch. Cu toate acestea, ne vom abține de la a comenta această problemă pentru moment.

FORMA DE PIRAMIDĂ

Celebra formă tetraedrică a piramidelor nu a apărut imediat. Sciții au făcut înmormântări sub formă de dealuri de pământ - movile. Egiptenii au construit „dealuri” din piatră – piramide. Acest lucru s-a întâmplat pentru prima dată după unificarea Egiptului de Sus și de Jos, în secolul 28 î.Hr., când fondatorul celei de-a treia dinastii, faraonul Djoser (Zoser), s-a confruntat cu sarcina de a întări unitatea țării.

Și aici, potrivit istoricilor, rol important a jucat în întărirea guvernului central” concept nou„îndumnezeirea” regelui Deși înmormântările regale se remarcau printr-o splendoare mai mare, ele nu se deosebeau în principiu de mormintele nobililor de curte, erau aceleași structuri - mastaba deasupra camerei cu sarcofagul care conținea mumia A fost turnat un deal de pietre mici, unde a fost apoi așezat o mică clădire din blocuri mari de piatră - „mastaba” (în arabă - „bancă”). Pe locul mastabei predecesorului său, Sanakht, faraonul Djoser a ridicat primul. piramidă a fost treptă și a fost o etapă de tranziție vizibilă de la o formă arhitecturală la alta.

În acest fel, înțeleptul și arhitectul Imhotep, care mai târziu a fost considerat un vrăjitor și identificat de greci cu zeul Asclepius, l-a „crescut” pe faraon. Parcă s-au ridicat șase mastaba la rând. Mai mult, prima piramidă a ocupat o suprafață de 1125 x 115 metri, cu o înălțime estimată de 66 de metri (conform standardelor egiptene - 1000 de „palmii”). La început, arhitectul a plănuit să construiască o mastaba, dar nu alungită, ci în plan pătrat. Ulterior a fost extins, dar din moment ce extensia a fost făcută mai jos, părea că sunt două trepte.

Această situație nu l-a mulțumit pe arhitect, iar pe platforma superioară a uriașei mastabe plate, Imhotep a mai așezat trei, scăzând treptat spre vârf. Mormântul era situat sub piramidă.

Mai multe piramide trepte sunt cunoscute, dar mai târziu constructorii au trecut la construirea de piramide tetraedrice care ne sunt mai familiare. De ce, totuși, nu triunghiular sau, să zicem, octogonal? Un răspuns indirect este dat de faptul că aproape toate piramidele sunt orientate perfect de-a lungul celor patru direcții cardinale și, prin urmare, au patru laturi. În plus, piramida era o „casă”, carcasa unei camere funerare pătraunghiulare.

Dar ce a determinat unghiul de înclinare al fețelor? În cartea „Principiul proporțiilor” un întreg capitol este dedicat acestui lucru: „Ce ar fi putut determina unghiurile de înclinare ale piramidelor”. În special, se indică faptul că „imaginea către care gravitează marile piramide Regatul antic- un triunghi cu unghi drept la vârf.

În spațiu este un semi-octaedru: o piramidă în care marginile și laturile bazei sunt egale, marginile sunt triunghiuri echilaterale.” Anumite considerații sunt date pe acest subiect în cărțile lui Hambidge, Gick și alții.

Care este avantajul unghiului semi-octaedru? Conform descrierilor făcute de arheologi și istorici, unele piramide s-au prăbușit sub propria greutate. Ceea ce era necesar era un „unghi de durabilitate”, un unghi care era cel mai sigur din punct de vedere energetic. Pur empiric, acest unghi poate fi luat din unghiul vârfului într-o grămadă de nisip uscat care se prăbușește. Dar pentru a obține date exacte, trebuie să utilizați un model. Luând patru bile bine fixate, trebuie să plasați o a cincea pe ele și să măsurați unghiurile de înclinare. Cu toate acestea, puteți face o greșeală aici, așa că un calcul teoretic vă ajută: ar trebui să conectați centrele bilelor cu linii (mental). Baza va fi un pătrat cu latura egală cu dublul razei. Pătratul va fi doar baza piramidei, a cărei lungime a marginilor va fi, de asemenea, egală cu dublul razei.

Astfel, un pachet strâns de bile precum 1:4 ne va oferi un semi-octaedru obișnuit.

Cu toate acestea, de ce multe piramide, care gravitează spre o formă similară, nu o păstrează totuși? Piramidele probabil îmbătrânesc. Contrar celebrului zical:

„Totul în lume se teme de timp, iar timpul îi este frică de piramide”, clădirile piramidelor trebuie să îmbătrânească, nu numai procesele de intemperii exterioare pot și ar trebui să apară în ele, ci și procesele de „contracție” internă, care pot determină ca piramidele să devină mai joase. Contracția este posibilă și pentru că, așa cum a relevat lucrările lui D. Davidovits, egiptenii antici au folosit tehnologia de a face blocuri din așchii de var, cu alte cuvinte, din „beton”. Tocmai procese similare ar putea explica motivul distrugerii Piramidei Medum, situată la 50 km sud de Cairo. Are 4600 de ani, dimensiunile bazei sunt 146 x 146 m, inaltimea este de 118 m. „De ce este atât de desfigurat?” se întreabă V. Zamarovsky „Referințele obișnuite la efectele distructive ale timpului și „utilizarea pietrei pentru alte clădiri” nu sunt potrivite.

La urma urmei, majoritatea blocurilor și plăcilor sale de parament au rămas pe loc până în ziua de azi, în ruine la poalele sale." După cum vom vedea, o serie de prevederi ne fac chiar să credem că celebra piramidă a lui Keops, de asemenea, a "zărit". în orice caz, în toate imaginile antice, piramidele sunt ascuțite...

Forma piramidelor ar fi putut fi generată și prin imitație: niște mostre naturale, „perfecțiune miraculoasă”, să zicem, niște cristale sub formă de octaedru.

Cristale similare ar putea fi cristale de diamant și aur. Caracteristică un numar mare de semne „suprapuse” pentru concepte precum Faraon, Soare, Aur, Diamant. Peste tot - nobil, genial (strălucitor), grozav, impecabil și așa mai departe. Asemănările nu sunt întâmplătoare.

Cultul solar, după cum se știe, a format o parte importantă a religiei Egiptul antic. „Oricât vom traduce numele celei mai mari piramide”, notează unul dintre manualele moderne, „Cerul lui Khufu” sau „Cerul lui Khufu”, însemna că regele este soarele.” Dacă Khufu, în strălucirea puterii sale, și-a imaginat că este al doilea soare, atunci fiul său Djedef-Ra a devenit primul dintre regii egipteni care s-a numit „fiul lui Ra”, adică fiul Soarelui. Soarele, în aproape toate națiunile, era simbolizat de „metalul solar”, aurul. „Un disc mare de aur strălucitor” - așa numeau egiptenii lumina noastră. Egiptenii cunoșteau perfect aurul, cunoșteau formele sale native, unde cristalele de aur pot apărea sub formă de octaedre.

Cât de interesant este „formulare de exemplu” aici și „ piatra soarelui" - diamant. Numele diamantului a venit tocmai de la lumea arabă, „almas” - cel mai dur, cel mai întărit, indestructibil. Vechii egipteni cunoșteau destul de bine diamantul și proprietățile sale. Potrivit unor autori, au folosit chiar tuburi de bronz cu freze de diamant pentru găurire.

În prezent, principalul furnizor de diamante este Africa de Sud, dar Africa de Vest este și ea bogată în diamante. Teritoriul Republicii Mali este chiar numit „Țara diamantelor”. Între timp, pe teritoriul Mali locuiesc dogonii, alături de care susținătorii ipotezei paleo-vizitei pun multe speranțe (vezi mai jos). Diamantele nu ar fi putut fi motivul contactelor vechilor egipteni cu această regiune. Cu toate acestea, într-un fel sau altul, este posibil ca tocmai prin copierea octaedrelor de diamant și cristale de aur, egiptenii antici să-i îndumnezeeze pe faraoni, „indestructibili” ca diamantul și „străluciți” ca aurul, fiii Soarelui, comparabili doar la cele mai minunate creații ale naturii.

Concluzie:

După ce am studiat piramida ca corp geometric, făcând cunoștință cu elementele și proprietățile sale, ne-am convins de validitatea opiniei despre frumusețea formei piramidei.

În urma cercetărilor noastre, am ajuns la concluzia că egiptenii, după ce au adunat cele mai valoroase cunoștințe matematice, le-au întruchipat într-o piramidă. Prin urmare, piramida este cu adevărat cea mai perfectă creație a naturii și a omului.

BIBLIOGRAFIE

„Geometrie: manual. pentru clasele 7 – 9. educatie generala instituţii\ etc. - ed. a IX-a - M.: Educaţie, 1999

Istoria matematicii în școală, M: „Prosveshchenie”, 1982.

Geometrie clasele 10-11, M: „Iluminism”, 2000

Peter Tompkins „Secretele Marii Piramide a lui Keops”, M: „Tsentropoligraf”, 2005.

Resurse de internet

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Conceptul de piramidă

Definiția 1

O figură geometrică formată dintr-un poligon și un punct care nu se află în planul care conține acest poligon, conectat la toate vârfurile poligonului, se numește piramidă (Fig. 1).

Poligonul din care este făcută piramida se numește baza piramidei triunghiurile rezultate, atunci când sunt conectate la un punct, sunt fețele laterale ale piramidei, laturile triunghiurilor sunt laturile piramidei, iar punctul comun; la toate triunghiurile este vârful piramidei.

Tipuri de piramide

În funcție de numărul de unghiuri de la baza piramidei, aceasta poate fi numită triunghiulară, patruunghiulară și așa mai departe (Fig. 2).

Figura 2.

Un alt tip de piramidă este piramida obișnuită.

Să introducem și să dovedim proprietatea unei piramide obișnuite.

Teorema 1

Toate fețele laterale ale unei piramide regulate sunt triunghiuri isoscele care sunt egale între ele.

Dovada.

Considerăm o piramidă $n-$gonală regulată cu vârf $S$ de înălțime $h=SO$. Să desenăm un cerc în jurul bazei (Fig. 4).

Figura 4.

Luați în considerare triunghiul $SOA$. Conform teoremei lui Pitagora, obținem

Evident, orice margine laterală va fi definită astfel. În consecință, toate marginile laterale sunt egale între ele, adică toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele. Să demonstrăm că sunt egali unul cu celălalt. Deoarece baza este un poligon regulat, bazele tuturor fețelor laterale sunt egale între ele. În consecință, toate fețele laterale sunt egale conform criteriului III al egalității triunghiurilor.

Teorema a fost demonstrată.

Să introducem acum următoarea definiție legată de conceptul de piramidă obișnuită.

Definiția 3

Apotema unei piramide regulate este înălțimea feței sale laterale.

Evident, prin Teorema Unu, toate apotemele sunt egale între ele.

Teorema 2

Suprafața laterală a unei piramide obișnuite este determinată ca produsul dintre semiperimetrul bazei și apotema.

Dovada.

Să notăm cu $a$ latura bazei $n-$piramidei, iar apotema cu $d$. Prin urmare, aria feței laterale este egală cu

Deoarece, conform teoremei 1, toate laturile sunt egale, atunci

Teorema a fost demonstrată.

Un alt tip de piramidă este o piramidă trunchiată.

Definiția 4

Dacă un plan paralel cu baza sa este trasat printr-o piramidă obișnuită, atunci figura formată între acest plan și planul bazei se numește piramidă trunchiată (Fig. 5).

Figura 5. Piramida trunchiată

Fețele laterale ale trunchiului piramidei sunt trapeze.

Teorema 3

Suprafața laterală a unei piramide trunchiate obișnuite este determinată ca produsul dintre suma semiperimetrelor bazelor și apotema.

Dovada.

Să notăm laturile bazelor $n-$piramidei gonale cu $a\, respectiv\ b$, iar apotema cu $d$. Prin urmare, aria feței laterale este egală cu

Din moment ce toate părțile sunt egale, atunci

Teorema a fost demonstrată.

Exemplu de sarcină

Exemplul 1

Găsiți aria suprafeței laterale a unei piramide triunghiulare trunchiate dacă este obținută dintr-o piramidă obișnuită cu latura de bază 4 și apotema 5 prin tăierea unui plan care trece prin linia mediană a fețelor laterale.

Soluţie.

Prin teorema despre linia mediană constatăm că baza superioară a piramidei trunchiate este egală cu $4\cdot \frac(1)(2)=2$, iar apotema este egală cu $5\cdot \frac(1)(2)=2,5$.

Apoi, prin teorema 3, obținem

Acest tutorial video va ajuta utilizatorii să-și facă o idee despre tema Piramida. Piramida corectă. În această lecție ne vom familiariza cu conceptul de piramidă și îi vom da o definiție. Să luăm în considerare ce este o piramidă obișnuită și ce proprietăți are. Apoi demonstrăm teorema despre suprafața laterală a unei piramide regulate.

În această lecție ne vom familiariza cu conceptul de piramidă și îi vom da o definiție.

Luați în considerare un poligon A 1 A 2...A n, care se află în planul α și punctul P, care nu se află în planul α (Fig. 1). Să conectăm punctele P cu vârfuri A 1, A 2, A 3, … A n. Primim n triunghiuri: A 1 A 2 R, A 2 A 3 Rși așa mai departe.

Definiție. Poliedru RA 1 A 2 ...A n, alcătuit din n-pătrat A 1 A 2...A nȘi n triunghiuri RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 este numit n-piramida cărbunelui. Orez. 1.

Orez. 1

Luați în considerare o piramidă patruunghiulară PABCD(Fig. 2).

R- vârful piramidei.

ABCD- baza piramidei.

RA- coasta laterala.

AB- coasta de baza.

Din punct de vedere R să scăpăm perpendiculara RN la planul de bază ABCD. Perpendiculara desenată este înălțimea piramidei.

Orez. 2

Suprafata intreaga Piramida constă dintr-o suprafață laterală, adică aria tuturor fețelor laterale și aria bazei:

S plin = S lateral + S principal

O piramidă se numește corectă dacă:

• baza sa este un poligon regulat;
• segmentul care leagă vârful piramidei cu centrul bazei este înălțimea acesteia.

Explicație folosind exemplul unei piramide patruunghiulare obișnuite

Luați în considerare o piramidă patruunghiulară obișnuită PABCD(Fig. 3).

R- vârful piramidei. Baza piramidei ABCD- un patrulater regulat, adică un pătrat. Punct DESPRE, punctul de intersecție al diagonalelor, este centrul pătratului. Mijloace, RO este înălțimea piramidei.

Orez. 3

Explicaţie: în corect nÎntr-un triunghi, centrul cercului înscris și centrul cercului circumscris coincid. Acest centru se numește centrul poligonului. Uneori se spune că vârful este proiectat în centru.

Se numește înălțimea feței laterale a unei piramide regulate trasă din vârful acesteia apotema si este desemnat h a.

1. toate marginile laterale ale unei piramide regulate sunt egale;

2. Fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale.

Vom da o dovadă a acestor proprietăți folosind exemplul unei piramide patruunghiulare obișnuite.

Dat: PABCD- piramida patruunghiulara regulata,

ABCD- pătrat,

RO- inaltimea piramidei.

Dovedi:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Vezi Fig. 4.

Orez. 4

Dovada.

RO- inaltimea piramidei. Adică drept RO perpendicular pe plan ABC, și deci direct SA, VO, SOȘi DO culcat în ea. Deci triunghiuri ROA, ROV, ROS, ROD- dreptunghiular.

Luați în considerare un pătrat ABCD. Din proprietățile unui pătrat rezultă că AO = VO = CO = DO.

Apoi triunghiurile dreptunghiulare ROA, ROV, ROS, ROD picior RO- general si picioare SA, VO, SOȘi DO sunt egale, ceea ce înseamnă că aceste triunghiuri sunt egale pe două laturi. Din egalitatea triunghiurilor rezultă egalitatea segmentelor, RA = PB = RS = PD. Punctul 1 a fost dovedit.

Segmente ABȘi Soare sunt egale pentru că sunt laturile aceluiași pătrat, RA = PB = RS. Deci triunghiuri AVRȘi VSR - isoscel și egal pe trei laturi.

Într-un mod similar găsim că triunghiurile ABP, VCP, CDP, DAP sunt isoscele și egale, așa cum este necesar să se dovedească la paragraful 2.

Aria suprafeței laterale a unei piramide regulate este egală cu jumătate din produsul dintre perimetrul bazei și apotema:

Pentru a demonstra acest lucru, să alegem o piramidă triunghiulară obișnuită.

Dat: RAVS- piramida triunghiulara regulata.

AB = BC = AC.

RO- înălțime.

Dovedi: . Vezi fig. 5.

Orez. 5

Dovada.

RAVS- piramida triunghiulara regulata. Acesta este AB= AC = BC. Lăsa DESPRE- centrul triunghiului ABC, Apoi RO este înălțimea piramidei. La baza piramidei se află un triunghi echilateral ABC. observa asta .

Triunghiuri RAV, RVS, RSA- triunghiuri isoscele egale (după proprietate). O piramidă triunghiulară are trei fețe laterale: RAV, RVS, RSA. Aceasta înseamnă că aria suprafeței laterale a piramidei este:

Partea S = 3S RAW

Teorema a fost demonstrată.

Raza unui cerc înscris la baza unei piramide patrulatere obișnuite este de 3 m, înălțimea piramidei este de 4 m Aflați aria suprafeței laterale a piramidei.

Dat: piramidă patruunghiulară regulată ABCD,

ABCD- pătrat,

r= 3 m,

RO- inaltimea piramidei,

RO= 4 m.

Găsi: partea S. Vezi fig. 6.

Orez. 6

Soluţie.

Conform teoremei dovedite, .

Să găsim mai întâi partea laterală a bazei AB. Știm că raza unui cerc înscris la baza unei piramide patruunghiulare regulate este de 3 m.

Apoi, m.

Aflați perimetrul pătratului ABCD cu latura de 6 m:

Luați în considerare un triunghi BCD. Lăsa M- mijlocul lateral DC. Deoarece DESPRE- mijloc BD, Acea (m).

Triunghi DPC- isoscel. M- mijloc DC. Acesta este, RM- mediana, și deci înălțimea în triunghi DPC. Apoi RM- apotema piramidei.

RO- inaltimea piramidei. Apoi, drept RO perpendicular pe plan ABC, și deci direct OM, culcat în ea. Să găsim apotema RM dintr-un triunghi dreptunghic ROM.

Acum putem găsi suprafața laterală a piramidei:

Răspuns: 60 m2.

Raza cercului circumscris bazei unei piramide triunghiulare regulate este egală cu m Aria suprafeței laterale este de 18 m2. Aflați lungimea apotemului.

Dat: ABCP- piramida triunghiulara regulata,

AB = BC = SA,

R= m,

Latura S = 18 m2.

Găsi: . Vezi fig. 7.

Orez. 7

Soluţie.

Într-un triunghi dreptunghic ABC Este dată raza cercului circumscris. Să găsim o parte AB acest triunghi folosind legea sinusurilor.

Cunoscând partea triunghi regulat(m), să-i găsim perimetrul.

Prin teorema pe suprafața laterală a unei piramide regulate, unde h a- apotema piramidei. Apoi:

Răspuns: 4 m.

Deci, ne-am uitat la ce este o piramidă, ce este o piramidă obișnuită și am demonstrat teorema despre suprafața laterală a unei piramide obișnuite. În lecția următoare ne vom familiariza cu piramida trunchiată.

Bibliografie

1. Geometrie. Clasele 10-11: manual pentru elevi institutii de invatamant(nivel de bază și de profil) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Ed. a 5-a, rev. si suplimentare - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.
2. Geometrie. Clasa 10-11: Manual pentru invatamantul general institutii de invatamant/ Sharygin I.F. - M.: Gutarda, 1999. - 208 p.: ill.
3. Geometrie. Nota a 10-a: Manual pentru instituţiile de învăţământ general cu studiu aprofundat şi de specialitate la matematică /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Ed. a VI-a, stereotip. - M.: Butard, 008. - 233 p.: ill.

1. Portalul de internet „Yaklass” ()
2. Portalul de internet „Festival idei pedagogice„Primul septembrie” ()
3. Portalul de internet „Slideshare.net” ()

Teme pentru acasă

1. Poate un poligon regulat să fie baza unei piramide neregulate?
2. Demonstrați că muchiile disjunse ale unei piramide regulate sunt perpendiculare.
3. Găsiți valoarea unghi diedru pe latura bazei unei piramide patruunghiulare regulate, dacă apotema piramidei este egală cu latura bazei acesteia.
4. RAVS- piramida triunghiulara regulata. Construiți unghiul liniar al unghiului diedric de la baza piramidei.

Când rezolvă problema C2 folosind metoda coordonatelor, mulți elevi se confruntă cu aceeași problemă. Ei nu pot calcula coordonatele punctelor incluse în formulă produs punctual. Apar cele mai mari dificultăți piramide. Și dacă punctele de bază sunt considerate mai mult sau mai puțin normale, atunci vârfurile sunt un adevărat iad.

Astăzi vom lucra la o piramidă patruunghiulară obișnuită. Există, de asemenea, o piramidă triunghiulară (alias - tetraedru). Acesta este un design mai complex, așa că îi va fi dedicată o lecție separată.

În primul rând, să ne amintim definiția:

O piramidă obișnuită este aceea care:

1. Baza este un poligon regulat: triunghi, pătrat etc.;
2. O altitudine trasă la bază trece prin centrul acesteia.

În special, baza unei piramide patruunghiulare este pătrat. La fel ca și Cheops, doar puțin mai mic.

Mai jos sunt calcule pentru o piramidă în care toate marginile sunt egale cu 1. Dacă nu este cazul în problema dvs., calculele nu se schimbă - doar numerele vor fi diferite.

Vârfurile unei piramide patruunghiulare

Deci, să fie dată o piramidă patruunghiulară regulată SABCD, unde S este vârful și baza ABCD este un pătrat. Toate muchiile sunt egale cu 1. Trebuie să introduceți un sistem de coordonate și să găsiți coordonatele tuturor punctelor. Avem:

Introducem un sistem de coordonate cu originea in punctul A:

1. Axa OX este îndreptată paralel cu muchia AB;
2. Axa OY este paralelă cu AD. Deoarece ABCD este un pătrat, AB ⊥ AD;
3. În cele din urmă, direcționăm axa OZ în sus, perpendicular pe planul ABCD.

Acum calculăm coordonatele. Construcție suplimentară: SH - înălțime trasă la bază. Pentru comoditate, vom plasa baza piramidei într-un desen separat. Deoarece punctele A, B, C și D se află în planul OXY, coordonatele lor este z = 0. Avem:

1. A = (0; 0; 0) - coincide cu originea;
2. B = (1; 0; 0) - pas cu 1 de-a lungul axei OX de la origine;
3. C = (1; 1; 0) - pas cu 1 de-a lungul axei OX și cu 1 de-a lungul axei OY;
4. D = (0; 1; 0) - pas numai de-a lungul axei OY.
5. H = (0,5; 0,5; 0) - centrul pătratului, mijlocul segmentului AC.

Rămâne de găsit coordonatele punctului S. Rețineți că coordonatele x și y ale punctelor S și H sunt aceleași, deoarece se află pe o dreaptă paralelă cu axa OZ. Rămâne de găsit coordonata z pentru punctul S.

Luați în considerare triunghiurile ASH și ABH:

1. AS = AB = 1 prin condiție;
2. Unghiul AHS = AHB = 90°, deoarece SH este înălțimea și AH ⊥ HB ca diagonalele pătratului;
3. Partea AH este comună.

Prin urmare, triunghiuri dreptunghiulare ASH și ABH egal câte un catet și câte o ipotenuză. Aceasta înseamnă SH = BH = 0,5 BD. Dar BD este diagonala unui pătrat cu latura 1. Prin urmare avem:

Coordonatele totale ale punctului S:

În concluzie, notăm coordonatele tuturor vârfurilor unei piramide dreptunghiulare regulate:

Ce să faci când coastele sunt diferite

Ce se întâmplă dacă marginile laterale ale piramidei nu sunt egale cu marginile bazei? În acest caz, luați în considerare triunghiul AHS:

Triunghiul AHS - dreptunghiular, iar ipotenuza AS este, de asemenea, o margine laterală a piramidei originale SABCD. Piciorul AH este ușor de calculat: AH = 0,5 AC. Vom găsi piciorul rămas SH conform teoremei lui Pitagora. Aceasta va fi coordonata z pentru punctul S.

Sarcină. Având în vedere o piramidă patruunghiulară regulată SABCD, la baza căreia se află un pătrat cu latura 1. Muchia laterală BS = 3. Aflați coordonatele punctului S.

Cunoaștem deja coordonatele x și y ale acestui punct: x = y = 0,5. Aceasta rezultă din două fapte:

1. Proiecția punctului S pe planul OXY este punctul H;
2. În același timp, punctul H este centrul unui pătrat ABCD, ale cărui laturi sunt egale cu 1.

Rămâne de găsit coordonatele punctului S. Luați în considerare triunghiul AHS. Este dreptunghiulară, cu ipotenuza AS = BS = 3, catetul AH fiind jumătate din diagonală. Pentru calcule suplimentare avem nevoie de lungimea sa:

Teorema lui Pitagora pentru triunghiul AHS: AH 2 + SH 2 = AS 2. Avem:

Deci, coordonatele punctului S: