Derivate complexe. Derivată logaritmică.
Derivată a unei funcții putere-exponențială

Continuăm să ne îmbunătățim tehnica de diferențiere. În această lecție, vom consolida materialul pe care l-am abordat, vom analiza derivate mai complexe și, de asemenea, ne vom familiariza cu noi tehnici și trucuri pentru găsirea unei derivate, în special, cu derivata logaritmică.

Acei cititori care au un nivel scăzut de pregătire ar trebui să consulte articolul Cum să găsesc derivatul? Exemple de soluții, care vă va permite să vă ridicați abilitățile aproape de la zero. În continuare, trebuie să studiați cu atenție pagina Derivată a unei funcții complexe, înțelegeți și rezolvați Toate exemplele pe care le-am dat. Această lecție este în mod logic a treia la rând, iar după ce o stăpânești vei diferenția cu încredere funcții destul de complexe. Nu este de dorit să luăm poziția „Unde altundeva? Este suficient!”, deoarece toate exemplele și soluțiile sunt preluate din teste reale și sunt adesea întâlnite în practică.

Să începem cu repetarea. La lectie Derivată a unei funcții complexe Am analizat o serie de exemple cu comentarii detaliate. În timpul studierii calculului diferențial și a altor ramuri ale analizei matematice, va trebui să diferențiezi foarte des și nu este întotdeauna convenabil (și nu întotdeauna necesar) să descrii exemple în detaliu. Prin urmare, vom exersa găsirea derivatelor pe cale orală. Cei mai potriviți „candidați” pentru aceasta sunt derivate ale celei mai simple funcții complexe, de exemplu:

Conform regulii de diferenţiere a funcţiilor complexe :

Când studiați alte subiecte matan în viitor, o înregistrare atât de detaliată nu este de cele mai multe ori necesară, se presupune că studentul știe să găsească astfel de derivate pe pilotul automat. Să ne imaginăm că la ora 3 dimineața a sunat telefonul și o voce plăcută a întrebat: „Care este derivata tangentei a doi X?” Aceasta ar trebui să fie urmată de un răspuns aproape instantaneu și politicos: .

Primul exemplu va fi destinat imediat unei soluții independente.

Exemplul 1

Găsiți oral următoarele derivate, într-o singură acțiune, de exemplu: . Pentru a finaliza sarcina trebuie doar să utilizați tabel de derivate ale funcțiilor elementare(dacă nu ți-ai amintit încă). Dacă aveți dificultăți, vă recomand să recitiți lecția Derivată a unei funcții complexe.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Răspunsuri la sfârșitul lecției

Derivate complexe

După pregătirea preliminară a artileriei, exemplele cu 3-4-5 cuibări de funcții vor fi mai puțin înfricoșătoare. Următoarele două exemple pot părea complicate pentru unii, dar dacă le înțelegeți (cineva va avea de suferit), atunci aproape orice altceva din calculul diferențial va părea o glumă de copil.

Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții

După cum sa menționat deja, atunci când găsiți derivata unei funcții complexe, în primul rând, este necesar DreaptaÎNȚELEGEȚI investițiile dvs. În cazurile în care există îndoieli, vă reamintesc de o tehnică utilă: luăm valoarea experimentală a lui „x”, de exemplu, și încercăm (mental sau într-o schiță) să substituim această valoare în „expresia groaznică”.

1) Mai întâi trebuie să calculăm expresia, ceea ce înseamnă că suma este cea mai adâncă încorporare.

2) Apoi trebuie să calculați logaritmul:

4) Apoi cubează cosinusul:

5) La al cincilea pas diferența este:

6) Și în sfârșit, funcția cea mai exterioară este rădăcina pătrată:

Formula pentru diferențierea unei funcții complexe sunt aplicate în ordine inversă, de la funcția cea mai exterioară la cea mai interioară. Noi decidem:

Se pare că nu există erori...

(1) Luați derivata rădăcinii pătrate.

(2) Luăm derivata diferenței folosind regula

(3) Derivata unui triplu este zero. În al doilea termen luăm derivata gradului (cubul).

(4) Luați derivata cosinusului.

(5) Luați derivata logaritmului.

(6) Și, în sfârșit, luăm derivata celei mai profunde încorporare.

Poate părea prea dificil, dar acesta nu este cel mai brutal exemplu. Luați, de exemplu, colecția lui Kuznetsov și veți aprecia toată frumusețea și simplitatea derivatului analizat. Am observat că le place să dea un lucru similar la un examen pentru a verifica dacă un student înțelege cum să găsească derivata unei funcții complexe sau nu înțelege.

Următorul exemplu este pe care îl puteți rezolva singur.

Exemplul 3

Aflați derivata unei funcții

Sugestie: Mai întâi aplicăm regulile de liniaritate și regula de diferențiere a produsului

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Este timpul să trecem la ceva mai mic și mai frumos.
Nu este neobișnuit ca un exemplu să arate produsul nu a două, ci a trei funcții. Cum să găsiți derivata produsului a trei factori?

Exemplul 4

Aflați derivata unei funcții

Mai întâi ne uităm, este posibil să transformăm produsul a trei funcții în produsul a două funcții? De exemplu, dacă am avea două polinoame în produs, atunci am putea deschide parantezele. Dar în exemplul luat în considerare, toate funcțiile sunt diferite: grad, exponent și logaritm.

În astfel de cazuri este necesar secvenţial aplica regula de diferentiere a produselor de două ori

Trucul este că prin „y” notăm produsul a două funcții: , iar cu „ve” notăm logaritmul: . De ce se poate face asta? Este într-adevăr – acesta nu este un produs al doi factori și regula nu funcționează?! Nu este nimic complicat:

Acum rămâne să aplici regula a doua oară la paranteză:

De asemenea, puteți să vă răsuciți și să puneți ceva din paranteze, dar în acest caz este mai bine să lăsați răspunsul exact în această formă - va fi mai ușor de verificat.

Exemplul luat în considerare poate fi rezolvat în al doilea mod:

Ambele soluții sunt absolut echivalente.

Exemplul 5

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă în probă se rezolvă folosind prima metodă.

Să ne uităm la exemple similare cu fracții.

Exemplul 6

Aflați derivata unei funcții

Există mai multe moduri prin care puteți merge aici:

Sau cam asa:

Dar soluția se va scrie mai compact dacă folosim mai întâi regula de diferențiere a coeficientului , luând pentru întregul numărător:

În principiu, exemplul este rezolvat, iar dacă este lăsat așa cum este, nu va fi o eroare. Dar dacă aveți timp, este întotdeauna indicat să verificați o ciornă pentru a vedea dacă răspunsul poate fi simplificat? Să reducem expresia numărătorului la un numitor comun și să scăpăm de fracția cu trei etaje:

Dezavantajul simplificărilor suplimentare este că există riscul de a greși nu la găsirea derivatei, ci în timpul transformărilor școlare banale. Pe de altă parte, profesorii resping adesea sarcina și cer să „aducă în minte” derivatul.

Un exemplu mai simplu de rezolvat singur:

Exemplul 7

Aflați derivata unei funcții

Continuăm să stăpânim metodele de găsire a derivatei și acum vom lua în considerare un caz tipic când logaritmul „teribil” este propus pentru diferențiere

Exemplul 8

Aflați derivata unei funcții

Aici puteți merge pe calea lungă, folosind regula pentru diferențierea unei funcții complexe:

Dar chiar primul pas te cufundă imediat în deznădejde - trebuie să iei derivatul neplăcut dintr-o putere fracțională și apoi și dintr-o fracțiune.

De aceea inainte de cum să luăm derivata unui logaritm „sofisticat”, aceasta este mai întâi simplificată folosind proprietățile școlii bine-cunoscute:

! Dacă aveți la îndemână un caiet de practică, copiați aceste formule direct acolo. Dacă nu aveți un caiet, copiați-le pe o coală de hârtie, deoarece exemplele rămase ale lecției se vor învârti în jurul acestor formule.

Soluția în sine poate fi scrisă cam așa:

Să transformăm funcția:

Găsirea derivatei:

Pre-conversia funcției în sine a simplificat foarte mult soluția. Astfel, atunci când se propune un logaritm similar pentru diferențiere, este întotdeauna recomandabil să-l „defalci”.

Și acum câteva exemple simple pe care să le rezolvați singur:

Exemplul 9

Aflați derivata unei funcții

Exemplul 10

Aflați derivata unei funcții

Toate transformările și răspunsurile sunt la sfârșitul lecției.

Derivată logaritmică

Dacă derivatul logaritmilor este o muzică atât de dulce, atunci se pune întrebarea: este posibil în unele cazuri să se organizeze logaritmul în mod artificial? Poate sa! Și chiar necesar.

Exemplul 11

Aflați derivata unei funcții

Am analizat recent exemple similare. Ce să fac? Puteți aplica succesiv regula de diferențiere a coeficientului, iar apoi regula de diferențiere a produsului. Dezavantajul acestei metode este că ajungeți cu o fracție uriașă de trei etaje, cu care nu doriți să vă ocupați deloc.

Dar în teorie și practică există un lucru atât de minunat precum derivata logaritmică. Logaritmii pot fi organizați artificial prin „atârnând” pe ambele părți:

Notă : deoarece o funcție poate lua valori negative, atunci, în general, trebuie să utilizați module: , care va dispărea ca urmare a diferențierii. Cu toate acestea, designul actual este de asemenea acceptabil, unde implicit este luat în considerare complex sensuri. Dar dacă cu toată rigoarea, atunci în ambele cazuri ar trebui făcută o rezervă că.

Acum trebuie să „dezintegrați” cât mai mult posibil logaritmul din partea dreaptă (formule în fața ochilor tăi?). Voi descrie acest proces în detaliu:

Să începem cu diferențierea.
Încheiem ambele părți sub primul:

Derivatul din partea dreaptă este destul de simplu, nu îl voi comenta, pentru că dacă citiți acest text, ar trebui să îl puteți gestiona cu încredere.

Dar partea stângă?

Pe partea stângă avem functie complexa. Prevăd întrebarea: „De ce, există o literă „Y” sub logaritm?”

Faptul este că acest „joc cu o literă” - ESTE ÎNȘI O FUNCȚIE(dacă nu este foarte clar, consultați articolul Derivată a unei funcții specificată implicit). Prin urmare, logaritmul este o funcție externă, iar „y” este o funcție internă. Și folosim regula pentru diferențierea unei funcții complexe :

În partea stângă, ca prin farmec, avem un derivat. Apoi, conform regulii proporției, transferăm „y” de la numitorul părții stângi în partea de sus a părții drepte:

Și acum să ne amintim despre ce fel de funcție „jucător” am vorbit în timpul diferențierii? Să ne uităm la starea:

Răspuns final:

Exemplul 12

Aflați derivata unei funcții

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Un exemplu de proiect al unui exemplu de acest tip se află la sfârșitul lecției.

Folosind derivata logaritmică a fost posibil să se rezolve oricare dintre exemplele nr. 4-7, un alt lucru este că funcțiile de acolo sunt mai simple și, poate, utilizarea derivatei logaritmice nu este foarte justificată.

Derivată a unei funcții putere-exponențială

Nu am luat în considerare această funcție încă. O funcție exponențială putere este o funcție pentru care atât gradul cât și baza depind de „x”. Un exemplu clasic care vă va fi dat în orice manual sau prelegere:

Cum se găsește derivata unei funcții putere-exponențială?

Este necesar să se folosească tehnica tocmai discutată - derivata logaritmică. Agățăm logaritmi pe ambele părți:

De regulă, în partea dreaptă, gradul este scos de sub logaritm:

Ca urmare, în partea dreaptă avem produsul a două funcții, care vor fi diferențiate conform formulei standard .

Găsim derivata pentru a face acest lucru, închidem ambele părți sub linii:

Alte acțiuni sunt simple:

In cele din urma:

Dacă orice conversie nu este complet clară, vă rugăm să recitiți cu atenție explicațiile din Exemplul nr. 11.

În sarcinile practice, funcția putere-exponențială va fi întotdeauna mai complicată decât exemplul de prelegere considerat.

Exemplul 13

Aflați derivata unei funcții

Folosim derivata logaritmică.

În partea dreaptă avem o constantă și produsul a doi factori - „x” și „logaritmul logaritmului x” (un alt logaritm este imbricat sub logaritm). Când diferențiem, așa cum ne amintim, este mai bine să mutați imediat constanta din semnul derivat, astfel încât să nu împiedice; și, bineînțeles, aplicăm regula familiară :

Foarte ușor de reținut.

Ei bine, să nu mergem departe, să luăm imediat în considerare funcția inversă. Care funcție este inversul funcției exponențiale? Logaritm:

În cazul nostru, baza este numărul:

Un astfel de logaritm (adică un logaritm cu bază) se numește „natural” și folosim o notație specială pentru el: scriem în schimb.

Cu ce ​​este egal? Desigur, .

Derivata logaritmului natural este, de asemenea, foarte simplă:

Exemple:

1. Aflați derivata funcției.
2. Care este derivata functiei?

Raspunsuri: Logaritmul exponențial și natural sunt funcții unice simple dintr-o perspectivă derivată. Funcțiile exponențiale și logaritmice cu orice altă bază vor avea o derivată diferită, pe care o vom analiza mai târziu, după ce vom parcurge regulile de diferențiere.

Reguli de diferențiere

Reguli de ce? Din nou un nou termen, din nou?!...

Diferenţiere este procesul de găsire a derivatei.

Asta e tot. Ce altceva poți numi acest proces într-un singur cuvânt? Nu derivată... Matematicienii numesc diferenţialul acelaşi increment al unei funcţii la. Acest termen provine din latinescul diferentia - diferenta. Aici.

Când derivăm toate aceste reguli, vom folosi două funcții, de exemplu, și. De asemenea, vom avea nevoie de formule pentru incrementele lor:

Sunt 5 reguli în total.

Constanta este scoasă din semnul derivatului.

Dacă - un număr constant (constant), atunci.

Evident, această regulă funcționează și pentru diferența: .

Să demonstrăm. Să fie, sau mai simplu.

Exemple.

Aflați derivatele funcțiilor:

1. la un punct;
2. la un punct;
3. la un punct;
4. la punct.

Solutii:

1. (derivata este aceeași în toate punctele, deoarece este o funcție liniară, vă amintiți?);

Derivat al produsului

Totul este similar aici: haideți să introducem o nouă funcție și să găsim incrementul acesteia:

Derivat:

Exemple:

1. Aflați derivatele funcțiilor și;
2. Aflați derivata funcției într-un punct.

Solutii:

Derivată a unei funcții exponențiale

Acum cunoștințele tale sunt suficiente pentru a învăța cum să găsești derivata oricărei funcții exponențiale și nu doar exponenți (ai uitat încă ce este asta?).

Deci, unde este un număr.

Știm deja derivata funcției, așa că să încercăm să ne reducem funcția la o nouă bază:

Pentru a face acest lucru, vom folosi o regulă simplă: . Apoi:

Ei bine, a funcționat. Acum încercați să găsiți derivata și nu uitați că această funcție este complexă.

S-a întâmplat?

Iată, verifică-te:

Formula s-a dovedit a fi foarte asemănătoare cu derivata unui exponent: așa cum a fost, rămâne aceeași, a apărut doar un factor, care este doar un număr, dar nu o variabilă.

Exemple:
Aflați derivatele funcțiilor:

Raspunsuri:

Acesta este doar un număr care nu poate fi calculat fără un calculator, adică nu poate fi scris într-o formă mai simplă. Prin urmare, îl lăsăm în această formă în răspuns.

Rețineți că aici este câtul a două funcții, așa că aplicăm regula de diferențiere corespunzătoare:

În acest exemplu, produsul a două funcții:

Derivată a unei funcții logaritmice

Este similar aici: cunoașteți deja derivata logaritmului natural:

Prin urmare, pentru a găsi un logaritm arbitrar cu o bază diferită, de exemplu:

Trebuie să reducem acest logaritm la bază. Cum schimbi baza unui logaritm? Sper să vă amintiți această formulă:

Abia acum vom scrie în schimb:

Numitorul este pur și simplu o constantă (un număr constant, fără o variabilă). Derivata se obține foarte simplu:

Derivate ale funcțiilor exponențiale și logaritmice nu se găsesc aproape niciodată în examenul de stat unificat, dar nu va fi de prisos să le cunoaștem.

Derivată a unei funcții complexe.

Ce este o „funcție complexă”? Nu, acesta nu este un logaritm și nu o arctangentă. Aceste funcții pot fi greu de înțeles (deși dacă ți se pare dificil logaritmul, citește subiectul „Logaritmi” și vei fi bine), dar din punct de vedere matematic, cuvântul „complex” nu înseamnă „dificil”.

Imaginați-vă o bandă transportoare mică: două persoane stau și fac niște acțiuni cu unele obiecte. De exemplu, primul învelește un baton de ciocolată într-un ambalaj, iar al doilea îl leagă cu o panglică. Rezultatul este un obiect compozit: un baton de ciocolată înfășurat și legat cu o panglică. Pentru a mânca un baton de ciocolată, trebuie să faceți pașii inversi în ordine inversă.

Să creăm o conductă matematică similară: mai întâi vom găsi cosinusul unui număr, apoi vom pătrat numărul rezultat. Așadar, ni se dă un număr (ciocolată), îi găsesc cosinus (înveliș), iar apoi pătrați ce am primit (legați-l cu o panglică). Ce s-a întâmplat? Funcţie. Acesta este un exemplu de funcție complexă: când, pentru a-i găsi valoarea, executăm prima acțiune direct cu variabila, iar apoi o a doua acțiune cu ceea ce a rezultat din prima.

Cu alte cuvinte, o funcție complexă este o funcție al cărei argument este o altă funcție: .

Pentru exemplul nostru, .

Putem face cu ușurință aceiași pași în ordine inversă: mai întâi îl pătrați, iar apoi caut cosinusul numărului rezultat: . Este ușor de ghicit că rezultatul va fi aproape întotdeauna diferit. O caracteristică importantă a funcțiilor complexe: atunci când ordinea acțiunilor se schimbă, funcția se schimbă.

Al doilea exemplu: (același lucru). .

Acțiunea pe care o facem ultima va fi numită funcția „externă”., iar acțiunea efectuată prima - în consecință funcția „internă”.(acestea sunt nume informale, le folosesc doar pentru a explica materialul într-un limbaj simplu).

Încercați să determinați singur ce funcție este externă și care este internă:

Raspunsuri: Separarea funcțiilor interioare și exterioare este foarte asemănătoare cu schimbarea variabilelor: de exemplu, într-o funcție

1. Ce acțiune vom efectua mai întâi? Mai întâi, să calculăm sinusul și abia apoi să-l cubăm. Aceasta înseamnă că este o funcție internă, dar una externă.
   Iar funcția inițială este compoziția lor: .
2. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
3. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
4. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
5. Intern: ; extern: .
   Examinare: .

Schimbăm variabilele și obținem o funcție.

Ei bine, acum ne vom extrage batonul de ciocolată și vom căuta derivatul. Procedura este întotdeauna inversată: mai întâi căutăm derivata funcției exterioare, apoi înmulțim rezultatul cu derivata funcției interioare. În raport cu exemplul original, arată astfel:

Alt exemplu:

Deci, să formulăm în sfârșit regula oficială:

Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

Pare simplu, nu?

Să verificăm cu exemple:

Solutii:

1) Intern: ;

Extern: ;

2) Intern: ;

(Nu încercați să o tăiați până acum! Nu iese nimic de sub cosinus, vă amintiți?)

3) Intern: ;

Extern: ;

Este imediat clar că aceasta este o funcție complexă pe trei niveluri: la urma urmei, aceasta este deja o funcție complexă în sine și extragem și rădăcina din ea, adică efectuăm a treia acțiune (punem ciocolata într-un ambalaj iar cu o panglică în servietă). Dar nu există niciun motiv să ne fie frică: vom „despacheta” această funcție în aceeași ordine ca de obicei: de la sfârșit.

Adică, mai întâi diferențiem rădăcina, apoi cosinusul și abia apoi expresia dintre paranteze. Și apoi înmulțim totul.

În astfel de cazuri, este convenabil să numerotați acțiunile. Adică să ne imaginăm ce știm. În ce ordine vom efectua acțiuni pentru a calcula valoarea acestei expresii? Să ne uităm la un exemplu:

Cu cât acțiunea este efectuată mai târziu, cu atât funcția corespunzătoare va fi mai „externă”. Secvența acțiunilor este aceeași ca înainte:

Aici cuibărirea este în general pe 4 niveluri. Să stabilim cursul acțiunii.

1. Exprimarea radicală. .

2. Rădăcină. .

3. Sine. .

4. Pătrat. .

5. Punând totul împreună:

DERIVAT. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Derivată a unei funcții- raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului pentru o creștere infinitezimală a argumentului:

Derivate de bază:

Reguli de diferentiere:

Constanta este scoasă din semnul derivat:

Derivată a sumei:

Derivat al produsului:

Derivată a coeficientului:

Derivata unei functii complexe:

Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

1. Definim funcția „internă” și găsim derivata ei.
2. Definim funcția „externă” și găsim derivata ei.
3. Înmulțim rezultatele primului și celui de-al doilea punct.

Simți că mai este mult timp până la examen? Aceasta este o lună? Două? An? Practica arată că un student se descurcă cel mai bine unui examen dacă începe să se pregătească pentru acesta din timp. Există multe sarcini dificile în cadrul examenului de stat unificat care împiedică școlari și viitorii solicitanți să obțină cele mai mari scoruri. Trebuie să înveți să depășești aceste obstacole și, în plus, nu este greu de făcut. Trebuie să înțelegeți principiul lucrului cu diverse sarcini de la bilete. Atunci nu vor fi probleme cu cele noi.

Logaritmii la prima vedere par incredibil de complexi, dar cu o analiză detaliată situația devine mult mai simplă. Dacă doriți să promovați Examenul Unificat de Stat cu cel mai mare punctaj, ar trebui să înțelegeți conceptul în cauză, ceea ce vă propunem să facem în acest articol.

Mai întâi, să separăm aceste definiții. Ce este un logaritm (log)? Acesta este un indicator al puterii la care trebuie ridicată baza pentru a obține numărul specificat. Dacă nu este clar, să ne uităm la un exemplu elementar.

În acest caz, baza din partea de jos trebuie ridicată la a doua putere pentru a obține numărul 4.

Acum să ne uităm la al doilea concept. Derivata unei funcții sub orice formă este un concept care caracterizează schimbarea unei funcții la un punct dat. Cu toate acestea, aceasta este o programa școlară, iar dacă aveți probleme cu aceste concepte individual, merită să repetați subiectul.

Derivată a logaritmului

În temele pentru examenul de stat unificat pe acest subiect, puteți da mai multe sarcini ca exemplu. Pentru început, cea mai simplă derivată logaritmică. Este necesar să găsim derivata următoarei funcții.

Trebuie să găsim următoarea derivată

Există o formulă specială.

În acest caz x=u, log3x=v. Înlocuim valorile din funcția noastră în formulă.

Derivata lui x va fi egala cu unu. Logaritmul este puțin mai dificil. Dar veți înțelege principiul dacă pur și simplu înlocuiți valorile. Reamintim că derivata lui lg x este derivata logaritmului zecimal, iar derivata lui ln x este derivata logaritmului natural (pe baza e).

Acum doar introduceți valorile rezultate în formulă. Încercați singur, apoi vom verifica răspunsul.

Care ar putea fi problema aici pentru unii? Am introdus conceptul de logaritm natural. Să vorbim despre asta și, în același timp, să ne dăm seama cum să rezolvăm problemele cu el. Nu veți vedea nimic complicat, mai ales când înțelegeți principiul funcționării acestuia. Ar trebui să vă obișnuiți, deoarece este adesea folosit în matematică (cu atât mai mult în instituțiile de învățământ superior).

Derivată a logaritmului natural

În centrul său, este derivata logaritmului la baza e (care este un număr irațional care este aproximativ 2,7). De fapt, ln este foarte simplu, deci este adesea folosit în matematică în general. De fapt, nici rezolvarea problemei cu ea nu va fi o problemă. Merită să ne amintim că derivata logaritmului natural la baza e va fi egală cu una împărțită la x. Soluția pentru următorul exemplu va fi cea mai revelatoare.

Să ne imaginăm ca pe o funcție complexă constând din două simple.

Este suficient să convertiți

Căutăm derivata lui u față de x

Să continuăm cu al doilea

Folosim metoda de rezolvare a derivatei unei functii complexe prin substituirea u=nx.

Ce s-a intamplat la final?

Acum să ne amintim ce înseamnă n în acest exemplu? Acesta este orice număr care poate apărea în fața lui x în logaritmul natural. Este important să înțelegeți că răspunsul nu depinde de ea. Înlocuiți orice doriți, răspunsul va fi în continuare 1/x.

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat aici, trebuie doar să înțelegeți principiul pentru a rezolva rapid și eficient problemele pe această temă. Acum știi teoria, tot ce trebuie să faci este să o pui în practică. Exersați rezolvarea problemelor pentru a vă aminti mult timp principiul soluției lor. Poate că nu aveți nevoie de aceste cunoștințe după absolvirea școlii, dar la examen vor fi mai relevante ca niciodată. Multă baftă!

Demonstrarea și derivarea formulelor pentru derivata logaritmului natural și a logaritmului la baza a. Exemple de calculare a derivatelor lui ln 2x, ln 3x și ln nx. Demonstrarea formulei pentru derivata logaritmului de ordinul al n-lea folosind metoda inducției matematice.

Conţinut

Vezi si: Logaritm - proprietăți, formule, grafic
Logaritm natural - proprietăți, formule, grafic

Derivarea formulelor pentru derivatele logaritmului natural și logaritmului la baza a

Derivata logaritmului natural al lui x este egala cu una impartita la x:
(1) (ln x)′ =.

Derivata logaritmului la baza a este egala cu unu impartita la variabila x inmultita cu logaritmul natural al lui a:
(2) (log a x)′ =.

Dovada

Să existe un număr pozitiv care nu este egal cu unul. Luați în considerare o funcție care depinde de o variabilă x, care este un logaritm față de bază:
.
Această funcție este definită la . Să găsim derivata ei în raport cu variabila x. Prin definiție, derivata este următoarea limită:
(3) .

Să transformăm această expresie pentru a o reduce la proprietăți și reguli matematice cunoscute. Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoaștem următoarele fapte:
A) Proprietățile logaritmului. Vom avea nevoie de următoarele formule:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Continuitatea logaritmului și proprietatea limitelor pentru o funcție continuă:
(7) .
Iată o funcție care are o limită și această limită este pozitivă.
ÎN) Semnificația celei de-a doua limite remarcabile:
(8) .

Să aplicăm aceste fapte la limita noastră. Mai întâi transformăm expresia algebrică
.
Pentru a face acest lucru, aplicăm proprietățile (4) și (5).

.

Să folosim proprietatea (7) și a doua limită remarcabilă (8):
.

Și în sfârșit, aplicăm proprietatea (6):
.
Logaritm la bază e numit logaritmul natural. Este desemnată astfel:
.
Apoi ;
.

Astfel, am obținut formula (2) pentru derivata logaritmului.

Derivată a logaritmului natural

Din nou scriem formula pentru derivata logaritmului la baza a:
.
Această formulă are cea mai simplă formă pentru logaritmul natural, pentru care , . Apoi
(1) .

Datorită acestei simplități, logaritmul natural este utilizat pe scară largă în analiza matematică și în alte ramuri ale matematicii legate de calculul diferențial. Funcțiile logaritmice cu alte baze pot fi exprimate în termeni de logaritm natural folosind proprietatea (6):
.

Derivata logaritmului față de bază poate fi găsită din formula (1), dacă scoateți constanta din semnul de diferențiere:
.

Alte moduri de a demonstra derivata unui logaritm

Aici presupunem că știm formula pentru derivata exponențialului:
(9) .
Apoi putem deriva formula pentru derivata logaritmului natural, dat fiind că logaritmul este funcția inversă a exponențialului.

Să demonstrăm formula pentru derivata logaritmului natural, aplicând formula pentru derivata funcţiei inverse:
.
În cazul nostru . Funcția inversă față de logaritmul natural este exponențial:
.
Derivatul său este determinat de formula (9). Variabilele pot fi desemnate prin orice literă. În formula (9), înlocuiți variabila x cu y:
.
De atunci
.
Apoi
.
Formula este dovedită.

Acum demonstram formula pentru derivata logaritmului natural folosind reguli de diferențiere a funcțiilor complexe. Deoarece funcțiile și sunt inverse între ele, atunci
.
Să diferențiem această ecuație față de variabila x:
(10) .
Derivata lui x este egala cu unu:
.
Aplicam regula de diferentiere a unei functii complexe :
.
Aici . Să înlocuim în (10):
.
De aici
.

Exemplu

Găsiți derivate ale ln 2x, ln 3xȘi lnnx.

Funcțiile originale au o formă similară. Prin urmare vom găsi derivata funcției y = log nx. Apoi înlocuim n = 2 și n = 3. Și, astfel, obținem formule pentru derivatele lui ln 2xȘi ln 3x .

Deci, căutăm derivata funcției
y = log nx .
Să ne imaginăm această funcție ca o funcție complexă constând din două funcții:
1) Funcții în funcție de o variabilă: ;
2) Funcţii în funcţie de o variabilă: .
Atunci funcția originală este compusă din funcțiile și:
.

Să găsim derivata funcției față de variabila x:
.
Să găsim derivata funcției în raport cu variabila:
.
Aplicam formula pentru derivata unei funcții complexe.
.
Aici o punem la punct.

Deci am gasit:
(11) .
Vedem că derivata nu depinde de n. Acest rezultat este destul de natural dacă transformăm funcția originală folosind formula pentru logaritmul produsului:
.
- aceasta este o constantă. Derivata sa este zero. Apoi, conform regulii de diferențiere a sumei, avem:
.

; ; .

Derivată a logaritmului modulului x

Să găsim derivata unei alte funcții foarte importante - logaritmul natural al modulului x:
(12) .

Să luăm în considerare cazul. Apoi funcția arată astfel:
.
Derivatul său este determinat de formula (1):
.

Acum să luăm în considerare cazul. Apoi funcția arată astfel:
,
Unde .
Dar am găsit și derivata acestei funcții în exemplul de mai sus. Nu depinde de n și este egal cu
.
Apoi
.

Combinăm aceste două cazuri într-o singură formulă:
.

În consecință, pentru ca logaritmul să bazeze a, avem:
.

Derivate de ordine superioare ale logaritmului natural

Luați în considerare funcția
.
Am găsit derivata sa de ordinul întâi:
(13) .

Să găsim derivata de ordinul doi:
.
Să găsim derivata de ordinul trei:
.
Să găsim derivata de ordinul al patrulea:
.

Puteți observa că derivata de ordinul n-a are forma:
(14) .
Să demonstrăm acest lucru prin inducție matematică.

Dovada

Să înlocuim valoarea n = 1 în formula (14):
.
Din moment ce , atunci când n = 1 , formula (14) este valabilă.

Să presupunem că formula (14) este satisfăcută pentru n = k. Să demonstrăm că aceasta implică că formula este valabilă pentru n = k + 1 .

Într-adevăr, pentru n = k avem:
.
Diferențierea față de variabila x:

.
Deci avem:
.
Această formulă coincide cu formula (14) pentru n = k + 1 . Astfel, din ipoteza că formula (14) este valabilă pentru n = k, rezultă că formula (14) este valabilă pentru n = k + 1 .

Prin urmare, formula (14), pentru derivata de ordinul n, este valabilă pentru orice n.

Derivate de ordine superioare ale logaritmului la baza a

Pentru a găsi derivata de ordinul al n-lea a unui logaritm la baza a, trebuie să o exprimați în termeni de logaritm natural:
.
Aplicând formula (14), găsim derivata a n-a:
.

Vezi si: