Dacă dezvoltarea proceselor de muncă și apariția proprietății l-au forțat pe om să inventeze numerele și numele lor, atunci creșterea în continuare a nevoilor economice ale oamenilor i-a condus pe calea extinderii și aprofundării din ce în ce mai mari a conceptului de număr. Schimbări deosebit de semnificative în acest sens s-au produs atunci când statele au apărut cu un aparat de stat mai mult sau mai puțin complex care necesita contabilizarea proprietății și crearea unui sistem fiscal și când bursa de mărfuri a intrat în stadiul de dezvoltare a comerțului folosind sistem monetar. Pe de o parte, aceasta a dus la apariția numerotării scrise, iar pe de altă parte, au început să se dezvolte operațiunile de numărare, adică. au aparut operatii pe numere.
Un fel de înregistrare a numerelor s-a efectuat chiar și în acele epoci îndepărtate ale vieții umane: toate aceste noduri, crestături înșirate pe un șnur de coajă nu erau altceva decât embrionul unui număr înregistrat. Apoi au început să noteze numărul 1 cu o liniuță, 2 cu două, 3 cu trei etc.
Dezvoltarea notației numerice a însoțit întotdeauna creșterea generală a nivelului cultural al popoarelor și, prin urmare, a decurs cel mai intens în acele țări care au urmat rapid calea dezvoltării statalității.
Printre națiuni glob cel mult conditii favorabile pentru dezvoltarea lor economică şi viata politica au fost cei care au trăit la joncțiunea a trei continente: Europa, Africa și Asia, precum și popoare care au ocupat teritoriile din Peninsula Hindustan și China modernă. Condiții naturaleîn aceste locuri erau extrem de diverse. Această diversitate și diferențiere extremă au fost observate în dezvoltarea forțelor productive și, în consecință, a vieții sociale.
Statele situate în aceste teritorii au fost primele state din istoria omenirii în care găsim embrionul stiinte moderne si matematica in special.
Numerotarea statelor din Orientul Antic și Roma.
Statul antic babilonian era situat în acea parte a Mesopotamiei unde albiile râurilor Tigru și Eufrat se apropie cel mai mult. Orasul principal acest stat – Babilonul era situat pe malul Eufratului.
Perioada de glorie a statului babilonian datează din a doua jumătate a secolului al XVIII-lea. î.Hr. Produse Agricultură(cereale, fructe, animale) au fost exportate țări învecinate. Comerțul a fost favorizat de poziția centrală a Babilonului pe malurile râurilor navigabile. Înflorirea comerțului a dus la dezvoltarea unui sistem monetar de măsuri. În Babilon s-a creat un sistem de măsuri similar cu cel metric al nostru, doar că nu se baza pe numărul 10, ci pe numărul 60. Acest sistem a fost întreținut pe deplin de babilonieni pentru măsurarea timpului și a unghiurilor, iar noi am moștenit de la ei. împărțirea orelor și a gradelor în 60 de minute și a minutelor timp de 60 de secunde.
Cercetătorii explică în diferite moduri apariția sistemului de numere sexagesimal în rândul babilonienilor. Cel mai probabil, aici a fost luată în considerare baza 60, care este un multiplu de 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 și 60, ceea ce simplifică foarte mult toate calculele.
Notarea numerică în rândul babilonienilor a apărut într-o epocă foarte îndepărtată. Se crede că babilonienii l-au împrumutat de la popoarele care locuiau pe teritoriul statului babilonian chiar înainte de formarea lui. Această înregistrare, ca și scrisul babilonian, a fost făcută pe tăblițe de lut prin apăsarea pe ele a pene triunghiulare, cu un bloc triunghiular servind drept instrument de înregistrare. Acest tip de cuneiform consta în principal din trei poziții ale lamei: verticală cu vârful în jos, orizontală cu vârful la stânga și orizontală cu vârful la dreapta. În acest caz, semnul Ў însemna unul, 3 - zece. Cu ajutorul acestor semne, folosind și metoda adunării, a fost posibilă exprimarea numerelor din mai multe cifre. De exemplu, semnul ЎЎЎ reprezenta 5, semnul 33ЎЎЎ- numărul 23 etc. ЎЎ
Originile culturii egiptene datează din anul 4000 î.Hr. Se crede că scrierea egipteană a fost creată în această epocă. Inițial a fost de natură hieroglifică, adică. Fiecare concept a fost descris ca o imagine separată. Dar treptat înregistrările hieroglifice au luat o formă ușor diferită, numită notație hieroglifică.
Aceeași metodă a fost folosită pentru înregistrarea numerelor. Când scria hieroglific, numerele erau deja exprimate în sistemul zecimal și existau semne speciale pentru numerele de loc: unități, zeci, sute etc. Unitățile au fost reprezentate de |, zece, sută, mii, zece mii, o sută de mii, milioane, zece milioane. Mai mult, dacă o unitate dintr-o anumită categorie a fost conținută într-un număr de mai multe ori, atunci a fost repetat de același număr de ori în înregistrare, i.e. s-a respectat legea adunării. De exemplu, numărul 5 a fost exprimat astfel: . Numărul 122 arăta astfel: .
Egiptenii foloseau doar fracții unitare, adică. cele care exprimă o singură fracție în notația noastră au una la numărător (nomim astfel de fracții alicot). Excepție a fost fracția 2/3, pentru care a existat un semn special: ; Ѕ avea și un semn special, iar toate celelalte erau exprimate folosind simbolul „rho”, care avea forma. Pentru a reprezenta o fracție, au desenat acest simbol și au pus sub el un număr care reprezenta numitorul. De exemplu, o șapte a fost scrisă astfel: .
Înregistrările au fost realizate în principal cu vopsele pe papirus. Uneori materialele de înregistrare erau piatră, lemn, piele sau pânză. Textul a fost scris în rânduri predominant de la dreapta la stânga și în coloane de sus în jos.
Conceptele inițiale ale matematicii, care își au originea în China antică, a servit la dezvoltarea culturii matematice a popoarelor vecine care au ocupat teritoriul Coreei moderne, Indochinei și mai ales Japoniei.
În China, informațiile de natură matematică au început să se acumuleze devreme și a apărut înregistrarea numerelor. Mai mult, numerele hieroglifice chinezești erau chiar mai complexe în scris decât cele egiptene. (Fig. în ap.).
Dar, pe lângă aceste numere hieroglifice, în China erau răspândite și semne digitale mai simple, folosite în tranzacțiile comerciale.
Arătau astfel: |=1; ||=2; |||=3; ||||=4; |||||=5; | =6; ||=7; |||=8;||||=9; 0=0. Numerele erau scrise în coloane de sus în jos. Un mare avantaj al notației chinezești a numerelor a fost introducerea lui zero pentru a exprima cifrele lipsă. Se crede că zero a fost împrumutat din India în secolul al XII-lea.
Încă din cele mai vechi timpuri, în China a intrat în uz un dispozitiv de calcul pentru tigaie, designul său amintind de abacul rusesc modern (Fig. în apendice). Principala sa diferență față de abacul rusesc este că abacul nostru se bazează pe sistemul numeric zecimal, în timp ce saun-pan are un amestec de cinci cifre și sistem binar. Într-o tigaie, fiecare fir este împărțit în două părți: în partea inferioară sunt 5 oase înșirate, iar în partea superioară - 2. Când toate cele cinci oase sunt numărate din partea inferioară a sârmei, acestea sunt înlocuite. de unul în partea superioară; unde oasele din partea superioară sunt înlocuite cu un os de cel mai înalt rang. notaţie numerotare fracţională raţională
În zorii culturii umane, China era cu mult înaintea Babilonului și Egiptului în dezvoltarea matematicii.
Metoda de scriere a numerelor de la romani a fost împrumutată de la vechii etrusci - unul dintre triburi Italia antică. În această înregistrare s-au păstrat urme ale sistemului numeric în cinci ori, iar numerele au fost exprimate cu litere, și anume numerele 1, 5, 10, 50, 100, 500 și 1000 au fost desemnate cu literele reale I, V, X, L, C, D și M. Pentru numere mai mari (10000, 100000, 1000000) au existat semne speciale. Nu era niciun semn care să indice zero. În notele lor, ei au aderat la principiul adunării și scăderii: numerele scrise în dreapta au fost adăugate, iar numerele scrise în stânga au fost scăzute din numărul scris lângă el. Astfel, IX, XII, XC și CXXX au însemnat 9, 12, 90 și, respectiv, 130. Notația romană a numerelor este folosită în epoca noastră în cazurile în care este necesar să se noteze un număr strict fix pe care nu trebuie să se facă operații aritmetice. se efectuează, de exemplu, data construirii unui monument sau clădire, secol, capitol dintr-o carte etc.
Din cauza dificultății calculelor, romanii au recurs la folosirea numărării degetelor sau a abacului. (orez).
Acest abac este o placă metalică cu caneluri de-a lungul cărora pot fi trecute jetoane. Există nouă șanțuri longitudinale, iar șapte dintre ele fac posibilă numărarea unităților, zeci, sute, mii, zeci de mii, sute de mii și milioane. Cifrele unităților devin mai mari la trecerea de la canelurile din dreapta la cele din stânga (după cum se poate vedea în figură). Cele două caneluri din dreapta fac posibilă numărarea părților fracționale. Canelurile pentru numere întregi sunt împărțite în două părți: un jeton este plasat în cel de sus și patru în cel de jos. Jetonul de sus îl înlocuiește pe cel de jos cinci. A doua canelură din dreapta este, de asemenea, împărțită în două părți și face posibilă numărarea a douăsprezecemii, partea superioară conținând un jeton, iar partea inferioară cinci. Canelura din dreapta este împărțită în trei părți, dintre care cea superioară reprezintă 24 de lobi, cea din mijloc 48 de lobi și cea inferioară 72 de lobi. Desenul din dreapta arată un raport egal cu 84.071+2|12+1|72.
Cifrele din India.
Indienii au adus contribuții deosebit de valoroase la aritmetică. În acest sens, matematica datorează indienilor ordonarea notației numerice prin introducerea numerelor pentru sistemul numeric zecimal și stabilirea principiului valorii locului numerelor. În plus, în India, utilizarea zero pentru a indica unitățile de cifre corespunzătoare a devenit larg răspândită, ceea ce a jucat și un rol important în îmbunătățirea înregistrărilor numerice și în facilitarea operațiunilor pe numere.
Semnele digitale ale Indiei nu coincid ca linii cu numerele moderne, dar au totuși o mare asemănare cu acestea în unele cazuri. De exemplu, semnele indiene care înfățișează unu, șapte și zero erau foarte asemănătoare cu numerele moderne. Semnele rămase s-au schimbat foarte mult de-a lungul numeroaselor secole care ne despart de momentul originii lor.
Introducerea zero, a numerelor și a principiului valorii lor de loc au facilitat operațiunile de calcul asupra numerelor și, prin urmare, calculele aritmetice au primit o dezvoltare semnificativă în India. Principalul avantaj al introducerii de către indieni a metodelor de scriere a numerelor a fost că au redus foarte mult numărul de cifre, au aplicat sistemul pozițional la numărarea zecimală și au introdus semnul zero. În timp ce grecii, evreii, sirienii etc. pentru a scrie numere, au fost folosite până la 27 de semne digitale diferite printre indieni, numărul acestor semne digitale a scăzut la 10, inclusiv desemnarea zero. În ceea ce privește sistemul pozițional, începuturile lui au fost încă la babilonieni, dar acolo acest sistem a fost folosit pentru numărarea sexagesimală, iar indienii l-au introdus pentru numărarea zecimală. În cele din urmă, utilizarea unui semn pentru zero în sistemul pozițional a oferit un mare avantaj față de înregistrarea numerelor de către babilonieni. Deci, de exemplu, la babilonieni, semnul Ў ar putea desemna atât unu cât și 1/60 și, în general, orice număr de forma 60 n, iar în înregistrarea indiană, semnul 1 ar putea desemna doar unul, deoarece pentru a desemna un zece, o sută și așa mai departe, după unitate era scris numărul corespunzător de zerouri.
Procesul de scriere a numerelor și de efectuare a operațiilor aritmetice asupra lor a fost făcut de indieni pe o tablă albă acoperită cu nisip roșu. Instrumentul de înregistrare era un băț. Astfel, la scriere, pe suprafața roșie au apărut urme albe, desenate cu un băț.
Numărul popoarelor din Asia Centrală.
Din secolul al VII-lea. În istoria popoarelor care alcătuiesc statele din Asia Centrală și Orientul Mijlociu, statul arab începe să joace un rol semnificativ. Din micile state arabe care se încadrează în întregime pe Peninsula Arabică în secolele VII-VIII, a fost creat Califatul Arab - un stat care ocupă un teritoriu vast. Ea cuprindea, pe lângă teritoriul principal al arabilor, Palestina, Siria, Mesopotamia, Persia, Transcaucazia, Asia de mijloc, Nordul Indiei, Egipt, Africa de Nordși Peninsula Iberică. Capitala califatului a fost mai întâi Damascul, apoi în secolul al VIII-lea. a fost construit în apropierea fostului Babilon oraș nou- Bagdad, unde a fost mutată capitala.
Atât de mulți dintre reprezentanții popoarelor care au intrat în califat au scris mai departe arabic, atunci istoricii burghezi includ greșit lucrările oamenilor de știință ale acestor popoare printre lucrările arabilor.
Primul matematician important dintre popoarele care făceau parte din califat a fost marele matematician și astrolog uzbec (Khorezmian) al secolului al IX-lea. Muhammad ben Mussa al-Khwarizmi (a doua jumătate a secolului al VIII-lea - între 830-840).
Lucrarea lui Al-Khwarizmi despre aritmetică a ajuns în epoca noastră doar prin traducere în limba latină. A jucat un rol semnificativ în dezvoltarea matematicii europene, deoarece europenii s-au familiarizat cu metodele indiene de scriere a numerelor, adică cu sistemul de numere indiene, cu utilizarea zero și cu semnificația mixtă a cifrelor. . Datorită faptului că această informație a fost obținută de europeni dintr-o carte în care a locuit autorul stat arabși a scris în arabă, Cifrele indiene sistemul zecimal a început să fie numit incorect „numerele arabe”.
Numerotarea în Rus'.
Triburile slave de est, strămoșii strămoși ai popoarelor ruse, ucrainene și belaruse, au început să se formeze în jurul anilor 2-3 mii de ani î.Hr. În secolele al VII-lea și al VIII-lea. Slavii au avut primele orașe. Primul orase mari Rus’ avea Kiev și Novgorod.
În secolul al X-lea, în timpul domniei lui Vladimir Svyatoslavovich (? -1015), vechiul stat rusesc (Rusia Kievană) a atins cea mai mare prosperitate și putere. În ceea ce privește dezvoltarea culturală, a ocupat unul dintre locurile proeminente în rândul statelor europene. In Rus' in aceasta epoca, in paralel cu dezvoltare generală cultură a existat o diseminare relativ rapidă a informaţiei din matematică.
Adevărat, nici un monument al literaturii matematice nu a supraviețuit până în vremea noastră care să ne ofere posibilitatea de a judeca dezvoltarea matematicii în Rus' în secolele IX-X, dar documente de altă natură ne permit să tragem câteva concluzii în acest sens. Primul monument rusesc cu conținut matematic de până astăzi este considerat a fi o lucrare scrisă de mână de un călugăr din Novgorod. Kirika, scrisă de el în 1136 și purtând titlul „Critica diaconului și domestic al Mănăstirii Novgorod Antonie, învățătura despre cum să spui unei persoane numărul tuturor anilor”.
În această lucrare, Kirik s-a dovedit a fi un numărător foarte abil și un mare iubitor de numere. Principalele probleme rezolvate de Kirik sunt: ordine cronologica: Calculați timpul care a trecut între un eveniment. La efectuarea calculelor, Kirik folosea un sistem de numerotare numit lista mică și exprimat prin următoarele nume: 10.000 - întuneric, 100.000 - legiune, sau ignoranții, 1.000.000 - leodr.
Pe lângă lista mică, Rusiei antice exista o listă și mai mare care făcea posibilă operarea cu numere foarte mari. În sistemul de liste, unitățile de cifre principale aveau aceleași denumiri ca și în cea mică, dar relațiile dintre aceste unități erau diferite și anume:
O mie de mii este întunericul;
Întunericul acestora este legiune sau pevedia;
Legiunea legiunilor - leodr;
Leodr leodrov - corb;
10 corbi - punte.
În ultimul dintre aceste numere, i.e. despre punte, s-a spus: „Și mai mult decât asta nu poate fi înțeles de mintea umană”.
Au fost reprezentate unități, zeci și sute Litere slave cu un semn plasat deasupra lor, numit titlu, pentru a distinge cifrele de litere. Mii au fost înfățișați cu aceleași litere, dar semnul Așa a fost pus în fața lor, înfățișând unul, - douăzeci și doi, - șase mii etc.
Întuneric, legiune și leodr au fost înfățișate cu aceleași litere, dar pentru a le distinge de unități, zeci, sute și mii au fost încercuite. Deci, a înfățișat trei întuneric; - trei legiuni și - trei leodri.
Prin secolul al XVI-lea se referă la inventarea unui dispozitiv de calcul remarcabil, care a primit mai târziu numele de „abac rusesc” (Fig.). Se crede că ideea creării acestui dispozitiv a aparținut comercianților ruși Strogonov. Fracțiile din Rusia antică au fost numite acțiuni, mai târziu „numere sparte”. În manualele vechi găsim următoarele nume de fracții în Rus':
Jumătate, jumătate, - a treia, - a patra, - jumătate de treime, - jumătate, - jumătate și jumătate de treime, - jumătate și jumătate de treime, - jumătate și jumătate de treime (treime mică), - jumătate și jumătate, - cinci, - șapte, - zeciuială.
Numerotarea slavă a fost folosită în Rusia până în secolul al XVI-lea abia în acest secol a început să pătrundă treptat în țara noastră. În cele din urmă, a înlocuit numerotarea slavă sub Petru I.
Procesarea post-tipărire este o parte integrantă și importantă a întregului proces de imprimare. Acesta este cel care influențează proprietățile și aspectul final al produselor tipărite. Tipografia realizează astfel de tipuri de lucrări post-tipărire, cum ar fi numerotarea, perforarea, cusătura de înfășurare, cusătura cu capse, lipirea în blocuri, laminarea și rotunjirea colțurilor.
Numerotare
Numerotarea înseamnă tipărirea datelor variabile pe copiile publicațiilor tipărite și anume schimbarea numerelor alocate acestora. Numerotarea este folosită pe formularele gata făcute. Numerotarea facilitează căutarea consumatorilor informatie necesara, iar în unele cazuri este o procedură obligatorie prevăzută de lege. Numerotarea în tipografii se realizează cu ajutorul unui numărător.
Numerotarea se aplică:
- Pentru a naviga prin text
- Pentru a preveni falsificarea
- Pentru a respecta cerințele legale
- Pentru a controla și înregistra formularele relevante.
Tipuri de numerotare
Cele mai comune tipuri de numerotare:
- Numerotare continuă directă. Fiecare primă foaie corespunde unui număr X, următorului X+1 etc.
- Numerotare continuă inversă.
- Numerotare directă sau inversă cu un pas dat.
Tipuri de numerotare poate fi utilizat la cererea clientului, dacă acest lucru nu încalcă cerințele relevante documente de reglementare (bilete la loterie, formulare stricte de raportare etc.)
Cusături înfășurate
Cu acest tip de cusătură, publicația tipărită este înfășurată pe un arc de diametru și culoare arbitrare, de obicei metal. Cel mai adesea, înfăşurarea pe un arc este folosită pentru a face calendare.
Laminare
La laminare, produsele imprimate sunt acoperite cu o peliculă specială, care le protejează de deteriorarea mecanică și murdărie, păstrând în același timp un aspect atractiv. aspect. Suntem gata să vă oferim laminare mată și lucioasă pe o singură față și față-verso de diferite densități.
Cusătură, pliere, șifonare
Cusătura broșură este o tehnologie care vă permite să combinați un anumit număr de foi într-un caiet (broșură). Cusătura, în care foile sunt ținute împreună cu cleme metalice, se numește cusătură cu capse.
Pliere (germană: pliere) - trasarea unei linii de pliere pe hârtie subțire și medie. Ulterior, produsele imprimate sunt pliate de-a lungul liniei de pliere.
Încrețirea este aplicarea unor linii drepte, adânc convexe pe foi. În viitor, acest lucru facilitează îndoirea produselor.
Colțuri rotunjite
Prin rotunjirea colțurilor înțelegem să dăm colțurilor produselor din tablă de format mic o formă rotunjită. Aceste produse sunt realizate din hârtie groasă sau carton. Raza de rotunjire poate fi 10R, 6R, 3.5R.
Biletul 19
Întrebarea 1. Metodologia de predare orală și scrisă a numerotării numerelor în limita 1000.
I. Numerotarea orală
Sarcini:
1) Introducerea unei noi unități de numărare a sutelor;
2) Introducerea de noi numere de biți;
3) Introducerea numerelor fără cifre din trei cifre:
Numărând 1;
Prin formarea din sute, zeci și unități;
4) Stabilirea numărului total de unități din orice categorie în întregul număr.
Introducerea noii unități de numărare a sutelor:
Folosind bastoane sau modele de unități de valoare locului sub îndrumarea unui profesor, copiii repetă unități de valoare locului cunoscute, apoi leagă 10 zeci într-un pachet și ascultă numele acestuia - o sută. În continuare, numărați în sute (1 sută, 2 sute... 10 sute sau o mie). O înregistrare și desene ale unităților de cifre apar pe tablă
1 unitate 1 cm
10 unitati = 1 dec. 10 cm = 1 dm
10 dec. = 1 celulă 10 dm = 1 m
În continuare, este util pentru copii să compare unitățile de numărare - plasați unitățile cu măsuri de lungime și introduceți banda de mie. Rolul unei unități simple pe bandă este de 1 cm, rolul unui zece este de 1 dm, iar rolul unei sute este de 1 m Puteți repeta numărarea sutelor pe bandă și marcați sutele pe bandă steaguri sau panglici strălucitoare.
Introducerea numerelor cu cifre noi (numerele din a treia cifră - sutele rotunde), formarea și denumirea acestora, introducerea numerelor noi: o sută, două sute...nouă sute, mii.
Vizibilitate: modele de unități de biți (pătrate mari) și bandă de 1000.
Introducerea numerelor fără cifre din trei cifre:
a) Numărând 1 la precedentul, trecând peste 100: 100 și 1-101..
b) Prin formare din sute, zeci și unități. Sarcina inversă este imediat efectuată - descompunerea numerelor în termeni de cifre, aflarea compoziției zecimale a numărului.
Sarcini:
1) Desemnarea numerelor prin cifre în tabelul cu cifre. Aflarea semnificației locale a numerelor;
2) Citirea și scrierea numerelor scrise în afara tabelului;
3) Consolidarea cunoștințelor de numerotare.
1.Desemnarea numerelor după cifre în tabelul cu cifre. Învață să citești numere folosind un tabel de numerotare. Vizualizare: tabel de numerotare, abac vertical și orizontal.
Ca urmare a observațiilor din această etapă, copiii sunt conduși la concluzia că sutele sunt unități de rangul trei, scrise în număr de pe locul trei, numărând de la dreapta la stânga. Aici este introdus conceptul de număr din trei cifre și acel zero denotă absența unităților oricărei cifre.
2. Citirea numerelor din trei cifre scrise în afara tabelului și scrierea lor pe baza cunoașterii semnificației locale a numerelor.
Tipuri de exerciții:
1) Dintre aceste numere, notați numai acelea în care numărul 7 reprezintă des, unități, sute.
2) Folosiți numerele 3, 0, 1 pentru a scrie totul numere cu trei cifre(numerele nu se repetă)
3) Ce înseamnă numărul 0 în aceste numere?
3. Consolidarea cunoștințelor de numerotare:
a) În procesul de studiere a numerotării scrise se lucrează în continuare la însuşirea compoziţiei zecimale a numerelor. În acest scop, acum sunt folosite carduri cu numere de loc. (Numerele sunt formate prin suprapunere și invers)
b) Se lucrează și pentru stăpânirea succesiunii naturale, dar acum se folosesc și exerciții scrise: înregistrarea celor anterioare și ulterioare; aduna 1, scade 1; Completați golul - notați numerele de la ... la ...
c) Identificarea celui mai mare și cel mai mic dintre numerele cu o singură cifră, două cifre și trei cifre.
Rețineți că cel mai mic este scris ca 1 și zero, iar cel mai mare ca zeci.
d) Când învață numerotarea, copiii învață să se identifice numărul total unități din orice categorie din întregul număr și nu doar din categoria corespunzătoare.
Vizualizare: modele de unități de biți.
La cursul iniţial de matematică numerotare Vom înțelege un set de tehnici de notare și denumire a numerelor naturale.
Numerele naturale sunt studiate prin concentrații. Concentrarea este o combinație aspecte comune zona numerelor luate în considerare. În cursul inițial se disting următoarele concentrații: zece, sută (2 etape - de la 11 la 20; de la 21 la 100); mii, numere din mai multe cifre.
Scopul final al studierii numerotării este de a stăpâni o serie de principii generale care stau la baza sistemului numeric zecimal, numerotarea orală și scrisă, conducând elevii la generalizări sistematice, capacitatea de a evidenția și sublinia ceea ce este comun într-o nouă zonă a numerelor și luând în considerare lucruri noi pe baza și în comparație cu cele studiate anterior.
Principalele obiective educaționale ale studierii numerotației pot fi numite:
1. Creați un sistem de cunoștințe:
Despre numărul natural și numărul „0”;
Despre secvența naturală;
Despre numerotarea orală și scrisă.
2. Introducerea tehnicilor de calcul bazate pe cunoștințele de numerotare.
Când studiază acest subiect, studenții ar trebui să dezvolte următoarele abilități:
Indicați numărul în scris;
Comparați orice numere în moduri diferite;
Înlocuiți un număr cu suma termenilor de cifre;
Descrie orice număr.
Să luăm în considerare metodologia de introducere a conceptelor matematice de bază studiate în această temă.
Conceptul de număr natural este dat la nivel empiric.
Numărul este desemnat în ordinea stabilirii unei corespondențe unu-la-unu între obiectele unui set dat și cuvinte - numerale.
În școala primară:
Numărul este caracteristică cantitativă clasa de multimi echivalente.
Un număr este un element al unei mulțimi ordonate, un membru al unei secvențe naturale.
La studierea operațiilor, un număr acționează ca un obiect asupra căruia se efectuează o operație aritmetică.
Elevii trebuie să dezvolte următoarele cunoștințe și abilități:
Distinge numărul de alte concepte;
Denumiți corect numărul;
Cunoașterea modalităților de formare a unui număr (ca urmare a numărării; ca urmare a măsurării; ca urmare a efectuării operațiilor aritmetice);
Să știe să desemneze numere folosind numere; o cifră este un semn care indică un număr;
Cunoașteți diferitele funcții ale numărului (funcție cantitativă, funcție de ordine, funcție de măsurare).
Număr și cifra „0”.
Considerăm zero ca o caracteristică cantitativă a clasei mulțimilor goale (2-2, 4-4), adică. o mulţime care nu conţine un singur element.
Considerăm zero ca un număr care indică pe riglă începutul măsurării (măsurării).
Considerăm zero ca o componentă a etapelor I și II (5+0, 05).
4. Numărul zero este folosit dacă nu există unități din nicio cifră (dar nu lipsește o cifră).
De exemplu, în numărul 300 nu există unități de categoria I și II, adică. unități și zeci, să notăm numărul de unități și zeci cu zerouri.
Succesiunea naturală de numere.
Conform programului tradițional, succesiunea naturală este introdusă ca o serie de numere, care este folosită pentru a număra.
Proprietățile unui segment dintr-o serie naturală:
Seria naturală a numerelor începe cu unu.
Fiecare număr are locul lui. Fiecare număr următor este cu unul mai mult decât cel precedent; fiecare precedent este cu unul mai puțin decât următorul.
Toate numerele care preced numărul evidențiat sunt mai mici decât acesta; cele care vin după sunt mai mari decât numărul studiat.
Infinitul numerelor naturale.
În seria naturală de numere, elevii ar trebui să fie capabili să identifice șiruri finite: numere cu o singură cifră, cu două cifre, numere cu n cifre.
9, 99, 999, 9999... - cele mai mari numere cu o singură cifră, două cifre, trei cifre, patru cifre și n cifre.
De ce? Dacă adăugăm 1 la fiecare dintre ele, obținem cel mai mic număr din următoarea secvență.
10, 100, 1000, 10000... - cel mai mic număr de două cifre, trei cifre și n cifre, deoarece la scăderea câte una din fiecare, obținem cel mai mare număr din șirul precedent.
Există numerotare orală și scrisă.
Numerotarea orală este un set de reguli care fac posibilă crearea de nume pentru mai multe numere folosind câteva cuvinte. În cursul studierii numerotării orale, este necesar să se dezvăluie regulile de numărare, citire și formare a numerelor; cunoașteți numerele de la 0 la 9, cuvinte numerice - patruzeci, nouăzeci, o sută, mii, milioane, miliarde. Reguli de cont:
La numărare, numărul final se referă la întregul set.
Reguli pentru formarea numelor și citirea numerelor.
1. Numele numerelor de la 10 la 20 se formează folosind numele adoptate pentru primele zece numere, dar are propria sa particularitate - la citire, se numește prima cifra inferioară, apoi restul (unu-douăzeci; doi-douăzeci) ).
2. Numele rămase de numere sunt formate după principiul ordinii cifrelor; citirea numerelor începe cu unitățile de cel mai înalt rang.
3. La formarea și citirea numerelor cu mai multe cifre se respectă principiul citirii după notă.
Numerotarea scrisă este un set de reguli care fac posibilă desemnarea oricăror numere folosind câteva caractere.
În cursul studierii numerotării scrise, este introdus conceptul de „numere”.
Un număr este un semn care indică un număr. Se desfășoară activități sistematice intenționate pentru a face distincția între conceptele de „număr” și „cifră”.
Semnele (numerele) sunt introduse pentru a indica primele nouă numere. Toate celelalte numere sunt scrise folosind aceleași zece cifre (de la 0 la 9), dar folosind două sau mai multe cifre, al căror semnificație depinde de locul ocupat de cifra în înregistrarea numerelor (adică valoarea de loc a cifrei sau principiul pozițional numere de înregistrare).
Numerotarea orală și scrisă a numerelor se bazează pe cunoașterea sistemului numeric zecimal. În matematică, un sistem numeric este un set de semne, reguli de operații și ordinea în care aceste semne sunt scrise atunci când se formează un număr. Există două tipuri de sisteme de numere:
Un sistem non-pozițional, care se caracterizează prin faptul că fiecărui semn, indiferent de forma în care este scris numărul, i se atribuie un sens foarte specific (de exemplu, numerația romană).
Un sistem pozițional (de exemplu, un sistem numeric zecimal), care este caracterizat de următoarele proprietăți:
Fiecare cifră ia sensuri diferiteîn funcţie de poziţia sa în notaţia numerică (principiul notaţiei poziţionale).
Fiecare cifră, în funcție de poziția sa, se numește unitate de cifre; Unitățile de cifre sunt următoarele: unități, zeci, sute etc.
10 unități dintr-o cifră constituie o unitate din următoarea cifră, adică raportul unităților de cifre este egal cu zece (10 unități = 1 dec.; 10 dec. = 1 sută etc.).
Începând de la dreapta la stânga și într-un rând, fiecare unități din 3 cifre formează clase de cifre (unități, mii, milioane etc.).
Adăugând încă o unitate dintr-o anumită categorie la nouă unități, se obține o unitate din următoarea categorie superioară (senior).
Ar trebui evidențiate conceptele de bază ale sistemului numeric zecimal:
Unitatea de numărare este ceea ce luăm ca bază pentru numărare. Fiecare unitate de numărare ulterioară este de 10 ori mai mare decât cea anterioară.
Locul este locul unei cifre în notația unui număr.
3. Unități de categorii I, II, III etc. - unitățile care se află pe primul (unități), al doilea (zeci), al treilea (sute) loc în notația unui număr, numărând de la dreapta la stânga.
4. Numărul locului - un număr format din unități din aceeași cifră.
5. Număr fără cifre - un număr format din unități de cifre diferite.
6. Clasa - o unire de unitati din trei categorii in functie de anumite caracteristici. Fiecare unitate din clasa următoare este de o mie de ori mai mare decât cea anterioară. (Așadar, prima unitate a clasei de unități este de 1000 de ori mai mică decât prima unitate a clasei de mii etc.)
Ordinea studierii numerotării poate fi reflectată în tabel:
Metodologia de studiere a numerotării numerelor întregi nenegative sugerează posibilitatea unor abordări diferite.
În metodologie învățământul primarîn mod tradiţional studiul numerotării prin concentrare. Această abordare este reflectată în manualele de matematică elaborate de M.A. Bantova, G.V. si etc.
Extinderea treptată a câmpului numeric creează condiții bune pentru formarea cunoștințelor, abilităților și obiceiurilor în numerotare: cunoștințele despre numere și modalitățile de desemnare a acestora se îmbogățesc treptat; Operațiile practice cu numere devin mai complicate (formare, denumire, înregistrare, comparare, transformare etc.).
Există trei etape principale ale studierii numerotației: pregătitoare, familiarizarea cu material nou, consolidarea cunoștințelor și abilităților.
În etapa pregătitoare, este necesar să se formeze o atitudine psihologică la elevi pentru a studia numerotarea, pentru a-și activa experiența anterioară și cunoștințele existente și pentru a trezi interesul pentru numere noi. În acest scop, se propune includerea în prealabil a unor exerciții de revizuire a problemelor de bază ale numerotării numerelor din concentrarea anterioară: raportul unităților de numărare studiate, compoziția zecimală a numerelor, succesiunea naturală, regulile de scriere și metodele de comparare a numerelor. ; tehnici de adunare și scădere bazate pe cunoștințele de numerotare. Au fost dezvoltate și exerciții de numărare a obiectelor sau de denumire a numerelor într-o succesiune naturală cu acces la o nouă concentrare, acest lucru îi ajută pe elevi să înțeleagă că există numere în afara concentrației studiate și că sunt oarecum asemănătoare cu numerele deja familiare copiilor.
Când se familiarizează cu numerotarea, exercițiile îi ajută pe elevi să identifice trăsăturile esențiale ale conceptelor care se formează și să stăpânească metodele acțiunilor studiate.
A fost efectuată o selecție de întrebări și a fost determinată ordinea studiului în fiecare concentrație:
mai întâi, se ia în considerare formarea unei unități de numărare, obiectele sunt numărate folosind această unitate de numărare;
pe baza numărării, se introduc numere noi de cifre, se dezvăluie formarea și numele acestora;
pe baza numărării folosind toate unitățile de numărare cunoscute, se arată formarea și desemnarea verbală a numerelor care nu sunt cifre; compoziția lor din biți;
include exerciții de numărare a obiectelor folosind numere noi; se învață șirul natural de numere;
pe baza cunoașterii compoziției zecimale și a valorii locului numerelor, se dezvăluie numerotarea scrisă a numerelor;
în toate concentrațiile, împreună cu numărarea, se ia în considerare măsurarea unor cantități precum lungimea, masa, costul; unitățile de măsură ale acestor cantități și relația lor sunt studiate în comparație cu unitățile de numărare corespunzătoare și ajută la asimilarea acestora (de exemplu, 1 dm = 10 cm; 1 rub. = 100 k.; 1 kg = 1000 g etc.);
sunt introduse metode de comparare a numerelor pe baza:
principiul formării secvenței naturale;
stabilirea unei corespondențe unu-la-unu între elementele mulțimilor;
cunoașterea compoziției în cifre a numerelor;
cunoașterea compoziției clasei;
În fiecare concentrație sunt introduse tehnici de calcul bazate pe cunoștințele de numerotare:
a) principiul formării unei secvențe naturale, se introduc cazuri de forma a + 1, unde a este orice număr natural;
b) alcătuirea în cifre a numerelor (exerciții de adăugare a numerelor cu cifre și exerciții inverse de înlocuire a numerelor fără cifre cu suma numerelor cu cifre, precum și scăderea numerelor cu cifre individuale din numerele fără cifre) de exemplu:
400+70+3=473; 506=500+6; 842-40=802;
842-800=42; 842-2=840.
Când vă familiarizați cu numerotarea, este necesar să vă bazați pe acțiunile obiective ale elevilor. Pentru a face acest lucru, se propune utilizarea diferitelor mijloace didactice: material de numărare, pe care este ușor de ilustrat gruparea zecimală a obiectelor la numărare (bețișoare, ciorchini de bețe, pătrate, fâșii de pătrate, triunghiuri cu 10 cercuri); ajutoare vizuale care formează idei despre succesiunea naturală a numerelor (rigle, benzi de măsură, benzi cu centimetri evidențiați, decimetri, metri); ajutoare vizuale care să vă ajute să înțelegeți principiul pozițional al scrierii numerelor (tabele de numerotare a rangurilor și claselor, abaci).
După introducere, se desfășoară activități direcționate pentru a consolida cunoștințele și abilitățile de practică. Exercițiile de antrenament sunt combinate cu exerciții de natură creativă.
Sunt date sarcini de analiză greșeli tipice, pentru comparație, clasificare, generalizare, pentru a caracteriza orice număr. Schema (planul) de analizare a numerelor, începând de la o singură cifră la multi-valoare, se va extinde, se va aprofunda treptat și se va îmbogăți cu material teoretic nou. În etapa inițială, acesta poate fi compilat pe baza unei generalizări a răspunsurilor formulate de elevi și include următoarele întrebări:
Citirea unui număr.
Locul numărului în numărare.
Compoziția zecimală.
Scrierea unui număr folosind cifre.
Când se studiază numerotarea numerelor cu mai multe cifre, schema de analiză va include un număr mai mare de sarcini.
Această lucrare ne va permite să generalizăm și să sistematizăm cunoștințele elevilor cu privire la numerotarea numerelor întregi nenegative.
Este posibilă o altă abordare a studierii numerotării numerelor, care se reflectă în programul și manualele elaborate de N.B Istomina.
În legătură cu structura tematică a cursului, nu evidențiază concentrări, ci subiecte: „Numere cu o singură cifră”, „Numere cu două cifre”, „Numere cu trei cifre”, „Numere cu patru cifre”, „Cinci- numere cu cifre și șase cifre”, în procesul de studiere a căror copii dezvoltă abilități conștiente de citire și scriere a numerelor.
Evidențierea subiectelor ale căror nume sunt concentrate pe numărul de caractere dintr-un număr îi ajută pe copii să înțeleagă diferențele dintre număr și număr.
În prima etapă, la tema „Numere cu o singură cifră”, elevii dezvoltă idei despre numerele cardinale și ordinale și despre abilitățile de numărare; Ei se familiarizează cu scrierea numerelor și cu un segment din seria naturală a numerelor cu o singură cifră. Apoi învață semnificația adunării și scăderii și compoziția numerelor cu o singură cifră. Lucrarea de stăpânire a numerotării începe cu înțelegerea faptului că un număr de două cifre este format din zeci și unități.
Lucrările ulterioare care vizează stăpânirea sistemului numeric zecimal și dezvoltarea abilității de a citi și scrie numere din două cifre este asociată cu stabilirea unei corespondențe între modelul subiect al unui număr și notația sa simbolică. Zece este folosit ca model de subiect material vizual sub forma unui triunghi cu 10 cercuri.
Sarcini sugerate:
Să identifice semne de asemănări și diferențe între numerele din două și trei cifre;
A scrie numere în anumite numere;
Pentru a compara numerele;
Pentru a identifica regula (modelul) pentru construirea unei serii de numere.
Tipurile de sarcini enumerate sunt, de asemenea, folosite atunci când studiați alte subiecte.
Exercițiu: Comparați exercițiile în curs de desfășurare pe care elevii le folosesc pentru a învăța numerotarea verbală și scrisă în diverse manuale de matematică din școlile primare. Care sunt caracteristicile acestor exerciții în fiecare manual?
Numerotarea pană. Chiar și caldeenii și babilonienii au scris semne pentru a descrie numerele. Se numește numerotarea lor în formă de panăși se găsește pe mormintele vechilor regi persani.
Numerotarea hieroglifică. Egiptenii atribuie invenția aritmeticii figurii mitice Thoth (Phot). Aveau notație zecimală chiar și sub Fra-Sesostris. Se numește numerotarea egipteană hieroglific. Egiptenii au indicat unu, zece, sută și mie cu semne speciale, hieroglife. Au fost înfățișate mai multe unități, zeci, sute și mii construcție simplă aceste semne.
numerotarea chineză. Numerotarea ar trebui, de asemenea, considerată printre cele mai vechi chinez. Potrivit chinezii, ei îl folosesc încă de pe vremea lui Fugue, împăratul chinez care a trăit 300 de ani î.Hr. În această numerotare, primele nouă numere sunt reprezentate cu semne speciale. Erau și semne care indicau 10, 100, 1000. Numerele mari erau scrise în coloane de sus în jos.
Numerotarea feniciană. În cele din urmă, numerotarea ar trebui considerată și printre cele mai vechi fenician. Fenicienii, în comparație cu egiptenii, au efectuat o reformă în numerotare în sensul că au înlocuit hieroglifele cu litere ale alfabetului lor. Evreii au folosit și ei această numerotare.
Fenicienii și evreii au reprezentat primele nouă numere și primele nouă zeci cu cele 18 litere inițiale ale alfabetului lor și au scris numere mari din mana dreapta La stânga.
În Egipt însuși, numerotarea hieroglifică a fost abandonată și mai întâi hieratică, iar apoi a fost introdusă scrierea demotică pentru uz general (600 î.Hr.). ÎN hieratic Numerotarea primelor trei numere este similară cu numerele reale.
Numerotarea greacă, romană și slavonă bisericească. Grecii au adoptat de la fenicieni un sistem de reprezentare a numerelor cu litere. Unii susțin că până atunci reprezentau numere cu chiar semnele care sunt cunoscute ca român numerotarea, iar acea numerotare romană este, prin urmare, greacă veche. slavonă bisericească nu este altceva decât greacă, exprimată doar cu litere slave.
Romanii foloseau următoarele semne când descriu numerele:
1 – I, 5 – V, 10 – X, 50 – L, 100 – C, 500 – D, 1000 – M.
Când au reprezentat numerele rămase, acestea au fost ghidate de următoarea regulă:
Dacă un număr mai mic urmează unui număr mai mare, acesta crește numărul; dacă un număr mai mic îl precede pe unul mai mare, acesta reduce numărul cu valoarea sa.
În conformitate cu această regulă, ei au descris numerele după cum urmează:
1 – I, 2 – II, 3 – III, 4 – IV, 5 – V, 6 – VI, 7 – VII, 8 – VIII, 9 – IX, 10 – X, 11 – XI, 12 – XII, 13 – XIII, 14 – XIV, 15 – XV, 16 – XVI, 17 – XVII, 18 – XVIII, 19 – XIX, 20 – XX, … 27 – XXVII, … 40 – XL, 60 – LX, 90 – XC, 100 – C, 110 – CX, 150 – CL, 400 – CD, 600 – DC, 900 – CM, 1100 – MC.
Numerele formate din câteva mii au fost scrise în același mod în care se scriu numerele până la o mie, singura diferență fiind că după numărul de mii de mai jos cu partea dreapta a fost atribuită litera m (mile - mie). Astfel, 505197 = DV m CXCVII.
În cifre slave și grecești, primele nouă numere, nouă zeci și nouă sute au fost desemnate prin litere speciale.
În cifrele slave, un titlu (¯) este plasat pe literă pentru a indica faptul că litera reprezintă un număr.
Următorul tabel arată numerotarea paralelă greacă și slavă:
Pentru a desemna miile, semnul a fost plasat înaintea numărului de mii în notația slavă, iar în notația greacă a fost adăugată o liniuță la numărul care denotă miile.
Prin urmare,
Originea și distribuția numerotării zecimale
Deși nu este încă posibil să se tragă o concluzie definitivă cu privire la imaginea, introducerea și răspândirea sistemului de numerotare zecimală în toată Europa, totuși, literatura de specialitate oferă multe indicații foarte importante pe această temă. Unii numesc acest sistem arab. Într-adevăr, istoria arată că sistemul zecimal a fost împrumutat de la arabi. Astfel, se știe că la începutul secolului al XIII-lea, negustorul toscan Leonard și-a introdus conaționalii în metodele sistemului zecimal după călătoriile sale prin Siria și Egipt. Sarco-Bosco, un renumit profesor de matematică la Paris (mort în 1256), și Roger Bacon, cu scrierile lor, au contribuit cel mai mult la răspândirea acestui sistem în toată Europa. Ei indică deja că numerotarea zecimală a fost împrumutată de arabi de la indieni. Din monumentele literaturii arabe se știe cu încredere că Abu Abdallah Mohammed Ibn Muse, originar din coraism, a călătorit multă vreme în India în secolul al IX-lea și, după întoarcerea sa, a introdus savanții arabi în numerotarea indiană. Scriitorii arabi Avicena Aben-Ragel și Alsefadi atribuie și ei invenția numerotării indienilor.
Monumente scrise în sanscrită, limbă India antică, confirmă instrucțiunile scriitorilor arabi.
Din lucrarea lui Baskara, un scriitor indian din secolul al XII-lea, este clar că indienii cunoșteau cu câteva secole înainte de Baskara reprezentarea numerelor în zece semne, căci această lucrare stabilește o teorie coerentă a patru operații aritmetice și chiar extragerea. rădăcini pătrate. Atât Baskara, cât și scriitorul mai vechi Bramegupta consideră că invenția numerotării este foarte veche. În și mai vechiul scriitor Aryabgat găsim soluții la multe întrebări matematice remarcabile.
Aceste indicații par să facă puțin probabile asigurările geometrului francez Chals că sistemul zecimal este o dezvoltare a metodei romane de utilizare a tabelului de calcul (Abacus) în calcule și că o singură introducere a unui zero a fost suficientă pentru a obține un sistem zecimal real.
Aritmetică și logistică la greci. Grecii au sunat aritmetic doctrina a proprietăți generale numere. Arta numărării, sau un set de tehnici practice în calcul, numeau grecii logistică.
Se încarcă...
