Свет с точки зрения квантовой оптики. Оптика. Учение о свете. Фотоэффект и давление света в квантовой оптике

Содержание статьи

КВАНТОВАЯ ОПТИКА – раздел оптики, изучающий квантовые свойства света. Можно сказать, что квантовая оптика – это квантовая физика света. Интерес к квантовой оптике появился еще в первой половине 20 в., но особенно интенсивное развитие эта область науки получила в конце 20 в., когда физики научились готовить особые состояния света – так называемый неклассический свет. Сейчас неклассический свет успешно применяется в метрологии, спектроскопии, используется для точных измерений, а также для секретной передачи информации. Кроме того, подходы и методы квантовой оптики позволяют существенно дополнить ту информацию, которую дают различные измерения, связанные с излучением и поглощением света.

Кванты.

Именно для света, а, точнее, для электромагнитного поля, была впервые предложена идея квантового описания. Эту идею в 1900. выдвинул Макс Планк , предположив, что излучение света происходит порциями – квантами. Это предположение многим казалось парадоксальным, но оно стало спасительным для целого раздела оптики. Оно позволило объяснить форму спектра излучения нагретых тел, которую ранее объяснить не удавалось. Предыдущие попытки рассчитать спектр излучения приводили к тому, что в области малых длин волн, т.е. в ультрафиолетовой части спектра, возникали неограниченно большие значения – расходимости. Разумеется, в эксперименте никаких расходимостей не наблюдалось, и это несоответствие между теорией и экспериментом получило название «ультрафиолетовой катастрофы». Предположение о том, что излучение света происходит порциями, позволило убрать расходимости в теоретически рассчитанных спектрах и, тем самым, избавить физику от «ультрафиолетовой катастрофы».

Кроме спектров излучения, в физике оставалось еще одно неясное место, а именно, явление фотоэффекта (см . ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ). Было неясно, почему кинетическая энергия электронов, выбиваемых светом из металла, зависит от частоты света. Более того, свет с достаточно малой частотой вообще не способен вызвать фотоэффект. Поскольку малая частота света соответствует красной части спектра, то это явление называют красной границей фотоэффекта. В 1905 Альберт Эйнштейн использовал для объяснения фотоэффекта гипотезу квантов. Идея Эйнштейна заключалась в том, что каждому электрону достается одна-единственная порция энергии – один квант. И если энергия этого кванта мала, ее просто нехватает для выхода электрона из металла. На основе этой идеи Эйнштейн развил теорию фотоэффекта, которая прекрасно подтвердилась экспериментальными данными.

Теперь оказалось, что свет и излучается, и поглощается порциями. Это побудило Эйнштейна предположить, что свет всегда имеет дискретную структуру. Эта замечательная идея была лишь гипотезой: ведь из того, что поглощение и излучение света происходит порциями, еще не следует, что свет и существует только в виде порций. Но именно эта идея оправдывает название «квантовая оптика», и именно с развитием квантовой оптики появились более веские аргументы в пользу квантовой природы света.

Частицы или волны?

В начале 20 в. кванты света стали называть фотонами, и вскоре стало общепринятым утверждение: «Свет состоит из фотонов». Появилось представление о свете как о потоке корпускул, т. е. частиц. Тем не менее, волновые явления, наблюдаемые для света, например, интерференцию и дифракцию, не удавалось объяснить с точки зрения корпускулярной структуры света. Получалось, что свет, да и вообще электромагнитное излучение – это волны и в то же время поток частиц (см . КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА). Примирить эти две точки зрения позволил развитый к середине 20 в. квантовый подход к описанию света. С точки зрения такого подхода, электромагнитное поле может находиться в одном из различных квантовых состояний. При этом существует только один выделенный класс состояний с заданным числом фотонов – фоковские состояния, названные так по имени В.А.Фока . Поэтому фразу «свет состоит из фотонов» не следует понимать буквально – так, например, свет может находиться в таком состоянии, что с вероятностью 99% он не содержит фотонов, а с вероятностью 1% он содержит два фотона. В этом одно из отличий фотона от других элементарных частиц – например, количество электронов в ограниченном объеме задано совершенно точно, и его можно определить, измерив полный заряд и поделив на заряд одного электрона. Количество же фотонов, находящееся в некотором объеме пространства в течение некоторого времени, измерить точно можно в очень редких случаях, а именно, только тогда, когда свет находится в фоковских состояниях. Целый раздел квантовой оптики посвящен различным способам приготовления света в различных квантовых состояниях, частности, приготовление света в фоковских состояниях представляет собой важную и не всегда выполнимую задачу.

Эксперимент Брауна – Твисса.

Одиночные и коррелированные фотоны. Может ли быть неквантовая физика света? Конечно, да, и в большинстве случаев оптические явления можно объяснить без помощи квантовой теории. Но есть много случаев, когда это не так и когда важнао учитывать квантовую природу света.

Считается, что первый эксперимент в квантовой оптике - это эксперимент Брауна и Твисса, выполненный в 1956. Браун и Твисс показали, что если направить свет от некоторых источников на два фотоприемника, которые «щелкают» при регистрации фотонов, то приемники будут часто щелкать одновременно. В эксперименте Браун и Твисс использовали излучение ртутной лампы, а позже – свет от звезды. Этот эксперимент довольно долго считался доказательством фотонной природы света: ведь одновременность щелчков фотоприемников означает, что оба они регистрируют существующие в действительности порции света, а не просто случайно щелкают время от времени. Однако оказывается, что при регистрации света от ртутной лампы или звезды одновременные щелчки происходят в лучшем случае всего в два раза чаще, чем было бы при случайных щелчках фотоприемников. Этот результат вполне объясним классически и еще не доказывает фотонной структуры света. Тем не менее, очень скоро (в шестидесятых годах 20 в.) были обнаружены источники света, которые в подобном эксперименте приводят к строго одновременным щелчкам фотоприемников. Одновременность каких-то событий в различных пространственных точках в физике принято называть корреляцией. Например, если два приятеля говорят по телефону только друг с другом, то телефон у них бывает занят всегда одновременно, и можно говорить о корреляции телефонных звонков в их квартирах. Соответственно, свет, который заставляет два фотоприемника щелкать строго одновременно, можно назвать светом с парной корреляцией, или группировкой фотонов. Такие свойства проявляет двухфотонный свет. С другой стороны, существуют источники света, которые никогда не дают одновременных щелчков фотодетекторов. Такой свет называется светом с антигруппировкой фотонов.

Неклассический свет.

Эксперименты по регистрации света с группировкой и антигруппировкой фотонов действительно доказали фотонную структуру света, и их можно считать «настоящими квантовооптическими» экспериментами. Но в обоих случаях свет приготавливался в специальных квантовых состояниях с заданным числом фотонов. В экспериментах первого типа регистрировался двухфотонный свет, в экспериментах второго типа – однофотонный свет. Таким образом, опять можно придти к выводу, что только в особых состояниях свет проявляет свойства, которые невозможно объяснить с классических позиций. Такие состояния света называют неклассическими.

У двухфотонного света есть еще одно замечательное свойство. Оказалось, что такой свет можно использовать для экспериментальной проверки основной идеи квантовой механики – идеи о вероятностном поведении отдельных квантовых частиц (см. НЕРАВЕНСТВА БЕЛЛА).

Какие же неклассические состояния света можно на сегодняшний день приготовить в лабораториях? Оказывается, совсем немного видов. Физики умеют готовить однофотонный свет и двухфотонный свет с примесью вакуумного состояния, т.е. состояния света без фотонов. Что это означает? В случае однофотонного света это значит, что даже идеальный фотоприемник, включенный в определенный момент, не обязательно зарегистрирует фотон; он щелкнет лишь с какой-то вероятностью. (Под идеальным фотоприемником понимается приемник, который срабатывает с вероятностью 100%, если на входе есть фотон.) Однако двух фотонов фотоприемник не зарегистрирует никогда, даже если он в принципе способен отличить один фотон от двух. Аналогично, не будет зарегистрировано троек фотонов, четверок фотонов и т.д. Соответственно, если фотоприемник (или пара фотоприемников) регистрирует смесь вакуумного и двухфотонного состояния, щелчки будут происходить только парами, но в случайные моменты времени. Тройки, четверки фотонов и т.д. также не будут зарегистрированы.

Однофотонный свет можно приготовить и без примеси вакуумного состояния – при этом будут точно известны моменты, когда нужно включать фотоприемник, и он будет щелкать с вероятностью 100%. А трехфотонный и тем более четырехфотонный свет экспериментаторы не умеют готовить даже с примесью вакуума!

И наконец, последний из «доступных» видов неклассического света – это так называемый сжатый свет, такой свет содержит лишь четное число фотонов, и при его регистрации фотоприемники могут обнаружить пары фотонов, четверки, шестерки и т.д., но никогда – тройки, пятерки и другие нечетные числа фотонов.

Применения неклассического света.

Неклассический свет привлекает внимание физиков не только как интересный объект исследования. Он оказывается очень полезным с точки зрения различных применений. Так, двухфотонный свет используется для точной калибровки фотоприемников. Каждый фотоприемник неидеален, т.е. срабатывает с вероятностью, меньшей 100%. Эта вероятность называется квантовой эффективностью фотоприемника. Калибровкой фотоприемника называют измерение его квантовой эффективности; прежде для этого использовались эталонные источники или приемники света, и это делало измерение не очень точным. Однако двухфотонный свет позволяет обойтись без таких эталонов. Действительно, если два фотоприемника регистрируют двухфотонный свет, то в идеале они всегда должны щелкать одновременно. В действительности же количество одновременных щелчков будет меньше количества щелчков любого из фотоприемников. Поделив число одновременных щелчков на число щелчков одного из фотоприемников, можно получить квантовую эффективность второго фотоприемника. При этом никаких эталонов не требуется, и точность измерения может быть значительно повышена по сравнению с традиционными методами.

Сжатый свет, как и двухфотонный свет, оказывается полезным при точных измерениях. Его использование позволяет уменьшить ошибки эксперимента, связанные с квантовой неопределенностью. Известно, что квантовые объекты чаще всего не имеют точно заданных параметров; их свойства можно назвать «размазанными», так же как «размазано» их положение в пространстве. При высокоточных измерениях, когда погрешности эксперимента сведены к минимуму, эта размазанность свойств становится принципиальным ограничением точности измерений. Использование сжатого света позволяет обойти эту трудность и в определенные моменты времени уменьшить размазанность.

Наконец, одно из последних применений неклассического света – это секретная передача информации (квантовая криптография). Для этого удобнее всего использовать однофотонный свет. Идея квантовой криптографии – в том, чтобы передавать информацию отдельными фотонами. Например, цифры 0 и 1 кодируются поляризацией фотонов: вертикально поляризованный фотон обозначает «0», а горизонтально поляризованный фотон – «1». Такая передача информации будет секретной, потому что ее нельзя «подслушать». Любой подслушиватель может лишь перехватить некоторые фотоны целиком – ведь он не может отщепить часть фотона и узнать таким образом его поляризацию. Но перехваченные фотоны просто не будут участвовать в передаче информации, поэтому информация, переданная отдельными квантами, защищена от подслушивания.

Мария Чехова

ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. КВАНТОВАЯ ОПТИКА

Тепловое излучение

Излучение телами электромагнитных волн может осуществляться за счет различных видов энергии. Самым распространенным является тепловое излучение , т. е. испускание электромагнитных волн за счет внутренней энергии тела. Все остальные виды излучения, объединяются под общим названием «люминесценция». Тепловое излучение имеет место при любой температуре, однако при невысоких температурах излучаются практически лишь электромагнитные волны инфракрасного диапазона.

Окружим излучающее тело оболочкой, внутренняя поверхность которого отражает все падающее на нее излучение. Воздух из оболочки удален. Отраженное оболочкой излучение частично или полностью поглощается телом. Следовательно, будет происходить непрерывный обмен энергией между телом и заполняющим оболочку излучением.

Равновесное состояние системы «тело – излучение» соответствует условию, когда распределение энергии между телом и излучением остается неизменным для каждой длины волны. Такое излучение принято называть равновесным излучением . Экспериментальные исследования показывают, что единственным видом излучения, которое может находиться в равновесии с излучающими телами, является тепловое излучение. Все остальные виды излучения оказываются неравновесными. Способность теплового излучения находиться в равновесии с излучающими телами обусловлена тем, что его интенсивность возрастает при повышении температуры.

Предположим, что равновесие между телом и излучением нарушено и тело излучает энергию большую, чем поглощает. Тогда внутренняя энергия тела будет убывать, что приведет к уменьшению температуры. Это, в свою очередь, приведет к уменьшению излучаемой телом энергии. Если равновесие нарушится в другую сторону, т. е. излучаемой энергии окажется меньше, чем поглощаемой, температура тела будет возрастать до тех пор, пока снова не установится равновесие.

Из всех видов излучения равновесным может быть только тепловое излучение . К равновесным состояниям и процессам применимы законы термодинамики. Поэтому тепловое излучение подчиняется общим закономерностям, вытекающим из принципов термодинамики. К рассмотрению этих закономерностей мы и перейдем.

Формула Планка

В 1900 г. немецкому физику Максу Планку удалось найти вид функции , в точности соответствующий опытным данным. Для этого ему пришлось сделать предположение, совершенно чуждое классическим представлениям, а именно, допустить, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций энергии (квантов), пропорциональных частоте излучения:

где n – частота излучения; h – коэффициент пропорциональности, получивший название постоянной Планка, h = 6.625 × 10-34 Дж × с; = h /2p =
= 1.05 × 10–34 Дж × с = 6.59 × 10-14 эВ × с; w = 2pn – круговая частота. При этом, если излучение испускается квантами , то его энергия e n должна быть кратной этой величине:

Плотность распределения радиационных осцилляторов была подсчитана Планком классически. Согласно распределению Больцмана, число частиц N n , энергия каждой из которых равна e n , определяется формулой

, n = 1, 2, 3… (4.2)

где А – нормировочный множитель; k – постоянная Больцмана. Используя определение среднего значения дискретных величин, получаем выражение для средней энергии частиц, которое равно отношению полной энергии частиц к полному числу частиц:

где число частиц, обладающих энергией . С учетом (4.1) и (4.2) выражение для среднего значения энергии частиц имеет вид

.

Последующие преобразования приводят к соотношению

.

Таким образом, функция Кирхгофа, с учетом (3.4), имеет вид

. (4.3)

Формула (4.3) называется формулой Планка. Эта формула согласуется с экспериментальными данными во всем интервале частот от 0 до . В области малых частот, согласно правилам приближенных вычислений, при (): » и выражение (4.3) преобразуется в формулу Рэлея – Джинса.

Опыт Боте. Фотоны

Чтобы объяснить распределение энергии в спектре равновесного теплового излучения, достаточно, как показал Планк, допустить, что свет испускается квантами. Для объяснения фотоэффекта достаточно предположить, что свет поглощается такими же порциями. Эйнштейн выдвинул гипотезу, что свет и распространяется в виде дискретных частиц, названных первоначально световыми квантами. Впоследствии эти частицы получили название фотонов (1926 г.). Гипотезу Эйнштейна непосредственно подтвердил опыт Боте (рис. 6.1).

Тонкая металлическая фольга (Ф) помещалась между двумя газоразрядными счетчиками (Сч). Фольга освещалась пучком рентгеновских лучей с небольшой интенсивностью, под действием которых она сама становилась источником рентгеновских лучей.

Вследствие малой интенсивности первичного пучка количество квантов, испускаемых фольгой, было невелико. При попадании в счетчик рентгеновских лучей запускался особый механизм (М), делавший отметку на движущейся ленте (Л). Если бы излучаемая энергия распространялась равномерно во все стороны, как это следует из волновых представлений, оба счетчика должны были бы срабатывать одновременно и отметки на ленте приходились бы одна против другой.

В действительности же наблюдалось совершенно беспорядочное расположение отметок. Это можно объяснить лишь тем, что в отдельных актах испускания возникают световые частицы, летящие то в одном, то в другом направлении. Так было доказано существование особых световых частиц – фотонов.

Энергия фотона определяется его частотой

. (6.1)

Электромагнитная волна, как известно, обладает импульсом. Соответственно, и фотон должен обладать импульсом (p ). Из соотношения (6.1) и общих принципов относительности вытекает, что

. (6.2)

Такое соотношение между импульсом и энергией возможно только для частиц с нулевой массой покоя, движущихся со скоростью света. Таким образом: 1) масса покоя фотона равна нулю; 2) фотон движется со скоростью света. Сказанное означает, что фотон представляет собой частицу особого рода, отличную от таких частиц, как электрон, протон и т. п., которые могут существовать, двигаясь со скоростями, меньшими с , и даже покоясь. Выразив в (6.2) частоту w через длину волны l, получим:

,

где – модуль волнового вектора k . Фотон летит в направлении распространения электромагнитной волны. Поэтому направления импульса р и волнового вектора k совпадают:

Пусть на полностью поглощающую свет поверхность падает поток фотонов, летящих по нормали к поверхности. Если концентрация фотонов равна N , то на единицу поверхности падает в единицу времени Nc фотонов. При поглощении каждый фотон сообщает стенке импульс р = Е /с . Импульс, сообщаемый в единицу времени единице поверхности, т. е. давление Р света на стенку

.

Произведение NЕ равно энергии фотонов, заключенных в единице объема, т. е. плотности электромагнитной энергии w. Таким образом, давление, оказываемое светом на поглощающую поверхность, равно объемной плотности электромагнитной энергии P = w .

При отражении от зеркальной поверхности фотон сообщает ей импульс 2р . Поэтому для абсолютно отражающей поверхности P = 2w .

Эффект Комптона

Импульс фотона слишком мал и не поддается прямому измерению. Однако при столкновении фотона со свободным электроном величину передаваемого импульса уже можно измерить. Процесс рассеяния фотона на свободном электроне называется эффектом Комптона . Выведем соотношение, связывающее длину волны рассеянного фотона с углом рассеяния и длиной волны фотона до соударения. Пусть фотон с импульсом р и энергией Е = pc сталкивается с неподвижным электроном, энергия которого . После соударения импульс фотона равен и направлен под углом Q, как показано на рис. 8.1.

Импульс электрона отдачи будет равен , и полная релятивистская энергия . Здесь мы используем релятивистскую механику, поскольку скорость электрона может достигать значений, близких к скорости света.

Согласно закону сохранения энергии или , преобразуется к виду

. (8.1)

Запишем закон сохранения импульса:

Возведем (8.2) в квадрат: и вычтем это выражение из (8.1):

. (8.3)

Учитывая, что релятивистская энергия , можно показать, что правая часть выражения (8.2) равна . Тогда после преобразования импульс фотона равен

.

Переходя к длинам волн p = = h /l, Dl = l - l¢, получаем:

,

или окончательно:

Величина называется комптоновской длиной волны. Для электрона комптоновская длина волны lc = 0.00243 нм.

В своем опыте Комптон использовал рентгеновское излучение с известной длиной волны и обнаружил, что у рассеянных фотонов длина волны увеличивается. На рис. 8.1 приведены результаты экспериментального исследования рассеяния монохроматического рентгеновского излучения на графите. Первая кривая (Q = 0°) характеризует первичное излучение. Остальные кривые относятся к разным углам рассеяния Q, значения которых указаны на рисунке. По оси ординат отложена интенсивность излучения, по оси абсцисс длина волны. На всех графиках присутствует несмещенный компонент излучения (левый пик). Его наличие объясняется рассеянием первичного излучения на связанных электронах атома.

Эффект Комптона и внешний фотоэффект подтвердили гипотезу о квантовой природе света, т. е. свет действительно ведет себя так, как если бы он состоял из частиц, энергия которых h n и импульс h /l. Вместе с тем, явления интерференции и дифракции света могут быть объяснены с позиции волновой природы. Оба эти подхода в настоящий момент представляются взаимодополняющими друг друга.

Принцип неопределенности

В классической механике состояние материальной точки определяется заданием значений координат и импульса. Своеобразие свойств микрочастиц проявляется в том, что не для всех переменных при измерениях получаются определенные значения. Так, например, электрон (и любая другая микрочастица) не может иметь одновременно точных значений координаты х и компоненты импульса . Неопределенности значений х и удовлетворяют соотношению

. (11.1)

Из (11.1) следует, что, чем меньше неопределенность одной из переменных (х или ), тем больше неопределенность другой. Возможно такое состояние, когда одна из переменных имеет точное значение, а другая переменная при этом оказывается совершенно неопределенной.

Соотношение, аналогичное (11.1), имеет место для у и , z и , а также для ряда других пар величин (такие пары величин называются канонически сопряженными). Обозначив канонически сопряженные величины буквами А и В , можно написать

. (11.2)

Соотношение (11.2) называется принципом неопределенности для величин А и В . Это соотношение сформулировал В. Гейзенберг в 1927 г. Утверждение о том, что произведение неопределенностей значений двух канонически сопряженных переменных не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка, называется принципом неопределенности.

Энергия и время также являются канонически сопряженными величинами

Это соотношение означает, что определение энергии с точностью DЕ должно занять интервал времени, равный по меньшей мере .

Соотношение неопределенности можно проиллюстрировать следующим примером. Попытаемся определить значение координаты х свободно летящей микрочастицы, поставив на ее пути щель шириной Dх , расположенную перпендикулярно к направлению движения частицы.

До прохождения частицы через щель ее составляющая импульса имеет точное значение равное нулю (щель по условию перпендикулярна к направлению импульса), так что , зато координата х частицы явля­ет­ся совершенно неопределен­ной (рис. 11.1).

В момент прохождения частицы через щель положение меняется. Вместо полной неопределенности координаты х появляется неопределенность Dх, но это достигается ценой утраты определенности значения . Действительно, вследствие дифракции имеется некоторая вероятность того, что частица будет двигаться в пределах угла 2j, где j – угол, соответствующий первому дифракционному максимуму (максимумами высших порядков можно пренебречь, поскольку их интенсивность мала по сравнению с интенсивностью центрального максимума). Таким образом, появляется неопределенность

.

Краю центрального дифракционного максимума (первому минимуму), получающемуся от щели шириной Dх , соответствует угол j, для которого

Следовательно, , и получаем

.

Движение по траектории характеризуется вполне определенными значениями координат и скорости в каждый момент времени. Подставив в (11.1) вместо произведение , получим соотношение

.

Очевидно, что чем больше масса частицы, тем меньше неопределенности ее координаты и скорости и, следовательно, с тем большей точностью применимо понятие траектории. Уже для макрочастицы размером 1 мкм неопределенности значений х и оказываются за пределами точности измерения этих величин, так что ее движение будет практически неотличимо от движения по траектории.

Принцип неопределенности является одним из фундаментальных положений квантовой механики.

Уравнение Шредингера

В развитие идеи де-Бройля о волновых свойствах вещества австрийский физик Э. Шредингер получил в 1926 г. уравнение, названное впоследствии его именем. В квантовой механике уравнение Шредингера играет такую же фундаментальную роль, как законы Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла в классической теории электромагнетизма. Оно позволяет найти вид волновой функции частиц, движущихся в различных силовых полях. Вид волновой функции или Y-функции получается из решения уравнения, которое выглядит следующим образом

Здесь m – масса частицы; i – мнимая единица; D – оператор Лапласа, результат действия которого на некоторую функцию представляет собой сумму вторых производных по координатам

Буквой U в уравнении (12.1) обозначена функция координат и времени, градиент которой, взятый с обратным знаком, определяет силу, действующую на частицу.

Уравнение Шредингера является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики. Оно не может быть выведено из других уравнений. Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно (т.е. постоянно во времени), то функция U не зависит от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В этом случае решение уравнения Шредингера состоит из двух множителей, один из которых зависит только от координат, другой – только от времени

Здесь Е – полная энергия частицы, которая в случае стационарного поля остается постоянной; – координатная часть волновой функции. Чтобы убедиться в справедливости (12.2), подставим его в (12.1):

В результате получим

Уравнение (12.3) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний .В дальнейшем мы будем иметь дело только с этим уравнением и для краткости будем называть его просто уравнением Шредингера. Уравнение (12.3) часто записывают в виде

В квантовой механике большую роль играет понятие оператора. Под оператором подразумевается правило, посредством которого одной функции, обозначим ее сопоставляется другая функция, обозначим ее f . Символически это записывается следующим образом

здесь – символическое обозначение оператора (можно было взять любую другую букву со «шляпкой» над ней, например и т. д.). В формуле (12.1) роль играет D, роль – функция , а роль f – правая часть формулы. Например, символ D означает двукратное дифференцирование по трем координатам, х , у , z , с последующим суммированием полученных выражений. Оператор может, в частности, представлять собой умножение исходной функции на некоторую функцию U . Тогда , следовательно, . Если рассматривать функцию U в уравнении (12.3) как оператор, действие которого на Y-функцию сводится к умножению на U , то уравнение (12.3) можно записать так:

В этом уравнении символом обозначен оператор, равный сумме операторов и U :

.

Оператор называют гамильтонианом (или оператором Гамильтона). Гамильтониан является оператором энергии Е . В квантовой механике другим физическим величинам также сопоставляются операторы. Соответственно, рассматриваются операторы координат, импульса, момента импульса и т. д. Для каждой физической величины составляется уравнение, аналогичное (12.4). Оно имеет вид

где – оператор, сопоставляемый g . Так, например, оператор импульса определяется соотношениями

; ; ,

или в векторном виде , где Ñ – градиент.

В разд. 10 мы уже обсуждали физический смысл Y-функции: квадрат модуля Y-функции (волновой функции) определяет вероятность dP того, что частица будет обнаружена в пределах объема dV :

, (12.5)

Поскольку квадрат модуля волновой функции равен произведению волновой функции на комплексно сопряженную величину , то

.

Тогда вероятность обнаружения частицы в объеме V

.

Для одномерного случая

.

Интеграл от выражения (12.5), взятый по всему пространству от до , равняется единице:

Действительно, этот интеграл дает вероятность того, что частица находится в одной из точек пространства, т. е. вероятность достоверного события, которая равна 1.

В квантовой механике принимается, что волновая функция допускает умножение на отличное от нуля произвольное комплексное число С , причем и С Y описывают одно и то же состояние частицы. Это позволяет выбрать волновую функцию так, чтобы она удовлетворяла условию

Условие (12.6) называется условием нормировки. Функции, удовлетворяющие этому условию, называются нормированными. В дальнейшем мы всегда будем полагать, что рассматриваемые нами Y-функции являются нормированными. В случае стационарного силового поля справедливо соотношение

т. е. плотность вероятности волновой функции равна плотности вероятности координатной части волновой функции и от времени не зависит.

Свойства Y-функции: она должна быть однозначной, непрерывной и конечной (за исключением, быть может, особых точек) и иметь непрерывную и конечную производную. Совокупность перечисленных требований носит название стандартных условий.

В уравнение Шредингера в качестве параметра входит полная энергия частицы Е . В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения вида имеют решения, удовлетворяющие стандартным условиям, не при любых, а лишь при некоторых определенных значениях параметра (т. е. энергии Е ). Эти значения называются собственными значениями . Решения, соответствующие собственным значениям, называются собственными функциями . Нахождение собственных значений и собственных функций, как правило, представляет собой весьма трудную математическую задачу. Рассмотрим некоторые наиболее простые частные случаи.

Частица в потенциальной яме

Найдем собственные значения энергии и соответствующие им собственные волновые функции для частицы, находящейся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме (рис. 13.1, а ). Предположим, что частица

может двигаться только вдоль оси х . Пусть движение ограничено непроницаемыми для частицы стенками: х = 0 и х = l . Потенциальная энергия U = 0 внутри ямы (при 0 £ х £ l ) и вне ямы (при х < 0 и х > l ).

Рассмотрим стационарное уравнение Шредингера. Поскольку Y-функ­ция зависит только от координаты х , то уравнение имеет вид

За пределы потенциальной ямы частица попасть не может. Поэтому вероятность обнаружения частицы вне ямы равна нулю. Следовательно, и функция y за пределами ямы равна нулю. Из условия непрерывности следует, что y должна быть равна нулю и на границах ямы, т. е.

. (13.2)

Этому условию должны удовлетворять решения уравнения (13.1).

В области II (0 £ х £ l ), где U = 0 уравнение (13.1) имеет вид

Используя обозначение , придем к известному из теории колебаний волновому уравнению

.

Решение такого уравнения имеет вид

Условию (14.2) можно удовлетворить соответствующим выбором постоянных k и a. Из равенства получаем Þ a = 0.

(n = 1, 2, 3, ...), (13.4)

n = 0 исключено, поскольку при этом º 0, т. е. вероятность обнаружения частицы в яме равна нулю.

Из (13.4) получаем (n = 1, 2, 3, ...), следовательно,

(n = 1, 2, 3, ...).

Таким образом получаем, что энергия частицы в потенциальной яме может принимать только дискретные значения. На рис.13.1, б изображена схема энергетических уровней частицы в потенциальной яме. На этом примере реализуется общее правило квантовой механики: если частица локализована в ограниченной области пространства, то спектр значений энергии частицы дискретен, при отсутствии локализации спектр энергии непрерывен .

Подставим значения k из условия (13.4) в (13.3) и получим

Для нахождения константы а воспользуемся условием нормировки, которое в данном случае имеет вид

.

На концах промежутка интегрирования подынтегральная функция обращается в нуль. Поэтому значение интеграла можно получить, умножив среднее значение (равное, как известно, 1/2) на длину промежутка. Таким образом, получаем . Окончательно собственные волновые функции имеют вид

(n = 1, 2, 3, ...).

Графики собственных значений функций при различных n изображены на рис. 13.2. На этом же рисунке показана плотность вероятности yy * обнаружения частицы на различных расстояниях от стенок ямы.

Графики показывают, что в состоянии с n = 2 частица не может быть обнаружена в середине ямы и вместе с тем одинаково часто бывает как в левой, так и в правой половине ямы. Такое поведение частицы, несовместимо с представлением о траектории. Отметим, что, согласно классическим представлениям, все положения частицы в яме равновероятны.

Движение свободной частицы

Рассмотрим движение свободной частицы. Полная энергия Е движущейся частицы равна кинетической энергии (потенциальная энергия U = 0). Уравнение Шредингера для стационарного состояния (12.3) имеет в этом случае решение

задает поведение свободной частицы. Таким образом, свободная частица в квантовой механике описывается плоской монохроматической волной де‑Бройля с волновым числом

.

Вероятность обнаружить частицу в любой точке пространства найдем как

,

т. е. вероятность обнаружить частицу вдоль оси х везде постоянна .

Таким образом, если импульс частицы имеет определенное значение, то она, в соответствии с принципом неопределенности, с равной вероятностью может находиться в любой точке пространства. Иначе говоря, если импульс частицы точно известен, мы ничего не знаем о ее местонахождении.

В процессе измерения координаты частица локализуется измерительным прибором, поэтому область определения волновой функции (17.1) для свободной частицы ограничивается отрезком х. Плоскую волну уже нельзя считать монохроматической, имеющей одно определенное значение длины волны (импульса).

Гармонический осциллятор

В заключение рассмотрим задачу о колебаниях квантового гармонического осциллятора . Таким осциллятором являются частицы, совершающие малые колебания около положения равновесия.

На рис. 18.1, а изображен классический гармонический осциллятор в виде шарика массой m , подвешенного на пружине с коэффициентом жесткости k . Сила, действующая на шарик и ответственная за его колебания, связана с координатой х формулой . Потенциальная энергия шарика есть

.

Если шарик вывести из положения равновесия, то он совершает колеба­ния с частотой . Зависимость потенциальной энергии от координа­ты х показана на рис. 18.1, б .

Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора имеет вид

Решение этого уравнения приводит к квантованию энергии осциллятора. Собственные значения энергии осциллятора определяются выражением

Как и в случае потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками, минимальная энергия осциллятора отлична от нуля. Наименьшее возможное значение энергии при n = 0 называют энергией нулевых колебаний . Для классического гармонического осциллятора в точке с координатой x = 0 энергия равна нулю. Существование энергии нулевых колебаний подтверждается экспериментами по изучению рассеяния света кристаллами при низких температурах. Спектр энергий частицы оказывается эквидистантным , т. е. расстояние между уровнями энергии равно энергии колебаний классического осциллятора есть точка поворота частицы при колебаниях, т. е. .

График «классической» плотности вероятности изображен на рис. 18.3 пунктирной кривой. Видно, что, как и в случае потенциальной ямы, поведение квантового осциллятора существенным образом отличается от поведения классического.

Вероятность для классического осциллятора всегда максимальна вблизи точек поворота, а для квантового осциллятора вероятность максимальна в пучностях собственных Y-функций. К тому же квантовая вероятность оказывается отличной от нуля и за точками поворота, ограничивающими движение классического осциллятора.

На примере квантового осциллятора опять прослеживается упоминавшийся ранее принцип соответствия. На рис. 18.3 изображены графики для классической и квантовой плотностей вероятности при большом квантовом числе n . Хорошо видно, что усреднение квантовой кривой приводит к классическому результату.

Содержание

ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. КВАНТОВАЯ ОПТИКА

1. Тепловое излучение..................................................................................... 3

2. Закон Кирхгофа. Абсолютно черное тело............................................. 4

3. Закон Стефана – Больцмана и закон Вина. Формула Рэлея – Джинса. 6

4. Формула Планка..................................................................................... 8

5. Явление внешнего фотоэффекта............................................................ 10

6. Опыт Боте. Фотоны............................................................................... 12

7. Излучение Вавилова – Черенкова........................................................ 14

8. Эффект Комптона.................................................................................. 17

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

9. Гипотеза де-Бройля. Опыт Дэвиссона и Джермера............................. 19

10. Вероятностный характер волн де-Бройля. Волновая функция......... 21

11. Принцип неопределенности................................................................ 24

12. Уравнение Шредингера....................................................................... 26

КВАНТОВАЯ ОПТИКА

КВАНТОВАЯ ОПТИКА

Раздел статистической оптики, изучающий микроструктуру световых полей и оптич. явления, в к-рых видна квант. природа света. Представление о квант. структуре излучения введено нем. физиком М. Планком в 1900.

Статистич. структуру интерференц. поля впервые наблюдал С. И. Вавилов (1934), им же предложен термин «микроструктура света».

Световое - сложный физ. объект, состояние к-рого определяется бесконечным числом параметров. Это относится и к монохроматическому излучению, к-рое при классич. описании характеризуется полностью амплитудой, частотой, фазой и поляризацией. Задача полного определения светового поля не может быть решена из-за непреодолимых технич. трудностей, связанных с бесконечным числом измерений параметров поля. Дополнит. сложности в решение этой задачи вносит существенно квант. хар-р измерений, т. к. они связаны с регистрацией фотонов фотодетекторами.

Успехи лазерной физики и совершенствование техники регистрации слабых световых потоков определили развитие и задачи К. о. Долазерные источники света по своим статистич. св-вам однотипны генераторам шума, имеющего гауссовское . Состояние их полей практически полно определяется формой спектра излучения и его интенсивностью. С появлением квант. генераторов и квант. усилителей К. о. получила в своё распоряжение широкий ассортимент источников с весьма разнообразными, в т. ч. не гауссовскими, статистич. хар-ками.

Простейшая хар-ка поля - его ср. интенсивность. Более полная хар-ка- ф-ция пространственно-временного распределения интенсивности поля, определяемая из экспериментов по регистрации во времени фотонов одним детектором. Ещё более полную информацию о состоянии поля дают исследования квант. его разл. величин, к-рые удаётся частично определить из экспериментов по совместной регистрации фотонов поля неск. приёмниками, либо при исследовании многофотонных процессов в в-ве.

Центр. понятиями в К. о., определяющими состояние поля и картину его флуктуации, явл. т. н. корреляционные ф-ции или полевые корреляторы. Они определяются как квантовомеханич. средние от операторов поля (см. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ). Степень сложности корреляторов определяет ранг, причём, чем он выше, тем более тонкие статистич. св-ва поля им характеризуются. В частности, эти ф-ции определяют картину совместной регистрации фотонов во времени произвольным числом детекторов. Корреляционные ф-ции играют важную роль в нелинейной оптике. Чем выше степень нелинейности оптич. процесса, тем более высокого ранга корреляторы необходимы для его описания. Особое значение в К. о. имеет понятие квантовой когерентности. Различают частичную и полную поля. Полностью когерентная волна по своему действию на системы максимально подобна классич. монохроматич. волне. Это означает, что квант. флуктуации поля когерентной минимальны. Излучение лазеров с узкой спектральной полосой близко по своим хар-кам к полностью когерентному.

Исследование корреляц. ф-ций высших порядков позволяет изучать физ. в излучающих системах (напр., в лазерах). Методы К. о. дают возможность определять детали межмол. вз-ствнй по изменению статистики фотоотсчётов при рассеянии света в среде.

Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия . . 1983 .

КВАНТОВАЯ ОПТИКА

Раздел оптики, изучающий статистич. свойства световых полей и квантовое проявление этих свойств в процессах взаимодействия света с веществом. Представление о квантовой структуре излучения введено М. Планком (М. Planck) в 1900. Световое поле, как и любое физ. поле, в силу своей квантовой природы является объектом статистическим, т. е. его состояние определяется в вероятностном смысле. С 60-х гг. началось интенсивное изучение статистич. распределение.) Далее, квантовый процесс спонтанного рождения фотонов является неустранимым источником существенных флуктуации полей, изучаемых К. о.; наконец, сама регистрация света фотоприёмниками - фотоотсчёты - представляет собой дискретный квантовый . шумы генераторов излучения, в среде и т. п. нелинейной оптикой; с одной стороны, в нелинейных оптич. процессах происходит изменение статистич. свойств светового поля, с другой - статистика поля влияет на протекание нелинейных процессов. корреляционными функциями, или полевыми корреляторами. Они определяются как квантово-механич. средние от операторов поля (см. также Квантовая теория поля). Простейшими характеристиками поля являются его и ср. интенсивность. Эти характеристики находят из опытов, напр., интенсивность света - по измерениям скорости фотоэмиссии электронов в ФЭУ. Теоретически эти величины описываются (без учёта поляризации поля) полевым коррелятором в к-ром - эрмитово сопряжённые составляющие оператора электрич. поля
в пространственно-временной точке x=(r,t). Оператор выражается через - оператор уничтожения (см. Вторичное квантование )фотона "k "-й моды поля U k (r):

Соответственно этому выражается через оператор рождения Знак < . . . > обозначает квантовое усреднение по состояниям поля, а если рассматривается его с веществом, то и по состояниям вещества. информация о состоянии поля содержится в корреляторе G 1,1 (x 1 , x 2). В общем случае детальное определение состояния поля требует знания корреляц. ф-ций более высоких порядков (рангов). Стандартной формой корреляторов, обусловленной её связью с регистрацией поглощения фотонов, принята нормально-упорядоченная:

в к-рой все п операторов рождения стоят левее всех га операторов уничтожения Порядок коррелятора равен сумме n+m .Практически удаётся исследовать корреляторы невысоких порядков. Чаще всего это коррелятор G 2,2 ( х 1 ,х 2 ; х 2 ,х 1), к-рый характеризует флуктуации интенсивности излучения, его находят из экспериментов по совместному счёту фотонов двумя детекторами. Подобно этому определяется коррелятор G n,n (x 1 ,. . .х п ; х п,. . .x 1) из регистрации отсчётов фотонов п приёмниками или из данных n -фотонного поглощения. G n,m с п № т возможно только в нелинейных оптич. экспериментах. В стационарных измерениях условие неизменности коррелятора G n,m во времени требует выполнения закона сохранения энергии:

где w 6 частоты гармоник операторов соответственно. В частности, G 2,l находят из пространственной картины интерференции трёхволнового взаимодействия в процессе уничтожения одного и рождения двух квантов (см. Взаимодействие световых волн). Из нестационарных корреляторов особый интерес представляет G 0,1 (x ), определяющий напряжённость квантового поля. Величина |G 0,1 (x )| 2 даёт значение интенсивности поля только в спец. случаях, в частности для когерентных полей. р(п,T) - вероятность реализации точно п фотоотсчётов в интервале времени Т. Эта характеристика содержит в себе скрытую информацию о корреляторах произвольно высоких порядков. Выявление скрытой информации, в частности определение ф-ции распределения интенсивности излучения источником, составляет предмет т. н. обратной задачи счёта фотонов в К. о. Счёт фотонов -эксперимент, имеющий принципиально квантовую природу, что отчётливо проявляется, когда интенсивность I регистрируемого поля не флуктуирует. Даже в этом случае его вызывает случайную во времени последовательность фотоотсчётов с Пуассона распределением

где b - характеристика чувствительности фотодетектора, т. н. его эффективность. Значение g (x 1 , х 2) стремится к 1 по мере разнесения пространственно-временных точек х 1 и х 2 ,что соответствует статистич. независимости фотоотсчётов в них. При совмещении точек x 1 =x 2 =x отличие g (x , х )от единицы (g- 1) характеризует уровень флуктуации интенсивности излучения и проявляется в различии чисел совпадений фотоотсчётов, полученных при одновременной и независимой их регистрации двумя детекторами. Флуктуации интенсивности одномодового поля характеризуются величиной

где усреднение удобно проводить по состояниям |n > (см. Вектор состояния )с матрицей плотности

в к-рой Р п - вероятность реализации моды поля в состоянии с п фотонами. Для теплового излучения вероятность Р п задана Бoзе - Эйнштейна статистикой:

где ср. число фотонов в моде Это сильно флуктуирующее поле, для к-рого g= 2. Оно характеризуется положит. корреляцией g- 1>0 в одновременной регистрации двух фотонов. Такие случаи флуктуации интенсивности, когда g> 1, наз. в К. о. группировкой фотонов. g-1=0 представляют поля, находящиеся в т. н. когерентных состояниях, ук-рых Этот специально выделенный в К. о. класс полей с нефлуктуирующей интенсивностью генерируется, напр., движущимися классически электрическими зарядами. Когерентные поля наиб. просто описываются в т. н. Р (a)-представлении Глаубера (см. Квантовая когерентность). В этом представлении

где

Выражение (**) может рассматриваться как соответствующее классич. выражение для g, в к-ром Р (a) считается ф-цией распределения комплексных амплитуд a классич. поля и для к-рого всегда Р(a)>0. Последнее приводит к условию g >1, т. е. к возможности в классич. полях только группировки. Это объясняется тем, что флуктуации интенсивности классич. поля вызывают одновременно одинаковое изменение фотоотсчётов в обоих фотодетекторах.

Р (a) == d 2 (a - a 0) = d d -

двумерной d-ф-цией в комплексной плоскости a. Тепловые классич. поля характеризуются положит. ф-цией (что и описывает группировкув них). Для квантовых полей Р (a) - ф-ция вещественная, но в конечной области аргумента а она может принимать отрицат. значение, тогда она представляет т. н. квазивероятности. Статистика фотоотсчётов у полей с точно заданным числом N >1 фотонов в моде P n = d nN (d nN - Кронекера символ )является существенно неклассической. Для этого состояния g = 1 - 1/N, что соответствует отрицат. корреляции: g- 1 <0. Такие случаи наз. в К. о. антигруппировкой фотонов, к-рую можно объяснить тем, что фотона одним из детекторов уменьшает вероятность фотоотсчёта в другом. Эффект антигруппировки наблюдается и в свете, резонансно рассеянном одним атомом. В этом случае регистрируемые кванты спонтанно рождаются в среднем через определ. интервалы времени и вероятность одноврем. рождения двух квантов равна нулю, что и даёт нулевую вероятность их одноврем. регистрации. многофотонные процессы. К. о. находит всё более широкую область применения. Так, напр., в связи с проектированием оптич. системы для регистрации гравитац. волн и постановкой т. н. невозмущающих оптич. экспериментов, в к-рых уровень флуктуации, в т. ч. квантовых, сводится к минимуму, внимание исследователей привлекают такие состояния поля, наз. "сжатыми", в к-рых флуктуации интересующей величины (подобной интенсивности или фазе идеально стабилизированного лазера) могут быть в принципе сведены до нуля. Лит.: Г л а у б е р Р., Оптическая когерентность и статистика фотонов, в кн.: Квантовая оптика и квантовая радиофизика, пер. с англ. и франц., М., 1966; Клаудер Д ж., Сударшан Э., Основы квантовой оптики, пер. с англ., М.. 1970; Перина Я., Когерентность света, пер. с англ., М., 1974; Спектроскопия оптического смешения и фотонов, под ред. Г, Камминса, Э. Пайка, пер. с англ., М., 1978; К л ы ш к о Д. Н., Фотоны и , М., 1980; Кросиньяни Б., Ди Порто П., Бертолотти М., Статистические свойства рассеянного света, пер. с англ., М., 1980. С. Г . Пржибельский.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1988 .

Смотреть что такое "КВАНТОВАЯ ОПТИКА" в других словарях:

Раздел оптики, изучающий статистические свойства световых полей (потоков фотонов) и квантовые проявления этих свойств в процессах взаимодействия света с веществом … Большой Энциклопедический словарь

КВАНТОВАЯ ОПТИКА - раздел теоретической физики, изучающий микроструктуру световых полей и оптические явления, подтверждающие квантовую природу света … Большая политехническая энциклопедия

Квантовой оптикой называют раздел оптики, занимающийся изучением явлений, в которых проявляются квантовые свойства света. К таким явлениям относятся: тепловое излучение, фотоэффект, эффект Комптона, эффект Рамана, фотохимические процессы,… … Википедия

Раздел оптики, изучающий статистические свойства световых полей (потоков фотонов) и квантовые проявления этих свойств в процессах взаимодействия света с веществом. * * * КВАНТОВАЯ ОПТИКА КВАНТОВАЯ ОПТИКА, раздел оптики, изучающий статистические… … Энциклопедический словарь

квантовая оптика - kvantinė optika statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. quantum optics vok. Quantenoptik, f rus. квантовая оптика, f pranc. optique quantique, f … Fizikos terminų žodynas

Раздел оптики, изучающий статистич. свойства световых полей (потоков фотонов) и квантовые проявления этих свойств в процессах взаимодействия света с веществом … Естествознание. Энциклопедический словарь

Имеет следующие подразделы (список неполный): Квантовая механика Алгебраическая квантовая теория Квантовая теория поля Квантовая электродинамика Квантовая хромодинамика Квантовая термодинамика Квантовая гравитация Теория суперструн См. также… … Википедия

Введение

1. Возникновение учения о квантах

Фотоэффект и его законы

1 Законы фотоэффекта

3. Закон Кирхгофа

4. Законы Стефана-Больцмана и смещения Вина

Формулы Рэлея - Джинса и Планка

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта

Фотон, его энергия и импульс

Применение фотоэффекта в технике

Давление света. Опыты П.Н.Лебедева

Химическое действие света и его применение

Корпускулярно-волновой дуализм

Заключение

Список литературы

Введение

Оптика - раздел физики, в котором изучается природа оптического излучения (света), его распространение и явления, наблюдаемые при взаимодействии света и вещества. По традиции оптику принято подразделять на геометрическую, физическую и физиологическую. Мы рассмотрим квантовую оптику.

Квантовой оптикой называют раздел оптики, занимающийся изучением явлений, в которых проявляются квантовые свойства света. К таким явлениям относятся: тепловое излучение, фотоэффект, эффект Комптона, эффект Рамана, фотохимические процессы, вынужденное излучение (и, соответственно, физика лазеров) и др. Квантовая оптика является более общей теорией, чем классическая оптика. Основная проблема, затрагиваемая квантовой оптикой - описание взаимодействия света с веществом с учётом квантовой природы объектов, а также описания распространения света в специфических условиях. Для того чтобы точно решить эти задачи требуется описывать и вещество (среду распространения, включая вакуум) и свет исключительно с квантовых позиций, однако часто прибегают к упрощениям: одну из компонент системы (свет или вещество) описывают как классический объект. Например часто при расчётах связанных с лазерными средами квантуют только состояние активной среды, а резонатор считают классическим, однако если длина резонатора будет порядка длины волны, то его уже нельзя считать классическим, и поведение атома в возбуждённом состоянии помещённого в такой резонатор будет гораздо более сложным.

1. Возникновение учения о квантах

Теоретические исследования Дж. Максвелла показали, что свет есть электромагнитные волны определенного диапазона. Теория Максвелла получила экспериментальное подтверждение в опытах Г. Герца. Из теории Максвелла следовало, что свет, падая на любое тело, оказывает на него давление. Это давление удалось обнаружить П. Н. Лебедеву. Опыты Лебедева подтвердили электромагнитную теорию света. Согласно работам Максвелла, показатель преломления вещества определяется формулой n =εμ −−√, т.е. связан с электрическими и магнитными свойствами этого вещества (ε и μ - соответственно относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости вещества). Но такое явление, как дисперсия (зависимость показателя преломления от длины световой волны), теория Максвелла объяснить не смогла. Это было сделано Х.Лоренцем, создавшим электронную теорию взаимодействия света с веществом. Лоренц предположил, что электроны под действием электрического поля электромагнитной волны совершают вынужденные колебания с частотой v, которая равна частоте электромагнитной волны, а диэлектрическая проницаемость вещества зависит от частоты изменений электромагнитного поля, следовательно, и n =f (v ). Однако при изучении спектра испускания абсолютно черного тела, т.е. тела, которое поглощает все падающие на него излучения любой частоты, физика не смогла в рамках электромагнитной теории объяснить распределение энергии по длинам волн. Расхождение между теоретической (пунктирная) и экспериментальной (сплошная) кривыми распределения плотности мощности излучения в спектре абсолютно черного тела (рис. 19.1), т.е. различие между теорией и опытом, было так значительно, что его назвали "ультрафиолетовой катастрофой" Электромагнитная теория не могла также объяснить возникновение линейчатых спектров газов и законы фотоэффекта.

Рис. 1.1

Новая теория света была выдвинута М. Планком в 1900 г. Согласно гипотезе М. Планка, электроны атомов излучают свет не непрерывно, а отдельными порциями - квантами. Энергия кванта W пропорциональна частоте колебаний ν :

W =hν ,

где h - коэффициент пропорциональности, называемый постоянной Планка:

h =6,62⋅10−34 Джс

Так как излучение испускается порциями, то энергия атома или молекулы (осциллятора) может принимать лишь определенный дискретный ряд значений, кратных целому числу электронных порций ω , т.е. быть равной hν ,2hν ,3hν и т.д. Не существует колебаний, энергия которых имеет промежуточное значение между двумя последовательными целыми числами, кратными hν . Это означает, что на атомно-молекулярном уровне колебания происходят не с любыми значениями амплитуд. Допустимые значения амплитуд определяются частотой колебаний.

Используя это предположение и статистические методы, М. Планк сумел получить формулу распределения энергии в спектре излучения, соответствующую экспериментальным данным (см. рис. 1.1).

Квантовые представления о свете, введенные в науку Планком, развил далее А. Эйнштейн. Он пришел к выводу, что свет не только излучается, но и распространяется в пространстве, и поглощается веществом в виде квантов.

Квантовая теория света помогла объяснить ряд явлений, наблюдаемых при взаимодействии света с веществом.

2. Фотоэффект и его законы

Фотоэффект возникает при взаимодействии вещества с поглощаемым электромагнитным излучением.

Различают внешний и внутренний фотоэффект.

Внешним фотоэффектом называется явление вырывания электронов из вещества под действием падающего на него света.

Внутренним фотоэффектом называется явление увеличения концентрации носителей заряда в веществе, а следовательно, и увеличения электропроводности вещества под действием света. Частным случаем внутреннего фотоэффекта является вентильный фотоэффект - явление возникновения под действием света электродвижущей силы в контакте двух различных полупроводников или полупроводника и металла.

Внешний фотоэффект был открыт в 1887 г. Г. Герцем, а исследован детально в 1888-1890 гг. А. Г. Столетовым. В опытах с электромагнитными волнами Г. Герц заметил, что проскакивание искры между цинковыми шариками разрядника происходит при меньшей разности потенциалов, если один из них осветить ультрафиолетовыми лучами. При исследовании этого явления Столетовым использовался плоский конденсатор, одна из пластин которого (цинковая) была сплошной, а вторая - выполнена в виде металлической сетки (рис. 1.2). Сплошная пластина соединялась с отрицательным полюсом источника тока, а сетчатая - с положительным. Внутренняя поверхность отрицательно заряженной пластины конденсатора освещалась светом от электрической дуги, в спектральный состав которой входят ультрафиолетовые лучи. Пока конденсатор не освещался, тока в цепи не было. При освещении цинковой пластины К ультрафиолетовыми лучами гальванометр G фиксировал наличие тока в цепи. В том случае, если катодом становилась сетка А, тока в цепи не было. Следовательно, цинковая пластина под действием света испускала отрицательно заряженные частицы. К моменту обнаружения фотоэффекта еще не было ничего известно об электронах, открытых Дж. Томсоном только 10 лет спустя, в 1897 г. После открытия электрона Ф. Ленардом было доказано, что вылетающими под действием света отрицательно заряженными частицами являются электроны, названные фотоэлектронами.

Рис. 1.2

Столетов проводил опыты с катодами из разных металлов на установке, схема которой показана на рисунке 1.3.

Рис. 1.3

В стеклянный баллон, из которого выкачан воздух, впаивались два электрода. Внутрь баллона через кварцевое "окошко", прозрачное для ультрафиолетового излучения, попадает свет на катод К. Подаваемое на электроды напряжение можно изменять с помощью потенциометра и измерять вольтметром V. Под действием света катод испускал электроны, которые замыкали цепь между электродами, и амперметр фиксировал наличие тока в цепи. Измерив ток и напряжение, можно построить график зависимости силы фототока от напряжения между электродами I =I (U ) (рис. 1.4). Из графика следует, что:

При отсутствии напряжения между электродами фототок отличен от нуля, что можно объяснить наличием у фотоэлектронов при вылете кинетической энергии.

При некотором значении напряжения между электродами UH сила фототока перестает зависеть от напряжения, т.е. достигает насыщения IH .

Рис. 1.4

Сила фототока насыщения IH =qmaxt , где qmax - максимальный заряд, переносимый фотоэлектронами. Он равен qmax =net , где n - число фотоэлектронов, вылетающих с поверхности освещаемого металла за 1 с, e - заряд электрона. Следовательно, при фототоке насыщения все электроны, покинувшие за 1 с поверхность металла, за это же время попадают на анод. Поэтому по силе фототока насыщения можно судить о числе фотоэлектронов, вылетающих с катода в единицу времени.

Если катод соединить с положительным полюсом источника тока, а анод - с отрицательным, то в электростатическом поле между электродами фотоэлектроны будут тормозиться, а сила фототока уменьшаться при увеличении значения этого отрицательного напряжения. При некотором значении отрицательного напряжения U 3 (его называют задерживающим напряжением) фототок прекращается.

Согласно теореме о кинетической энергии, работа задерживающего электрического поля равна изменению кинетической энергии фотоэлектронов:

A 3=−eU 3;ΔWk =mυ 2max 2,

eU 3=mυ 2max 2.

Это выражение получено при условии, что скорость υ ≪c , где с - скорость света.

Следовательно, зная U 3, можно найти максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов.

На рисунке 1.5, а приведены графики зависимости I ф (U) для различных световых потоков, падающих на фотокатод при постоянной частоте света. На рисунке 1.5, б приведены графики зависимости I ф (U) для постоянного светового потока и различных частот падающего на катод света.

Рис. 1.5

Анализ графиков на рисунке 1.5, а показывает, что сила фототока насыщения увеличивается с увеличением интенсивности падающего света. Если по этим данным построить график зависимости силы тока насыщения от интенсивности света, то получим прямую, которая проходит через начало координат (рис. 1.5, в). Следовательно, сила фотона насыщения пропорциональна интенсивности света, падающего на катод

If ∼ I .

Как следует из графиков на рисунке 1.5, б уменьшении частоты падающего света, величина задерживающего напряжения увеличивается с увеличением частоты падающего света. При U 3 уменьшается, и при некоторой частоте ν 0 задерживающее напряжение U 30=0. При ν <ν 0 фотоэффект не наблюдается. Минимальная частота ν 0(максимальная длина волны λ 0) падающего света, при которой еще возможен фотоэффект, называется красной границей фотоэффекта. На основании данных графика 1.5,б можно построить график зависимости U 3(ν ) (рис. 1.5, г ).

На основании этих экспериментальных данных были сформулированы законы фотоэффекта.

1 Законы фотоэффекта

1. Число фотоэлектронов, вырываемых за 1с. с поверхности катода, пропорционально интенсивности света, падающего на это вещество.

2. Кинетическая энергия фотоэлектронов не зависит от интенсивности падающего света, а зависит линейно от его частоты.

3. Красная граница фотоэффекта зависит только от рода вещества катода.

4. Фотоэффект практически безинерционен, так как с момента облучения металла светом до вылета электронов проходит время ≈10−9 с.

3. Закон Кирхгофа

Кирхгоф, опираясь на второй закон термодинамики и анализируя условия равновесного излучения в изолированной системе тел, установил количественную связь между спектральной плотностью энергетической светимости и спектральной поглощательной способностью тел. Отношение спектральной плотности энергетической светимости к спектральной поглощательной способности не зависит от природы тела; оно является для всех тел универсальной функцией частоты (длины волны) и температуры (закон Кирхгофа):

Для черного тела , поэтому из закона Кирхгофа вытекает, что R ,T для черного тела равна r ,T . Таким образом, универсальная функцияКирхгофа r ,T есть не что иное, как спектральная плотность энергетической светимости черного тела. Следовательно, согласно закону Кирхгофа, для всех тел отношение спектральной плотности энергетической светимости к спектральной поглощательной способности равно спектральной плотности энергетической светимости черного тела при той же температуре и частоте.

Используя закон Кирхгофа, выражение для энергетической светимости тела (3.2) можно записать в виде

Для серого тела

(3.2)

Энергетически светимость черного тела (зависит только от температуры).

Закон Кирхгофа описывает только тепловое излучение, являясь настолько характерным для него, что может служить надежным критерием для определения природы излучения. Излучение, которое закону Кирхгофа не подчиняется, не является тепловым.

4. Законы Стефана-Больцмана и смещения Вина

Из закона Кирхгофа (см. (4.1)) следует, что спектральная плотность энергетическое светимости черного тела является универсальное функцией, поэтому нахождение ее явной зависимости от частоты и температуры является важной задачей теории теплового излучения. Австрийский физик И. Стефан (1835-1893), анализируя экспериментальные данные (1879), и Л. Больцман, применяя термодинамический метод (1884), решили эту задачу лишь частично, установив зависимость энергетической светимости R e от температуры. Согласно закону Стефана - Больцмана,

т.е. энергетическая светимость черного тела пропорциональна четвертой степени его термодинамической температуры;  - постоянная Стефана - Больцмана: ее экспериментальное значение равно 5,6710-8 Вт/(м2  К4). Закон Стефана - Больцмана, определяя зависимость R е от температуры, не дает ответа относительно спектрального состава излучения черного тела. Из экспериментальных кривых зависимости функции r ,T от длины волны  при различных температурах (рис. 287) следует, что распределение энергии в спектре черного тела является неравномерным. Все кривые имеют явно выраженный максимум, который по мере повышения температуры смещается в сторону более коротких волн. Площадь, ограниченная кривой зависимости r ,T от  и осью абсцисс, пропорциональна энергетической светимости R e черного тела и, следовательно, по закону Стефана - Больцмана, четвертой степени температуры.

Немецкий физик В. Вин (1864-1928), опираясь на законы термо- и электродинамики, установил зависимость длины волны  max, соответствующей максимуму функции r ,T , от температуры Т. Согласно закону смещения Вина,

(199.2)

т. е. длина волны  max, соответствующая максимальному значению спектральной плотности энергетической светимости r ,T черного тела, обратно пропорциональна его термодинамической температуре, b - постоянная Вина; ее экспериментальное значение равно 2,910-3 мК. Выражение (199.2) потому называют законом смещения Вина, что оно показывает смещение положения максимума функции r ,T по мере возрастания температуры в область коротких длин волн. Закон Вина объясняет, почему при понижении температуры нагретых тел в их спектре все сильнее преобладает длинноволновое излучение (например, переход белого каления в красное при остывании металла).

5. Формулы Рэлея - Джинса и Планка

Из рассмотрения законов Стефана - Больцмана и Вина следует, что термодинамический подход к решению задача о нахождении универсальной функции Кирхгофа r ,T не дал желаемых результатов. Следующая строгая попытка теоретического вывода зависимости r ,T принадлежит английским ученым Д. Рэлею и Д. Джинсу (1877-1946), которые применили к тепловому излучению методы статистической физики, воспользовавшись классическим законом равномерного распределения энергии по степеням свободы.

Формула Рэлея - Джинса для спектральной плотности энергетической светимости черного тела имеет вид

(200.1)

где  =kT - средняя энергия осциллятора с собственной частотой  . Для осциллятора, совершающего колебания, средние значения кинетической и потенциальной энергий одинаковы, поэтому средняя энергия каждой колебательной степени свободы  =kT .

Как показал опыт, выражение (200.1) согласуется с экспериментальными данными только в области достаточно малых частот и больших температур. В области больших частот формула Рэлея - Джинса резко расходится с экспериментом, а также с законом смещения Вина (рис. 288). Кроме того, оказалось, что попытка получить закон Стефана - Больцмана (см. (199.1)) из формулы Рэлея - Джинса приводит к абсурду. Действительно, вычисленная с использованием (200.1) энергетическая светимость черного тела (см. (198.3))

в то время как по закону Стефана - Больцмана R е пропорциональна четвертой степени температуры. Этот результат получил название "ультрафиолетовой катастрофы". Таким образом, в рамках классической физики не удалось объяснить законы распределения энергии в спектре черного тела.

В области больших частот хорошее согласие с опытом дает формула Вина (закон излучения Вина), полученная им из общих теоретических соображений:

где r ,T - спектральная плотность энергетической светимости черного тела, С и А - постоянные величины. В современных обозначениях с использованием постоянной Планка, которая в то время еще не была известна, закон излучения Вина может быть записан в виде

Правильное, согласующееся с опытными данными выражение для спектральной плотности энергетической светимости черного тела было найдено в 1900 г. немецким физиком М. Планком. Для этого ему пришлось отказаться от установившегося положения классической физики, согласно которому энергия любой системы может изменяться непрерывно, т. е. может принимать любые сколь угодно близкие значения. Согласно выдвинутой Планком квантовой гипотезе, атомные осцилляторы излучают энергию не непрерывно, а определенными порциями - квантами, причем энергия кванта пропорциональна частоте колебания (см. (170.3)):

(200.2)

где h = 6,62510-34 Джс - постоянная Планка. Так как излучение испускается порциями, то энергия осциллятора  может принимать лишь определенныедискретные значения, кратные целому числу элементарных порций энергии  0:

В данном случае среднюю энергию   осциллятора нельзя принимать равной kT. В приближении, что распределение осцилляторов по возможным дискретным состояниям подчиняется распределению Больцмана, средняя энергия осциллятора

а спектральная плотность энергетической светимости черного тела

Таким образом, Планк вывел для универсальной функции Кирхгофа формулу

(200.3)

которая блестяще согласуется с экспериментальными данными по распределению энергии в спектрах излучения черного тела во всем интервале частот и температур. Теоретический вывод этой формулы М. Планк изложил 14 декабря 1900 г. на заседании Немецкого физического общества. Этот день стал датой рождения квантовой физики.

В области малых частот, т. е. при h <<kT (энергия кванта очень мала по сравнению с энергией теплового движения kT ), формула Планка (200.3) совпадает с формулой Рэлея - Джинса (200.1). Для доказательства этого разложим экспоненциальную функцию в ряд, ограничившись для рассматриваемого случая двумя первыми членами:

Подставляя последнее выражение в формулу Планка (200.3), найдем, что

т. е. получили формулу Рэлея - Джинса (200.1).

Из формулы Планка можно получить закон Стефана - Больцмана. Согласно (198.3) и (200.3),

Введем безразмерную переменную x =h /(kt ); dx =h d /(kT ); d=kT dx/h. Формула для R e преобразуется к виду

(200.4)

где так как Таким образом, действительно формула Планка позволяет получить закон Стефана - Больцмана (ср. формулы (199.1) и (200.4)). Кроме того, подстановка числовых значений k, с и h дает для постоянной Стефана - Больцмана значение, хорошо согласующееся с экспериментальными данными. Закон смещения Вина получим с помощью формул (197.1) и (200.3):

Откуда

Значение  max, при котором функция достигает максимума, найдем, приравняв нулю эту производную. Тогда, введя x=hc/ (kT max), получим уравнение

Решение этого трансцендентного уравнения методом последовательных приближений дает x =4,965. Следовательно, hc/ (kT max)=4,965, откуда

т. е. получили закон смещения Вина (см. (199.2)).

Из формулы Планка, зная универсальные постоянные h, k и с, можно вычислить постоянные Стефана - Больцмана  и Вина b. С другой стороны, зная экспериментальные значения  и b, можно вычислить значения h и k (именно так и было впервые найдено числовое значение постоянной Планка).

Таким образом, формула Планка не только хорошо согласуется с экспериментальными данными, но и содержит в себе частные законы теплового излучения, а также позволяет вычислить постоянные в законах теплового излучения. Следовательно, формула Планка является полным решением основной задачи теплового излучения, поставленной Кирхгофом. Ее решение стало возможным лишь благодаря революционной квантовой гипотезе Планка.

6. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта

Попытаемся объяснить экспериментальные законы фотоэффекта, используя электромагнитную теорию Максвелла. Электромагнитная волна заставляет электроны совершать электромагнитные колебания. При постоянной амплитуде вектора напряженности электрического поля количество энергии, полученной в этом процессе электроном, пропорционально частоте волны и времени "раскачивания". В этом случае энергию, равную работе выхода, электрон должен получить при любой частоте волны, но это противоречит третьему экспериментальному закону фотоэффекта. При увеличении частоты электромагнитной волны больше энергии за единицу времени передается электронам, и фотоэлектроны должны вылетать в большем количестве, а это противоречит первому экспериментальному закону. Таким образом, эти факты объяснить в рамках электромагнитной теории Максвелла было невозможно.

В 1905 г. для объяснения явления фотоэффекта А. Эйнштейн использовал квантовые представления о свете, введенные в 1900 г. Планком, и применил их к поглощению света веществом. Монохроматическое световое излучение, падающее на металл, состоит из фотонов. Фотон - это элементарная частица, обладающая энергией W 0=hν .Электроны поверхностного слоя металла поглощают энергию этих фотонов, при этом один электрон поглощает целиком энергию одного или нескольких фотонов.

Если энергия фотона W 0 равна или превышает работу выхода, то электрон вылетает из металла. При этом часть энергии фотона тратится на совершение работы выхода А в , а остальная часть переходит в кинетическую энергию фотоэлектрона:

W 0=AB +mυ 2max 2,

hν =AB +mυ 2max 2 - уравнение Эйнштейна для фотоэффекта.

Оно представляет собой закон сохранения энергии в применении к фотоэффекту. Это уравнение записано для однофотонного фотоэффекта, когда речь идет о вырывании электрона, не связанного с атомом (молекулой).

На основе квантовых представлений о свете можно объяснить законы фотоэффекта.

Известно, что интенсивность света I =WSt , где W - энергия падающего света, S - площадь поверхности, на которую падает свет, t - время. Согласно квантовой теории, эта энергия переносится фотонами. Следовательно, W = N f hν , где

Характеристики теплового излучения:

Свечение тел,т.е излучение телами электромагнитных волн может осуществляться за счет различных механизмов.

Тепловое излучение – это испускание электромагнитных волн за счет теплового движения молекул и атомов. При тепловом движении атомы сталкиваясь друг с другом, передают энергию при этом переходят в возбужденное состояние а при переходе в основное состояние излучают электромагнитную волну.

Тепловое излучение наблюдается при всех температурах отличных от 0 гр. Кельвина, при низких температурах излучаются длинные инфракрасные волны, а при высоких волны видимого диапазона и УФ волны. Все остальные виды излучения называются люминесценцией.

Поместим тело в оболочку с идеальной отражающей поверхностью и откачаем воздух из оболочки. (рис. 1). Излучения выходящие из тела отражаются от стен оболочки и снова поглощаются телом, т.е между телом и излучением происходит постоянный обмен энергией. В равновесном состоянии кол-во энергии излученным телом с единицей объема в ед. времени равно энергии поглощенной телом. Если равновесие нарушено то возникают процессы восстанавливающие его. Например: если тело начинает излучать энергии больше чем поглощать то внутренняя энергия и температура тела уменьшаются, а значит оно излучает меньше и уменьшение температуры тела происходит до тех пор пока кол-во излученной энергии не станет равно кол-ву полученной. Только тепловое излучение является равновесным.

Энергетическая светимость - , гдепоказывает то от чего зависит (- температура).

Энергетическая светимость это энергия излучаемая с ед. площади в ед. времени.
. Излучение может быть различно по спектральному анализу, поэтому
- спектральная плотность энергетической светимости:
это энергия излучаемая в интервале частот

это энергия излучаемая в интервале длин волн
с единицы площади в единицу времени.

Тогда
;
- используется в теоретических выводах, а
- экспериментальная зависимость.
соответствует
, поэтому
тогда

, т.к
, то
. Знак “-” показывает что если частота увеличивается то длина волны уменьшается. Поэтому “-” отбрасываем при подстановке
.

- спектральная поглощательная способность – это энергия поглощаемая телом. Она показывает какая доля энергии падающего излучения данной частоты (или длины волны) поглощается поверхностью.
.

Абсолютно черное тело – это тело которое поглощает все падающее на него излучение при любой частоте и температуре.
. Серое тело это тело у которого спектральная поглощательная способность меньше 1, но является одинаковой для всех частот
. Для всех остальных тел
, зависит от частоты и температуры.

и
зависит от: 1) материала тела 2) частоты или длины волны 3) от состояния поверхности от температуры.

Закон Кирхгофа.

Между спектральной плотностью энергетической светимости (
) и спектральной поглощательной способностью (
) для любого тела существует связь.

Поместим в оболочку несколько разных тел при разных температурах, откачали воздух и оболочку поддерживаем при постоянной температуре Т. Обмен энергии между телами и телами и оболочкой будут происходить за счет излучения. Через некоторое время система перейдет в равновесное состояние, т.е температура всех тел равняется температуре оболочки, но тела разные поэтому если одно тело излучает в ед. времени больше энергии то и поглощать оно должно больше чем другое для того чтобы температура тел была одинакова, значит
- относится к разным телам.

Закон Кирхгофа: отношение спектральной плотности энергетической светимости и спектральной поглощательной способности для всех тел является одной и той же функцией частоты и температуры - это функция Кирхгофа. Физический смысл функции: для абсолютно черного тела
поэтому из закона Кирхгофа следует что
для абсолютно черного тела, т.е функция Кирхгофа это спектральная плотность энергетической светимости абсолютно черного тела. Энергетическая светимость черного тела обозначается:
, поэтому
поскольку ф-ция Кирхгофа является универсальной ф-цией для всех тел то основной задачей является тепловое излучение, экспериментальное определение вида ф-ции Кирхгофа и определение теоретических моделей, описывающих поведение этих ф-ции.

В природе абсолютно черных тел нет, близкие к ним сажа, бархат и т.д. Можно получить модель черного тела экспериментально, для этого берем оболочку с малым отверстием, свет попадает в нее и многократно отражается и поглощается при каждом отражении от стен, поэтому свет либо не выходит, либо очень малое кол-во, Т.е такое устройство ведет себя в отношении поглощения как абсолютно черное тело а по закону Кирхгофа оно и излучает как черное тело, т.е экспериментально нагревая или поддерживая оболочку при некоторой температуре, мы можем наблюдать излучение, выходящее из оболочки. С помощью дифракционной решетки разлагаем излучение в спектр и, определяя интенсивность, и излучение в каждой области спектра была определена экспериментально зависимость
(гр. 1). Особенности: 1) Спектр непрерывен, т.е наблюдаются все возможные длины волн. 2) Кривая проходит через максимум, т.е энергия распределяется неравномерно. 3) С повышением температуры максимум смещается в сторону более коротких длин волн.

Поясним примерами модель черного тела, т.е если снаружи осветить оболочку то отверстие кажется черным на фоне светящихся стен. Даже если стены сделать черными то отверстие всеравно темнее. Пусть поверхность белого фарфора подогреем и на фоне слабо светящихся стенок будет явно выделяться отверстие.

Закон Стефана-Больцмана

Проведя ряд экспериментов с различными телами определим что энергетическая светимость любого тела пропорциональна
. Больцман получил что энергетическая светимость черного тела пропорциональна
и записал.
- ф-ла Стефана-Больцмана.

постоянная Больцмана.
.

Закон Вина.

В1893 Вин получил -
- закон Вина.
;
;
;, то
. Подставляем:
;


;
.
, тогда
,
- ф-ция от
, т.е
- решение этого уравнения относительно
будет некоторое число при
;
из эксперимента определили что
- постоянная Вина.

Закон смещения Вина.

формулировка: это длина волны соответствующая максимуму спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела обратно пропорциональна температуре.

Формула Релея -Джинса.

Определения: Поток энергии – это энергия переносимая через площадку в единицу времени.
. Плотность потока энергии – это энергия переносимая через единичную площадку в единицу времени
. Объемная плотность энергии это энергия единицы объема
. Если волна распространяется в одном направлении то через площадку
за время
переносится энергия, заключенная в объеме цилиндра равная
(рис. 2) тогда

. Рассмотрим тепловое излучение в полости с абсолютно черными стенками, тогда 1) всё излучение попадающее на стенки поглощается. 2) Через каждую точку внутри полости в любом направлении переносится плотность потока энергии
(рис. 3). Релей и Джинс рассмотрели тепловое излучение в полости как суперпозиции стоячих волн. Можно показать что бесконечно малая
излучает внутрь полости в полусферу поток излучения
.
.

Энергетическая светимость черного тела - это энергия излученная с единицы площади в единицу времени, значит поток излучения энергии равен:
,
; Приравняли

;
- это объемная плотность энергии приходящаяся на интервал частот
. Релей и Джинс использовали термодинамический закон о равномерном распределений энергии по степеням свободы. Стоячая волна обладает степенями свободы и на каждую колеблющуюся степень свободы приходится энергия
. Число стоячих волн равно числу стоячих волн в полости. Можно показать что число стоячих волн приходящихся на единицу объема и на интервал частот
равно
здесь учтено что в одном направлении может распространяться 2 волны со взаимно-перпендикулярной ориентацией
.

Если энергию одной волны умножить на число стоячих волн единицы объема полости приходящегося на интервал частот
получится объемная плотность энергии приходящаяся на интервал частоты
.
. Таким образом
отсюда найдем
для этого
и
. Подставим
. Подставим
в
, тогда
- формула Релея-Джинса. Формула хорошо описывает экспериментальные данные в области длинных волн.

(гр. 2)
;
а эксперимент показывает что
. По формуле Релея-Джинса тело только излучает и тепловое взаимодействие между телом и излучением не наступает.

Формула Планка.

Планк так же как Релей-Джинс рассмотрел тепловое излучение в полости как суперпозицию стоячих волн. Так же
,
,
, но Планк постулировал что излучение происходит не непрерывно, а определяется порциями – квантами. Энергия каждого кванта принимает значения
,т.е
или энергия гармонического осциллятора принимает дискретные значения. Под гармоническим осциллятором понимают не только частицу совершающую гармоническое колебание, но и стоячую волну.

Для определения
среднего значения энергии учитывают что энергия распределена в зависимости от частоты по закону Больцмана, т.е вероятность того что волна с частотойпринимает значение энергииравна
,
, тогда







.

;
,
.

- Формула Планка.

;
;


. Формула полностью описывает экспериментальную зависимость
и из нее следуют все законы теплового излучения.

Следствия из формулы Планка.

;

1)
Низкие частоты и высокие температуры

;
;
- Релей-Джинс.

2)
Высокие частоты и низкие температуры
;
а это почти что
- Закон Вина. 3)


- закон Стефана-Больцмана.

4)
;
;
;
- это трансцендентное уравнение решая его численными методами получаем корень уравнения
;
- Закон смещения Вина.

Таким образом формула полностью описывает зависимость
и из не следуют се законы теплового излучения.

Применение законов теплового излучения.

Применяется для определения температур раскаленных и самосветящихся тел. Для этого используют пирометры. Пирометрия это метод использующий зависимость энергетической зависимости тел от темпа свечения раскаленных тел и используются для источников света. Для вольфрама доля энергии приходящаяся на видимую часть спектра значительно больше чем для черного тела при той же температуре.