Grunnleggende formler for trigonometri. Trigonometriske ligninger

Det er ingen hemmelighet at suksess eller fiasko i prosessen med å løse nesten ethvert problem hovedsakelig avhenger av riktig bestemmelse av typen av en gitt ligning, så vel som av riktig gjengivelse av sekvensen av alle stadier av løsningen. Når det gjelder trigonometriske ligninger, er det imidlertid ikke vanskelig å bestemme det faktum at ligningen er trigonometrisk. Men i prosessen med å bestemme rekkefølgen av handlinger som skal lede oss til det riktige svaret, kan vi støte på visse vanskeligheter. La oss finne ut hvordan du løser trigonometriske ligninger riktig helt fra begynnelsen.

Løse trigonometriske ligninger

For å løse en trigonometrisk ligning, må du prøve følgende punkter:

• Vi reduserer alle funksjonene som er inkludert i ligningen vår til "identiske vinkler";
• Det er nødvendig å bringe den gitte ligningen til "identiske funksjoner";
• Vi dekomponerer venstre side av den gitte ligningen i faktorer eller andre nødvendige komponenter.

Metoder

Metode 1. Slike likninger må løses i to trinn. Først transformerer vi ligningen for å få dens enkleste (forenklede) form. Ligningen: Cosx = a, Sinx = a og lignende kalles de enkleste trigonometriske ligningene. Det andre trinnet er å løse den enkleste ligningen som er oppnådd. Det skal bemerkes at den enkleste ligningen kan løses ved hjelp av den algebraiske metoden, som er godt kjent for oss fra skolealgebrakurset. Det kalles også substitusjon og variabel erstatningsmetode. Ved å bruke reduksjonsformler må du først transformere, deretter gjøre en erstatning og deretter finne røttene.

Deretter må vi faktorisere ligningen vår inn i mulige faktorer for å gjøre dette, må vi flytte alle ledd til venstre og så kan vi faktorisere det. Nå må vi bringe denne ligningen til en homogen, der alle ledd er like i samme grad, og cosinus og sinus har samme vinkel.

Før du løser trigonometriske ligninger, må du flytte leddene til venstre side, ta dem fra høyre side, og deretter sette alle fellesnevnerne ut av parentes. Vi likestiller våre parenteser og faktorer til null. Våre likestilte parenteser representerer en homogen ligning med redusert grad, som må deles med sin (cos) i høyeste grad. Nå løser vi den algebraiske ligningen som ble oppnådd i forhold til tan.

Metode 2. En annen metode for å løse en trigonometrisk ligning er å gå til halvvinkelen. For eksempel løser vi ligningen: 3sinx-5cosx=7.

Vi må gå til halvvinkelen, i vårt tilfelle er det: 6sin(x/2)*cos(x/2)- 5cos²(x/2)+5sin²(x/2) = 7sin²(x/2)+ 7cos²(x /2).Og etter det reduserer vi alle leddene til en del (for enkelhets skyld er det bedre å velge den rette) og fortsetter med å løse ligningen.

Om nødvendig kan du angi en hjelpevinkel. Dette gjøres i tilfelle du trenger å erstatte heltallsverdien sin (a) eller cos (a) og tegnet "a" bare fungerer som en hjelpevinkel.

Produkt for å summere

Hvordan løse trigonometriske ligninger ved å bruke produkt for å summere? En metode kjent som produkt-til-sum konvertering kan også brukes til å løse slike ligninger. I dette tilfellet er det nødvendig å bruke formlene som tilsvarer ligningen.

For eksempel har vi ligningen: 2sinx * sin3x= сos4x

Vi må løse dette problemet ved å konvertere venstre side til en sum, nemlig:

сos 4x –cos8x=cos4x,

x = p/16 + pk/8.

Hvis metodene ovenfor ikke er egnet, og du fortsatt ikke vet hvordan du løser de enkleste trigonometriske ligningene, kan du bruke en annen metode - universell substitusjon. Den kan brukes til å transformere et uttrykk og gjøre en erstatning. For eksempel: Cos(x/2)=u. Nå kan du løse ligningen med den eksisterende parameteren u. Og etter å ha mottatt ønsket resultat, ikke glem å konvertere denne verdien til det motsatte.

Mange "erfarne" studenter anbefaler å be folk om å løse ligninger på nettet. Hvordan løse en trigonometrisk ligning på nettet, spør du. For å løse et problem på nettet kan du gå til fora om relevante emner, hvor de kan hjelpe deg med råd eller med å løse problemet. Men det er best å prøve å gjøre det på egen hånd.

Ferdigheter og evner i å løse trigonometriske ligninger er svært viktige og nyttige. Utviklingen deres vil kreve betydelig innsats fra deg. Mange problemer innen fysikk, stereometri osv. er knyttet til å løse slike ligninger. Og prosessen med å løse slike problemer i seg selv forutsetter tilstedeværelsen av ferdigheter og kunnskaper som kan tilegnes mens du studerer elementene i trigonometri.

Lære trigonometriske formler

I prosessen med å løse en ligning, kan du støte på behovet for å bruke en hvilken som helst formel fra trigonometri. Du kan selvfølgelig begynne å lete etter det i lærebøkene og juksearkene dine. Og hvis disse formlene er lagret i hodet ditt, vil du ikke bare spare nervene dine, men også gjøre oppgaven mye enklere, uten å kaste bort tid på å søke etter nødvendig informasjon. Dermed vil du få muligheten til å tenke gjennom den mest rasjonelle måten å løse problemet på.

Konsept for å løse trigonometriske ligninger.

• For å løse en trigonometrisk ligning, konverter den til en eller flere grunnleggende trigonometriske ligninger. Å løse en trigonometrisk ligning kommer til slutt ned til å løse de fire grunnleggende trigonometriske ligningene.

Løse grunnleggende trigonometriske ligninger.

• Det er 4 typer grunnleggende trigonometriske ligninger:
• sin x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Å løse grunnleggende trigonometriske ligninger innebærer å se på forskjellige x-posisjoner på enhetssirkelen, samt å bruke en konverteringstabell (eller kalkulator).
• Eksempel 1. sin x = 0,866. Ved hjelp av en konverteringstabell (eller kalkulator) får du svaret: x = π/3. Enhetssirkelen gir et annet svar: 2π/3. Husk: alle trigonometriske funksjoner er periodiske, noe som betyr at verdiene deres gjentas. For eksempel er periodisiteten til sin x og cos x 2πn, og periodisiteten til tg x og ctg x er πn. Derfor er svaret skrevet som følger:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Eksempel 2. cos x = -1/2. Ved å bruke en omregningstabell (eller kalkulator) får du svaret: x = 2π/3. Enhetssirkelen gir et annet svar: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Eksempel 3. tg (x - π/4) = 0.
• Svar: x = π/4 + πn.
• Eksempel 4. ctg 2x = 1,732.
• Svar: x = π/12 + πn.

Transformasjoner brukt til å løse trigonometriske ligninger.

• For å transformere trigonometriske ligninger brukes algebraiske transformasjoner (faktorisering, reduksjon av homogene termer osv.) og trigonometriske identiteter.
• Eksempel 5: Ved å bruke trigonometriske identiteter, konverteres ligningen sin x + sin 2x + sin 3x = 0 til ligningen 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Følgende grunnleggende trigonometriske ligninger må løses: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Finne vinkler ved hjelp av kjente funksjonsverdier.

  • Før du lærer hvordan du løser trigonometriske ligninger, må du lære hvordan du finner vinkler ved å bruke kjente funksjonsverdier. Dette kan gjøres ved hjelp av en konverteringstabell eller kalkulator.
  • Eksempel: cos x = 0,732. Kalkulatoren vil gi svaret x = 42,95 grader. Enhetssirkelen vil gi ytterligere vinkler, hvis cosinus også er 0,732.

• Sett til side løsningen på enhetssirkelen.

  • Du kan plotte løsninger til en trigonometrisk ligning på enhetssirkelen. Løsninger til en trigonometrisk ligning på enhetssirkelen er toppunktene til en vanlig polygon.
  • Eksempel: Løsningene x = π/3 + πn/2 på enhetssirkelen representerer hjørnene til kvadratet.
  • Eksempel: Løsningene x = π/4 + πn/3 på enhetssirkelen representerer toppunktene til en regulær sekskant.

• Metoder for å løse trigonometriske ligninger.

  • Hvis en gitt trigonometrisk ligning inneholder bare én trigonometrisk funksjon, løs den ligningen som en grunnleggende trigonometrisk ligning. Hvis en gitt ligning inkluderer to eller flere trigonometriske funksjoner, er det 2 metoder for å løse en slik ligning (avhengig av muligheten for transformasjon).
    • Metode 1.
  • Transformer denne ligningen til en ligning av formen: f(x)*g(x)*h(x) = 0, hvor f(x), g(x), h(x) er de grunnleggende trigonometriske ligningene.
  • Eksempel 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Løsning. Bruk dobbeltvinkelformelen sin 2x = 2*sin x*cos x, bytt ut sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Løs nå de to grunnleggende trigonometriske ligningene: cos x = 0 og (sin x + 1) = 0.
  • Eksempel 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Løsning: Bruk trigonometriske identiteter, transformer denne ligningen til en ligning av formen: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Løs nå de to grunnleggende trigonometriske ligningene: cos 2x = 0 og (2cos x + 1) = 0.
  • Eksempel 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • Løsning: Bruk trigonometriske identiteter, transformer denne ligningen til en ligning av formen: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Løs nå de to grunnleggende trigonometriske ligningene: cos 2x = 0 og (2sin x + 1) = 0 .
    • Metode 2.
  • Konverter den gitte trigonometriske ligningen til en ligning som inneholder bare én trigonometrisk funksjon. Bytt deretter ut denne trigonometriske funksjonen med en ukjent, for eksempel t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t, etc.).
  • Eksempel 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Løsning. I denne ligningen, erstatt (cos^2 x) med (1 - sin^2 x) (i henhold til identiteten). Den transformerte ligningen er:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Erstatt sin x med t. Nå ser ligningen slik ut: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Dette er en andregradsligning som har to røtter: t1 = -1 og t2 = 9/5. Den andre roten t2 tilfredsstiller ikke funksjonsområdet (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Eksempel 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Løsning. Bytt ut tg x med t. Skriv om den opprinnelige ligningen som følger: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Finn nå t og finn deretter x for t = tan x.

Når man løser mange matematiske problemer, spesielt de som inntreffer før karakter 10, er rekkefølgen på utførte handlinger som vil føre til målet klart definert. Slike problemer inkluderer for eksempel lineære og andregradslikninger, lineære og kvadratiske ulikheter, brøklikninger og ligninger som reduserer til andregradslikninger. Prinsippet for å lykkes med å løse hvert av de nevnte problemene er som følger: du må fastslå hvilken type problem du løser, husk den nødvendige sekvensen av handlinger som vil føre til ønsket resultat, dvs. svar og følg disse trinnene.

Det er åpenbart at suksess eller fiasko i å løse et bestemt problem hovedsakelig avhenger av hvor riktig type ligning som blir løst er bestemt, hvor riktig sekvensen av alle stadier av løsningen er gjengitt. Selvfølgelig er det i dette tilfellet nødvendig å ha ferdighetene til å utføre identiske transformasjoner og beregninger.

Situasjonen er annerledes med trigonometriske ligninger. Det er slett ikke vanskelig å fastslå at ligningen er trigonometrisk. Det oppstår vanskeligheter når man skal bestemme rekkefølgen av handlinger som vil føre til riktig svar.

Det er noen ganger vanskelig å bestemme typen basert på utseendet til en ligning. Og uten å vite hvilken type ligning, er det nesten umulig å velge den rette fra flere dusin trigonometriske formler.

For å løse en trigonometrisk ligning, må du prøve:

1. bringe alle funksjoner inkludert i ligningen til "samme vinkler";
2. bringe ligningen til "identiske funksjoner";
3. faktor venstre side av ligningen osv.

La oss vurdere grunnleggende metoder for å løse trigonometriske ligninger.

I. Reduksjon til de enkleste trigonometriske ligningene

Løsningsdiagram

Trinn 1. Uttrykk en trigonometrisk funksjon i form av kjente komponenter.

Steg 2. Finn funksjonsargumentet ved å bruke formlene:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Trinn 3. Finn den ukjente variabelen.

Eksempel.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Løsning.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Svar: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Variabel utskifting

Løsningsdiagram

Trinn 1. Reduser ligningen til algebraisk form med hensyn til en av de trigonometriske funksjonene.

Steg 2. Angi den resulterende funksjonen med variabelen t (om nødvendig, innfør begrensninger på t).

Trinn 3. Skriv ned og løs den resulterende algebraiske ligningen.

Trinn 4. Gjør en omvendt erstatning.

Trinn 5. Løs den enkleste trigonometriske ligningen.

Eksempel.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Løsning.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) La sin (x/2) = t, hvor |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 eller e = -3/2, tilfredsstiller ikke betingelsen |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Svar: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Reduksjonsmetode for ligningsorden

Løsningsdiagram

Trinn 1. Erstatt denne ligningen med en lineær, ved å bruke formelen for å redusere graden:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Steg 2. Løs den resulterende ligningen ved å bruke metode I og II.

Eksempel.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Løsning.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Svar: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogene ligninger

Løsningsdiagram

Trinn 1. Reduser denne ligningen til formen

a) a sin x + b cos x = 0 (homogen ligning av første grad)

eller til utsikten

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogen ligning av andre grad).

Steg 2. Del begge sider av ligningen med

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

og få ligningen for tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Trinn 3. Løs ligningen ved å bruke kjente metoder.

Eksempel.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Løsning.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) La da tg x = t

t2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 eller t = -4, som betyr

tg x = 1 eller tg x = -4.

Fra den første ligningen x = π/4 + πn, n Є Z; fra den andre ligningen x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Svar: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metode for å transformere en ligning ved bruk av trigonometriske formler

Løsningsdiagram

Trinn 1. Bruk alle mulige trigonometriske formler, reduser denne ligningen til en ligning løst med metodene I, II, III, IV.

Steg 2. Løs den resulterende ligningen ved å bruke kjente metoder.

Eksempel.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Løsning.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 eller 2cos x + 1 = 0;

Fra den første ligningen 2x = π/2 + πn, n Є Z; fra den andre ligningen cos x = -1/2.

Vi har x = π/4 + πn/2, n Є Z; fra den andre ligningen x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Som et resultat, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Svar: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Evnen og ferdigheten til å løse trigonometriske ligninger er svært viktig, deres utvikling krever betydelig innsats, både fra elevens og lærerens side.

Mange problemer med stereometri, fysikk, etc. er assosiert med løsningen av trigonometriske ligninger. Prosessen med å løse slike problemer legemliggjør mange av kunnskapen og ferdighetene som tilegnes ved å studere elementene i trigonometri.

Trigonometriske ligninger inntar en viktig plass i prosessen med å lære matematikk og personlig utvikling generelt.

Har du fortsatt spørsmål? Vet du ikke hvordan du løser trigonometriske ligninger?
For å få hjelp fra en veileder -.
Den første leksjonen er gratis!

blog.site, når du kopierer materiale helt eller delvis, kreves en lenke til originalkilden.

Krever kunnskap om trigonometriens grunnleggende formler - summen av kvadratene av sinus og cosinus, uttrykket for tangent gjennom sinus og cosinus, og andre. For de som har glemt dem eller ikke kjenner dem, anbefaler vi å lese artikkelen "".
Så vi kjenner de grunnleggende trigonometriske formlene, det er på tide å bruke dem i praksis. Løse trigonometriske ligninger med riktig tilnærming er det en ganske spennende aktivitet, som for eksempel å løse en Rubiks kube.

Basert på selve navnet er det klart at en trigonometrisk likning er en likning der det ukjente står under tegnet til den trigonometriske funksjonen.
Det finnes såkalte enkleste trigonometriske ligninger. Slik ser de ut: sinx = a, cos x = a, tan x = a. La oss vurdere hvordan løse slike trigonometriske ligninger, for klarhet vil vi bruke den allerede kjente trigonometriske sirkelen.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

barneseng x = a

Enhver trigonometrisk likning løses i to trinn: vi reduserer likningen til den enkleste formen og løser den deretter som en enkel trigonometrisk likning.
Det er 7 hovedmetoder for å løse trigonometriske ligninger.

1. Variabel substitusjon og substitusjonsmetode

Løs ligningen 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Ved å bruke reduksjonsformlene får vi:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Erstatt cos(x + /6) med y for å forenkle og få den vanlige andregradsligningen:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Røttene er y 1 = 1, y 2 = 1/2

La oss nå gå i omvendt rekkefølge

Vi erstatter de funnet verdiene av y og får to svaralternativer:

2. Løse trigonometriske ligninger gjennom faktorisering

Hvordan løser man ligningen sin x + cos x = 1?

La oss flytte alt til venstre slik at 0 forblir til høyre:

sin x + cos x – 1 = 0

La oss bruke identitetene diskutert ovenfor for å forenkle ligningen:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

La oss faktorisere:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Vi får to ligninger

3. Reduksjon til en homogen ligning

En ligning er homogen med hensyn til sinus og cosinus hvis alle leddene er i forhold til sinus og cosinus med samme grad av samme vinkel. For å løse en homogen ligning, fortsett som følger:

a) overføre alle dens medlemmer til venstre side;

b) ta alle vanlige faktorer ut av parentes;

c) sette likhetstegn mellom alle faktorer og parenteser til 0;

d) en homogen ligning av lavere grad oppnås i parentes, som igjen er delt inn i en sinus eller cosinus av en høyere grad;

e) løs den resulterende ligningen for tg.

Løs ligningen 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

La oss bruke formelen sin 2 x + cos 2 x = 1 og bli kvitt de to åpne til høyre:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Del på cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Bytt ut tan x med y og få en andregradsligning:

y 2 + 4y +3 = 0, hvis røtter er y 1 =1, y 2 = 3

Herfra finner vi to løsninger på den opprinnelige ligningen:

x 2 = arktan 3 + k

4. Løse ligninger gjennom overgangen til en halv vinkel

Løs ligningen 3sin x – 5cos x = 7

La oss gå videre til x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

La oss flytte alt til venstre:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Del på cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Innføring av hjelpevinkel

For vurdering, la oss ta en ligning av formen: a sin x + b cos x = c,

hvor a, b, c er noen vilkårlige koeffisienter, og x er en ukjent.

La oss dele begge sider av ligningen med:



Nå har koeffisientene til ligningen, i henhold til trigonometriske formler, egenskapene sin og cos, nemlig: deres modul er ikke mer enn 1 og summen av kvadrater = 1. La oss betegne dem som henholdsvis cos og sin, hvor - dette er den såkalte hjelpevinkelen. Deretter vil ligningen ha formen:

cos * sin x + sin * cos x = C

eller sin(x + ) = C

Løsningen på denne enkleste trigonometriske ligningen er

x = (-1) k * arcsin C - + k, hvor



Det skal bemerkes at notasjonene cos og sin er utskiftbare.

Løs ligningen sin 3x – cos 3x = 1

Koeffisientene i denne ligningen er:

a = , b = -1, så del begge sider med = 2

Forholdet mellom de grunnleggende trigonometriske funksjonene - sinus, cosinus, tangens og cotangens - er gitt trigonometriske formler. Og siden det er ganske mange sammenhenger mellom trigonometriske funksjoner, forklarer dette overfloden av trigonometriske formler. Noen formler forbinder trigonometriske funksjoner med samme vinkel, andre - funksjoner av flere vinkler, andre - lar deg redusere graden, fjerde - uttrykke alle funksjoner gjennom tangenten til en halv vinkel, etc.

I denne artikkelen vil vi liste opp i rekkefølge alle de grunnleggende trigonometriske formlene, som er tilstrekkelige til å løse de aller fleste trigonometriproblemer. For å gjøre det enklere å huske og bruke, vil vi gruppere dem etter formål og legge dem inn i tabeller.

Sidenavigering.

Grunnleggende trigonometriske identiteter

Grunnleggende trigonometriske identiteter definere forholdet mellom sinus, cosinus, tangens og cotangens for en vinkel. De følger av definisjonen av sinus, cosinus, tangens og cotangens, samt begrepet enhetssirkelen. De lar deg uttrykke en trigonometrisk funksjon i form av en hvilken som helst annen.

For en detaljert beskrivelse av disse trigonometriformlene, deres utledning og eksempler på anvendelse, se artikkelen.

Reduksjonsformler

Reduksjonsformler følger av egenskapene til sinus, cosinus, tangens og cotangens, det vil si at de gjenspeiler egenskapen periodisitet til trigonometriske funksjoner, egenskapen til symmetri, samt egenskapen til forskyvning med en gitt vinkel. Disse trigonometriske formlene lar deg gå fra å jobbe med vilkårlige vinkler til å jobbe med vinkler fra null til 90 grader.

Begrunnelsen for disse formlene, en mnemonisk regel for å huske dem og eksempler på deres anvendelse kan studeres i artikkelen.

Addisjonsformler

Trigonometriske addisjonsformler vis hvordan trigonometriske funksjoner av summen eller forskjellen av to vinkler uttrykkes i form av trigonometriske funksjoner til disse vinklene. Disse formlene tjener som grunnlag for å utlede følgende trigonometriske formler.

Formler for dobbel, trippel osv. vinkel

Formler for dobbel, trippel osv. vinkel (de kalles også flere vinkelformler) viser hvordan trigonometriske funksjoner av dobbel, trippel, etc. vinkler () uttrykkes i form av trigonometriske funksjoner til en enkelt vinkel. Deres utledning er basert på addisjonsformler.

Mer detaljert informasjon er samlet i artikkelformlene for dobbel, trippel osv. vinkel

Halvvinkelformler

Halvvinkelformler vis hvordan trigonometriske funksjoner til en halv vinkel uttrykkes i form av cosinus til en hel vinkel. Disse trigonometriske formlene følger av dobbelvinkelformlene.

Deres konklusjon og eksempler på anvendelse finner du i artikkelen.

Formler for gradreduksjon

Trigonometriske formler for å redusere grader er designet for å lette overgangen fra naturlige krefter til trigonometriske funksjoner til sinus og cosinus i første grad, men flere vinkler. Med andre ord lar de deg redusere kreftene til trigonometriske funksjoner til den første.

Formler for summen og differansen av trigonometriske funksjoner

Hovedgrunnen formler for summen og differansen av trigonometriske funksjoner er å gå til produktet av funksjoner, som er veldig nyttig når man forenkler trigonometriske uttrykk. Disse formlene er også mye brukt for å løse trigonometriske ligninger, da de lar deg faktorisere summen og forskjellen av sinus og cosinus.

Formler for produktet av sinus, cosinus og sinus for cosinus

Overgangen fra produktet av trigonometriske funksjoner til en sum eller forskjell utføres ved å bruke formlene for produktet av sinus, cosinus og sinus for cosinus.

Bashmakov M. I. Algebra og begynnelsen av analyse: Lærebok. for 10-11 klassetrinn. gj.sn. skole - 3. utg. - M.: Utdanning, 1993. - 351 s.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.

Algebra og begynnelsen av analysen: Proc. for 10-11 klassetrinn. allmennutdanning institusjoner / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn og andre; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. utg. - M.: Utdanning, 2004. - 384 s.: ill.

Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en manual for de som går inn på tekniske skoler): Proc. godtgjørelse.- M.; Høyere skole, 1984.-351 s., ill.

Opphavsrett av smartstudenter

Alle rettigheter forbeholdt.
Beskyttet av lov om opphavsrett. Ingen del av www.nettstedet, inkludert internt materiale og utseende, kan reproduseres i noen form eller brukes uten skriftlig forhåndstillatelse fra opphavsrettsinnehaveren.