Hvordan løse komplekse rasjonelle brøklikninger. Videoleksjon «Rasjonelle ligninger

"Løse rasjonelle brøklikninger"

Leksjonens mål:

Pedagogisk:

dannelse av konseptet med rasjonelle brøklikninger; vurdere ulike måter å løse rasjonelle brøklikninger på; vurdere en algoritme for å løse rasjonelle brøklikninger, inkludert betingelsen om at brøken er lik null; lære å løse rasjonelle brøklikninger ved hjelp av en algoritme; kontrollere mestringsnivået i emnet ved å gjennomføre en test.

Utviklingsmessig:

utvikle evnen til å fungere korrekt med ervervet kunnskap og tenke logisk; utvikling av intellektuelle ferdigheter og mentale operasjoner - analyse, syntese, sammenligning og generalisering; utvikling av initiativ, evnen til å ta beslutninger, og ikke stoppe der; utvikling av kritisk tenkning; utvikling av forskningskompetanse.

Utdanning:

fremme kognitiv interesse for emnet; fremme uavhengighet i å løse pedagogiske problemer; pleie vilje og utholdenhet for å oppnå endelige resultater.

Leksjonstype: leksjon - forklaring av nytt stoff.

I løpet av timene

1. Organisatorisk øyeblikk.

Hei folkens! Det er skrevet ligninger på tavlen, se nøye på dem. Kan du løse alle disse ligningene? Hvilke er det ikke og hvorfor?

Ligninger der venstre og høyre side er rasjonelle brøkuttrykk kalles rasjonelle brøklikninger. Hva tror du vi skal studere i klassen i dag? Formuler temaet for leksjonen. Så åpne notatbøkene dine og skriv ned emnet for leksjonen "Løse rasjonelle brøklikninger."

2. Oppdatering av kunnskap. Frontalundersøkelse, muntlig arbeid med klassen.

Og nå vil vi gjenta det viktigste teoretiske materialet som vi trenger for å studere et nytt emne. Vennligst svar på følgende spørsmål:

1. Hva er en ligning? ( Likhet med en variabel eller variabler.)

2. Hva heter ligning nr. 1? ( Lineær.) En metode for å løse lineære ligninger. ( Flytt alt med det ukjente til venstre side av ligningen, alle tall til høyre. Gi lignende vilkår. Finn ukjent faktor).

3. Hva heter ligning nr. 3? ( Torget.) Metoder for å løse andregradsligninger. ( Isolere en komplett firkant ved hjelp av formler ved å bruke Vietas teorem og dens konsekvens.)

4. Hva er proporsjon? ( Likhet mellom to forhold.) Hovedegenskapen til proporsjoner. ( Hvis andelen er riktig, er produktet av de ekstreme leddene lik produktet av de midterste leddene.)

5. Hvilke egenskaper brukes ved løsning av ligninger? ( 1. Hvis du flytter et ledd i en likning fra en del til en annen, og endrer fortegn, vil du få en likning tilsvarende den gitte. 2. Hvis begge sider av ligningen multipliseres eller divideres med samme tall som ikke er null, får du en ligning tilsvarende den gitte.)

6. Når er en brøk lik null? ( En brøk er lik null når telleren er null og nevneren ikke er null..)

3. Forklaring av nytt materiale.

Løs ligning nr. 2 i notatbøkene og på tavlen.

Svar: 10.

Hvilken rasjonell brøkligning kan du prøve å løse ved å bruke den grunnleggende egenskapen proporsjon? (nr. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Løs ligning nr. 4 i notatbøkene og på tavlen.

Svar: 1,5.

Hvilken rasjonell brøklikning kan du prøve å løse ved å multiplisere begge sider av ligningen med nevneren? (nr. 6).

D=1›0, x1=3, x2=4.

Svar: 3;4.

Prøv nå å løse ligning nummer 7 ved å bruke en av følgende metoder.

(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49
Svar: 0;5;-2.			Svar: 5;-2.

Forklar hvorfor dette skjedde? Hvorfor er det tre røtter i det ene tilfellet og to i det andre? Hvilke tall er røttene til denne rasjonelle brøklikningen?

Til nå har studenter ikke møtt begrepet en fremmed rot; det er faktisk veldig vanskelig for dem å forstå hvorfor dette skjedde. Hvis ingen i klassen kan gi en klar forklaring på denne situasjonen, stiller læreren ledende spørsmål.

Hvordan skiller ligning nr. 2 og 4 seg fra ligning nr. 5,6,7? ( I ligning nr. 2 og 4 er det tall i nevneren, nr. 5-7 er uttrykk med variabel.) Hva er roten til en ligning? ( Verdien av variabelen der ligningen blir sann.) Hvordan finne ut om et tall er roten til en ligning? ( Gjør en sjekk.)

Ved testing merker noen elever at de må dele på null. De konkluderer med at tallene 0 og 5 ikke er røttene til denne ligningen. Spørsmålet oppstår: er det en måte å løse rasjonelle brøklikninger som lar oss eliminere denne feilen? Ja, denne metoden er basert på betingelsen om at brøken er lik null.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Hvis x=5, så er x(x-5)=0, som betyr at 5 er en fremmed rot.

Hvis x=-2, så x(x-5)≠0.

Svar: -2.

La oss prøve å formulere en algoritme for å løse rasjonelle brøklikninger på denne måten. Barna formulerer algoritmen selv.

Algoritme for å løse rasjonelle brøklikninger:

1. Flytt alt til venstre side.

2. Reduser brøker til en fellesnevner.

3. Lag et system: en brøk er lik null når telleren er lik null og nevneren ikke er lik null.

4. Løs ligningen.

5. Sjekk ulikheten for å utelukke fremmede røtter.

6. Skriv ned svaret.

Diskusjon: hvordan formalisere løsningen hvis du bruker den grunnleggende egenskapen proporsjon og multipliserer begge sider av ligningen med en fellesnevner. (Legg til løsningen: utelukk fra røttene de som får fellesnevneren til å forsvinne).

4. Innledende forståelse av nytt materiale.

Arbeid i par. Elevene velger selv hvordan de skal løse likningen avhengig av type likning. Oppgaver fra læreboken “Algebra 8”, 2007: nr. 000 (b, c, i); nr. 000(a, d, g). Læreren overvåker gjennomføringen av oppgaven, svarer på spørsmål som dukker opp, og gir bistand til elever som ikke presterer dårlig. Selvtest: svar skrives på tavlen.

b) 2 – fremmed rot. Svar: 3.

c) 2 – fremmed rot. Svar: 1.5.

a) Svar: -12.5.

g) Svar: 1;1,5.

5. Sette lekser.

2. Lær algoritmen for å løse rasjonelle brøklikninger.

3. Løs i notatbøker nr. 000 (a, d, e); nr. 000(g, h).

4. Prøv å løse nr. 000(a) (valgfritt).

6. Fullføre en kontrolloppgave om emnet som er studert.

Arbeidet gjøres på papirbiter.

Eksempel på oppgave:

A) Hvilke av ligningene er brøkrasjonelle?

B) En brøk er lik null når telleren er _______________ og nevneren er __________________.

Sp) Er tallet -3 roten til ligning nummer 6?

D) Løs ligning nr. 7.

Vurderingskriterier for oppgaven:

"5" gis hvis eleven fullførte mer enn 90 % av oppgaven riktig. "4" - 75%-89% "3" - 50%-74% "2" gis til en student som har fullført mindre enn 50% av oppgaven. En vurdering på 2 er ikke gitt i journalen, 3 er valgfritt.

7. Refleksjon.

Skriv på de uavhengige arbeidsarkene:

1 – hvis leksjonen var interessant og forståelig for deg; 2 – interessant, men ikke klart; 3 – ikke interessant, men forståelig; 4 – ikke interessant, ikke klart.

8. Oppsummering av leksjonen.

Så i dag i leksjonen ble vi kjent med rasjonelle brøklikninger, lærte å løse disse ligningene på ulike måter, og testet kunnskapen vår ved hjelp av selvstendig pedagogisk arbeid. Du vil lære resultatene av ditt selvstendige arbeid i neste leksjon, og hjemme vil du få muligheten til å konsolidere kunnskapen din.

Hvilken metode for å løse rasjonelle brøklikninger er etter din mening enklere, mer tilgjengelig og mer rasjonell? Uansett metode for å løse rasjonelle brøklikninger, hva bør du huske? Hva er "slu" med rasjonelle brøklikninger?

Takk alle sammen, leksjonen er over.

Den laveste fellesnevneren brukes for å forenkle denne ligningen. Denne metoden brukes når du ikke kan skrive en gitt likning med ett rasjonelt uttrykk på hver side av likningen (og bruke multiplikasjonsmetoden på kryss og tvers). Denne metoden brukes når du får en rasjonell ligning med 3 eller flere brøker (ved to brøker er det bedre å bruke multiplikasjon på kryss og tvers).

Finn den laveste fellesnevneren av brøkene (eller minst felles multiplum). NOZ er det minste tallet som er jevnt delelig med hver nevner.

• Noen ganger er OD et åpenbart tall. For eksempel, hvis gitt ligningen: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6, er det åpenbart at det minste felles multiplum av tallene 3, 2 og 6 er 6.
• Hvis NCD ikke er åpenbar, skriv ned multiplene av den største nevneren og finn blant dem en som vil være et multiplum av de andre nevnerne. NOD kan ofte bli funnet ved å multiplisere to nevnere. For eksempel, hvis ligningen er gitt x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, så er NOS = 8*9 = 72.
• Dersom en eller flere nevnere inneholder en variabel, blir prosessen noe mer komplisert (men ikke umulig). I dette tilfellet er NOC et uttrykk (som inneholder en variabel) som er delt på hver nevner. For eksempel, i ligningen 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), fordi dette uttrykket er delt på hver nevner: 3x(x-1)/(x -1) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Multipliser både telleren og nevneren for hver brøk med et tall som er lik resultatet av å dele NOC med den tilsvarende nevneren for hver brøk. Siden du multipliserer både telleren og nevneren med samme tall, multipliserer du faktisk brøken med 1 (for eksempel 2/2 = 1 eller 3/3 = 1).

• Så i vårt eksempel, multipliser x/3 med 2/2 for å få 2x/6, og 1/2 multipliser med 3/3 for å få 3/6 (brøken 3x +1/6 trenger ikke å multipliseres fordi den nevneren er 6).
• Fortsett på samme måte når variabelen er i nevneren. I vårt andre eksempel, NOZ = 3x(x-1), så multipliser 5/(x-1) med (3x)/(3x) for å få 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x multiplisert med 3(x-1)/3(x-1) og du får 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) multiplisert med (x-1)/(x-1) og du får 2(x-1)/3x(x-1).

Finn x. Nå som du har redusert brøkene til en fellesnevner, kan du kvitte deg med nevneren. For å gjøre dette, multipliser hver side av ligningen med fellesnevneren. Løs deretter den resulterende ligningen, det vil si finn "x". For å gjøre dette, isoler variabelen på den ene siden av ligningen.

• I vårt eksempel: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Du kan legge til 2 brøker med samme nevner, så skriv ligningen som: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Multipliser begge sider av ligningen med 6 og bli kvitt nevnerne: 2x+3 = 3x +1. Løs og få x = 2.
• I vårt andre eksempel (med en variabel i nevneren) ser ligningen slik ut (etter reduksjon til en fellesnevner): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x) -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Ved å multiplisere begge sider av ligningen med N3, blir du kvitt nevneren og får: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), eller 15x = 3x - 3 + 2x -2, eller 15x = x - 5 Løs og få: x = -5/14.

Vi har allerede lært hvordan vi løser andregradsligninger. La oss nå utvide de studerte metodene til rasjonelle ligninger.

Hva er et rasjonelt uttrykk? Vi har allerede møtt dette konseptet. Rasjonelle uttrykk er uttrykk som består av tall, variabler, deres potenser og symboler for matematiske operasjoner.

Følgelig er rasjonelle ligninger ligninger av formen: , hvor - rasjonelle uttrykk.

Tidligere vurderte vi bare de rasjonelle ligningene som kan reduseres til lineære. La oss nå se på de rasjonelle ligningene som kan reduseres til kvadratiske ligninger.

Eksempel 1

Løs ligningen:.

Løsning:

En brøk er lik 0 hvis og bare hvis telleren er lik 0 og nevneren ikke er lik 0.

Vi får følgende system:

Den første ligningen i systemet er en andregradsligning. Før vi løser det, la oss dele alle koeffisientene med 3. Vi får:

Vi får to røtter: ; .

Siden 2 aldri er lik 0, må to betingelser være oppfylt: . Siden ingen av røttene til ligningen oppnådd ovenfor faller sammen med de ugyldige verdiene til variabelen som ble oppnådd ved å løse den andre ulikheten, er de begge løsninger på denne ligningen.

Svar:.

Så la oss formulere en algoritme for å løse rasjonelle ligninger:

1. Flytt alle ledd til venstre side slik at høyre side ender på 0.

2. Transformer og forenkle venstre side, bring alle brøkene til en fellesnevner.

3. Lik den resulterende brøken til 0 ved å bruke følgende algoritme: .

4. Skriv ned de røttene som ble oppnådd i den første ligningen og tilfredsstiller den andre ulikheten i svaret.

La oss se på et annet eksempel.

Eksempel 2

Løs ligningen: .

Løsning

Helt i begynnelsen flytter vi alle leddene til venstre slik at 0 forblir til høyre. Vi får:

La oss nå bringe venstre side av ligningen til en fellesnevner:

Denne ligningen tilsvarer systemet:

Den første ligningen i systemet er en andregradsligning.

Koeffisienter for denne ligningen: . Vi beregner diskriminanten:

Vi får to røtter: ; .

La oss nå løse den andre ulikheten: produktet av faktorer er ikke lik 0 hvis og bare hvis ingen av faktorene er lik 0.

To betingelser må være oppfylt: . Vi finner at av de to røttene til den første ligningen, er det bare en som passer - 3.

Svar:.

I denne leksjonen husket vi hva et rasjonelt uttrykk er, og lærte også hvordan vi løser rasjonelle ligninger, som reduserer til andregradsligninger.

I neste leksjon skal vi se på rasjonelle ligninger som modeller av virkelige situasjoner, og også se på bevegelsesproblemer.

Bibliografi

1. Bashmakov M.I. Algebra, 8. klasse. - M.: Utdanning, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. og andre Algebra, 8. 5. utg. - M.: Utdanning, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. klasse. Lærebok for allmenne utdanningsinstitusjoner. - M.: Utdanning, 2006.

1. Festival for pedagogiske ideer "Open Lesson" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Hjemmelekser

Presentasjon og leksjon om temaet: "Rasjonelle ligninger. Algoritme og eksempler på løsning av rasjonelle ligninger"

Ytterligere materialer
Kjære brukere, ikke glem å legge igjen kommentarer, anmeldelser, ønsker! Alt materiale er sjekket av et antivirusprogram.

Pedagogiske hjelpemidler og simulatorer i Integral nettbutikk for klasse 8
En manual for læreboken av Makarychev Yu.N. En manual for læreboken av Mordkovich A.G.

Introduksjon til irrasjonelle ligninger

Gutter, vi lærte hvordan vi løser andregradsligninger. Men matematikk er ikke bare begrenset til dem. I dag skal vi lære å løse rasjonelle ligninger. Begrepet rasjonelle ligninger ligner på mange måter begrepet rasjonelle tall. Bare i tillegg til tall, har vi nå introdusert en variabel $x$. Og dermed får vi et uttrykk der operasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og heving til en heltallspotens er tilstede.

La $r(x)$ være rasjonelt uttrykk. Et slikt uttrykk kan være et enkelt polynom i variabelen $x$ eller et forhold mellom polynomer (en divisjonsoperasjon introduseres, som for rasjonelle tall).
Ligningen $r(x)=0$ kalles rasjonell ligning.
Enhver ligning av formen $p(x)=q(x)$, der $p(x)$ og $q(x)$ er rasjonelle uttrykk, vil også være rasjonell ligning.

La oss se på eksempler på løsning av rasjonelle ligninger.

Eksempel 1.
Løs ligningen: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Løsning.
La oss flytte alle uttrykkene til venstre side: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Hvis venstre side av ligningen var representert med vanlige tall, ville vi redusert de to brøkene til en fellesnevner.
La oss gjøre dette: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Vi fikk ligningen: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

En brøk er lik null hvis og bare hvis telleren til brøken er null og nevneren ikke er null. Deretter likestiller vi telleren separat til null og finner røttene til telleren.
$3(x^2+2x-3)=0$ eller $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
La oss nå sjekke nevneren til brøken: $(x-3)*x≠0$.
Produktet av to tall er lik null når minst ett av disse tallene er lik null. Deretter: $x≠0$ eller $x-3≠0$.
$x≠0$ eller $x≠3$.
Røttene oppnådd i telleren og nevneren er ikke sammenfallende. Så vi skriver ned begge røttene til telleren i svaret.
Svar: $x=1$ eller $x=-3$.

Hvis plutselig en av røttene til telleren faller sammen med roten til nevneren, bør den ekskluderes. Slike røtter kalles fremmede!

Algoritme for å løse rasjonelle ligninger:

1. Flytt alle uttrykkene i ligningen til venstre side av likhetstegnet.
2. Konverter denne delen av ligningen til en algebraisk brøk: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Lik den resulterende telleren til null, det vil si løs ligningen $p(x)=0$.
4. Lik nevneren til null og løs den resulterende ligningen. Hvis røttene til nevneren faller sammen med røttene til telleren, bør de ekskluderes fra svaret.

Eksempel 2.
Løs ligningen: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Løsning.
La oss løse i henhold til punktene i algoritmen.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x) -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Lik telleren med null: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Lik nevneren til null:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ og $x=-1$.
En av røttene $x=1$ faller sammen med roten til telleren, da skriver vi den ikke ned i svaret.
Svar: $x=-1$.

Det er praktisk å løse rasjonelle ligninger ved å bruke metoden for endring av variabler. La oss demonstrere dette.

Eksempel 3.
Løs ligningen: $x^4+12x^2-64=0$.

Løsning.
La oss introdusere erstatningen: $t=x^2$.
Da vil ligningen vår ha formen:
$t^2+12t-64=0$ - vanlig andregradsligning.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; $4.
La oss introdusere den omvendte erstatningen: $x^2=4$ eller $x^2=-16$.
Røttene til den første ligningen er et tallpar $x=±2$. Den andre tingen er at den ikke har røtter.
Svar: $x=±2$.

Eksempel 4.
Løs ligningen: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Løsning.
La oss introdusere en ny variabel: $t=x^2+x+1$.
Deretter vil ligningen ha formen: $t=\frac(15)(t+2)$.
Deretter fortsetter vi i henhold til algoritmen.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; $3.
4. $t≠-2$ - røttene er ikke sammenfallende.
La oss introdusere en omvendt substitusjon.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
La oss løse hver ligning separat:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - nei røtter.
Og den andre ligningen: $x^2+x-2=0$.
Røttene til denne ligningen vil være tallene $x=-2$ og $x=1$.
Svar: $x=-2$ og $x=1$.

Eksempel 5.
Løs ligningen: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Løsning.
La oss introdusere erstatningen: $t=x+\frac(1)(x)$.
Deretter:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ eller $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Vi fikk ligningen: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Røttene til denne ligningen er paret:
$t=-3$ og $t=2$.
La oss introdusere den omvendte substitusjonen:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Vi avgjør separat.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
La oss løse den andre ligningen:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Roten til denne ligningen er tallet $x=1$.
Svar: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Problemer å løse selvstendig

Løs ligninger:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

I denne artikkelen vil jeg vise deg algoritmer for å løse syv typer rasjonelle ligninger, som kan reduseres til kvadratisk ved å endre variabler. I de fleste tilfeller er transformasjonene som fører til erstatning veldig ikke-trivielle, og det er ganske vanskelig å gjette om dem på egen hånd.

For hver type ligning vil jeg forklare hvordan du gjør en endring av variabel i den, og deretter vise en detaljert løsning i den tilsvarende videoopplæringen.

Du har mulighet til å fortsette å løse likningene selv, og deretter sjekke løsningen din med videoleksjonen.

Så la oss begynne.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Merk at på venstre side av ligningen er det et produkt av fire parenteser, og på høyre side er det et tall.

1. La oss gruppere parentesene med to slik at summen av frileddene er den samme.

2. Multipliser dem.

3. La oss introdusere en endring av variabel.

I ligningen vår vil vi gruppere den første parentesen med den tredje, og den andre med den fjerde, siden (-1)+(-4)=(-7)+2:

På dette tidspunktet blir variabelerstatningen åpenbar:

Vi får ligningen

Svar:

2 .

En ligning av denne typen ligner den forrige med én forskjell: på høyre side av ligningen er produktet av tallet og . Og det er løst på en helt annen måte:

1. Vi grupperer parentesene i to slik at produktet av frivilkårene blir det samme.

2. Multipliser hvert par parenteser.

3. Vi tar x ut av hver faktor.

4. Del begge sider av ligningen med .

5. Vi introduserer en endring av variabel.

I denne ligningen grupperer vi den første parentesen med den fjerde, og den andre med den tredje, siden:

Merk at i hver parentes er koeffisienten ved og frileddet det samme. La oss ta en faktor ut av hver parentes:

Siden x=0 ikke er en rot av den opprinnelige ligningen, deler vi begge sider av ligningen med . Vi får:

Vi får ligningen:

Svar:

3 .

Legg merke til at nevnerne til begge brøkene inneholder kvadratiske trinomialer, der ledende koeffisient og frileddet er det samme. La oss ta x ut av parentesen, som i ligningen til den andre typen. Vi får:

Del telleren og nevneren for hver brøk med x:

Nå kan vi introdusere en variabel erstatning:

Vi får en ligning for variabelen t:

4 .

Merk at koeffisientene til ligningen er symmetriske i forhold til den sentrale. Denne ligningen kalles retur .

For å løse det,

1. Del begge sider av ligningen med (Vi kan gjøre dette siden x=0 ikke er en rot av ligningen.) Vi får:

2. La oss gruppere begrepene på denne måten:

3. La oss i hver gruppe ta den felles faktoren ut av parentes:

4. La oss introdusere erstatningen:

5. Uttrykk gjennom t uttrykket:

Herfra

Vi får ligningen for t:

Svar:

5. Homogene ligninger.

Ligninger som har en homogen struktur kan oppstå når du løser eksponentielle, logaritmiske og trigonometriske ligninger, så du må kunne gjenkjenne det.

Homogene ligninger har følgende struktur:

I denne likheten er A, B og C tall, og kvadratet og sirkelen angir identiske uttrykk. Det vil si at på venstre side av en homogen ligning er det en sum av monomer som har samme grad (i dette tilfellet er graden av monomialer 2), og det er ingen fri term.

For å løse en homogen ligning, dividere begge sider med

Merk følgende! Når du deler høyre og venstre side av en ligning med et uttrykk som inneholder en ukjent, kan du miste røtter. Derfor er det nødvendig å sjekke om røttene til uttrykket som vi deler begge sider av ligningen med er røttene til den opprinnelige ligningen.

La oss gå den første veien. Vi får ligningen:

Nå introduserer vi variabel erstatning:

La oss forenkle uttrykket og få en biquadratisk ligning for t:

Svar: eller

7 .

Denne ligningen har følgende struktur:

For å løse det, må du velge en komplett firkant på venstre side av ligningen.

For å velge en hel firkant, må du legge til eller trekke fra to ganger produktet. Da får vi kvadratet av summen eller differansen. Dette er avgjørende for vellykket utskifting av variabel.

La oss starte med å finne det dobbelte av produktet. Dette vil være nøkkelen til å erstatte variabelen. I vår ligning er to ganger produktet lik

La oss nå finne ut hva som er mer praktisk for oss å ha - kvadratet på summen eller differansen. La oss først vurdere summen av uttrykk:

Flott! Dette uttrykket er nøyaktig lik to ganger produktet. Deretter, for å få kvadratet av summen i parentes, må du legge til og trekke fra dobbeltproduktet: